Побудова i дослiдження розв'язкiв змiшаних задач нестацiонарноi теплопровiдностi та квазiстатичноi термопружностi напiвбезмежних тiл методом полiномiв Чебишева-Лагерра тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

р Г Б од

1 б онт 1335

НАЦЮНАЛЬНА АКАЛЕМ1Я НАУК УНРА/НИ I НС'ГИТУТ ПРИШДНИХ ПРОБЛЕМ МЕХАН1КИ I МАТЕМА'ШКИ IМ. н. (: Л11 ÍV-J'fí ИГ АЧЛ

¡la П| \ I 'Уi • Ч 1И' \

ТУРЧИН

'гор Микг-лаиг)!м14

ПОНУДОВА I ДОШПДЖЕННЯ РОЗВ"ЯЗК1В ЗМIШАНИХ ЗАДАЧ НЕСТАЦ10НАРН01 ТЕПЛОПРОВIДНОШ 'ГА КВАЗ[СТАТИЧНО 1 ТЕРМОПРУЖНОСТ1 НАПШБЕЗМЕЖНИХ Т!Л МЕТОДОМ 1ЮЛ1НОМ1В МЕБИШЕВА-ПАГКРРА

'.ih.ii; i'4 Mít-aniKít ,iv4i'>м i bi¡' i . rt-trj ц< >г> • TIJH»

ar<'[':,[,►■<{«-!,íví /llK'i'P'íaHÍ » П.; ^Д^бу'П'Я M.tyKobi-l <> 1 iyíUn-1 .кандидата K-n-iKu -м-п«матичнил наук

Льв i в Н№

Робота виконана на кафедр! механжи Льв1вського держушвер оитету I.Франка.

Н а у к о в и й кер I вин к:

кандидат ф!зико-математичних наук, доцент Галазюк В.А.

О ф I ц ! й н I о п о н в и т н: доктор ф1зико-математ»чних наук Хай М.В. доктор $1зико-математичних наук Ленюк МЛ1.

II р о с I д н а о р г а и 1 8 а ц 1 я: 1нотитут механпш ПАИ УкраУни

Эахнот днеортацП втдбудетъся " ЗЪ " ясо&гул' 1995 р. 0 /5"^ год. на зас1данн1 опец1ал1оовано1 ради Д 04.17.01 при 1нотитут1 прикладных проблем механ5ки 1 математики 1м. Я.С.Шдотрпгача НАМ Укра'шн за здресою:290053, м.)1ьв5п, пул. Наукова, З-б .

3 дисертац!ею можна ознайомитиея в б1бл1отец1 1ППММ (м.Льв1в, вул. Наукова, З-б) .

Вьчгук на автореферат просимо надоилати оа адреоою: Я90ШЗ, м.Льв1в, вул. Наукова, З-б, 1ППММ, Вченому секретарю опец1ал13овано1 ради.

Автореферат роз ¡слано " &р>еск<Я 1995 р.

Вчений секретар спеицалхзованси ради кандидат фтико -математичних наук

Шевчук П.Р.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБО'ГИ

Актуалы-псть теми. Аналттичне вивчення процео!в теплопро-йдноот! та ф1зико мехашчни.ч явищ, що Ух супроводжують е одним у )оновннч роздиав оучасних лнженерних дослоджень-------------------------------------------

Заетооування клаоичних аналггичних метод¡в д« розь"яаування !здач теилопров1дноит1 1 термипружшот 'I одержало зиачтш розвнток (авдяки ирацям вггчизпчних та иаруМжних ьчышл' В.Т.Гржченка, '.Карол^у, А.Д.Ковал^нка, М.М.Коляно, А.АЛикова, 1 .А.Мотовило« В.Нов.-ш.ького, Г.Паркуоа, Я.Н.ГНдетригача, 1.Снеддона та 1м.

РозроопЛ (.нк-лпалыюги математичиого апарату для знаходженнч озв"язк!в задач термопружност 1 у випадку неканон5чннх областей, складнених тгшпч.-ш.инх р!сняггь та граничних умов прноц'ячел1 оботи К.М.КарташоЕй, Г.С.Юта, Ю.М.Коляш, 8.Д. Куб«нка, М.П.Ле-нжа, М.Д.Мартиненка, Я.С.ГИдотригача, А.Ф.Улотка, М.В.Хая та Ух

ЧН1В.

