Моделирование деформирования микрополярных призматических тонких тел с применением системы полиномов Лежандра тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. Н.Э. БАУМАНА

¿/Ч'П

На правах;$укописи

УЛУХАНЯН АРМИНЕ РАФАЕЛОВНА

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕФОРМИРОВАНИЯ МИКРОПОЛЯРНЫХ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ТОНКИХ ТЕЛ С ПРИМЕНЕНИЕМ СИСТЕМЫ ПОЛИНОМОВ ЛЕЖАНДРА

Специальность 01.02.04 — Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических паук

2 б ЯН8 т

005009353

МОСКВА - '2012 г.

005009353

Работа выполнена в Московском государственном техническом университете

им. Н.Э. Баумана

Научный руководитель — доктор физико - математических наук, профессор Ю.И. Димитриенко

Официальные оппоненты: доктор физико - математических наук, профессор A.B. Коровайцев доктор технических наук, профессор В.И. Ванько

Ведущая организация — Институт Машиноведения им. A.A. Благонравова РАН

Защита диссертации состоится 29 февраля 2012 г. в 14 часов 00 мин. на заседании Диссертационного совета Д 212.125.05 при Московском авиационном институте (национальном исследовательском университете) по адресу: 125993, Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д. 4.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Московского авиационного института (национального исследовательского университета).

Автореферат разослан 23 января 2012 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета

Г.В. Федотенков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Одной из важных задач современной промышленности является постоянная забота о снижении веса конструкций при сохранении надежности ее работы. Поэтому, при расчетах напряженно-деформированного состояния, до сих пор актуальны теории, позволяющие учитывать геометрическую и физическую нелинейность, микроконтннуальные (микроморфные, микрополярные, микрокоптинуальные с растяжением-сжатием) теории деформируемого твердого тела, а также уточненные способы сведения трехмерных задач к двумерным. Очевидно, новое механическое содержание приводит к новым задачам, нуждающимся в математическом исследовании и моделировании.

В настоящее время известно несколько методов построения теорий стержней, пластин, оболочек и многослойных конструкций. Например, в случае однослойных пластин, эти методы основаны на:

1) гипотезах о напряженном и/пли деформированном состояниях;

2) разложении всех геометрических и механических величин в ряды;

3) асимптотическом интегрировании;

4) представлениях о двумерных средах.

Эти методы различаются возможностями использования в практических расчетах, уровнем математической строгости и т.д. Все они позволяют свести трехмерные системы уравнений в частных производных, которые описывают механическое поведение реальной конструкции, к двумерным системам.

Первый метод, который еще называют гипотетическим методом, ближе всего к инженерным представлениям. Исходная задача упрощается после принятия определенных допущений (гипотез). Такие гипотезы связаны прежде всего с именами Кирхгофа Г., Рейснера Е., Генки X., Тимошенко С.П., Амбарцумя-на С.А., Левипсопа М., Пелеха Б.Л., Хорошуна Л.П., Черных К.Ф., Никабадое М.У. и др.

Второй метод связан с разложением в ряды по степеням поперечной координаты (Кильчевский H.A., Селезов И.Т., Kienzier R., Christensen R.M.), разложением в полиномы Лежандра (Векуа И.Н., Медик М.А., Солер А., Феллерс Дж., Хертеленди, Mindlin R.D., Амосов A.A., Галимов Н.К., Меунаргия Т.В., Пелех Б.Л., Сухорольский М.А., Чепнга В.Е., Алексеев A.B., Аннин Б.Д., Волчков Ю.М., Дергилева Л.А., Иванов Г.В., Никабадзе М.У.), разложением в ряды по системе заданных функций (Васильев В.В., Лурье С.А.), разложением в многочлены Чебышева (Чепига В.Е., Никабадзе М.У.) и др.

Третий метод — асимптотическое интегрирование, предложен, например, в работах Гольденвейзера А.Л. В математическом плане асимптотическое интегрирование приводит к равномерному приближению решения по всем элементам теории (кинематическим, силовым), так как рассматриваются всегда члены одинакового порядка.

Четвертый метод, основанный на представлении о двухмерных средах и называемый еще прямым методом, находит достаточно редкое применение, так как противоречит традиционным взглядам о представлении результатов расчетов в виде полей напряжений. Такое представление для двухмерных теорий — весьма трудоемкий, а иногда и невыполнимый процесс.

Анализ опубликованных работ свидетельствует, что проблема разработки уточненных теорий стержней, пластин, оболочек и многослойных конструкций актуальна и в настоящее время. Существенно расширился используемый математический аппарат как для реализации уже поставленной проблемы, так и с целью обеспечения новых постановок. Параллельно с теоретическим используется также и экспериментальный путь исследования. Широко применяются численные методы и дискретные расчетные модели.

Следует отметить, что классическая теория упругости довольно хорошо предсказывает поведение реальных твердых тел, находящихся под различной

нагрузкой, во всех случаях, когда «зернистость» строения рассматриваемых реальных тел не является характерной. Однако классическая теория упругости оказывается не в состоянии удовлетворительно объяснить закономерности некоторых явлений, которые можно наблюдать в реальных упругих телах, не говоря уже о телах другой реологии. Например, с точки зрения теоретических решений классической теории упругости не удается объяснить и предсказать законы распространения коротких акустических волн в кристаллических твердых телах, иоликристалллческих металлах и высоких полимерах. Заметим также, что дисперсия упругих поверхностных волн Рэлея, не может быть объяснена в ргшках классической модели сплошной среды. В рамках же среды Коссера (или более обобщенной среды) этот эффект имеет объяснение. При этом степень затухания амплитуды рэлеевской волны с глубиной, а также эллиптичность волны зависят от материальных констант среды, в том числе и от параметров, описывающих моментные свойства. Это обстоятельство позволяет надеяться на эффективное применение такого типа волн в возможных экспериментальных исследованиях, направленных на обнаружение момеитного поведения материала и далее на определение материальных параметров. Обзор работ в этом направлении свидетельствует, что существует несколько экспериментальных методов для их определения и ведется активная работа для нахождения материальных констант различных сред.

