Радиационные и релятивистские поправки в квантовой теории поля тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

/

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В.ЛОМОНОСОВА Научно-исследовательский институт ядерной физики имени Д.В.Скобельцина

На правах рукописи

Долгополов Михаил Вячеславович

Радиационные и релятивистские поправки в квантовой теории поля

01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1998

Работа выполнена в Самарском государственном университете

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент Бирюков A.A.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Фаустов Р.Н. ,

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Дубинин М.Н.

Ведущая организация: Объединенный институт ядерных исследований, Лаборатория теоретической физики, г.Дубна

/1 , 10

/J

Защита состоится ' ^ / 1998 г. в ' час.

на заседании диссертационного совета К-053.05.24 в Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899, г.Москва, Воробьевы горы, НИИЯФ МГУ, 19 корпус, ауд. 2-15.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НИИЯФ МГУ. Автореферат разослан " ^^1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета д.ф.м.н.

Фомин Ю.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Успех физики высоких энергий и физики элементарных частиц в последние годы во многом обусловлен развитием теории квантованных калибровочных полей.

Результаты экспериментальной проверки предсказаний теории квантованных полей свидетельствуют о том, что ее математический аппарат является наиболее адекватным языком для описания известных видов взаимодействия частиц материи. Три поколения лептонов и цветных кварков, фотон, калибровочные бозоны восемь цветных глго-

онов, хиггсовский бозон, обеспечивающий введение масс в теорию, - все эти фундаментальные частицы, из которых, согласно современным представлениям, строится окружающий мир, описываются калибровочной теорией поля со спонтанно-нарушенной симметрией вакуума - стандартной моделью. Стандартная модель (СМ) является перенормируемой квантовой теорией поля (КТП), и наиболее последовательно развитым аппаратом в ней является аппарат теории возмущений по константе связи. Разработанная в работах Н.Н.Боголюбова и его школы теория И-операции позволила подвести строгое математическое обоснование под применение процедуры перенормировок и тем самым под расчеты для различных физических процессов с учетом вкладов от высших порядков теории возмущений. Это обстоятельство является особо важным, поскольку для объяснения современных и планируемых экспериментов в физике высоких энергий требуется учитывать вклады высших порядков теории возмущений.

При вычислении амплитуд процессов взаимодействия элементарных частиц в старших порядках теории возмущений, независимо от используемой модели и калибровки, при-

ходиться иметь дело с расходящимися однопетлевыми интегралами. Поэтому необходимо иметь эффективный алгоритм их аналитического и численного вычисления, который с одной стороны был бы достаточно универсален, а с другой - мог быть использован для составления компьютерных программ с целью выполнения необходимых вычислений.

Аналитическое вычисление расходящихся петлевых, тензорных и скалярных, интегралов - одна из наиболее трудоемких и длительных математических процедур при вычислении радиационых поправок на компьютере, а тем более аналитическими методами. Конечно, общие методы вычисления скалярных интегралов известны достаточно давно и предисторией их развития являются работы Л.М.Брауна и Р.П.Фейнмана в 1952г. в журнале Physical Review и т'Хуфта и Велтмана 1979г. в журнале Nuclear Physics, но выведенные ими формулы очень громоздки, содержат большое количество спецфункций, и поэтому процесс вычисления радиационных поправок весьма затруднен.

Несомнено, что в конкретных расчетах (при заданных значениях масс и внешних импульсов, а также при использовании приближенных методов) вычисление скалярных и тензорных интегралов заметно упрощается. Однако эти расчеты не унифицированы. То есть они проводятся независимо в каждой конкретной модели. В связи с этим возникает необходимость создания унифицированных методов аналитического вычисления и исследования интегралов данного класса.

Одной из задач работы являлось изучение метода вычисления однопетлевых интегралов методом сведения тензорных интегралов к скалярным и создание программы для вычисления тензорных 2- и 3-точечных интегралов с использованием системы аналитических вычислений FORM. Созданная программа позволяет унифицировать и упростить рас-

четы в конкретных задачах, решаемых методами КТП.