Математнчне моделювання та досл!дження процео1В хои1нгуван д, наплавки, шл!фування, 1мпульсно'У технолог! I поверхневого «¡цнення, вивчення питань, пов'язаних з п!двищенням експлуата-¡йних характеристик радхоелектронних та оптичних приладов, >олЬгженн1М залишкових напру,тень при яварц! з викорнотанням Но-5редньмГО 1 оупроводжуючог... гндптлву та охолодження вводиться > постановки ! розв'ян^ння змшаних крайових задач теплопровод-к;т I I термопружност ].

Дос-лгдженнм стат'онарних задач такого клаиу знаИшло свое В1 'браження в працях И.А.Александрова, Д.В.Грилщького, В.Т.Тропинка, I.А.Мотовнловця, 0.В.Побережного, А.Ф.Ул1тка, Я.С.Уфлянда, В.Хая та ¡нших вчених. Проте розв"язк1в нестацшнзрннх змшаних дач навиъ для найпроотоших областей в Л1тератур1 практично маз, в основному, внаол!док значних математнчннх труднощов, що никають при застооуьатп клаоичного методу математично'У ф!эики ¡1 ¡¿игрального неретворення Лапласа. В ив"яаку а цим розробка ективноУ методики розв"язання змшаних початково-крайових задач я днфернц1альних ровнянь в чаотковнх гюхчднпх параболочного чи пербмлочного типу <; окладною I актуальною проблемою матема--шо'У ф!г»ики 1, зокрсма, термопружноот I.

Мета дано У роботи полягае в отворопн} ун!версальноУ методики зи"язаннч змшаних початково-крайових задач для диференцоалмжх

р}внянь в чаетинних гешдних другого порядку, що допускають застооування метод1в розд1лення змЫних; побудов1 та дослуженыI розв"язк!в двом!рних нестащонарних змшаних задач теплопров1д-ност1 для т Iл з плоско-паралельними границами та цилшдра I в!длов1дних квазштатичних задач термопружноот!.

Загальна методика виконання досл1лжень. При розробщ методики розв"язування зм1шаних задач термомехан!ки в основному викориотано метод пол1Ном1в Чебишева-Лагерра, жтегральш перетворення Фур"о } Ханкеля та теорт спещальних функций.

Наукова новизна роботи полягае в настугшому:

1. Розроблено методику розв"язання початково-крайових задач з} змшаними крайовими умовами для телеграфного р1вняння. В рамках ц!еУ методики проведено теоретична обгрунтовання введеного в метод пол!ном1в Чебишева-Лагерра масштабного множника, досл{джено трикутн! посл!довност1 безмежних систем лМйних алгебра'/чних р!внянь; обгрунтовано зб1жн!сть методу редукц! I, що застосовуеть-ся при знаходженн} Ух розв"язку.

2. На оонов! розробленоI методики вперше знайдено I дослужено розв"язки нестац!онарних зм!шаних задач теплопровщюст1 та в!дпов!дних кваз!отатиуних задач термопружноотI для плоско-паралельного шару, омуги 1 цил!ндра.

При розгляд! такого клаоу задач досл1джено вплив неоднор^д-ност! теплообм!ну на розпод1л теМператури, напружень I перемщень в нап!вбезмежних т!лах п1д чао перех1дного процесу.

Доотов}рн^оть отриманих результат1в забезпечувтьоя: ч1тким I поол1довним ваотооуванням математичних методов; узгодженням результат!в для деяких чаоткових } граничних випадк1в з в^домими розв"шками.

Практична ц!нн}сть.Результат» проведених в диоертащйшн робот 1 дсол!джень можуть знайти застосуван; при розрахунку температурного та напружено-деформованого ста:,»а в деталях машин 1 елементах конструкции при 1'х механ!чн1й чи терм1чн1й обробц!, при досл1дженн! неотац1онарних задач термопружноот! для т!л з •тр1щинами, в механ1ц! контактно! взаемодII, при розгляд1 задач дифракцП' та розповоюдження електромагнНних хвипь.

