Неабелевы топологические решения струнной гравитации тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВА

г .. _ Физический факультет

' г

На правах рукописи УДК 539.12,530.145 ДОНЕЦ ЕВГЕНИЙ ЕВГЕНЬЕВИЧ

НЕАБЕЛЕВЫ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ В

СТРУННОЙ ГРАВИТАЦИИ

Специальность 01.04.02 — теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

Диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1994

Работа выполнена на кафедре теоретической физики физического факультета Московского Государственного Университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Л. В. Гольцов

Официальные оппоненты: Доктор физико-математических

наук,

В. Н. Мельников

кандидат физико-математических наук, Г. А. Алексеев

Ведущая организация:

Лаборатория теоретической физик Объединенного Института Ядерных Исследований

Защита диссертации состоится " М^^*^ '' 1994 г. в 15^ часов на заседании Специализированного совета К 05305. 18 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук на физическом факультете МГУ им. М.В.Ломоносова по адресу:

119899, Москва, МГУ, физический факультет, аудитория (ЭФА.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова.

Автореферат разослан " " 1994 г.

Ученый секретарь Специализированного совета К 053. 05. 18 доктор физико-математических наук

—^---П. А. Поляков

ОБШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

ЦЕЛЬЮ РАБОТЫ является нахождение и анализ топологически нетривиальных классических решений самосогласованных уравнений движения в полевых моделях, возникающих на основе бозокной части аффективного действия гетеротической суперструны в четырех измерениях и включающих гравитационное поле, скалярное поле (дилатон), аксионное поле и поля Янга-Миллса.

АКТУАЛЬНОСТЬ РАБОТЫ. Существенный прогресс в построении объединенной теории фундаментальных взаимодействий, включающей гравитацию, в последние годы был связан с теорией суперструн, которая является в настоящее время признанной основой моделей квантовой гравитации, в рамках которой гравитон входит в более широкий мультиплет безмассовых полей, отвечающий модифицированному гравитационному взаимодействию при энергиях, близких к планковским. Теория суперструн предсказывает структуру эффективного действия для безмассовых бозонных возбуждений, в которое входят гравитон, скалярное поле (дилатон), антисимметричный тензор второго ранга (аксион), а также поля Янга-Миллса (ЯМ) с калибровочной группой Ев х Ев или 50(32).

Как и в стандартной теории калибровочных полей, большое значение имеют топологически нетривиальные классические решения полевых уравнений, определяющие непертурбативные аспекты квантовой гравитации. С этой точки зрения наибольший интерес представляют черные дыры в лоренцевом секторе теории и так называемые кротовые норы в евклидовом секторе, решения, представляющие вклад в интеграл по траекториям от многообразий с различной топологией. Струнные четырехмерные заряженные черные дыры стали в последнее время предметом постоянного внимания в связи с проблемой конечной стадии хокинговского испарения черных дыр.

Большинство из известных классических решений в теории гетеротической суперструны являются абелевыми, т.е. эффективно поля Янга-Миллса в них являются максвелловскими с калибровочной группой 1/(1) или СГ(1) X £/(1), тривиально вложенной в группу Е(8) х £7(8) или 50(32) в качестве подгруппы. Неабелевы конфигурации были исследованы в основном только в пределе Богомольного. Поэтому нахождение топологически нетривиальных решений, таких как черные дыры, гетероти-

ческие сфалероны и евклидовы кротовые норы при рассмотрении существенно неабелевых конфигураций поля Янга-Милл-са (мы ограничимся калибровочными группами 5(7(2) , 5£7(3) и 5(7(2) х (7(1) поля Янга-Миллса) представляется важной задачей, решение которой позволит сделать первые заключения о непертурбативной структуре теории суперструн.

НОВИЗНА РАБОТЫ. Научная новизна работы состоит в том, что в ней впервые исследованы топологически нетривиальные неабелевы классические решения в модели струнной гравитации. В отличие от известных ранее струнных решений, в которых поле Янга-Миллса является эффективно абелевым (т.е. электромагнитным), в работе построены и проанализированы решения, в которых существенной оказывается не только структура пространства-времени в размерности 4 (черные дыры, кротовые норы), но и внутренняя топология связности поля Янга-Миллса с калибровочными группами 5С/(2), 5(7(3) и 5£/(2)х(7(1).

