Функциональные преобразования Лежандра и эффективная теория возмущения для квантовополевых моделей тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

РГ6 од

На правах рукописи

“ лир

ГШОЬМАК Юрия Михайлович

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛЕЖАНДРА И ЭФФЕКТИВНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ КВАНТОВОПОЛЕВЫХ МОДЕЛЕЙ

(ОТ.04.02 - теоретическая физика)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени докторэ физико-математических наук

Санкт-Петербург - 1993

Работа выполнена в отделе теоретической физики Научно-исследовательского института физики Санкт-Петербургского государственного университета. ,

. Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Л.Н.Липатов,

доктор физико-математических наук Ю.А.Куперин,

доктор физико-математических наук А.И. Соколов.

Ведущая организация - Санкт-Петербургское Отделение математического института им. В.А.Стеклова РАН.

Защита состоится " " 1993г.,

в/£Ч1с. на заседании специализированного совета Д 063.57.15-по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского университета.

Автореферат разослан "93" 1993г.

Ученый секретарь ' ■

специализированного совета

доктор физико-математических . '

наук А.Н.Васильев

- 3 -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш.С развиггеем квантовой теории поля, возникшей как математический аппарат для построения кваатоиой теории элементарных частиц, в теоретическую физику все более интенсивно внедряется формализм функционального интегрирования, который в настоящее время с успехом применяется практически во всех ее разделах, ишощих отношение к системам с бесконечным числом степеней свободы.

Метод функционального интегрирования в применении к физическим проблемам наиболее существенно применялся и разрабатывался в квантовой теории поля, поэтому квэнтозсшлоекш!, в гаироком смысле, часто называют задачи, которые допускают формулировку на языке функционального интеграла. С этой точки зрения стохастические модели, которые задаются дифференциальными уравнениями со случайными параметрами, эквивалентны некоторым моделям квантовополевых систем. Таким образом, аппарат квантовой теории поля может применяться не только для описания явлений из области теории элементарных частиц, но также для поиска решения многих нетрадиционных для нее и очень актуальных проблем современной теоретической физики . Так, например, это с успехом было

проделано для ряда задач, имекших отношение к турбулентности в швдкости и плазме, распространению волн в случайно-неоднородных средах, магнитной гидродинамике.

Одним из основных методов квантовой теории поля, с помощью которого подучены многие важные результаты, является метод теории возмущений. Он разрасотан у;ке давно, но наиболее

законченный вид приобрел с началом использования диаграмм Фейнмана. Благодаря этому появился счень удобный язык, позволяющий наглядно интерпрзтиропэтъ члены ряда теории

возмущений как описывающие некоторые физические процессы

виртуального взаимодействия элементарных возбуждений системы.

Ситуации, в которых применима каноническая, построенная по правилам Фешшанз, теория возмущений, характеризуются, как правило, тем, что корреляции фундзмонгальных полей квантовополевой модели экспоненциально быстро сп.-ирют :• увеличением расстояния, и можно поэтому говиркпь а

возбуждениях с локальным слабым взаимодействием.

Если же корреляционные функции основных полай в системе спадают медленно или даже растут, то выяснить, что ¡ко является элементарным возбуждением такой системы весьма непросто. В рамках формальной теории возмущений сделать это непосредственно, без использования каких-либо специальных методов невозможно, так как оказывается, что в такой ситуации высшие члены ряда теории возмущений существенно, зачастую качественно, меняют результаты, полученные по начальному его отрезку.

Подобного сорта трудности появляются, при исследованиях, очень многих важных проблем современной теоретической физики, к которым, относятся, например, критические явления 3 окрестности точки фазового перехода, сверхпроводимость, проблема невылетания кварков и глюонов, проблема описания связанных состояний квантовополевой системы. Таким образом, разработки методов исследования недартубативных явлений в квантовополевых моделях весьма актуальны.

В отдельных случаях задачу, для которой неприменима теория возмущений, можно решить точно . Это удается, однако, сделать только для довольно ограниченного класса в основном двумерных и одномерных моделей. Если точное решение построить не представляется возможным, задачу часто пытаются решить методом, который можно назвать эффективной теорией возмущений. Он состоит в модификации обычной теории возмущений, как правило, с помощью

• каких-либо частичных суммирований членов во ряда. Б итого, при последовательном проведении всей данной процедуры получается ряд .новой, "эффективной” теории возмущений, начальные отрезки которого уже являются хорошими приближениями.

Все вычисления в рамках эффективной теории возмущений ограничиваются обычно вычислениями главных вкладов, что само по себе является весьма нетривиальной задачей,, но корректно построенная эффективная теория возмущений позволяет , в принципе, вычислять также и все последующие поправки и делать оценку величины их вклада.Методы эффективной теории возмущений развивались уже давно. Одним из них можно сч:ггать метод рснормэлизэционной группы, применяемый для описания критических явлений. Toy не менее, для очень многих непертубативных проблем, находящихся в настоящее время в центре внимания исследователей, яостроейке» зфїекткзной теории возмущений является кетрявиэ.льной

!ï? '• !■ !.'•] "i'-l" "'і ’ - -

.• ■••зп'і()..• патп *.;гкйтся сбшктм, плаї ?со'іорьіх с:-у.:і

чаплнгтовпкяя теооия возмущений по сути окааивіоісл гі'фективн''Л. v-v-.: " ■ '!і!(.дао;;л-'і,і:ь:о гм’їїооїхізованиі. 'іеччнирч,

^'ккіппйі -■ ;:у фут-; .-.'і Грл.з. г.ак'-'чзя

гі"-’: ,нь'«, іііо< млжит служить

УЛГ'1 ! - iM't'i иОСтроЗлЛЯ ~ф|<-’-о и-:'0й ТСОрИН ВГИ'-Мун^НИЙ

«л« иогюглгуЛятивных задач.' В диошріацш раисиаггрлслггя

‘їм - ■-:!• -і’. • ■ ■.'lWiG;;?!ÎL- -і . ci V^VJ ' / : О ! С ". Р'.: СВЯЗЬ

С iipuu^mcJiVm іі . і’ГіССіД^'і^ І- ОКП ОЯ Nr:ST 0iU ¡J.Kp.'?THU-4

пяочатов в шмках подучающбйся этим способом эффективной теории

HiK^Mvintttmtï xj -.і. ^омпг-n тгитм. СірОііТСЛ

эффективная теории возмущений, осуществляющая сукч^роыашй

инфракрасных сингулярностей для задачи о распространении волн в случаіто-иеодаоїтодаой среде с ситьно разветыии флуїстучцилми, а така® для задачи о диффузии в а^учайпо-движущвЯся среде.

