Однопетлевое эффективное действие для произвольных квантовополевых моделей тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

РГб од

2 ч РОЯ

На правах рукописи

СТЕПАНЬЯНЦ Константин Викторович

ОДНОПЕТЛЕВОЕ ЭФФЕКТИВНОЕ ДЕЙСТВИЕ ДЛЯ ПРОИЗВОЛЬНЫХ КВАНТОВОПОЛЕВЫХ МОДЕЛЕЙ

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1996

Работа выполнена на кафедре теоретической физики физического факультета Московского Государственного Университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

профессор В.Р.Халилов

Официальные оппоненты: член-корр. РАН, доктор физико-математических наук профессор В.А.Рубаков кандидат физико-математических наук В.В.Житников

Ведущая организация : ЛТФ ОИЯИ, г.Дубна ^

Защита состоится " " 1996 г. в ^^ час. на за-

седании Диссертационного Совета 4С 053.05.18 при Московском Государственном Университете им. М.В.Ломоносова (г. Москва,

эва .

Ленинские горы, физический факультет, ауд. (- Ч п ).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан " ЙГ. иСс^ЬрА 1996г.

Ученый секретарь

Диссертационного Совета К 053.05.18 д.ф.-м.н. С,^-

П.А. Поляков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. На процесс развития квантовой теории поля и физики элементарных частиц существенное влияние оказывает развитие новых методов и алгоритмов вычислений. Одним из наиболее часто вычисляемых объектов в квантовой теории поля является эффективное действие. Данная проблема постоянно возникает в связи с необходимостью исследовать перснормируемость, высокоэнергетическое поведение бегущих масс и констант связи и т.д. в различных квантовополевых моделях. Стало быть построение быстрого и эффективного алгоритма для нахождения эффективного действия является весьма актуальной задачей. В большинстве случаев для решения конкретных задач оказывается достаточным проведение вычислений в рамках однопетлевого приближения.

С математической точки зрения данная проблема сводится к нахождению коэффициента ач спектрального разложения некоторого дифференциального оператора (второй вариации действия).

На сегодняшний день для этой цели имеется ряд подходов, наиболее известными среди которых являются феймановская диаграммная техника и метод собственного времени Швингера-ДеВитта. Однако, существует большой класс задач, в которых применение данных методов чрезвычайно затруднено. Во-первых, это теории, регуляризованные высшими ковариантными производными. Дело в том, что количество расходящихся диаграмм в данном случае достаточно велико, а кроме того высокие степени импульса в пропагаторе сильно затрудняют Вьь числение феймановских интегралов. Кроме того, каждый раз необходимо производить полностью вычисление всей совокупности диаграмм. В случае рассмотрения теорий в искривленном пространстве число расходящихся графов вообще становится бесконечным и необходимо использование слабопольного разложения, которое еще более усложняет и без того далеко не простые вычисления.

Аналогичные трудности встречаются при рассмотрении теорий с полями высших слинов и теорий в неминимальных калибровках. Вкратце они сводятся к тому, что вычисления при помощи диаграммной техники или методом Швингера-ДеВитта приводят к колоссальному объему вычислений и едва ли могут быть автоматизированы. •

В литературе были предложены ковариантные методы вычисления эффективного действия на основе обобщений метода Швннгера-ДеВитта. Однако, по-прежнему, для каждой новой теории необходимо воспроизводить весь алгоритм от начала и до конца. При этом объем вычислений остается чрезвычайно большим.

Таким образом задача построения явно ковариантного алгоритма вычисления расходящейся части эффективного действия для операторов общего вида, допускающего эффективную реализацию с использованием вычислительной техники, а также разработки соответствующего программного обеспечения на сегодняшний день является актуальной.

Целью диссертационного исследования является построение алгоритмов вычисления однопетлевых расходимостей для теорий с произвольными дифференциальными операторами без каких-либо ограничений на их форму и порядок, а также разработке программного обеспечения для автоматизации соответствующих расчетов.

Научная новизна. В диссертационной работе впервые получена явное выражение для однопетлевого вклада в эффективное действие для теории с произвольными минимальным и неминимальным дифференциальными операторами в четырехмерном пространстве-времени,

Научная и практическая ценность работы. Полученные результаты могут быть использованы для исследования перенормируемости моделей квантовой теории поля, в том числе квантовой гравитации, и вычисления их /^-функций. Тензорный пакет для системы аналитических вычислений REDUCE может применяться для автоматизации любых вычислений с многоиндексными величинами.