Апробаи1я роботи. Окрем! результати дослгджень по теьи дисертац!йно* роботи допов{далиоь на наукових конференциях професорсько-викладацького окладу Льв1воького держушверситету

C1991 -1994 p.p.), на 3-1й Всесошн!й конференц!У з механ!ки неоднор1дних структур (Льв!в, 1991 р.), на Рег1ональн1й конференцГУ з динам1чннх задач механ1ки сушльного середовища (Краснодар, -№2 р.), на I -му ЬПжнародному симпоз1ум1 укра'Унських iH-ienepiB-MoyanmiB у Львов! С 1993 р.).

Дисертац1йна робота в щлому обговорювалэсь на науковому семжар! кафедрн механши Льв!вського д<зржун!верситету, на науковому cftMinapi В1дд!лу термомехан!ки 1ППММ АН УкраУни, на науковому ceMinapi в1дд!лу Tcopi't коливань !нституту механ!ки НАН УкраУни, на науковому срм!нар! кафедри диференц!альних р!внянь Черн!вецького держун!верситету гм.Ю.Федьковнча.

Публ шац!Т. За матер1алами дисертац!йноУ роботи опубл!ковано о 1м наукових праць.

Структура i об"см роботи. Дисертац1йна робота складаетьоя 1з вступу, трьох глав, п!дсумк!в, списку цитовано'У л!тератури, додатку i викладена на 150 сторгнках машинописного тексту, вклю-чаючи 40 рисунк!в та дв! таблиц!.

3MICT РОБОТИ

У вступi наведено огляд роб!Т по тем! дисертац!У, обгрунто-вано важлив1сть ! актуальн!сть вибраноУ теми, Формулюються оонов-ni результат«, що виносяться на захист.

В порций глав!, що носить допом!жний характер, викладено М'-тод нркласичного розщеплення векторного р1вняння кваз!статикн •гермопружного середовища в загальн1й цил!ндрнчн!й систем! координат при наявност1 вектора масових сил дов!льноУ природи. В якост i ключових функц!й вибрано об"емну деформацт в , нормальна передПщення w та компоненту вектора кручения . В терм!нах ключових функц1й одержано три р!вняння Пуассона, 1 тим самим показано, ¡цо запропоноване розщеплення не п!двищуо порядку вих1д-но'У системи диферёнщальних р!внянь i не зб!льшуе чиола шуканих функц!й. Дал! запропоновано споо!б визначення компонент вектора пружного перем!щення за в!домими ключовими функц!ями. В терм!нах цих функций формулюоться перша та друга основц! задач! квазтстатичноУ термопружност! для плоско-паралельного шару. В к^нцг главк розглядаеться тестова осесиметрична нестац!онарна задача. TeanonpoBiflHocTi про нагр!в шару з плоско-паралельними

границями шляхом конвективного теплообмену:

вааТ + а"1даТ + в£уТ = V í Т(а.у.О) = 0 ,

- Bi(T - Тс) = О при У = О ; &у'Е = О при У = 1 ,

де Т(а,у,т) - нев1дома температура, а = £ , у = £ - безрозлпрш • i • • öfc SMiHHi цил1ндрично1 системи координат, т = -п - бёзрозмгрний чао

ir

(критер 1Й Фуре), h - товщина шару, s — коефщ1онт темпера-TyponpoBiflHooTi, t - час, Bi = - критер!й Bio, * - коеф!щент

теплов1ддач; з гюверхн! У = О , хт - коеф1щент теплопро-BiflHocTÍ, Тс - TÄexp(-a2)S+(г) - температура оточуючого еередо-вища, Тж - температура в центр1 пятна пагрiву (°С), S+(r) -аоиметрична одинична Функция Хев1сайда.

За допомогою жтегральних перетворень Лапласа i Хамкеля розв"язок задачг одержано у вигляд1:

di ехр (-^/ч/tint uv/;

Т(а,у,т) = — г -с— Jn(?a)de

2 J fsh<e) + Bich(f > и' О 1 >

В1 7 exp(-fc/4>ch(f (1-У))

) + Bich(f)]

, exp<-f¿t - a2(4t+1)"1) ZBi) с (у) -S-*

n=1 i iM

1) с (y) -s-:-dt , ([)

n J 4t+1

Де

fí coa(fJ (1-y)) С (y) = n n

(1+Bi)sln(fn) + ^ncos(fn)

а - корен! трансцендентного р^вняння ctg(^) = В1~V .