К настоящему времени проведен ряд экспериментов по изучению адронных атомов. Была проведена оценка времени жизни 7г+7г~ атома и других его характеристик. Изучение адронных атомов представляет интерес, поскольку в их структуре присутствуют как электромагнитные, так и сильные взаимодействия. Для исследования 7г+7г~ атома готовится эксперимент 01гас в ЦЕРНе, который позволит более точно измерить все характеристики атома, в том числе и характеристики распада из основного состояния на два 7г° мезона (в частности, время жизни). Для планирования и анализа эксперимента необходимо провести расчет амплитуды распада пиония.

Подход к изучению проблемы адронных атомов, в том числе пиония, основан на факторизации сильного и электромагнитного взаимодействия. А именно, так как боровский радиус атомов, составленных из легких мезонов, порядка сотен ферми, их энергетический спектр почти полностью определяется статическим кулоновским потенциалом, действующим между составляющими. С другой стороны, распады адронных атомов управляются сильным взаимодействием, которое в случае пиония отвечает за превращение тг+тт~ пары В 7Г°7Г°.

В диссертации вычисляется амплитуда распада связанного состояния п* мезонов из основного состояния на два свободных нейтральных 7г-мезона. Важным в этом расчете является учет релятивистских эффектов при описании квантовых состояний. Амплитуда превращения 7г+7г~— > 7г°7г°, происходящего за счет сильного взаимодействия должна быть вычислена в высших порядках теории возмущений. Это необходимо для более точного описания эксперимента. Построение данной амплитуды представляется самостоятельной за-

дачей, решаемой в квантовополевом подходе с учетом радиационных поправок О (а), и являющейся также актуальной в связи с экспериментами по рассеянию тт мезонов.

Одним из наиболее эффективных инструментов описания связанных состояний являются одновременные уравнения, полученные в рамках КТП в работах А.А.Логунова и А.Н.Тавхелидзе. Главная проблема, которая рассматривается в этом подходе, состоит в построении квазипотенциала, описывающего взаимодействие частиц, и нахождении решений соответствующих уравнений. Для более точного предсказания эксперимента необходимо вычисление квазипотенциала с учетом высших порядков теории возмущений для амплитуды рассеяния рассматриваемых частиц. Построение квазипотенциала для описания связанного состояния 7г мезонов является одной из задач диссертации.

Наиболее адекватной теорией, описывающей электромагнитные и слабые взаимодействия, предсказания которой согласуются с экспериментом, является модель Глэшоу-Вайн-берга-Салама - стандартная модель электрослабого взаимодействия. Скалярный сектор стандартной модели, содержащий члены лагранжиана, соответствующие взаимодействие векторных бозонов и фермионов с хиггсовскими частицам и самодействие хиггсов, механизм Хиггса, хиггсовские частицы и перенормировка - один из основных аспектов теории электрослабого взаимодействия, привлекающий огромный интерес физиков. Поиск хиггсовских бозонов является весьма актуальной проблемой современной физики высоких энергий и включен в ряд экспериментальных программ современных коллайдеров: LEP, SLC, LEP2, ТеУЗЗ (теватрон) и будущих ускорителей и прежде всего коллайдеров: LHC (большой адронный коллайдер), NLC (следующий е+е~ линейный коллайдер), FMC (первый мюонный коллайдер), а

также лазерный фотонный коллайдер. В связи с этим важным моментом в проектировании эксперимента по наблюдению бозонов является предсказание амплитуд и, соответственно, сечений реакции рождения хиггсовского бозона в определенных процессах взаимодействия элементарных частиц.

Один из возможных механизмов образования хиггсовских частиц - это высокоэнергетические фотон-фотонное взаимодействие. Одной из задач диссертации является вычисление амплитуды превращения пары виртуальных фотонов в пару нейтральных хиггсовских бозонов с промежуточной кварко-вой петлей в высших порядках теории возмущений с учетом радиационных поправок (O(aGjr) и 0(q2Gf).

Вопросы, рассмотренные в диссертации, являются актуальными в настоящее время как с точки зрения теоретических исследований в КТП, так и с точки зрения описания существующих и готовящихся экспериментов в физике высоких энергий.