Результаты могут быть использованы в НИИЯФ МГУ, ИЯИ, ЛТФ ОИЯИ, ФИАН, ИТЭФ, МИАН, МГПУ им. Ленина.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Международном совещании AIHENP-95 (Италия, Пиза), на 2-м Международном семинаре по проблемам гравитации (Тайвань, Тай-

бей - 1995), 8-й международной Ломоносовской конференции (Москва -1995), Международном совещании AIHENP-96 (Швейцария, Лозанна), 9-й Всероссийской гравитационной конференции (Новгород - 1996), Международной конференции RENORMGROUP - 96 (Дубна), а также на семинарах кафедры теоретической физики МГУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 работы.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав основного текста, двух приложений, заключения и списка цитируемой литературы. Объем диссертации составляет 124 страницы текста, набранного в издательской системе LATEX.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении формулируются цели исследования и описывается построение диссертационной работы.

В главе 1 рассмотрены основные идеи и методы, используемые для нахождения однопетлевого эффективного действия, а также вводятся необходимые понятия и обозначения.

В параграфе 1 проанализирована связь однопетлевого эффективного действия со второй вариационной производной лагранжиана - некоторым дифференциальным оператором, а также даются определения минимального и неминимального оператора.

Параграф 2 содержит описание основных методов, позволяющих свести вычисления в реальных теориях к нахождению следа логарифма некоторого невырожденного оператора. Дело в том, что в подавляющем большинстве случаев дифференциальный оператор вырожден, т.е. для него нельзя указать вид пропагатора. Поэтому здесь описываются способы снятия вырождения, вызванного калибровочными симметриями или присутствием фермионных полей. В первом случае это достигается фиксацией калибровки и введением духовых полей Фаддеева-Попова. Явно показано, что на массовой оболочке эффективное действие не зависит от вида калибровочного условия. Во втором случае рассматрива-

ется метод, позволяющий заменить вырожденный дифференциальный оператор в теориях с фермионами на некоторый невырожденный, а также учесть свойства антикоммутативности.

Рассмотрение наиболее известных методов вычисления явного вида расходящейся части однопетлевого эффективного действия вынесено в параграф 3. Здесь описан метод собственного времени ДеВитта-Швингера и его обобщение на случай неминимальных операторов и операторов высших порядков, сделанное в ранних работах. Указаны достоинства и недостатки данных методов.

Параграф 4 посвящен изложению обобщенной диаграммной техники в методе фонового поля для вычисления расходящейся части однопетлевого эффективного действия. Здесь построен ряд теории возмущений, найдены пропагаторы квантового поля, вершины его взаимодействия с классическим фоном и числовые коэффициенты перед диаграммами для случаев минимального и неминимального операторов. Для случая плоского пространства указаны все расходящиеся диаграммы и вычислены их индексы расходимости.

Наконец, в параграфе 5 описан способ нахождения расходящейся части размерно регуляризованных интегралов, получающихся при вычислениях феймановеких диаграмм. Здесь же вводится определение операции интегрирования по углам.

Глава 2 носвящена рассмотрению минимального дифференциального оператора произвольного порядка I. Основным ее результатом является полученные выражения для расходящейся части однопетлевого эффективного действия в четырехмерном римановом пространстве для двух различных форм записи минимального оператора.

В параграфе 1 минимальный оператор рассматривается на фоне плоского пространства времени. Здесь производится вычисление всех расходящихся диаграмм для данного случая, а также иллюстрируется применение техники вычисления расходящейся части размерно регуляризованных интегралов п конкретных случаях.

В параграфе 2 сформулированы основные идеи обобщения полученных результатов на случай искривленного пространства времени. Сначала на основе анализа размерности указана наиболее общая форма слагаемых содержащих тензор Римана и тензор напряженно-

сти локально-лоренцсвой связности. Коэффициенты перед ними определяются при помощи вычисления феймановских диаграмм, содержащих внешние линии слабых полей /¿;11/ = д/ш - и ш^1 и соответствующих первому неисчсзающсму приближению в слабопольном разложении. Метод проиллюстрирован подробным вычислением наиболее простого нетривиального вклада: членов с и где через И'

обозначен коэффициент при производных (21 — 2)-го порядка в дифференциальном операторе. В конце данной части приводится суммарный вклад всех диаграмм, который и является окончательным ответом для расходящейся части однопетлевого эффективного действия минимального оператора в искривленном пространстве.

В параграфе 3 рассматривается другая форма записи минимального оператора - кинетический член в данной случае симметризован по всем индексам, свертываемым с ковариантными производными. Это является более удобным в ряде случаев, прежде всего при сравнении результата с ответом для неминимального оператора. В данном случае однопетлевые контрчлены вычисляются тем же методом, что и в части •2.

