Задачи расчета напряженно-деформированного состояния конструкционных элементов с прямолинейными образующими тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

§ВЯ«РУС<ЖАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ПОЛИТЕХНИЧЕСКАЯ О У« АКАДЕМИЯ

3 О ЛОГ 1333

На правах рукописи УДК 539.3

СКЛЯР Ольга Николаевна

ЗАДАЧИ РАСЧЕТА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО состояния КОНСТРУКЦИОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ С ПРЯМОЛИНЕЙНЫМИ ОБРАЗУЮЩИМИ

01,02.04 — механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Минск, 1993 г.

Работа выполнена на кафедре теоретической механики Белорусской государственной политехнической якяляниг

Научные руководители — кандидат технических наук

профессор ШШЕВСКИЙ А.Б. кандидат физико-математических наук С.Д.С. 1УРАЖ0В 11Д.

Официальнне оппоненты- доктор технически наук

профессор ПРУСОВ ПЛ. кандидат физико-математических наук ДЖУКОВА H.A. -Ведущая организация - Институт прикладных физических

проблем Белгосуниверситета

Защита состоится Я 1993 г. в 10 ча-

сов на заседании Специализированного совета К 056.02.04 в Белорусской государственной политехнической академии по адресу: 220 027 г .Минск, проспект Ф.Скорины,65»главный корцус ауд.201

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белорусской государственной политехнической академии.

Автореферат разослав ЮЗЗг.

Ученый секретарь Специализированного совета

. доцент БА2МАТ ГЛ.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Исследование закономерностей распределения напряжений и деформаций в реальных телах представляет важную народно-хозяйственную проблему, от успепного решения которой зависит как обеспечение безопасности производственных процессов в промышленности, строительстве, горнохимическом производстве, так и создание и внедрение нови машиностроительных конструкций, приборов н технологий, отвечающих высоким требованиям современного этапа научно-технической революции.

Существующие в настоящее время методы расчета НЕС реальных тел основаны на анализе эмпирических закономерностей и введении упрощающих гипотез, существенно облегчающих математическую модель, когда исходная трехмерная задача сводится к двумерной или яе одномерной или же дифференциальная краевая задача заменяется конечномерной алгебраической. Эти методы имеют ограниченную область применения и позволяют получить достаточно приближенное представл8!ше о способности твердых тел сопротивляться внешнему нагру;:.ешж. Поскольку ;уш решения целого комплекса задач необходимо учитывать геометрическую форму тела, реологические свойства материала и другие факторы, существенно атаягцие на ЩЗ реальных тел, то возникает проблема уточнения известных моделей и инженерных расчетных формул, определяющих прочность и устойчивость конструкционных элементов , разработки новых методов их численной реализации. Сказанное определяет актуальность темы диссертации, посвяцегаой разработке методов решения задач о ЛИС конструк-цг.ошшх элемеотов с.прямолинейными образующими их граничил, поверхностей

Ц.ель и задачи работы. Целью настоящего исследования является дальнейшее развитие вариационного метода и метода интегральных уравнений для определения КИС упругих и вязкоупругих пространственных тел,границы которых состоят из пое,1'.:костей с прямолинейными образущими.В связи с этим ставились такие задачи :

1. Разработать вариационный метод вывода шггегро-диффере нциалышх уравнений статики и динамики вязхоупрутих тел.

2. Разработать методы решения интегро-дифференцнальных уравнений статики и динамики вязкоулругих и упругих твердых тел ;

3. Получить эффективные решения практически важных задач на аналитическом и численно-аналитическом уровне.

Основными научными результатами диссертации являются:

- вариационные и ит-егро-дмфференциальныо уравнения равновесия вязкоупругой среды, изгибных, крутильных и продоль шх колебаний вязко-упрутих стержней и метод их вывода;

- метод решения краевых задач вязкоупругости, основанный на использовании разложений искомых перемещений в ряда но полиномам Чебшева-Лагерра от временной переменной, и разрешающие системы уравнений для нахождения коэффициентов этих рядов;

- системы интегральных уравнений метода квазвфушсций Грина дая решения краевых задач вязкоупругости п метод их решения с помощью рядов по косинуса-л-биномам Ы.Ы.Филонешо-Бородича для тел с прямолинейными образуодшя;

- разрешающие системы уравнений для определения напряжений и перемещений в упругшс параллелепипедах при различных законах их внешнего деформирования, точном и интегральном удовлетворении условий нагружения ца боковых гранях к торцах соответственно и полученные на их основе явные аналитические формулы для некоторых частных случаев саатия и изгиба;

- метод вывода представления П.Ф.Палковича п исследования гладкости входящих в него гармонических функций в зависимости от гладкости гранячной поверхности;

- исследование влияния геометрических параметров на НЕС упругого куба с цилиндрической полостью и горного массива в окрестности выработки, проведенное с помощью интегральных уравнений метода квазифункций Грина.

