Спиновая динамика связанной электронно-ядерной системы в квантовых точках

Петров, Михаил Юрьевич

Спиновая динамика связанной электронно-ядерной системы в квантовых точках тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.10 ВАК РФ

Петров, Михаил Юрьевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Санкт-Петербург МЕСТО ЗАЩИТЫ

2012 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.10 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Спиновая динамика связанной электронно-ядерной системы в квантовых точках»

Автореферат диссертации на тему "Спиновая динамика связанной электронно-ядерной системы в квантовых точках"

Санкт-Петербургский государственный университет

На правах рукописи

005049745

ПЕТРОВ Михаил Юрьевич

СПИНОВАЯ ДИНАМИКА СВЯЗАННОЙ ЭЛЕКТРОННО-ЯДЕРНОЙ СИСТЕМЫ В КВАНТОВЫХ ТОЧКАХ

Специальность 01.04.10 — физика полупроводников

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

14 ФЕВ 2013

Санкт-Петербург — 2012

005049745

Работа выполнена на кафедре физики твердого тела физического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор,

профессор кафедры физики твердого тела физического факультета СПбГУ Игнатьев Иван Владимирович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор,

профессор кафедры квантовых магнитных явлений физического факультета СПбГУ Чижик Владимир Иванович

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник ФТИ им. А. Ф. Иоффе Глазов Михаил Михайлович

Ведущая организация: Институт физики полупроводников

им. А. В. Ржанова Сибирского отделения РАН

Защита состоится 14 февраля 2013 г. в 1на заседании совета Д 212.232.33 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Ульяновская ул. 1, конференц-зал НИИ Физики им. В. А. Фока.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. М. Горького СПбГУ.

Автореферат разослан // ¡я;*л_г

Ученый секретарь диссертационного совета, профессор

Лезов А. В.

Общая характеристика работы

Настоящая диссертационная работа посвящена теоретическому моделированию спиновой динамики связанной системы, содержащей спин резидентного электрона и множество спинов ядер атомов кристаллической решетки в полупроводниковых квантовых точках.

Актуальность исследования

Спиновая динамика электронов и ядер в полупроводниковых квантовых точках привлекает интерес научного сообщества в связи с потенциальной возможностью использования спина электрона в качестве элемента компьютерной логики (квантового бита), а самой квантовой точки в качестве элементарной логической ячейки в будущих реализациях квантового компьютера [1]. Важным преимуществом квантовых точек является возможность инициализации в них спинового состояния в полностью оптической схеме и, вместе с тем, возможность интеграции наноструктур на их основе в существующие полупроводниковые схемы [2].

В последнее десятилетие широкое распространение получили экспериментальные методики, позволяющие исследовать спиновую динамику локализованных в квантовой точке одиночных электронов—резидентных электронов [3]. Спиновая динамика резидентного электрона определяется, в основном, сверхтонким взаимодействием спина этого электрона со спинами ядер атомов, образующих квантовую точку [4].

Проблема квантово-механического описания спиновой динамики в квантовых точках заключается в том, что такая система содержит слишком большое число частиц N ~ 105. Точное аналитическое решение может быть получено лишь в некоторых случаях [5], в частности, в предположении однородного сверхтонкого взаимодействия [6]. Эта модель, тем не менее, не позволяет описать спиновую динамику в реальной квантовой точке, где сверхтонкое взаимодействие существенно неоднородно по ее объему. Поэтому развитие квантово-механического подхода, учитывающего неоднородность сверхтонкого взаимодействия является актуальной теоретической проблемой, связанной с описанием эксперимента.

Цель и задачи работы

Целью настоящей диссертационной работы является построение и анализ теоретических моделей динамики электронно-ядерной спиновой системы в условиях оптического возбуждения, учитывающих квантово-механическую природу спинов электрона и ядер и выходящих за рамки термодинамической теории.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

1. Построение теоретической модели для описания изменения оптического спектра и объема локализации электрона в квантовых точках (1п,Оа)Аз/ОаА8. Определение величины ядерных спиновых флуктуаций в этих точках.

2. Построение квантово-механической модели для описания спиновой динамики электронно-ядерной системы в квантовой точке с учетом неоднородного по объему квантовой точки распределения электронной плотности. Расчет динамики поляризации ядерной спиновой системы при наличии оптической накачки спина электрона.

3. Формулировка полуклассического подхода для описания спиновой динамики электронно-ядерной системы в условиях оптической накачки. Расчет динамики этой системы в рамках полукалссической модели.

4. Анализ применимости полуклассического подхода для описания спиновой динамики электронно-ядерной системы путем сравнения результатов расчета этой динамики с расчетом в рамках квантово-механической модели.

Научная новизна

В работе развита оригинальная теоретическая модель для описания влияния отжига на оптические спектры квантовых точек (1п,Оа)А5/СаАз, с использованием которой впервые определена величина ядерных спиновых флуктуаций неполяризованной ядерной спиновой системы в этих точках. Построена оригинальная модель для описания деполяризации электронного спина в эффективном поле ядерных спиновых флуктуаций и его подавления внешним магнитным полем.

В работе предложена и реализована ступенчатая модель для описания спиновой динамики электронно-ядерной системы, учитывающая неоднородность величины сверхтонкого взаимодействия в пределах квантовой точки. С помощью этой модели теоретически рассчитаны временные зависимости динамической ядерной спиновой поляризации, аппроксимирующие на начальном этапе накачки зависимость, рассчитанную в точной модели. Показано, что ступенчатая модель качественно воспроизводит динамику электронно-ядерной спиновой системы, наблюдаемую в эксперименте при знакопеременной оптической накачке циркулярно поляризованным светом.

Продемонстрирован конкретный вид зависимости динамики поляризации ядерной спиновой системы от протокола накачки. Установлено, что при периодическом возбуждении эта динамика замедляется, и в ядерной спиновой системе возникает регулярное состояние, в то время как при стохастической накачке регулярного состояния не возникает. Впервые проведено количественное сравнение квантово-механического и полуклассического подходов к описанию спиновой динамики электронно-ядерной системы. Показано, что для неполяризованной ядерной системы, а также в условиях оптической накачки в нулевом магнитном поле обе модели количественно воспроизводят величины средних значений наблюдаемых величин. Однако, для случая оптического возбуждения системы в поперечном магнитном поле модели дают количественно различающиеся результаты.

Теоретическая и практическая значимость

Результаты работы могут быть использованы при исследовании когерентных оптических свойств наноструктур с квантовыми точками (1п,Оа)Л8/ОаАз. Полученные в работе результаты показывают, что предлагаемые теоретические модели могут использоваться для описания спиновой динамики в различных квантовых точках.

Защищаемые научные положения

1. Возникновение провала в экспериментально регистрируемой зависимости степени поляризации люминесценции (1п,Оа)Лк/ОаА5 квантовых точек во

внешнем магнитном поле обусловлено взаимодействием электронного спина с ядерными спиновыми флуктуациями.

2. В отличие от модели, предполагающей равномерное распределение электронной плотности в квантовой точке (модели ящика), модель, использующая аппроксимацию распределения электронной плотности ступенчатой функцией, позволяет описать динамику электронно-ядерной спиновой системы в квантовой точке в более широком временном интервале.

