Исследование динамических напряжений в упругой радиально-слоистой сфере при локальной нагрузке методом полиномов Чебышева-Лагерра тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

2 2 кШЗ НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНЫ

ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНЫХ ПРОБЛЙЛ МЕХАНИКИ И МАТЕМАТИКИ ИМ.Я.С.ПОДСТРИГАЧА .

на правах руке писи " УДК 539.3 •

ХУССИЕН ЭЛЬСАЙЕД ХАССАН

ИССЛЕДОВАНИЕ ДШШЧЕСКИХ НАПРЯЖЕНИЯ В УПРУГОЙ РАДШЬНО-СЛОИСТОЙ СФЕРЕ ПРИ ЛОКАЛЬНОЙ НАГРУЗКЕ МЕТОДОМ ПОЛИНОМОВ ЧЕШША-ДЛГЕРРА

(01.02.04 - .механика деформируемого твердого тола)

А в т о р афера ; .

диссертации на соискание учёной степени ■кандидата физико-математических наук

Льеов - 1995

Работа выполнена на кафедре механики Львовского государственного университета им.И.Франко.

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент ГАЛАЗЩ В.А. .

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук БАБАЕВ А.Э. .

кандидат физико-математических наук, ст. н. сотр. ШВЕЦ Р-Н.

В е д у щ а я ' о р г а н и s а ц и я : Физико-механический институт.HAH Украины ■ .

Защита диссертации состоится Sl/f^A-pj^ 1996 г.

в часов на заседаний специализированного совета Д 04.17.01

при Институте прикладных проблем механики и математики им.Я.С.Под-стригача.НАН Украины по адресу: 290053, г.Львов, ул.Научная, З-б.

С диссертацией можно ознакомится в научной библиотеке ИППММ (г.Львов, ул.Научная З-б).

Отзыв на.автореферат просим направлять по адресу: 290053, г.Львов, ул.Научная З-б, ИППММ, ученому секретарю специализированного совета.

Автореферат разослан " 1995 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических наук-

Шевчук П.Р.

ОЕЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Изучение динамической реакции упругих неоднородных тел на ударные нагрузки является актуальной задачей инженерных исследований, связанной с решением многих вопросов современной механики разрушений.

Для исследования возникающих при этом проблем необходимо пользоваться методами механики сплошной среды, и, в частности, во многих случаях - методами"динамической.теории упругости, которая особенно интенсивно развивается в последнее время. Успехи в этом направлении связаны с именами таких ученых как А.Э.Бабаев, В.А.Бабешко, Я.И.Бурак, И.М.Ворович, В.Т.Гринченко, А.НЛ'узь, А.С.Космодамианский, В.Д.Кубенко, В.Д.Купрадзе, Г.И.Петрашень, Ю.Н.Подильчук, Я.С.Подстригач, В.Б.Поручиков, В.М.Сеймов, И.Т.Со-лезов, Л.И.Слэпян, А.Ф.Улитко, Р.Н.Швец, Ю.К.Энгольбрехт, «Т.В'.АсЬепЬасН, К.Р.Сга«, .ЬМШоит и др.

Однако, известные в литературе аналитические решения динамических ¡задач в основном относятся к рассмотрению неограниченных и полуограниченннх тел или же одномерных задач для ограниченных тел. В связи.с этим разработка аналитическихподходов к решению пространственных динамических задач теории упругости для неодонородных или кусочно-однородных тел конечных размеров и исследование на их основе динамической реакции элементов конструкция на локальное ударное воздействие ' является сложной и актуальной задачей механики деформируемого твердого тела.

• Шль_нш1шшей4шй01ы состоит в распространении метода полиномов Чебышева-Лагерра на одномерные и двумернно динамические задачи теории упругости неоднородных тел и исследовании на этой основе динамических напряжений в радильно-слоистой сфере.

дики решения динамических задач теории упругости радиалыю-'слоистых тел сферической формы в основном использовался метод полиномов ЧеОншеда-Лагарра, интегральное преобразований Лежандра к теория специальных функций. При выполнении работа для сравнения получены решения некоторых ¡задач с помощью интегрального преобразования Лапласа.'

Научная новизна работу состоит в.следующем: . ■

1. Проведено неклассическое расщепление уравнений движения упругой среды на три независимые волновые уравнения с помощью трех скалярных волновых функций, 'которые имеют простой механический смысл. В терминах разрешающих волновых 'функций сформулирована первая.и вторая основные задачи динамической теории упругости.

2. С помощью интегрального преобразования Чебышева-Лагерра разработана методика решения динамических задач теории упругости для тел сферической формы.