Цель дхиссерггзшовноЗ работы

; - ■ ¡гг.- !"'.но~о :г;з:;!ш ї;пткі"точ".лі ::н.х

і: и"ч ' 1 УГ1''::;:;ЧЧ1! , ►'.■'Г _>уА'; :,v llfl ;':<ЧЮЯ.'‘ '( Г‘ • П,Г ’)

:: "ігісГір') ''.Я'та.ь:,', ■' ; ,-:.та¡:\

г. ■ -і,!: : -■/:1 '.ҐУ•‘Ь с * : 11-’. '

ї "nr; .< і ^>¡'-0, ~ сл-ч.іг . rv'Y'"

:-СХ Ч- ; ¡’І ■' , - '- ;t”j о ;и;'і ;ГСГ;Ч- ^ ч у ; чь

я (Xі . і s.-u .‘-■п >ї.;-] і--'..p'Ji .л'о-н '-,.;(;ьо.іу .

!-.iiur-V'y'V;-: Vp-îi’i;: ‘".’5 >'•. iwî.îîi-; і- 5\vjür,', ,0;î:': :i.

Z. Применен»!» д«'ійгр^п..,'.;іс:і . о,' - - ■ л (ьііі.ік

Лйжашгоа для решения задач перечисления

(Il "Ijl.x I-.-; . ■ ; : -ЧМЧ Г'! .-¡¡/'М.

О . 1 V I ..U ...-J I .'L , : i ; ' 1. ' ’ : :

режимов квантовополевьос моделей на основе уравнений са;,;осоглзсования .порождаемых скелетной теориек возмущения для 3%і',кттз.тшк ”гг~<лмлпя«тий Ляжаипрз и применение их для

,і1'1'-:тлС:.'ІС'іП'іЯ ]\р7і 1 '-Г-ІС-С КИ-, \> .’OJil'i;. Л - 'Aî!,:ï 'l'-ï b

рамках і 'п-раз,уі'..'т0нил.

1. 'І!д:гр':о!іі-хі :%• v;;t i::\ï r.?zrr‘

в с !іуч.;Гп:о nt>vv(yiiïüK:H сгоне с fltv.ou;), ее

эквивалентной квантовополевой теории и применения метода ■ренормгругшы с использованием конкретных свойств симметрии модели. '

5. Построение эффективной теории возмущений для исследования асимптотики больших расстояний усредненной функции Грина задачи о распространении волн в случайно-неоднородной среде с сильно развитыми флуктуациями. Проведение конкретных расчетов для затухания волн лазерного света в одноосных жидких кристаллах.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются оригинальными и получены впервые.

Построены обобщения ' квантовополевых уравнений Бете-Солпитера • на п-частичный .случай.На примере трехчастичного случая продемонстрирован метод вывода из этих уравнений обобщений уравнений Фадцеева-Якубовского для квантовой теории поля. Получены квантовополевые аналоги уравнений Вайнберга для п частиц.

Предложены методы решения задач о перечислении п-связных графов, базирующиеся на использовании диаграммных представлений функциональных преобразований Лежандра, и, в качестве примера их применения, решена впервые задача о перечислении 3-связных помеченных графов.

Методом уравнений самосогласованна рычислеш в рамках 1/п-разложения поправки порядка 1/пг для индекса V и порядка 1/п3 для индекса » нелинейной »-модели. Разработан специальный метод ("метод уникальностей") расчета бозмассовых диаграмм, применявшийся в данных расчетах. Получена формулировка уравнений самосогласования для- теории И, пригодная для расчетов критического индекса п в рамках ^-разложения.

Для задачи о диффузии в сдучайно-движущейся безвихревой среде на основе детального анализе симметрии модели получены точные (в рамках ренормгрупповой теории возмущений) результаты для /»-функции и коэффициента аномальной диффузии.

Задача о распространении волны в случайно-неоднородной среде с сильно развитыми флуктуациями исследована методом ренормгруппы. Показано, что ренормгрупповые асимптотики . могут достигаться только в случае достаточно сильного взаимодействия ьолны с неоднородностями среда. Для случая степенного

коррелятора случайных неоднородностей получено "инфракрасное" представление для функции Грина, в котором все входящие величины не имеют инфракрасных сингулярностей и могут рассчитываться по обычной теории возмущений.

На осново инфракрасного представления проведены расчеты затухания скалярных волн на больших расстояниях, результаты которых для соответствующих корреляторов неоднородностей хорошо объясняют явления критической опалесценции и аномального утирания необыкновенного луча лагерного света в жидком кристалле. При этом впервые показано, что в последнем случае коэффициент зкстипцки логарифмически растет с увеличением расстояния. Произведены расчеты для затухания световой волны в одноосных жидких кристаллах трех типов (МББА, БМОАБ и Н-юа) на частоте неон-аргонового лазера.

Научная и практическая ценность. Разработанные методы и полученные ..на их основе результаты диссертации, могут быть использованы для описания связанных состояний и решения проблемы инфракрасных расходимостей з моделях квантовой теории поля при

экспериментальных исследованиях распространения света в жидких кристахчах.

Апробация работы Основные результаты диссертации опубликованы в работах п-газ и докладывались на сессиях Отделения Ндерной физики АН СССР, на научных семинарах ЛГУ, ЛОМИ АН СССР, ФТИ АН СССР, Гейдельбергского, Гамбургского. Берлинского и Бернского университетов , были представлены на IX Европейской конференции "Проблема нескольких тел а физике" (Тбилиси, 1984 г.).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, и семи приложений. Полный Объем диссертации 188 стр., включая список литературы из II? наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дается обоснование, актуальности, излай й задач .диссертации и приводится краткое изложение ее содержания,

определяется круг вопросов, составляют: !Х основной ¡¡р--,п:-;от дальнейшего рассмотрения, обсуждаются г Легли н мг- н\иы исследования. ■

В первой главе диссертации , а также в относящихся к :-jj приложениях 1 и 2 проводится описание основных свойств ф\-рм-|.,;1!:>мз функциональных преобразований Лежандра к рассма гриьаст cii '-vo применение для обобщения на случай квантовой теория >,; и

уравнений задачи n-тед нерелятивистской квантовой пзхэжки.

Рассматривается квантовая теория одного скааярно1 о ikww 4с полиномиальным действием

п А, ф

SC АЭ = -i Z ---------. С1Э

к =1

Здесь А^Схх......... хкЭ, 1<к<п, некоторые СИММСТрИЧНЫе фушСЦЯИ и

все необходимые интегрирования в сзз предгкмагатся выполненными. Порождающий функционал функций Грина имеет опт, :

п

. GCA5 = S expCiSC}Оф = S ехрС 2 ^—1Гф.

