Решение задач теории упругости с помощью полиномов Лежандра тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ
|
Кантор, Марк Михайлович
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2011
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.02.04
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА
Механико-математический факультет
На правах рукописи УДК 539.3
КАНТОР МАРК МИХАЙЛОВИЧ
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ С ПОМОЩЬЮ ПОЛИНОМОВ
ЛЕЖАНДРА
Специальность: 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
МОСКВА 2011 г.
2 ИЮН 2011
4848619
Работа выполнена на кафедре механики композитов Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова
Научный руководитель: Кандидат физико-математических наук,
доцент М.У. Никабадзе
Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук,
профессор A.B. Звягин
Доктор физико-математических наук, профессор Ю.И. Димитриенко
Ведущая организация: Учреждение Академии наук Институт Машиноведения им. А.А.Благонравова РАН, г.Москва
Защита диссертации состоится 17 июня 2011 г. в 16 часов 00 мин, на заседании Диссертационного совета Д 501.001.91 по механике при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, Главное здание МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 16-10.
С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж)
Автореферат разослан 16 мая 2011 г.
Ученый секретарь
Диссертационного совета Д 501.001.91 профессор
С.В. Шешенин
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность работы. Одной из важных задач современной промышленности является постоянная забота о снижении веса конструкций при сохранении надежности ее работы. Поэтому при расчетах напряженно-деформированного состояния актуальны теории, позволяющие учитывать геометрическую и физическую нелинейность, а также микрополярные теории деформируемого твердого тела и уточненные способы сведения трехмерных задач к двумерным и одномерным. Очевидно, новое механическое содержание приводит к новым задачам, нуждающимся в математическом исследовании и моделировании.
Анализ опубликованных работ свидетельствует, что проблема разработки уточненных теорий стержней, пластин, оболочек и многослойных конструкций актуальна и в настоящее время. Существенно расширился используемый математический аппарат как для реализации уже поставленной проблемы, так и с целью обеспечения новых постановок. Параллельно с теоретическим используется также и экспериментальный путь исследования. Широко применяются численные методы.
Следует отметить, что классическая теория упругости довольно хорошо предсказывает поведение реальных твердых тел, находящихся под различной нагрузкой, во всех случаях, когда «зернистость» строения рассматриваемых реальных тел не является характерной. В настоящее время при расчетах конструкций на прочность в подавляющем большинстве случаев используется классическая теория упругости. Однако, существуют материалы, такие как кости животных, графит, некоторые полимеры, полиуретановые пленки, пористые материалы (пемза), различные синтетические материалы, материалы с включениями, которые при определенных условиях проявляют микрополярные свойства. Существуют эффекты, которые не предсказываются классической теорией. Если рассматривать статику, то отличное от классики поведение наблюдается при изгибе тонких пластин, балок, при кручении тонких и тонкостенных стержней, при исследовании концентрации напряжений возле отверстий, угловых точек, трещин и включений. Например, тонкие образцы жестче при изгибе и кручении, чем предсказывает классическая теория (виаШег ЯЛ., ЛаЬятап \У.Е. 1975;
Krishna Reddy, Venkatasubramanian N. K. 1978). Концентрация напряжений около отверстий оказывается меньше, а коэффициент концентрации зависит от радиуса (Mindlin N.K. 1963). Концентрация напряжений возле трещин также оказывается ниже, напротив, напряжения возле включений выше, чем предсказано классикой (Kim B.S., Eringen A.C. 1973; Itou S. 1973; Sternberg E., Muki R. 1967; Ejike U.B.C.O. 1969; Nakamura S. 1984). Если материал не обладает центром симметрии упругих свойств, то микрополярная теория предсказывает закручивание образца при растяжении (Lakes R.S., Benedict R.L. 1982). Если рассматривать динамические задачи, то ряд явлений также отличается от классических представлений. Например, упругие волны сдвига и поверхностные волны Релея распространяются с дисперсией (Eringen A.C. 1968; Матвиенко В.П., Шарда-ков И.Н., Кулеш М.А.), появляются волны микровращений, собственные формы колебаний отличаются от классических (Mindlin N.K., Tiersten H.F. 1975). Все эти явления используются для определения материальных констант микрополярной теории упругости. Обзор работ в этом направлении свидетельствует, что существует несколько экспериментальных методов для их определения и ведется активная работа для нахождения материальных констант различных сред.
В связи с широким использованием тонких тел (одно-, двух-, трех- и многослойных конструкций) возникает потребность создания новых теорий и усовершенствованных методов их расчета. Поэтому их построение и развитие эффективных методов расчета тонких тел являются важной и актуальной задачей.
В настоящей диссертационной работе исследуется тело, похожее на криволинейный стержень с прямоугольным поперечным сечением, но при исследовании используются трехмерные постановки задачи. Используя теорию моментов относительно полиномов Лежандра, трехмерная задача сводится к одномерной. Получены новые представления системы уравнений движения микрополярной теории, граничных условий, а также определяющих соотношений (ОС) микрополярной теории исследуемых тел в моментах относительно системы ортогональных полиномов Лежандра. Даны постановки задач в рамках микрополярной теории упругости в моментах. Решены некоторые задачи для двумерной
области как в классическом, так и микрополярном случае.
Цель работы.
Построение новых теорий тонких микрополярных тел с двумя малыми размерами и решение некоторых задач теории упругости с помощью полиномов Лежандра.
Научная новизна работы заключается в следующем:
— впервые рассмотрена параметризация области трехмерного тонкого тела с двумя малыми размерами при произвольной базовой линии, когда поперечные координаты принимают значения из сегмента [-1,1].
— впервые даны постановки задач микрополярной теории для тонких тел с двумя малыми размерами при рассматриваемой параметризации;
— впервые даны постановки задач в моментах мнкрополярной механики деформируемых тонких тел с двумя малыми размерами;
— впервые даны постановки задач в моментах с нулевого до пятого приближения включительно для двумерных прямоугольных областей;
— впервые дана постановка задачи в моментах пятого приближения для многослойных двумерных прямоугольных областей;
— впервые приводятся численные решения двумерных задач с нулевого до пятого приближения включительно и даются сравнения с классическими решениями, в том числе с решением методом конечных элементов.
Обоснованность и достоверность теоретических положений и выводов диссертации подтверждены строгими математическими выводами, основанными на положениях механики и сравнением полученных решений задач с известными классическими решениями.
Теоретическая и практическая значимость работы. Результаты имеют важное теоретическое и прикладное значение и могут быть использованы для решения многих важных практических задач в тех областях техники, в которых применяются тонкие тела. В частности, могут быть использованы в ЦА-ГИ, ЦИАМ, НИИ Механики при МГУ, ИТПМ СО РАН, ИПМ РАН, ЦНИИМаш, МАИ и в других организациях, занимающихся разработкой и совершенствова-
нием образцов автомобильной, ракетной, морской и авиационной техники.
На защиту выносятся математические модели теории тонких микрополярных и классических тел с двумя малыми размерами, постановки задач в моментах с нулевого по пятое приближение для двумерных прямоугольных областей, а также результаты численного решения двумерных задач.
Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались на семинарах:
— аспирантский семинар и научно-исследовательский семинар кафедры механики композитов механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством д.ф.-м.н., проф. Б.Е. Победри (2010 г., 2011 г.),
— научно-исследовательский семинар кафедры теории пластичности механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством член-корр. РАН Е.В. Ломакина и д.ф.-м.н., проф. В.М. Александрова (2011 г.),
— научно-исследовательский семинар «Актуальные проблемы геометрии и механики» на механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством д.ф.-м.н., проф. Д.В. Георгиевского, д.ф.-м.н., М.В. Ша-молина, д.ф.-м.н., проф. С.А. Агафонова (2011 г.),
— Московский ежемесячный семинар молодых ученых и студентов по проблемам машиноведения под руководством чл. корр. РАН H.A. Махутова,
— научно-методический семинар для студентов 1-6 курсов и аспирантов МГТУ им. Баумана Н.Э. под руководством профессоров С.А. Агафонова, В.И Ванько, В.В. Феоктистова (2011 г.),
— на научных конференциях «Ломоносовские чтения» секция механики, МГУ им. М.В. Ломоносова (2007, 2008 и 2010 г.г.),
— на международном научном симпозиуме по проблемам механики деформируемых тел, посвященного 100-летию со дня рождения A.A. Ильюшина. Москва, 20-21 января 2011 года.
