Неминимальное взаимодействие гравитационного и калибровочных полей тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

/У

Заяц Алексей Евгеньевич

Неминимальное взаимодействие гравитационного и калибровочных полей

Специальность 01 04 02 — теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань — 2008

003164538

Работа выполнена на кафедре теории относительности и гравитации Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Казанский государственный университет имени В И Ульянова-Ленина»

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор Балакин Александр Борисович

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук Бронников Кирилл Александрович,

кандидат физико-математических наук, доцент Попов Аркадий Александрович

Ведущая организация-

Сибирский федеральный университет, г Красноярск

Защита состоится «_6_» марта 2008 г в 14 час. 30 мин на заседании Диссертационного совета Д 212 081 15 в Казанском государственном университете по адресу. 420008, г. Казань, ул. Кремлевская 16а, ауд

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им Н И Лобачевского Казанского государственного университета. Автореферат разослан « 22 » января 2008 г

Ученый секретарь Диссертационного совета,

110

профессор

М В Еремин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы

Неминимальная теория поля (скалярного, векторного и тензорного) приобрела в последние два десятилетия особую актуальность, и в подтверждение тому можно привести четыре аргумента. Во-первых, крупнейшее открытие последних лет в области космологии — ускоренное расширение Вселенной — потребовало введения новой экзотической субстанции, так называемой «темной энергии»; неминимальная теория поля, основанная на введении взаимодействия известных физических полей с кривизной, является альтернативным подходом и также способна объяснить данный космологический феномен Во-вторых, при исследовании объектов с нетривиальной топологией, таких как кротовые норы, возникает необходимость введения субстанций с экзотическим уравнением состояния, например, фантомного поля, и в этом случае неминимальная теория поля способна представить достойную альтернативу В-третьих, появились явные примеры того, что проблема сингулярностей, возникающих в теориях гравитации, может быть решена в рамках неминимальной теории поля Наконец, по справедливому замечанию Р Фейнмана, нелокальное расширение теории поля неминуемо приводит к учету взаимодействия физических полей с кривизной, что является краеугольным камнем неминимальной теории поля

В настоящий момент неминимальная теория поля представлена хорошо разработанными абелевыми моделями взаимодействия скалярного и электромагнитного полей с кривизной пространства-времени Актуальной проблемой становится расширение идей и методов абелевой неминимальной теории поля на случай неабелевых взаимодействий Настоящая работа посвящена изучению неминимальной теории Эйнштейна-Янга-Миллса как одного из фрагментов общей неминимальной неабелевой теории поля

Цели и задачи диссертационной работы

Целью диссертационной работы является построение неминимальной трехиараметрической модели Эйнштейна-Янга-Миллса, изучение ее общих свойств и поиск точных решений уравнений гравитационного и калибровочного полей

В диссертационной работе решаются следующие задачи

1 Вывод модифицированной самосогласованной системы уравнений гравитационного и калибровочного полей с учетом неминимального взаимодействия

2 Исследование структуры и свойств эффективного тензора энергии-импульса калибровочного поля в трехиараметрической неминимальной модели

3 Получение и исследование точных статических сферически симметричных решений, описывающих гравитационное и калибровочное поля точечных магнитных монополей, электрических зарядов и дионов

4 Построение и изучение свойств точных решений, описывающих кротовые норы, поддерживаемые сферически симметричным магнитным полем, неминимально взаимодействующим с кривизной

5 Исследование точных космологических решений в неабелевых неминимальных моделях с отличной от нуля космологической постоянной

6 Приложение неминимальной теории к исследованию траекторий безмассовых пробных частиц в окрестности гравитирующего центра, при наличии неминимального взаимодействия между гравитационным полем и калибровочным полем, описывающим данную частицу

Научная новизна

В диссертации получены следующие новые результаты

1 Найдено новое точное решение самосогласованной системы уравнений Эйнштейна-Янга-Миллса, являющееся неминимальным трехпараметрическим обобщением решения для монополя Ву-Янга. Предъявлено однопараметрическое семейство решений, для которого метрика гравитационного поля, создаваемого магнитным монополем, не имеет сингулярностей

2 Получены новые точные решения для неминимального монополя Ву-Янга в модели Драммонда-Хатрелла, характеризующиеся регулярной метрикой и одним, двумя или тремя горизонтами в зависимости от величины параметра неминимального взаимодействия

3 Впервые для неминимальной модели Эйнштейна-Янга-Миллса получено точное решение, описывающее проходимую кротовую нору, поддерживаемую сферически симметричным калибровочным полем магнитного типа

4 Впервые получены космологические решения в неминимальной самосогласованной модели Эйнштейна-Янга-Миллса с неабеле-вым калибровочным полем Для указанных решений метрика пространства-времени совпадает с метрикой де Ситтера, тензор индукции калибровочного поля тождественно равен нулю при отличной от нуля напряженности поля

5 Динамика безмассовых частиц в окрестности неминимального монополя Ву-Янга с регулярной метрикой исследована с двух позиций аналитически построены эффективные (цветные, оптические) метрики и численно смоделированы траектории частиц для различных значений прицельного параметра Благодаря этому установлено, что сингулярности в эффективных метриках имеют

динамический характер и связаны с точками возврата и самопересечения траекторий

Достоверность результатов диссертации

Достоверность результатов обеспечивается тем, что в диссертации рассматриваются точные решения полной самосогласованной системы уравнений Эйнштейна -Янга-Миллса Найденные решения проверены с помощью программы аналитических расчетов Maple V Release 4 Достоверность выводов и научных положений диссертации подтверждается согласием полученных результатов с известными результатами в предельных случаях

Научные положения, выносимые на защиту

1 Полученное в работе трехпараметрическое семейство точных решений самосогласованной системы неминимально модифицированных уравнений Эйнштейна-Яига-Миллса, определяемое параметрами неминимального взаимодействия q\, <72, 73 и представляющее собой неминимальное обобщение сферически симметричного решения, известного как монополь Ву-Янга, содержит одно параметрическое подсемейство решений с регулярной метрикой, не содержащей горизонтов

2 Среди точных решений в неминимальной модели Эйнштейна-Янга-Миллса с одним, двумя, тремя и более горизонтами существуют классы регулярных решений (например, в обобщённой модели Драммонда Хатрелла) и решения, имеющие сингулярности различных типов (модели с rjj — 0, <73 = —<\q> с магнитным зарядом, модели с <7i f (72 - 0, <73 = 0 и 3q\ + <72 = 0, </з = 0 с электрическим зарядом, модель с q> ал - 0 для диона)

3 Сферически симметричное калибровочное поле магнитного типа при специальном выборе параметров неминимального взаимодействия </i, q2, q,i обеспечивает существование проходимых кротовых