. к = 1

Полная функция Грина дк есть -

«•к

<5

ес АЗ,

£А^ Сх, ). . . О:: I:

а полная функция Грина, без вакуумных петель -

, _ 9кСх1.....V

ак 1*' ‘ ‘ Хк = ------Щ&ПО--------- '

Функционал’

■ УГСАЭ = 1п СХАЗ

является порождающим функционалом связных функции Грина

Функционал

k х .k

6Ai

ГСтЭ = W - £ с А СЭ5

к =1 К

называется функциональным преобразованием Лежандра порядка т. Его аргументами ЯВЛЯЮТСЯ функции а . 1<1<т, АК1т< к<п. Функции А1 для !<1<т.в (?) предполагаются выраженными в терминах аргументов г'-”0с ксжгаыо соотаовения его, которые могут быть переписанными

ЛЛЙ 1 <к<т В СЛЗПУЮШеМ ЗШ19:

6\К А5

'ТТО

В сил? соотношений (4). функционал

. к-1 *

тпа д л пяг'г'мя'т'пттояшт'оя '^ИЧСУПТОВЯТЇНЬМ пяР^вТРЫ,

ПП 7Т71 П^ЗСІТ '■» 1>Сї ТИП/ ^ІПЛ»* Г' ПОТ.1 /■"ТТЭГ)М *

-----= О, 1<к<т, С53

т.0, функции Гріша «х, і<і<ш рассматриваемой теории с действием (і) могут быть найдены в результате решения уравнений стационарности для функционала . $Ст:>, связанного, простым соотношением с гоэсЗразованвом Лежандра гс"°. Это свойство

а,0 І.'і; " аг ■ , а ЛРНіИ; Б ОСНОВИ ЗарИШДЮНКЫХ методов В

і: '/ізтистд-оской физики.

; ■■ V.’ -¡аоваши^ Лежандра г'1:0являются функции

ірПа:.. : ал,'Уу .. рЯ‘-'саЛ ТОСрИИ ЬОЗМуїЦСНРЛ ДЗННЫС функционал-,! і ч с ь" ¡;і; -ь !> ь/ • .ууммы скелетных диаграмм. а уравнениями атал.н, я:і,.'іасін ■ а д. і.і г'■ ^ 1 являются так называемый скелетные или аамосагл.-: еваш::,:о ур іГіїіоііі’Я для функций Гриш;. В отлично от урагяюниа Райя; ара за': -аапчная система уравнении. Однако каждое и? них является весьма сложным нелинейным уравнением, явный вид тсгтргт ’'звзстог. ппгбтг говоря, только в рпмкзх скплотпрй теетан а^аемиа

Если но какому-лиоо начальному приближению для гс 1,0 построить приближенные скелетные уравііения, решение таких уравнений с точки зрения обычной теории возмущений является суммой г'оештечн.п’с набора гра^д>в огроделпнисп о типа. 3 силу этого се свойства .диаграммная техника для ¡-.роеораапвааий Лежандра ьожет служить естественной основой построения оф>?кгивн"Х а’о--’р;ий воамущения для описании нот, /^еаа.кних непертубоаивтых ш-лэшш в моделях кзантиоой теориа ноля. ч

- 10 -

Диаграммная техника для функциональных преобразований Лежандра в. сильной степени зависит от того , в терминах каких переменных она рассматривается. Для них существуют "естественные" переменные, для которых диаграммная техника наиболее проста. Для эффективного действия - первого преобразования Лежандра такой переменной является среднее пола, для второго - среднее поле и полный пропагатор, для третьего к этим переменным добавляется еще полная трехточечная вершина, а для четвертого - 1-неприводимая четырехточечная вершина. Начина'я с пятого преобразования, правильно выбрать переменные ужо не так просто. Их определение и правила построения диаграммной техники для преобразования Лежандра произвольного порядка приводятся в приложении 1 диссертации.

Функциональные преобразования Лежандра тесно связаны с задачей п тел. В квантовой теории поля эту задачу можно сформулировать так: построить наиболее эффективные с точки

зрения проведения конкретных расчетов уравнения для п-частичной функции Грина.

'В принципе, функции Грина можно вычислять, решая скелетные уравнения . Однако эти уравнения, как уже .отмечалось выше, нелинейные и общих методов их решения не существует. В нерелятивистской квантовой механике функции Грина удовлетворяют линейным уравнениям, поэтому естественной путь обобщения этих уравнений на случай квантовой теории поля, состоит в том, чтобы нелинейные уравнения душ квантовополевых функций Грина представить в виде некоторых линейных уравнений с ядрами, для которых была бы построена своя теория возмущений (скелетная или обычная). Тогда теория возмущения для ядер данных уравнений будет порождать эффективную теорию возмущений для их решений.

Простейшим примером уравнения подобного вида является хорошо известное уравнение Бете-Солпитера для двухчастичной функции Грина. Чтобы получить аналогичные уравнения для п-частичных функций Грина, вводится понятие *-приводимости п-точечного графа, т.е. графа с п помеченными вершинами , в р,q-канале, n=p^q. для данного графа вначале фиксируется некоторый р.ч’-кэнал, разбиением набора его п помеченных вершин на две группы "in"- и "out"-вершин: в первой из них р вершин, а во второй - q. Если в данном графе можно разрывом к или менее линий добиться того, что в результате получится граф, у которого ни

одна из связных частей не содержит одновременно как"1п-", так и

"ои!. -ТО!'Г'1 - ;ТЧф НоЗЫВЭОТСЯ к-прив0.;ги?лым Б рЗССМЧТрИБЯе УО* р.ч-кан.-. :-о> I к отигшом случае од по опроде.’шию ’• -неприводим. Елятг ^гппгг -л. выбрать некоторый п.п-кягч.т и сЗогаигшь

- !^п- -шг^иводимаг в п,п-кэп,гг> "лстъ - —с .. ,

п! “ *“*1

1*0 фуНК!., • л ;:иа’.'-;ТВОряеТ УРЭШ^НИЮ

1 -■= а 14 , Сб;.-

пп пп

г я я;; -->г с^-ммо;: п- г-:'Г|:ыю№УЬ1У в г.,п-канал.'(

- рС. 1 Г- ' ЭТОМ* ^.¡ро^еТСЯ через свои связные

части сз11. 1<п. томно так же, как апп выражается через

СЬОИ чжП'м #т, . . } <т. Кчимв ТОГО,

ап = - 1--неприводимая в 1 ,1-канале часть Р~^Р1ХР^ • для ш , Р1Х = 1-1-неприводимая в 1,1-канала часть Огл . для 1>1,

= ’ 11и = рг '

т.е.-с!^ при 1>1есть сумма всех 1-неприводимых в 1.1-канале

графов связной ампутированной функции Грина Р^1Рг\-

Доказательство п-неприводимости . в п.п-канале ядра а .