В связи с широким использованием тонких тел (одно-, двух-, трех- и многослойных конструкций) возникает потребность создания новых теорий и усовершенствованных методов их расчета. Поэтому их построение и развитие эффективных методов расчета тонких тел являются важной и актуальной задачей.

В диссертационной работе получены различные представления системы уравнений движения микрополяриой теории, а также определяющих соотношений (ОС) микрополярной теории тонких тел с одним малым размером в моментах

относительно системы ортогональных полиномов Лежандра. Даны формулировки постановок задач в рамках микрополяриой теории упругости в моментах. Исходя из упомянутых выше уравнений движения и ОС и постановок задач, выведены соответствующие уравнения движения, ОС и постановки задач в моментах микрополярной теории тонких призматических анизотропных тел с одним малым размером. Решены некоторые задачи для призматических тонких тел.

Цель работы.

Математическое моделирование деформирования микрополярных призматических тонких тел с применением системы полиномов Лежандра и решение некоторых модельных задач, в том числе построение теорий некоторых приближений.

Научная новизна работы заключается в следующем:

— впервые разработана математическая модель микрополярной теории анизотропных тонких тел переменной толщины с помощью системы полиномов Лежандра;

— впервые разработана математическая модель микрополяриой теории анизотропных призматических тонких тел переменной толщины с применением системы ортогональных полиномов Лежандра;

— впервые при применении системы полиномов Лежандра получены гиперболические уравнения четвертого порядка в нулевом приближении, относительно моментов третьих компонент векторов перемещений и вращений для изотропной среды;

— впервые осуществлено моделирование волновых процессов в микрополяриой упругой анизотропной среде, получены общее дисперсионное уравнение и скорости распространения волн в бесконечных микрополярных трансверсально-изотроиной л ортотропной средах в главных направлениях;

— впервые, используя метод И.Н.Векуа решения эллиптических уравнений

2п порядка и метод разделения переменных Фурье, осуществлено моделирование деформирования прямоугольной пластины в рамках гиперболической системы уравнений теории упругости;

Обоснованность и достоверность теоретических положений л выводов диссертации подтверждена строгими математическими выводами, основанными на положениях механики, и подтверждена сравнением полученных решений задач с известными классическими решениями.

Теоретическая и практическая значимость работы. Результаты имеют важное теоретическое и прикладное значение и могут быть использованы для решения многих важных практических задач в тех областях техники, в которых применяются топкие тела. В частности, могут быть применены в МГТУ им. Н.Э.Баумана, МАИ, ЦАГИ, ЦИАМ, НИИ Механики при МГУ, ИТПМ СО РАН, ИПМ РАН, ЦНИИ Маш, и в других организациях, занимающихся разработкой и совершенствованием образцов автомобильной, ракетной, морской и авиационной техники.

На защиту выносятся математические мода-ш теории тонких микрополярных призматических тел с одним малым размером и результаты численного решения задач; дисперсионные уравнения для определения скоростей распространения упругих волн в бесконечных анизотропных микрополярных средах.

Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались на семинарах:

— аспирантский семинар и научно-исследовательский семинар кафедры механики композитов механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова иод руководством д.ф.-м.н., проф. Б.Е. Победри, (2008, 2009)

— научно-исследовательский семинар кафедры теории упругости механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова иод руководством д.ф.-м.н., проф. И.А. Кийко, (2008, 2009)

— научно-исследовательский семинар кафедры волновой и газовой динамики механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством акад., проф. Р.Н. Нигматулина, д.ф.-м.н., проф. H.H. Смирнова, (2008, 2009)

— научно-исследовательский семинар кафедры теории пластичности механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова иод руководством члеи-корр. РАН, проф. Е.В. Ломакина, д.ф.-м.н., проф. В.М. Александрова, акад. РАН, проф. И.Г. Горячевой, (2008, 2009)

— научно-исследовательский семинар «Актуальные проблемы геометрии и механики» на механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством д.ф.-м.н., проф. Д.В. Георгиевского, д.ф.-м.н., М.В. Шамо-лина, д.ф.-м.н., проф. С.А. Агафонова, (2008, 2009)

— научных конференциях «Ломоносовские чтения» 2003-2009 г.г., секция механики, МГУ им. М.В. Ломоносова,

- научно-исследовательский семинар в ин-те машиноведения им. A.A. Бла-гонравова РАН под руководством д.т.п., проф. Г.В. Москвитииа, (2008)

— научно-исследовательский семинар факультета «Прикладная математика» МГОУ под руководством д.ф.-м.н., проф. В.Дж. Кулиева, (2010)

— научно-исследовательский семинар по механике сплошной среды им. Л. А. Галина ИПМех РАН под руководством д.ф.-м.н., проф. В.М. Александрова, д.ф.-м.н., проф. В.Н. Кукуджанова, д.ф.-м.н., проф. A.B. Манжирова, (2010)

— научно-исследовательский семинар кафедры «Прикладная математика» МГТУ им. Н.Э.Баумана под руководством д.т.н., проф. B.C. Зарубина, (2011)

— научно-исследовательский семинар кафедры № 902 МАИ «Сопротивление материалов. Динамика и прочность машин» по механике под руководством д.ф.-м.н., проф. Д.В.Тарлаковского, (2011)

Публикация результатов. Результаты диссертации частично опубликованы в работах, список которых приведен в конце автореферата. Три статьи

изданы в журналах, которые входят в перечень издательств, рекомендованных

ВАК РФ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, Заключения, нескольких иллюстраций, списка литературы и содержания. Диссертация изложена на 150 страницах.