нор Данные кротовые норы обладают положительной асимптотической массой, которая зависит от радиуса горловины кротовой норы и ограничена снизу значением, соизмеримым с планковской массой

4 Неминимально самодуальное неабелевое калибровочное поле с нулевой индукцией и отличной от нуля напряженностью обеспечивает формирование регулярной изотропной космологической модели Вселенной деситтеровского тина

5 Неминимальное взаимодействие собственного калибровочного поля пробных безмассовых частиц с гравитационным полем неминимального монополя Ву-Янга вызывает эффект, аналогичный двойному лучепреломлению в оптике, и приводит к появлению точек возврата и самопересечения в траекториях частиц Неминимальный монополь Ву -Яига играет роль рассеивающего центра для потока безмассовых частиц с различными значениями прицельного параметра

Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Международной конференции по гравитации, космологии, астрофизике, посвященной 90-летию со дня рождения проф К П Станюковича (Москва, 2006), XIII Международной конференции «Физические интерпретации теории относительности» (Москва, 2007), семинарах отдела теоретической физики Констанцкого университета (Констанц, Германия, 2006), кафедры теории относительности и гравитации Казанского государственного университета, кафедры геометрии ТГТПУ, итоговых научных конференциях КГУ (2006, 2007 гг.)

Публикации

Основное содержание диссертации отражено в десяти публикациях, среди которых три статьи опубликованы в зарубежных журналах

(Physics Letters В, Physical Review D), одна статья в российском журнале «Гравитация и космология» (Gravitation and Cosmology), три статьи в трудах конференции и две — в архиве электронных препринтов библиотеки Корнеллского университета и одном тезисе доклада

Структура и объём работы

Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения и списка литературы Общий объем диссертации составляет 122 страницы. Список литературы содержит 160 наименований

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава 1 посвящена построению трехпараметрической неминимальной модели Эйнштейна-Янга-Миллса В § 1 1 изложен обзор современного состояния теории неминимального взаимодействия гравитации со скалярным, электромагнитным и неабелевым калибровочным полями Параграф 1 2 содержит описание общего формализма калибровочных полей и минимальной модели Эйнштейна-Янга-Миллса Параграф 1 3 посвящен построению неминимальной модели с лагранжианом взаимодействия, линейным по компонентам тензора кривизны и квадратичным по компонентам тензора напряженности калибровочного поля

г _ ^ тлЬтрМп /i\

вз ~ 2 гк mnW ' ^ '

пгкшп (дгтдкп - дгпдкт) +

+ Ц (Rimgkn - Ringkm + Rkngirn - Rkmgin^j + q3Rlkmn, (2)

получению полевых уравнений с помощью вариационного принципа, изучению свойств тензора энергии-импульса калибровочного поля в рассматриваемой модели

В главе 2 рассмотрены примеры статических сферически симметричных решений в неминимальной теории В § 2 2 получено точное

решение самосогласованной системы уравнений Янга-Миллса, представляющее собой неминимальное обобщение монополя Ву-Янга Из трехпараметрического семейства найденных решений выделено и детально изучено несколько однопараметрических подмоделей-

• Сингулярная модель (<71 = 0, 53 = — 492) представляющая собой простейшее неминимальное обобщение метрики Рейсснера-Нордстрема

¿з2 = М{г)<И2 - -щ^ - г2 (йв2 + зш2 0V) ,

+ £ + £ (з)

Функция ЛГ(г) обращается в бесконечность в начале координат, как и в модели Рейсснера-Нордстрема, но в отличие от последней, метрика (3) может содержать до трех горизонтов, в зависимости от соотношений между параметрами

• Модель Драммонда-Хатрелла (дх — —5д < 0, <72 = 13д, <73 = — 2д) В этой модели метрическая функция Ы{г)

*<г) =(! + !£)

1 г 2 М к 2ка

(4)

всюду конечна и в начале координат принимает отрицательное значение N(0) = —2/5 Метрика пространства-времени имеет один, два или три горизонта, а сингулярность в начале координат является слабой, или конической

Регулярная однопараметрическая модель (<71 = — ц < 0, Я2 — 4<7, <73 = ~6д)

... ч , 72(К~4МГ) ...

^ = 1 + 2(г4 + ^) (5)

Функция Ы(г) всюду является конечной и в начале координат принимает значение N(0) = 1 Инварианты кривизны Я, Я^Д1*,

ИгктпК1ктп конечны при любом г Когда масса монополя М меньше некоторого критического значения, метрика в данной модели не имеет горизонтов В противном случае, она содержит один или два горизонта

В § 2 3 рассмотрена задача о нахождении калибровочного и гравитационного полей, создаваемых точечным зарядом электрического типа В случае, если параметры неминимального взаимодействия связаны соотношениями + дг = 0, дз = 0 или 3^1 + 92 = 0, дз = О, предъявлены точные решения В § 2 4 обсуждается случай точечного диона, то есть частицы, несущей заряды магнитного и электрического типов Если магнитный и электрический заряды равны и <?2 = <7з = О, решение получено в явном виде В остальных случаях решения предъявлены в виде разложений по степеням 1 /г

Глава 3 посвящена изучению кротовых нор в неминимальной модели Эйнштейна-Янга-Миллса В § 3 3 показано, что в модели с магнитным монополем Ву-Янга и константами неминимального взаимодействия

а

4 10а4 а2 4а4 2а2

91 = —. 42 = —г— - у , <73 = -^- + ^- (6)

гъ О/Ч- О Огх О

существует решение, описывающее кротовую нору с радиусом горловины, равным параметру а Такие решения были получены в явном виде В результате анализа предъявленных решений показано, что при сравнительно больших значениях радиуса горловины (а > 0 5у/к) кротовая нора является проходимой, в остальных случаях — непроходимой, так как тогда горловина будет окружена горизонтами. Асимптотическая масса полученной кротовой норы достигает своего минимального значения при а = 0 545 у/к

В главе 4 рассматриваются изотропные космологические неминимальные модели с неабелевыми калибровочными полями В § 4 1 введено понятие неминимальной самодуальности для калибровочных полей

= 4а) + V"1"1 (7)

Получены точные решения самосогласованной системы неминимальных уравнений Эйнштейна и Янга-Миллса с нулевой индукци-еи калибровочного ноля, для которых напряженность поля Янга Миллса отлична от нуля В § 4 2 показано, что условие (7) является справедливым для любого поля если А - 0 и тензор немини-

мальной восприимчивости 7?,/,„!„ (2) имеет вид

Л-гктп — УгтЗкп ~ УгпЯкт) (8)

Если условие (8) выполняется, то неминимально модифицированное уравнение Янга-Миллса обращается в тождество В § 4 3 приведены примеры точных решений уравнений Эйнштейна для случаев (¡\ -42 = о и <72 = <7з - о