ОСНОВНЫЕ НАУЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ

НА ЗАЩИТУ.

В диссертации впервые исследованы топологически нетривиальные неабелевы классические решения в модели струнной гравитации, представляющей собой бозонную часть низкоэнергетического эффективного действия гетеротической струны в четырех измерениях. Более точно, модель представляет собой связанную систему Би(2), 5(7(3) или 5(7(2) х (7(1) мультиплета безмассовых векторных полей, дилатона, струнного аксиона и гравитационного поля.

Конкретно, вклад диссертации в развитие этого направления следующий:

1. При помощи аналитических и численных методов построены регулярные частицеподобные решения сфалеронного типа в 51/(2) секторе струны, названные гетеротическими сфалерона-ми.. Эти решения характеризуются топологической структурой 5(7(2) поля Янга-Миллса, аналогичной структуре сфалеронных решений в модели Вайнберга-Салама. Однако в рассматриваемом случае семейство сфалеронов шире и имеет характер бесконечной иерархии связанных состояний сфалерона и антисфале-рона. Новым является наличие дальнодействующего скалярного поля (дилатона), причем (в планковских единицах) дилатонный

заряд у гетеротических сфалеронов равен их АДМ массе. Метрика пространства-времени для таких решений является асимптотически плоской и обладает сферической симметрией.

2. Построены решения типа сферически симметричных черных дыр, обладающих дилатонными и янг-миллсовыми "волосами". В рамках теории с группой 5(7(2) такие черные дыры не могут иметь цветовых зарядов, но обладают янг-миллсовыми "волосами" магнитно-дипольного типа. Показано, что черные дыры из этого семейства непрерывно переходят в регулярные частицеподобные решения при стремлении радиуса горизонта событий к нулю.

3. В рамках модели с группой 5{/(3) построены решения типа заряженных черных дыр, которые наряду с "волосами", описанными в п.2, имеют магнитную кулоновскую компоненту и обладают цветовым зарядом. Заряженные струнные черные дыры не имеют аналога в виде регулярных частицеподобных решений. Показано, что тем не менее существуют предельные (экстремальные) решения при стремлении к нулю радиуса горизонта событий. В системе отсчета струны предельные решения оказываются регулярными и пространство-время имеет топологию горловины.

4. Показано, что пространственно-временная геометрия экстремальных заряженных неабелевых черных дыр (в рамках модели с группой 5(/(3) и с группой 517(2) х 1/(1)) в области горловины не отличается от геометрии так называемых согписорюпв - "рогов изобилия", которые были обнаружены ранее в рамках абелевой модели (7(1) струнной гравитации. Тем самым показано, что "рога изобилия" могут иметь дополнительную неабелеву структуру в рамках более широких и реалистичных моделей, образуя в них бесконечную последовательность и, таким образом, представляют типичную для струнной гравитации пространственно-временную топологию.

5. Построена термодинамическая теория для неабелевых струнных черных дыр и "рогов изобилия". Свободная энергия вычислена через евклидово действие и массовая формула получена в интегральном виде.

6. Приведены топологические аргументы, позволяющие интерпретировать полученные регулярные струнные 5^(2) решения и экстремальные заряженные неабелевы 51/(2) х и(1) струнные черные дыры как гетеротические сфалероны. Показано, что

в функциональном пространстве теории эти решения расположены в седловой точке потенциального барьера, разделяющего две вакуумные конфигурации с различными значениями топологического индекса связности поля Янга-Миллса.