Публикация результатов. Основные результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из содержания, введе-
ния, четырех глав, заключения и списка литературы. В работе содержится 24 рисунка, 150 библиографических ссылок. Общий объем диссертации 147 страниц.
Личный вклад автора. Результаты, составляющие основное содержание диссертации, получены автором самостоятельно. В совместных работах соавторам принадлежат постановки задач. Разработка алгоритма предлагаемого метода, его программная реализация и тестирование, а также решение конкретных задач выполнены соискателем самостоятельно.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
Во введении дается краткий обзор литературы, обоснована актуальность научных теоретических исследований. Сформулированы: цель работы, ее научная новизна, теоретическая и практическая значимость.
В первой главе «К параметризациям области тонкого тела с двумя малыми размерами. Представления градиента и дивергенции тензора и уравнений движения. Рекуррентные соотношения системы полиномов Лежандра» рассмотрены некоторые вопросы о параметризациях, когда в качестве базовой выбирается срединная линия, проходящая через центры сечений тела, а также когда в качестве базовой выбирается произвольная линия области трехмерного тонкого тела с двумя малыми размерами. Дано векторное параметрическое уравнение области тонкого тела с двумя малыми размерами. На рис. 1 показано тонкое тело и его прямоугольное поперечное сечение ABCD. Мы предполагаем, что все поперечные сечения являются прямоугольными. Базовая линия проходит через точку М, касательной которой является вектор г3, перпендикулярный к плоскости рисунка и направленный на нас. Радиус-вектор произвольной точки N области тонкого тела представляется в виде
г(х',х3) = ф3)+ ¿ [hK(x3)+xKhK(x3)]eK(r») = к=i
= ф3) + i h-1 [hK(x3) + xKhK{x3)}rK(x3), -1<*'< 1,
K=1
где r = r(x3) - векторное параметрическое уравнение базовой линии, hi =
(1)
{Ы - Л,/)/2, /ц = (/ц + /1/)/2, г/ = /це;, < I = 1,2 >, г3 = Э3г, и е2 - единичные векторы главной нормали и бинормали к базовой линии соответственно. Обозначим через и £2 лицевые поверхности тонкого тела с двумя малыми
Рис. 1: Тонкое тело с двумя малыми размерами
размерами, определяемые с помощью (1) при х1 = —1, , х ) и х= —1, V(x , х ) соответственно, а через S1 и 52 лицевые поверхности, определяемые при ж1 = 1, V(ar2,x3) и х2 = 1, Ч[х1,з?) соответственно. Левый торец, определяемый с помощью (1) при xz = ж3 = const и — 1 < х7 < 1, обозначим через Sv а через S2 обозначим правый торец, который определяется при х3 = х32 = const (я3 > ^j) и — 1 < х1 < 1. Дифференцируя (1) по х1, получим
г/ = a/f(a;',a;3) = Л/в/ = г/, < / = 1,2 >, -1 < х1 < 1, х3 € R1. (2)
Дифференцируя (1) по а;3, и, учитывая формулы Френе, будем иметь
г3 = д3г(х', х3) = ft"1 + x1d3h1) + k2(h2 + х2^)]^-!-
+h-l[{d3h2+x2d3h2) + k2(h1 + xlh1)]r2+ [l - k^ + х1/г1)]г3. (3)
Очевидно, соотношениями (2) и (3) построен ковариантный базис в произвольной точке N области тонкого тела. При этом из (2) видно, что во всех точках области тонкого тела первые два базисные векторы одни и те же и равны tj = hjGj, < I = 1,2 >. В дальнейшем в качестве базиса, связанного с
базовой линии, выберем (г1; г2, г3). Тогда имеем
уД = (Г1 х г2)' гз = ЛЛ> г1 = лГ2г1> 1-2 = г3 = гз- (4)
Найдем элементы фундаментальной и обратной матриц для базисов, связанных с базовой линией. На основании (2) и (4) находим
= 533 = 1. = К^Кд, З33 = 1, <а,/?=1,2>.
Нетрудно заметить, что в силу (2) и (3) получим
(5)
Не представляет труда найти выражения для компонент ЕТВР (единичного тензора второго ранга) д^ = г^ • г? и д- — тр • г'. В самом деле, с помощью (2), (3) и (4) получим
%г = 5р<г = ^(Асз' <^.<? = 1.2>, 9р=9% Яр3=9р3=0, ^ =£ = <>,
% = Л1 К^Л + ^ЧМ + + Л2)].
5.1 = Л"1 [(^А + х1д3к1) +к2(Ъ2 + х\)}, (6)
9^2 = К [(ЗЛ + ^ЗЛ) - к2(\ + ^Ч)].
£2 = А"1 [(^Л + х%Н2) - к^ + х\)],
Заметим, что векторы контравариантного базиса в произвольной точке N можно найти по формуле г*5 = (1/2) Ср'1ат^ х г, и тогда можно ввести в рассмотрение д™ = г^ • г? и = г^ • тд - компоненты переноса ЕТВР. Очевидно, для связей между базисными векторами имеют место формулы
9рЧ'9р
гР=дРЛ ГР = д^ £Х = </Ч),
сохраняющие силу при жонглировании свободными и немыми индексами. Найдем выражения для гр и г3. В силу (2), (5) и (6) получим
Г'
р = тр+9рт3 = гр-дЫт3, г*=д! г3. (7)
Нетрудно заметить, что в силу (2), (4) и (7) для компонент дРЧ и д? имеем выражения
«Л <£ =
Ю = п™. ар = ар.
д'ч = 9' =
О
/3 = ^ = -9^1,
9^ = 0, д3 =0,
<?33 = з33 = Ц)
Следовательно, если |А:1(/11 -Ья1/^)) < 15 то
. 00 _
533 = ^ = [1 - к^ + X1Л1)] = £ [к^ + х1^)]'
з=0
и в таком случае будем называть тело тонким. Если |/с1(Л1 + ж1/^)) = 0, то мы имеем дело с призматическим телом.
При рассматриваемой параметризации оператор градиента от произвольной тензорной величины можно представить в виде УР = где вве-
ден дифференциальный оператор Л^ = д3 — д[др. В силу определения дивергенции, например, для тензора напряжений Р получим У-Р = д^3Р3+дрРр. Далее даются различные представления уравнений движения теории тонких тел с двумя малыми размерами, одно из которых выглядит так:
03ЛГ3Р3 + аяРр + рР = рд?и, + др(1Р + С ® Р + рт = 3 ■ д?<р,
где Р' и /г1 — контравариантные состовляющие тензора напряжений и момент-ных напряжений, р — плотность, Л — тензор инерции, и и <р — векторы перемещения и микровращения, Рит — векторы объемных сил и объемных 2
моментов, <Э — внутреннее 2-произведение. Выписаны основные рекуррентные
формулы, играющие важную роль при построении различных вариантов теорий тонких тел.
Во второй главе «Элементы теории моментов и некоторые соотношения в моментах относительно систем полиномов Лежандра. Представления граничных условий и системы уравнений движения в моментах» применяется параметризация области тонкого тела, когда в качестве базовой выбирается произвольная линия. При этой параметризации дано определение момента порядка (т,п) некоторой величины относительно полиномов Лежандра Рк{х!)
^M^(F) = 2m+12n + l j j nxi¡x2;x3)Pm(xi)Pn(x2)dxidx2. ¿ ¿ -i _i
Выписаны моменты первых производных. Получены выражения для моментов частных производных и некоторых выражений, а также моменты некоторых дифференциальных операторов (градиент, дивергенция) относительно системы полиномов Лежандра.