Личный вклад автора. Представленные в работе научные результаты получены лично автором. Во всех случаях использования результатов других исследований в работе приведены ссылки на источники информации.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность научных теоретических исследований. Сформулированы: цель работы, ее научная новизна, теоретическая и практическая значимость.

В первой главе «Моделирование напряженно-деформированного состояния микрополярных упругих тонких тел при параметризации на основе произвольной базовой поверхности» разработана математическая модель микрополярной теории анизотропных тонких тел переменной толщины с помощью системы полиномов Лежандра при параметризации области тонкого тела на основе произвольной базовой поверхности.

Рассмотрены некоторые вопросы о параметризации на основе произвольной базовой поверхности области трехмерного тонкого тела с одним малым размером. Дано векторное параметрическое уравнение области топкого тела. Радиус-вектор произвольной точки области тонкого тела представляется в виде

т(х\х2,х') = ф-1,*2) + [h(x\x2)+x4{x\x2)]n{x\x2), -1 < я3 < 1, (1)

где г = г(г') является векторным параметрическим уравнением базовой поверхности S, х' — (ж1,!2) — произвольная точка на S, т.е. ж1 и х'2 — криволинейные (гауссовы) координаты на базовой поверхности S, h(x') = [h(x') - h{x')J/2,

/i(x') = [/1(3;') + /i(x')]/2, п(х') — единичный вектор нормали к S в точке ж', h(x') — расстояние от точки х' до соответствующей точки поверхности S, h (ж') — расстояние от той же точки х до соответствующей точки поверхности S, 2h{x') = h(x') + h(x') — толщина тонкого тела в точке х. Классическая параметризация получается из (1) заменой [/i(:r')+:r3/i(;r')] на .г3, -h < х'] < h.

Введены в рассмотрение свойственные предложенным семействам параметризаций геометрические характеристики. В частности, рассмотрены различные семейства базисов (реперов) н порожденные ими соответствующие семейства параметризаций. Получены выражения для компонент единичного тензора второго ранга. Даны представления некоторых дифференциальных операторов, уравнений движения и ОС при рассматриваемой параметризации области топкого тела.

Даяы определения момента А>го порядка некоторой величины относительно произвольной системы полиномов Лежандра Qk{x^)

W A.f 2А- 4-1 1 M(f) = f (x!) dä 2Л±1 J ffr x*)Qk{x*)dx*. z -1

Получены моменты первых производных, моменты дифференциальных операторов (градиента, дивергенции, ротора) относительно системы полиномов Лежандра с использованием известных, а также некоторых полученных рекуррентных соотношений для этих полиномов.

Получены система уравнений движения и ОС при рассматриваемой параметризации области тонкого тела.

Выписаны статические граничные условия на лицевых поверхностях. Из граничных условий на боковой грани получены соответствующие граничные условия в моментах. Даны начальные условия в моментах. Сформулированы постановки динамических задач в моментах микрополярной механики деформируемого твердого тонкого тела (ММДТТТ) при параметризации области тонкого тела с одним малым размером на основе произвольной базовой

поверхности.

Во второй главе«Моделирование деформирования микрополярных упругих тонких тел, при классической траметриаациг» осуществлено моделирование напряженно-деформированного состояния микрополярных анизотропных тонких тел переменной толщины при классической параметризации.

При классической параметризации области тонкого тела выписано определение момента к-го порядка некоторой величины относительно произвольной системы полиномов Лежандра С}к{ш)

т.3

(*•■) (к) , , оь 4-1 '*(*')

X

2Л -4') '' 11

Выписаны моменты первых производных. Получены моменты некоторых выражений относительно этих полиномов, дифференциальных операторов (градиента, дивергенции, ротора), ковариантных производных компонент тензора. Даны различные представления системы уравнений движения (к) . (к) (к) (к) д2 д

МЬ&Чра"*) + М( + М{р1*) =

(к) - (*) (*) (к) д2и3

М{дрмУРот) + М(У3аю) + М{рР) = Щр-др),

(к) (к) (к) (к) (к) Я2 Я

+ М{Ч31&) + М{С?1ко1кдМ) + М(рН^) = ЛÍ(J-^-), «•) - (к) (к) „ , (к) , (к) 02 3

М(д^УРцт) + М(У3/*33) + М(С><х'У3) + М(рЯ3) =

и ОС в моментах для микрополярной анизотропной теории тонких тел неременной толщины

2 = гЛ|си*< £ А%М((х3УЧмЩ) + -

I- «=о (•') -1

= гЛ Ь**' £ Л^М((х3)*Улт) + , ¿ = 0,1,2,...