В рамках этой методики:

- построено общее решение треугольной последовательности краевых задач в сферической.системе координат;

- получено системы алгебраических уравнений с блочно -теплицевой матрицей для определения неизвестных постоянных в центрально-симметричном и осесимметричном случаях;

- с целью апробации методики получено решение центрально-симметричной динамической задачи теории упругости для пустотелого шара с помощью интегрального преобразования Лапласа.

3. На основе разработаной методики 'проведено' исследование динамической реакции радиэльно-слоистых тел сферической формы в центрально-симметричном и осесимметричном случаях.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корект-ностыо постановки задач, четким и последовательным применением известных математических методов при их решшши, ' сравнением с решениями, полученными другими методами.

Практическая ценность работы состоит в разработке методики решения двумерных динамических, задач теории упругости для кусочно-однородных тел сферической формы..-Полученные в .работе результаты могут найти своё применение также при расчетах налряженно-деформи-рованного состояния в элементах. конструкций, подвергнутых дина-шческим силовым нагрузкам, а также в сейсмологии.

Апробация работы. Отдельные результаты работы; докладывались, на IV Международной конференции по механике' неоднородных, структур (г.Тернополь, 1995), на •. Всеукраинской конференции ''Применение вычислительной техники,.математического.моделирования # математических методов в научных исследованиях" (г.Львов, 1995), ' на

ежегодных конференциях профессорско-преподавательского сосава

механико-математического факультета Львовского государственного университета им.И.Франко.

В. целом диссертационная работа обсуждалась на научных семинарах кафедры механики Львовского госуниверситета, на квалификационном семинаре Института прикладных проблем механики и математики им.Я.С.Подстригача НАН Украины.

Публикации. Отдельные результаты . выполнаных исследоватй опубликованы в четырех работах [1-4].

Структура и объем работы. 'Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка цитированной литературы, состоящего из 125 наименований и изложена на 120 страницах машинописного текста, включая 22 рисунка.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

й первой главе диссертационной работы, которая в основном носит вспомогательный характер, проведено неклассическое расщепление уравнений движения упругой среды в обобщенаой. сферической системе координат. В качество ключевых функций выбрано объемную деформацию и

е = «И*5 ^ Щи-е7)[5а(Ви). + 4 + е',2и,:

ускорение сдвига . '

н функцию вращения

Рдесь А (<х, /з), В(»,Ю - коэффициенты первой квадра 'ичной формы на срединной поверхности, £=]г/Б - относительная толщин I, «, ¡3 - криволинейные координаты на срединной поверхности радиус з й, у

- координата, отсчитываемая по нормали от срединной поверхности, И

- полу толщина (сферического слоя, и, V, \ч - отнесенные к Ь компоненты вектора упругого перемещения. В терминах ипачовь*

функций получено три волновых уравнения:

Ле = & ; й<р = х2^ ; ДХ = х2^

аг ах ах

сл

1 го( 1_|»т

где. - безразмерное время; х=-д -V , е1' е2~ СК0Р00™

продольных и поперечных волн в материале среда, и - коэффициент

*«*»•■1 - - 5?(1-5?|] * 5?[««"ггЯ} -

оператор Лапласа. В терминах ключевых функций сформулированы первая и вторая основные, задачи теории упругости. При этим показано, что в осесимметричном случае одна из этих функций всегда 'тождественно равна нулю, . а также указан способ нахождения компонент вектора упругого перемещения с помощью ключевых . функций и доказана однозначность такого представления. .

В этой же главе в качестве эталонной задачи с помощью интегрального преобразования Лапласа решена центрально-симметричная динамическая задача в обычной сферической системе координат для пустотелого упругого шара, поверхность которого подвержена внезапному воздействию внешней нагрузки.

Во второй главе диссертационной работы изложена методика решения двумерных динамических задач ' теории упругости для тел сферической формы, базирующаяся на применении к исходной начально-краевой задаче интегральных преобразований .Чебншэва-Лагерра по временной и Лежандра по угловой переменным: :

И).