Получены различные представления системы уравнений движения в моментах, одно из которых можно записать в виде
( (п>,п) . О777 _1_ 1 Ш (р,п) (тп.п)
{v3 ML(P3) - Е [1 _ (-1Г+Р] Mi(PI) - h-11d3h1mML(P3)+
2m 4- 1 m г (+) (-) _ -i (p,n)
E h-1[(d3hl + k2h2) + (-ir+'foht - k2h2)jm£(p3)+
[. - (-«-'] м>)+'MI(P')]-
9r) 1 П (m,p) (m,n)
-^P E [1 - (-l)n+p] ML(P2) - h~1d3h2nML(T?3) + ¿ p=0
2n 4- 1 n г <+> (-> _ i (™.P)
+-1t-E h-^h.-k^) + (-1 r^jAj + AA)] ML(P3)-
l [. - (-.)«] yh'«>>>+M;(P.)¡
+T = PML(d¿u),
{P ц} + С <| Mi(P) + (M = J • M¿(3tV), m,n € No,
где запись {Р —» /г} означает, что вместо нее следует писать выражение, которое получается из выражения в фигурных скобках из предыдущего соот-
(т,п) (т.*)
ношения если Р заменим на р, Ф (ж3,1) и М (х , 4) выражаются через векторы объемных сил, объемных моментов и граничные условия на лицевых поверхностях. Дано определение приближения порядка (г, М, Ы) уравнений движения. Выписаны граничные условия физического содержания на лицевых поверхностях и торцах в случае параметризации области тонкого тела на основе произвольной базовой линии , из которых получены соответствующие граничные условия в моментах.
В третьей главе «Представления закона Гука микрополярной теории упругости в моментах. Постановка задачи теории тонких тел с двумя малыми размерами в моментах» даны представления определяющих соотношений в моментах, изложен метод нормированных моментов полей тензоров напряжений и моментных напряжений. При этом методе, фиксируя некоторые неотрицательные целые числа М и ЛГ, из бесконечной системы уравнений движения в моментах рассматривается 2(М + 1)(.1\Г + 1) уравнений. При этом, из них первые (М + 1)(.ЛГ + 1) уравнений выбираются из системы уравнений в моментах поля тензора напряжений и первые (М + 1)(ЛГ + 1) — из системы уравнений в моментах полей тензоров напряжений и моментных напряжений. С помощью моментов перемещений 'и и микровращений (ф\ к = О, М, I = О, N и граничных условий на лицевых поверхностях определяются так называемые нормирующие векторы-функции и , и , ф , ф ,т = 0,М, и , и , ¡р , ф',п = О,Л*, участвующие в определяющих соотношениях в моментах. Определение этих векторов-функций происходит таким образом, что поля тензоров напряжений и моментных напряжений оказываются согласованными с граничными условиями на лицевых поверхностях.
Также изложен упрощенный метод редукции для классической теории. В этом случае из бесконечной системы уравнений выделяем первые (М+1)(Лг+1) уравнений и предполагаем, что моменты порядка (к, I) от любой величины равны 0 если к > М или I > N. Решив какую-нибудь краевую задачу приближения (г, М, ЛГ), получим соответственно приближенные выражения полей вектора
перемещений и тензора напряжений, которые удовлетворяют граничным условиям на торцах. Очевидно, возникает вопрос, в какой мере удовлетворяются граничные условия физического содержания на лицевых поверхностях. Вообще говоря, эти условия не будут удовлетворяться с необходимой точностью.
В этой связи встает вопрос, нельзя ли к приближенному выражению векто-
м N (т,п)
ра перемещения а;3,4) = X) и Рт{х1)Рп{х2) добавить слагаемое
ш=0 п=0
ио(ж',а;3,£) (корректирующее слагаемое), удовлетворяющее следующим условиям:
1) поле тензора напряжений, соответствующее полю перемещений щм^ + Чо, согласовано с граничными условиями на лицевых поверхностях 5/ и 5/, 1 = 1,2,
(,и)
2) моменты и 0 векторного поля и0 равны нулю, если к < М и I < N,
2 .
3) нормы тензорных полей ио и Ро = С ® УЦ"о можно сделать сколь угодно малыми внутри области тонкого тела, т.е. для любого е > 0 существует такое ¿(е) > 0, что
|и0| < с, ||Ро||<£ (||Бо|| = \/ео®Ро), -Ь] + (Й) + < х' < % - (¿1 + 6^)5, Ух3?
Доказано, что векторное поле Ио, удовлетворяющее перечисленным условиям, существует. Х10 представляется в виде
и0(х',х3,$ = Вт+2(х2,х3,()[Рт+3(х1) - Рт+1(а:1)] +
+Вт+з(х2, х3,[Рт+4(а:1) - Рт+г^1)] + А^х'.х^^+зСх2) - Р„+1(х2)] + +А„+з(а;1,х3,4) [Рп+4(х2) - Р„+2(х2)], т>М,п> И,
Векторы-функции Вк(х2,ж3,<), к = т +1, т + 2 и А;(х1,х3,4), I = п + 1, п + 2, определяются так, чтобы векторное поле ио(х',х3,^ удовлетворяло указанным выше условиям.
Дана постановка задачи тонкого тела с двумя малыми размерами, в которую входят:
1. Система уравнений движения в моментах приближения порядка (г, М, ЛГ),
2. Система граничных условий физического содержания на лицевых поверхностях в моментах приближения порядка (М, Лг),
3. Система граничных условий на торцах физического содержания приближения порядка (г, М, Дг) или кинематического содержания в моментах приближения порядка (М,Ы),
4. Система законов Гука линейной микрополярной теории упругости в моментах приближения порядка (г, М, ЛГ) при упрощенном методе редукции либо в нормированных моментах приближения порядка (г, М, ЛГ), если во время редукции используется метод нормированных моментов.
5. Система начальных условий в моментах приближения порядка (М, Лг).
В четвертой главе «Некоторые частные задачи» , исходя из общей постановки задачи, сформулирована постановка задачи для призматического тонкого тела с двумя малыми размерами, изложен метод нормированных моментов, для изотропного тела получено дифференциальное уравнение четвертого порядка относительно прогиба, которое совпадает с точностью до коэффициентов с уравнением колебаний балки Тимошенко. Даны постановки задач с нулевого до пятого приближения включительно для двумерной области как в классическом, так и в микрополярном случае. Сформулирована постановка задачи пятого приближения для многослойной двумерной области. Приводятся результаты апробирования предлагаемой теории на примере следующих задач:
1. задача для равномерно нагруженной микрополярной двумерной области,
2. задача для квадратной двумерной области,
3. задача для равномерно нагруженной с двух сторон области,
4. задача для области, находящейся под действием уравновешенной системы трех сосредоточенных сил,
5. задача для двуслойной двумерной области.
В заключении приведены основные результаты диссертационной работы.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы, которые сводятся к следующему:
1. Построены новые теории тонких тел с двумя малыми размерами с применением системы полиномов Лежандра.
2. Построена теория моментов, позволяющая нахождение момента порядка (т, п) любого выражения.
3. Получены различные приближенные постановки задач от нулевого до пятого приближения включительно как для классической, так и для микрополярной теорий.
4. Написаны программы, с помощью которых предлагаемая теория апробирована на следующих задачах:
(a) задача для равномерно нагруженной микрополярной двумерной области,
(b) задача для квадратной двумерной области,
(c) задача для равномерно нагруженной с двух сторон области,
(с!) задача для области, находящейся под действием уравновешенной системы трех сосредоточенных сил,
(е) задача для двуслойной двумерной области.
Список публикаций по теме диссертации
1. Никабадзе М.У., Кантор М.М. Уравнения нулевого, первого и второго приближений в моментах моментной теории упругого стержня// Ломоносовские чтения. Тезисы докладов научной конференции. Секция механики. М.: Изд-во Московского университета. Апрель 2007. 1 с.
2. Никабадзе М. У., Кантор М.М. Постановки задач в моментах относительно системы полиномов Лежандра в моментной теории тонких призматических тел с двумя малыми размерами// Ломоносовские чтения. Тезисы докладов научной конференции. Секция механики. М.: Изд-во Московского университета. Апрель 2008. 1 с.
3. Кантор М.М., Никабадзе М.У. Уравнения и постановки задач первых двух приближений в теории тонких призматических тел с двумя малыми размерами при применении системы ортогональных полиномов// Ломоносовские чтения. Тезисы докладов научной конференции. Секция механики. М.: Изд-во Московского университета. Апрель 2010. 1 с.