~ 8=0 (•«) -1

Здесь ап и 1лря — компоненты тензоров напряжений и моментиых напряжений, ир и — компоненты векторов перемещений и микровращеиий, и Нр —

компоненты векторов массовых сил и массовых моментов, СР1к — компоненты дискриминантного тензора третьего ранга, 3 — внутренняя характеристика среды, р = р(х') — плотность среды, СтЫ и — компоненты тензоров модулей упругости, Гр и гг' — векторы ковариантного и контравариантного базисов,

д^ = тм ■ г^, А к = Ьр ... Ь^'^Ьх'1, ЪЦ — смешанные компоненты второго (») 12 11 тензора базовой поверхности. Применяются обычные правила тензорного исчисления. Прописные и строчные латинские индексы пробегают значения 1, 2 и 1, 2, 3 соответственно. Сформулированы постановки динамических задач в моментах ММДТТТ при классической параметризации области тонкого тела с одним малым размером.

В третьей главе «Моделирование деформирования призматг1чес.ких тонких упругих тел» разработана математическая модель микрополярной теории анизотропных призматических тонких тел переменной толщины с применением системы ортогональных полиномов Лежандра при классической параметризации области тонкого тела.

Сформулированы постановки динамических задач в моментах микрополярной механики деформируемого тонкого призматического анизотропного тела переменной толщины. Получены уравнения движения микрополярной теории призматических однородных и неоднородных относительно координат х1 и х1 базовой поверхности тонких тел переменной толщины для компонент векторов перемещений и вращений в моментах относительно системы полиномов Лежандра с учетом статических граничных условий на лицевых поверхностях.

Для однородных призматических тонких тел постоянной толщины из изотропных и анизотропных материалов, а также редуцированной среды Коссера, получены системы уравнений нулевого, первого и второго приближений.

В нулевом приближении для моментов третьих компонент векторов пере-(0) (0)

мещений из и вращений <р3 для изотропной микрополярпой среды получены гиперболические уравнения четвертого порядка.

В первом приближении для изотропной и трансверсально-изотропной классических сред получены гиперболические уравнения четвертого порядка относительно моментов нулевого и первого порядков третьей компоненты векто-

ра перемещений и первого инварианта двумерного тензора деформаций в = д^и 1 + с>2к = 0,1. При этом в уравнении относительно (и3 в отличие от уравнения типа Тимошенко коэффициент сдвига к = 1, а цилиндрическая жест-

(1 ~ ~ г> ВАЗ

кость В = --- Д где I) = ---^ — классическая цилиндрическая

1 — 2// 12(1 -жесткость, £ — модуль Юига, и — коэффициент Пуассона. Кроме того, при

(0)

и —¥ 1/2 уравнение относительно из переходит в уравнение

Следует отметить, что гиперболические уравнения, полученные в первом приближении, в случае равновесия совпадают с уравнениями для пластин при постоянной толщине, полученными И.Н.Векуа.

(к) Ю

Во втором приближении относительно г(з и в, к — 0,1,2, для изотропной и трансверсально-изотропной классических сред получены гиперболические уравнения шестого порядка.

В четвертой главе «Моделирование волновых процессов в классических и микрополярных упругих анизотропных средах» осуществлено моделирование волновых процессов в классической и микрополярной упругих анизотропных средах. В частности, выведены общее дисперсионное уравнение для однородной анизотропной микрополярной среды, а также, как частный случай, дисперсионные уравнения в главных направлениях трансверсально-изотропных и орто-тропных микрополярных сред. Получены скорости распространения упругих волн по главным направлениям в трансверсально-изотропной и ортотропной микрополярных средах.

В пятой главе «Моделирование деформирования прямоугольных пластин в рамках системы уравнений теории упругости» осуществлено моделирование

Рис. 1: Графики "прогибов"средних линий

деформирования прямоугольной пластины в рамках гиперболической системы уравнений теории упругости. Выписано данное И.Н. Векуа общее решение эллиптических уравнений 2п-го порядка с помощью п аналитических функций, а также, как частный случай, представление решения эллиптического уравнения четвертого порядка. В работе методом разделения переменных Фурье гиперболические уравнения четвертого и шестого порядков приведены к уравнениям эллиптического типа тех же порядков и используя метод И.Н.Векуа, получены общие представления решения этих уравнений.

Рассмотрена задача об изгибе прямоугольной пластины в первом прибли-

(к)

женин. Применяя вышеуказанные методы к полученным относительно и3, к = 0,1, уравнениям четвертого порядка гиперболического типа, выписаны общие решения. Учитывая граничные условия для определения входящих в эти решения постоянных, получена система алгебраических уравнений относительно входящих в решения уравнений постоянных.

В шестой главе « Численное решение задач о напряженно-деформированном состоянии классических и микрополярных пластин при цилиндрическом

изгибе» с помощью разработанных программных комплексов решены некоторые задачи о напряженно-деформированном состоянии пластин из классической и микроиолярной сред. В частности, рассмотрены задачи о цилиндрическом изгибе классической и микроиолярной пластин бесконечной длины в направлении продольной оси Х2, защемленных по параллельным (продольным) этой оси краям и нагруженных постоянной в направлении этой оси поперечной нагрузкой. Вдоль оси Ох\ нагрузка может меняться произвольно.

На основе полученных аналитических решений нулевого, первого и второго приближений проведено численное моделирование напряженно-деформированного состояния классической пластины с помощью составленной программы в среде МАТЬАВ. Построены графики зависимости компонент вектора перемещений и компонент тензора напряжений от а^ при различных значениях Хз и нагрузках. С номощыо корректирующего слагаемого удовлетворены граничные условия на лицевых поверхностях.

Кроме того, на основе полученных систем дифференциальных уравнений нулевого - пятого приближений проведено численное моделирование наиряжен-но-деформированного состояния микрополярной пластины с помощью составленной программы в МАРЬЕ.

Построены графики "прогибов" (третьих компонент векторов перемещений) средней линии призматического тела из(0,хз) с учетом корректирующего слагаемого при N = 075. Показана, что начиная со второго приближения графики совпадают друг с другом (рис. 1: а)).