Целью работы является развитие в рамках КТП метода вычисления петлевых интегралов с использованием системы FORM с целью вычисления амплитуд рассеяния элементарных частиц с учетом высших порядков теории возмущений. На основании разработанной методики вычислить с учетом высших порядков теории возмущений: амплитуды рассеяния заряженных 7г-мезонов в рамках электродинамики для скалярных и векторных бозонов; амплитуду превращения двух виртуальных фотонов в две скалярные хиггсовские частицы в СМ. Найти амплитуду распада пиония из основного состояния на два нейтральных 7г-мезона с учетом релятивистских эффектов в основном состоянии и квазипотенциала взаимо-

действия, вычисленного в высших порядках теории возмущений.

Научная новизна и практическая ценность. Разработана методика вычисления петлевых интегралов с использованием системы FORM, что представляет практическую ценность при вычислении амплитуд в моделях КТП с учетом высших порядков теории возмущений.

Вычислены амплитуда рассеяния заряженных 7г-мезонов 7г+7г_— > 7г+7г- с учетом электромагнитных радиационных поправок, а также амплитуда перехода 7г+тг-— > тг07г0 с учетом электромагнитных радиационных поправок.

Рассчитана амплитуда распада пиония из основного состояния на два нейтральных 7г-мезона с учетом релятивистских и радиационных эффектов.

Вычислена релятивистская поправка к волновой функции основного состояния пиония порядока 0(а2).

Рассчитана амплитуда распада пиония из основного состояния на два нейтральных 7г-мезона с учетом электромагнитных радиационных поправок порядка О (а). Получена численная оценка на данные поправки порядка 2 процентов.

Проведенные расчеты представляют ценность как для планирования эксперимента, так и анализа данных, которые будут получены при реализации проекта Dirac в ЦЕРНе.

Рассчитана амплитуда превращения двух виртуальных фотонов в две скалярные хиггсовские частицы с учетом радиационных поправок в СМ. Это необходимо как для планирования эксперимента на линейных коллайдерах, так и для анализа полученных результатов.

Апробация работы. Результаты, полученные в диссерта-

ции, докладывались и обсуждались на X и XII Международных семинарах по физике высоких энергий и квантовой теории поля (Звенигород 1995; Самара 1997), на конференциях МГУ "Воробьевы Горы - 94", "Ленинские горы - 95", на научных и методических семинарах кафедры общей и теоретической физики СамГУ и научных конференциях Самарского госуниверситета (1992-1997гг.), на международных семинарах "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Самара 1994-1997гг.). Работы также докладывались на Международном конгрессе "Молодежь и наука - третье тысячелетие" (Москва, 1996), на международном семинаре "Некоммутативные структуры в математической физике" (Тольятти, 1993), на научно-технической конференции "Перспективные информационные технологии в научном исследовании, проектировании и обучении" (Самара, 1995), научно-технической конференции "Прикладные математические задачи в машиностроении и экономике" (Самара, 1996).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 10 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4-х глав основного текста, заключения и 7 приложений. Текст диссертации, набранный в издательской системе ТЕХ, изложен на 150 страницах, включая 70 рисунков. Библиографический список литературы содержит 150 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, формулируется проблема, кратко излагаются основные цели работы и ее содержание, описывается структура диссертации.

В первой главе диссертации кратко излагается проблема возникновения и вычисления однопетлевых интегралов; описана процедура размерной регуляризации и приведены необходимые соотношения для метрического тензора и 7-матриц для вычислений в пространстве с произвольной размерностью; приведены необходимые аксиомы и свойства интегрирования в пространстве с произвольным числом измерений.

Указываются причины расходимостей однопетлевых интегралов, представлен явный вид 1-,2-,3- и 4-точечных интегралов, а также общий вид тензорного однопетлевого интеграла.

Приведена формула разложения тензорных интегралов в виде комбинации внешних импульсов, метрического тензора и скалярных коэффициентов, показана справедливость данного разложения.

Описан метод вычисления тензорных интегралов путем сведения их к скалярным интегралам в общем виде, а также приведены формулы для вычисления 2-, 3-, 4-точечных тензорных интегралов.

Описан метод вычисления скалярных однопетлевых интегралов.