3. Динамика поляризации ядерной спиновой системы замедляется при периодической накачке электронной спиновой подсистемы в сравнении накачкой хаотически следующими импульсами. В этом случае в ядерной спиновой системе возникает регулярное состояние, блокирующее передачу углового момента от электронного спина в ядерную спиновую систему.

4. Теоретическое моделирование динамики электронно-ядерной спиновой системы в рамках квантово-механического и полуклассического подходов позволяет адекватно описать процесс синхронизации мод прецессий электронного спина в магнитном поле при периодической оптической накачке.

5. Рассчет эффекта синхронизации с использованием квантово-механического и полуклассического подходов дает качественно близкие, но количественно различающиеся результаты.

Апробация работы

Результаты проведенного исследования были доложены в виде семнадцати

докладов на конференциях разного уровня, в числе которых:

• International Symposium on "Nanostructures: Physics and Technology", Russia, 2007-2011m

• Всероссийская молодежная конференция «Физика и Прогресс», Санкт-Петербург, 2007-2008 гг.

• «50-я научная конференция МФТИ», Москва, 2007 г.

• «Всероссийская молодежная конференция по физике полупроводников и полупроводниковой опто- и наноэлектронике», Санкт-Петербург, 2007-2008 гг.

• Joint Advanced Student School "JASS", St. Petersburg, Russia, 2008.

• 5th and 6th International School and Conference on Spintronics and Quantum Information Technology "Spintech", Cracow, Poland, 2009 and Matsue, Japan, 2011.

• International Conference "Quantum Dots 2010", Nottingham, UK, 2010.

• Зимняя молодежная школа-конференция с международным участием Spinus «Магнитный резонанс и его приложения», Санкт-Петербург, 2010-2011 гг.

• The International Summer School on ITN "Spinoptronics" ("ISSO-2012"), St. Petersburg, Russia, 2012.

Кроме того, работа неоднократно обсуждалась на семинарах кафедры физики твердого тела физического факультета в Санкт-Петербургском государственном университете и в Физико-Техническом институте им. А. Ф. Иоффе.

Публикации

Основное содержание диссертации отражено в шести статьях в журналах, входящих в перечень ВАК. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка основных публикаций и списка цитируемой литературы. Объем диссертации составляет 117 страниц, включая 26 рисунков и 3 таблицы. Список цитируемой литературы содержит 99 наименований.

Краткое содержание диссертации

Во введении обосновывается актуальность диссертационного исследования, формулируются основные цели и задачи исследования, излагаются научные положения, выносимые на защиту, кратко описывается структура диссертационной работы.

Первая глава диссертации «Аналитический обзор литературы» посвящена анализу научных научных работ, в русле которых лежит диссертационное исследование. В ней обсуждаются основные концепции, лежащие в основе

исследований свойств спиновой системы электронов и ядер в твердых телах. Рассмотрен принцип использования оптической ориентации как метода исследования спиновых явлений в полупроводниках. Рассмотрены основные взаимодействия, влияющие на динамику электронно-ядерной спиновой системы в объемных полупроводниках. На основе анализа литературы сделан вывод, что в квантовых точках основным является сверхтонкое взаимодействие электронного спина со спинами ядер атомов кристаллической решетки, формирующих квантовую точку. Сделан анализ существующих теоретических моделей для описания спиновой динамики электронно-ядерной спиновой системы в квантовой точке. Приведен обзор наиболее интересных результатов, опубликованных по тематике диссертации. В заключение главы делается обоснование основных целей и задач диссертационной работы.

Вторая глава диссертации «Структура энергетических состояний носителей в квантовых точках (1п,Оа)Аз/СаА8» посвящена вопросу описания энергетической структуры состояний носителей в самоорганизованных квантовых точках (1п,Оа)А8/СаАз. Создана модель, дающая неплохое согласие с имеющимися экспериментальными данными по фотолюминесценции для серии образцов с квантовыми точками, отожженными в широком диапазоне температур.

В начале главы рассмотрен вопрос выбора геометрии модельной квантовой точки. Исходя из анализа изображения сканирующей электронной микроскопии образца с квантовыми точками, выбрана квантовая точка куполообразной формы, обладающая циллиндрической симметрией, и имеющая определенные латеральные размеры. Для такой квантовой точки выполнено моделирование изменения профиля концентрации индия и галлия в процессе их взаимной диффузии между квантовой точкой и барьерными слоями арсенида галлия, происходящей в результате послеростового отжига квантовых точек,

Далее описана процедура расчета упругих напряжений, возникающих в самоорганизованных квантовых точках. Описание иллюстрируется примером расчета компонент тензора деформаций в рамках приближения сплошной среды, адаптированного для модели, обладающей цилиндрической симметрией. Результаты расчетов профиля концентрации индия и возникающих упругих напряжений в квантовой точке используются для расчета профилей потенциалов,

ч е

й и о

локализующих электроны зоны проводимости и тяжелую и легкую дырки в валентной зоне.

После этого, с использованием одночастичного приближения, описывается процедура расчета энергетического спектра и волновых функций электрона и дырок, локализованных в квантовых точках. Для экситона, находящегося в основном энергетическом состоянии, проведен расчет энергии его рекомбинации с учетом кулоновского взаимодействия электрона и дырки. Изменение энергии основного оптического перехода в зависимости от температуры отжига квантовых точек сравнивается с экспериментально измеренными спектрами фотолюминесценции для серии образцов с отожженными квантовыми точками (1п,Оа)А8/ОаАз. Результаты этого расчета приведены на рис. 1.

Третья глава «Полуклассическое описание динамики электронного спина в оптическом эксперименте» описывает эффект взаимодействия электронного спина со спинами ядер с использованием модели, в которой действие ядерных спинов на спин электрона описывается классическим магнитным полем, величина которого случайна и может флуктуировать.

Согласно модели, описанной в работе [5], действие ядерной спиновой системы на электронный спин можно представить как эффективное магнитное поле Вдг (поле ядерных спиновых флуктуаций), случайное по величине и направлению. Величина флуктуации этого поля обратно пропорциональна квадратному корню из числа ядерных спинов в объеме локализации электрона. Используя модель квантовой точки, описанную во второй главе диссертации, удалось рассчитать без дополнительных подгоночных параметров величину объема локализации электрона и дисперсию поля Вдг.

| , 1—I 1 | ' | г~ -' | ЧЛ. неотожженная

ЛУ~860 °С

900«с;

920 °С......Г

945 °С А

980 °С

1 1.1 1.2 1.3 1.4 Энергия фотона (эВ)

1.5

Рис. 1. Спектры фотолюминесценции (ФЛ) серии образцов с квантовыми точками (1п,Оа)Аз/СаА8, неотожженными и отожженными при различных температурах. Вертикальными линиями показаны рассчитанные положения оптических переходов.

(а)

0.1

(б)"

-100 -50 0 50 100 Магнитное поле, В (мТл)

Рис. 2. (а) Схема прецессии электронного спина в суммарном поле Вт = В + Вдг (см. детали в тексте), (б) Электронная спиновая поляризация как функция величины внешнего магнитного поля. Кружки — экспериментальная зависимость, сплошная линия—модельный расчет, пунктирная линия — аппроксимация функцией Лоренца.

