Классическая аппроксимация квантовой теории спина тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение

1 Собственновременная квантовая теория спина

1.1 Спиновые операторы свободной дираковской частицы

1.2 Операторы с дефинитной четностью в теории Дирака с внешним скалярным полем.

1.3 Одночастичная теория дираковской частицы с внешним электромагнитным полем.

2 Спин-траекторный формализм в классической электродинамике

2.1 Основы классической теории спина с внешним скалярным полем

2.2 Классические уравнения движения спиновой частицы в электромагнитном поле.

2.3 Прецессия Томаса как кинематический спиновый эффект

3 Спиновые эффекты и излучение в релятивистской полуклассической электродинамике

3.1 Спин-флип переходы нейтрона в однородном магнитном поле.

3.2 Релятивистский по лук л ассический принцип соответствия для электрона в однородном магнитном поле.

3.3 Роль прецессии Томаса в излучении релятивистских частиц

В последние годы в физике высоких энергий наблюдается возрастание интереса к поляризационным явлениям как новому источнику информации о природе взаимодействия частиц. Изучение спиновой зависимости физических процессов привело к ряду выдающихся достижений, и физика спина релятивистских частиц выделилась в самостоятельное направление. Спиновые свойства частиц оказались весьма важными, так как они определяют не только статистические закономерности поведения коллектива частиц, но и вносят вклад в кинематику частиц, а также в законы их взаимодействия.

Известно, что наиболее строгое рассмотрение спиновых свойств возможно только в квантовой теории. Однако при определенных условиях становится возможным применение классических методов описания спина.

Интерес, проявляемый к классическим методам и их обобщению с учетом новых достижений квантовой теории является не случайным. Для современной теоретической физики вообще характерна некоторая тенденция к переосмысливанию методов описания квантовых систем с точки зрения их связи с соответствующими классическими аналогами. Эта тенденция объясняется очевидным желанием дать наглядную картину квантовых явлений, используя с этой целью там, где это возможно, более простой и понятный классический язык.

Спин, или собственный механический момент частицы, вошел в физику в 1920 г. Физика того времени нуждалась в серьезном осмыслении эксперимента Штерна-Герлаха, в котором было обнаружено двукратное расщепление пучка атомов, находящихся в невозбужденном состоянии, при прохождении такого пучка через неоднородное магнитное поле; эффекта Зеемана — расщепление спектральных линий излучения, испускаемого атомами во внешнем магнитном поле и других явлений. Введение понятия спина как "внутренней" степени свободы частицы, не связанной с перемещением частицы в пространстве, внесло ясность в понимание вышеупомянутых проблем.

При своем первом появлении в 1925 г. концепция спина (гипотеза Улен-бека и Гаудсмита) содержала физически неприемлемые особенности [1,2]. В соответствии с этой гипотезой постулировалось, что электрон обладает спиновым механическим моментом количества движения равным К/2. Электрону также приписывается наличие спинового магнитного момента, численно равного магнетону Бора. Вместе с тем электрон был представлен как маленькая (но не точечная) вращающаяся сфера (волчок), имеющая размер порядка атомного. Являясь заряженной, эта сфера должна иметь магнитный момент, величина которого и будет определять расщепление уровней в эффекте Зеемана. Такая модель вращающегося электрона, по существу, классическая модель спина, вызывала ряд критических замечаний. Во-первых, вращение сферы (волчка) входило в противоречие с теорией относительности: чтобы получить необходимое значение магнитного момента, скорость вращения такого волчка должна быть во много раз больше скорости света. Кроме того, расчет спин-орбитального взаимодействия в два раза превышал данные эксперимента. В итоге модель волчка была отвергнута, но идея о возможности создания классической теории спина осталась.

Решающим этапом в развитии классической теории спина явился переход к модели точечного волчка, движущегося по релятивистским1 законам, свойства которого характеризовались посредством определенных скалярных, векторных и тензорных величин. Все это дало возможность снять

1Цервым, кто использовал специальную теорию относительности при работе над спиновым уравнением для частицы был Томас [3,4]. трудности, наблюдавшиеся в модели протяженного волчка.

Основные законы релятивистской классической теории спина были выдвинуты Френкелем в 1926 г. [5]. Теория Френкеля была построена на основе тензора магнитного момента , пропорционального тензору спина

Ha(i = /г0Па/3, где hq = eh/2moc — магнетон Бора. На этом пути было создано уравнение эволюции спина во внешнем электромагнитном поле, причем это уравнение обладало необходимыми ковариантными свойствами и описывало спин релятивистского электрона2.

То, что данное уравнение должно быть релятивистским, является существенным: для того, чтобы объяснить расщепление уровней, нужно рассмотреть спин-орбитальное взаимодействие, а оно является следствием наличия магнитного поля в системе покоя электрона, которое соответствует кулоновскому полю, создаваемому ядром атома в лабораторной системе отсчета. Трудность состоит в том, что уравнения для магнитного момента были известны только для частицы в покое. Для ускоренных частиц понятие системы покоя неоднозначно. Отсюда происходит прецессия Томаса — кинематический эффект, являющийся следствием неинерциальности системы покоя частицы.

Немного позже Таммом [8] была построена классическая теория спина на основе 4-вектора Sa. Несмотря на критику теории Френкеля со стороны Тамма, можно показать, что обе эти теории эквивалентны [9,10]. В частном случае постоянных и однородных полей уравнение движения вектора спина Sa совпадает с хорошо известным уравнением Баргманна-Мишеля-Телегди (БМТ) [11].

Вообще, задача о движении спиновой частицы во внешнем поле включает в себя не только описание прецессии спина, но и учет влияния спина на траекторию движения. Томас не пытался получить точные уравнения дви

2После открытия аномального магнитного момента уравнение Френкеля было обобщено Корбеном [6,7]. жения заряда. Он ограничился приближением, характерным для однородных полей — отсутствие влияния спина на траекторию движения частицы. Френкель первым получил ковариантные уравнения движения для релятивистской частицы в электромагнитном поле. Его уравнения были получены с помощью вариационного принципа. Из этих уравнений непосредственно вытекала возможность влияния спина на движение частицы. Вопрос о влиянии спина на траекторию частицы во внешних полях представляет не только чисто теоретический интерес. В частности, он привлекает внимание в связи с описанием движения релятивистских частиц в ускорителях [12].