Приведены ультрафиолетово-расходящиеся части скалярных однопетлевых интегралов и некоторых коэффициентов лоренцевского разложения тензорных интегралов.

В этой же главе дана краткая характеристика системы аналитических преобразований FORM, которая использовалась для вычисления 3-точечных тензорных интегралов, а

также для расчета однопетлевых поправок к процессу взаимодействия 7г-мезонов. Приведена программа, с помощью которой были вычислены 3-точечные тензорных интегралы.

Задача данной главы - представить методы вычисления и классификации радиационных поправок по теории возмущений для амплитуды рассеяния элементарных частиц в моделях пертурбативной теории квантованых полей и диаграмм Фейнмана, которые использует соискатель в своих расчетах при исследовании соответствующих эффектов в главах 2 и 3. Представлена также программа, использующая систему алгебраических преобразований FORM, оптимизирующая расчеты с использованием тензорных интегралов. Алгоритм программы отражает известный метод сведения тензорных интегралов к скалярным, предложенный Брауном и Фейнманом и модифицированный Пассарино и Велтманом, подробно изложенный и расширенный в недавних работах. Сделан краткий обзор компьютерных программ, касающихся проблемы вычисления петлевых интегралов в различных моделях КТП.

Материал главы 1 организован и структурирован следующим образом.

В параграфах 1.1 и 1.2 сформулирована задача рассеяния частиц и описано возникновение задачи о вычислении "петлевых" интегралов как с использованием операторной формы КТП, так и с помощью функционального интегрирования. Сделаны ссылки на известные работы.

В параграфе 1.3 описана известная процедура размерной регуляризации и приведены необходимые соотношения для метрического тензора и 7-матриц в пространстве с произвольной размерностью. Лоренц и калибровочно инвариантный метод размерной регуляризации расходящихся тензор-

ных интегралов по .О-мерному импульсному пространству

Д = 92 - ™о + {е > Д = (<? + Р;)2 - + , г = 1,..., ЛГ - 1,

возникающих в высших порядках теории возмущений в моделях квантовой теории поля, используется для выделения "бесконечных" вкладов. Выделенные расходящиеся части представляются в виде полюсов по переменной е = 4 — £>, связанной с числом измерений пространства-времени Б.

В параграфе 1.4 приведены необходимые для применения метода размерной регуляризации аксиомы и свойства интегрирования в пространстве с произвольным (может быть нецелым и комплексным) числом измерений. Пертурбативные вычисления однопетлевого и более высокого порядка включают в себя интегрирование по петлевому импульсу.

В параграфах 1.2 и 1.4 также приведена классификация таких интегралов и представлены формулы, используемые в расчетах. Методы, представленные здесь, основаны на работах. Причины расходимостей однопетлевых интегралов, явный вид 1-,2-,3- и 4-точечных интегралов, а также общий вид тензорного однопетлевого интеграла представлены.

В параграфе 1.5 приведена формула представления тензорных интегралов в виде комбинации внешних импульсов, метрического тензора и полностью симметричных скалярных функций.

Все однопетлевые тензорные интегралы могут быть сведены к скалярным Тц . Об этом говорится в параграфе 1.6.

В параграфе 1.7 приведены общие результаты (со ссылками на известные работы) для скалярных интегралов Ао,Во, Со, Д. Скалярные интегралы для Аг > 4 могут быть выражены в терминах Д в четырех размерностях. Они приме-

няются при вычислении тензорных интегралов с N < 4 в кинематических областях, где обычная редукция тензорных интегралов не проходит, так как появляющиеся в этом случае ГРЭМ-определители равны нулю.

Ультрафиолетово расходящиеся части однопетлевых интегралов представлены в параграфе 1.8.

В параграфе 1.9 представлен краткий обзор по вычислению петлевых интегралов с использованием компьтера. Приведены рабочие программы.

Глава 2 посвящена расчету амплитуды рассеяния 7г-мезонов с учетом обмена как фотонами, так и р-мезонами.

Для описания рассеяния 7г-мезонов в рамках скалярной электродинамики и мезодинамики выделены неприводимые од-нопетлевые диаграммы, в которых при интегрировании по петлевому импульсу появляются ультрафиолетовые расходимости. Для каждой такой диаграммы найдена степень расходимости, определяемая количеством внешних и внутренних линий и наличием петель.