Быстрая прецессия электронного спина в магнитном поле Вт = В + Вдг, составленном из внешнего В и эффективного поля Вдг, сохраняет продольную компоненту 5ц. Экспериментально наблюдаемой является величина пропорциональная ее г-проекции [рис. 2(а)]. Используя результаты расчета дисперсии эффективного поля Вдг смоделирована зависимость остаточной электронной спиновой поляризации от величины внешнего магнитного поля [рис. 2(6)]. Показано, что модельный расчет достаточно хорошо описывает экспериментальную зависимость степени поляризации фотолюминесценции для отожженных квантовых точек (1п,Оа)А5/ОаАз. Кроме того, модельный расчет хорошо аппроксимируется функцией Лоренца (5г) = - ^(д/д^]* ГДе величина В/ = 22 мТл определяет величину ядерных спиновых флуктуаций.

В четвертой главе диссертации «Квантово-механическая „ступенчатая" модель — "graded box model"» описывается квантово-механическая модель, являющаяся расширением модели ящика [6]. В этой модели распределение электронной плотности в квантовой точке аппроксимируется ступенчатой функцией, а ядра разделяются на группы эквивалентных ядер. Сверхтонкое взаимодействие внутри одной группы эквивалентных ядер считается постоянным. Число групп

эквивалентных ядер п = 1 соответствует модели ящика, а в случае, когда число групп равно числу ядер в системе, п = N, модель является точной.

В этой главе диссертации описывается, каким образом гамильтониан электронно-ядерной спиновой системы может быть диагонализован, для чего была разработана оригинальная численная схема, основанная на применении алгоритма «разделяй и властвуй».

Далее описывается влияние оптической накачки на динамику электронно-ядерной спиновой системы. Идея заключается в том, что фотон приходящего импульса накачки разрывает связанное движение электронно-ядерной системы, ориентирует электронный спин в заданном состоянии, а состояние ядерной системы не модифицирует. После действия импульса в электронно-ядерной системе продолжается связанное движение. Угловой момент, переданный электрону от фотона накачки, таким образом, передается ядерной спиновой системе, в результате чего возникает динамическая ядерная спиновая поляризация.

Динамика поляризации ядерных спинов рассчитана в модели с различным числом групп эквивалентных ядер [рис. 3(а)]. Показано, что последовательным учетом неоднородности сверхтонкого взаимодействия можно рассчитать динамику ядерной спиновой поляризации на увеличивающемся временном интервале.

Рис. 3(6) демонстрирует эффект, связанный с периодичностью следования импульсов накачки. Если электронный спин ориентируется через равные промежутки времени, то в распределении ядерных спиновых флуктуаций проявляется некоторая периодичность [см. вставку на рис. 3(6)]. При этом передача углового момента в ядерную спиновую систему блокируется, а динамика ядерной спиновой поляризации замедляется.

В пятой главе диссертации «Сравнение квантово-механического и полуклассического подходов» описано сопоставление двух подходов к описанию спиновой динамики электронно-ядерной системы. В начале главы записан гамильтониан электронно-ядерной спиновой системы во внешнем магнитном поле, кратко сформулированы основные положения квантово-механической модели, уже рассмотренной в четвертой главе, а также приведен вывод уравнений движения для средних значений спина электрона и полного момента

О 50 100 150

С/АТ

Рис. 3. (а) Динамика ядерной спиновой поляризации, рассчитанная в модели с N = 24 ядерными спинами I = \/2, разделенных в различное количество групп п. Значения стационарных уровней поляризации для различных п показаны пунктирными линиями, (б) Динамика ядерной спиновой поляризации, рассчитанная в модели с N = 48 ядер со спинами / = 1/2, разделенными на п = 2 группы, рассчитанная при периодической (сплошная линия) накачке, и при стахостической (кружки) накачке. На вставке показаны распределения эффективного магнитного поля для неполяризованной системы (пунктирная линия) и двух протоколов накачки (сплошная линия и кружки).

ядерных спинов. После этого постулируется система уравнений, описывающих взаимную прецессию классических моментов, ассоциированных со спином электрона и ядерными спинами. Делается утверждение, что для количественного сравнения результатов расчета в двух моделях, результат полуклассического подхода необходимо усреднить с функцией распределения ядерных спиновых флукгуаций.

Рис. 4. Динамика г-компоненты электронного спина в промежутках между импульсами накачки в поперечном магнитном поле, рассчитанная в квантово-мёханической модели (кружки) и в полу классической модели (сплошная линия), (а) после действия первого импульса, (б) после действия 9-го импульса, (в) после действия 309 импульса, (г) после действия 499 импульса.

Далее в этой главе показан пример расчета функции распределения величины полного момента ядерных спинов. Показано, что в квантово-механической модели его величина определяется как число состояний с заданным значением полного момента, а в полуклассическом подходе—плотностью нормального распределения, записанной в сферических координатах. Расчет показывает, что эти функции совпадают уже для относительно небольшого числа ядерных спинов N ~ 20 в системе, что частично обосновывает применение квантово-механической модели, рассматривающей лишь несколько десятков ядерных спинов, для качественного описания спиновой динамики в реальных квантовых точках.

После этого в диссертации рассматривается динамика электронного спина, инициированного единичным импульсом накачки и взаимодействующего с ядерной спиновой системой. Результаты расчетов в рамках квантово-механического и полуклассического подходов сопоставляются с аналитическим результатом, полученным ранее в работах [5, 6], с которым найдено хорошее соответствие.

В дальнейшем производится сравнение результатов расчета в рамках двух

описанных подходов для спиновой динамики электронно-ядерной системы при наличии периодической оптической накачки электронного спина. Сопоставляются результаты расчета для случая нулевого внешнего магнитного поля и случая поперечного поля. В поперечном магнитном поле обе модели демонстрируют проявление подстройки частот прецессии электронного спина (рис. 4). Обе модели демонстрируют частичное восстановление электронной спиновой поляризации к моменту прихода импульса накачки (банчинг) после нескольких десятков пришедших импульсов. В обеих моделях возникают регулярные состояния в распределении ядерных спиновых флуктуаций. Обсуждаются различия амплитуды банчинга, делается вывод о принципиальном различии моделей, несмотря на качественное сходство результатов расчета, полученных в их рамках.

В заключении сформулированы основные результаты работы. В конце диссертации приводятся список публикаций и список цитируемой литературы.

Основные результаты работы

Основные результаты, приведенные в диссертационной работе, можно сформулировать следующим образом.

• Построена теоретическая модель, адекватно описывающая изменение оптических спектров наноструктуры с (1п,Са)А5/СаА.я квантовыми точками в результате отжига. Сравнение результатов расчета с экспериментально измеренными спектрами квантовых точек позволило оценить средний размер точек и его зависимость от температуры отжига.

• Использование этой модели позволило рассчитать, без использования дополнительных подгоночных параметров, величину эффективного поля ядерных спиновых флуктуаций в неполяризованной ядерной системе, действующего на спин резидентного электрона.

• Теоретически смоделирован эффект дефазировки электронного спина за счет ядерных спиновых флуктуаций и его подавление внешним полем. Рассчитанная в рамках модели полевая зависимость степени спиновой поляризации резидентного электрона полностью соответствует экспериментальным наблюдениям.

• Для описания спиновой динамики электронно-ядерной системы развита ступенчатая модель, являющаяся обобщением широко используемой модели ящика. Модель учитывает неоднородность распределения электронной плотности внутри квантовой точки путем замены этого распределения ступенчатой функцией и объединения ядерных спинов в группы.