В лругШ глав! викладено методику розв"язування початково-крайових задач 31 змшаними крайовими умовамй для телеграфного р!вняння, який базусться на методI полIном¡в Чебишева-Лагерра.

Па початку глави досшджусться вплив спецiajit.no введеного параметру на поточкову зб1жн!сть ряд Iв Фур"о певного клаоу функцЬТ за пол!номами Чебишева-Лагерра.

У в!дпов1дн5сть функцП 1(т) , що визначена на ¡нтервал! <0,оо) $ належить клаоу Ь2= 12Ю,а>;Хехр(-хт) ] , ставиться ряд:

со

У~\^<хт) , (2)

коеф1ц1енти як.ого визначаються па формулою:

00

V1 х^'^'(Ш^мнп .

]((-- 1,|(<>г) - уиагал1 н-?н I полжими Ч(-г>ишова Лагерра.

Шляхом ааотооуиашы иЛмоми.-. рекурентши' I* а^шлт/жчннх ^¡р

мул ЛС.КаЬуОТК',), !!(<; ПрИ Напди *.еНН I фуНКЦП Г(т) ПОЛШГ.МЛМИ Пагерра о сираиндливо*« наотупна оц!ш<а:

охр Г> Л

|Г(т) - й о,Г)| ----' (и),

!1 2л (X с)

п

д« Зп(гД) - ) пк!.и(>г), Ига мп> = I) . Й=Т!

Ооклльки величина (хг)"3^ при Хт -> <г, } при хт ■* О

необмежено ароота^., то параметр X цручно було ь викориотовувати як масштабний множник. Пром^жок [А,В], на якому треба просумувати ряд розбнваеться на пром^жки [А.с^, [с^.с^],..., [с^В] таким чином, щоб на кожному з них можна було б гпдгбрати таке значения параметра X , при якому виконуватиметься

НорИЧЫоТЬ:

(1.5 V а т 3 , г ^ I- г , >1,2.....111 . Г;п

М цы.му шимдку ма»> мЬ';Цг- на^тунна оцжка:

М(м ) - 0.35 ,

.атому при набднжиш 1 функц'11 полIномами Чебишеьа Пагерра

з заданою точн1стю, можна обойтись меншою кглыистю поол!дов|ШХ

ЧЛИПН |)>1,'!У {?.).

Дши ьнодтч.оч в роагляд гнтегральне перетиорення Чесишева Лагерра ш

*п<?> [й"ХГф(?,т)1г1(Хт)йг , (4)

о

формулой ^'оерн-чиы якы'о служить ■ .ртьгональшш ^яд.

го

'!■(?,!) - х) 1 *|,<?Л11<М> • (5)

п=Й

За допомогою 1нтегрального перетворення (4) початково -крайову задачу для телеграфного р1вняння:

ДФ = а2й^тФ + Ь2атФ + с2Ф вдаетьоя звеоти до поол!довност1 крайових задач:

п-1

ДФП- и2Фп= -а2у -|а2(т-1 )+Ь2]и +^[хгаг(п-ш+1 )+хь^Фю. п=-0,1,...

кй ' (6)

де Д - оператор Лапласа в вибрашй систем1 координат, и = Ф(?,0), V = ¿>ТФ(?,0), ог = хга2+хьг+сг , а сума в правнч частиш при п=0 вважаеться р!вною нулю. Сл1д зазначити, що одержана система ди$еренц!альних р1внянь для кожного фжсоваиого п е такою, що пвняння з {ндексом п=0 метить в правей частин1 лише зада!п функцн, а дал!, з ростом шдекса п сл1дують р^вняння, в праву частику яких входять розв"язки попереджх р1внянь. Тому таку систему диференщальних р!внянь зручно називати трикутною поол1Дов»1Стю неоднор1дних р1внянь Гельмгольца з чисто у мшим параметром. В глав! показано, що загальний розв"язок послгдовно-ст1 (6) можна подати у вигляд1 : п

Фп<?> = ^ + Вп-Л^] + Фп(?> •

де Фд<?> - частковий розв"язок посл!довност1 (6) при в^мшних в1д нуля функиДях и(?) 1 V(?> , \ В^ - дов^лып стал!, а 3 - л!н1йно-незалежна послгдовн1сть фундаменталышх

розв"язк1В оистеми (6): Для одном!рного випадку в декартовМ I цил5ндричн1й системах координат так1 фундаменталенI розв"язки побудован! за допомогою методу невизначених коефщхетчв. СЛ1Д зазначити, що част/овий розв"язок посл1довност1 (6) при в1дм!нних В1Д нуля значениях и(?) 1 бу;.у тьоя традицШними методами I процедура його знаходження не викликае принципових труднощ!в.