7. Показано, что в контексте струнной гравитации евклидовы решения уравнений Эйнштейна-Янга-Миллса с группой Би (2) типа меронов и "одетых" меронов становятся кротовыми норами. В рамках модели с отличной от нуля космологической постоянной (которая естественно возникает в теории гетероти-ческой струны) такие решения построены в аналитическом виде. Обнаружено, что при некотором выделенном значении космологической постоянной существует непрерывное семейство кротовых нор с топологическим зарядом поля Янга-Миллса, неп-. рерывно изменяющимся от нуля (соответствующего мерону) до единицы (соответствующего самодуальному инстантону). Показано, что полное евклидово действие для такого непрерывного семейства кротовых нор равно нулю.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные результаты диссертации докладывались на XIII Международной гравитационной конференции (Кордова, Аргентина, 1992), I Иберийской гравитационной конференции (Эвора, Португалия, 1992 г.), VIII Российской гравитационной конференции (Пущино, 1993 г.). По материалам, вошедшим в диссертацию, сделаны доклады на семинарах Российской гравитационной ассоциации (Москва, 1993 г.) и на семинарах кафедры теоретической физики физического факультета МГУ (Москва, 1990 - 1993 г.- г.).

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации изложены в пяти публикациях.

СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы. Общий объем диссертации 103 страницы машинописного текста, 16 рисунков. Список литературы включает 244 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении кратко обозначен круг задач, которые будут рассмотрены в диссертации, их важность, а также представлено краткое содержание каждой главы диссертации.

Глава 1 является обзором некоторых известных результатов о существовании и свойствах топологически нетривиальных классических решений в различных калибровочных моделях с

гравитацией и без гравитации. Основное внимание уделено решениям типа неабелевых черных дыр и космологическим решениям в модельной теории связанной системы полей Эйнштейна-Янга-Миллса, имеющей наиболее близкое сходство с полевыми теориями, возникающими на основе низкоэнергетической бозон-ной части теории гетеротической суперструны.

Глава 2. В главе 2 на основе аналитических и численных методов построены регулярные решения и решения типа неабе-левых незаряженных черных дыр в SU(2) секторе низкоэнергетической бозонной части гетеротической суперструны в четырех измерениях, действие для которой имеет вид:

s=~j V~9[mpt ~ 1/Зехр(—4Ф) HliV\fft"'x +

+ 20„Фд"Ф) - ехр(-2Ф) Fai¡v Fn d*x , (1)

где Ф обозначает дилатон, Нц„\ есть поле Калба-Рамона, связанное с лоренцевой и янг-миллсовой 3-формами Черна-Сай-монса как Я = dB + ызь ~изум, a. Fapv как всегда есть кривизна поля Янга-Миллса некоторой калибровочной группы, содержащей группу SU(2) в качестве подгруппы.

Здесь и далее мы ищем статические, сферически симметричные решения, которые полностью описываются метрикой с линейным элементом

rfs2 = _ _ r2(d(?2 + s¡n2 gdip2) _ (2) г ¿л

где Л и а - две независимые функции радиальной переменной. Соответственно, связность поля ЯМ для статических сферически симметричных конфигураций после фиксации калибровки может быть параметризована двумя действительными функциями W(r) (электрическая часть) и /(г) (магнитная часть) следующим образом

gA^T'dx» = WLrdt + (/ - - LB sin Od<p), (3)

где Lr = Tana, L, = d'eLr, Lv - (sinfl)"1^!,. , na = (sin в cos <p, sin 9 sin <p, eos в) - единичный вектор, T" - нормированные эрмитовы генераторы группы SU(2), и g - калибровочная константа связи.

После интегрирования по угловым переменным и отбрасывания полных производных действие (1) преобразуется

S = | J <ftdr{mpj[ff'(A/r - г) - (Ф'2 + ia'2 ехр(4Ф))А<т] +

+Vlgß. _ . гй-£Е)вр(.ж) _

2а'W(/2 — 1)]}, (4)

где штрих обозначает дифференцирование по радиальной переменной г, а а - скалярное поле Печчи-Куинна (аксионное поле), дуальное к три-форме Калба-Рамонда в пространстве четырех измерений..

Для нахождения существенно неабелевых решений мы должны изначально положить W = 0. А это, в свою очередь, ведет к тому, что решение также не должно иметь и аксионных волос, кроме чисто топологического аксионного волоса типа обсуждавшегося Бовиком, Гиддингсом и др.