Глава 5 посвящена исследованию уравнения эйконала в рамках модели с регулярной фоновой метрикой (5) при А/ = 0, описывающей неминимальный магнитный мопополь Ву -Янга без горизонтов В § 5 3 построены оптические и цветные метрики, демонстрирующие наличие эффекта двойного лучепреломления, индуцировапного неминимальным взаимодействием гравитационпого ноля монополя и собственного калибровочного ноля пробной частицы Параграф 5 4 посвящен численному моделированию траекторий безмассовых частиц В заключении перечислены основные результаты диссертации

Основные результаты

1 Построена трехпарамстрическая самосогласованная неминимальная модель Эинштейна-Янга-Миллса с лагранжианом взаимодействия, линейным по компонентам тензора кривизны и квадратичным по компонентам тензора напряжённости калибровочного поля, проанализированы структура и свойства модифицированных уравнений гравитационного и калибровочного полей

2. Получено трехпарамстричсскос семейство точных решений самосогласованной системы неминимально модифицированных уравнений Эйнштейна и уравнений Янга-Миллса, которое определяется параметрами неминимального взаимодействия <71, д? <7з и

представляет собой неминимальное обобщение сферически симметричного решения, известного как монополь Ву-Янга

3 Детально изучены примеры одно- и двухпараметрических семейств точных решений, описывающих неминимальный монополь Ву-Янга, для которых решения представлены в явном аналитическом виде В частности, показано, что в модели cq\ = —д, дг = 4д, дз ~ ~6д метрика пространства-времени всюду регулярна, а если масса монополя меньше критического значения, то горизонты отсутствуют, для модели <71 = — 5д, <72 = 13д, дз = —2д (обобщение модели Драммонда-Хатрелла) метрика регулярна, но имеет один, два или три горизонта в зависимости от величины параметра д, в моделях с д! = 0, дз = —4дг и 6<л + 4д2 + дз = 0 метрика сингулярна

4 Получены два однопараметрических семейства точных решений в модели, описывающей точечный калибровочный заряд электрического типа (модели с дх + дг = 0, дз = 0 и Здх + дг = О, дз = 0), а также точечный дион с равными по абсолютной величине электрическим и магнитным зарядами (модель с д2 = дз = 0)

5 Получено однопараметрическое семейство точных решений, описывающих проходимые кротовые норы, поддерживаемые сферически симметричным магнитным полем, которое неминимально взаимодействует с кривизной Показано, что данные кротовые норы обладают положительной асимптотической массой, которая зависит от радиуса горловины кротовой норы и ограничена снизу значением, соизмеримым с планковской массой

6 Получены точные решения самосогласованной системы неминимальных уравнений Эйнштейна и Янга-Миллса для двух изотропных космологических моделей деситтеровского типа с нулевой индукцией калибровочного поля (модели с дх = дг = 0 и д2 = дз = 0), для которых напряженность поля Янга-Миллса отлична от нуля

7 В рамках модели с регулярной фоновой метрикой, описывающей неминимальный магнитный монополь Ву-Янга без горизонтов, исследовано уравнение эйконала Построены оптические и цветные метрики, демонстрирующие наличие эффекта двойного лучепреломления, индуцированного неминимальным взаимодействием гравитационного поля монополя и собственного калибровочного поля пробной частицы Компьютерное моделирование траекторий пробных безмассовых частиц вблизи неминимального монополя показало, что монополь играет роль рассеивающего центра, а траектории содержат точки возврата и самопересечения

Публикации по теме диссертации

1 Balakm А В , Curvature coupling in Einstein-Yang -Mills theory and non-minimal s elf-duality / А В Balakm, A E Zayats//Gravitation and Cosmology — 2006 — Vol 12 — P 302-306

2 Balakm А В , Non-minimal Wu- Yang monopole /AB Balakm, A E Zayats // Physics Letters В - 2007 — Vol 644 — P 294298

3 Balakm А В , Nonminimal Wu-Yang wormhole / А В Balakm, S V Sushkov, A E Zayats//Physical Review D -2007 - Vol 75 - 084042 - 7 p

4. Balakm А В , Nonminimal Einstein- Yang-Mills-Higgs theory Associated, color and color-acoustic metrics for the Wu-Yang monopole model / А В Balakm, H Dehnen, A E Zayats // Physical Review D - 2007 - Vol 76 - 124011 - lip

5 Заяц A E , Самодуальное решение уравнений Янга-Миллса с калибровочной группой осциллятора / А Е Заяц // Новейшие проблемы теории поля, т 4 / под ред А В Аминовой - - Казань Хэтер, 2004 - С 108-111

6 Заяц А Е , О сферически симметричном решении уравнений Янга-Миллса с калибровочной группой осциллятора / А Е Заяц // Новейшие проблемы теории поля, т 4 / под ред А В Амино-вой — Казань Хэтер, 2004 — С 112-114

7 Заяц А Е., Отсутствие гравитационного «эффекта Чеширского кота» в неминимальной теории Эйнштейна-Максвелла / А Е. Заяц // Новейшие проблемы теории поля, т 6 / под ред А В Аминовой. — Казань Изд-во Казан ун-та, 2007 — С 238-243

8 Balakm А. В , Nonminimal isotropic cosmological model with Yang-Mills and Higgs fields / А В Balakm, H Dehnen, A E Zayats // arxiv 0710 4992 [gr-qc]. — 15 p

9. Balakin А В , Ray optics in the field of non-minimal Dirac monopole /AB Balakm, A. E. Zayats // arxiv 0710 5407 [gr-qc] — 10 p

10 Балакин А Б , Неминимальный монополь Ву-Янга / А Б Бала-кин, А Е Заяц // Международная конференция по гравитации, космологии, астрофизике и нестационарной газодинамике (поев 90-летию проф К П Станюковича) Сб тезисов — Москва, 2006 -С 24

ц

Бумага офсетая Печать офсетная Тираж 100 экз , 16 стр Заказ №19

Типография "Первый печатный двор* 420111,гКазань.уп Университетская, 11

Общая характеристика работы

Глава 1. Неминимальная теория Эйнштейна-Янга-Миллса

§1.1 Краткий обзор.

§ 1.2 Общий формализм

§ 1.2.1 Историческая справка.

§ 1.2.2 Основные определения.

§ 1.2.3 Минимальная теория Эйнштейна-Янга-Миллса.

§1.3 Неминимальное обобщение лагранжиана.

§ 1.3.1 Конструкция лагранжиана взаимодействия.

§ 1.3.2 Примеры однопараметрических моделей.