Несмотря на продуктивность новой концепции спина, модель точечного волчка содержит некоторые логические противоречия за что и подвергалась критике. Зададимся вопросом: может ли спиновая частица рассматриваться как предел маленького вращающегося шарика, состоящего из сплошной материи. Мёллер в 1950 г. показал, что для вращающегося материального континуума с положительной плотностью энергии, данным спином и массой существует минимальный размер. Следовательно, точечный предел такой модели невозможен. С другой стороны, если считать, что электрон — точечная частица, то представление о точке, вращающейся вокруг оси, проходящей через эту точку, лишено физического смысла [13,14].

Первая релятивистская квантовая теория спина была построена Паули [15]. Следуя гипотезе Уленбека и Гаудсмита, он предложил двухкомпо-нентное обобщение волновой функции частицы с учетом двух возможных ориентаций электронного спина. Таким образом, спин в нерелятивистской теории Паули вводился феноменологическим постулатом, а само уравнение имело вид двухкомпонентного обобщения уравнения Шредингера.

Законченная квантовая теория спина была создана Дираком в 1928 г. [16, 17] после того, как им было предложено релятивистское волновое уравнение, описывающее электрон при любых значениях энергии. Позже она была обобщена на случай аномального магнитного момента [18]. Одним из достижений теории Дирака явилось отсутствие необходимости вводить спин частицы феноменологически. Дело в том, что спиновые свойства электрона уже заложены в самом уравнении Дирака. Поэтому в теории Дирака нельзя разделить свойства электрона, обусловленные его орбитальным движением и спином — они выступают как единое целое. Однако в нерелятивистском приближении уравнение Дирака переходит в уравнение Паули и при этом спин электрона получает обычную интерпретацию.

Заметим, что в теории Дирака существуют трудности в интерпретации ряда величин, которые в нерелятивистской теории имеют довольно прозрачный смысл. Это связано с особым характером движения релятивистского электрона — осцилляциями, сопровождающими обычное движение частицы (Zitterbewegung). Это является следствием интерференции состояний частицы с положительной и отрицательной энергией. При этом спиновые и орбитальные свойства частицы оказываются тесно связанными друг с другом. В частности, в теории Дирака (в отличии от теории Паули) сохраняется только полный момент количества движения. В связи с этим описание спина частицы в теории Дирака является одной из важных задач.

Решение этой задачи сводится к введению спиновых операторов: S, 5м, ГР". Каждый из этих операторов коммутирует с гамильтонианом (в случае свободной частицы) и обладает необходимыми свойствами релятивистской ковариантности, а кроме того, в системе покоя электрона переходит в оператор спина, введенный Паули. Эти операторы допускают обобщение на случай движения дираковской частицы во внешнем поле. Введение операторов поляризации открывает возможность разделения точных решений уравнения Дирака по спиновым состояниям. Это, в частности, позволило предсказать эффект радиационной поляризации электронов при их движении в накопительных кольцах [19].

Один из возможных способов построения спиновых операторов основывается на использовании представления Фолди-Вотхайзена (FW) [20]. Данное представление позволяет разделить состояния с положительной и отрицательной энергией и дает возможность перехода к двухкомпонентной волновой функции. Фактически речь идет о переходе к нерелятивистскому приближению. Только при этом условии возможна наглядная физическая интерпретация спина. Однако все это имеет место лишь для свободной частицы. В случае, если электрон движется во внешнем электромагнитном поле, использование FW-представления оказывается затруднительным. Поэтому возникает необходимость развития методов описания поляризации электрона, допускающих обобщение на случай движения частицы во внешнем поле.

Особенно сильно классическая теория спина подверглась критике после создания Дираком релятивистской квантовой теории электрона. Действительно, спин частицы имеет квантовую природу, и в связи с этим казалось бы, что попытки описания спина классическими методами заранее исключены. Рассмотренный выше классический подход к описанию спина вызывал трудности и подвергался критике, поскольку полученные в рамках этого подхода уравнения движения спина являлись независимым от квантовой механики постулатом и не содержали постоянную Планка.

В течение долгого времени классическая и квантовая теория спина развивались параллельно и независимо друг от друга. Казалось, что между ними не существует никакой связи. Большое число авторов, включая авторов широко известных книг [13,21], считали, что классической теории спина не существует вообще (см. также [22]).

Впервые указание на тот факт, что спин имеет классический предел, появилось в работе Маслова в 1963 г. [23]. Оказалось, что при h О классическое уравнение БМТ можно получить на основе квазиклассического приближения уравнения Дирака с аномальным взаимодействием Паули [24-27]. Фактически была создана квазиклассическая теория спина. Вместе с тем при описании взаимодействия спина частицы с внешним полем удобным явился другой подход, в котором релятивистские классические уравнения движения спина строятся методом усреднения операторных уравнений движения в форме Гейзенберга по квазиклассическому волновому пакету [28].

Можно показать, что эти уравнения могут быть получены как строгое следствие уравнения Дирака в рамках одночастичной задачи, когда можно отвлечься от процессов, связанных с рождением частиц [29]. При этом все операторы поляризации являются операторами одночастичной теории Дирака [30,31].

С этого момента классическая и квантовая теории спина начали развиваться пересекаясь и взаимно дополняя друг друга. В этом смысле можно наблюдать возрождение интереса к классической модели спина, однако на совершенно новом уровне понимания такого сложного явления, как динамика спина релятивистской частицы.

Наиболее важным аргументом в пользу классической теории спина, стало то, что уравнение БМТ успешно подтвердилось результатами экспериментов по прецизионным измерениям аномального магнитного момента электрона [32,33] и мюона [34]. Кроме того, классическая теория спина позволила также получить спектр масс тяжелых частиц, находящийся в хорошем согласии с экспериментальными данными [35].