Удобно зафиксировать масштаб, налагая асимптотическое условие на дилатонное поле Ф(оо) = 0. Уравнение для функции о интегрируется и после подстановки в оставшиеся уравнения и перехода к новой переменной р — г2, получаем окончательно следующую систему уравнений для трех неизвестных функций /, Ф и Д

4f„ - 2 /,*,) + \GS, + /(1~/2) = 0 , (5)

(б)

где

Обсудим сначала всюду регулярные решения, которые не имеют горизонтов событий и сингулярных точек и являются к тому же асимптотически плоскими. Решение системы уравнений (5)-(8) в виде формальных рядов в окрестности начала

сферической системы координат имеет следующий единственно возможный вид

/ =-1+6* + 0(*2), (9)

Ф = Ф0 - 262 х ехр(—2Фо) + 0(х2), (10)

£ = 1 + 0(*) (И)

где х = р/Щ и Фо есть (вообще говоря ненулевое) значение ди-латонного поля в начале координат.

Система уравнений (5)-(8) с начальными условиями (9)-(11) интегрировалась численно, используя метод Рунге-Кутта. Оказалось, что решения, удовлетворяющие асимптотически плоским граничным условиям, как и в случае решения Бартника-Мак-Киннона для системы Эйнштейна-Янга-Миллса, существуют только для некоторых дискретных значений параметров, определяющих решение; в нашем случае такими параметрами оказываются Ь и Фо- Каждому решению с натуральным п (количество нулей ЯМ функции /) соответствует своя пара значений параметров 6 и Фо- В таблице 2.1 показаны значения параметров 6 и Ф0 для первых низших значений п, найденных численно, вместе с соответствующими значениями АДМ массы и дилатонного заряда.

Таблица 2.1

п 6 Фо его M D

1 1.0718 0.9300 0.3936 0.5777 0.5782

2 8.3612 1.7923 0.1665 0.6850 0.6852

3 53.8351 2.6320 0.0678 0.7035 0.7042

Полученные регулярные решения соединяют два различных (для нечетных п) вакуума поля Янга-Миллса: / = -1 в начале сферической системы координат и /(оо) = ±1 на бесконечности. Топологическую природу построенных решений иллюстрирует число Черна-Саймонса поля Янга-Миллса, непосредственное вычисление которого дает Nos — 1/2 для решений с нечетным п (которые соединяют два различных ЯМ вакуума) и Mes = 0 для решений с четным п.

В случае черной дыры возникает дополнительный размерный параметр Гц - радиус внешнего горизонта событий черной; при любом фиксированном значении гц каждая ветвь решения вблизи горизонта (а значит и везде вне горизонта) определяется, как и в регулярном случае, двумя параметрами.

Оказалось, что асимптотически плоские решения типа черных дыр с нетривиальными дилатонной и ЯМ функциями существуют для дискретного набора параметров /я и Фя при фиксированном произвольным образом значении радиуса горизонта гц. Каждое решение вновь характеризуется числом п нулей янг-миллсовской функции / и, значит, полное семейство таких чер-нодырных решений является двухпараметрическим в терминах гц и п. Решения имеют относительно различный вид в зависимости от "размера" черной дыры, т.е. от величины радиуса горизонта событий гя-

Для неабелевой черной дыры с произвольным радиусом горизонта событий ЯМ функция / принимает на горизонте невакуумные значения /я Ф ±1 и тензор энергии-импульса ЯМ и ди-латонного полей отличен от нуля, что в свою очередь изменяет температуру горизонт событий черной дыры.

Глава 3. В главе 3 асимптотически плоские магнитно заряженные черные дыры с неабелевыми волосами построены в ¿4/(3) секторе теории суперструн в четырех измерениях.

В теории Эйнштейна-Янга-Миллса группа 5С/(3) оказывается наиболее простой, для которой нелинейная суперпозиция ку-лоновского поля и неабелева ЯМ волоса не запрещена теоремой об отсутствии неабелевых волос у черной дыры. Показано, что заряженные неабелевы черные дыры с соответствующей модификацией благодаря дилатонному полю могут существовать и в струнной теории. Однако, такие черные дыры имеют совершенно другую структуру в экстремальном пределе по сравнению с теорией ЭЯМ.