Эти результаты являются новыми и выносятся на защиту диссертации. Их достоверность обеспечена использованием общих принципов механики деформируемого твердого тела /прин-

ципа минимума дополнительной работы деформации, принципа Гамильтона, вариационного уравнения Лагранжа, метода Ю.Н.Работ-нова продолжения ядер релаксации четным образом в область отрицательных значений/, использованием современных математических методов.

Значимость работы для науки и практики.Диссертация имеет характер теоретического исследования методов решения краевых задач теории упругости и вязкоупругостн.Полученные в ней новые научные результаты могут быть использованы при определении НДС реальных тел и конструкционных элементов, разработке новых машин, станков и приборов, отработке технологических процессов современного производства.

Апробации и публикации. Основные результаты диссертация на разных этапах её готовности докладывались на научных конференциях БГПА /1977 - 1979 гг.,1993 г./, У и У1 республиканских тучных конференциях математиков Белоруссии / г.Гродно, 1980 г.,1992 г./. Она отражены в II статьях и 2 тезисах докладов.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованной литературы. Она содержит 131 страницу машинописного текста, в том числе 2 таблицы и 13 рисунков и графиков. Библиография включает 134 наименования.

СОДЕРЯАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность темы предпринятого диссертационного исследования, дано описание содержания диссертации по главам и перечислены полученные в ней основш: ; научные результаты, выносимые на её защиту.

Первая глава диссертации посвящена анализу существующих методов решения задач теории упругости для тел с прямолинейными образующими. Здесь показано, что весьма удобными в практическом отношении являются вариационные методы и методы интегральных уравнений.Поэтому их обобщение на новые материалы

и, в частности, вязкоупругие тела является актуальной задачей механики деформируемого твердого тела. В связи с этим в первой главе выписываются в явной форме вариационные уравнения статического равновесия влзкоупругих тел и изгибных, крутиль-1шх и продольных колебаний вйзкоупругих стержней, которые получаются из соответствующее вариационных принципов минимума дополнительной энергии деформации и Гамильтона после внесения в них реологических законов состояшш.Поскольку в соответству-ицей научной литературе теория таких уравнений отсутствует, то их миним/зация проводится в этой главе с помощью метода редукции к функциям одной переменной. В частности, если материал тела следует тикому реологическому закону деформирования :

А

йцч&^е^Ст) ат, ш

где

то вариационное уравне1ше равновесия тлеет вид :

Предположим, что искомое решение достигается на однопараметри-ческом множестве функций вида :

при о • Это приводит к такому интегро-ди^ференциально-

му уравнению о,

- ГМ V <1 *

Поскольку это уравнение может быть получено из уравнений равновесия Кош после внесения в них реологического закона [£) , то тем самым обосновывается вариационное уравнение .

Совершенно аналогично с помощью принципа Гамильтонаг-Остроградского получено такое вариационное уравнение продольных, изгиб-ных и крутильных колебаний вязкоупругих стержней в предположении, Что деформации малы и справедлива гипотеза плоских сече-

^ : I \ ' X

Ядра релаксации йв и будем считать продолженными четным образом в область отрицательных значений аргументов. Как показал В.Н.Работнов, это предположение обеспечивает положительность работы напряжений на компонентах деформации.Выше-указакнш методом из (Л) юле ем :

о,

о

М- Ч -й.

Это - гиперболическая система ингвгро-дифференциалышх уравнений и соответствующих им естественных граничных условий. Поэтому их следует дополнить значениями искомых функций в их производных по времени при -к» О

Б конце первой главы изложен новый метод вывода представления Ц.Ф.Папковича общего решения системы Ламе в областях, ограниченных поверхностями Ляпунова класса Л4 , О .

Вторая глава диссертации посвящена разработке эффективных методов решения краевых задач вязкоупругости с помощью их редукции к последовательности статических задач.С этой целью используются разлокения искомых вязкоупругих перемещений и ядер релаксации в ряды по полиномам Чебышева-Лагерра от временной переменной ¿.п (4.) :

Тогда из уравнений равновесия имеем такие уравнения для определения Ц.^ Сх) :

в -

Для коэффициентов этой системы в диосертации получены явные формулы. В случае, когда материал тела однороден и изотропен, а коэффициент Пуассона не зависит от времени, определение

может быть проведено с помощью метода квазифункций Грина на основе такой системы интегро-дифференциальных уравнений : .