В связи с наличием классического предела в квантовой теории спина, оказалось, что некоторые поляризационные эффекты, считавшиеся ранее чисто квантовыми, можно описывать методами классической электродинамики. Например, квантовые переходы с переворотом спина для нейтрона в однородном магнитном поле описываются прецессией классического вектора (или тензора) спина [36].

Несмотря на быстрое развитие квантовой теории спина [37-43], классическая теория спина в связи с ее удобством в интерпретации поляризационных эффектов релятивистских частиц и определении фундаментальных постоянных [35,44] остается не менее актуальной и продолжает развиваться до сих пор.

Однако существует ряд проблем при построении последовательной классической теории спина. Это связано с большим разнообразием в подходах к классическому описанию спина, которые не всегда согласуются друг с другом. Обсуждение этих вопросов является актуальным, поскольку многие проблемы спиновых свойств элементарных частиц (неколлинеарность импульса и скорости частицы, происхождение прецессии Томаса, излучение спиновых частиц и т.д.) могут быть, по-видимому, разрешены только при помощи классической теории. Корректно сформулированная классическая теория спина позволяет также понять более глубоко некоторые чисто квантовые свойства спиновых частиц, например, такие, как рождение пар, Zitterbewegung, проблема максимального ускорения и д.р.

Развитие классической теории спина несомненно является актуальной задачей, поскольку существует целая область релятивистской квазиклассики, в которой квантовая теория укладывается в пределы применимости классической теории. Таким образом, появляется возможность не только дать исчерпывающую физическую интерпретацию уже известных в квантовой теории результатов, но и содействовать дальнейшему обоснованию эксперимента в рамках классической теории.

Все вышесказанное является своего рода определением принципа соответствия в теории спина. Сюда входят не только вопросы построения классических спиновых уравнений движения, но также и такая важная и интересная область, как принцип соответствия в теории излучения магнитного момента. Остановимся подробнее на некоторых из этих вопросов.

Для начала рассмотрим проблему соответствия между собственными значениями спиновых операторов. Как известно, для свободной дираков-ской частицы существует большое количество спиновых операторов. В основе всех определений спиновых операторов должен лежать тот факт, что спин, как физическая величина, характеризующая собственный механический момент частицы может быть определен только в системе покоя [45]. Поэтому все эти операторы органически связаны друг с другом. Однако какой из этих операторов является "истинным", другими словами, собственное значение какого оператора необходимо использовать при конкретных расчетах результатов эксперимента? Решение данной проблемы лежит в использовании инвариантных спиновых соотношений, на основе которых можно выделить направления в пространстве, проекции спиновых операторов на которые дают одинаковые собственные значения. Подобный подход был рассмотрен исчерпывающим образом для свободной дираковской частицы, однако и для частицы в электромагнитном поле также возможно построение таких направлений.

Другая не менее интересная проблема связана со спин-флип переходами частицы. Как известно, квантовые переходы с переворотом спина (спин-флип переходы) играют большую роль в радиационных процессах с участием собственного магнитного момента электрона (нейтрона). Ранее считалось, что излучение с переворотом спина имеет исключительно квантовый характер [46]. Однако, в последнее время было установлено, что такие же результаты дает и классическая теория излучения магнитного момента [47-50]. Возникает вопрос, каким образом можно объяснить данное совпадение. Решение этой проблемы лежит в предположении того факта, что спин-флип переход может быть описан в классическом приближении через решения уравнения БМТ, т.е. как некоторая динамика классического спина.

Для начала рассмотрим переходы с переворотом спина нейтрона в однородном магнитном поле. Известно, что в этом случае излучение в квантовой теории полностью обуславливается спин-флип переходами [51]. Возможность такого излучения возникает в связи с тем, что нейтрон обладает аномальным магнитным моментом. При этом у нейтрона энергия частицы зависит от ориентации магнитного момента по отношению к направлению поля. Существуют две возможные ориентации магнитного момента нейтрона и они обладают различным характером устойчивости в отношении взаимодействия частицы с электромагнитным вакумом. Поэтому оказываются возможными спонтанные переходы нейтрона между состояниями, отличающимися ориентацией магнитного момента. Такие переходы сопровождаются излучением фотонов и одновременным изменением ориентации магнитного момента нейтрона в направлении, обладающим наибольшей устойчивостью.

Как известно [48,52], в классической теории излучения собственный магнитный момент, ориентированный вдоль или против направления магнитного поля, не излучает при равномерном и прямолинейном движении. Тем не менее излучение нейтрона в рамках классической теории можно объяснить прецессией спина в плоскости, ортогональной направлению магнитного поля. При этом все характеристики этого излучения соответствуют результатам, полученным в квантовой теории излучения при перевороте спина [48]. Из вышесказанного следует, что фактически не существует различия между классической и квантовой интерпретацией излучения в нестационарном представлении спин-флип переходов. Все это позволяет построить некоторую классическую модель, которая будет корректно описывать излучение нейтрона при квантовых переходах с переворотом спина.

Следующим шагом в этом направлении должно стать рассмотрение квантовых переходов электрона в однородном магнитном поле. Эта проблема не менее актуальна, поскольку позволяет обосновать использование классической теории спина и релятивистской полуклассической теории излучения при расчете экспериментов на современных ускорителях.

Известно, что полуклассический метод [53], когда движение заряда описывается классическим способом, а квантовые переходы вычисляются на основе матричных элементов, весьма эффективно работает в ультрарелятивистском случае при сверхвысоких энергиях электронов. Например, при энергиях порядка 2,5 ГэВ, типичных для современных накопителей электронов с характерным параметром Hp « 107 Э, уровни энергии электронов достигают значений п ж 1017, а связанный с излучением перескок на более низкие уровни энергии составляет всего лишь An/n ~ Ю-7. Согласно соотношению неопределенностей все квантовые процессы в этом случае развертываются в области с размером всего лишь несколько ангстрем (см. более подробно об этом в [54]). Ясно, что при радиусе орбиты порядка 10 метров это ничтожно малая величина и можно уверенно оперировать понятием классической или, точнее, полуклассической траектории электрона.