• С помощью этой модели получены временные зависимости ядерной спиновой поляризации, повторяющие друг друга на начальном временном интервале в присутствии накачки электронного спина.

• Показано, что динамика поляризации ядерной спиновой системы зависит от протокола накачки — при периодическом возбуждении эта динамика замедляется, и в ядерной спиновой системе возникает регулярное состояние.

• Установлено, что ступенчатая модель качественно воспроизводит динамику спиновой системы, наблюдаемую в эксперименте при знакопеременной оптической накачке циркулярно поляризованным светом.

• Проведено сравнение квантово-механического, использующего формализм матрицы плотности, и полуклассического, использующего уравнения совместной прецессии электронного и ядерного спинов, подходов к описанию спиновой динамики электронно-ядерной системы. Показано, что для непо-ляризованной ядерной системы, а также в условиях оптической накачки в нулевом магнитном поле модели дают практически одинаковые результаты.

• При возбуждении системы в присутствии поперечного оси оптической накачки магнитного поля, квантово-механическая и полуклассическая модели дают качественно похожие, но количественно различающиеся результаты. Это различие обусловлено малостью величины электронного спина S = \/2, описание динамики которого в рамках классического подхода изначально является спорным вопросом.

Основные публикации по теме диссертации

1. М. Yu. Petrov, I. V Ignatiev, S. V Poltavtsev, A. Greilich, A. Bauschulte, D. R. Yakovlev, and M. Bayer, "Effect of thermal annealing on the hyperfine interaction in InAs/GaAs quantum dots," Phys. Rev. В 78, 045315 (2008).

2. M. Yu. Petrov, G. G. Kozlov, I. V Ignatiev, R. V. Cherbunin, D. R. Yakovlev, and M. Bayer, "Coupled electron-nuclear spin dynamics in quantum dots: A graded box model approach," Phys. Rev. В 80, 125318 (2009).

3. К. Flisinski, I. Ya. Gerlovin, I. V. Ignatiev, M. Yu. Petrov, S. Yu. Verbin, D. R. Yakovlev, D. Reuter, A. D. Wieck, and M. Bayer, "Optically detected magnetic resonance at the quadrupole-split nuclear states in (In,Ga)As/GaAs quantum dots," Phys. Rev. В 82, 081308(R) (2010).

4. M. Yu. Petrov, S. V Yakovlev, I. V Ignatiev, D. R. Yakovlev, and M. Bayer, "Effect of magnetic field on the electron-nuclear spin dynamics in quantum dots," J. Phys.: Conf. Sen 245, 012028 (2010).

5. R. V. Cherbunin, K. Flisinski, I. Ya. Gerlovin, I. V. Ignatiev, M. S. Kuznetsova, M. Yu. Petrov, D. R. Yakovlev, D. Reuter, A. D. Wieck, and M. Bayer, "Resonant nuclear spin pumping in (In,Ga)As quantum dots," Phys. Rev. В 84, 041304(R) (2011).

6. M. Ю. Петров, С. В. Яковлев, "Сравнение квантовомеханического и полуклассического подходов для анализа спиновой динамики в квантовых точках," ЖЭТФ 142, 363 (2012), [JETP, 115, 326 (2012)]

Список цитируемой литературы

1. D. D. Awschalom, D. Loss, and N. Samarth, eds., Semiconductor Spintronics and Quantum Computation (Springer, Berlin, 2000).

2. F. Henneberger and O. Benson, eds., Semiconductor Quantum Bits (Pan Stanford Publishing, Singapore, 2009).

3. P. Michler, ed., Single Semiconductor Quantum Dots (Springer, Berlin, 2009).

4. M. I. Dyakonov, ed., Spin Physics in Semiconductors (Springer, Berlin, 2008).

5. I. A. Merkulov, Al. L Efros, and M. Rosen, "Electron spin relaxation by nuclei in semiconductor quantum dots," Phys. Rev. В 65,205309 (2002).

6. Г. Г. Козлов, "Точно решаемая спиновая динамика электрона, взаимодействующего с большим числом ядер, и электронно-ядерное спиновое эхо в квантовой точке," ЖЭТФ 132, 918 (2007), [JETP 105, 803 (2007)]

Подписано в печать 30.122012г. Формат 60x84/16 Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз. Типография «Восстания -1» 191036, Санкт-Петербург, Восстания, 1.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Петров, Михаил Юрьевич

Введение

Глава 1. Аналитический обзор литературы

1.1. Спиновая поляризация носителей в полупроводниках и ее детектирование в оптическом эксперименте.

1.2. Оптическая ориентация носителей в кристаллах.

1.3. Основные взаимодействия в электронно-ядерной спиновой системе в кристалле.

1.4. Электронно-ядерная спиновая система в квантовых точках

1.5. Выводы.

Глава 2. Структура энергетических состояний носителей в квантовых точках (1п,Са)А8/СаА

2.1. Отожженные квантовые точки (1п,Оа)А8/ОаАз.

2.2. Упругие напряжения в квантовой точке.

2.3. Моделирование энергетических состояний и оптических переходов

2.3.1. Потенциалы локализации носителей.

2.3.2. Энергетические состояния носителей в одночастичном приближении

2.3.3. Моделирование оптических переходов и сравнение с экспериментом.

2.4. Выводы.

Глава 3. Полуклассическое описание динамики электронного спина в оптическом эксперименте

3.1. Ядерные спиновые флуктуации в квантовых точках (In,Ga)As/GaAs.

3.2. Подавление ядерных спиновых флуктуаций внешним магнитным полем.

3.3. Выводы.

Глава 4. Квантово-механическая «ступенчатая» модель — "graded box model"

4.1. Описание модели.

4.1.1. Физическая постановка задачи и математическая формулировка модели.

4.1.2. Блочно-диагональное представление гамильтониана и матрицы плотности.

4.1.3. Диагонализация блоков матрицы гамильтониана

4.1.4. Наблюдаемые величины.

4.2. Электронно-ядерная спиновая динамика при возбуждении светом постоянной поляризации.

4.3. Электронно-ядерная спиновая динамика при возбуждении модулированным по поляризации светом.

4.4. Выводы.

Глава 5. Сравнение квантово-механического и полуклассического подходов

5.1. Постановка задачи.

5.2. Функции распределения величины полного спинового момента ядер.

5.3. Динамика электронного спина, ориентированного одиночным импульсом накачки.

5.4. Продолжительная периодическая накачка ядерной системы

5.4.1. Нулевое внешнее магнитное поле.

5.4.2. Поперечное внешнее магнитное поле.

5.5. Выводы.

Введение диссертация по физике, на тему "Спиновая динамика связанной электронно-ядерной системы в квантовых точках"

В основе современной полупроводниковой электроники лежат принципы, заложенные в 1960-х годах. Базовым ее элементом является кремниевый транзистор. Технологический прогресс второй половины XX века позволил существенно уменьшать размеры транзистора, что привело к увеличению производительности вычислительных систем не в разы, но на порядки. Однако, в начале XXI века величина транзисторов стала настолько малой, что на дальнейшее уменьшение с использованием существующих принципов их работы начинают накладываться квантово-механические ограничения. В этих условиях для последующего увеличения производительности вычислительных систем и увеличению плотности записи информации необходимо будет использовать совершенно новые физические принципы.