основанном на использовании диаграммной техники для

г; ‘ч". • л :ча-’приводится в прияоштга £ диссертации.

•т •. • !.• ’•••.».••’ни», несвязного ядра а чего? его евиуные чисти

Г П! 1

: . !■ ‘ ' ГСП ^ СООТНОШЕНИЯ:

’ со X , .

- ’ Е . . ' л . V' ,Т1 1 ехр-с £ '1 V >

т-’О 1 “о 1 : “

Ур»в!19т’.« и я&акотся обобщениями длухчастичаого у] •авиония

Боте СОлК’ш’еро на г. -частичный случай.Б нерелятайистском предело и^ них подучаются уравнения Липмана-Швингера.

Как известно,в квантовой механике для п-чястиччых уравнений

.'¡И!;!, Гч]а- КвИНГОра суврстпуют проблемы, возн^ающие велоцств;«

ПОnji.iL*о I >1 ¿м*. 11рИ л/2 ( КО I ОрЫО рОШс^Ю 1 1> рсЬМКс1Х »

основанного на уравнениях Фадцеева-Якубовского. В замкнутом виде квантовополевые обобщения уравнения Фадцеева-Якубовского для п-чпсткц г настоязро время го сфпрвзглировзгаг, :ю в порвал глаьг диссертации на примера простейшего трехчясту.чииП) случал демонстрируется способ, который, в принципа, мо:;:но исио.1ы>оь:пь при выводе таких уравнений непоедздегвонно идя :с ч::с!»=>'ло; п '¡/.г. частиц п

- 12 -

В качестве следствия из с 65 подучаются уравнения со связными ядрами вида

где

0 = В /Э + В ^ п! .

пп пп' пп пп пп

впп = -связная часть

Эги уравнения являются квантовополевыми обобщениями уравнений Ваянберга. В нерелятивистском пределе эти уравнения переходят в обычные уравнения Вайнберга для п частиц.

Во второй главе диссертации рассматривается математическая проблема из области перечисления графов, тесно связанная с функциональными преобразованиями Лежандра. В теории графов имеется ряд важных нерешенных задач, относящихся к проблеме перечисления графов с определенными свойствами. Среди них имеются, в частности, задачи о перечислении нумерованных графов с заданной 'вершинной и реберной связностью. Используя

диаграммные представления преобразований Лежандра, можно строить производящие функции для перечисления данных графов, т.е. решать задачи указанного выше класса. В качестве примера, во второй главе приводится решение задачи о перечислении нумерованных графов с вершинной 3-связностыо. Для этого используется "нульмерный" числовой -аналог втордго преобразования Лежандра статсуммы неидеального классического газа (преобразование

Лежандра объекта типа порождающего функционала э-матрицы), связь которого с функцией, перечисляющей все нумерованные 3-связные графы, устанавливается весьма просто.

В третьей главе диссертации рассматриваются метода, расчетов степенных асимптотик функций. Грина. основанные на уравнениях самосоглзсования. Уравнения, которые здесь рассматриваются - это обычные скелетные уравнения, которые получаются непосредственно из уравнения стационарности для преобразований . Лежандра при выбрасывании затравок. Уравнения . сэмосогласования,' как и

Функциональные преобразования Лежандра, в явном виде записываются жь в рамках скелетной теории возмущений. Таким

ог>ш »о;.!, оаг. лаляктс" пеляяояными интегральными уравнениями с , И ' К. Г.0Ч!!:.;п1 ЧИСЛО:.-, членов. Тем но мензе, дэпкыо уравнения оказываются весьма эффективными, есля з тспрш имеется ‘.'алый

¡г., , лд!‘ г.;;тс> лгта^птч.оние лк-оос фиксировании:-' точ,'агп'

: -ТИЧ1'Ип; может о'ьггь найдено ь-.з ур^яопий си: •„>, .«к! >• г. г<»ночным числом "тонов. Т?ковч ситуация с

■: Ц'Ч I Ч^ТИЧеСК/'- '.'ШДСКСП- ; • - КОН: ■■ :Т=.-ГП'1Г'.Гт - ШОЖЛ1

ляп иртопш» имонно методами уравнении оамосогдьооьашы удалось

'..."/•11-Г'' :|1!- I мэкс «.I чьной Г|,1’.'1- - --. 1 л.лч .ит/’ ескнх

и:и;о|\00А, ^ >- ' ■ ■ ): ¡'V ". :Я И7! Г'1-■ Г;'::'!

поплавка порядка 1'пг, для индекса » - порядка ]/п3 для

П1-Л;ИоЬО./лл.^Л Г111Г.'П> г-| их-л, о УиЮа ЬС^ШНО

дзта.як ггпа расчетов приведены в третьей шие ^(лссе^ъцм-.. Расчет иги»кса •' проводился в рамках метода уравнений

самосог.'эсованик с одеванием линий. Для расчета индекса »> в порядке ; 'п3 использовались уравнения самосогласования с одетыми тройными вершинами и линиями. Уравнения с одетыми линиями - это уравнения стационарности для второго преобразования Лежандра, а уравнения с одетыми линиями и тройными вершинами-это,уравнения : ............... ; ~~ -г.-Т’ЛГП !и * а ЛажаШЮЗ. УрЗОНОНИП

уравнений получается система трансцендентных уравнений душ

индекса >7 в порядке 1/п'1 проводился в рамках метода кинцму.пыл» бутстрапа. Для пропагаторов использовались степенные подстановки, а дан тройной полной зорликы - подстановка в ши;е

м."- ! "Ь. .< -, ■ —у' И ^ пуцАп ШПЮКО!) 1/.СВОДИТСЯ К

которое с неооходимгш <тч*«»»чй ¡очи^.,.: а.:.а л '<!■■ ><

Значение вклада -1/пЭ для -разложения индекса г> при произвольной размерности пространства а приводится в Приложении

3 диссертации.