4. Никабадзе М.У., Кантор М.М. Уравнения теории тонких призматических тел с двумя малыми размерами при применении системы ортогональных полиномов//Упругость и неупругость. Материалы Международного научного симпозиума по проблемам механики деформируемых тел, посвященного 100-летию со дня рождения A.A. Ильюшина. Москва, 20-21 января 2011 года.
5. Никабадзе М.У., Кантор М.М., Улуханян А.Р. К математическому моделированию упругих тонких тел и численная реализация некоторых задач о полосе. Деп. в ВИНИТИ РАН 29.04.11 №204-В2011 207 стр.
6. Кантор М.М. О первом приближении третьей краевой задачи для полосы с применением полиномов Лежандра// Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика. Механика.2011. №3. С. 66-68.
Введение
1 К параметризациям области тонкого тела с двумя малыми размерами. Представления градиента и дивергенции тензора и уравнений движения. Рекуррентные соотношения системы полиномов Лежандра
1.1 К формулам Френе и параметризациям области тонкого тела с двумя малыми размерами.
1.1.1 К классической параметризации области тонкого тела с двумя малыми размерами прямоугольного поперечного сечения.
1.1.2 К параметризации области тонкого тела с двумя малыми размерами при произвольной базовой линии.
1.2 Представления градиента и дивергенции тензора и уравнений движения при различных параметризациях области тонкого тела с двумя малыми размерами.
1.2.1 Представления градиента и дивергенции тензора и уравнений движения при классической параметризации области тонкого тела с двумя малыми параметрами.
1.2.2 Представления градиента и дивергенции тензора и уравнений движения в том случае, когда при параметризации области тонкого тела с двумя малыми размерами в качестве базовой выбрана произвольная линия.
1.3 Некоторые рекуррентные соотношения системы полиномов Лежандра на сегменте [—1,1]
1.3.1 Основные рекуррентные соотношения.
1.3.2 Дополнительные рекуррентные соотношения.
2 Элементы теории моментов и некоторые соотношения в мо ментах относительно системы полиномов Лежандра. Пред ставления граничных условий и системы уравнений движе ния в моментах
2.1 Элементы теории моментов.
2.2 Некоторые соотношения в моментах относительно системы полиномов Лежандра.
2.3 О граничных условиях и различных представлениях системы уравнений движения в моментах относительно системы полиномов Лежандра.
3 Представления закона Гука микрополярной теории упругости в моментах. Постановка задачи теории тонких тел с двумя малыми размерами в моментах
3.1 Представления закона Гука микрополярной теории упругости в моментах.
3.1.1 Метод нормированных моментов поля тензора напряжений
3.1.2 Упрощенный метод приведения бесконечной системы уравнений к конечной.
3.1.3 Постановка задачи в моментах в теории тонких тел с двумя малыми размерами.
4 Некоторые частные задачи
4.1 Постановка задачи для призматического тонкого тела с двумя малыми размерами в моментах.
4.2 Метод нормированных моментов в случае призматического тонкого тела.
4.3 Дифференциальное уравнение относительно прогиба.
4.4 Уравнения равновесия нескольких первых приближений для тонкой классической упругой прямоугольной области. Постановки задач в моментах.
4.5 Постановки задач в моментах нескольких первых приближений для классической упругой прямоугольной области.
4.5.1 Постановка задачи нулевого приближения
4.5.2 Постановка задачи первого приближения.
4.5.3 Постановка задачи второго приближения.
4.5.4 Постановка задачи третьего приближения.
4.5.5 Постановка задачи четвертого приближения.
4.5.6 Постановка задачи пятого приближения.
4.6 Уравнения равновесия нескольких первых приближений для тонкой микрополярной упругой прямоугольной области. Постановка задач в моментах.
4.7 Постановки задач в моментах нескольких первых приближений для микрополярной упругой прямоугольной области.
4.7.1 Постановка задачи нулевого приближения
4.7.2 Постановка задачи первого приближения.
4.7.3 Постановка задачи второго приближения.
4.7.4 Постановка задачи третьего приближения.
4.7.5 Постановка задачи четвертого приближения.
4.7.6 Постановка задачи пятого приближения.
4.7.7 Задача для двумерной многослойной области.
4.7.8 Численная реализация некоторых задач.
В настоящее время известно несколько методов построения теорий стержней, пластин, оболочек и многослойных конструкций. Например, в случае однослойных пластин, оболочек и стержней [4,15,27,31,33,34,116,128,145,150], эти методы основаны на:
1) гипотезах о напряженном и/или деформированном состояниях;
2) разложении всех геометрических и механических величин в ряды;
3) асимптотическом интегрировании;
4) представлениях о двумерных средах.
Эти методы различаются возможностями использования в практических расчетах, уровнем математической строгости и т.д. и в то же время они приводят трехмерные системы уравнений в частных производных, которые описывают механическое поведение реальной конструкции, к двумерным или одномерным, т.е. при расчете конструкций решают систему двумерных дифференциальных уравнений в частных производных либо систему обыкновенных дифференциальных уравнений.
Первый метод, который еще называют гипотетическим методом, ближе всего к инженерным представлениям. Исходная задача упрощается после принятия определенных допущений (гипотез). Такие гипотезы связаны прежде всего с именами Кирхгофа Г. [138], Рейснера Е. [148], Генки X. [136],
Тимошенко С.П. [17,19], Амбарцумяна С.А. [4], Левинсона М. [142], Пеле-ха Б.Л. [99], Хорошуна Л.П. [123], Черных К.Ф. [125], Твалчрелидзе А.К., Твалтвадзе Д. , Никабадзе М.У. [119], Никабадзе М.У. [53-55,57-74,79] и ДР
Второй метод связан с разложением в ряды по степеням поперечной координаты, разложением в полиномы Лежандра [117,121], [9,10,12,18,49,50], [98,100], [1,16,30,36-41,86], [75,77, 78,80-85,87,94], разложением в ряды по системе заданных функций [7,8], разложением в многочлены Чебышева [88,89] и др.
Третий метод — асимптотическое интегрирование предлагается, например, в работах Гольденвейзера А.Л. и Саркисяна С.О. [20-22,114,115]. Этот метод приводит к равномерному приближению решения по всем элементам теории (кинематическим, силовым).
Четвертый метод, основанный на представлении о двухмерных средах и называемый еще прямым методом [33,122], находит достаточно редкое применение, т.к. противоречит традиционным взглядам о представлении результатов расчетов в виде полей напряжений. Такое представление для двухмерных теорий - весьма трудоемкий, а иногда и невыполнимый процесс. О возможностях этого метода можно судить, например, по работе [145].
Теории многослойных пластин и стержней [26,122] молено строить аналогично теориям однослойных пластин. Однако при этом существует два принципиально различающихся метода [24,26,29,147]: а) теории, основанные на гипотезе ломаной нормали; б) теории, основанные на гипотезе эквивалентного слоя.
Основное различие между этими теориями заключается в представлении о пакете слоев как о совокупности независимых слоев (гипотеза ломаной линии) или как о целостном эквиваленте (гипотеза эквивалентного слоя). Число разрешающих уравнений в теориях, основанных на гипотезе «ломаной нормали», непосредственно зависит от числа слоев пакета и не зависит для теорий, основанных на гипотезе «эквивалентного слоя». Кроме того, определение некоторых эффективных характеристик многослойного пакета существенно затруднено в теориях «эквивалентного слоя», особенно тогда, когда свойства и толщины слоев сильно различаются, поскольку классические представления о деформациях поперечных сечений здесь не выполняются. Это в свою очередь приводит к сложным кинематическим представлениям, в соответствии с которыми определение эффективных характеристик приходится связывать, как правило, с введением поправочных коэффициентов. Многочисленные дискуссии по поводу правомочности введения поправочных коэффициентов и их механической адекватности свидетельствуют о незавершенности теорий «эквивалентного слоя» и необходимости дальнейших теоретических разработок в этом направлении. При использовании гипотезы «ломаной нормали» возникает другая проблема - ошибка, получаемая при неточном описании деформации поперечного сечения каждого слоя. Однако она существенно меньше ошибки, возникшей при построении кинематической модели эквивалентного слоя. Методы построения теорий многослойных пластин обсуждаются в работах [26,29,123,129,147].