где Рт(соаа) - ортогональные полиномы Лежандра, 1^(Хт) - ортогональные полиномы Чебшева-Лагерра. При этом формулой обращения

преобразования (1) служит ортогональный ряд:

®

1<«Л.Т> = 'Х£^1шп(7)Рт(С08«)Ьп(Хт). (2)

ПК)

Здесь \ ~ тлсдателъннй параметр, который используется в качестве •масштабного мнсдателя, позволяйтего оптимизировать процедуру

суммирования ортогонального ряда по полиномам Чебышева-Лагерра в5* разных интервалах изменения временной переменной. ; Путем применения к двум ножовым уравнениям

2 - 2 Ае - ■а~§ ; Аф = , (3)

зт ат:^

определяющим при соответствующих краевых условиях- решение осесимметричной динамической задачи, интегрального преобразования (1) получена треугольная последовательность обыкновенных дифференциальных уравнений: *

йу ■ 2 ■ п

где г) - 1 + су . При этом было предусмотрено, что функции е(а,у,г) и ф(«,у»г) удовлетворяют нулевым начальным условиям:

е'= зе«1р = дхч> - 0 при г-=0

Общее решение последовательностей (4) можно записать в виде алгебраической свертки:

п ,1-0

(5)

п .1-0

где .х-А®, В1", С1", И™ (1=5д1).- постоянные, определяемые из

краевых условий Ст-(ст0'ст1..... ^^ V(wm0■wm1••••••wmn) "

■вектор-функции, .составляющие фундаментальную систему решений последовательностей (4).. Фундаментальные системы решений после-

доватбльности (4) можно представить в виде: ± 3

к-а к=о :

гдэ Зп(х), к^гх)- модифицированные сферические функщш Бесселя , а Вд находятся с помощью рекуррентных соотношений:

а^к+Г 2(к+1) (ЙН

при произвольных постоянных а д.

В качестве примера рассмотрен сферический' .слой толщины 2й, источником нестационарных процессов в котором являлось ударное силовое воздействие "на его внешнюю поверхность, задаваемое формулой

р^о.Т) = -рф(а)Ф(1)

где

р0=сопа1;, g(a)-s_(•SQ-o()4s_(ag-к+«), Ф(г) = з4(с),

асимметричные единичные функции, а0~ угол воздействия. В этом случае неизвестные постоянные в формулах (5) после удовлетворения трансформированным краевым условиям, определяются с помощью последовательного решения систем линейных алгебраических уравнений 4-го порядка с неизменной в трансформантах . по Чебышеву-Лагерру матрицей и рекуррентной правой частью:

ДШЛ11. вП1а12, гЛ1-13, т-ли 14 _ .»1 + п шО п шО ъп тО Ч'Аю = *тп дШя21, ГП1 23 А-24 _ ,1--

Ап тО Ч1атОь п тО япатО - 1тп (6)

.пи31, ьпи32, гт„33, пт,,34 _ f2^ ■ А^тО4 ьпатО'( ьпашО+ лпагг,0- " 11г1п лт„41 кта42, гшя43, рт.,44 _ т2-Ап то п шО. °патО+ %3тО ~ хтп

1]' :.;лв нахождения постоянных из системы (6) решение задачи

записано с помощью ключевых функций в виде двойного ортогонального ряда по полиномам Лежандра и Чебышева-Лагёрра:

№ . 00

е(«,7дьхр~ ^~~е|гт(у)Рт(соз«)Ьпдг), л-0 п=0

СО со

Ф(а,ЬГ)^Х)Г~ У~ч)тп(у)Рт(соза)Ьп(Хт), П^О п=0 .'

СО <0

«'Ш1(1г)Рт(С0Ял)1!п(Хг), *

п-0 т-0

" &Р (С0£!<О

и(а,>,т)=Х^ Г1 ^(7)3/—"Г^СХс)

п=0 т^О

при

1 Г1

"гап(*>= ¡2(атп" 2аш,п-1+ <Уп-2): ат=№(,г) + ~1иГ~] 1 >

о(йг + пЬ

а» со _2

П~0 1П=0 00 00 . _2

^111 П[8т)^)рт(СМв)~ 2х^-£сов«итп°^-12>(соа«)]1^(Хг).

п-0 ш-0

№ СО

п-0 ПКЗ

5 м 00 , ■ <ц»(сова)

о.г-^п: Отп'1^^--Уи>- ,

п-0 т-1

где

- ГО -

,,-2ч

Иг

СМ 1-2x^4

^2,(С09а) =

±

11Рт(еоз<у)

- полиномы Гегенбауэра.

з1па'йа

Далее исследовано центрально-симметричную динамическую задачу теории упругости для полого шарообразного тела, решение' которой нетрудно получить из вышеприведенного положив у - 0, т = 0. Эта же задача с целью апробации методики решена методом интегрального преобразования Лапласа, с использованием ' известной теоремы разложения Ващенко-Захарченко. При этом единственная отличная от Нуля компонента вектора упругого перемещения получена в виде: .