Большой интерес представляет возможность создания квантового компьютера, с использованием нового логического элемента на основе двухуровневой квантово-механической системы—квантового бита, или кубита. Идея квантового компьютера была предложена Фейнманом [1] и позже была подхвачена в ряде работ других авторов [2-7]. В качестве возможных кандидатов на роль кубита были предложены, например, одиночные ионы [8] или спины одиночных электронов [9]. Необходимыми условиями для реализации квантового компьютера являются изолированная от внешних воздействий физическая среда, содержащая расширяемое число кубитов, возможность инициализации каждого кубита в начальное состояние, большое время когерентности кубита, возможность измерения состояния кубита, а также набор простых логических блоков для совершения элементарных операций [5]. Первое из условий является, на сегодняшний день, наиболее критичным для физической реализации квантового компьютера.

Полупроводниковые квантовые точки являются с этой точки зрения хорошим кандидатом для использования в качестве кубита [10-12]. Квантовые точки представляют собой нанокристаллы полупроводника размером 10-100 нм, пространственно ограниченные и изолированные друг от друга полупроводниковой кристаллической матрицей. Это позволяет использовать их для локализации единичного электрона. В качестве кубита предлагается использовать спин электрона, инициализацию и контроль которого можно осуществлять в оптическом эксперименте [И]. Расширяемость системы кубитов, построенных на основе квантовых точек—вопрос, связанный с возможностями технологии роста нанокристаллов, развитие которой за последние двадцать лет шагнуло далеко вперед [12].

Важной проблемой на пути создания кубита на основе квантовой точки является понимание принципов, заложенных в физической картине спиновой динамики пространственно локализованных электронов. Дело в том, что в отличие от объемных кристаллов, в которых электроны могут свободно двигаться по кристаллу, в квантовых точках их движение ограничено. Механизмы спиновой релаксации, связанные с движением электрона [13], при этом подавлены. Однако, в такой системе основную роль начинает играть сверхтонкое взаимодействие спина электрона со спинами ядер атомов кристаллической решетки [14]. Действие ядерных спинов на спин электрона можно представить как воздействие эффективного магнитного поля. При отсутствии ядерной спиновой поляризации, случайные флуктуации ядерных спинов деполяризуют электронный спин. Для увеличения времени когерентности кубита необходимо специальным образом приготовить ядерную спиновую систему, поляризуя спины ядер до высокой степени, либо создав состояние со специальным распределением ядерных спиновых флуктуаций. Последний случай характеризуется тем, что ядерная спиновая система не может быть описана в рамках развитого термодинамического подхода, в основе которого лежит понятие спиновой температуры [15]. Для описания динамики электронного спина как кубита необходимо использовать существенно иные теоретические модели, учитывающие, в частности, квантово-механическую природу спина электрона и ядерных спинов.

Целью настоящей диссертационной работы является построение и анализ теоретических моделей динамики электронно-ядерной спиновой системы в условиях оптического возбуждения, учитывающих квантово-механическую природу спинов электрона и ядер и выходящих, тем самым, за рамки термодинамической теории.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

1. Построение теоретической модели для описания изменения оптического спектра и объема локализации электрона в квантовых точках (1п,Са)Аз/ОаА8. Определение величины ядерных спиновых флуктуа-ций в этих точках.

2. Построение квантово-механической модели для описания спиновой динамики электронно-ядерной системы в квантовой точке с учетом неоднородного по объему точки распределения электронной плотности. Расчет динамики поляризации ядерной спиновой системы при наличии оптической накачки спина электрона.

Основные результаты работы составляют следующие положения, выносимые на защиту:

1. Возникновение провала в экспериментально регистрируемой зависимости степени поляризации люминесценции (1п,Оа)А8/ОаА8 квантовых точек во внешнем магнитном поле обусловлено взаимодействием электронного спина с ядерными спиновыми флуктуациями.

4. Теоретическое моделирование динамики электронно-ядерной спиновой системы в рамках квантово-механического и полуклассического подходов позволяет адекватно описать процесс синхронизации мод прецессии электронного спина в магнитном поле при периодической оптической накачке.

Диссертация построена следующим образом. В главе 1 приведен аналитический обзор экспериментальных и теоретических работ, в которых ранее изучалась спиновая динамика электронно-ядерной системы в полупроводниках и полупроводниковых квантовых точках. Дан обзор теоретических моделей, используемых для описания этой динамики.

Глава 2 посвящена построению теоретической модели, позволяющей описать оптические спектры квантовых точек (1п,Оа)А8/ОаА8, отожженных при различных температурах. Результаты построения в дальнейшем используются в главе 3, в которой представлено теоретическое моделирование эффекта ядерных спиновых флуктуаций на электронный спин в структурах с этими квантовыми точками. В этой главе производится теоретическое обоснование влияния ядерных спиновых флуктуаций на формирование провала электронной спиновой поляризации в отрицательно заряженных квантовых точках в присутствии внешнего магнитного поля.

В главе 4 представлена ступенчатая модель, позволяющая с квантово-механической точностью описать спиновую динамику в модельной системе, состоящей из одного спина электрона и ограниченного числа ядерных спинов. Эта модель позволила описать динамику ядерной спиновой поляризации из неполяризованного состояния с учетом пространственной неоднородности сверхтонкого взаимодействия, не выходя за рамки строгих квантово-механических рассуждений. Кроме того, в модели показано, что динамика поляризации ядерной системы существенным образом зависит от протокола оптического возбуждения, показаны различия в этой динамике для строго периодической накачки и накачки хаотически следующими импульсами. В этой модели качественно описан эффект модулированной по поляризации накачки на динамику электронной спиновой поляризации, детектированную в эксперименте.

В главе 5 приведено сравнение двух подходов к описанию спиновой динамики: строгого квантово-механического и полуклассического, основанного на использовании классических уравнений прецессии средних спинов. Показано, что во многих случаях применение полуклассической модели является оправданным, поскольку его результаты не только качественно, но и количественно согласуются с результатами квантово-механического расчета. Однако в определенных условиях, результаты, полученные в рамках полуклассического подхода, могут количественно существенно отличаться от таковых, полученных в квантово-механической модели.

В Заключении сформулированы основные результаты данной работы. В конце диссертации приведен список основных публикаций и список цитируемой литературы.

Заключение диссертации по теме "Физика полупроводников"

Основные результаты, приведенные в данной диссертационной работе, можно сформулировать следующим образом.

• Построена теоретическая модель, адекватно описывающая изменение оптических спектров наноструктуры с (1п,Оа)Аз/ОаА8 квантовыми точками в результате отжига. Сравнение результатов расчета с экспериментально измеренными спектрами квантовых точек позволило оценить средний размер точек и его зависимость от температуры отжига.

• Показано, что динамика поляризации ядерной спиновой системы зависит от протокола накачки—при периодическом возбуждении эта динамика замедляется, и в ядерной спиновой системе возникает регулярное состояние.

• Проведено сравнение квантово-механического, использующего формализм матрицы плотности, и полуклассического, использующего уравнения совместной прецессии электронного и ядерного спинов, подходов к описанию спиновой динамики электронно-ядерной системы. Показано, что для неполяризованной ядерной системы, а также в условиях оптической накачки в нулевом магнитном поле модели дают практически одинаковые результаты.