§ 1.3.3 Тензор энергии-импульса в неминимальной теории

§ 1.3.4 «Эффект Чеширского кота» в неминимальной теории

§ 1.3.5 Эффективные метрики в неминимальной теории Эйнштейна

Янга-Миллса

Глава 2. Точные решения в сферически симметричном случае

§ 2.1 Сферически симметричная модель.

§ 2.1.1 Метрика пространства-времени.

§ 2.1.2 Сферически симметричное калибровочное поле.

§ 2.2 Неминимальный монополь Ву-Янга.

§ 2.2.1 Точные решения уравнений Янга-Миллса.

§ 2.2.2 Точные решения уравнений гравитационного поля

§ 3.2 Точные решения без центра в статических моделях со сферической симметрией .62

§ 3.3 Неминимальная кротовая нора Ву-Янга.67

§ 3.4 Заключение .71

Глава 4. Космологические модели в неминимальной теории

Эйнштейна-Янга—Миллса 74

§ 4.1 Введение.74

§ 4.2 Обобщённое условие самодуальности.75

§ 4.3 Неминимальные модели с нулевой индукцией.76

§ 4.4 Примеры точных решений.78

§ 4.5 Заключение .81

Глава 5. Оптические и цветные метрики в пространстве с неминимальным монополем 83

§ 5.1 Введение.83

§ 5.2 Ключевые уравнения и фоновые поля .84

§ 5.3 Электродинамическое описание динамики фотонов.86

-4

§ 5.3.1 Приближение геометрической оптики.87

§ 5.3.2 Оптические метрики.91

§ 5.4 Динамика фотонов.92

§ 5.4.1 Траектории фотонов.94

§ 5.4.2 Численное моделирование траекторий фотонов.97

§ 5.5 Заключение .99

Основные результаты и выводы 101

Литература 104

Общая характеристика работы

Актуальность работы

Неминимальная теория поля (скалярного, векторного и тензорного) приобрела в последние два десятилетия особую актуальность, и в подтверждение тому можно привести четыре аргумента. Во-первых, крупнейшее открытие последних лет в области космологии — ускоренное расширение Вселенной — потребовало введения новой экзотической субстанции, так называемой «тёмной энергии»; неминимальная теория поля, основанная на введении взаимодействия известных физических полей с кривизной, является альтернативным подходом и также способна объяснить данный космологический феномен. Во-вторых, при исследовании объектов с нетривиальной топологией, таких как кротовые норы, возникает необходимость введения субстанций с экзотическим уравнением состояния, например, фантомного поля; и в этом случае неминимальная теория поля способна представить достойную альтернативу. В-третьих, появились явные примеры того, что проблема сингулярностей, возникающих в теориях гравитации, может быть решена в рамках неминимальной теории поля. Наконец, по справедливому замечанию Р. Фейнмана, нелокальное расширение теории поля неминуемо приводит к учёту взаимодействия физических полей с кривизной, что является краеугольным камнем неминимальной теории поля.

В настоящий момент неминимальная теория поля представлена хорошо разработанными абелевыми моделями взаимодействия скалярного и электромагнитного полей с кривизной пространства-времени. Актуальной проблемой становится расширение идей и методов абелевой неминимальной теории поля на случай неабелевых взаимодействий. Настоящая работа посвящена изучению неминимальной теории Эйнштейна-Янга-Миллса как одного из фрагментов общей неминимальной неабелевой теории поля.

Цели и задачи диссертационной работы

Целью диссертационной работы является построение неминимальной трёхпа-раметрической модели Эйнштейна-Янга-Миллса, изучение её общих свойств и поиск точных решений уравнений гравитационного и калибровочного полей.

В диссертационной работе решаются следующие задачи:

1) Вывод модифицированной самосогласованной системы уравнений гравитационного и калибровочного полей с учётом неминимального взаимодействия.

2) Исследование структуры и свойств эффективного тензора энергии-импульса калибровочного поля в трёхпараметрической неминимальной модели.

3) Получение и исследование точных статических сферически симметричных решений, описывающих гравитационное и калибровочное поля точечных магнитных монополей, электрических зарядов и дионов.

4) Построение и изучение свойств точных решений, описывающих кротовые норы, поддерживаемые сферически симметричным магнитным полем, неминимально взаимодействующим с кривизной.

5) Исследование точных космологических решений в неабелевых неминимальных моделях с отличной от нуля космологической постоянной.

6) Приложение неминимальной теории к исследованию траекторий безмассовых пробных частиц в окрестности гравитирующего центра, при наличии неминимального взаимодействия между гравитационным полем и калибровочным полем, описывающим данную частицу.

Научная новизна

В диссертации получены следующие новые результаты:

1) Найдено новое точное решение самосогласованной системы уравнений Эйнштейна-Янга-Миллса, являющееся неминимальным трёхпарамет-рическим обобщением решения для монополя Ву-Янга. Предъявлено однопараметрическое семейство решений, для которого метрика гравитационного поля, создаваемого магнитным монополем, не имеет сингу-лярностей.

2) Получены новые точные решения для неминимального монополя Ву-Янга в модели Драммонда-Хатрелла, характеризующиеся регулярной метрикой и одним, двумя или тремя горизонтами в зависимости от величины параметра неминимального взаимодействия.

3) Впервые для неминимальной модели Эйнштейна-Янга-Миллса получено точное решение, описывающее проходимую кротовую нору, поддерживаемую сферически симметричным калибровочным полем магнитного типа.

4) Впервые получены космологические решения в неминимальной самосогласованной модели Эйнштейна-Янга-Миллса с неабелевым калибровочным полем. Для указанных решений метрика пространства-времени совпадает с метрикой де Ситтера, тензор индукции калибровочного поля тождественно равен нулю при отличной от нуля напряжённости поля.

5) Динамика безмассовых частиц в окрестности неминимального монополя Ву-Янга с регулярной метрикой исследована с двух позиций: аналитически построены эффективные (цветные, оптические) метрики и численно смоделированы траектории частиц для различных значений прицельного параметра. Благодаря этому установлено, что сингулярности в эффективных метриках имеют динамический характер и связаны с точками возврата и самопересечения траекторий.

Достоверность результатов диссертации

Достоверность результатов обеспечивается тем, что в диссертации рассматриваются точные решения полной самосогласованной системы уравнений Эйнштейна-Янга-Миллса. Найденные решения проверены с помощью программы аналитических расчётов Maple V Release 4. Достоверность выводов и научных положений диссертации подтверждается согласием полученных результатов с известными результатами в предельных случаях.

Научные положения, выносимые на защиту

1) Полученное в работе трёхпараметрическое семейство точных решений самосогласованной системы неминимально модифицированных уравнений Эйнштейна-Янга-Миллса, определяемое параметрами неминимального взаимодействия q\, <72, <?з и представляющее собой неминимальное обобщение сферически симметричного решения, известного как монополь Ву-Янга, содержит однопараметрическое подсемейство решений с регулярной метрикой, не содержащей горизонтов.