Сравниваются графики "прогибов" средних линий, полученные по предлагаемым классической и микрополярной теориям и графики "прогибов" средних линий, полученные по предлагаемой классической теории, а также численного расчета е помощью программного комплекса АВАС^иБ для случая двумерной теории (плоское деформированное состояние). Показана, что разница между

максимальными значениями "прогибов" классической и микрополярной теорий составляет около 27%, а графики "прогибов", получаемые по классической и двумерной теориям, совпадают друг с другом (рис. 1: Ь)).

Выписаны системы уравнений нулевого, первого и второго приближений, которые приведены к системе обыкновенных дифференциальных уравнений и которая расщепляется на две независимые системы. Получены общие решения этих систем в нулевом и первом приближениях.

В Заключении приведены основные результаты диссертационной работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

В Заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы, которые сводятся к следующему:

1. Разработана математическая модель микрополярной теории анизотропных тонких тел переменной толщины с применением системы ортогональных полиномов Лежаццра.

2. Для анизотропных тонких однородных микрополярпых призматических тел постоянной толщины получены системы уравнений нулевого, первого и второго приближений. Получены гиперболические уравнения четвертого порядка для моментов третьих компонент векторов перемещений и вращений для изотропной микрополярной среды в нулевом приближении.

3. Осуществлено моделирование волновых процессов в упругой анизотропной среде. В частности, получены общее дисперсионное уравнение и скорости распространения волн в бесконечных микрополярпых трансиерсаль-но-изотропной и ортотропной средах в главных направлениях.

4. Осуществлено моделирование деформирования прямоугольной пластины

в рамках гиперболической системы уравнений теории упругости. Применяя методы разделения переменных Фурье и И.Н. Векуа к уравнениям (к)

относительно из, к = 0,1, выписаны представления общих решений.

5. Рассмотрены задачи о цилиндрическом изгибе пластины бесконечной длины в направлении продольной оси x-¿. На основе полученных систем дифференциальных уравнений с нулевого по пятого приближений проведено численное моделирование напряженно-деформированного состояния пластины с помощью составленной программы в MAPLE. С помощью корректирующего слагаемого удовлетворены граничные условия на лицевых поверхностях.

Список публикаций по теме диссертации

1. Победря Б.Е., Улуханян А.Р. Постановки задач для оболочечной области по трехмерной момеитпой теории ДТТ// Ломоносовские чтения. Тезисы докладов научной конференции. Секция механики. 19 - 28 апреля 2004, Москва, МГУ им. М.В.Ломоносова - М.: Изд-во Моск. ун-та, 2004. С. 137.

2. Никабадзе М.У., Улухатн А.Р. Постановки задач для оболочечной области по трехмерным теориям// Деп. в ВИНИТИ РАН. 21.01.05, МЗ-В2005. 7 с.

3. Никабадзе М.У., Улухапян А.Р. Постановки задач для тонкого деформируемого трехмерного тела// Вест. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2005. №5. С. 43-49.

4. Nikabadze M. U., Ulukhanyan A.R. Formulations of Problems for a Deformable Thin Three-Dimensional Body// Moscow University Mechanics Bulletin. (English Translation of Vestnik Moscov. Univ. Ser. 1. Mat. Mekh.) Vol. 60, 2005. №5. p. 5-11.

5. Победря Б.Е., Никабадзе М.У., Улуханян А. Р. Задача в моментах тензора напряжений/,/ Ломоносовские чтения. Тезисы докладов научной конференции. Секция механики. Апрель 2005, Москва, МГУ им. М.В.Ломоносова - М.: Изд-во Моск. ун-та, 2005. С. 160-161.

6. Победря Б.Е., Никабадзе М.У., Улуханян А.Р. К теории упругих пластин// Ломоносовские чтения. Тезисы докладов научной конференции. Секция механики. Апрель 2006, Москва, МГУ им. М.В.Ломоносова - М.: Изд-во Моск. ун-та, 2006.

7. Победря Б.Е., Никабадзе М.У., Улуханян А.Р. Постановки задач нулевого, первого и второго приближений в моментах моментной теории тонких упругих пластин//' Ломоносовские чтения. Тезисы докладов научной конференции. Секция механики. Апрель 2007, Москва, МГУ им. М.В.Ломоносова - М.: Изд-во Моск. ун-та, 2007. С. 135-136

8. Победря Б.Е., Никабадзе. М.У., Улуханян А.Р. О первой краевой задаче в моментах относительно системы полиномов Лежандра в моментной теории тонких призматических тел с одним малым размером// Ломоносовские чтения. Тезисы докладов научной конференции. Секция механики. Апрель 2008, Москва, МГУ им. М.В.Ломоносова - М.: Изд-во Моск. уи-та, 2008.

9. Никабадзе М.У., Улуханян А.Р. Математическое моделирование упругих тонких тел с одним малым размером с помощью систем ортогональных полиномов// Деп. в ВИНИТИ РАН. 21.08.08. №723 - В2008. 64 с.

10. Улуханян А.Р. Задача о цилиндрическом изгибе пластины в моментной среде// Ломоносовские чтения. Тезисы докладов научной конференции. Секция механики. Апрель 2009, Москва, МГУ им. М.В.Ломоносова - М.: Изд-во Моск. ун-та, 2009.

11. Улуханян А.Р. Динамические уравнения теории тонких призматических

тел с применением разложения по системе полиномов Лежандра и представление их решения//Деп. в ВИНИТИ РАН. 15.05.09. №310 -В2009.18 с.