где

V? =

ст

и(у,т) = №ст+ 2 $ М^СОЗо^Т, к=1

2

РП(П4)3||с3(Ну)34^-(р-)342Е(14У)г)П"|

2рф2 ¡^х12(34С2)-2(202- ^ Г

МП- % 3

- . ап 12 ^ '>п] 1

81п2а

+г2[ (Х+)2-1+5£23-3£12

-•>2.

-С03ап( 1+7) рр~г)~2 (П-П")]

+,2е! 1

СОВ2ап{<Сд ~ (Х+)--НЕ^> 1 ' «п I

р0п+' + ? „2 9 + о0= - — 2 ?" - т,'~ ' а "п ЯБ-,ШМТСЯ корнями

2рс?г/'"

еледующего трансцендентного уравнения

гапгад е2(апх)^(1-Е2)+4£4

Проведен числовой анализ задачи. Сравнение результатов, полученных методом полиномов Чебшева-Лагеррз и с помо-цью интегрального .преобразования Лапласа показало их практическое совпадение. Кроме того, решение, полученное методом полиномов Чебышева-Лагерра, достаточно хорошо описывает процесс многократного наложения падающих и отраженных волн.. Здесь же приведен числовой анализ осесимметричной задачи, результаты которого хорошо согласуются с физикой явления и в - граничном случае совпадают с решениями центрально-симметричной задачи.

1£шья_глава диссертационнной работы посвящена исследованию динамической реакции упругих радиально-слоистых шарообразных тел в одномерной и двухмерном случаях.

Вначале рассмотрена центрально-симметричная, задача теории упругости для двухслойного тела сферической формы при ударгом нагрукении его внешней -поверхности. Математическая постановка задачи сводится к решению двух волновых уравнений:

п2-а71п 37 . ) - Ч дг2 ' :при нулевых начальных условиях:

О при т=0

краевых условиях'на повехностях .сферы:

"„^Р/Ю -при 7=>У О = 0 • ' ■ при 7^-1

- ~

и условиях идеального механического контакта на поверхноот! раздела слоев:

а(1> _ а<2) '. ^ 0

л п 1

Здесь все величины отмеченные индексом "1", относятся к внешнему, а,индексом "2" - к внутреннему слою, Ь, и Ь.р - толщины слоев, е^ и - соответственно скорости продольных и поперечных волн в материале "1"-тового слоя, с - Ь2/ К , В - радиус поверхности раздела слоев,'

(^1-2-х. =< 21

М 1, 1=1.

Решение задачи построено с использованием метода полиномов Чебышева-Лагерра и методики второй главы. В. конечном итоге задача сведана.к решению алгебраических систем 4-го порядка с последующим суммированием рядов но полиномам Чебышева-Дагерра.

Проведен числовой анализ задачи в зависимости от материалов, относительных толщин слоев и вида ударной нагрузки.

Дальше рассмотрена осесимметричная задача для двухслойного шарообразного тела, подвергнутого ударной нагрузке по части внешней поверхности. В математическом плане задача состоит в определении четырех волновых функций, удовлетворяющих четырем краевым условиям на поверхностях слоистого тела и четырем краевым условиям на поверхности раздела материалов.

С помощью методам второй главы задача сведена к последовательному решении систем линейных алгебраических уравнений 8-го порядка. Неизвестные величины при этом представлены в виде двойных ортогональных рядов. На основании числового анализа исследуется напряженно-деформированное состояние в различных точках слоистого тела и при разных значениях угла возмущения.

В заключении коротоко сформулированы основные результаты и выводы диоеертационной работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ.РАБОТУ И КРАТКИЕ ВЫВОДЫ ',

1. Положив^ в основу неклассйческое расщепление уравнений движения упругой среды с помощью трех-скалярных волновых функчий в. диссертационной работе осуществлена новая постановка осесим-метричной динамической задачи теории упругости в терминах двух разрешащих волновых функций для радиально-слоистого тела

.сферической формы при условии идеального механического контакта на границе раздела слоев.

2. С помощью интегрального преобразования Чебышева-Лагерра по временной переменной исходная начально-краевая задача динамической теории упругости при точном удовлетворении начальным условиям сведена к последовательности краевых задач, для которых построено общее решение с требуемым для удовлетворения краевым условиям . набором произвольных постоянных. ■ о .

При этом процедура удовлетворения краевым условиям сведена., к' последовательному решению систем линейных алгебраических уравнений с неизменной матрицей и рекуррентной правой частью, позволяющему эффективно использовать возможности ЭВМ.

