Обобщенные функции Лежандра и их применения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

НАЦЮНАЛЬНА АКАДЕММ НАУК УКРА1НИ 1НСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукоппсу

ФЕДОТОВА 1рина Олекспвна

УЗАГАЛЬНЕН! ФУНКЦП ЛБЖАНДРА

ТА IX ЗАСТОСУВАНИЯ

01.01.02 — днферепщальш р1вшшня

АВТОРЕФЕРАТ

днсертацп на одобуття паукового ступепя кандидата фгаико-математичних наук

К И1 в —

1996

Дисертацтею е рукопис

Робота викоьчла на кафедрI ви;цо1 математики *'» I Нацгонального технгчного унгверситету Украши (¿швський полгтехшчний 1нститут).

Науковий керхь'ник: доктор йхзйко-математичних наук, професор В1РЧКШЮ 11.0.

Офщтйнт опоненти: до;:тор ф1зико-математичних наук, нро^есор П0Д1ЛЬШ Ю.д.

кандидат ^тзико-математичнпх наук, старший науковиГ; сп1вроб1Тник ШЮТИ-ЦШЛ Т.д.

Провiдна установа: Чернхвецький держазнл";

унхверситет.

Захист и1дбудеться Л ¿¿-ij> I?Jü року

о 15-годинi на заспданн1 cneqiajiiaoBaHo'i вчено! ради Д 01.66.02 при 1нститут1 математики HAH Украхнн га адресою: 25^601, Kuib, МОП, вул. Тереценк1в.ська, 3.

3 дисертац1ею молена ознаПомитися п б1бЛ10те:ц пютитуту. Автореферат роз^лано _Ь~о року

ВчениЯ секретар спец1ап1зовано1 ради доктор ф1зико-математичних нау h (tu.^_. 'ь/^КА А. а).

заглльнл :au!ziicth еистшса pohotii

Лксуальна-ссть rsazm. Кожен математик або хнженер, що мае справу з практичким застосуванням диференцхальних та iHie-гральних рхвнянь, знайомий i3 спец1альними • функц!ями. Уозв'язання багатьох задач динамики та теплопровд-дност:., кзантовох Mexanira, теорхх потенц!алу та in. приводить до сп-эихальних функцл.й. ' _ t

Pisnoi-iaHiTHicTb задач, що породжують спец1альнх функцИ', привела до швидкого росту числа фунмий, якх зустр1чаються у застосуваннях. Розвиток математики висунув.на одне з перших мз.сць гл.пергеометричнх та спор1днен1 з ними функца.!. ГЧпергеометрична функция та хх частинн1 i вироджен1 випадки - функцИ Бесселя, Лежандра, ортогонально. пол1номи Чебишова, EpMiTa, Лагёрра та imui в1д1грають все б1льшу роль у найр1зноманхтнз.ших роздз.лах математ^чси та 11 застосуваннях. Цей клас спецфункц3.й часто називаи^ь спец!альними функцХнми математичнох фхзики.

Спец1альн1 функц5.х важлив! не Tiльк! як розв'язки деяких диферешиальних р1внянь, але i як ядра багатьох хнтегральних перетворень. А, як вл-ломо, Метод i-нтегральних перетворень е одним хз ефактивних сучасних метод1в розв'язання диферен-1йальних р1внянь (звичайних, хз -^астинними пох1яними та 1н.), а такоа широкого класу крайових задач.

Спец1альнйм функциям присвячена численна л1тература. Назвемо яаяк! книги: Лебодеаа М.М., Шттвкера Е.Т. х Вагсона Д.П., Кратцера Д. i Франца В., Вейтмена Г. i Epneil А., Гобсона E.H., Олвера £>., В1ленк1на Х.Я. та in. Кожного року цей список поповнюеться все новями роботами э теорИ спец!альних функц!й.