Кроме разложений по обратному числу компонент, наиболее популярными в теории критического поведения ЯВЛЯЮТСЯ е-разложения, параметром е в которых является отклонение размерности пространства от некоторого критического значения (размерности пространства, при которой рассматриваемая теория становится "логарифмической"). Обычно ^-разложения строятся -с помощью уравнений ренормгруппы, однако иногда это возможно и в рамках метода уравнений самосогласования. Для теории взаимодействия р3 , как показано в третьей главе диссертации., в этом случае можно использовать непосредственно метод конформного бутстрапа,так как для вычисления с заданно# точностью для теории всегда достаточны уравнения самосогласования с одетыми тройными вершинами и линиями, записанные в некотором конечном приближении. Таким образом, параметр е=се-сохз (а - размерность пространства) в теории <р3 оказывается "хорошим" для уравнений самосогласования. Для параметра с=С4-аэ/г в теории И это совсем не очевидно: если пытаться строить итерационное решения скелетных уравнений самосогласования, которые получаются непосредственно из уравнений стационарности для четвертого преобразования Лежандра, то нетрудно убедиться, что итерационная процедура по параметру е требует учета в этих уравнениях бесконечного числа членов. Однако для модифицированных уравнений самосогласования, вывод которых приводится в Приложении 5 диссертации, с является хорошим параметром разложения и, например, для расчета следующей за известной - к настоящему времени поправки индекса и ~ се в уравнениях, в тех их частях, которые представляются бесконечной суммой диаграмм, требуется учесть вклады только двух графиков. Для вычисления данной поправки индекса п обычными методами ренормгруппы требуется порядка двухсот диаграмм. Основная трудность, которая возникает при построении ^-разложения для модифицированных самосогласованных уравнений теории р4 связана с выбором простого анзатца для четверной вершины, с помощью которого можно было бы свести задачу к решению системы' трансцендентных уравнений. В низшем приближении такой анзатц - локальная вершина, для вершины чйкдого последующего приближения, . если ' известно

п'слыцуиу--. получается ополю определенное уравнение, так что

у:-",гшеп’.:и самосог.лг'г.овйчия по параметру с можно итерировать, сгт.тко —ьяосл ' iw "пос-пт этот процесс к поиску итерационного , , -;«vi\:: .? . с -;,: числовых уравнений, как ото удается

сделать для х^п-разлижения.

!{-•••■ г ■ но;. ; . =■ критическом состоянии квэнтовиполовой • ■ '■ Мм 1 Vü/' С ! и '!!'•: : . •'•..•м •Ц’ЬЯОЯ СВЯЗИ. ТвМ ПО менее, КЭК

■ -?КМ ' :>■ некоторые величины,

. '.'сгг; ; -.у■ у . -г.-доние- как правило, имеют весьма

малое численное значение. Такими величинами являются аномальные

пооилриллто ’TVT'Tf 7J7^777mi.J f т?о ЯВЛЯЮТСЯ ИСТИНННУИ

ПОП-.11ЛТ^-5Ш1Г ггу^г»Г»Т»тя ^ттхлотаг, тгу *ЬНО рЯССМЯТрКВаТЪ В

качестве, таковых при анализе уравнений самосогласования. Так, например, если в качестве малого параметра считать аномальную размерность вершины * и искать решения для остальных

критических индексов в виде «-разложений, то любое приближение конечной точноста для этих ипдексов находотся из конечных приближений уравнении самосогласования. Если найденное из тех же понближенных уравнений значение * оказывается малым, т.е. •V rn::t : ■ .• ■ .и. . .пючеза. хотя и не доказана ко, ?о

'.’/"1 ■ - : ■, ¡п-i, то полученные значения индексов

1 ’ ■ ''.''Л'.:'-'..1 Д;ОП21.°Л^. ПОДОЙМММ У^ТОДО'-* 1>

ГСЯ ГС^'рЛКрЭСНЗЯ аеИ^ГГГО'ЩКЯ

;.. г,.]Л.-;ча но япляотсл, строго гопоря,

' гл'с , ;личос;;сиГ'0 потзоле;шя, однако з

• ■■ - .у: г:1/.,': ' рил га поли Янга-Миллса ввиду его

■ -Г ■ VjC- -- " ' ■ LJt!-;Я ИН!:ЧрИ')Н'П!ОСТЬ , Большое ЧИСЛО

;yui адронов. состоящих из тяжелых

кварков, находят объяснение в рамках квантовомеханической модели

■ ,■ ' :■'■■■! ¡1 ;г!У':;г” по'генпиалом. Г'го во

■ отьу!< и^-ния, 'гго пропан-; гор

глюона шее т при малых импульсах (с асимптотику - 1/к4.

Обоснованию этой гипотезы было посвящено довольно большое число геооетических ü3öot. В третьей главе диссертации показано,' что .,Г'"-’.!ГГ| : J ' ‘1 0К'пЗЫ:.1..:С;~ СП БПОЛ1Ю разумной, K'iit

■ гочки -.у,:,;v ;,с уравнения самосогласования с. одетыми

устиями ■ -и;-, ’■•г -;*.й 'л:;ртГ'И—<Т>о!са). так и с точки зрения

'Р1 отеи".'_■ •• j-i.i “¡.ого бутстрапа (результаты расчетов »етодом бутстрапа приводятся в Приложен™ 6). Эти результаты.

разумеется, ни в коей мере нельзя расценивать как доказательство конфайнманта глюонов, так как метод, которым они получены,но позволяет строго оценить их точность.

Рассмотренные выше примеры вычислений в рамках метода уравнений самосогласования в той или иной степени относятся в вычислению малых "аномалия", т.е. расчетам поправок к некоторым "каноническим" решениям. Однако их можно пытаться использовать и для поиска существенно, "неканонических" решений. Один из возможных методов, основанный на учете при полюсных; аппроксимациях членов! уравнений самосогласования наряду с главными полюсами также полюсов-сателлитов рассматривается в третьей главе диссертации на примера теории р3.

Для расчетов индексов V и -о в рамках 1/п-разложения была разработана специальная техника вычисления безмассовых диаграмм, которая позволяет устанавливать соотношения между диаграммой, значение • которой вычисляется, и диаграммами с измененными параметрами. При этом, что весьма существенно, данныз соотношения записываются та юна на языке диаграмм, и д ля их формулировки запись вкладов диаграмм в виде интегралов не требуется. В рамках этой технологии расчет диаграмм сводится к поиску преобразований, связывающих диаграмму с одаой или несколькими табличными, значения которых известны. Данный метод, получивший также развитие в работах других авторов, называется г настоящее время "методом уникальностей" и успешно используется для расчетов безмассовых диаграмм. По-видимому, все "вполне интегрируемые“ диаграммы, т.е. диаграммы, вклады которые выражаются через коночные комбинации гамма-функций и га производных, могут быть вычислены таким методом. Во всякое случае, контрпримеров этому в настоящее время не имеется, f Приложении 4 диссертации дается изложение метода уникальностей.