Сферически симметричная Б1}(3) связность поля Янга-Мил-лса может быть классифицирована в терминах вложенной ви(2) подгруппы. Для наших целей подходящим оказывается вложение с изоспином-1 (другой случай с изоспином 1/2 сводится к 5(7(2) связности) и в калибровке Ао — 0 (мы рассматриваем чисто магнитные конфигурации) компоненты Б11 (3) связности имеют

вид

дА{ = Гве.у ^(1 — К) + (еиахр + и.рХа^Кх . (12)

Здесь Та = 5(^7,— Л5,Л2) _ нормированные эрмитовы генераторы 50(3) подгруппы (со стандартными обозначениями матриц Гелл-Манна А„), а,/? = 1,2,3 отвечают матричным индексам, д - константа связи, и К, Кг действительные функции радиальной переменной. Мы налагаем также дополнительное требование на ЯМ функции К = К\ = //2\/2, которое дает возможность получить конфигурации с фиксированным значением магнитного заряда Р = -\/3/2.

Как и в главе 2 ищутся сферически симметричные асимптотически плоские решения с нетривиальной ЯМ функцией /. Решения можно параметризовать при любом фиксированном значении Гц радиуса горизонта событий двумя параметрами Фн и /я, которые соответствуют (конечным) значениям дилатонного поля и ЯМ функции / на горизонте событий черной дыры.

Численное интетрирование соответствующей системы показало, что асимптотически плоские решения существуют для любого значения радиуса горизонта событий только для ряда дискретных значений параметров /я и Фя; каждое решение семейства вновь можно пометить числом п ЯМ функции /.

В случае системы Эйнштейна-Янга-Миллса (без дилатона) для Би(3) неабелевых заряженных черных дыр существует критическое минимальное значение радиуса горизонта х™", для которого при котором еще возможен неабелев ЯМ волос у экстремальной магнитно заряженной черной дыры типа Рейсснера-Нордстрема. При значениях хц < х™п заряженных черных дыр с неабелевым 5(/(3) волосом не существует.

В рассмотренном случае ЭЯМД системы, следующей из теории суперструн, семейство заряженных неабелевых 5{/(3) струнных черных дыр существует при любом бесконечно малом значении радиуса горизонта событий.

Предельные неабелевы решения с хц — О представляют особый интерес благодаря интригующим свойствам экстремальных заряженных абелевых струнных черных дыр. Чтобы исследовать вопрос о существовании более широкого семейства экстремальных магнитно заряженных черных дыр в неабелевом 5(7(3) секторе, находим следующее единственно возможное неабелево

семейство формальных решений вблизи начала координат

Д = ^(1-*г2) + 0(г6), (13)

<т = <r0r(l + ¿fcr2) + O(r5), (14)

2 г2

ехр(—2Ф) = —(1 + Jfcr2) + 0(г6), (15)

О

/ = _ 1 + 6г2 + ^V + 0(г6), (16)

где к, Ь и <То ~ некоторые свободные параметры, являющиеся действительными константами.

Далее мы вновь используем описанную выше стратегию получения численных решений чтобы согласовать разложения (13)—(16) вблизи г = 0 с требованием асимптотической плоскостности на бесконечности. Численное интегрирование методом Рунге-Кутта показывает, что существуют асимптотически плоские решения с произвольным числом п нулей ЯМ функции /; каждое решение с фиксированным п существует при определенном значении параметров к, Ь и сто- В таблице 3.1 представлены численные результаты для п = 1,2,3, абелев случай п = 0 дан для сравнения.

Таблица 3.1

п к 6 <го м D

0 -1.33333 0 1.6330 0.6124 0.6124

1 -2.15396 1.076983 1.6330 0.6878 0.6881

2 -7.1271 8.502646 1.6330 0.7036 0.7039

3 -37.7495 54.43737 1.6330 0.7062 0.7065

Абелево решение с п = 0 соответствует Г/(1) экстремальной дилатонной черной дыре с магнитным зарядом равным Р = \/3/2; именно такой магнитный заряд имеют и все построенные неабелевы конфигурации (независимо от числа п) благодаря нетривиальному вложению 11(1) магнитного заряда в группу 517(3), задаваемому анзацем (12) для ЯМ связности. Как и в 5(7(2) случае ЯМ функция интерполирует между значениями —1 при г = 0 и (-1)"+1 на бесконечности. Только теперь г = О не регулярная точка начала координат, а точка сингулярности черной дыры, где еще расположен горизонт событий. ЯМ волос, описываемый функцией / остается всюду конечным, в том

числе и при г = 0. Число Черна-Саймонса поля Янга-Миллса для полученных экстремальных конфигураций, как и для регулярных БII(2) решений разно Ысв — 1/2 для решений с нечетным п и = 0 для решений с четным п.