В настоящее время при расчетах конструкций на прочность в подавляющем большинстве случаев используется классическая теория упругости. Однако, существуют материалы, такие как кости животных, графит, некоторые полимеры, полиуретановые пленки, пористые материалы (пемза), различные синтетические материалы, материалы с включениями, которые при определенных условиях проявляют микрополярные свойства. Существуют эффекты, которые не предсказываются классической теорией. Если рассматривать статику, то отличное от классики поведение наблюдается при изгибе тонких пластин, балок, при кручении тонких и тонкостенных стержней, при исследовании концентрации напряжений возле отверстий, угловых точек, трещин и включений. Например, тонкие образцы жестче при изгибе и кручении, чем предсказывает классическая теория [133-135]. Концентрация напряжений около отверстий оказывается меньше, а коэффициент концентрации зависит от радиуса [144]. Концентрация напряжений возле трещин также оказывается ниже, напротив, напряжения возле включений выше чем предсказано классикой [137,139,146]. Если материал не обладает центром симметрии упругих свойств, то микрополярная теория предсказывает закручивание образца при растяжении [141]. Если рассматривать динамические задачи, то ряд явлений также отличается от классических представлений. Например, волны сдвига распространяются с дисперсией, появляются волны микровращений, собственные формы колебаний отличаются от классических [32,43-45,130,131]. Все эти явления используются для определения материальных констант микрополярной теории упругости. Существует множество методик, позволяющих получить эти константы, многие из которых описываются в работах [131,140].
В заключение следует отметить, что к настоящему времени развито множество различных вариантов теорий тонких тел (теорий стержней, пластин, оболочек и многослойных конструкций). Анализ опубликованных работ свидетельствует, что создание уточненных теорий оболочек и многослойных конструкций продолжает активно развиваться. При этом нелинейные теории тонких тел находят все более широкое освещение в литературе. Существенно расширился используемый математический аппарат как для реализации уже поставленной проблемы, так и с целью обеспечения новых постановок. Параллельно с теоретическим используется также и экспериментальный путь исследования.
В принципе, любую задачу теории оболочек или стержней можно решать в трехмерной постановке, которая является более точной в сравнении с двумерной постановкой. Однако реализовать на практике эту возможность в требуемом объеме не удается вследствие сложности решения трехмерных задач и большого разнообразия практически необходимых постановок задач. Известны оценки трудоемкости решения одно-, двух- и трехмерных краевых задач, согласно которым повышение размерности задач на единицу повышает трудоемкость решения в 1000 раз [51]. Применительно к задачам механики деформируемого твердого тела эти оценки являются заниженными, поскольку даже в простейшей ее ветви - в теории упругости, многие задачи в точной постановке оказываются очень сложными [97].
Поведение тонких тел, подчиняясь общим законам механики деформируемого твердого тела, зависит также от специфических присущих им закономерностей [101]. Вследствие относительной малости толщины сопротивление оболочки в поперечном направлении существенно слабее сопротивления в тангенциальных направлениях. Уравнения состояния механики трехмерного тела, в том числе и закон Гука, не учитывают этого обстоятельства. Поэтому их непосредственное использование в теории оболочек приводит к существенной ошибке [12]. Специфические закономерности деформирования тонких тел являются физической предпосылкой к построению новых теорий тонких тел.
Следует заметить, что материалы, из которых изготовлены слои многослойных конструкций, могут быть как однородными, так и неоднородными, а также композитными. Например, в трехслойных конструкциях в качестве внешних слоев используются однородные материалы, внутренний же слой состоит либо из мягкого, относительно слоистого материала (различные пены) [23], либо из жесткого [25], а также либо из конструктивно сложного, неоднородного, композитного материала (сотовые заполнители, гофры). В многослойных композитных конструкциях каждый слой сам по себе является композитным материалом. В современных конструкциях зачастую используется сочетание обоих типов слоистых конструкций. Например, трехслойная пластина, имеющая в качестве внешних слоев многослойные пластины, а также элементы, состоящие как из одного, двух и трех, так и существенно большего количества слоев из композитных материалов и волокнистой структуры. В такие многослойные элементы могут быть включены специальные слои, которые, например, демпфируют конструкцию или защищают ее от температурных или коррозионных воздействий. В настоящее время трехслойные и многослойные конструкции, особенно пластины широко применяются в различных областях техники.
Появление и широкое внедрение в различные отрасли техники композитных материалов слоистой и волокнистой структуры вызвало необходимость в разработке новых методов расчета и проектирования тонких тел, изготовляемых из этих материалов.
Применение многослойных конструкций при их рациональном проектировании позволяет обеспечить достижение высокой удельной жесткости и прочности, требуемых звуко- и теплоизоляционных свойств, демпфирующих вибропоглащающих характеристик. В ряде случаев необходимость применения многослойных тонких тел вызывается конструктивными и эксплуатационными соображениями. Это очень важно при повышенных требованиях к безопасности конструкций, особенно в самолето- и ракетостроении, тем более, что прогресс вычислительной техники обеспечивает возможность проведения все более и более сложных численных расчетов.
В связи с широким использованием тонких тел (одно-, двух-, трех- и многослойных конструкций) возникает потребность создания новых уточненных теорий и усовершенствованных методов их расчета. Поэтому построение уточненных теорий тонких тел и развитие эффективных методов их расчета являются важной и актуальной задачей.Целью предлагаемой работы является построение новых теорий тонких микрополярных тел с двумя малыми размерами и решение некоторых задач теории упругости с помощью полиномов Лежандра.
В первой главе рассмотрены классическая параметризация и параметризация при произвольной базовой линии области тонкого тела трехмерного евклидова пространства К3. Дано векторное параметрическое уравнение области тонкого тела. Введены в рассмотрение свойственные предложенным семействам параметризаций геометрические характеристики. В частности, рассмотрены различные семейства базисов (реперов) и порожденные ими соответствующие семейства параметризаций. Получены выражения для компонент единичного тензора второго ранга (ЕТВР). Получены представления градиента, дивергенции тензора и уравнений движения при рассматриваемых параметризациях. Выписаны основные рекуррентные формулы и получены некоторые дополнительные рекуррентные соотношения, играющие важную роль при построении различных вариантов тонких тел.
Во второй главе даны определения момента (т,п)-го порядка некоторой величины относительно произвольной системы ортогональных полиномов и системы полиномов Лежандра. Получены выражения для моментов частных производных и некоторых выражений относительно системы полиномов Лежандра. Получены граничные условия и различные представления системы уравнений движения в моментах.
В третьей главе приведены представления определяющих соотношений в моментах. Изложен метод нормированных моментов полей тензоров напряжений и моментных напряжений. Получена система уравнений для определения нормирующих поля тензоров напряжений и моментных напряжений. Излагается упрощенный метод редукции.
Следует заметить, что с помощью рассматриваемого метода построения теории тонких тел с двумя малыми размерами получается бесконечная система уравнений, которая имеет то преимущество, что она содержит величины, зависящие от одного переменного — параметра хъ базовой линии. Итак, уменьшение числа независимых переменных на два достигается ценой увеличения количества уравнений до бесконечности, что разумеется, имеет свои очевидные практические неудобства. В этой связи сделан необходимый шаг для упрощения проблемы. Производится редукция бесконечной системы к конечной системе. Дана постановка задачи в моментах.
В четвертой главе, исходя из общей постановки задачи, сформулирована постановка задачи для призматического тонкого тела с двумя малыми размерами, изложен метод нормированных моментов, и для изотропного тела получено дифференциальное уравнение четвертого порядка относительно прогиба, которое совпадает с точностью до коэффициентов с уравнением колебаний балки Тимошенко. Даны постановки задач, начиная с нулевого до пятого приближения включительно для двумерной области, как в классическом, так и в микрополярном случае. Сформулирована постановка задачи пятого приближения для многослойной двумерной области. Приводятся результаты апробирования предлагаемой теории на примере следующих задач:
1. задача для равномерно нагруженной микрополярной двумерной области,
2. задача для квадратной двумерной области,
3. задача для равномерно нагруженной с двух сторон области,
4. задача для области, находящейся под действием уравновешенной системы трех сосредоточенных сил,
5. задача для двуслойной двумерной области.
В заключении сформулированы основные результаты работы.
Заключение
В работе получены следующие результаты:
1. Построены новые теории тонких тел с двумя малыми размерами с применением системы полиномов Лежандра.