В наотупних параграфах на основ} теорп ряд¡в Неймана шукаетьоя та доол1джуеться розв"язок парних 1нтегральних р!вняиь. Запропонований п!дх1д дозволяв, в кпщевому рахунку, звеоти задачу до безмежно'1 оистеми лппйних алгебра пших р1внянь. У найпроот1ших випадках можна знайти точний ровв'язок таких систем,

за допомогою якого легко одержуються в¡дом! формули обернення нч| "и-.- ¡чт^гральшг' ртвнянь.

•'»"•и и°кн1'х. значениях вх1дних параметр!в розо"даок парних -?(ггтряльниу-р|внянь -на .лшп.роадыу. мо*о маги Ьсгегровану особ-оивгстч.. |! ! г»-г«| п...-тми", ялик' функцГ;, що квауантоя гшрнйх" ¿нтегральних ршышыл уздшшими, внбирати г? пепиог» к.;»су, то цч оо.ч-лнвкп». .-та»; усупною. Як приклад ропгл'тдастьоя от«ц!онарня о^еспм':''!'! ими 1 задача тсплопроигдноот\ я! вм!такими крайовими г-м^рчми 1-11 ролу.

'Л!,'|(>'.'П"Н''оа!м методика уин'альн^'тюя на трикутн! поол!-довност 1 парнйх жтегральних р1внянь, що виникають при. розв'я-оумяин! "адпч я? г>ч!таними коайовими умовами за

допомогою птч'ральнигс поретпсрення Чебии^мя-Лагьрра. Розв"язок посл1довност1 парнйх ¡нтегралышх р1внянь:

11. П СО

о ^ о

О £ Р < 1 (7)

со

[гц(г ).Т|,(1"Р)С1Г - п . Р > 1 , П=0,1 ,... (8)

? '!'<■?, г .. I , ~ ! |> > I ,

;;<■ Г (С >. ). (С) задан I функции а сума в прапЫ частим!

гЛпнг/.;т1 Г/) рш;а нулю при и * О , подаст |>с я у вигпчдт ряду ¡к'Пччно:

'Г?

гп« ) = е врРк <с > , - п - о. 1,...

(! - Р/?

Р1вняння (8) при цьому задов{льнястьоя тотожньо при довЬ1ьних

кое<$Щ1ентах розкладу, а сам! коефщ!снти визначаються за

до пометою IюолIдот!оотI 6«!»ма*ни* систем лМйних алгебраУчних

р1внянь: 1

^ ' У = <=£ • * <9>

!ггг}

де

-ю-

5 - ай<2» + И)

-1/2

О

£ ^^

п .1= '

тело

«П<г> = {рвп^р)-7,;

(1р)с1р

о

В к!нц) глаяи доводиться така теорема:

Нехай напереррш на пром^жку 10,») функцп П I Г^С^Ш ^=1,2,...) педуть себе при ио , як де >• > -(2/зн>+2) } оамикають на безмежност! як , де ч > 1 , а функц51 в^Р)

1 вр8п(Р) » (п=0,1,2,...) а обмеженими на пром'жку 10,1). Тод1 ¡)сзв"язок посл!довност1 безмежних систем лиийних алгебра'Учних р!внянь (9) можна знайти методом редукци.

В трот¡и глав? на основ 1 розроблено'У методики досл1джуються ггерех1ДН1 процеси в нагпвбезмежних термопрулших тмлах при наявност! зм!ианих граничних умов.»