Все01чне зивчення вжэ в!домих функц!й, поява новик спеифуйкц1й лае можлив1сть эначно роэширнти эалач, :п

розв' яэуг гься у замкняному вигп.чя!.

ФункцИ Лежандра Р^ (z), 2v (z) е одними з найбХльш поширених та досл!джених функц1й. В,они зустр1чаються, прим1ром, пуи роэв'язанн! р!вняння Лапласа у сферичних координатах. ФункцИ Лежандра е ядрами багатьох Лнтегральних перетворень, наприклад, Мелера-Фока, аастосовуються у isopil парних 1нтегральних рАвнянь тощо.

Kuipers та Meulenbeld §апровадили узагальнен!- функцИ Лежандра I I II роду i>i"!-"(z) та 0"*"(г) в!дпов1яно. Ц1 автори, а також Snow, Robin, Götze, Braaksma та 1н. вивчали власти-вост! нових фуДьц!й, отримали 1нтегральн1 перетворення з

РГ(г), еГ"(г)' яада деяк1 застосування узагальнених функц1й Лежандра.

it"'"(z), £?f(г) вивчались у роботах В1рченко Н.О. Наприклад, в II ыонографИ серед 1нших тип1в розв'язан! näpHi 1нтегральн1 рХвняння з узагальненою функцАею Лежандра I роду, отримано' 1итегральн1 зображення P*'"(z) та 1н.

Узагальнення функц1й Лежандра Pv" (г), ßv(z) за Райтом було эапроваджено у.роботах Доценко М.Р.

Анал1з роб!т,_ присвячених узагальненим функц!ям Лежандра, показуе, що теор!я та практичне застосування цих функц!й потребують подальших досл!джень.

Мота робот полягае у розробц1 теорИ узагальнених фуНкц1Й Лежандра та застосуванй! цих функц1й у прикладних задачах. Основн! задач!t досл!дження асимптотично! повед1нки узагальнених функц1й Лежандра, ветановлення нових

1нтегральних. зображень. Доведения теореми про 1нтегральне перетворення э узагальненими функц!ями Лежандра. Досл1дження основних властивостей узагальнено! за Райтом rinepreo-метрично! функцИ та узагальнених за Райтом функц!й Лежандра. Побудова тв!рних функц1й, диференцАальних опера-TOpie, обчислення нових 1нтеграл1в, розв'язання 1нтеграль-

НОГО piBHRHHn.

Наукова новизна

- Досл1джено асимптотичну повед1нку узагальнених функц1й Лежандра в okchií особливих точох.

Встановлено асимптотичн! формули для узагальнених функц!й Лежандра II род;.' Q"""(z) у випадку великих значень к.

- Одержано нов! 1нтегральн1 зображення , Q"'"(¿).

Доведена теорема про ±нтегральне перетворення з узагальненими функц!ями Лежандра.

- З'ясовано ochobhí властивост1 узагальнених за .Райтом г1пергеометричних функц!й та узагальнених за Райтои функцЛй Лежандра.

- Знайдено св±вв1дношеш!я м1ж .узагальненими функц1ями Лежандра та функцхями Бесселя.

- Побудовано tbíphí функцИ для P"'"(z) i Q^'" (г).

обчислено низку нових ±нтеграл!в, що мАстять або зводяться до узагальнених функц!й Лежандра.

- Одержано розв'язок 1нтегрэл£^ого р±вняння á ysaraj ь-нено» за Райтом го.пергеометричнога функц!ею.

- Побудовано диференц1альн! оператори s P"'"(z), Qt'"(z).

11атодика досл1лжепь. В робот! викориетозуються теор1я

спец!алышх функц!й, . теор!я ряд1в, метода матеыагично! фХзики, теор!я функц!й комплексно! зм1нно£. '

flocTonipnicTb основних положень Ora одержаних результат!в забезпечуеться страгхстю постановок задач та эастоеуванням ыатематичиих метод!в при доведенн! основних формул, пор!внянням одержаних йойих результа*1в s ранХше в1доши-и частинними випадкаьй!.