В четвертой главе диссертации рассматривается задача с случайных блужданиях в случайно - движущаяся среде. Этг физическая ситуация моделируется стохастическим уравнение» диффузии, в котороа случайная скорость среда входит в качеств« Функционального параметра. Как обычно, в задачах ( стохастических процессах проблема заключается в расчета: корреляционных функция, которые являются произведениями рошеню дифференциальных стохастических уравнении, усредненными т

заданным распределениям входящих в них стохастических

ГГ-рЛМеТГ."'!*.

Дл;1 ¿лдх-: гаках г тин;: существуя? хорошо известные метода

!■>.. ''у.щ-т'с* ,?пр*л„,згач~ фувтпдеояашюго интеграла, в

• •• :.уг■) с _т>)длгс5 г. исследованию некоторых квантовогюлевых модален, иодооный метод существенно используется

■■■ ::;ортор г '‘Т/Э .¡¡•’■■тр: м'.’П чр: исследовании рассматриваемой в ' .,1 ■■■>,) ¡и •¡•’¡-Г'. Наиболее нетривиальным оказывается

■ ■ ьч.г.: т. ■, г;:оси1 1< процесг диффузии продольная :." >,5Л-т>»’ ■Т ■,■/,•;{> '’/о; .ости - градиент случайного

потенциала.

тэ ,.Лптлгуглй т-яппа тл^огггоутьгуг ЗЯДЯЧЗ О

с *■* пгл /> »учолрого потетмалэ с ¿-образной

функцией распределения белого шума. Данная задача является Мистически задачей критической динамики, для которой логарифмическая размерность равна двум. Замечательным свойством данной модели ¡шляется, обнаруженная вначале . при непосредственных вычислениях в низших приближениях метода ренормгруппы тривиальность ^-функции. Это свойство оказывается справедливым во всех порядках , что доказывается в четвертой

- ' I!-.;’ Ч*...... О, !!0П0Ср?>ДСТВ01Ш!Ж* рПСПОТЫ

■ "■ г/ччг, дьу>: кг. левая поправка для

■ . .... ' ' < * • ' Ч'/.СТ'

■ 1 • ■- ;><,казане, чгс всех прочих

., V ■упгстпуот, тс. однопетлевое

'К!-.-,’! • . • .." .^¡.¡Чиглсп 1 а диффузии дает его

;. .'П , ■ -■ ■■ 'Л'/’>ас, :10;-;:л0>"нЬ!0 поправки имеют

. !’.уг . ч*г.-;'!' : ’!■ ’ : ‘ "V

¿.-„-зультат, который верой только для выбранного распределения случайного потенциала скорости, в

■ -тлолл . коррелятора потенциала

"..■.ль; ...... : .• т .¡тух:¡лтвая т'чра:'.:« ,глп аномального

коэффициента диффузии оказывается также равной нулю в случае критической размерности л^г. однако трехпетловая поправка нетривиальна . Следует отметить, что зануление высших поправок ■.;■/,■„•и,;--■ . ■ ,"г ,;и,'.1' ;тт потенциала с законом

4 V.: • У'Т, л.'!Т,ЛЬ:'0 -ОЧККС 3'1фОКГ взаимного

,'• ' с: -'?,Т\ ' ■'' п.;пп..''М.'-’ г. тмялс?' поря.тцсс теории

; 1/.-муи;сн^.; , у. ; фч!'"[их;сс;о^ в теории

некоторой специфической симметрии. То же самое можно сказать и о механизме, обуславливающем тривиальность ^-функции. Таким образом, при’исследовании свойств критического поведения теория возмущений метода ренормгруппы, которая, сама по себе, является неканонической, "эффективной", оказалась при дополнительном учете симметрийных свойств модели инструментом достаточно мощным даже для расчета точных значений ее критических характеристик.

_ В пятой главе диссертации рассматривается задача о распространении волн в среде с сильно развитыми флуктуациями. В простейшей постановке она формулируется следующим образом: для безграничной среда со случайным показателем преломления ¿с>с> требуется найти усредненную по его флуктуациям функцию Грина в обычного скалярного волнового уравнения. Функция распределения для е предполагается гауссовой, стационарной и трансляционно инвариантной. Интерес представляет асимптотика э на больших расстояниях.

Данную задачу можно сформулировать в терминах функционального интеграла, как задачу нахождения парной корреляционной функции для некоторой квантовополевой модели. Если совершить преобразование Фурье по времени, то вследствие стационарности е данная модель выглядит как трехмерная теория взаимодействия некоторого “основного" ПОЛЯ 9 , и его

суперсимметричного партнера *>+ с шлем показателя преломления в. Искомая функция о в рамках данного формализма оказывается просто пропагатором поля *>. Поля <р, р+имеют "массу" пропорциональную квадрату частоты волны, поле е может быть , в зависимости от выбора функции распределения для показателя преломления, как талсовом, так и безмассовым. '

В последнем случае задача нахождения асимптотики яропагатора в ^ожет стать весьма нетривиальной. Асимптотика б на больших расстояниях определяется в импульсном представлении поведением е в окрестности "массовой поверхности". Если поле "шума" с массивное, то весь эффект от взаимодействия с ним поля V сведется к сдвигу массовой поверхности последнего, т.е. к изменению частоты волны, и возникновению экспоненциального затухания.Это явление с достаточной сгепенью можно исследовать в рамках обычной теории возмущений. В случае же безмассового шума изменяется в целом характер особенности пропагатора, что в

рамкэх теории возмущений проявляется в виде расходимостей массового оператора или его производных достаточно высокой "степени на массовой поверхности. - - - ---

В стези с этим, как обычно, возникает проблема суммирования главных сингулярностей во всех порядках теории возмущений. Задачи подобного сорта для квантовополевых моделей рассматривались ужо неоднократно. В пятой главе диссертации предлагаются два различных подхода для их решения. В рамках ошюго из них главные ведущие сингулярности в окрестности массовой поверхности суммируются на основе метода уравнений реттормгрупш, в другом - для пропагаторз предлагается представление некоторого специального вида, обладающее тем замечательным свойством, что все входящие в него величины можно считать по теории возмущений, не сталкиваясь с проблемой инфракрасных расходимостей.

Результаты, подученные первым способом можно применять в тех ситуациях, когда частота волны достаточно мала, а ее взаимодействие с полем шума весьма сильное. Для реальных параметров, характеризующих распространение света 'в жидких кристаллах или явления критической опалесценции, это не имеет места, однако лчи г^'лн, распространяющихся в средах, находящихся в состояниях, близких к точке фазового перехода перколяционного типа, подобные режимы могут реализовываться. Выполненные для ситуации такого типа расчеты аномального коэффициента преломления световой волны в сегнетоэлектрике дали результаты, неплохо согласующиеся с экспериментом .