е

г

$

где

С 4

в <

ОХХ^Ь- нормализованное до первого порядка уравнение границы области 1) , *т\, -её размерность, ,

ЙЕ-вСЫ^У1, Х*^,^ _ компоненты объёмной силы, ' коэффициенты их разложения в ряды по полининам ¿^ •

В случае динамических задач вязкоупругости ^ * - р У ^ и потому . *? ^

где

Поэтому динамические вязкоупругие задачи могут решаться на основе такой системы интегро-дифференциальных уравнений :

£ С^ИТ с^]^ V ^ Г" СУ) х

При , Я (чД^О эти уравнения соотвествуш

краевым задачам классической теории упругости.Поэтому предложенный метод решения вяакоупругих задач сводит их решения к. последовательности упругих задач с изменяющимися правыми частями соответствующих интегро-дифференциалъкшс уравнений.

Третья и четвертая главы диссертации посвящены решешш пршстически важных задач теории упругости для тел с прямолинейными образующими на основе вариационных и интегральных ■ уравнешй указанных ранее типов. При этом при решении вариационных уравнений в случае призматических тел используются такие представления искомых перемещений в виде рядов по степеням двух /из трех/ независимых переменных, чтобы точно удовлетворить граничным условиям на боковых поверхностях призм и интегрально - на торцах. Это позволило построить структуры решений задач о сжатии-растяжении и изгибе упругих параллелепипедов конечных размеров, которые позволяют уточнить известные элементарные решения, полученные на основании гипотезы плоских сечений или же полуобратным методом, а также решать более сложные задачи на численно-аналитическом уровне с помощью метода усечения бесконечных рядов. Если поперечное сечение призматических тел отлично от прямоугольника, то для определения напряженно-деформированного состояния в них привлекается метод интегральных уравнений, ядрами которых являются квазифункции Грина или яе их производные.Суть предложенного здесь метода заключается в следующем.

Пусть рассматриваемое тело представило в виде Уъ параллелепипедов, для из которых необходимо рассматривать внешнюю задачу. В общем случае для ка-кдого ] -го параллелепипеда можно выписать 18 граничных условий для б,^ ^«1,6 ) для всех шести граней. Используя метод В.Л.Рвачева продолжения граничных функций внутрь области, лепсо -записать единое аналитическое выраление для продолженных граничных фут' '-й б* ^ \ = Г/5 .Тогда для компонентов тензора напряжений можно воспользоваться таким представлением :

где определяются рядами по косинус-биномам М.М.Фило-

ненко-Бородича.а шеют ранее указанный смысл.Применяя

метод квазифункций Грина к уравнениям Бельтрами-Мичелла,получим следующую систему :

Эта система позволяет составить алгебраические уравнения дня нахождения неизвестных коэффициентов вышеуказанных рядов с помощью обычных приемов прикладного анализа /например,колло-кации на дискретной сетке/.

Этот, круг вопросов составил предает третьей главы.Ге -зультати численных расчетов по полученным в третьей главе формулам представлены в четвертой главе.В ней рассмотрены задачи об изгибе консоли прямоугольного поперечного сечения, сжатии и изгибе прямого параллелепипеда линейно распределенной нагрузкой и бимоментом /в основу решений этих задач положен

метод вариационного уравнения Лагранжа/, а также задача о сжатии куба, ослабленного сквозной цилиндрической полостью, и задача о НДС кровли горной выработки одной из трех возможных конфигураций. Последние две задачи решались с помощью интегральных уравнений описанного в третьей главе вида. В результате проведенных здесь расчетов для первых трех вышеперечисленных задач получены явные приближенные аналитические выражения, для упругих перемещений и напряжений в сжатом и изогнутом параллелепипеде конечных размеров, которые уточняют известное элементарное решение,полученное на основе гипотезы плоских сечений, и решение Б.Сен-Венана, полученное полуобратным методом. С помощью этих формул построены графики изменения напряжений в характерных сечениях параллелепипеда и консоли. В последних двух задачах подробно описана процедура их решения га основе метода Н-Фунхцнй и приведены итоги расчетов в виде графиков распределения напряжений и перемещений в характерном сечении куба с цилиндрической полостью в зависимости от ориентации полости и её радиуса, а. также получена приближенная формула дяя коэффициента интенсивности главного максимального напряжения в срединных точках кровли трех характерных фор.! выработок в зависимости от их геометрических параметров.