Теоретична i практична uiimierb. Результати роботи вносять вклад у загальну rreopi» спец!альких функц!й. Вони можуть бути використай! при оивченн! конкретних задач математично! ф1зики, обчисленн! 1нтеград1й, при розв'ячанн1 дифереНиЗ-альних та Антегральйих р1внянь ¡ одержан! результата служать дтерелом нових дт»нь у тчор Ü'- них

функц!й.

Апрабацхя рекульташхЕ

Результата робочи доповхдались н^:

- XIII науковхй м1жвуз1вськ1й конференцИ факультету математичних знань "Математичнх модел! i крайова задача" (Самара, 198S р.);

- Науково-техн1чнхй конференцИ. "Застосування обчислю-вальнох текнз.ки та матема^чних метод1в в наукових та економхчких досл1дженнях" (Кихв, 1991 р.);

Науково-техн1чнхй конференцхх "Метод дискретних особливостей в задачах математично! фхзики та його роль у розвитку чисельнОго експерименту" (Харк1в, 1993 р.);

- Ill, IV, V М1жнародних наукових конференц!ях iM. акад.

j'

М.Кравчука {Кихв, 1994 р., 1995 р., 1995 р.);

М1жнароднш конференцИ "Boundary value problems; special functions and .fractional calculus" (Мхнськ, Беларусь, 1996 p.);

- The second International Workshop "Transform Methods and special functions, II" (Varna, Bulgaria, 1996);

- Укра1нськ1й конференцИ "Моделювання i досл1дження стхйкост1 систем" (Ки1в, 1996 р.);

М1жвуз1вському об'еднаному науковому сем1нарх "Д;чференцхальн1 рхвняння та хх застосування" (Кихв, 1993р., 1996 р.); ■

- Зас1данн1 кафедри вищо! математики №1 Национального техн!чного ун1верситету Укра1ни (КП1) (Кихв, 1996 р.);

- Засхданнх семхнару лабораторИ нел1нхйних крайових задач в1ддхлу математичнох ф!зики та теорИ нел1нхйних коливань 1нституту математики НАН Украхни (1996 р.).

Пубяхкацг!. За матер1алами дисертацП опубл1кованс 13 робхт, список яких наведено нижче.

Особиотий внесок. Досгидження, представлен! в дисертацИ, е результатом, в основному, самост1йно! роботи автора.

Структура та обсяг роботи. Дисертац1я складаеться 1'э вступу, трьох роэд!л1в та списку лд.тератури, що нал!чуе 97 найменувань. Обсяг роботи 133 стор!нки,

КОРОТКИЙ ЗМ1СТ РОБОТИ

У всяиуп! зроблено короткий огляд л!тератури за темою дисертацИ, викладено основн! результат^, подано допом1жнз. в!домост1 з теорН спегЦальних функхий, позначення • та основн! означення<

Узагальнена функц1я Лежандра I роду Я™'"(г):

де к, т, п, г справджують умови:

¿+(т+«)/2#-1,-2,..., т* 1,2,3,...,

|агя(г+1)|<«, 11-г|<2. (2)

Узагальнеиа функц1я Лежандра XI роду б"'"(г):

&■•»(,)* ( ) --2 / \ 2-" х

(3)

де к, т, п 1 г справджують умови

£+ (т+й)/2 и-1,-2,..., -2,-3,...,

|агд(г+1>1«1г, |*-1|>2. (4)

У першему розд!я1 дисертацП досл1дясено основн! властивост! уэагальнених функц!й Лежандра I та II роду.

У §1 вивчаеться асимптотична поввд!нка /¡"'(г) та {?Г'"(г) в окол! особливих точок г»±1, Розглянуто таГож випаяок

д1йсних л: 6 (-1,1). .