Наконец, в параграфе 4 рассмотрен ряд частных случаев: наиболее общие минимальные операторы второго (подпараграф 1) и четвертого (подпараграф 2) порядков; операторы 6-го и 8-го порядков без производных соответственно 5-го и 7-го порядков (подпараграф 3). Показано, что для первых двух частных случаев полученные результаты полностью воспроизводят ранее известные.

В главе 3 изучается неминимальный оператор произвольной формы и произвольного (в том числе и нечетного) порядка Ь в четырехмерном римановом пространстве. Ее основным результатом является выражение для расходящейся части эффективного действия. Кроме того, произведено рассмотрение ряда частных случаев и показано полное согласие результатов с ранее известными.

В параграфе 1 неминимальный оператор рассматривается на фоне плоского пространства времени. При помощи вычисления соответствующих расходящихся диаграмм здесь найдена расходящаяся часть одно-петлевого-эффективного действия в пространстве Минковского.

В параграфе 2 производится обобщение результата параграфа 1 на

четырехмерное рнманово пространство. Как и в случае минимального оператора, производится вычисление однопетлевых диаграмм в первом неисчезающем приближении по слабым полям метрики /¿я1/ и связности а,',,. Однако в отличие от случая, рассмотренного в главе 2 каждый вклад уже не может быть представлен как слабопольный предел от некоторого ковариантного выражения. В данной части производится анализ причин, вызывающих данную ситуацию и устанавливается, что для получения правильного ответа необходимо добавление некоторых вспомогательных диаграмм, дающих вклад как в члены, содержащие метрику, так и в члены, содержащие связность. После этого каждое выражение уже может быть записано ковариантным образом. Полученный алгоритм иллюстрируется расчетом наиболее простого нетривиального вклада в эффективное действие, содержащего тензора кривизны /?%„а и а также - коэффициент при производных Ь — 2-порядка. Однако указанная сложность отнюдь не является единственной. Дело в том, что в силу имеющихся неоднозначностей вычисление ряда слагаемых, прежде всего квадратичных по тензору кривизны становится весьма нетривиальным: несмотря на то, что соответствующие диаграммы легко могут быть вычислены в слабо-польном приближении, получение ковариантного выражения оказывается неожиданно сложным. Поэтому здесь кратко излагается алгоритм нахождения ковариантного результата. После этого приводится суммарный вклад всех диаграмм, который и является основным результатом данной работы.

В параграфе 3 рассмотрен ряд частных случаев. (Соответствующие результаты были получены с использованием вычислительных машин)

В подпараграфе 1 замечено, что минимальный оператор произвольного порядка I (в форме записи с симметризованным кинетическим членом) является частным случаем неминимального оператора при Ь = 21 и

А'""-'У = К^1""

где Л о - полностью симметричный тензор, построенный из д^ Здесь проверено, что подстановка данного значения сводит результат для неминимального оператора к результату для минимального оператора с симметризованным кинетическим членом.

В подпараграфе 2 рассмотрен наиболее общий вид неминимального

оператора второго порядка в случае, если квантовое поле является векторным и отсутствуют первые производные. Найденный в данном случае по общей формуле результат также совпал с ранее известным.

В подпараграфе 3 вычисляются однопетлевые контрчлены для теории гравитации с космологической постоянной в произвольной неминимальной калибровке. В данном случае вторая вариация действия представляет собой некоторый достаточно сложный неминимальный оператор. Показано отсутствие калибровочной зависимости результата на уравнеЕШях движения.

Глава 4 посвящена описанию программного обеспечения, позволяющего обрабатывать многоиндексные выражения и, в частности, производить автоматическое вычисление однопетлевых контрчленов. Оно было выполнено в виде тензорного пакета для системы аналитических вычислений REDUCE и ряда приложений к нему, позволяющих осуществлять интегрирование по углам и автоматически рассчитывать частные случаи ранее найденных общих выражений.

В параграфе 1 рассмотрена проблема автоматизации обработки многоиндексных выражений, необходимой, в частности, при вычислении эффективного действия, и указаны основные трудности, стоящие на пути ее решения: немые индексы, свойства симметрии и тождества Бианки.

В параграфе 2 приводится описание алгоритмов используемых в программе. Здесь рассмотрено каким образом можно наиболее эффективно выполнять операции с метрическим тензором (которые наиболее часто встречаются при практических вычислениях) как при обычной обработке выражения, так и при перемножении двух величин и каким образом можно привести тензорное выражение к некоторому стандартному виду в случае отсутствия тождеств Бианки, решив тем самым проблемы связанные с упорядочиванием немых индексов и индексов симметрии.