2) Среди точных решений в неминимальной модели Эйнштейна-Янга-Миллса с одним, двумя, тремя и более горизонтами существуют классы регулярных решений (например, в обобщённой модели Драммонда-Хатрелла) и решения, имеющие сингулярности различных типов (модели с cji = 0, дз = —4^2 с магнитным зарядом, модели с eft + = 0, = О и 3<2i + <?2 = 0, <?з = 0 с электрическим зарядом, модель с q2 — qz = 0 для диона).

3) Сферически симметричное калибровочное поле магнитного типа при специальном выборе параметров неминимального взаимодействия q\, <72, дз обеспечивает существование проходимых кротовых нор. Данные кротовые норы обладают положительной асимптотической массой, которая зависит от радиуса горловины кротовой норы и ограничена снизу значением, соизмеримым с планковской массой.

4) Неминимально самодуальное неабелевое калибровочное поле с нулевой индукцией и отличной от нуля напряжённостью обеспечивает формирование регулярной изотропной космологической модели Вселенной десит-теровского типа.

5) Неминимальное взаимодействие собственного калибровочного поля пробных безмассовых частиц с гравитационным полем неминимального монополя Ву-Янга вызывает эффект, аналогичный двойному лучепреломлению в оптике, и приводит к появлению точек возврата и самопересечения в траекториях частиц. Неминимальный монополь Ву-Янга играет роль рассеивающего центра для потока безмассовых частиц с различными значениями прицельного параметра.

Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Международной конференции по гравитации, космологии, астрофизике, посвященной 90-летию со дня рождения проф. К.П. Станюковича (Москва, 2006), XIII Международной конференции «Физические интерпретации теории относительности» (Москва, 2007); семинарах отдела теоретической физики Констанцкого университета (Констанц, Германия, 2006), кафедры теории относительности и гравитации Казанского государственного университета, кафедры геометрии Татарского государственного гуманитарнопедагогического университета, итоговых научных конференциях КГУ (2006, 2007 гг.).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в девяти работах, среди которых три статьи [46,48,49] опубликованы в зарубежных журналах (Physics Letters В, Physical Review D), одна статья [43] в российском журнале в российском журнале «Гравитация и космология» (Gravitation and Cosmology), три статьи [8-10] в трудах конференции и две — в архиве электронных препринтов библиотеки Корнеллского университета (http://arxiv.org) [47,52].

Структура и объём работы

Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения и списка литературы. Общий объём диссертации составляет 122 страницы. Список литературы содержит 160 наименований.

Основные результаты и выводы

Перечислим основные результаты работы.

1) Построена трёхпараметрическая самосогласованная неминимальная модель Эйнштейна-Янга-Миллса с лагранжианом взаимодействия (1.3.1), (1.3.2), линейным по компонентам тензора кривизны и квадратичным по компонентам тензора напряжённости калибровочного поля, проанализированы структура и свойства модифицированных уравнений гравитационного и калибровочного полей.

2) Получено трёхпараметрическое семейство точных решений самосогласованной системы неминимально модифицированных уравнений Эйнштейна (2.2.17), (2.2.18) и уравнений Янга-Миллса, которое определяется параметрами неминимального взаимодействия qi, q2, q:i и представляет собой неминимальное обобщение сферически симметричного решения, известного как монополь Ву-Янга.

3) Детально изучены примеры одно- и двухпараметрических семейств точных решений, описывающих неминимальный монополь Ву-Янга, для которых решения представлены в явном аналитическом виде. В частности, показано, что в модели с q\ — —q, q2 = 4q, q3 = —6q метрика пространства-времени (2.2.31) всюду регулярна, а если масса монополя меньше критического значения, то горизонты отсутствуют; для модели с/1 = —5q, q2 = 13q, ~ —2q (обобщение модели Драммонда-Хатрелла) метрика (2.2.29) регулярна, но имеет один, два или три горизонта в зависимости от величины параметра q; в моделях с q\ — 0, дз = —4^2 и 6qi + 4q2 + qs = 0 метрика сингулярна.

4) Получены два однопараметрических семейства точных решений в модели, описывающей точечный калибровочный заряд электрического типа (модели с qi + q2 = 0, = 0 и 3q\ + q2 = 0, суз = 0), а также точечный дион с равными по абсолютной величине электрическим и магнитным зарядами (модель с q2 = = 0).

5) Получено однопараметрическое семейство точных решений (3.3.7), описывающих проходимые кротовые норы, поддерживаемые сферически симметричным магнитным полем, которое неминимально взаимодействует с кривизной. Показано, что данные кротовые норы обладают положительной асимптотической массой, которая зависит от радиуса горловины кротовой норы (3.3.9) и ограничена снизу значением, соизмеримым с планковской массой.

6) Получены точные решения (4.4.6), (4.4.16) самосогласованной системы неминимальных уравнений Эйнштейна и Янга-Миллса для двух изотропных космологических моделей деситтеровского типа с нулевой индукцией калибровочного поля (модели с q\ = q2 = 0 и q2 = суз ■= 0), для которых напряженность поля Янга-Миллса отлична от нуля.

7) В рамках модели с регулярной фоновой метрикой, описывающей неминимальный магнитный монополь Ву-Янга без горизонтов, исследовано уравнение эйконала. Построены оптические и цветные метрики, демонстрирующие наличие эффекта двойного лучепреломления, индуцированного неминимальным взаимодействием гравитационного поля монополя и собственного калибровочного поля пробной частицы. Компьютерное моделирование траекторий пробных безмассовых частиц вблизи неминимального монополя показало, что монополь играет роль рассеивающего центра, а траектории содержат точки возврата и самопересечения.

- 103

В заключение автор выражает глубокую благодарность научному руководителю проф. А. Б. Балакину за постоянное внимание и поддержку при выполнении данной работы, а также всем членам кафедры теории относительности и гравитации Казанского государственного университета, принимавшим активное участие в обсуждении полученных результатов.

§5.5 Заключение

Качественный и численный анализ орбит фотонов в окрестности неминимального монополя Дирака с регулярной метрикой выявил следующие интересные особенности.

1) Распространение электромагнитных волн в окрестности неминимального монополя Дирака характеризуется двойным лучепреломлением, индуцированным кривизной, то есть фазовые скорости волн зависят от их поляризации.

2) Метрика неминимального монополя Дирака, обсуждаемая в данной главе, является регулярной, таким образом, все сингулярности оптических метрик имеют динамическую природу и вызваны неминимальным взаимодействием гравитационного и электромагнитного полей.