В результат! отримано таблицю, що мХстить головн! члени розгорнень Р/1'"(г), ß™'"(z) вокол! особливих точок при деяких обмеженнях на параметри к, min.

У aetdl 1.1 доведено, що у випадку цхлого т узагальнена функидя Лежандра II роду ßf'^z) мае в точхЦ z=l логарифм!чну особлив!сть i зображаеться у вигляд!

erco-jK^i) рг®

1-С-О'

2 У \ 1

У §2 узагальнену функц!ю Лежандра II роду розглянуто як функц!ю параметра к ! досл!джоно повед1нку цхе! функц!! у випадку великих значень Ц|.

У §3 одержано нов! !нтегральн! зображення узагальненох функцИ Лежандра II роду для г е [-1,1], наприклад,

справедлива

лема 1.9: якщо к, т, .п справджують умови (4) ! Яе(£ +• (т+и)/2 +1)>0, |$11(а/2)|> 1, а>0, 11ею<1/2, то

т+'п-\ / ч и/ чт

(2Г"(сЬа)= е""2 2 х

2 J 1 2 - J(chtp - cha)~M~l ch— х

r(2t + 2)r(i-»)

И)

-2к-2+т-п

2. 2 2 sh2 —

г>

dq> .

У §4 подано хнтегральн! зображення /¿"'"(х), йГ"(ж) на nepepi3i (-1,1) д1йсно1 ос!. Доведено, примером, що

m n , m-n . m-n

pm,(xV 2 (l-x)2(l + x)2 Ul-tf"T(l + t?*— J:

де k,m,n справджують умови (2) .

Як частинн! випадки з цих лем одержано ■1нтегральн1 зображення функций Лежандра Р"(х), Q"(x).

У §5 розглянуто випадок д1йсних г = cha i дослл.джено :сги, аа яких узагальнен1 ' . функцИ Лежандра

P™'"(cha), (cha) не мають д!йсних нул!в.'

§6 мз.стить основний результат первого розд!лу - теорему про хнтегральне перетворення з узагальненими функциями Лежандра. Воно с насл!дком розгорнення дов!льно! функц1Х за власними функц!ями р1вняиня, що'. отримуеться з узагальненого р!вняиня Лежандра. - При доведена! теороми íctotho використовугаться результати попередн1х параграф!в.

Теорема 1. Нехай J[a) - функцгя обмежено! вар!ац11 в окал! точки a > a0 > 0 i J[a) electa, т). Toai при дхйсних т, п, t, що справджують умови (2) i (4) Лснування узагальнених функц1й (cha), О"'" (cha), icnye хнтегральне перетворення'

j«t

/*(r)= J.I>(t,a0,T)sl^/(x)^x

i мае mícue формула обернення

f(a + 0) + /(a-0) 2А(гст)ф(а,а0,т)/'*(t)Jt

th(w)PV. (chao)

Д7 (cha0)

2 '

де A = ._—сЬ-(я т)Г[- + it--—J ьп--

x rflr/t_«Lül)rfi-/T-^).

' 3/^2 2 '

n5

«•(a.cto.tWr (cha0)R7 (cha)-^ (cho)i?7 (cha0),

■fit — —+Ar +rï

2 2,2.2

. RK* (cha)= [cosfiT +—cosí« 27 (cha)+

-i+ft4 ' nchJ(nx)L V 1 ) \ 2 ) -|+ftv '

+ cos(rt-^jrtcosfix-~]rt Q«î (che)] .

У §7 досл!джено зв'язок узагальнених функц!й Лежандра з функц!ями Бесселя. Доведено к1лька граничних сгпвв!дношень, а саме:

lin, -Z )1 * =f(-l)HVJt+1(r),

де Л(2)~ фунмЦя Бесселя, /v(z), Kv(z) - модиф1кован1 функц!Л Бесселя I та III роду в!дпов!дно.

У цьому параграф!" подано також невласн! !нтеграли, що м!стять добуток функц!й Бесселя та зводяться до функц!й Лежандра.