• При возбуждении системы в присутствии поперечного оси оптической накачки магнитного поля, квантово-механическая и полуклассическая модели дают качественно похожие, но количественно различающиеся результаты. Это различие обусловлено малостью величины электронного спина 5 = 1/2, описание динамики которого в рамках классического подхода изначально является спорным вопросом.

В заключение, автор хочет выразить благодарность своему научному руководителю, Ивану Владимировичу Игнатьеву, а также Илье Яковлевичу Герловину и Ирине Анатольевне Юговой за многократные обсуждения результатов работы и ценные комментарии по тексту диссертации. Хотелось бы поблагодарить профессоров Технического Университета Дортмунда (Германия), Манфреда Байера (М. Bayer) и Дмитрия Робертовича Яковлева, в лаборатории которых были получены экспериментальные данные, приблизившие к реальности данную теоретическую работу. Выражаю, также, слова благодарности всем соавторам опубликованных работ, вошедших в данную диссертацию. Наконец, хотелось бы поблагодарить Александра Левантовского за реализацию приложения MagicPlot, с помощью которого были оформлены все иллюстрации к диссертации, а также отметить, что саму работу было бы много сложнее выполнить в Санкт-Петербурге без стипендиальной поддержки фонда некоммерческих программ «Династия».

Основные публикации по теме диссертации

2. M. Yu. Petrov, G. G. Kozlov, I. V Ignatiev, R. V Cherbunin, D. R. Yakovlev, and M. Bayer, "Coupled electron-nuclear spin dynamics in quantum dots: A graded box model approach," Phys. Rev. В 80,125318 (2009).

3. К. Flisinski, I. Ya. Gerlovin, I. V Ignatiev, M. Yu. Petrov, S. Yu. Verbin, D. R. Yakovlev, D. Reuter, A. D. Wieck, and M. Bayer, "Optically detected magnetic resonance at the quadrupole-split nuclear states in (In,Ga)As/GaAs quantum dots," Phys. Rev. В 82, 081308(R) (2010).

4. M. Yu. Petrov, S. V Yakovlev, I. V Ignatiev, D. R. Yakovlev, and M. Bayer, "Effect of magnetic field on the electron-nuclear spin dynamics in quantum dots," J. Phys.: Conf. Ser. 245, 012028 (2010).

5. R. V Cherbunin, K. Flisinski, I. Ya. Gerlovin, I. V Ignatiev, M. S. Kuznetsova, M. Yu. Petrov, D. R. Yakovlev, D. Reuter, A. D. Wieck, and M. Bayer, "Resonant nuclear spin pumping in (In,Ga)As quantum dots," Phys. Rev. В 84, 041304(R) (2011).

Заключение

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Петров, Михаил Юрьевич, Санкт-Петербург

1. R. P. Feynman, "Simulating physics with computers," Int. Journ. Theor. Phys. 21,467(1981).

2. P. BeniofF, "Quantum mechanical hamiltonian models of turing machines," J. Stat. Phys. 29, 515 (1982).

3. D. Deutsch, "Quantum theory, the Church-Turing principle and the universal quantum computer," Proc. R. Soc. London Ser. A 400, 97 (1985).

4. S. Lloyd, "A potentially realizable quantum computer," Science 261, 1569 (1993).

5. D. P. Di Vincenco, "Quantum computation," Science 270, 255 (1995).

6. N. A. Gershenfeld and I. L. Chuang, "Bulk spin-resonance quantum computation," Science 275, 350 (1997).

7. B. E. Kane, "A silicon-based nuclear spin quantum computer," Nature 393, 133 (1998).

8. J. I. Cirac and P. Zoller, "Quantum computations with cold trapped ions," Phys. Rev. Lett. 74, 4091 (1995).

9. D. Loss and D. P. Di Vincenco, "Quantum computation with quantum dots," Phys. Rev. A 57, 120 (1998).

10. D. D. Awschalom, D. Loss, andN. Samarth, eds., Semiconductor Spintronics and Quantum Computation (Springer, Berlin, 2000).

11. F. Henneberger and O. Benson, eds., Semiconductor Quantum Bits (Pan Stanford Publishing, Singapore, 2009).

12. P. Michler, ed., Single Semiconductor Quantum Dots (Springer, Berlin, 2009).

13. B. P. Zakharchenya and F. Meier, eds., Optical Orientation (North-Holland, Amsterdam, 1984).

14. M. I. Dyakonov, ed., Spin Physics in Semiconductors (Springer, Berlin, 2008).

15. A. Abragam, Principles of Nuclear Magnetism (Oxford, UK, 1962).

16. W. Gerlach and O. Stern, "Das magnetische Moment des Silberatoms," Z. Phys. 9, 353 (1922).

17. I. I. Rabi, J. R. Zacharias, S. Millman, and P. Kusch, "A new method of measuring nuclear magnetic moment," Phys. Rev. 53, 318 (1938).

18. E. Zavoisky, "Relaxation of liquid solutions for perpendicular fields," J. Phys. (USSR) 9, 211 (1945).

19. E. M. Purcell, H. C. Torrey, and R. V. Pound, "Resonance absorption by nuclear magnetic moments in a solid," Phys. Rev. 69, 37 (1946).

20. E Bloch, W. W. Hansen, and M. Packard, "The nuclear induction experiment," Phys. Rev. 70, 474 (1946).

21. W. D. Knight, "Nuclear magnetic resonance shift in metals," Phys. Rev. 76, 1259 (1949).

22. A. W. Overhauser, "Polarization of nuclei in metals," Phys. Rev. 92, 411 (1953).

23. G. Lampel, "Nuclear dynamic polarization by optical electronic saturation and optical pumping in semiconductors," Phys. Rev. Lett. 20, 491 (1968).

24. R. R. Parsons, "Band-to-band optical pumping in solids and polarized photoluminescence," Phys. Rev. Lett. 23, 1152 (1969).

25. J. Brossel, A. Kastler, and J. Winter, "Gréation optique d'une inégalité de population entre les sous-niveaux zeeman de l'état fondamental des atomes," J. Phys. Rad. 13, 668 (1952).

26. M. И. Дьяконов, В. И. Перель, "О спиновой поляризации электронов при межзонном поглощении света в полупроводниках," ЖЭТФ 60, 1954 (1971), Sov. Phys. JETP 33, 1053, (1971).

27. С. Kittel, Quantum Theory of Solids, 2nd ed. (John Wiley & Sons, USA, 1987).

28. E. Fermi, "Über die magnetischen Momente der Atomkerne," Z. Phys. 60, 320(1930).

29. D. Paget, G. Lampel, B. Sapoval, and V. I. Safarov, "Low field electron-nuclear spin coupling in gallium arsenide under optical pumping conditions," Phys. Rev. В 15, 5780 (1977).

30. В. JI. Берковиц, В. И. Сафаров, "Оптическое наблюдение ядерного квадрупольного резонанса в легированных полупроводниках," ФТТ 20, 2536 (1978), Sov. Phys. Solid State 20, 1468 (1978).

31. А. И. Екимов, А. А. Онущенко, "Квантовый размерный эффект в трехмерных микрокристаллах полупроводников," Письма в ЖЭТФ 34, 363 (1981), Sov. Phys. JETP Lett. 34, 345 (1981).