На початку глави розглядаеться нестационарна осесиметрична задача теплопрорлдност! плоско-паралельного шару товщини 11 , на одн1й з поверхонь якого Д1е тепловий потIк, обумовлений зовншнш длерелом потужиостI q 1 теплообмшом з кусково-пост¡йним коеф}-ц!ентом тепл0в1ддач1. При зроблених припущеннях температурив поле в т!л! визначаетьоя розв"язком зм^ианоI початково-крайовоУ задач! для р}вняння нестацшнарно.У теплопровIдност \ при нульов1й початков¡й температур! I крайових умовах вигляду:

КТ - В12[Т - Т° ] = - ц* , У = О

о Т

г

В1.

[т -. т° )

Ч Г ■ ^С а Т + ВКТ - т£)

- а

У = о

Де

Р-%

У = 2/с

•л .

р! г Б1о на поверхш У - О

= Р at

У = )1/Н

/п2

В1.

р < 1 ; Р > 1 ;

5 р < а> .

, (1-1,2) - крите-

в5дпов1Дно в кру^ч рад!уса П та

О

-lí-

soBHi його, Bi = - критер!й Bio на поверхн! У = h/n .

т "

Я-i лппомогою штегральннх перетворень Чебишева-Лагерра по

чаооНй i Ханк^ля но рад[алынй змпших розв'язок вих^дноУ задач' _инаидено_у__вш'ляд1

M ,г.

п~П j.-Пп - (jo)

Тут i; <<• ,у) i fj(f ,) jihtififio незалежнi фундамента.)!ьнi розв'яч-»'.и ; ¿ii-.y и- ■ .':î;!'4'.!!ootî япичаПних ,п1!ф°ренц!альннх р!внянь:

п- 1

•irfП - <х + <2>*п - х Г • I1=0'1'2'

огриман1 у вигляд i :

де Bj k(Ç) одержуються з рекурентних сгИввЁдношень:

J 3-1

ßj.i^t = 0.5<ez+\) 2(pf1)-1{(p+1>(pf2)a;Jipf2 - ^YjV.p} .

l./nv.nih¡} j(i') i Bfl j(Ç) при зад^воленнi змшаних крайових VM'-'H mvK.ai-л'['С-i, в ;<шцевому рахунку, na догочиогою безмежним снат'.-м лппини.-: алг^браУчних рiвнянь виду (,?). На oohobí теореми, >,'6"РМУЛ1.'>В.Ч|(0,1 i доведено i в друг!й глав!, проводиться обгрунту •• (Ч1ННЧ :я.!т.ьегг! методу р<.>дукц!Ï, що пропонуеться для розв"язання так;!' си.>т«'М. Г» одержано го рояв"язку, шляхом граничного переходу гчц.'«йл*-и<* p''!4h"'.ï<kh н^етацтпнарни.ч задач топлопров!дностi з! зм1-шаними крайовими умовами IÏ-III та I-IJi род1в, а також в!дпов!д-нну 1-т..цк>н.'>рни« г<ндач. На основ? числопого аналгзу доол!джуеться ¡■ira i-; л i-.. í *jm i ни K'4'<t»iui'-'HT;i тепловишач! на перех^дний процес в шар i. При Bi^ Big, Bi = О, h/H = 1, q = О, Тс = = Тжехр(-а2)5+(т) вих1дна початково-крайова задача стае !дентич-nór> д" «адачт, розв'язаноУ в riepiuiii глав i за допомогою !нтеграль-ного !|.>|»*ткор»нн<1 Лапласа. При вказаних значениях bxí-дних параметр i в Суло ардеедсно ,пор!вняння класичного розв'язку (I) о роз-в'Ччком у вигляд1 ряду за пол'шомами Чебишева-Лагерра (10). Рисвилось, ни при утриманн! 20 членов ряду (10) в^дносна похибка

м!ж ро1-т"язками не перевищуе 2%, а при утримайнг 30 член in ряду -0.2% .

В наступному параграф! досл!джусться напружено-деформований стан, обумовлений температурним полем (10), в припущены!, що пиверхня тару, до проходить HarpiB, в1льна в!д зовншнього напан-таяення, а пша пов'.фхня спаяна з жорсткою основою. Одержано жтегрольн! представления для нормального перемещения w(a,y,T) i об'емного рсзширення о(а,у,г), за допомогою яких визначаэться напружено-деформований стаи пару. Числовий анализ задач! проведено для випадк!в, коли в задач! теплопров1дност1 мають «¡сце зм пианi крайов! умови III та I-III роду.