Глава 4. В главе 3 экстремальные магнитно заряженные черные дыры с неабелевым волосом были построены для единственного магнитного заряда Р = \/3/2, допускаемого нетривиальным вдожением подгруппы БЦ(2) в группу 5(/(3) поля Янга-Миллса. В главе 4 показано, что в рамках группы 5С/(2) х (7(1) такие экстремальные решения существуют для произвольного значения I! (1) магнитного заряда q.

Численные значения параметров 6 и к (мы вновь фиксируем масштаб наложением условия Фо = 0) для решений с п = 0,1,2,3 приведены ниже в таблице при двух произвольных значениях [/(1) магнитного заряда д2 = 1 и = 10. Решения с п = 0 соответствуют абелевым {/(1) корнукопионам, для которых известно также аналитическое представление.

п q2 =10

к Ь М к 6 М

0 1 0 0.707 0.1 0 2.236

1 2.37 0.592 0.942 0.121 0.093 2.323

2 10.6 4.674 0.990 0.250 0.736 2.341

3 61.1 29.95 0.998 1.046 4.713 2.344

Для исходной системы уравнений найден первый интеграл, который для регулярных решений, построенных в главе 2 и экстремальных заряженных абелевых и неабелевых черных дыр приводит к точному соотношению

доо = ехр(—2(Ф — Фо))- (17)

Метрика суперструны связана с метрикой, входящей в действие (1), через конформное преобразование g,tring — ¿2*9Е1 nst., где Ф - дилатон; метрика gEimt называется метрикой в эйнштейновской системе отсчета. Таким образом, (17) есть условие, при котором метрика струны имеет "синхронный" вид, а именно

ds]trin3 = ехр(2Фу4;„„ = dr2 (18)

с dr = ехр(Ф0)Л. Теперь, подставляя в (17) асимптотические выражения для доо и Ф , сразу получаем точное равенство для

А ДМ массы и дилатонного заряда Б — М, что было найдено численно в главах 2 ,3 с точностью до 0.001.

Из (18) видно,что для всех значений п интервал в метрике струны при г —► 0 действительно описывает бесконечно "глубокую" горловину <^,„-„0 = ¿г2 — 8д2(<Лпг)2 — 2с той же переменной г, как и в (18). Метрика на поверхности струны действительно оказывается несингулярной (все компоненты тензора Римана имеют конечные значения всюду, в том числе и на "дне" бездонной горловины при г = 0).

Обратимся теперь к термодинамическим аспектам физики не-абелеых черных дыр в теории суперструн.

Чтобы вывести I закон термодинамики черных дыр, выразим АДМ массу М из уравнений Эйнштейна как функционал от функций / и Ф, зависящий от трех свободных параметров гд, q и (вообще говоря) Фо:

М=Ц- ехр(— / вйг) + ^ / <*г(г2Ф'2 + ^е"2*) ехр(- / в<1г). * -ЗтН Згн Г

(19)

Оп-вЬеИ вариация (вариация на уравнениях движения) функционала М по параметрам гд, д и Фо как раз дает I закон термодинамики

6М = Т6Б + 11^-06Фо, (20)

где Б = тггд имеет смысл энтропии, Т - температура, и

г оо

/ У^г (21)

Ич = Ч

¿г„

имеет смысл химического потенциала для (7(1) магнитного заряда q.