В теории синхротронного излучения, полуклассический метод позволил определить все квантовые поправки к мощности синхротронного излучения, включая эффекты с переворотом спина [36,48]. Кроме необыкновенной простоты вычислений этот метод дает также очень наглядную картину всех физических процессов, происходящих при сверхвысоких энергиях электронов (эффекты отдачи, радиационная самополяризация спина, излучение магнитного момента, смешанное излучение заряда и магнетона, излучение с учетом аномального магнитного момента электрона и др.).

Несмотря на явные успехи полуклассической теории синхротронного излучения, строгое обоснование этого метода на основе точных решений уравнения Клейна-Гордона или уравнения Дирака, как нам известно, до сих пор не рассматривалось. Основные положения этой теории фактически постулировались на основе соотношений неопределенности (см. также [53]).

В диссертации будет показано, каким образом можно сформировать решения классического уравнения движения заряда и спинового уравнения БМТ в квантовой теории на основе нестационарных волновых функций, являющихся решениями уравнений Клейна-Гордона или Дирака-Паули для заряженной частицы в однородном магнитном поле (см. общие положения в работе [55]). Упрощенный вариант этого метода был применен в работе [56] для выявления физической картины поведения продольной поляризации спина при движении электрона в магнитном поле. Для описания квантовых спин-флип переходов нейтрона в магнитном поле этот метод использовался в работе [36].

Наконец, одна из интересных задач, связанных с принципом соответствия в теории излучения магнитного момента, относится к проблеме интерпретации первой квантовой поправки к мощности синхротронного излучения. Известно, что эта поправка обусловлена интерференцией излучения заряда и собственного магнитного момента (смешанное излучение). Здесь впервые заявляет о себе новый феномен природы, связанный с излучением собственного магнитного момента электрона (спиновый свет). Обращается внимание на расхождение результатов классической и квантовой теории смешанного излучения.

Причина этого расхождения обусловлена отсутствием в мощности классического смешанного излучения вклада от томасовской прецессии спина. Однако, можно показать, что после спиновой перенормировки массы в классической теории все характеристики смешанного излучения в той и другой теориях совпадают друг с другом. Из этого следует, что прецессия Томаса в действительности не является источником релятивистского излучения [57]. Этот вывод согласуется с известными утверждениями о спиновой зависимости массы частиц и чисто кинематическом происхождении прецессии Томаса.

Таким образом, подытоживая все вышесказанное, можно заключить, что в диссертации предпринята попытка на ряде примеров показать работу принципа соответствия между квантовомеханическим и классическим подходами к описанию спина.

Основными задачами диссертации явились:

- разработка последовательного математического аппарата классической теории спина на основе общих принципов релятивистской классической механики для движения заряженной частицы с собственным магнитным моментом во внешнем скалярном и электромагнитном полях, а также получение новых дополнительных аргументов в пользу принципа соответствия в теории спина;

- проблема соответствия собственных значений различных спиновых операторов;

- построение классической модели спин-флип переходов для нейтрона в однородном магнитном поле;

- формулировка полуклассического принципа соответствия для релятивистских электронов (п 1) в однородном магнитном поле; верификация движения заряда и спина для частицы со спином 0 и 1/2 в однородном магнитном поле;

- определение роли прецессии Томаса в теории излучения релятивистских частиц на основе принципа соответствия между классической и квантовой теорией излучения.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, двух приложений и списка литературы.

Заключение

Перечислим основные результаты, выносимые на защиту:

1. Разработан последовательный математический аппарат классической теории спина на основе общих принципов релятивистской классической механики для заряженной частицы со спином 1/2 во внешнем скалярном и электромагнитном полях. Получены новые дополнительные аргументы в пользу принципа соответствия в теории спина;

2. Разработаны методы квантовой теории спина, дающие адекватное классическому пониманию описание спиновых свойств релятивистских частиц. В рамках этого подхода решена проблема соответствия между собственными значениями разных спиновых операторов. С этой целью построены инвариантные спиновые соотношения для свободной частицы, исходным пунктом которых является проекция спина в системе покоя.

3. На основе нестационарной волновой функции уравнения Дирака-Паули построена классическая модель спин-флип переходов для нейтрона в однородном магнитном поле. Показано, что средние значения спиновых операторов частицы в точности соответствуют решениям спиновых уравнений для нейтрона в однородном магнитном поле.

4. Сформулирован полу классический принцип соответствия для релятивистских электронов (n 1) в однородном магнитном поле. На основе этого принципа верифицированы движение заряда и спина электрона в однородном магнитном поле. Полученные результаты дают обоснование широко используемой релятивистской полуклассической теории излучения.

5. Определена роль прецессии Томаса в теории излучения релятивистских частиц. На основе принципа соответствия между классической и квантовой теорией излучения показано, что прецессия Томаса не дает вклада в излучение частицы. В тоже время правильное выражение для первой зависящей от спина квантовой поправки к мощности син-хротронного излучения может быть достигнуто посредством спиновой перенормировкой массы, т.е. с учетом в массе частицы взаимодействия спина и электромагнитного поля.

В заключение мне бы хотелось выразить искреннюю благодарность моему научному руководителю профессору Владимиру Александровичу Бордо-вицыну за всестороннюю помощь в работе, многочисленные плодотворные обсуждения и советы.

Я признателен профессору Багрову Владиславу Гаврииловичу за многочисленные полезные дискуссии и постоянный интерес к работе.

1. Ulenbeck G. E., Goudsmit S. Ersetzung der Hypothese vom unmechanischen Zwang durch eine Forderrung bezuglich des inneren Verhalltens jedes einzelnen Electrons//Naturwissenschaften. - 1925. -Bd.13. - Hf.47. - S.953-954.

2. Ulenbeck G. E., Goudsmit S. Spinning electrons and the structure of spectra//Nature. 1926. - Vol.117. - P.264-265.

3. Thomas L. H. Motion of the spinning electron//Nature. 1926. - Vol.117.- P.264.

4. Thomas L. H. The kinematic of an electron with an axis//Phil. Mag. -1927. Vol.3. - N.13. - P. 1-22.

5. Frenkel J. Die Elektrodynamik des rotienden Elektron//Zs. Phys. 1926.- Bd.37. S.243-262.

6. Corben H. C. Spin in classical and quantum theory//Phys. Rev. 1961.- Vol.121. N.6. - P.1833-1839.

7. Corben H. C. Radiation damping of spinning particles//Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1962. - Vol.48. - P.387-395.