Другим роад!л присвячено вивченню основних властивостей узагальнено! за Райтом г!пергеометричноХ функц!!

йЧА. R(a У.-1-Л- Г(с) f Г(д + «)Г(6 + Хп) £

У §1 одержано деякх лз.н1йн! сгиввхдношення м!ж сум1жними функциями 2 наприклад:

(Ь - а\) R (а, Ь; с; Х; z} = Ь R (а, Ъ +1 ; с; X; z) а X R (а +1, Ь; с; X; z),

узагальнено формули диференц!юваннл j^fc) тощо.

• У §2 доведено чотири леми про а.нтегральн1 зображення узагальнено! за Райтом г1пергеометрично! функцИ.

Використовугочи 1нтегральн1 зображення г^|Х(г)' можна довести лему 2.7: Якщо Яе (с - Ъ) >' 1 - 1/Х, 11е(с-6)>0, 0-6*1,2,..., то мае мЛсце розгорнення

У §3 отримано анал1тичне продовження 2 ^л (?) в область Розгорнення проведено за допомогою 1нтегрального зображення Мелл1на-Вернса для гЛ,'"(г).

У §4 запроваджено узагальнен1 за Райтом функцИ Лежандра I 1 II роду Р™£(г) та £?*д(г) в!дпов1дно за формулами

к-(т-п)Г2*-\,-2,..., -к-(т-п)!2 + Х1*0,-1-2,..., т-\1* 1,2,-., |аг8(2+1)|<тг, 11 -г\<2.

е-(г)=е™'2" » —2 Г(2;;2) 2—Чг+1)*.

/ г/^ т-п , , т+п , „, . , 2 ^ х (г-1) 2 Д^*--— + 1,<: + -у- + 1;2£ + 2;Х.;--1,

к-(т-п)12*-\-2,..., к + (т+п)/2 + ХЫ-1,-2,..., 2* +А./*-2,-3,™, |аг§(2+1)|<л, 11-г|>2. де \>0, 1 = 0,1,2,....

Отримано анал1тичне продовження' ^"¿"(г) в область |1-г|>2 1 £?Г>"(2) в область |1-г|<2, встановлено головн1 члени роз-горнень цих функцз.й в окол1 особливих точок 2=1, г= та.

Доведено гранича! ся1вв1днощення, то зв'язугать узагаль-нен1 за Райтом функцИ Лежандра та узагальнен! за Райтом функцд.1 Бесселя.

У роздал! 3 подано приклади застосувань узагальнених функщй Лехандра в теорхХ диференц1альН5®{ оператор!в I при обчисленн! 1нтеграл1в. Отримано дэк!лька тв!рних функц!й для РГ(х). Розвчязано 1нтегральне р!вняння Вольтерра I

роду э уэагальненою за Райтом гхпергеометричней функи!ею.

У §1 побудовано даференц1апьн1 оператори, що зв'язан! э узагальненими функц!«ми Лежандра. Наведемо два з Них:

м\к,т,п)иг{д =

М~(к,т, п) и"'"(г) - +

де

4. гх—¿1 (я»+пЪ+ю-п М\к, т, -1-2— Ь-¿==—,

2>/г2-1 гх-А (К1-т + т-П

М (к, и. п) - г-7- + ---' .

Тут и?"(г) означав або або &ил(г).

У §2 обчислэно низку 1итеграл1В, ио' м1стять функиИ Лежандра 1 эводяться до або £?Г'"(*)- Наприклая,

г

( , /71-/1 Л

„.„ Г *+---- + ] .

г(*--^-я + |) 1 2 '

де к,т,п справижують умори (4! г Нс^^'ОХ), Ис 2+1) > 0.

У §3 подано рекурентн1 формули для обчислення 1нтеграл1в, що м!стять узагальненх функцЦ Лежандра. Одна з формул для Р™"(г) мае еигляд:

(Яе ц>0, 11а(1-т)>0).