32. Ал. JI. Эфрос, A. JT. Эфрос, "Межзонное поглощение света в полупроводниковом шаре," ФТП 16, 1209 (1982).

33. D. Bimberg, M. Grundmann, and N. N. Ledentsov, Quantum Dot Hetero-structures (John Wiley & Sons, UK, 1998).

34. В. Г. Дубровский, Теоретические основы полупроводниковой нанотехно-логии (Изд. СПбГУ, Санкт-Петербург, 2007).

35. D. Gammon, Al. L. Efros, T. A. Kennedy, M. Rosen, D. S. Katzer, D. Park, S. W. Brown, V L. Korenev, and I. A. Merkulov, "Electron and nuclear spin interactions in the optical spectra of single GaAs quantum dots," Phys. Rev. Lett. 86,5176(2001).

36. I. A. Merkulov, Al. L Efros, and M. Rosen, "Electron spin relaxation by nuclei in semiconductor quantum dots," Phys. Rev. В 65, 205309 (2002).

37. A. V Khaetskii, D. Loss, and L. Glazman, "Electron spin decoherence in quantum dots due to interaction with nuclei," Phys. Rev. Lett. 88, 186802 (2002).

38. A. Khaetskii, D. Loss, and L. Glazman, "Electron spin evolution induced by interaction with nuclei in a quantum dot," Phys. Rev. В 67, 195329 (2003).

39. X. M. Dou, B. Q. Sun, D. S. Jiang, H. Q. Ni, and Z. C. Niu, "Electron spin relaxation in a single InAs quantum dot measured by tunable nuclear spins," Phys. Rev. В 84, 033302 (2011).

40. В. Urbaszek, X. Marie, T. Amand, O. Krebs, P. Voisin, P. Maletinsky, A. Hogele, and A. Imamoglu, "Nuclear spin physics in quantum dots: an optical investigation," (accepted in Rev. Mod. Phys., 2012), arXiv: 1202.4637 .

41. P.-F. Braun, B. Urbaszek, T. Amand, X. Marie, O. Krebs, B. Eble, A. Lemaitre, and P. Voisin, "Bistability of the nuclear polarization created through optical pumping in InixGaxAs quantum dots," Phys. Rev. B 74, 245306 (2006).

42. A. I. Tartakovskii, T. Wright, A. Russell, V I. Fal'ko, A. B. Van'kov, J. Skiba-Szymanska, I. Drouzas, R. S. Kolodka, M. S. Skolnick, P. W. Fry, A. Tahraoui,

43. H.-Y. Liu, and M. Hopkinson, "Nuclear spin switch in semiconductor quantum dots," Phys. Rev. Lett. 98, 026806 (2007).

44. B. Urbaszek, P.-F. Braun, T. Amand, O. Krebs, T. Belhadj, A. Lemaitre, P. Voisin, and X. Marie, "Efficient dynamical nuclear polarization in quantum dots: Temperature dependence," Phys. Rev. B 76, 201301 (2007).

45. P. Maletinsky, C. W. Lai, A. Badolato, and A. Imamoglu, "Nonlinear dynamics of quantum dot nuclear spins," Phys. Rev. B 75, 035409 (2007).

46. C. W. Lai, P. Maletinsky, A. Badolato, and A. Imamoglu, "Knight-field-enabled nuclear spin polarization in single quantum dots," Phys. Rev. Lett. 96, 167403 (2006).

47. P. Maletinsky, A. Badolato, and A. Imamoglu, "Dynamics of quantum dot nuclear spin polarization controlled by a single electron," Phys. Rev. Lett. 99, 056804 (2007).

48. R. V Cherbunin, S. Yu Verbin, T. Auer, D. R. Yakovlev, D. Reuter, A. D. Wieck,

49. Ya Gerlovin, I. V Ignatiev, D. V Vishnevsky, and M. Bayer, "Dynamics of the nuclear spin polarization by optically oriented electrons in a (In,Ga)As/GaAs quantum dot ensemble," Phys. Rev. B 80, 035326 (2009).

50. E. A. Chekhovich, M. N. Makhonin, K. V Kavokin, A. B. Krysa, M. S. Skolnick, and A. I. Tartakovskii, "Pumping of nuclear spins by optical excitation of spin-forbidden transitions in a quantum dot," Phys. Rev. Lett. 104, 066804 (2010).

51. R. I. Dzhioev and V L. Korenev, "Stabilization of the electron-nuclear spin orientation in quantum dots by the nuclear quadrupole interaction," Phys. Rev. Lett. 99, 037401 (2007).

52. P. Maletinsky, M. Kroner, and A. Imamoglu, "Breakdown of the nuclear-spin-temperature approach in quantum-dot demagnetization experiments," Nat. Phys. 5, 407 (2009).

53. O. Krebs, P. Maletinsky, T. Amand, B. Urbaszek, A. Lemaitre, P. Voisin, X. Marie, and A. Imamoglu, "Anomalous Hanle effect due to optically created transverse Overhauser field in single InAs/GaAs quantum dots," Phys. Rev. Lett. 104, 056603 (2010).

54. J. Fischer, W. A. Coish, D. V Bulaev, and Daniel Loss, "Spin decoherence of a heavy hole coupled to nuclear spins in a quantum dot," Phys. Rev. B 78, 155329 (2008).

55. B. Eble, C. Testelin, P. Desfonds, F. Bernardot, A. Balocchi, T. Amand, A. Miard, A. Lemaitre, X. Marie, and M. Chamarro, "Hole-nuclear spin interaction in quantum dots," Phys. Rev. Lett. 102, 146601 (2009).

56. I. A. Merkulov, G. Alvarez, D. R. Yakovlev, and T. C. Schulthess, "Long-term dynamics of the electron-nuclear spin system of a semiconductor quantum dot," Phys. Rev. B 81, 115107 (2010).

57. A. Greilich, D. R. Yakovlev, A. Shabaev, Al. L. Efros, I. A. Yugova, R. Oulton, V Stavarache, D. Reuter, A. Wieck, and M. Bayer, "Mode locking of electron spin coherences in singly charged quantum dots," Science 313, 341 (2006).

58. A. Greilich, A. Shabaev, D. R. Yakovlev, Al. L. Efros, I. A. Yugova, D. Reuter, A. D. Wieck, and M. Bayer, "Nuclei-induced frequency focusing of electron spin coherence," Science 317, 1896 (2007).

59. V. L. Korenev, "Multiple stable states of a periodically driven electron spin in a quantum dot using circularly polarized light," Phys. Rev. В 83, 235429 (2011).

60. M. M. Glazov, I. A. Yugova, and Al. L. Efros, "Electron spin synchronization induced by optical nuclear magnetic resonance feedback," Phys. Rev. В 85, 041303 (2012).

61. M. Gaudin, "Diagonalisation d'une classe d'hamiltoniens de spin," J. Phys. (Paris) 37, 1087 (1976).

62. A. Imamoglu, E. Knill, L. Tian, and P. Zoller, "Optical pumping of quantum-dot nuclear spins," Phys. Rev. Lett. 91, 017402 (2003).

63. H. Christ, J. I. Cirac, and G. Giedke, "Quantum description of nuclear spin cooling in a quantum dot," Phys. Rev. В 75, 155324 (2007).