Параграф 3 описывает интерфейс программы, то есть, то. что может выполнять пользователь и какие команды ему нужно сообщить компьютеру. Здесь же полностью рассмотрены все возможности тензорного пакета.

В па-раграфе 4 рассмотрены дополнительные возможности для получения алгоритмов вычисления однопетлевых расходимостеи на основе

полученных ранее общих формул. Прежде всего здесь рассмотрен алгоритм выполнения операции интегрирования по углам, который был реализован в виде отдельной небольшой ЫБР-программы. Здесь же описаны алгоритмы, позволяющие оптимизировать вычисления при наличии большого количества единичных тензоров. В сочетании с файлом, содержащим результат для произвольного неминимального оператора в искривленном пространстве, оказывается возможным добиться достаточно быстрого вычисления однопетлевых контрчленов для конкретных дифференциальных операторов.

В параграфе 5 рассмотрен пример применения тензорного пакета для вычисления расходящейся части однопетлевого эффективного действия в аффинно-метрической теории гравитации, взаимодействующей со скалярным полем при наличии космологической постоянной (метрика и связность в данной теории рассматриваются как независимые переменные). На основе полученных результатов сделан вывод о непе-ренормируемости теории.

В приложениях рассмотрен ряд технических деталей, связанных с выполнением операции интегрирования по углам.

В приложении А рассматривается случай минимального оператора. Здесь указано какие выражения могут быть записаны в более простом виде и каким образом можно упростить их запись. Кроме того, величины, входящие в ответ для минимального оператора вычислены до конца, то есть во всех слагаемых полностью выполнено интегрирование по углам.

В приложении В изучается интегрирование по углам для неминимального оператора. В силу того, что явный вид пропагатора в данном случае неизвестен, уже не является возможным применение сформулированных в приложении А правил. Произведенный в данной части анализ показывает, что теперь уже невозможно построить простой алгоритм упрощения записи получающихся выражений, однако существует ряд тождеств, связывающих их друг с другом. Кроме того, здесь найдены величины необходимые при вычислении феймановских

диаграмм и указаны их основные свойства.

В заключении сформулированы основные, результаты, полученные в диссертации.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Предложено обобщение метода т'Хоофта-Вельтмана вычисления однопетлевых расходимостей на случай произвольных минимальных и неминимальных операторов и развита соответствующая диаграммная техника. Произведено исследование общей структуры контрчленов для операторов произвольного порядка.

2. Построены явно ковариантные выражения для расходящейся части однопетлевого эффективного действия для произвольных минимальных и неминимальных операторов и четырехмерном искривленном пространстве, включая произвольные операторы нечетного порядка.

3. Впервые найдены выражения для однопетлевого эффективного действия в теориях с минимальными операторами б-го и 8-го порядков не содержащими соответственно членов с производными 5-го и 7-го порядков.

4. Впервые вычислены контрчлены для эйнштейновской гравитации с космологической постоянной в произвольной неминимальной калибровке. Установлено отсутствие калибровочной зависимости расходящейся части эффективного действия на уравнениях движения.

5. Написан тензорный пакет для системы аналитических вычислений REDUCE, позволяющий производить обработку многоиндексных выражений при помощи вычислительных машин.

6. Найдены однопетлевые контрчлены для аффинно-метрической теории гравитации, взаимодействующей со скалярным полем при наличии космологической постоянной. Установлена неперенормиру-емость'теории.

ПУБЛИКАЦИИ

Результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. М. Yu. Kalmykov, P. I. Pronin and К. V. Stepanyantz, Projective invariance and one-loop effective action in affine-metric gravity interacting with scalar field, // Class. Quantum Grav. 1994, v. 11, p. 2645

- 2652.

2. P.I.Pronin and K.V.Stepanyantz, New tensor package for the REDUCE system, // In: Proceedings of Fourth International Workshop on Software ltigineering and Artificial Intelligence for Higher Energy and Nuclear Physics, ed.: Denby, World Scientific, Singapure, 1995, p. 263 -267.

3. П.И.Пронин и К.В.Степаньянц, Однопетлевое эффективное действие для произвольной теории, // ТМФ, 1996, т.109, N 2, с.215 -231.

4. P.I.Pronin and К.V.Stepanyaritz, Algorithms for the one-loop divergences calculations, // Grav. and Cosmology, 1996, v.2, no.l, p. 501

- 507.