С помощью методов вычисления тензорных интегралов, представленных в главе 1, в выражениях, соответствующих однопетлевым амплитудам взаимодействия, выделены конечные вклады, зависящие от параметра размерной регуляризации /1. Расходящиеся части представлены в виде полюсов по переменной с, связанной с числом измерений пространства-времени.

Устранение расходящихся вкладов сводится к необходимому изменению феннмановских правил с целью получения конечного результата. Это эквивалентно добавлению к исходному лагранжиан}' контрчленов (перенормировке лагранжиана), которые приводят к сокращению расходящихся слагаемых.

В параграфе 2.1 представлено аналитическое выражение

для амплитуды 7гт7г~ —> с виртуальным фотоном, учи-

тывающее электромагнитные однопетлевые радиационные поправки в контексте скалярной электродинамики, на основе которого в главе 3 рассчитаны электромагнитные поправки к волновой функции связанного состояния 7г+7г~.

В параграфе 2.2 представлено аналитическое выражение для амплитуды 7г+7г~ —» 7г°7г° (с виртуальным р±,0-мезоном), учитывающее электромагнитные однопетлевые радиационные поправки в контексте скалярной электро- и мезодина-мики, на основе которого в главе 3 рассчитаны соответствующие поправки к амплитуде распада связанного состояния 7г+7г-. Составлены программы для расчета однопетлевых амплитуд с использованием AC FORM.

В главе 3 рассматривается процесс превращения виртуальных фотонов в скалярные хиггсовские бозоны. В рамках СМ с ^-калибровкой. с применением размерной регуляризации и аналитических систем(АС) REDUCE и FORM была построена модель для вычисления амплитуд процессов, описываемых диаграммой типа "box" с внутренними фер-мионными линиями н поправок к ним следующего порядка по теории возмущений, в частности, амплитуды превращения двух виртуальных фотонов в две скалярные хиггсовские частицы (77 —> НоЩ).

В низшем порядке теории возмущений амплитуде процесса 77 HqHo соответствует диаграмма

q кг"-

7

V q-h

>

н о

Н0

/

Можно различить два типа возможных поправок следующего порядка по теории возмущений. На языке диаграмм Фейнмана они выглядят следующим образом:

+

' ц' ////////, \ ,

2.

+

'Здесь:

\

+

/

0

+

\ ^

<{'/////)> - сумма пропагаторов И7*, Ац, Н±, Я0; ,7,Я0

Ж- сумма всевозможных однопетлевых вставок в вершину, в том числе собственно-

энергетических в правую кварковую линию.

Получено аналитическое выражение для амплитуды рождения скалярных бозонов в фотон-фотонном взаимодействии. В данной главе представлено аналитическое выражение для амплитуды рождения двух нейтральных хиггсовских бозонов при взаимодействии двух виртуальных фотонов, с промежуточной кварковой петлей, учитывающее однопетлевые радиационные поправки в рамках СМ.

В главе 4 дано описание релятивистских связанных состояний двух заряженных частиц, взаимодействующих с электромагнитным полем.

\

\

Рассмотрен процесс распада связанного состояния 7г+7г~-мезонов на два свободных 7г°-мезона, который представляется диаграммой

Амплитуда распада пиония Р представляется в виде свёртки Т(д, Р) - амплитуды рассеяния тг+тг~ —> 7г°7г° и волновой функции связанного состояния

где Р = 91 + дг = + - полный 4-импульс системы 7г+- и

7г~-мезонов, 9 = (д! - д2)/2 - относительный импульс, а <71,7711 и

92,7712 - 4-ИМПуЛЬСЫ И МЭССЫ 7Г—- и 7Г+-МеЗОНОВ (тП1 = 7Пг), к\,к2

- 4-импульсы 7г°-мезонов в конечном состоянии,

Р ,М 0 ^ 91 = "¿" + 9= (у + 9°, 9).