3.' С целью апробации разработаной методики •проведено сравнение решений центрально-симметричной динамической задачи теории упругости для пустотелого тела сферической формы, полученных, соответственно, с помощью интегральных преобразований Чебышева-Лагерра и Лапласа. В результате установлено, что. при удержании в ортогональном ряде по полиномам Чебышева-Лагерра 30-40 членов результаты практически совпадают. При этом рпшнйа,' полученное, методом полиномов Чебышева-Лагерра, достаточно хорошо описывает суперпозицию собственных колебаний иарообразного тела и многократно отраженных упругих волн. Достоверность же результатов, числового анализа осесимметричной задачи подтверждается их совпадением в граничном случае с решением для центрально-симметричной задачи.

4.. Исследована новая центрально-симметричная задача о. воздействии ударной нагрузки на двухслойное упругое ' тело сферической формы. В результате числового анализа устанЬвлено:

- в случае упругого ядра.с упругим покрытием имеет место эффект фокуссиров!си динамических напряжений на поверхности упругого ядре,

сущность которого состоит в том, что с увеличением трлщины покрытия амплитуда колебаний нормальных напряжений на линии раздела материалов резко возрастает;

- при задании на поверхности двухслойного тела импульсной нагрузки максимальные растягивающие нормальные напряжения достигаются в областях расположенных от свободной внутренней поверхности приблизительно на 1/4 толщины внутреннего слоя, в то время как максимальные растягивающие кольцевые напряжения имеют место на самой внешней поверхности, что хорошо .согласуется с. известным в литературе "эффектом откола".

5. Эффективность разработкой методики проиллюстрирована на числовом анализе напряженно-деформированного, состояния двухслойного тела сферической формы при осесимматричной нагрузке.

•Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. В.А.Галазюк, Хуссиан Эльсайед Хассан. . Динамическая реакция упругой радиально-слоистой сферы на ударное возбуждение ее внешней поверхности.// Деп. в ГНТБ Украины 05.12.1995 г. Деп. N 2627 - УК.95.

2. Хуссиен Эльсайед Хвсоан. Решение осесимметричной динамической задачи теории упругости для сферического тела методом полиномов ЧеОышева-Дагерра. М Деп. в ГНТБ Украины 05.12.1995 г. Деп. N 2626 - Ук.95.

3. Хусс1сн Ельсайед Хассан, Коляно Я.Ю. Побудова та досл1дження розв"язк!в дияаьИчних задач теорп пружност.1 для шаруватих т!л сфарично! форми методом пол!ном1в Чебишева-Лагерра.//

, Застосування обчислюйально¥ техн!ки, математичного моделювання та математичних метод1в в наукових досл1дженнях.:Тези допов!дей ВсеукроХнсько! конференцИ.- Льв1в, 1995. С.95.

4. Коляно Я.Ю., Хусс1ен Ельсайед Хассан. Динам1чна реакЩя обмеже-них атруватих т!л на нвстац!онарн1 тешюв! чи сидов! наванта-

. жешш. // IV М1шародна конференЩя з мехаШки неоднор!дних ■ структур.: Тези допов1дей.- Терноп1ль, 1995: П.38.

XycoieH Ельсайрд Хассан. Досл1дження динпм1чних наиружень в пружн!й рад!алыю-дшрувг)т1й сфер! при ' локальному '.навантаквнн! методом nojiinoMtB Чвбишева-Лагерра.

■ АНОТйЦ1Я

В робот! за допомогсю 1нтегрального перетворення Чебишевз-Лагерра розроблено методику розв"язку двом1рних динам1чних задач теорН ггружност! для каруватих сферйчних т1л.

На основ! розроблено^ методики проведено доел!цження динам1чноУ реакц!! двошарового т!ла сфарично? форм» на ударив навантаження.

Hussien Alsayyed Hassan. Investigation of tjia dynamic stresses In elastic lammellar sphere to local load using-Chobyshev-Laquerre polynomials method.

Abstract

The method of solution oi two-dimensional problem of dynamic theory of elasticity for lammellar spherical body has been elaborated by means of Chebyshev-Laquerre Integral tras'formation.

On the: basis of elaborated methods the dynamic reaction .of two-layers sphere to external shock load has been Investigated.

Ключевые слова: дина!.ические задачи' теории упругости,, радиально-слоистое тело сферической формы, метод полиномов Чебышева-Лагврра

Шдпвсако до WW 25.12,95. Фориат 60x8^/16, Iltmlp друг..И. Друк.офсеш. Уиовн.друк.ьрк.1,0. Уиовн.фар0.в1д0.1,й. , Обл.вил.арк.1,1. Tijpax'IOP.Заиовлення 319. Маидадо~о£сег*а леборегор1я Льв1вського дбржуи1ворситету lu, 1,Фрвнкь, 29Q6Q2 31ьв1в, вуд. Уп1вврснтетська,1.