8. Tamm I. Zur Elektrodynamik des rotierenden Electrons//Zs. Phys. -1929. Bd.55. - S.199.

9. Бордовицын В. А., Вызов H. H. О ковариантной форме уравнений движения заряженного магнетона//Изв. вузов. Физика. 1977. - Т.20.- N.10. С.36-40.

10. Тернов И. М., Бордовицын В. А. Классическая теория спина Я. И. Френкеля//УФН. 1980. - Т.132. - С.345-352.

11. Bargmann V., Michel L., Telegdi L. L. Presession of the polarization of particles moving in homogenuous electromagnatic field//Phys. Rev. Lett.- 1959. Vol.2. - N.10. - P.435-436.

12. Дербенев Я. С., Кондратенко А. М. Кинетика поляризации частиц в накопителях//ЖЭТФ. 1973. - Т.64. - Вып. 6. - С.1918-1929.

13. Ландау J1. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т.З. Квантовая механика. М.: Физматлит, 1963. - 630 с.

14. Вильф Ф. Ж. Еще раз о спине точечной частицы, формуле Эйнштейна и релятивистском уравнении Дирака. М.: УРСС, 2000. - 94 с.

15. Pauli W. Zur Quantenmechanik des magnetischen Eleetronen//Zs. Phys.- 1927. Bd.43. - S.601-623.

16. Dirac P. A.M. The quantum theory of the electron//Proc. Roy. Soc. -1928. Vol.All7. - P.610-624.

17. Dirac P. A.M. The quantum theory of the electron//Proc. Roy. Soc. -1928. V0I.AII8. - P.351-361.

18. Pauli W. Relativistic field theories of elementary particles//Rev. Mod. Phys. 1941. - Vol.13. - P.203-232.

19. Тернов И. M. Радиационная поляризация электронов и позитронов при их движении в накопительных кольцах//ЭЧАЯ. 1986. - Т. 17. -Вып. 5. - С.884-928.

20. Foldy L. L., Wouthuysen S. A. On the Dirac theory of spin 1/2 particles and its non-relativistic limit//Phys. Rev. 1950. - Vol.78. - N.l. - P.29-36.

21. Соколов А. А., Лоскутов Ю. М., Тернов И. М. Квантовая механика. -М.: Учпедгиз, 1962. 324 с.

22. Corben Н. С. Factors of 2 in magnetic moments, spin-orbit coupling, and Thomas precession//Am. J. Phys. 1993. - Vol.61. - N.6. - P.551-553.

23. Маслов В. П. Квазиклассическая ассимптотика решения уравнения Дирака//УМН. 1963. - Т.18. - N.4. - С.220-222.

24. Rubinow S. I., Keller J. В. Asymptotic solution of the Dirac equation//Phys. Rev. 1963. - Vol.131. - N.6. - P.2789-2796.

25. Rafanelli K., Schiller R. Classical motion of spin-1/2 particles//Phys. Rev.

26. B. 1964. - Vol.135. - N.l. - P.279-281.

27. Kolsrud M. Covariant and Hermitian semi-classical limit of quantum dynamical equations for spin-1/2 particles//Nuovo Cim. 1965. - Vol.39.- P.504-518.

28. Тернов И. M., Бордовицын В. А. Квазиклассическая теория спина/ /Вестн. Моск. ун-та. Сер. III. Физика. Астрономия. 1982. - Т.23.- N.6. С.72-76.

29. Соколов А. А., Тернов И. М. Релятивистский электрон. М.: Наука, 1983. - 328 с.

30. Тернов И. М. Уравнение эволюции спина релятивистского электрона в представлении Гейзенберга//ЖЭТФ. 1990. - Т.98. - Вып. 4(10).1. C.1169-1172.

31. Тернов И. М., Халилов В. Р., Павлова О. С. Об уравнениях движения спина во внешнем поле. I//Изв. вузов. Физика. 1978. - Т.21. - N.12.- С.89-95.

32. Тернов И. М., Халилов В. Р., Павлова О. С. Об уравнениях движения спина во внешнем поле. П//Изв. вузов. Физика. 1979. - Т.22. - N.2. - С.39-44.

33. Schupp S. A., Pidd R. W., Crane Н. R. Measurement of g-factor of free, high-energy electrons//Phys. Rev. 1961. - Vol.121. - N.l. - P.l-17.

34. Wilkinson D. Т., Crane H. R. Precision measurement of the g factor of free electron//Phys. Rev. 1963. - Vol.130. - N.3. - P.852-863.

35. Charpak G., Farley F. J. M., Garvin R. L. et al. Measurement of the anomalous magnetic moment of the muon//Phys. Rev. Lett. 1961. -Vol.6. - N.3. - P.128-132.

36. Скринский A. H., Шатунов Ю. M. Прецизионные измерения масс элементарных частиц на накопителях с поляризованными пучка-ми//УФН. 1989. - Т.158. - Вып. 2. - С.315-326.

37. Bordovitsyn V. A., Gushchina V. S., Myagkii А. N. Discussion on spin-flip synchrotron radiation//Nucl. Instrum. Methods A. 1998. - Vol.405. -P. 256-257.

38. Bargmann V. Irreducible unitary representation of the Lorentz group//Ann. Math. 1947. - Vol.48. - P.568-640.

39. Wigner E. On unitary representation of the unhomogeneous Lorentz group//Ann. Math. 1939. - Vol.50. - P.149-204.

40. Bargmann V., Wigner E. P. Group theoretical discussion of relativistic wave equations//Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1948. - Vol.34. - P.211.

41. Широков Ю. M. Релятивистская теория спина//ЖЭТФ. 1951. -Т.21. - Вып. 6. - С.748-760.