12. Улуханян А.Р. Дисперсионные уравнения и скорости распространения волн в моментной теории// Деп. в ВИНИТИ РАН. 05.08.09. №521 - В2009. 16 с.

13. Улуханян А.Р.К представлению решения уравнений гиперболического типа// Вест. Моск. ун-та. Сер.1, Математика. Механика. 2010. №2. С. 62-66.

14. Ulukhanyan A.R. Representation of Solutions to Equations of Hyperbolic Type// Moscow University Mechanics Bulletin. Vol. 65, №. 2, 2010. p. 47-50.

15. Ulukhanyan A.R. Modeling Prismatic Thin Bodies with One Small Size via the Legendre Polynomial// Journal of Mathematical Sciences, Vol. 165, №6, 2010.

16. Ulukhanyan A.R. On Solution of First and Second Approximation Equations in Modeling Thin Prismatic Bodies via Legendre Polynomials// Journal of Mathematical Sciences, Vol. 165, №6, 2010.

17. Улуханян А.Р. Моделирование деформирования тонких призматических тел с применением системы полиномов Лежандра// Современная математика и ее приложения. Том XX. 2011. С. 6.

18. Улуханян А.Р. Динамические уравнения теории тонких призматических тел с применением разложения но системе полиномов Лежандра// Извест. РАН. МТТ. 2011. №3. С. 164-180.

19. Ulukhanyan A.R. Dynamic Equations of the Theory of Thin Prismatic Bodies With Expansion in the System of Legendre Polynomials// Mechanics of Solids. 2011. Vol. 46, №3, p. 467-479.

20. Никабадзе M. У., Кантор M.M., Улуханян А.Р. К математическому моделированию упругих тонких тел и численная реализация некоторых задач о полосе// Деп. в ВИНИТИ РАН. 29.04.11. №204 - В2011. 207 с.

Подписано в печать: 17.01.12 Объем: 1,5 усл.п.л. Заказ № 7032 Отпечатано в типографии «Реглет» 119526, г. Москва, Проспект Вернадского д. 39 (495) 363-78-90; www.reglet.ru

61 12-1/484

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. Н.Э.БАУМАНА

Г/У

^Ь^'' Ьг] пРавах рукописи

/

УЛУХАНЯН АРМИНЕ РАФАЕЛОВНА

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕФОРМИРОВАНИЯ МИКРОПОЛЯРНЫХ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ТОНКИХ ТЕЛ С ПРИМЕНЕНИЕМ СИСТЕМЫ

ПОЛИНОМОВ ЛЕЖАНДРА

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель профессор, док. физ.-мат. наук Ю.И. Димитриенко

МОСКВА - 2012 г.

Литературный обзор о моделировании напряженно-деформированного состояния в упругих телах

Одной из важных задач современной промышленности является постоянная забота о снижении веса конструкций при сохранении надежности ее работы. В этой связи представляется необходимым для полного исследования реального напряженно-деформированного состояния рассматривать теории высоких (второго, третьего и т.д.) приближений, геометрическую и физическую нелинейность, моментные (микроморфные, микрополярные, микроконтинуальные с растяжением-сжатием) теории деформируемого твердого тела, а также уточненные способы сведения трехмерных задач к двумерным. Очевидно, новое механическое содержание приводит к новым задачам, нуждающимся в математическом исследовании и моделировании.

В настоящее время известно несколько методов построения теорий стержней, пластин, оболочек и многослойных конструкций. Например, в случае однослойных пластин [10,45,111,124,128,135], эти методы основаны на:

1) гипотезах о напряженном и/или деформированном состояниях;

2) разложении всех геометрических и механических величин в ряды;

3) асимптотическом интегрировании;

4) представлениях о двумерных средах.

Эти методы различаются возможностями использования в практических расчетах, уровнем математической строгости и т.д. И в то же время они приводят трехмерные системы уравнений в частных производных, которые описывают механическое поведение реальной конструкции, к двумерной, т.е. при расчете многослойных конструкций решают систему двумерных дифференциальных уравнений в частных производных.

Первый метод, который еще называют гипотетическим методом [97], ближе всего к инженерным представлениям. Исходная задача упрощается после

принятия определенных допущений (гипотез). Такие гипотезы связаны прежде всего с именами Кирхгофа Г. [117], Рейснера Е. [127], Генки X. [115], Тимошенко С.П. [33,35-37], Амбарцумяна С.А. [7-10], Левинсона М. [119], Пелеха Б.Л. [71,73], Хорошуна Л.П. [100,101], Черных К.Ф. [108-110] и др. Различные кинематические модели представлены, например, в работе [120].

Второй метод связан с разложением в ряды по степеням поперечной координаты [116,121,126], разложением в полиномы Лежандра [59,86,96,99,123], [19-23,25,34,60,61], [11,72,74,75], [102-107], [1-6,27-32,47,51-54,65,134], разложением в ряды по системе заданных функций [15,16], разложением в многочлены Чебышева [65] и др. (эти разложения с одинаковым успехом используется для построения любой теории тонких тел). При таком подходе возникает проблема механической интерпретации членов разложений выше второго порядка.

Третий метод — асимптотическое интегрирование, предложен, например, в работах Гольденвейзера А.Л. [38-40, др.], Саркисяна [83,84]. В математическом плане оно приводит к равномерному приближению решения по всем элементам теории (кинематическим, силовым), так как рассматриваются всегда члены одинакового порядка.