Чтобы проверить согласованность полученных термодинамических выражений, вычислим евклидово действие для нашей системы 1е = 1в + 1т- Положив т — И и используя уравнения движения, мы получаем для гравитационной части действия

1 /•<*> 1 к = г тп<т'<1г+—{<т(тгУ-<т'А} , (22)

1 •'ГЦ Л Г=гн

где поверхностный член, вычисляемый на горизонте событий, появляется из полной производной, содержащейся в / дви-

жения). Выражение для действия полей материи на уравнениях

движения упрощается и имеет вид:

1 f°° 1 г°°

Im = vrJr dra^'7 + Fe~2*) = fjr dram'- (23)

Первое слагаемое в (22) комбинируется с (23) и дает полную производную; в результате окончательно получаем Ie — F/T, где F = М — TS по определению есть свободная энёргия. Таким образом, теоретико-полевое определение энтропии дает то же самое геометрическое значение 5 = nrj¡.

В пределе экстремальных струнных черных дыр (неабелевых и абелевых) при гя —► 0 с фиксированным значением Í7(l) магнитного заряда q, энтропия стремится к нулю, а температура остается ненулевой и равной для всего семейства неабелевых черных дыр с произвольным п температуре í/(l) "рога изобилия" , имеющего такой же магнитный заряд q

Г„ = Го = .(гя)Д'(гя)/4. = rl^- = (24)

Напротив, химический потенциал , функционально зависящий от функций а и Ф, принимает различные значения для решений с различным п.

Принимая во внимание поведение ЯМ функции / для экстремальных неабелевых струнных черных дыр, представляется привлекательным интерпретировать полученные неабелевы заряженные решения с Мп = Dn как гетеротические сфалероны, разделяющие топологически различные ЯМ вакуумы на фоне í/(l) "рогов изобилия" ; "рога изобилия" при этом являются возможными точными фоновыми конфигурациями суперструны.

Построим семейство путей в функциональном пространстве Sí/(2) х {/(1) ЭЯМЛ теории, соединяющих два различных соседних (в смысле значений топологического индекса поля ЯМ ЯМ вакуума: {Зр1/(Л),.ДДА), Ф(А), ЛМ(Д)}, где А € [0,тг] - натуральный параметр на кривой, определяющей путь в функциональном пространстве, и

Л„(А) = г"1 "/^СЧС/-1, U = exp(2¿AL1), (25)

¿9

Дилатонное поле благодаря соотношению (25) определяется вдоль всего пути после того, как метрика <7/и/(А), предполагающаяся в форме (2) с метрическими функциями т(А) = г/2—Д/(2г)

и <т(А) получена вдоль всего пути из (off shell) G° и GrT уравнений Эйнштейна с Л-зависимым тензором энергии-импульса. В результате получаем, что каждый путь представляет из себя семейство конфигураций с таким же магнитным (7(1) зарядом q и с таким же поведением вблизи "дна" горловины г = 0, как и начальное (при А = 0) вакуумное состояние.

Функционал т( А) при каждом фиксированном К (г) имеет два минимума на концах пути, т.е. m(0) = m(ir) = Л/а, где Мо -АЛМ масса <7(1) "рога изобилия", а также максимум в средней точке пути ш(тг/2) = Замечательным оказывается факт,

что вариация функционала m(А = 7г/2 массы по функциям с(г), К(г), Ф(г) дает систему ЭЯМЛ уравнений, эквивалентную системе исходной системе, для которой мы уже построили ранее множество нетривиальных решений. Теперь среди континуума построенных путей, соединяющих соседние SU(2) ЯМ вакуумы в секторе (7(1) "рогов изобилия", выделим такие, для которых К(г) = /п(г) в (36), где /„ - неабелево S{/(2) решение системы с п нулями ЯМ функции /, причем п- нечетное. Для таких путей наше каждое n-ое неабелево решение лежит в точке А = эг/2, которая является стационарной точкой функционала массы т(А) по построению и , кроме того, является седловой точкой. Напомним, что т(тг/2) = = М„ - АДМ масса n-ного неабе-лева решения системы. Если взять параметр А зависящим от времени с граничными условиями А(< = —оо) = 0 и А(< = сю) = тг и с помощью калибровочного преобразования избавиться от неизбежно возникающей электрической Ао компоненты SU(2) ЯМ связности, то получим, что такие пути (с К = /„) соединяют ЯМ вакуумные состояния с отличающимися на единицу значениями топологического индекса. Отсюда заключаем, что построенные нами заряженные неабелевы решения лежат в стационарных сед-ловых точках потенциального барьера, разделяющего топологически различные ЯМ вакуумные состояния в секторе t/^l) "рогов изобилия" теории и, таким образом, играют роль заряженных гетеротических сфалеронов.