2. Построена теория моментов, позволяющая нахождение момента порядка (т, п) любого выражения.
3. Получены различные приближенные постановки задач от нулевого до пятого приближения включительно как для классической, так и для микрополярной теорий.
4. Написаны программы, с помощью которых предлагаемая теория апробирована на следующих задачах: a) задача для равномерно нагруженной микрополярной двумерной области, b) задача для квадратной двумерной области, c) задача для равномерно нагруженной с двух сторон области, с1) задача для области, находящейся под действием уравновешенной системы трех сосредоточенных сил, е) задача для двуслойной двумерной области.
1. Алексеев А.Е. Построение уравнений слоя переменной толгц^-за-гьд носнове разложений по полиномам Лежандра// ПМТФ. 19Э4оо.4. С. 137-147.
2. Алфутов H.A., Зиновьев П.А., Попов Б.Г. Расчет многосхтто^^^ пластин и оболочек из композиционных материалов. М.: ^^Х^ыцино строение, 1984. 263 с.
3. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных оболочек. М.: Физзугеьтгиз 1961. 384 с.
4. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. М.: Науках 1987 360 с.
5. Аэро Э.Л., Кувшинский Е.В. Основные уравненния теории упруго сти сред с вращательным взаимодействием частиц// Физа^ дого тела. Т. 2. 1960. №7. С. 1399-1409.
6. Аэро Э.Л., Кувшинский Е.В. Континуальная теория аси:м1и;е-Гриче ской упру гости.Равновесие изотропного тела// Физика тве;рдОГо те ла. Т. 6. 1964. №9. С. 2689-2699.
7. Васильев В.В., Лурье С.А. К проблеме построения Некла^си;нески теорий пластин// Изв. АН СССР. МТТ. 1990. №2. С. 158-167
8. Васильев В.В., Лурье С. А. К проблеме уточнения теории пологих оболочек// Изв. АН СССР. МТТ. 1990. №6. с. 139-146.
9. Веку а И.Н. Вариационные принципы построения теории оболочек. Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та, 1970. 15 с.
10. Векуа И.Н. Об одном направлении построения теории оболочек// В кн. Механика в СССР за 50 лет. М.: Наука, 1972. Т. 3. С. 267-290.
11. Векуа И.Н. Основы тензорного анализа и теории ковариантов. М.: Наука, 1978. 296 с.
12. Векуа И.Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек. М.: Наука, 1982. 286 с.
13. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции/ Под ред. O.A. Олейник и Б.В. Шабата. 2-е изд., перераб. М.: Наука, 1988. 512 с.
14. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория предсталения групп. М.: Наука, 1991. 576 с.
15. Власов В.З. Избранные труды. Том 2. Тонкостенные упругие стержни. Принципы построения общей технической теории оболочек. М.: АН СССР, 1963.
16. Волчков Ю.М., Дергилева Л.А. Сведение трехмерной задачи теории упругости к двумерной на основе аппроксимации напряжений и смещений полиномами Лежандра// ПМТФ. 2007. Т. 48. №3. С. 179-190.
17. Галимов К.З. Общая теория упругих оболочек при конечных перемещениях. Изв. Казанск. фил. АН СССР, сер. физ.-мат. и техн. н. 1950. Вып. 2.
18. Галимов H.K. О применении полиномов Лежандра к построению уточненной теории трехслойных пластин и оболочек// Исслед. по теории пластин и оболочек. Вып. 10. Казань. Изд-во Казанск. ун-та. 1973. С. 371-385.
19. Галимов К.З. Основы нелинейной теории тонких оболочек. Казань: Изд-во КГУ, 1975. 325 с.
20. Гольденвейзер А.Л. Построение приближенной теории изгиба пластинки методом асимптотического интегрирования уравнения теории упругости// ПММ. Отд. техн. наук АН СССР. 1962. Т. 26. № 4. С. 668-686.
21. Гольденвейзер А.Л. Построение приближенной теории оболочек при помощи асимптотического интегрирования уравнений теории упругости// ПММ. 1963. Т. 27. Вып. 4. С. 593-608.
22. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих оболочек, М.: Наука, 1976, 512 с.
23. Григолюк Э.И. Уравнения трехслойных оболочек с легким заполнителем// Изв. АН СССР. ОТН. 1957. №1. С. 77-84.
24. Григолюк Э.И., Чулков П. П. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек 1Д М.: Машиностроение, 1973. Ц 170 с.
25. Григолюк Э.И. Конечные прогибы трехслойных оболочек с жестким заполнителем// Изв. АН СССР. ОТН. 1958. №1. С. 26-34.
26. Григолюк Э.И., Коган Ф.А. Современное состояние теории многослойных оболочек// Прикладная механика. 1972. Т. 8. №6. С. 3-17.
27. Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Неклассические теории колебаний: стержней, пластин и оболочек. Итоги науки и техники// Механика твердых деформируемых тел. М.: ВИНИТИ, 1973. 272 с.
28. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Многослойные армированные оболочки. Расчет пневматических шин. М.: Машиностроение, 1988. 288 е.
29. Григолюк Э.И., Коган Е.А. Анализ основных направлений развития и расчетных моделей анизотропных слоистых оболочек/Механщса оболочек и пластин в XXI веке// Межвуз. науч. сб. Саратов, гос техн. ун-т. Саратов: Изд-во СГТУ. 1999. С. 3-30.
30. Дергилева Л.А. Метод решения плоской контактной задачи упругого слоя// Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр./ А^и СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1976. Вып. 25. С. 24—32
31. Доннел Л.Г. Балки, пластины и оболочки. Пер. с англ. Л.Г. 336 с -т. 2, 1998. 280 с.
32. Ерофеев В.И. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой. М.: Изд-во Московского университета, 1999
33. Еремеев В.А., Зубов Л.М. Механика упругих оболочек. М.: Наука 2008
34. Жилин П. А. Прикладная механика. Теория тонких упругих стер^с ней : учеб. пособие / П. А. Жилин ; СПбГПУ. Ч СПб. : Изд-во Политехи. ун-та, 2007. Ч 100 с. Ч Библиогр.: с. 99.
35. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: МирД975
36. Иванов Г. В. Решение плоской смешанной задачи теории упругости в виде рядов по полиномам Лежандра// ПМТФ. 1976. №6. С. 126-137
37. Иванов Г. В. Решения в виде рядов по полиномам Леэкандра плоской смешанной задачи для уравнения Пуассона// Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр./ АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1977. Вып. 28. С. 43-54.
38. Иванов Г. В. Сведение трехмерной задачи для неоднородной упругой оболочки к двумерной задаче/Динамические задачи механики сплошных сред (Динамика сплошной среды XXXIX)//Сб. научных трудов. Новосибирск. 1979. Вып. 39. 170 с.
39. Иванов Г.В. Теория пластин и оболочек: Учеб. пособие.// Новосиб. гос. ун-т 1980. 85 с.
40. Кантор М.М. О первом приближении третьей краевой задачи для полосы с применением полиномов Лежандра// Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика. Механика.2011.еЗ. С. 66-68.
41. Кувшинский Е.В., Аэро Э.Л. Континуальная теория асимметрической упругости. Учет "внутреннего вращения"// Физика твердого тела. Т. 5. 1963. №9. С. 2591-2598.
42. Кулеш М.А., Матвеенко В.П., Шардаков И.Н. Дисперсц^ поляриза-ция поверхностных волн Рэлея для среды Коссера / / j>j3 вестия РАН, Механика твердого тела. 2007, е 4. С. 100Ц113
43. Купрадзе В.Д., Гегелиа Т.Г., Вашелейшвили М.О., Бурчуладзе Т ß Трехмерные задачи математической теории упругости и термоуцру гости. М.: Наука, 1976. 664 с.
44. Лебедев H.H. Специальные функции и их приложения. M.,JI.: фИз матгиз, 1963. 360 с.
45. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 5 1 2 с
46. Меунаргия Т.В. Развитие метода И.Н.Векуа для задач трехмерной моментной упругости. Изд. Тбил. ун-та. 1987. 79 с.
47. Меунаргия Т.В. Краткий обзор основных результатов И.Н.Векуа по теории оболочек. Изд. Тбил. ун-та. 1989. 61 с.
48. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М • Наука, 1970. 512 с.
49. Никабадзе М.У. Деформирование слоистых вязкоупругих оболочек// Тезисы докл-ов Всесоюз. конф. "Актуальные проблемы прочности в машиностроении". Севастороль: СВВМИУ, 28-29 августа1989. 1 с.
50. Никабадзе М. У. К теории оболочек на основе двух базовых поверхностей// Деп. в ВИНИТИ АН СССР. 16.05.1990. №2676-В90. 12 с.
51. Никабадзе М. У. Плоские кроволинейные стержни// Деп. в ВИНИТИ АН СССР. 07.08.1990. №4509-В90. 52 с.
52. Никабадзе М. У. Моделирование нелинейного деформирования упругих оболочек// Диссертация на сойскание ученной степени кандидата физико-математических наук. М: МГУ им. М.В.Ломоносова.1990.
53. Никабадзе М. У. Математическое моделирование упругих тонких тел с двумя малыми размерами с применением систем ортогональных полиномов// Деп. в ВИНИТИ РАН. 21.08.08. №722 В2008. 107 с.
54. Никабадзе М. У. Новая кинематическая гипотеза и новые уравнения движения и равновесия теорий оболочек и плоских криволинейных стержней// Вестн. МГУ. Сер. Матем. Механ. 1991. №6. С. 54-61.
55. Никабадзе М.У. Пространственные реперы, связанные с линией и порожденные ими параметризации области трехмерного евклидова пространства// Деп. в ВИНИТИ РАН. 12.05.1999. №1518-В99. 25 с.
56. Никабадзе М.У. Новая параметрзация пространства стержня// Деп. в ВИНИТИ РАН. 27.05.1999. №1663-В99. 32 с.
57. Никабадзе М.У. Определяющие соотношения новой линейной теории термоупругих оболочек класса TS// Сб. науч. тр. "Математическое моделирование систем и процессов". Пермь: Пер. гос. техн. ун-т. 1999. №7. С. 52-56.
58. Никабадзе М.У. Различные формы записи уравнений движения и граничных условий новой теории оболочек// Сб. науч. тр. "Математическое моделирование систем и процессов". Пермь: Пер. гос. техн. ун-т. 1999. т. С. 49-51.
59. Никабадзе М.У Новая теория стержней// Тезисы док-ов 16-ой меж-респуб. конф. по численным методам решения задач теории упругости и пластичности. Новосибирск, вторая половина июня 1999. 1 с.
60. Никабадзе М. У. Некоторые геометрические соотношения теории оболочек с двумя базовыми поверхностями// Изв. РАН. МТТ. 2000. №4. С. 129-139.
61. Никабадзе М. У. К параметризации многослойной оболочечной области трехмерного пространства// Сб. науч. тр. "Математическое моделирование систем и процессов". Пермь: Пер. гос. техн. ун-т. 2000. №8. С. 63-68.
62. Никабадзе М. У. Уравнения движения и граничные условия теории стержней с несколькими базовыми кривыми// Вестн. МГУ. Сер. 1. Матем. Механ. 2001. №3. С. 35-39.
63. Никабадзе М.У. К варианту теории многослойных конструкций// Изв. РАН. МТТ. 2001. №1. С. 143-158.
64. Никабадзе М. У. Динамические уравнения теории многослойных обо-лочечных конструкций при новой кинематической гипотезе// Сб. науч. тр. Упругость и неупругость. Из-во МГУ. 2001. №1. С. 389-395.
65. Никабадзе М. У. К градиентам мест в теории оболочек с двумя базовыми поверхностями// Изв. РАН. МТТ. 2001. №4. С. 80-90.
66. Никабадзе М. У. Уравнения движения и граничные условия варианта теории многослойных плоских криволинейных стержней// Вестн. МГУ. Сер. 1. Матем. Механ. 2002. №6. С. 41-46.
67. Никабадзе М. У. Современное состояние многослойных оболочечных конструкций// Деп. в ВИНИТИ РАН. 30.12.2002. №2289-В2002. 81 с.
68. Никабадзе М. У. Вариант теории пологих оболочек// Ломоносовские чтения. Тезисы докладов научной конференции. Секция механики. 17-27 апреля 2003, Москва, МГУ им. М.В.Ломоносова М.:Изд-во Моск. ун-та, 2003. 1 с.
69. Никабадзе М. У. Варианты теории оболочек с применением разложений по полиномам Лежандра// Ломоносовские чтения. Тезисы докладов научной конференции. Секция механики. 19-28 апреля 2004, Москва, МГУ им. М.В.Ломоносова М.:Изд-во Моск. ун-та, 2004. 1 с.
70. Никабадзе М. У. Обобщение теоремы Гюйгенса-Штейнера и формулы Вура и некоторые их применения// Извест. РАН. МТТ. 2004. №3. С. 64-73.
71. Никабадзе М.У., Улуханян А.Р. Постановки задач для оболочечной области по трехмерным теориям// Деп. в ВИНИТИ РАН. 21.01.2005. №83-В2005. 7 с.
72. Никабадзе М.У., Улуханян А.Р. Постановки задач для тонкого деформируемого трехмерного тела// Вестник Моск. у-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2005. №5. С. 43-49.
73. Никабадзе М.У. К варианту теории многослойных криволинейных стержней// Изв. РАН. МТТ. 2005. №6. С. 145-156.
74. Никабадзе М.У. Вариант системы уравнений теории тонких тел// Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика. Механика. 2006. №1. С. 30-35.
75. Никабадзе М.У. К определяющим соотношениям и граничным условиям в теории тонких тел// Ломоносовские чтения. Тезисы докладов научной конференции. Секция механики. М.: Изд-во Московского университета. Апрель 2006. 1 с.
76. Никабадзе М.У. Постановки задач моментной термомнханики деформируемого твердого тонкого тела/Ломоносовские чтения. Тезисы докладов научной конференции. Секция механики. М.: Изд-во Моск. у-та. Апрель 2007. 1 с.
77. Никабадзе М.У., Кантор М.М. Уравнения нулевого, первого и второго приближений в моментах моментной теории упругого стержня//
78. Ломоносовские чтения. Тезисы докладов научной конференции. Секция механики. М.: Изд-во Московского университета. Апрель 2007. 1 с.
79. Никабадзе М. У. Некоторые вопросы варианта теории тонких тел с применением разложения по системе многочленов Чебышева второго рода// Изв. РАН. МТТ. 2007. №5. С. 73-106.
80. Никабадзе М. У. Применение системы полиномов Чебышева к теории тонких тел// Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика. Механика. 2007. №5. С. 56-63.
81. Никабадзе М. У. Варианты теорий тонких тел с применением ражло-жения по полиномам Чебышева// Деп. в ВИНИТИ РАН. 17.09.2007. №229-В2007. 450 с.
82. Никабадзе М.У. Некоторые вопросы тензорного исчисления. Часть
83. М.: ЦПИ при мех.-мат. ф-те МГУ. 2007. 86 с.
84. Никабадзе М.У. Некоторые вопросы тензорного исчисления. Часть1.. М.: ЦПИ при мех.-мат. ф-те МГУ. 2007. 93 с.
85. Никабадзе М.У. К теориям тонких тел. Труды международной конференции "Неклассические задачи механики". Том I. Кутаиси. 2527.10.2007. С.225-242.
86. Никабадзе М.У., Кантор М.М., Улуханян А.Р. К математическому моделированию упругих тонких тел и численная реализация некоторых задач о полосе. Деп. в ВИНИТИ РАН 29.04.11 №204-В2011 207 стр.
87. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.
88. Палъмов В. А. Основные уравнения теории несимметричной упругости// ПММ. 1964. Т. 28. Вып. 3. С. 401-408.
89. Партой В.З., Перлин П. И. Методы математической теории упругости. М.: Наука, 1981. 688 с.
90. Пелех В. Л., Сухоролъский М. А. К построению обобщенной теории трансверсально-изотропных оболочек применительно к контактным задачам// В кн.: Композиционные материалы и новые конструкции. Киев: Наук, думка, 1977. С. 27-39.
91. Пелех Б. Л. Обобщенная теория оболочек. Львов: Вища школа, 1978. 156 с.