3) Для различных комбинаций значений прицельного параметра и параметра неминимального взаимодействия особенности траекторий фотонов (точки самопересечения, наименее удалённые точки, точки возврата и т. п.) могут быть, в принципе, найдены и систематизированы. В данной главе мы обсудили только принципиальную картину.

Как уже отмечалось выше, приведённые рассуждения могут быть естественным образом перенесены на случай распространения цветных волн в окрестности монополя Ву-Янга. Тогда оптические метрики (5.4.1), (5.4.2), (5.4.3) превращаются в цветные метрики рассмотренные в [46].

1. Баранов А. М., Точное внутреннее статическое решение для электрически заряэ/сепной звезды / А. М. Баранов, 3. В. Власов // Новейшие проблемы теории поля, т. 6 / под ред. А. В. Аминовой. — Казань : Изд-во Казан, ун-та, 2007. С. 118-121.

2. Гальцов Д. В., Классические поля / Д. В. Гальцов, Ю. В. Грац, В. Ч. Жуковский. — М. : Изд-во Моск. ун-та. — 1991. — 150 с.

3. Заяц А. Е., Самодуалъное решение уравнений Янга-Миллса с калибровочной группой осциллятора / А. Е. Заяц // Новейшие проблемы теории поля, т. 4 / под ред. А. В. Аминовой. — Казань : Хэтер, 2004. — С. 108-111.

4. Заяц А. Е., О сферически симметричном решении уравнений Янга-Миллса с калибровочной группой осциллятора / А. Е. Заяц // Новейшие проблемы теории поля, т. 4 / под ред. А. В. Аминовой. — Казань : Хэтер, 2004. С. 112-114.

5. Заяц А. Е., Отсутствие гравитационного «эффекта Чеширского кота» в неминимальной теории Эйнштейна-Максвелла / А. Е. Заяц // Новейшие проблемы теории поля, т. 6 / под ред. А. В. Аминовой. — Казань : Изд-во Казан, ун-та, 2007. С. 238-243.

6. Коноплёва Н. П., Калибровочные поля / Н. П. Коноплёва, В. Н. Попов.- М. : Эдиториал УРСС. 2000. - 272 с.

7. Ландау Л. Д., Теория поля / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — М. : Наука. 1988. - 512 с.

8. Линде А. Д., Физика элементарных частиц и инфляционная космология / А. Д. Линде. — М. : Наука. 1990. - 275 с.

9. Мизнер Ч., Гравитация / Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер. — М. : Мир.- 1977. 3 т.15| Петров А. 3., Новые методы в общей теории относительности / А. 3. Петров. М. : Наука. - 1966. - 496 с.

10. Рубаков В. А., Классические калибровочные поля / В. А. Рубаков. — М. : Эдиториал УРСС. 1999. - 336 с.

11. Синг Дж. Л., Общая теория относительности / Дж. Л. Синг. — М. : Изд-во ин. лит-ры. — 1963. — 432 с.

12. Соколов А. А., Калибровочные поля / А. А. Соколов, И. М. Тернов,

13. B. Ч. Жуковский, А. В. Борисов. — М. : Изд-во Моск. ун-та. — 1986. — 260 с.

14. Старобинский А. А., Может ли эффективная космологическая постоянная быть отрицательной? / А. А. Старобинский // Письма в Астрономический Журнал. — 1981. — Т. 7. — С. 67-72.

15. Толмен Р., Относительность, гравитация и космология / Р. Толмен.- М : Наука. 1974. - 520 с.

16. Фейнман Р. Ф., Фейнмаповские лекции по гравитации / Р. Ф. Фейнман, Ф. Б. Мориниго, У. Г. Вагнер. М. : Янус-К. - 2000. - 296 с.

17. Хуснутдинов Н. Р., Квазиклассические кротовые норы с гладкой горловиной / Н. Р. Хуснутдинов // Теоретическая и Математическая Физика.- 2004. Т. 138. - С. 297-318.

18. Червон С. В., Нелинейные поля в теории гравитации и космологии /

19. C. В. Червон. — Ульяновск : Изд-во Ульян, гос. ун-та. — 1997. —- 60 с.

20. Accioly A. J., On a nonlinear electrodynamics generated via gravitational nonminimal coupling / A. J. Accioly, N. L. P. Pereira da Silva // Physics Letters A. 1986. - Vol. 118. - P. 271-273.

21. Accioly A. J., Nonminimal coupling and Bianchi type-I cosmologies / A. J. Accioly, A. N. Vaidya, M. M. Som // Physical Review D. 1983. - Vol. 28. - P. 1853-1857.

22. Amendola L., Cosmology with nonminimal derivative couplings / L. Amendola // Physics Letters B. 1993. - Vol. 301. - P. 175-182.

23. Anchordoqui L. A., Wormhole surgery and cosmology on the brane: The world is not enough / L. A. Anchordoqui, S. E. Perez Bergliaffa // Physical Review D. 2000. - Vol. 62. - 067502. - 4 p.

24. Arellano A. V. В., Evolving wormhole geometries within nonlinear electrodynamics / A. V. B. Arellano, F. S. N. Lobo // Classical and Quantum Gravity. 2006. - Vol. 23. - P. 5811-5824.

25. Atiyah M. F., Construction of instantons / M. F. Atiyah, N. J. Hitchin, V. G. Drinfeld, Yu. I. Manin // Physics Letters A. 1978. - Vol. 65. -P. 185-187.

26. Ayon-Beato E., Nonminimally coupled scalar fields may not curve spacetime / E. Ayon-Beato, C. Martinez, R. Troncoso, J. Zanelli // Physical Review D.- 2005. Vol. 71. - 104037. - 4 p.

27. Balakin А. В., Cherenkov radiation in a gravitational-wave background / A. B. Balakin, R. Kerner, J. P. S. Lemos // Classical and Quantum Gravity.- 2001. Vol. 18. - P. 2217-2232.

28. Balakin А. В., Non-minimal coupling for the gravitational and electromagnetic fields: A general system of equations / A. B. Balakin, J. P. S. Lemos j j Classical and Quantum Gravity. — 2005. — Vol. 22. — P. 18671880.

29. Balakin А. В., Nonminimal Ernst em- Yang-Mills -Higgs theory: Associated, color and color-acoustic metrics for the Wu-Yang monopole model / A. B. Balakin, H. Dehnen, A. E. Zayats // Physical Review D. 2007. - Vol. 76. - 124011. - 11 p.

30. Balakin А. В., Nonminimal isotropic cosmological model with Yang-Mills and Higgs fields / A. B. Balakin, H. Dehnen, A. E. Zayats // arxiv: 0710.4992 gr-qc]. — 15 p.

31. Balakin А. В., Non-minimal Wu-Yang monopole / A. B. Balakin, A. E. Zayats // Physics Letters B. 2007. - Vol. 644. - P. 294-298.