42. Широков Ю. М. Теоретико-групповое рассмотрение основ релятивистской квантовой механики. I. Общие свойства неоднородной группы Лоренца//ЖЭТФ. 1957. - Т.ЗЗ. - Вып. 4(10). - С.861-872.

43. Широков Ю. М. Теоретико-групповое рассмотрение основ релятивистской квантовой механики. II. Классификация неприводимых представлений группы Лоренца//ЖЭТФ. 1957. - Т.ЗЗ. - Вып. 5(11). -С.1196-1207.

44. Широков Ю. М. Теоретико-групповое рассмотрение основ релятивистской квантовой механики. III. Неприводимые представления классов Р и О не вполне приводимые представления неоднородной группы Лоренца//ЖЭТФ. 1957. - Т.ЗЗ. - Вып. 5(11). - С.1208-1214.

45. Corben Н. С. Structure of a spinning point particle at rest//Int. J. Theor. Phys. 1995. - Vol.34. - N.l. - P.3423-3435.

46. Darvin C. G. The wave equations of the electron//Proc. Roy. Soc. 1928.- V0I.AII8. N.780. - P.654-680.

47. Багров В. Г., Бозриков П. В., Гитман Д. М. и др. Излучение нейтрального фермиона, обладающего электрическим и магнитным моментами, во внешних постоянных и однородных электромагнитных полях//Изв. вузов. Физика. 1974. - Т.17. - N.6. - С.150-151.

48. Бордовицын В. А., Гущина В. С. Излучение релятивистских диполей. V//Изв. вузов. Физика. 1995. - Т.38. - N.3. - С.83-88.

49. Бордовицын В. А., Тернов И. М., Багров В. Г. Спиновый свет//УФН.- 1995. Т.165. - N.9. - С.1083-1094.

50. Тернов И. М., Бордовицын В. А., Эпп В. Я. Аномальный магнитный момент электрона и синхротронное излучение//Изв. вузов. Физика. -1990. Т.ЗЗ. - N.6. - С.22-26.

51. Тернов И. М., Бордовицын В. А., Эпп В. Я. Синхротронное излучение и собственный магнитный момент электрона//Изв. вузов. Физика. -1990. Т.ЗЗ. - N.5. - С.49-52.

52. Тернов И. М., Багров В. Г., Хапаев А. М. Электромагнитное излучение нейтрона во внешнем магнитном поле//ЖЭТФ. 1965. - Т.48. -Вып. 3. - С.921-927.

53. Бордовицын В. А., Гущина В. С. Излучение релятивистских диполей. IV//Изв. вузов. Физика. 1995. - Т.38. - N.2. - С.63.

54. Jackson J. D. On understanding spin-flip synchrotron radiation and the transverse polarization of electron in storage rings//Rev. Mod. Phys. -1976. Vol.48. - N.3. - P.417-433.

55. Synchrotron Radiation Theory And Its Development. In memory of I. M. Ternov/Ed. V. A. Bordovitsyn. Singapore: World Scientific, 1999. - 450 P

56. Fradkin D. M., Good R. H. Electron polarization operators//Rev. Mod. Phys. 1961. - Vol.33. - N.l. - P.343-352.

57. Тернов И. M., Багров В. Г., Рзаев Р. А., Клименко Ю. И. Движение поляризованного электрона, обладающего вакумным магнитным моментом//Изв. вузов. Физика. 1964. - Т.7. - N.6. - С. 111-121.

58. Bordovitsyn V. A., Myagkii А. N. Is the Thomas precession a source of SR power?//Nucl. Instrum. Methods A. 2001. - Vol.470. - N.l-2. - P.29-33.

59. Бордовицын В. А., Мягкий A. H. Спиновые инварианты и проблема однозначности спиновых операторов//Изв. вузов. Физика. 1999. -Т.42.-N.10.-С.7-11.

60. Мягкий A. H. Spin-flip и принцип соответствия/Ред. журн. "Изв. вузов. Физика". Томск, 1999. - 14 с. - Деп. в ВИНИТИ 27.10.99, N. 3192-В99.

61. Bordovitsyn V. A., Myagkii А. N. On the grounding of spin effects in theory of synchrotron radiation//Nucl. Instrum. Methods A. 2000. -Vol.448. - N.l-2. - P.81-84.

62. Бордовицын В. А., Мягкий A. H. Полуклассический принцип соответствия для движения заряда и прецессии спина в однородном магнитном поле//Изв. вузов. Физика. 2001. - Т.44. - N.4. - С.88-93.

63. Мягкий А. Н., Бордовицын В. А. Решение уравнения Дирака-Паули для однородного магнитного поля посредством винтовых функций Ян-нуссиса//Изв. вузов. Физика. 2001. - Т.44. - N.l. - С.93-95.

64. Bordovitsyn V. A., Myagkii А. N. Verification of the semiclassical method for an electron moving in a homogeneous magnetic field//Phys. Rev. E.- 2001. Vol.64. - N.4. - P.046503.

65. Тернов И. M. Введение в физику спина релятивистских частиц. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1975. - 300 с.66. de Vos J. A., Hilgevoord J. Five-dimensional aspect of force particle motion//Nucl. Phys. B. 1967. - Vol.1. - P.494-509.

66. Fradkin D. M., Good R. H. Tensor operator for electron polarization//Nuovo Cim. 1961. - Vol.22. - N.3. - P.643-649.

67. Hilgevoord J., Wouthuysen S. A. On the spin angular momentum of the Dirac particle//Nucl. Phys. 1963. - Vol.40. - P.l-22.

68. Chakrabarti A. Canonical form of the free-particle equations//J. Math. Phys. 1963. - Vol.4. - N.10. - P.1215-1222.

69. Jehle H., Parke W. C. Ralationship of the Foldy-Wouthuysen transformation to Lorentz transformations//Phys. Rev. 1965. - Vol.137.- N.3. P.350-363.

70. Stech B. Zur Streunng von Teilden mit dem Spin 1/2. Teill: Relativistische Behandlung der Streunng//Zs. Phys. 1956. - Bd.144.- Hf.1-3. S.214-218.