Аналогичным образом, незаряженные регулярные SU(2) решения с нечетным п, построенные в главе 2, играют роль незаряженных регулярных сфалеронов, которые соединяют топологически различные ЯМ вакуумы, лежащие в плоском пространстве-времени.

Глава 5. В главе 5 анализируются классические решения евклидизнрованной связанной системы уравнений Эйнштейна-Янга-Миллса с космологической постоянной, которая является частным случаем полевой теории, возникающей при рассмот-реннии суперструны. Действие в такой модели имеет вид:

5 = lib / -R) + С *"П (26)

, где однородная и изотропная метрика параметризована двумя функциями евклидова времени N(r) и а(г)

ds2 = N2 dr2 + a2(dX2 + sin2 x (dû2 + sin2 6d<p2)). (27)

Связность для поля Янга-Миллса с калибровочной группой SU(2) ( обобщение на группы SU(N), N > 2 производится аналогично, следуя работам ), симметричная относительно группы вращений в евклидовом пространстве-времени S0(4), может быть записана в общем случае в терминах одной функции действительной переменной <т(т) (г - евклидово время ) следующим образом

Л0=0, eAJ = ¿(cr(r) + l)UdjU-1;

U = ехр [¿х (sin 9(ах eos <¿> + <tv sin <р) + <r* cos в)]. (28)

Евклидовы кротовые норы с полями Янга-Миллса являются несамодуальными решениями уравнений Эйнштейна-Янга-Миллса с конечным действием, имеющие топологию горловины. Физически они могут быть интерпретированы как описывающие туннельный переход под классически непреодолимым баръером из вселенной типа Фридмана-Робертсона-Уолкера, где в тензоре энергии-импульса доминирует поле ЯМ, в инфляционирующую вселенную де-Ситтера, где в ТЭИ уже доминирует космологическая постоянная .

Наш результат состоит в том, что показано существование определенного значения для космологической постоянной, связанное со значением калибровочной константы связи поля ЯМ,

А = (3/4)М2е2, (29)

для которого существует непрерывное семейство кротовых нор. Такие кротовые норы, в отличие от известных ранее, могут

иметь любые значения топологического заряда в интервале [0,1] и, следовательно, образуют непрерывное семейство решений типа кротовых нор, интерполирующих между инстантоном и мероном. Замечательным свойством кротовых нор из построенного непрерывного семейства является также точное равенство нулю полного евклидова действия; положительный вклад от поля Янга-Миллса точно компенсируется отрицательным вкладом в действие от гравитационного поля.

В заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертации.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

ЛИТЕРАТУРА

1. Donets Е.Е., Gal'tsov D.V. Stringy sphalerons and non-Abelian black holes // Phys. Lett. 1993. V. B302. P. 411-418.

2. Donets E.E., Gal'tsov D. V. Charged stringy black holes with non-Abelian hair // Phys. Lett. 1993. V. B312. P. 392-397.

3. Donets E.E., Gal'tsov D.V., Volkov M.S. Non-Abelian cornucopions // Preprint CINVESTAV-GRG-10. Mexico. 1993.

4. Donets E.E., Gal'tsov D. V. Continuous family of Einstein-Yang-Mills wormholes // Phys. Lett. 1992. V. B296. P. 311-315.

5. Donets E.E., Gal'tsov D. V. YVormhole solutions in coupled Einstein-Yang-Mills-Axion system // in "Classical and Quantum Gravity"; Proc. of First Iberian Meeting on Gravity. Evora, Portugal, Sept. 21-26. Editors: M.Bento, J.Mourao, O.Bertolaini and R.Picken. WS, Singapore, 1994. P. 289-293 .

6. Gal'tsov D. V., Donets E.E. Non-Abelian topological solutions in stringy gravity // Int. J. Mod. Phys. A. 1994 (в печати).