32. Balakin А. В., Nonminimal Wu-Yang wormhole j A. B. Balakin, S. V. Sushkov, A. E. Zayats // Physical Review D. 2007. - Vol. 75. - 084042. -7 p.

33. Balakin А. В., Optical activity induced by curvature in a gravitational pp-wave background ( A. B. Balakin, J. P. S. Lemos // Classical and Quantum Gravity. 2002. - Vol. 19. - P. 4897-4908.

34. Balakin А. В., Optical metrics and birefringence of anisotropic media / A. B. Balakin, W. Zimdahl // General Relativity and Gravitation. — 2005. -Vol. 37. P. 1731-1751.

35. Balakin А. В., Ray optics in the field of non-minimal Dirac monopole / A. B. Balakin, A. E. Zayats // arxiv: 0710.5407 gr-qc]. 10 p.

36. Balakrishna B. S., Bogomol'nyi equations in the Einstein-Yang-Mills-Higgs system / B. S. Balakrishna, К. C. Wali // Physical Review D. — 1992. Vol. 46. - P. R5228-R5231.

37. Barcelo C., Analogue gravity / C. Barcelo, S. Liberati, M. Visser // Living Reviews in Relativity. 2005. - Vol. 8. - 12. - 113 p.

38. Barcelo C., Scalar fields, energy conditions and traversable wormholes / C. Barcelo, M. Visser // Classical and Quantum Gravity. — 2000. — Vol. 17.- P. 3843-3864.

39. Barcelo C., Traversable wormholes from massless conformally coupled scalar fields / C. Barcelo, M. Visser // Physics Letters B. 1999. - Vol. 466.- P. 127-134.

40. Bartnik R., Pariiclelike solutions of the Einstein-Yang-Mills equations / R. Bartnik, J. McKinnon // Physical Review Letters. — 1988. — Vol. 61. — P. 141-144.

41. Belavin A. A., Pseudoparticle solutions of the Yang-Mills equations / A. A. Belavin, A. M. Polyakov, A. S. Schwartz, Yu. S. Tyupkin // Physics Letters B. 1975. - Vol. 59. - P. 85-87.

42. Bergmann P. G., Comments on the scalar-tensor theory / P. G. Bergmann // International Journal of Theoretical Physics. — 1968. — Vol. 1. — P. 2536.

43. Bergmann P. G., Symmetries in gauge theories / P. G. Bergmann, E. J. Flaherty // Journal of Mathematical Physics. 1978. - Vol. 19. - P. 212214.

44. Bronnikov К. A., General class of brane-worid black holes / K. A. Brormikov, V. N. Melnikov, H. Dehnen // Physical Review D. 2003. -Vol. 68. - 024025. - 9 p.

45. Bronnikov K. A., Possible wormholes in a brane world / K. A. Bronnikov, S.-W. Kim // Physical Review D. 2003. - Vol. 67. - 064027. - 7 p.

46. Bronnikov K. A., Regular black holes and black universes / K. A. Bronnikov, H. Dehnen, V. N. Melnikov // General Relativity and Gravitation. — 2007. Vol. 39. - P. 973-987.

47. Bronnikov K. A., Scalar-tensor theory and scalar charge / K. A. Bronnikov 11 Acta Physica Polonica B. 1973. - Vol. 4. - P. 251-266.

48. Buchbinder I. L., Effective action in quantum gravity / I. L. Buchbinder, S. D. Odintsov, I. L. Shapiro. — Bristol : Institute of Physics Publishing. — 1992. 413 p.

49. Buchdahl H. A., On a Lagrangian for non-minimally coupled gravitational and electromagnetic fields / H. A. Buchdahl // Journal of Physics A: Mathematical and General. 1979. - Vol. 12. - P. 1037-1043.

50. Callan C. G., A new improved energy-momentum tensor / C. G. Callan, S. Coleman, R. Jackiw // Annals of Physics. 1970. - Vol. 59. - P. 42-73.

51. Capozziello S., Nonminimal derivative coupling and the recovering of cosmological constant / S. Capozziello, G. Lambiase j j General Relativity and Gravitation. 1999. - Vol. 31. - P. 1005-1014.

52. Capozziello S., Nonminimal derivative couplings and inflation in generalized theories of gravity / S. Capozziello, G. Lambiase, H.-J. Schmidt I j Annalen der Physik. 2000. - Vol. 9. - P. 39-48.

53. Cornell A. S., Non-Abelian monopole and dyon solutions in a modified Einstein-Yang-Mills-Higgs system / A. S. Cornell, G. C. Joshi, J. S. Rozowsky, К. C. Wall // Physical Review D. 2003. - Vol. 67. - 105015. - 11 p.

54. Cervantes-Cota J. L., Induced gravity inflation in the standard model of particle physics / J. L. Cervantes-Cota, H. Dehnen // Nuclear Physics B.- 1995. Vol. 442. - P. 391-409.

55. Cervantes-Cota J. L., Induced gravity inflation in the SU(5) GUT / J. L. Cervantes-Cota, H. Dehnen // Physical Review D. — 1995. — Vol. 51. — P. 395-404.

56. Chernikov N. A., Quantum theory of scalar field in de Sitter space-time / N. A. Chernikov, E. A. Tagirov // Annales de l'Institut Henri Poincare A.- 1968. Vol. 9. - P. 109-141.

57. Cho Y. M., Gravitating 4 Hooft monopoles j Y. M. Cho, P. G. O. Freund // Physical Review D. 1975. - Vol. 12. - P. 1588-1589.

58. Coleman S., Non-Abelian plane waves / S. Coleman // Physics Letters B.- 1977. Vol. 70. - P. 59-60.

59. Corrigan E., Magnetic monopoles in SU(S) gauge theories / E. Corrigan, D. I. Olive, D. B. Fairlie, J. Nuyts // Nuclear Physics B. 1976. - Vol. 106.- P. 475-492.

60. Daniel M., The geometrical setting of gauge theories of the Yang-Mills type / M. Daniel, С. M. Viallet // Review of Modern Physics. 1980. - Vol. 52.- P. 175-197.

61. Dehnen H., Higgs field and a new scalar-tensor theory of gravity / H. Dehneri, H. Fromrnert, F. Ghaboussi // International Journal of Theoretical Physics. 1992. - Vol. 31. - P. 109-114.

62. Dirac P. A. M., Quantised singularities in the electromagnetic field / P. A. M. Dirac // Proceeding of the Royal Society of London A. — 1931. — Vol. 133. P. 60-72.

63. Donets E. E., Stringy sphalerons and non-Abelian black holes / E. E. Donets, D. V. Gal'tsov // Physics Letters B. 1993. - Vol. 302. - P. 411418.