У §4 обчислено гнтеграли, що мхстять узагальнен1 функцИ Лежандра та 1х добуток. Примером, оОчислено 1ктеграл

якщо к,г,т,п справджують умови (2), (4) 1 Не м >0, >0,

У §5 одержано тв!рн! функцИ для /Г'"(2)' 1 у

випадку р1зних обмежень для к,т,п.. Наприклая» для ц1лих т маемо розгорнення:

|(1 - +/)"! (г - г)м = Г(ц)(1- г)1? (1+г)*? РГИ,""М (?)

г

,1, \ , т*п . > » т~п Ъ-г+г^г1 -1 А\к,т,п,г)2Р1 +1,-4 + ——+!;«+!;-

V 2 2 2

р.» р»

де

У §6 розв'язано Ытегральне р1вняння Вольтерра I роду

00

|(х - уУа Я(а,Ь-,с-Х-,х-у)/(х)с! х = ц(у),

«00=0+у)'1Уу*Щ-

Якщо помножити 'обида! частини р1вняння на У

де р

вибираемо з умови, що 'ё(у)еЬ(О,<ю), то, застосовугачи пере-творення Мелл1на, можна одержали розв'язок у вигляд! интеграла, що м1стить Н-функц1ю Фокса:

Н

4,4

(р -а -у ,1>(р -а,1>(а -1 + р,1>(Ь-Х(1 - р)х)" (0,1>(р-а-у ,1)(с->.(1-р)х)(рД)

Основах результата та висаовкл робота

1. Досл1дасено асимптотичну повеД1Нку узагальнених функций 'Лежандра.

2. Одержано нов1 Лнтегральн! зображення цих функций.

3. Доведена теорема про 1нтегральне перетворення з Р"'"(г) 1

4. Дocлiджeнo основн1 властивост1 уэагальнено! за Райтом Ппергеометрично! функцИ та узагальнених за " Райтом Функц1й -Лежандра.

5. Встановлено граничн! та 1нтегральн1 сп!вв1дношення м!ж узагальненими функц!ями Лежандра та функц!ями Бесселя.

6. Побудовано тв!рн1 функцИ для 1 £?"•"(«). 7.0бчислено • ¿нтеграли, шо м!стять, або зводяться до

узагальнених функц!й Лежандра.

Автор висловлюе щиру вдячн!сть ' своему науковому кер1вников1 доктору ф!зико-математичнйх наук/ профееору В1рченко НАн! 0панас1вн1 ■ за пост!йну увагу »а допомогу в робот!.

Основнх результати дисертацИ опубликовано в наступних

роботах:

1.Вирченко H.A., Федотова И.А. О некоторых свойствах обобщенных функций Лежандра ц их применениях // Тез.. XIII науч. межвуз. конф, фак. мат. знаний "Математические модели и краевые задачи".-Самара, 1988,- С.14.

2.Вирченко H.A., Федотойа И.А. О некоторых свойствах обобщенных присоединенных функций Лежандра II рода // Внчисл. и прикл. математика: Межвед. науч. сб.-1989.-Вып.68.-С.34-45.

3.Вирченко H.A., Федотова И. А. Интегральные представления обобщенной функции Лежандра II рода Qk'"(z) // Укр. мат. журн, -1990.-42, Ii7.-С. 985-990.

4. Федотова И.А. Об одном интегральном преобразовании с обобщенными присоединенными функциями Лежандра // Вычисл. и прикл. математика: Межвед. нау^. сб.-1990-Вып.71.-С.33-43.

5. Федотова И.А. Обобщенные функции Лежандра II рода, их свойства и приложения.- К., 1990.- 40С.-Деп. в УкрНИИНТИ 10.04.90. №637.