Для задачи о прохождении света через жидкий кристалл или явления типа критической опалесценции , которые характеризуются весьма слабой константой взаимодействия волны с полем шума, но зато сильной сингулярностью, на массовой поверхности, эффективным оказывается второй метод, основанный на "инфракрасном” представлении для в.

Для задачи о распространении вода в случайно неоднородной среде с сильно развитыми флуктуациями, рассмотренной в диссертации, трудности, которые возникают в рамках канонической теории возмущений вполне аналогичны проблеме инфракрасных расходимостей в квантовой электродинамике. Только здесь приходится иметь дело не с логарифмическими, а с более сильными, степенными сингулярностями на "массовой, поверхности."

Эффективную теорию возмущений оказывается, удобным строить в этом случае на основе предложенного в диссертации инфракрасного представления душ функции Грина, для которого можно проводить расчет всех входящих в него величин в рамках обычной теории возмущений, не сталкиваясь с инфракрасными расходимостями.

В пятой главе диссертации формулируются и

доказываются утверждения об основных свойствах величин, входящих в инфракрасное представление для лродагаторз. Это представление используется для исследования задачи о распространении света в жидком кристалле.

- Жидкий кристалл является анизотропной средой, для которой диэлектрическая проницаемость - нетривиальный тензор второго ранга. Как. оказывается, задача о распространении в нем света сводится к изучению двух поперечных мод, называемых обыкновенной (о-мода) и необыкновенной <е-мода). Для о- моды все происходит как со скалярной волной, взаимодействующей с массивным шумом, т.е. изменяется частота и появляется экспоненциальное затухание. Для е-мода вследствие безмассовых годцстоуновских флуктуаций диэлектрической постоянной поле шума оказывается безмассовым с коррелятором (В импульсном представлении) - 1/>сг.

Такой коррелятор шума порождает в рамках обычной теории возмущений полюсные сингулярности массового оператора основного поля на массовой поверхности, причем степени полюсов нарастает- с ростом порядка приближений. В этой ситуации результаты, полученные из низших приближений, надежными считаться на могут'. При использовании инфракрасного представления результат меняется качественно. Оказывается, что пропагатор не имеет сингулярностей на массовой поверхности и, более того, является целой функцией квадрата импульса.

Из-за этого обстоятельства плоская волна е-мода в жидком кристалле существовать не может. Это похоже на ситуацию, которая, как ■ полагают, имеет место с кварками: из-за

взаимодействия кварков с безмассовым полем глюонов исчезает особенность кваркового пропагатора в импульсном представлении и тем самым состояния свободных кварков становятся невозможными.

В координатном представлении амплитуда е-волны от точечно: источника убывает с ростом расстояния г по закону -<?хрс -с-г ], о =1111а 1пСшО *■ Ь ], где гл- ОбраТНЭЯ ДЛШЭ ВОЛНЫ света, .5 и ь -безразмерные константы. Таким образом, коэффициент экстинции.с

- 21 -

з. : •. ■■ • .• '■« зйвисрйш от пго?цоттного световой

■ -;;ти-нты -1 и ь могут о'высокой степенью “-п'ичооти «нчиглпт!^-!! в темпах теории возмущений. Произведен их

■ ■ . :ц:г,;;нь!Х нематике;; .

^ .....; I'! . Результаты 'И.

" . ' ~:ил МОГ”Т Прг’ПСрЯТЬСЯ

. - ■..■■■ .сь'^.онтнсй сосггпл'яр.аг.ей

■.•>,„<,,г,„г,аоплгп ич« ппяпик'яшюго той гоохоадении света лазера

иучпдеппиI и _0‘.!1<.1101ЮИ '■ '■ ,ЧС

сопвнешио с обыкновенным, наблюдаемое в экспериментах,

■ к;.*!.-*., I , ■ . .,. Т,'1ГТ^'1'-Л тгптулгтел1ггыг)гп-1Л V

• ./ды ¡’. ::.ь. тк! 'л' йьисгя.!» « качественно г:одгверкдае'1

>1 •в-п'ч'-’ки-э ;^зу.': ■ хпр. Одн.-шо для их количественной проверки

;.-"')У€Г. 7; ДГ.1>' ‘ .‘-Ц1 , ' :!К.''Н г.‘01 ОДГКа ЭКСПврИМвНТСВ,

п; "ПС -.'ВШ'.е весьма эффективно не только для

гселедов'-ши.я свойств «-моды в жидком кристалле, но также для

лШйНКЙ типа КрИТИЧОСКОЙ опалесценции, для которых коррелятор ■Д'/И В имгулшюм гг'-цстлплепж имеет ВИД где |Д| « 1 .В

... С нии П11 ли ияня СЛОДУ&'ДОЯ

« п.,гешгштга г’Форму.шпованы основные результаты

1. Получены обобщения двухчастичных уравнений "¡еге-Солгмтера п квантовой теории поля на п-частичный случай.

- 'Ч п-оиь"-канале ядра

_ , ■ :■ ЫК '■'/.’■} Гет О - О ><’,! М ГГ» , I," ;Лу ЧОНО ОГО

явное выражение черел к-<гёс«»чше силзшс Ч'.з'Т’л:, !>п, которые

• ; .VI.; -у Л ¡: К']!!':..:С чаСП’УИ к-ЧЭСТИЧНОЙ

2. Подучены уравнения со связными ядрами, которые являются квантовополевыми обобщениями уравнений Вайнберга, описывающих п-частичныа системы в квантовой механике.

3. На примере трехчастичного случая продемонстрирован метод вывода квантовополевых обобщений уравнений Фаддеева-Якубовского.

4. Предложен метод использования диаграммных представлений функциональных преобразований Лежандра для решения комбинаторных задач из области перечисления п-связных графов. В качестве примера, на основа диаграммного представления второго преобразования Лежандра для классического газа решена задача о перечислении всех 3-связных нумерованных графов.

5. Методом уравнений самосогласования с одетыми линиями

произведен расчет критического индекса V нелинейной о-модели в рамках 1/п-разложения в порядке для произвольной

размерности пространства.

6. • Решением уравнений самосогласования для нелинейной

о-модели методом, конформного бутстрапа получено значение

поправки порядка 1/п3 в 1/п-разложении критического индекса V для произвольной размерности пространства.

7. На основе использования диаграммной техники четвертого

преобразования Лежандра получена формулировка уравнений самосогласования, пригодная для расчета «-разложения критического индекса ч нелинейной с—модели из их конечных приближений. • ,

8. Методами уравнений . самосогласования проведено

исследование возможности инфракрасной асимптотики пропагатора поля Янга-Миллса, обеспечивающей невылетаниз глюонов. Показано, что среди • решений простейших приближений уравнений самосогласования есть обладающие данными свойствами.