. Перечислим теперь основные результаты, полученные, в дис-сертацш.Ими являются :

-вариационные и интегро-дифференциальньге уравнения равновесия вязкоупругого тела, изгибннх.крутийьных и продольных колебаний вязкоупругих стержней,следующих гипотезе плоских сечений и малости деформаций, и метод их вывода;

-метод решения краевых задач вязкоупругости, основанный на разложении искомых перемещений в ряды по полиномам Чебы-шева-Лагерра от временной переменной, и разрешавшие системы уравнений для нахождения коэффициентов этих рядов;

-метод квазифункций Грина решения краевых задач вязкоупругости для изотропных однородных тел и вывод разрешающих систем интегральных уравнею-";

-дальнейшее у >.звитие метода М .1,1 .Филоне нко-Еородкча и

метода квазифункций Грина для решения уравнений Бельтрами-Мичелла в телах с прямолинейными образующими;

-разрешающие системы уравнений для определения напряжений и перемещений в упругих параллелепипедах при различных законах их внешнего нагружения и полученные на их основе явные аналитические формула для напряжений и перемещений для некоторых частных случаев задания внешней нагрузки,уточняющие известные инженерные формулы, а также результаты численных расчетов;

-решение задачи о спатии упругого куба со сквозной цилиндрической полостью при различных предположениях относительно её расположения и радиуса;

-решение задачи о Ш1С кровли горной выработки и инженерная формула для коэффициента интенсивности максимального касательного напряжения,учитывающая геометрические параметры выработки;

-метод вывода представления П.Ф.Папковпча общего решения системы Ламе через гармонические фу.лции и исследования их гладкости в зависимости от гладк-ости. границы области,занимаемой телом.

Вышеперечисленные результаты диссертации отражены в следующих публикациях автора :

1.Изгиб упругого параллелепипеда при точном выполнеши условий отсутствия нагрузки на четырех боковых гранях/Деор. и прикл.механика.-1979.-в.6 /с Крушевскш А.Е./

2.Сжатие /растяжение/ упругого параллелепипеда .при точном выполнении условий отсутствия нагрузки на четырех гранях // Теор. и прикл.механика.-1579.-в.6

• 3,Структура решения задачи изгиба упругого параллелепипеда /Деор.и прикл.механика.-1980.-в.'7 /с Круиевскш.1 А.Е./

4.Изгиб упругого параллелепипеда линейно рас предел'"-иной нагрузкой и биноментом /Деор.и прикл.механика.-1Г8С.-б/.'

5.Некоторые задачи изгиба пркзгат::ческих стержней в уточненной постановке // У респ. коиТ>ере:аи;я математиков Белоруссии /тезисы докладов/,Гродно, 1960 г.-1£6С!.-ч.1

6.Построение структуры решения задачи изгиба упругого параллелепипеда /Деор.и прикл.мехашка.-КОХ.-в.Б /с Крушев-ским А.Е. . _ Х4 _

7.06 общей представлении решений системы laue в областях с нерегулярной границей /Деор.и прикл.механика.-1982.-в.9 /с Медведевым Д.Г./

8.Вариационный вывод уравнения равновесия для вязжоупру-гой среды // Теор.и прикл.механика.-1985.-в.12

Э.Метод решения краевых задач' вязкоупругости /Деор.и прикл .механика. -1986 -в. 13

Ю.Вариадионный подход к выводу уравнений изгибных,крутильных и продольных колебаний стерши из вязкоупругого материала // Теор.и прикл.мвханика.-1986.-в.13 /с Ким A.A./

П.Один способ решения трехмерных задач теории упругости в напряжениях для тел парадиелепипедной и цилиндрической форы // Теор.и прикл.ыеханжа.-1989.-в.16 /с М.А.Журавковым/

12. Модифицированный метод квазифункций Грина решения задач вязкоупругости // Весц1 АН БССР,сер.ф1з.-тэхн.навук.- . 1991.-* 4 /с Е.П.Журавковой/

13.Некоторые задачи об упругом равновесии тел с прямолинейными образупциыи //71 конференцая математиков Беларуси, тезисы докладов.-1992.- ч.З . • •

ТТодпжгано к пеот Я&О*. 93г.. Формат 60x841/16 Усдпеч. дО,? Тираж 400 эка Вешала 3uu 631.-

ЩЩ Госзюштштам Ресдувлшш Беларусь.