р ,М о л

92 = 2"-9 = (у-9 ,-9),

М = 2тп + В,

М - масса связанного состояния, В = — ^^ - энергия связи 7г~-

+ _ сг 1

и 7Г -мезонов, а = « - постоянная тонкой структуры (в диссертации используется рациональная система единиц П = с = 1).

Проблема вычисления амплитуды распада сводится к задаче нахождения выражения для волновой функции связанного состояния и амплитуды рассеяния процесса 7г+7г~ 7г°7г°.

В данной главе находится амплитуда распада F связанной системы 7Г+7г~ из её основного состояния через выражение для волновой функции связанного состояния 7г+7г~ на низшем уровне, вычисленное в рамках квазипотенциального метода Логунова-Тавхелидзе с учётом релятивистских и электро-

е2

магнитных поправок порядка а = ^ и через выражение для амплитуды рассеяния Р с учётом электромагнитных попра-

е2

вок порядка а =

В заключении сформулированы основные выводы и результаты, полученные в диссертации. Они сводятся к следующим.

В диссертации развиты методы вычисления многопетлевых поправок к амплитудам взаимодействия элементарных частиц. Автором разработана программа расчета петлевых поправок в различных моделях КТП. Актуальность работы связана с необходимостью учета радиационных и релятивистских поправок в высших порядках теории возмущений при анализе эксперемента в физике элементарных частиц на современных и будущих ускорителях.

Были исследованы и рассчитаны ряд процессов взаимодействия элементарных частиц с учетом высших порядков теории возмущений.

В модели скалярной и векторной электродинамики получены аналитические и численные выражения для амплитуд

7Г+7Г~ -> 7Г°7Г° (с виртуальным р±0-меЗОНОм) И 7Г+7Г~ -» 7Г + 7Г~

(с виртуальным фотоном), учитывающие электромагнитные радиационные поправки.

Получены аналитические выражения для волновой функции связанного состояния 7г+7г~, учитывающее релятивистские поправки порядка а2 и электромагнитные поправки в контексте скалярной электродинамики, полученные на основе локального квазипотенциального уравнения.

Вычислена амплитуда распада связанного состояния 7г+7г~ —> 7г0^0 с учетом релятивистских и электромагнитных поправок.

В приложениях приводятся некоторые математические фор-

мулы для Г-функций и дилогарифмов, которые используются для вычисления скалярных однопетлевых интегралов. Также описывается программа, которая была написана для составления однопетлевых диаграмм, и приведены изполь-зовавшиеся алгоритмы.

Основные публикации по теме диссертации

1. Долгополов М.В. Перенормировка лагранжиана взаимодействия двух фотонов и двух скалярных хиггсовских бозонов. В кн. : Некоммутативные структуры в математической физике. Тольятти. 1993. - С.9Т-99.

2. Долгополов М.В. Релятивистские поправки к волновой функции связанного состояния 7г+7г~. В сб. Дифференциальные уравнения и их приложения: тез. докл. - Самара, 1995. - С.48.

3. Долгополов М.В., Скачков Н.Б. 1-петлевые электромагнитные поправки к амплитуде распада пары тг+7г- мезонов на 2 7г°-мезона с виртуальным р-мезоном и к распаду связанного состояния 7г+7г_. Тез. докл. науч. техн. конфер. "Перспективные информационные технологии в научном исследовании, проектировании и обучении". Самара. 1995. - С.92.

4. Долгополов М.В. Однопетлевые электромагнитные поправки к 7г+7г~— > 7г°7г° с виртуальным р-мезоном //Труды Международного научного конгресса "Молодежь и наука -третье тысячелетие" /под редакцией И.Б.Федорова,

К.С.Колесникова, А.О.Карпова. М., 1996.

5. Dolgopolov M.V., Skachkov N.B. One-loop electromagnetic corrections for 7r+7r~— > 7r°7r° with virtual p-meson. In proceedings of Xth Workshop on High Energy Physics and Quantum Field Theory. Zvenigorod. 1995. - P.216-219.

ЛР N 020316 от 4.12.96г. Подписано в печать 15.01.98. Формат 60x84/16 Бумага офсетная. Объем 1 п.л. Тираж 100 экз.

Издательство "Самарский университет" 443011, ул. Акад. Павлова, 1. Ризограф