Четвертый метод, основанный на представлении о двухмерных средах и называемый еще прямым методом [97], находит достаточно редкое применение, так как противоречит традиционным взглядам о представлении результатов расчетов в виде полей напряжений. Такое представление для двухмерных теорий - весьма трудоемкий, а иногда и невыполнимый процесс. О возможностях этого метода можно судить, например, по работам [124,136].

В принципе любую задачу теории оболочек можно рассматривать (решать) в трехмерной постановке, которая является более точной в сравнении с двумерной постановкой. Однако реализовать на практике эту возможность в требуемом объеме не удается вследствие чрезмерной сложности решения трехмерных задач и большого разнообразия практически необходимых постановок задач.

Поведение тонких тел, подчиняясь общим законам механики деформируемого твердого тела, зависит также от специфических присущих им закономерностей [25,76]. Вследствие относительной малости толщины сопротивление оболочки в поперечном направлении существенно слабее сопротивления в тангенциальных направлениях. Уравнения состояния механики трехмерного тела, в том числе и закон Гука, не учитывают этого обстоятельства. Поэтому их непосредственное использование в теории оболочек приводит к существенной ошибке [25]. Специфические закономерности деформирования тонких тел являются физической предпосылкой к построению новых теорий тонких тел.

Появление и широкое внедрение в различные отрасли техники композитных материалов слоистой и волокнистой структуры вызвало необходимость в разработке новых методов расчета и проектирования тонких тел, изготовляемых из

этих материалов. Оказалось, что классическая теория, которая до этого безраздельно господствовало в прикладных методах расчета тонкостенных конструкций, не способна удовлетворительно описать напряженно-деформированное состояние композитных тонких тел. В ряде случаев необходимость применения многослойных тонких тел вызывается конструктивными и эксплуатационными соображениями. Это очень важно при повышенных требованиях к безопасности конструкций, особенно в самолето- и ракетостроении, тем более, что прогресс вычислительной техники обеспечивает возможность проведения все более и более сложных численных расчетов.

В связи с широким использованием тонких тел (одно-, двух-, трех- и многослойных конструкций) возникает потребность создания новых уточненных теорий и усовершенствованных методов их расчета. Поэтому построение уточненных теорий тонких тел и развитие эффективных методов их расчета являются важной и актуальной задачей.

Анализ опубликованных работ свидетельствует, что создание уточненных теорий стержней, пластин, оболочек и многослойных конструкций продолжает активно развиваться. При этом нелинейные теории находят все более широкое освещение в литературе. Существенно расширился используемый математический аппарат как для реализации уже поставленной проблемы, так и с целью обеспечения новых постановок. Параллельно с теоретическим используется также и экспериментальный путь исследования. Широко применяются численные методы и дискретные расчетные модели.

Следует отметить, что классическая теория упругости довольно хорошо предсказывает поведение реальных твердых тел [82], находящихся под различной нагрузкой, во всех случаях, когда «зернистость» строения рассматриваемых реальных тел не является характерной. Однако классическая теория упругости оказывается не в состоянии удовлетворительно объяснить закономерности некоторых явлений, которые можно наблюдать в реальных упругих телах, не говоря уже о телах другой реологии. Например, с точки зрения теоретических решений классической теории упругости не удается объяснить и предсказать законы распространения коротких акустических волн в кристаллических твердых телах, поликристаллических металлах и высоких полимерах. Классическая теория также не дает достаточно удовлетворительной согласованности ее результатов с экспериментальными данными для тел с ярко выраженной поликристаллической структурой в условиях сложного напряженного состояния с большим градиентом напряжений. В частности, эта теория не может дать какого-либо вразумительного объяснения влиянию градиента напряжений на усталостные характеристики поликристаллических материалов. Следовательно, для объяснения этих явлений нужна новая модель твердого тела механики

сплошной среды, в которой свойства, вытекающие из дискретной структуры реальных тел, были бы явно отражены. Заметим также, что дисперсия упругих поверхностных волн Рэлея, не может быть объяснена в рамках классической модели сплошной среды. В рамках же среды Коссера (или более обобщенной среды) этот эффект имеет объяснение [50]. При этом степень затухания амплитуды рэлеевской волны с глубиной, а также эллиптичность волны зависят от материальных констант среды, в том числе и от параметров, описывающих микрополярные свойства. Это обстоятельство позволяет надеяться на эффективное применение такого типа волн в возможных экспериментальных исследованиях, направленных на обнаружение микрополярного поведения материала и далее на определение материальных параметров. Обзор работ в этом направлении свидетельствует, что существует несколько экспериментальных методов [114,118] для их определения и ведется активная работа для нахождения материальных констант различных сред.

В настоящей диссертационной работе получены различные представления системы уравнений движения микрополярной теории, а также определяющих соотношений (ОС) микрополярной теории тонких тел с одним малым размером в моментах относительно системы ортогональных полиномов Лежандра. Даны формулировки постановок задач в рамках микрополярной теории упругости. Исходя из упомянутых выше уравнений движения и ОС и постановок задач выведены соответствующие уравнения движения и ОС в моментах микрополярной теории тонких призматических тел с одним малым размером. Решены некоторые задачи для призматических тонких тел.