71. Тернов И. M., Багров В. Г., Бордовицын В. А. Ковариантное описание спиновых состояний ферми-частиц, движущихся во внешних по-лях//Изв. вузов. Физика. 1967. - Т. 10. - N.4. - С.41-45.

72. Багров В. Г. и др. О радиационной самополяризации электронов, движущихся в магнитном поле//Докл. Акад. Наук СССР. 1975. - Т.221.- N.2. С.312-314.

73. Bordovitsyn V. A., Gushchina V. S., Ternov I. М. Structural composition of synchrotron radiation//Nucl. Instrum. Methods A. 1995. - Vol.359.- N.l-2. P.34-37.

74. Синхротронное излучение/Под ред. А. А. Соколова и И. М. Тернова.- М.: Наука, 1966. 250 с.

75. Байер В. Н., Катков В. М. О радиационной поляризации электронов в магнитном поле//Яд. Физика. 1966. - N.1. - С.81-88.

76. Жуковский В. Ч., Никитина Н. С. Индуцированное двухфотонное син-хротронное излучение и комптоновское рассеяние//ЖЭТФ. 1973. -Т.64. - Вып. 4. - С.1169-1177.

77. Бордовицын В. А., Тернов И. М. Инвариантное определение релятивистских спиновых состояний в классической и квантовой теории с внешним полем//ТМФ. 1984. - Т.59. - N.2. - С.220-223.

78. Багров В. Г. Поляризационные свойства излучения релятивистских частиц, движущихся в магнитном поле: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. Москва, 1964.

79. Тернов И. М., Бордовицын В. А. К обоснованию классических уравнений движения заряда и спина дираковской частицы в одночастичной квантовой теории//Вестн. Моск. ун-та. Сер. III. Физика. Астрономия.- 1980. Т.21. - N.3. - С.8-12.

80. Дербенев Я. С., Кондратенко А. М., Скринский А. Н. Динамика поляризации частиц вблизи спиновых резонансов//ЖЭТФ. 1971. - Т.60.- Вып. 4. С.1216.

81. Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики. М.: Наука, 1979. -370 с.

82. Тернов И. М., Жуковский В. Ч., Борисов А. В. Квантовые процессы в сильном внешнем поле. М.: Изд-во МГУ, 1989. - 150 с.

83. Бордовицын В. А., Тернов И. М. Динамика спина в квантовой теории с дефинитной четностью операторов//ТМФ. 1983. - Т.54. - N.3. -С.338-345.

84. Бордовицын В. А. Квантовая теория с дефинитной четностью опера-торов//Изв. вузов. Физика. 1995. - Т.38. - N.4. - С.72-77.

85. Feshbach H., Villars F. Elementary relativistic wave mechanics of spin 0 and spin-1/2 particles//Rev. Mod. Phys. 1958. - Vol.30. - N.l. -P. 24-45.

86. Фок В. А. Работы по квантовой теории поля. JL: Изд-во ЛГУ, 1957.- 95 с.

87. Бордовицын В. А., Тернов И. М. Феномен Zitterbewegung в квантовой теории с дефинитной четностью операторов//Изв. вузов. Физика. -1991. Т.34. - N.2. - С.5-9.

88. Тернов И. М. О динамике спина электрона во внешнем электромагнитном поле//Препринт МГУ. 1988. - N.15. - 4 с.

89. Fock V. Die inneren Freiheitsgrade des Elektrons//Zs. Phys. 1931. -Bd.68. - S.522-534.

90. Бьеркен Д., Дрелл С. Релятивистская квантовая теория. Т.1. М.: Наука, 1978. - 325 с.

91. Foldy L. L. The electromagnetic properties of Dirac particle//Phys. Rev.- 1952. Vol.87. - N.5. - P.688-693.

92. Barker W. A., Chraplyvy Z. V. Conversion of an amplified Dirac equation to an approximately relativistic form//Phys. Rev. 1953. - Vol.89. - N.2.- P.446-451.

93. Kursunoglu B. Transformation of relativistic wave equation//Phys. Rev.- 1956. Vol.101. - N.4. - P.1419-1424.

94. Case К. M. Some generalizations of the Foldy-Wouthuysen transformation//Phys. Rev. 1954. - Vol.95. - N.5. - P.1323-1328.

95. Eriksen E. Foldy-Wouthuysen transformation. Exact solution with generalization to the two-particle problem//Phys. Rev. 1958. - Vol.111.- N.3. P.1011-1016.

96. Yang Т. W., Yildiz A. Motion of charged particles in a homogeneous magnetic field//Phys. Rev. D. 1971. - Vol.4. - N.12. - P.3643.

97. Yang T. W. Energy eigenvalues for charged particles in a homogeneous magnetic field an application of the Foldy-Wouthuysen transformation//Phys. Rev. D. - 1973. - Vol.7. - N.6. - P.1945-1948.

98. Weaver D. L. Some formal aspects of the Melosh and generalized unitary transformations of a class of massive-particle wave equations//Phys. Rev. D. 1975. - Vol.12. - N.8. - P.2325-2329.

99. Weaver D. L. Energy eigenvalues for a charged spin-1/2 particle in a homogeneous magnetic field//Phys. Rev. D. 1975. - Vol.12. - N.12. -P.4001-4002.

100. Moss R. E., Okninski A. Diagonal forms of the Dirac Hamiltonian//Phys. Rev. D. 1976. - Vol.14. - N.12. - P.3357-3361.

101. Barut А. О. Electrodynamics and Classical Theory of Fields and Particles.- New York: Mac Millan, 1964. 420 p.

102. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т.2. Теория поля.- М.: Наука, 1973. 503 с.

103. Иваненко Д. Д., Соколов А. А. Классическая теория поля. М.-Л.: Гостехиздат, 1951. - 432 с.

104. Ритус В. И. Сдвиг массы электрона в интенсивном поле//Труды ФИ-АН. 1986. - Т.168. - С.52-119.1101 Соколов А. А. Введение в квантовую электродинамику. М.: Физмат-гиз, 1958. - 534 с.

105. Широков Ю. М. Релятивистская теория трехмерно протяженных час-тиц//ЖЭТФ. 1952. - Т.22. - Вып. 5. - С.539-543.