64. J. M. Taylor, A. Imamoglu, and M. D. Lukin, "Controlling a mesoscopic spin environment by quantum bit manipulation," Phys. Rev. Lett. 91, 246802 (2003).

65. С. M. Рябченко, Ю. Г. Семенов, "Эффекты спиновой корреляции электронного центра большого радиуса в магнитосмешанном полупроводнике," ЖЭТФ 84, 1419 (1983), Sov. Phys. JETP 57, 825 (1983).

66. Г. Г. Козлов, "Точно решаемая спиновая динамика электрона, взаимодействующего с большим числом ядер, и электронно-ядерное спиновое эхо в квантовой точке," ЖЭТФ 132, 918 (2007), JETP 105, 803 (2007).

67. О. Gunawan, Н. S. Djie, and В. S. Ooi, "Electronics states of interdiffused quantum dots," Phys. Rev. В 71, 205319 (2005).

68. JI. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теория упругости, Курс теоретической физики, т. 7 (Физматлит, Москва, 2004).

69. J. Even, F. Doré, С. Cornet, L. Pedesseau, A. Schliwa, and D. Bimberg, "Semianalytical evaluation of linear and nonlinear piezoelectric potentials for quantum nanostructures with axial symmetry," Appl. Phys. Lett. 91, 122112 (2007).

70. O. Rand and V Ravenski, Analytical methods in anisotropic elasticity (Birkhaüser, Boston, 2004).

71. O. Madelung, U. Róssler, and M. Schulz, Numerical Data and Functional Relationships in Science and Technology, Landolt-Bornstein, New Series, Group III, Vol. 17, Pt. A (Springer, Berlin, 1987).

72. C. Pryor, J. Kim, L. W. Wang, A. J. Williamson, and A. Zunger, "Comparison of two methods for describing the strain profiles in quantum dots," J. Appl. Phys. 83, 2548 (1998).

73. O. Stier, M. Grundmann, and D. Bimberg, "Electronic and optical properties of strained quantum dots modeled by 8-band к • p theory," Phys. Rev. В 59, 5688 (1999).

74. С. G. Van de Walle, "Band lineups and deformation potentials in the modelsolid theory," Phys. Rev. В 39, 1871 (1989).

75. L. R. C. Fonseca, J. L. Jimenez, J. P. Leburton, and Richard M. Martin, "Self-consistent calculation of the electronic structure and electron-electron interaction in self-assembled InAs-GaAs quantum dot structures," Phys. Rev. В 57,4017(1998).

76. Г. JI. Вир, Г. Е. Пикус, Симметрия и деформационные эффекты в полупроводниках (Наука, Москва, 1972).

77. М. A. Cusack, Р. R. Briddon, and М. Jaros, "Electronic structure of InAs/GaAs self-assembled quantum dots," Phys. Rev. В 54, R2300 (1996).

78. C. Pryor, "Eight-band calculations of strained InAs/GaAs quantum dots compared with one-, four-, and six-band approximations," Phys. Rev. B 57, 7190(1998).

79. R. V N. Melnik and M. Willatzen, "Bandstructures of conical quantum dots with wetting layers," Nanotechnology 15, 1 (2004).

80. P. Y. Yu and M. Cardona, Fundamentals of Semiconductors (Springer, Berlin, 2001).

81. J. M. Luttinger and W. Kohn, "Motion of electrons and holes in perturbed periodic fields," Phys. Rev. 97, 869 (1955).

82. G. Fishman, "Hole subbands in strained quantum-well semiconductors in hhk. directions," Phys. Rev. B 52, 11132 (1995).

83. M. Tadic, F. M. Peeters, K. L. Janssens, M. Korkusinski, and P. Hawrylak, "Strain and band edges in single and coupled cylindrical InAs/GaAs and InP/InGaP self-assembled quantum dots," J. Appl. Phys. 92, 5819 (2002).

84. J. Even, F. Doré, C. Cornet, and L. Pedesseau, "Semianalytical model for simulation of electronic properties of narrow-gap strained semiconductor quantum nanostructures," Phys. Rev. B 77, 085305 (2008).

85. R. C. Weast, ed., Handbook of Chemistry and Physics (The Chemical Rubber Company, Cleveland, Ohio, 2001).

86. M. Bayer, O. Stern, A. Kuther, and A. Forchel, "Spectroscopic study of dark excitons in In^Gai-jcAs self-assembled quantum dots by a magnetic-field-induced symmetry breaking," Phys. Rev. B 61, 7273 (2000).

87. M. Bayer, G. Ortner, O. Stern, A. Kuther, A. A. Gorbunov, A. Forchel, P. Hawrylak, S. Fafard, K. Hinzer, T. L. Reinecke, S. N. Walck, J. P. Reithmaier,

88. F. Klopf, and F. Schäfer, "Fine structure of neutral and charged excitons in self-assembled In(Ga)As/(Al)GaAs quantum dots," Phys. Rev. В 65, 195315 (2002).

89. I. A. Yugova, A. Greilich, E. A. Zhukov, D. R. Yakovlev, M. Bayer, D. Reuter, and A. D. Wieck, "Exciton fine structure in InGaAs/GaAs quantum dots revisited by pump-probe Faraday rotation," Phys. Rev. В 75, 195325 (2007).

90. P. В. Чербунин, Долгоживущая спиновая поляризация в наноструктурах с квантовыми ямами и квантовыми точками, Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук (Санкт-Петербург, 2010).

91. S. Cortez, О. Krebs, S. Laurent, M. Senes, X. Marie, P. Voisin, R. Ferreira,

92. G. Bastard, J-M. Gérard, and T. Amand, "Optically driven spin memory in n -doped InAs-GaAs quantum dots," Phys. Rev. Lett. 89, 207401 (2002).

93. M. Ikezawa, B. Pal, Y. Masumoto, I. V. Ignatiev, S. Yu Verbin, and I. Ya Gerlovin, "Submillisecond electron spin relaxation in InP quantum dots," Phys. Rev. В 72, 153302 (2005).

94. JI. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Квантовая механика (нерелятивистская теория), Курс теоретической физики, т. 3 (Физматлит, Москва, 1970).

95. G. G. Kozlov, "The limiting nuclear polarization in a quantum dot under optical electron-spin orientation and applicability of the box-model of the electron-nuclear dynamics," (unpublished), arXiv:0801.1391 .

96. W. N. Gansterer, R. C. Ward, R. P. Muller, and W. A. Goddard, "Computing approximate eigenpairs of symmetric block tridiagonal matrices," SIAM J. Sci. Comput. (USA) 25, 65 (2003).

97. K. A. Al-Hassanieh, V V Dobrovitski, E. Dagotto, and B. N. Harmon, "Numerical modeling of the central spin problem using the spin-coherent-state P representation," Phys. Rev. Lett. 97, 037204 (2006).

98. Y. G. Semenov and K. W. Kim, "Effect of an external magnetic field on electron-spin dephasing induced by hyperfine interaction in quantum dots," Phys. Rev. B 67, 073301 (2003).

99. I. A. Yugova, M. M. Glazov, E. L. Ivchenko, and Al. L. Efros, "Pump-probe Faraday rotation and ellipticity in an ensemble of singly charged quantum dots," Phys. Rev. B 80, 104436 (2009)