В § 3.3 ровглядаеться плоска змтана кпаз¡статична задача термопружност! для смуги, на одни"! з поверхонь яко'У знаходиться тонка накладка, через яку в^дбуваеться тепловид1лення. Вва-жаеться, що накладка е абсолютно жорсткою на розтяг i не чинить опору на згин. На обох поверхнях смуги в!дбуваеться конвектив-ний тепл.юбмж, причому передбачаеться, що наявтсть накладки приводить до локально! змiни к.оефщ^ента теплов!ддач! на поверхн! смути. В так!й постанови,! змшан! крайов1 умови мають Micu,e, як в задач! теплопров!дноот1, так i в задач! термопружност!. За допомогою ¡нтегральних перетворень, Чебишева-Лагерра по часов!й i соз-перетвореня Фур"е за просторовою зм!нною з використанням методики, розроблено! в друг!й глав!, задача зводиться до двох посл!довностей безмежних систем л!н!йних алгебра'/чних р1внянь. Нов¡дом! контактнi напруження гид накладкою, при цьому, подано у вигляд! подв!йного ортогонального ряду да полжомами Чебишеча-Лагерра та пол!номами Чебишева 1-го роду:

со со

v(d'r> = - VXT>y~" <_1 )kak Т2КИ (а)

n^J R^O

В к!нц! глави розглядаеться нестационарна задача теплопро-BiflHocTi та в!дпов!дна кваз^статична задача термопружност! для довгого цилждра рад!уса R при наявност! на його <5!чнiй поверхн! зм!шаних крайових умов III роду . Як i в nonepeflnix випадках, температурне поле в цшпндр1 знайдено у вигляд! ортогонального ряду за полшомами Чебишева-Лагерра:

g OD П t»

Т(р.у.г) = X - 3 fAn.1(ï)G1(p,e>coa(C/)de ,

л foi fcrt n j _

----------------G-•(,o;Ç-)---y-Vn- -(?>rJ)T,----------------------------------

« Z » i! I1

p -lî

1 , , V ' -----

J(,.tl(n -- - (r't>)",/r фП) uH ^(ï); ----; p-n.j 1

ft ¡Í

iii^:

+ .^'тЛН^' i" 1-п

n«' -.......----^

B1

il -4

- } An-,1(Ç)lG3in'0 * В11«ЛИ] * Ü«>} ,

>

= , y = - 6eßp08M)pHi 3MÍHHÍ ЦИЛ1НДрИЧН01 CHOTéMIf

at 3íi

зординат, г = Fo = - критерш Фур"е, Bi. . = d у , (i=2,1)-

т

эитери Bio на поверхн! p = R , BiflnoBifluo в К1льщ ширини 2d та )Eiii" нього, - модиф1кован! функцп Веселя порядку i\

i^Subnmt iifî , nf.it щ/»му г>а допимоп<к> трикупю!

к

и.'.ц;дчвпч; ч" í neisMc'Viui' оиочч-м лИПйних алг^братчни/. ртнят. Ч'руптогул'тьая ¡;t.H i(МЧ-. м-яЧ'Ду родукцГ/» якин аастосгвусться до •!1|;"<Г1.чнмч тпки ' П1-" ■ h i д< 'ЬН'.н.'Т ей II.) (-...-нов! MiMJKiiwrw анализ м л г длено hiiiiiih ÍH44'H"HHH<K!T i <¡>.uj?í .джешы в полпот i iiarpluy т„ та! Hei на тчмноратурний i напру л<-'Ни-деформонаний OTai, ипидр-а.

В заклмчонщ' с<$ормульоваи{ основы i рену.т.гати та виановки а юертацЗйно'г роботи.