106. Тамм И. Е. Собрание научных трудов. Т.2. М.: Наука, 1975. - 350 с.

107. Schwinger J. Spin precession a dynamical discussion//Am. J. Phys. -1974. - Vol.42. - N.6. - P.510-513.

108. Бордовицын В. А. О массе частицы со спином во внешнем поле//Изв. вузов. Физика. 1982. - Т.25. - N.3. - С.109.

109. Френкель Я. И. Собрание научных трудов. Т.1. Электродинамика. -М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1956. 420 с.

110. Nyborg P. Approximation relativistic equation of motion for an extended charged particle in an inhomogeneous external electromagnetic field//Nuovo Cim. 1964. - Vol.31. - P.1209-1228.

111. Берестецкий В. Б., Лифшиц Б. М., Питаевский Л. П. Квантовая электродинамика. М.: Наука, 1989. - 723 с.

112. Померанский А. А., Сеньков Р. А., Хриплович И. Б. Релятивистские частицы с внутренним моментом во внешних полях//УФН. 2000. -Т.170. - N.10. - С.1129-1141.

113. Паули В. Труды по квантовой теории. Статьи 1928-1958./Под ред. Я.А. Смородинского. М.: Наука, 1977. - 235 с.

114. Кесслер И. Поляризованные электроны. М.: Мир, 1988. - 367 с.128. de Vos J. A. Covariante beschrijving van de spinbeweging in een homogen electromagnetisch veld//Ned. T. Natuurk. 1961. - Vol.27. - N.8. -P.287-293.

115. Good R. H. Classical equations of motion for a polarized particle in an electromagnetic field//Phys. Rev. 1962. - Vol.125. - N.6. - P.2112-2115.

116. Багров В. Г., Бордовицын В. А. Классическая теория спина//Изв. вузов. Физика. 1980. - Т.23. - N.2. - С.67-76.

117. Nyborg P. Macroscopic motion of classical spining particles//Nuovo Cim. 1962. - Vol.26. - P.821-830.

118. Corben H. C. Classical and quantum theories of spining particles. San Francisco: Holden-Day, 1964. - 430 p.

119. Teitelboim С., Villarroel D., van Weert Ch. G. Classical electrodynamics of retarded fields and point particles//Riv. Nuovo Cim. 1980. - Vol.3.- P. 1-64.

120. Moller C. The Theory of Relativity. Oxford: Clarendon, 1972. - 510 p.

121. Moller C. On the dynamics of systems with internal angular momentum//Ann. Inst. H. Poincare. 1949. - Vol.11. - P.251.

122. Бордовицын В. А., Тернов И. M. О пуанкаре-инвариантном представлении спина в квантовой теории//ТМФ. 1982. - Т.51. - N.3. - С.327-334.

123. Bacry H. Les moments multipolaires en relativite restreinte: Ph.D. dissertation. Masson and C, Paris, 1963.

124. Бордовицын В. А., Сорокин С. В. Прецессия Томаса в произвольных электромагнитных полях//Изв. вузов. Физика. 1983. - Т.26. - N.8.- С.125.

125. Sard R. D. Relativistic Mechanics. New York: Beniamin, 1970. - 480 p.

126. Лобанов A. E., Павлова О. С. О соответствии квантового и классического описаний релятивистской нейтральной частицы со спином 1/2//Вестн. Моск. ун-та. Сер. III. Физика. Астрономия. 1999. - N.4.- С.3-5.

127. Бордовицын В. А. Релятивистский магнитный волчок в электромагнитных полях//Изв. вузов. Физика. 1993. - Т.36. - N.11. - С.39-45.

128. Cabrera G. G., Kiwi M. Large quantum-number states and the correspondence principle//Phys. Rev. A. 1987. - Vol.36. - N.6. - P.2995-2998.

129. Тернов И. M., Багров В. Г., Рзаев Р. А. Излучение быстрых электронов с ориентированным спином в магнитном поле//ЖЭТФ. 1964. -Т.46. - Вып. 1. - С.374-382.

130. Bondar А. Е., Saldin Е. L. On the possibility of using synchrotron radiation for measuring the electron beam polarization in a storage ring//Nucl. Instrum. Methods. 1982. - Vol.195. - P.577-580.

131. Belomestnykh S. A., Bondar A. E., Yegorychev M. N., others An observation of the spin dependence of synchrotron radiation intensity//Nucl. Instrum. Methods. 1984. - Vol.227. - P.173-181.

132. Бордовицын В. А. Спиновый свет. mL- и mTh-излучение релятивистского электрона//Изв. вузов. Физика. 1997. - Т.40. - N.2. - С.40-47.

133. Kulipanov G. N., Bondar А. Е., Bordovitsyn V. A., Gushina V. S. Synchrotron radiation and spin light//Nucl. Instrum. Methods A. 1998. - Vol.405. - N.2-3. - P. 191-194.

134. Бордовицын В. А., Разина Г. К., Вызов Н. Н. Излучение релятивистского магнетона. Ш//Изв. вузов. Физика. 1980. - Т.23. - N.10. -С.33-38.

135. Cohen J., Wiebe Н. Asymptotic radiation from spinning charged particles//J. Math. Phys. 1975. - Vol.17. - N.8. - P. 1496-1500.

136. Jannussis A. Die relativistische Bewegung eines Elektrons im aufieren homogenen Magnetfeld//Zs. Phys. 1966. - Bd.190. - S. 129-134.

137. Багров В. Г., Гитман Д. М. Точные решения релятивистских волновых уравнений. Н.: Наука, 1982. - 150 с.

138. Rabi I. I. Das freie Elektron in homogenen Magnetfeld nach der Diracschen Theorie//Zs. Phys. 1928. - Bd.49. - Hf.7-8. - S.507-511.

139. Тернов И. M., Багров В. Г., Жуковский В. Ч. Синхротронное излучение электрона, обладающего вакумным магнитным момен-том//Вестн. Моск. ун-та. Сер. III. Физика. Астрономия. 1966. - Т.7. - N.1. - С.30-36.