В первой главе разработана математическая модель микрополярной теории анизотропных тонких тел переменной толщины с помощью системы полиномов Лежандра при параметризации области тонкого тела на основе произвольной базовой поверхности. Рассмотрены некоторые вопросы о параметризации [65] при произвольной базовой поверхности области тонкого тела с одним малым размером. Рассмотренная в работе параметризация [65] отличается от классической [24,25] тем, что при рассматриваемой параметризации области тонкого тела поперечная координата принимает значения из сегмента [—1,1]. Эта параметризация удобна использовать в тех случаях, когда область тонкого тела не обладает симметрией относительно какой-нибудь регулярной поверхности, кроме того, она более удобна при нахождении моментов механических величин, чем классическая. Дано векторное параметрическое уравнение области тонкого тела. Введены в рассмотрение свойственные предложенным семействам параметризаций геометрические характеристики. В частности, рассмотрены различные семейства базисов (реперов) и порожденные ими соответствующие семейства

параметризаций. Получены выражения для компонент единичного тензора второго ранга (ЕТВР). Даны представления некоторых дифференциальных операторов.

При параметризации области тонкого тела на основе произвольной базовой поверхности даны определения момента к-го порядка некоторой величины относительно системы полиномов Лежандра. Найдены моменты частных производных, дифференциальных операторов (градиента, дивергенции, ротора), повторного градиента и лапласиана относительно системы полиномов Лежандра с использованием известных, а также некоторых полученных рекуррентных соотношений для этих полиномов [65].

Даны представления системы уравнений движения и определяющих соотношений (ОС) в моментах для теории тонких тел переменной толщины при параметризации области тонкого тела с одним малым размером на основе произвольной базовой поверхности.

Выписаны граничные условия физического содержания (статические граничные условия) на лицевых поверхностях. Из граничных условий на боковой грани получены соответствующие граничные условия в моментах. Даны начальные условия в моментах.

Даны постановки динамических задач в моментах микрополярной механики деформируемого твердого тонкого тела (ММДТТТ) при параметризации области тонкого тела с одним малым размером на основе произвольной базовой поверхности.

Следует заметить, что с помощью рассматриваемого метода построения теории тонких тел с одним малым размером получается бесконечная система уравнений, которая имеет то преимущество, что она содержит величины, зависящие от двух переменных — гауссовых координат ж1, ж2 базовой поверхности. Итак, уменьшение числа независимых переменных на единицу достигается ценой увеличения количества уравнений до бесконечности, что разумеется, имеет свои очевидные практические неудобства. В связи с этим производится редукция бесконечной системы к конечной.

Во второй главе осуществлено моделирование напряженно-деформированного состояния микрополярных анизотропных тонких тел переменной толщины при классической параметризации. Следуя И.Н.Векуа, выписано определение момента к-го порядка некоторой величины относительно системы полиномов Лежандра при данной параметризации области тонкого тела. Выписаны выражения для моментов частных производных. Получены моменты некоторых выражений относительно системы полиномов Лежандра, а также моменты дифференциальных операторов (градиента, дивергенции, ротора), ковариантных производных произвольной функции.

Даны представления системы уравнений движения и ОС в моментах для теории тонких тел переменной толщины при классической параметризации области тонкого тела с одним малым размером. Получены соответствующие граничные условия в моментах. Даны начальные условия в моментах.

Сформулированы постановки динамических задач в моментах ММДТТТ при классической параметризации области тонкого тела с одним малым размером.

В третьей главе разработана математическая модель микрополярной теории анизотропных призматических тонких тел переменной толщины с применением системы ортогональных полиномов Лежандра при классической параметризации области тонкого тела.

Получены уравнения движения микрополярной теории для компонент векторов перемещений и вращений в моментах относительно систем полиномов Лежандра с учетом статических граничных условий на лицевых поверхностях при классической параметризации области тонкого тела. Сформулированы постановки динамических задач в моментах для микрополярных призматических тонких тел с одним малым размером. Выведена система уравнений теорий тонких микрополярных призматических тел в моментах компонент векторов перемещений и микровращений относительно системы полиномов Лежандра в случае неоднородной относительно координат х1 и х2 базовой поверхности среды переменной толщины.

Для ортотропного, трансверсально-изотропного и изотропного упругих тонких однородных призматических тел постоянной толщины, а также редуцированной среды Коссера, получены системы уравнения нулевого, первого и второго приближений.

При применении системы полиномов Лежандра получены гиперболические уравнения четвертого порядка в первом приближении и гиперболические уравнения шестого порядка во втором приближении относительно моментов третьей компоненты вектора перемещений и первого инварианта плоского (двумерного) тензора деформаций для изотропной и трансверсально-изотропной классических сред, а также гиперболические уравнения четвертого порядка для моментов третьих компонент векторов перемещений и вращений в случае изотропной микрополярной среды в нулевом приближении.

В четвертой главе осуществлено моделирование волновых процессов в классической и микрополярной упругих анизотропных средах. В частности, выведены общее дисперсионное уравнение для однородной анизотропной микрополярной среды, а также, как частный случай, дисперсионные уравнения в главных направлениях трансверсально-изотропных и ортотропных микрополярных сред. Получены скорости распространения упругих волн по главным направлениям в трансверсально-изотропной и ортотропной микрополярных средах.

В пятой главе осуществлено моделирование деформирования прямоугольной пластины в рамках гиперболической системы уравнений теории упругости. Методом разделения переменных Фурье гиперболические уравнения четвертого и шестого порядков приведены к уравнениям эллиптического типа тех же порядков и используя метод И.Н.Векуа [18], получены общие представления решения этих уравнений.

Рассмотрена задача об изгибе прямоугольной пластины в первом приближении. Применяя вышеуказанные методы к полученным относительно «¿з, к — 0,1, уравнениям четвертого порядка гиперболического типа, выписаны общие решения. Учитывая граничные условия для определения входящих в эти решения постоянных, получены системы алгебраических уравнений с переменными коэффициентами относительно этих постоянных.

В шестой главе решены некоторые задачи о напряженно-деформированном состоянии пластин из классической и