6.Федотова И.А. об одном интегральном преобразовании, родственном преобразованию Меллера-Фока // Науч.-техн. конф. "Применение вычислительной техники и математических методов в научных и экономических исследованиях (Киев, 1991): Теэ. докл.-К.:КПИ. 1991.-С.164

7. Федотова И.А. Некоторые рекуррентные формулы для обобщенных функций Лежандра // III Мхжнар. наук. конф. im. акад. М.Кравчука (Кихв, 25-27 трав. 1994р.): Тези доп.-К.: 1н-т математики АН Украхни, 1994.-С.118.

8.Fedotova I. Representation of the generalized Legendre's functions by associated Legendre's' functions // IV М1жнар. наук.конф. iM.акад.М.Кравчука (Кихв, 11-13 трав. 1995р.): Тез.доп.-К.: 1н-т математики АН Украхни, 1995.- С.240.

Э.Федотова 'I.О. Асимпотичн! розгорнення узагальнених за Райтом функц!й Лежаняра I та XI роду // V М1жнар. наук, конф. 1м. акад. М.Кравчука (КиХв, 16-18 трав. 1996р.): Тез. доп.-К.: НТУУ(КП1), 1996.-С.451.

10.Федотова I.O. Деяк! 1нтегральн1 зобрахення rinepreo-метрично! та узагальнено! (за Райтом)* г1пергеометрично1 функцИ // Укр. конф. "Моделирование и исследование устойчивости сксгел" (Киев, 20-24 мая 1996 г.): Тез. докл.- К., 1996.- С.138.

11.Fedotova I. On some asymptotic properties of the generalized Legenre's functions // International Conference "Boundary value problems; special functions and fractional calculus" (Minsk, Belarus, February 16-20, 1996)-P.130.

12.Fedotova I. The limit relations between generalized Legendre's functions and Bessel functions // The Second International Workshop "Transform Methods and Special Functions, II" (Varna, Bulgaria, 1996)-P.21.

13.Федотова И.А. Обобщенные функции Лежандра: ' предельные соотношения, порождающие функции, интегральные представления.-К.> 1996.-17С.-1 (Преприн*/ НАН Украины. Ин-Т математики; 96.13).

Федотова И.А. Обобщенные функции Лежандра и их

специальности 01,01.02. - дифференциальные уравнения, Институт математики НАН Украины, Киев, 1996.

Настоящая диссертация содержит результаты работы автора по изучению свойств обобщенных функций Лежандра. Изучено асимптотическое поведение обобщенных функций Лежандра. Получены интегральные представления этих функций. Доказана теорема об интегральном представлении с обобщенными функциями Лежандра. Изучены основные свойства обобщенных по Райту функций Лежандра. Теоретические результаты применены для решения некоторых практических задач.

Fedotova I.O. The generalized Legendre's functions and its applications. Manuscript. Thesis for a degree of candidate of Science (Ph. "D.> in Physics and Mathematics, speciality 01.01.02 - Differential Equations. Institute of Matematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 1996.

The present Thesis contains the results of author's work of investigation of properties of the generalized Legendre's functions. Asymptotic behavior of the generalized Legendre's functions has been investigated. The integral representations of studies functions were obtained. The theorem about integral transformation with generalized Legendre's functions was proved. The main properties of generalized according to Wright Legendre's functions were studied. The theoretical results have been applied for solution of some practical tasks.

Ключов! елоза: г!пергеометрична функц!я, хнтегр-эльне зображення, 1нтегральне перетворення, тв!рна функш.я, асимптотична повед!нка.

применения. Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по

Шдп. до друку 08.07.96. Формат 60x84/16. Ilanip друк. Офс. друк. 7и. друк. арк. 1,16. Ум. фарбо-вхдб. 1,16. Обл.-вид. арк. 0,8. Тираж 100 пр. Зам. 147. Безкоштовно.

Вхддруковано в 1нстятутх математики HAH УкраЗЕни 252601 Ки1в 4', МСП, вул. Терещешйвська, 3