92. Пелех В. Л., Максимук A.B., Коровайчук И.М. Контактные задачи для слоистых элементов конструкций и тел с покрытиями. Киев: Наук, думка, 1988. 280 с.
93. Пикуль В. В. К проблеме построения физически корректной теории оболочек// Изв. РАН. МТТ. 1992. №3. С. 18-25.
94. Победря В.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ, 1984. 336 с.
95. Победря В.Е. Лекции по тензорному анализу. М.: Изд-во МГУ, 1986. 264 с.
96. Победря Б.Е., Шешенин C.B., Холматов Т. Задача в напряжениях. Ташкент: Фан, 1988. 200 с.
97. Победря В.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности: Учеб. пособие. 2-ое изд. М.: Изд-во МГУ, 1995. 366 с.
98. Победря В.Е. Модели механики сплошной среды// Фундаментальная и прикладная математика. 1997. Т.З. Вып.1. С. 93-128.
99. Победря В.Е. О теории определяющих соотношений в механике деформируемого твердого тела// Проблемы механики: Сб. статей. К 90-летию со дня рождения А.Ю.Ишлинского/Под ред. Д.М.Климова. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. С. 635-657.
100. Победря В.Е. Варианты моделирования в механике деформируемого тела. Фундаментальные и прикладные вопросы механики. Международная научная конференция. Сб. докладов. Хабаровск. Изд-во
101. ХГТУ. 2003. T. 1. С. 20-29. t ■ , .•-Д. ''It г' г ! .
102. Победря В.Е., Никабадзе М.У., Улуханян А.Р. Задача в моментах тензора напряжений/Ломоносовские чтения// Тезисы докладов научной конференции. Секция механики. М.: Изд-во Московского университета. Апрель 2005. 1 с.
103. Победря Б.Е. Теория термомеханических процессов// Сб. науч. тр.: Упругость и неупругость. Изд-во МГУ, 2006. С. 70-85.
104. Победря Б.Е., Никабадзе М.У., Улуханян А.Р. К теории упругих пластин/ Ломоносовские чтения// Тезисы докладов научной конференции. Секция механики. М.: Изд-во Московского университета. Апрель 2006. 1 с.
105. ИЗ. Погорелое A.B. Геометрия. М.: Наука, 1983. 288 с.
106. Саркисян С. О. Микрополярная теория тонких стержней, пластин и оболочекV// Известия HAH Армении. Механика. 2005.T.58.N2. С.84-95
107. Саркисян С.О., Варданян С.А. УАсимптотпческий анализ уравнений и граничных условий термоупругости микрополярных тонкихопластин^// Известия HAH РА. Механика. Т.60, N3, 2007. С. 64-76
108. Светлицкий В.А. Механика стержней. М.: Высшая школа, ч. 1, 1987. 320 е.; ч. 2, 1987. 304 с.
109. Солер А. Теория высшего порядка анализа конструкций, основанная на разложении по полиномам Лежандра. Тр. Амер. о-ва инж.-мех. Прикл. механика. Сер. Е. 1969. Т. 36. №4. С. 107-112.
110. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. М.: Наука, 1976. 328 с.
111. Твалчрелидзе А.К., Твалтвадзе Д.В., Никабадзе М.У. К расчету больших осесимметричных деформаций оболочек вращения из эластомеров// Тезисы док-ов XXII научно-технич. конф. проф.-препод. состава ВТУЗ-ов Закавказья, Тбилиси, 25-27 октября 1984. 1 с.
112. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1999. 798 с.
113. Феллерс Дж., Солер А. Приближенное решение задачи о цилиндре конечной длины с помощью полиномов Лежандра// Ракет, техника и космонавтика. 1970. Т. 8. №11. С. 145-151.
114. Филин А.П. Элементы теории оболочек. Л.: Стройиздат. Ленинград, отд-ние, 1987. 384 с.
115. Хорошун Л. П. О построении уравнений слоистых пластин и оболочек// Прикл. механика. 1978. №10. С. 3-21.124.' Чепига В.Е. Применение полиномов Лежандра для построения теории многослойных оболочек// Изв. АН СССР. МТТ. 1982. №5. С. 190.
116. Черных К. Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. Л.: Машиностроение, Ленинград, отд-ние. 1986. 336 с.
117. Шешенин С. В. Численное решение некоторых пространственных задач теории упругости// Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. М.: МГУ им. М.В.Ломоносова. 1980.
118. Шешенин С. В. Численный анализ квазистатических краевых задач МДТТ// Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. М.: МГУ им. М.В.Ломоносова. 1990.
119. Altenbach Н Modelling of viscoelastic behaviour of plates// Creep in Structures/Ed. by M. Zyczcowski. Berlin et/ al.: Springer, 1990. P. 531537.
120. Burton W.3., Noor A.K. Assessment of computational models for sandwich planels and shells// Comput. Meth. Appl. Mech. Engng. 1995. Vol. 124. P. 125-151.
121. Eringen A.C. Theory of micropolar elasticity. In Fracture Vol. 1, 621-729 (edited by H. Liebowitz), Academic Press, 1968.
122. Eringen A.C. Microcontinuum field theories. 1. Foundation and solids. N.Y.: Springer-Verlag, 1999.
123. Green A.E., Zerna W. Theoretical Elasticity. Oxford, 1954, 442 p.
124. Gauthier B. D.; Jahsman W. E. A quest for micropolar elastic constants. J. Applied Mechanics, 42, 369-374, 1975.
125. Gauthier R. D., Jahsman W. E. Bending of a curved bar of micropolar elastic material, J. Applied Mech., 43, 502-503, 1976.
126. Gauthier R. D. Experimental investigations of micropolar media, In Mechanics of micropolar media, ed. ). Brulin, R. K. T. Hsieh, World Scientific, Singapore, 1982.
127. Hencky H. Uber die Berücksichtigung der Shubverzerrung in ebenen Platten// Ingenieur-Archiv. 1947. Bd 16. S. 72-76.
128. Rou S. The effect of couple-stresses on the stress concentration around an elliptic hole, Acta Mechanica, 16, 289-296, 1973.
129. Kirchhoff G. Uber das Gleichgewicht und die Bewegung einer elastichen Scheibe// J. Reine Angew. Math. 1850. Bd 40. S. 51-88.
130. Kim B. S., Eringen A. C. Stress distribution around an elliptic hole in an infinite micropolar elastic plate, Letters in Applied and Engineering Sciences, 1, 381-390, 1973.
131. Lakes, R.S. Experimental methods for study of Cosscrat elastic solids and other generalized continua// Continuum models for materials with micro-structure, ed. H. Muhlhaus, J. Wiley, N. Y. Ch. 1, p. 1-22, 1995.
132. Lakes BS. and Benedict R. L. Noncentrosymmetry in micropolar elasticity. International Journal of Engineering Science, 29, 1161-1167, 1982.
133. Levinson M. An accurate simple theory of the statics and dynamics of elastic plates// Mech. Res. Comm. 1980. Vol. 7. №6. P.343-350.
134. Mindlin R.D., Medick M.A. Extensional Vibrations of Elastic Plates// Journal of Applied Mechanics. Vol. 26. №4/TVans. ASME. Vol. 81. Series E. Dec. 1959. P. 561-569.
135. Mindlin R.D. Effect of couple stresses on stress concentrations, Experimental Mechanics, 3, 1-7, 1963.
136. Naghdi P. The theory of shells and plates// Handbuch der Physik. Berlin: Springer. 1972. Bd. VI a/2. S. 425-640.
137. Nakamura S., Benedict R., Lakes R. S. Finite element method for orthotropic micropolar elasticity, Int. J. Engng. Sci., 22, 319-330, 1984
138. Reddy J.N. On the generalization of displacement-based laminate theories// Appl. Mech. Rev. 1993. Vol. 42. № 11. Pt. 2. P. S213-S222.
139. Reissner E. On the theory of bending of elastic plates// J. Math, and Phys. Vol. 23. 1944, p. 184-191.
140. Reissner E. Finite deflection of sandwich plates// J. Aeronaut. Sci., 1948, vol. 15, №7. P. 435-440.
141. R.eissner E. Reflections of the theory of elastic plates// Appl. Mech. Rev. 1985. vol. 38. Ml. P. 1453-1464.