64. S31 Drummond I. Т., QED vacuum polarization in a background gravitational field and its effect on the velocity of photons / I. T. Drummond, S. J. Hathrell // Physical Review D. 1980. - Vol. 22. - P. 343-355.

65. Ellis H. G., Ether flow through a drainhole: A particle model in general relativity / H. G. Ellis // Journal of Mathematical Physics. — 1973. — Vol. 14. P. 104-118.

66. Eringen A. C., Electrodynamics of continua / A. C. Eringen, G. A. Maugin. — New York : Springer. — 1990. — 376 p.

67. Faraoni V., Nonminimal coupling of the scalar field and inflation / V. Faraoni j j Physical Review D. 1996. - Vol. 53. - P. 6813-6821.

68. Faraoni V., Conformal transformations in classical gravitational theories and in cosmology / V. Faraoni, E. Gunzig, P. Nardone // Fundamentals of Cosmic Physics. 1999. - Vol. 20. - P. 121-175.

69. Forgacs P., Space-time symmetries in gauge theories / P. Forgacs, N. S. Manton // Communications in Mathematical Physics. — 1980. — Vol. 72. P. 15-35.

70. Futamase Т., Chaotic inflationary scenario of the Universe with nonminimally coupled "inflation" field J T. Futamase, K. Maeda // Physical Review D. 1989. - Vol. 39. - P. 399-404.

71. Gal'tsov D. V., Charged non-Abelian £>77(3) Einstein-Yang-Mills black holes / D. V. Gal'tsov, M. S. Volkov // Physics Letters B. 1992. -Vol. 274. - P. 173-178.

72. Goenner H. F. M., Theories of gravitation with nonminimal coupling of matter and the gravitational field / H. F. M. Goenner // Foundations of Physics. 1984. - Vol. 14. - P. 865-881.

73. Gordon W., Zur Lichtfortpflanzung nach der Relativitatstheorie / W. Gordon // Annalen der Physik. 1923. - Band 72. - S. 421-456.

74. Hochberg D., Dynamic wormholes, antitrapped surfaces, and energy conditions j D. Hochberg, M. Visser j j Physical Review D. — 1998. — Vol. 58. 044021. - 14 p.

75. Hochberg D., Geometric structure of the generic static traversable wormhole throat / D. Hochberg, M. Visser // Physical Review D. — 1997. -Vol. 56. P. 4745-4755.

76. Hochberg D., Self-consistent wormhole solutions of semiclassical gravity / D. Hochberg, A. Popov, S. V. Sushkov // Physical Review Letters. — 1997. -Vol. 78.-P. 2050-2053.

77. Horndeski G. W., Birkhoff's theorem and magnetic monopole solutions for a system of generalized Einstein-Maxwell field equations / G. W. Horndeski j j Journal of Mathematical Physics. 1978. - Vol. 19. - P. 668-674.

78. Horndeski G. W., Conservation of charge and the Einstein-Maxwell field equations / G. W. Horndeski // Journal of Mathematical Physics. — 1976. Vol. 17. - P. 1980-1987.

79. Khusnutdinov N. R., Semiclassical wormholes / N. R. Khusnutdinov j I Physical Review D. 2003. - Vol. 67. - 124020. - 23 p.

80. Lerrios J. P. S., Morris-Thome wormholes with a cosmological constant / J. P. S. Lemos, F. S. N. Lobo, S. Q. de Oliveira // Physical Review D. — 2003. Vol. 68. - 064004. - 15 p.

81. Lobo F. S. N., Chaplygin traversable wormholes / F. S. N. Lobo // Physical Review D. 2006. - Vol. 73. - 064028. - 9 p.110| Lobo F. S. N., General class of braneworld wormholes / F. S. N. Lobo j j Physical Review D. 2007. - Vol. 75. - 064027. - 6 p.

82. Lobo F. S. N., Phantom energy traversable wormholes / F. S. N. Lobo j j Physical Review D. 2005. - Vol. 71. - 084011. - 8 p.

83. Loos H. G., The range of gauge fields / H. G. Loos // Nuclear Physics. — 1965. Vol. 72. - P. 677-691.

84. Morris M. S., Wormholes in spacetime and their use for interstellar travel: A tool for teaching general relativity / M. S. Morris, K. S. Thorne // American Journal of Physics. — 1988. — Vol. 56. — P. 395-412.

85. Novello M., Non-minimal interaction of gravity with other physical fields: An overview / M. Novello, L. A. R. Oliveira I j Revista Brasileira de Fisica. 1987. - Vol. 17. - P. 432-455.

86. Perlick V., Ray optics, Fermat's principle, and applications to general relativity / V. Perlick. — Berlin : Springer. — 2000. — 220 p.

87. Pharn Mau Quan, Introductions electromagnetiques en relativite generale et principe de Fermat / Pharn Mau Quan // Archive for Rational Mechanics and Analysis. 1957. - Vol. 1. - P. 54-80.

88. Popov A. A., Stress-energy of a quantized scalar field in static wormhole spacetimes / A. A. Popov // Physical Review D. — 2001. — Vol. 64. — 104005. 18 p.

89. Prasanna A. R., A new invariant for electromagnetic fields in curved space-time / A. R. Prasanna // Physics Letters A. — 1971. Vol. 37. - P. 331332.

90. Prasanna A. R., Electromagnetism and gravitation / A. R. Prasanna // Lettere al Nuovo Cimento. 1973. - Vol. 6. - P. 420-422.

91. Prasanna A. R., Constraints on non-minimally coupled curved space electrodynamics from astrophysical observations / A. R. Prasanna, S. Mohanty // Classical and Quantum Gravity. 2003. - Vol. 20. - P. 30233028.

92. Steinhardt P. J., Hyperextended inflation j P. J. Steinhardt, F. S. Accetta 11 Physical Review Letters. 1990. - Vol. 64. - P. 2740-2743.

93. Sushkov S. V., A selfconsistent semiclassical solution with a throat in the theory of gravity / S. V. Sushkov // Physics Letters A. — 1992. — Vol. 164.- P. 33-37.

94. Wu Т. Т., Some solutions of the classical isotopic gauge field equations / Т. T. Wu, C. N. Yang // Properties of matter under unusual conditions / ed. H. Mark and S. Fernbach. — New York : Interscience, 1969. —- P. 349-354.- 122 —

95. Yang С. N., Conservation of isotopic spin and isotopic gauge invariance / C. N. Yang, R. L. Mills // Physical Review. 1954. - Vol. 96. - P. 191195.

96. Yasskin P. В., Solutions for gravity coupled to massless gauge fields / P. B. Yasskin // Physical Review D. 1975. - Vol. 12. - P. 2212-2217.