•9. Для расчетов безмассовых диаграмм разработан метод “уникальностей", позволяющий находить значения диаграмм без проведения непосредственных интегрирований, а также выражать вклада диаграмм через значения других, более простых.

10. Задача о диффузии в случайно движущейся среде

исследована методами квантовополевой ренормгруппы. Показано, что для случая безвихревого движения и степенного коррелятора потенциала ноля случайной скорости /"»-функция “заряда", характеризует эго силу воздействия случайных перемещений среды на движение частица, тривиальна.

- 23 —

11. Для случая безвихревого случайного движения среды к

:оррелятора белого шума у случайного потенциала скорости в доках метода оэнормгруппы доказано, что однопетлевое (рвйлишл!» для аномального коэффициента диффузии в двумерном ¡ространстаз ¿шляется точным, i.e. вез многоштдэвые поправки к ему равны нулю. '

12. Яэдачэ о распространении волны в случайно-неоднородной

рг.рр с сильно развитыми Флуктуациями исследована методом

■огюрмгрупш. Показано, что ренормгрупповы© асимптотики могут .остигаться только в случае достаточно сильного взаимодействия олны с неоднородностями, среды и в реальной задаче о

аоиростиапькии света в жидком кристалле спи не рэализуотся.

13. Для задачи о распространении волн в

дучайпо-неоднородной сроде со степенным коррелятором шума случено "инфракрасное" представление для функции Грина, б отором все входящие величины не имеют инфракрасных

ингулярностей и могут рассчитьваться по обычной теории

озмущвний.

14. Методом инфракрасного представления произведены расчета

глухая!::; сл^лярйс-?. волны на йолших расстояниях дяя

оироллт^гюг) шума йл.о - результаты которых при малых д

oramo oiJwuiiwr лвлония критической опалесценции (Д'-о.оэз к помальг;^! о :л1И1р:;шн ©обыкновенного дуча лазерного света б

'J ККОМ У'1 {f О > --'г ftjit-i..

15. ¡i-j ,i.fл<е ;• пользоьапия инфракрасного представления для утащи fijitri'i r-TKWs<*Jjmt расчеты для затухания световой волны •-'¡яюоснмх жидких ■■’Л'стйлч^х трех Tvmoij (М'ВБ.\, SM0M3 и Н-юе)

-) чзстсяо 3pr0ii0B0J и лазврэ.

- 24 - .

Результаты диссертации опубликованы в следующих работах

1. Письмак Ю.М. Комбинаторный анализ проблемы перекрывания дл вершин старших четыреххвостки. I. Некоторые топологически свойства графиков Фейнмана// ТМФ.1975. Т.24. С,34-48.

2. Письмак Ю.М. Комбинаторный анализ проблемы перекрывания да вершин старших че1 треххвостки. 2. Высшие преобразован« Лежандрам ТМФ.1975. Т.24. С. 177-194.

3. Васильев А.Н., Письмак Ю.М., Хонконен Ю.Р. Простой мето расчета крэтических индексов в i/n-разложениии// ТМФ. 1981 Т.48. С.151-171.

■4. Васильев А.Н., Письмак Ю.М., Хонконен Ю.Р. i/п-разложение расчет индексов v и к в порядке i/п2 для . произвольно размерности// ТМФ. 1981. Т.47.С.291-308.

5. Васильев А.Н., Письмак Ю.М., Хонконен Ю.Р. Об инфракрасно асимптотике глюонного пропагатора // ТМФ. I88Ï. Т.48. С.284-296

в. Васильев А.Н., Письмак Ю.М., Хонконен Ю.Р. i/п-разложение расчет индекса ч в порядке i/п3 методом конформного бутстрапа, ТМФ. 1982. 1.50. С.195-206.

7. .Васильев А.Н., Письмак Ю.М., Хонконен Ю.Р. Расч£

асимптотических • степенных режимов методом уравнеш сгмосогласования// Вести.Ленингр.ун-та. ISS2. №22 С.83-68.

'8. Васильев А.Н., Письмак Ю.М., Боголюбов Н.М. Перечислена нумерованных 3-связных графов// Зап.научн.сем. ЛОМИ. Ленинград 1882. Т. 120. С.21-24. : .

9. Васильев А.Н., Перекалки М.М., Письмак Ю.М. О возможное: конформной инфракрасной асимптотики в неабелевой теор) Нкга-Мшиса-v ТМФ. 1983. Т.55.С.323-334.

10. Васильев- А.Н., Перекалин М.М., Письмак Ю.М. Уравнаш

конформного бутстрапа с учетом полюсов сателлитов. // I98Í Веста. Лонингр. ун-та. 1983. »4. С. 14-18.

11. Васильев- А.Н., Берекалин М.М.,- Письмак Ю.М. Расчг ‘.инфракрасных асимптотик с помощью уравнений самосогласования- -

"Вопросы релятивистской теории ядра и элементарш частиц" под редакцией проф. Ю.В.Новожилова. 1984. Из; Лэнижгр.ун-та. С.152-185. '

4

l£. Pis*mak Yu. Н. :!îel f-consl stont equations of ф theory and tl *r-eïXVAribio«">. .-'✓'Huovt-. Cir.t&nto. 1©в4. V 79A. . 2 Но. 2. P. 141-14!

ТЗ. Васильев А.Н., Перекалин Н.М., Письмак Ю.М. Уравнен

■ - . .-ч', ;а!.; о:у, Гог tJ'3 N-Du'-jy р> nblen

in the quantum theory. /VProce»edings of IX European conferens

. -ry"J 1. - - . r ’ , ТС1:МЭК iO M. P.?СГЮО07'!-10пив

' ' ' 'ЛС: ГиЦ/и

. ‘ ^,,о;го?по^-.-тма.I GC.

C. 198-209.

"r ''■* 1 T тт t, тт TT»»/-*t »arvr> !A II

iviyicryyi»инк. ¡акшспсс предстзшюшю и аепшгготика больших

[достоянии , ¡М:• .030.Т.60. С.323-337.

1'-, ,-.жмя''. . ii. 'и.'/аляъ А.Н., Письмак Ю.М. Распространение пили « '¿лучаиш-неидаоро/щоЯ сред© с сильно развитыми флуктуациями. 3.Произвольный степенной коррелятор

шума.//ГИФ.1938. т.74. С.360-372.

'■Я Hr*,r.V-f-.r.<s-n . . Г- ~’тч \г Ум. м. - Vasil *ev A.N. Zero beta function

« <S.I I>_J<_'11 ( -jVdirv

?\ LQ99-i?C^.