•'( МчТ'>н"> -шрооацп aanpui'ioHubaiMï ь другIй глши методики iió il «пни* початков,)-Kpaiiaiîn;s «ндачах для хьи.пижого piBunmm ь датку приводиться розв"язок- неотац1онарноУ задач! про дифракц!ю iockoï акуотично'1 хвил! на кусково-однорiдному екрани

UCIICBII1 (-'ЕЗУЛЬТАТИ ЮВУШ

1. Гоьробл^ни .мегодику роаа'я^ання початкоьо-крайових аадач амшаннми краиовимл умавами для телш'рафнчГо pimomim. В рам-

ках niei методики:

- дослужено поточкову збожность рядов за полпюмами Чебишева-Лагерра з параметром ^ ; виявлено, що при наближенно функций пол1номами Чебишева-Лагерра з заданою точтотю цей параметр слод використовувати в якосто масштабного множника, який дозволяв опч'им!зувати оумування ряду на розних ¡нтервалах;

- побудовано некласичний розв"язок парних онтегральних р1внянь; досл!джено його поведжку в около лiнi i роздолу крайових умов;

- доол!джено трикутн i посл1довност! безмежних систем лппиних алг^браочних р!внянь; обгрунтовано збожопсть методу редукцп, що застосовуетьоя при знаходжеши ix розв"язку.

2. 3 викориотанням запропоновано'о методики знайдено розв"яз-ки нестацоонарних змшаних задач теплопроводноото та водповодних квазостатичних задач термопружносто, що мають оамостойний in'repec:

а) Знайдено та доолоджено осесиметричне нестацюнарне темпера-турне поле в плоско-паралельному шарi при змшаних крайових умовах III роду та напружено-деформовний стан в шар о, обумовлений цим температурним полем; пор1вняння результатов, одержаних в частковому випадку (в{дсутн1сть змшаних крайових умов) з клаоичним розв"язком виявило хорошу збожность залронованого методу. Результати числового аналозу проведеного для випадку зм!шаних крайових умов оводчать, що тривалость переходного процеоу значно зменшуетьоя 3i зб падениям жтенсивносто охолодження як в облает i п"ятна нао'рову так i зовн i не о. Кром того, на pieeHb напружень в системо шар-основа значний вплив мае параметр, що характеризуе в1дношення товщини шару до радиусу л1н'П роздолу крайовйх умов. У випадку задания в задачо теплопров!дноот1 зм!шаних крайових умов I-111-го роду виявлено, що рад¡алый напруження поблизу зони нагрову набувають максимального значення на початку переходного (процесу о, падало, з часом зменшуються. "

б) Знайдэно та доол!джено розв"язок квазостатичноо амшаноо задач! термопружноотi для омуги з тонкою телловидоляючою накладкою. На основ! числового аналозу задач! .установлено, що основний вплив на температурив поле в cnyai, три'валость переходного процесу та коефоцоент штенсивыоотi напружень на Jiiio5Y розд!лу крайових умов мають 'умови теплообмону в облает о дп

накладки.

в) дослужено розв"язок осесиметрично'1 неотац!онарно¥ задач! т епл' 'Прив iдноет i та В1ДП0В1ДН01 кваз!статично1 задач! термо-пружност! для довгого цил!ндра при локальнгй зм!н! кое$1ц!енту

~ теп лов! д дач i йо "го~~ б I чно':' поверхн!. В результат} ~ проведених-------------

доол!джонь кияилено, що збкчыиення !нтенсивноот1 теплов1ддачг з яонй нагртву суттево скорочуб ,чао виходу на стац!онарне значения як температурного поля так ! напружень, а у випадку конвективного Harpiey приводить до того, ¡до К1льцев1 напруження в цилшдр!, отримують максимум гид чао перех1дного процесу.

С;пд зазначиги, що запропонований метод woже бути ефектнвно викориотаний при дослгдженн! широкого клаоу зм!шаних задач математично i ф1зики.

Аннотация

С помощью метода полиномов Чебышева-Лагерра разработана методика решения начально-краевых задач для линейных дифференциальных уравнений в частных производных при наявнооти смешанных краевых условий. Рассматривается вопрос сходимости чиолового процесса.

На основе разработанной методики исследуется переходное термоупругое состояние плоско-параллельного слоя, полосы и длинного цилиндра при смешанных уоловиях нагрева.

Abstract

The r»othods оГ solution of the initial-boundary problems for the linear differencial equations in the partial derivatives with mixed boundary conditions has been elaborated by means of Chebyshev-Leguerre polynomials. The proble® of convergence of the numerical process is considered.

On the base of elaborated methods the transient thermoelastic state in the layer, strip and in the long cylinder with mixed conditions of heating is Investigated.

Ключов1 олова: Перех!дний термонапружений стан, змшан! умо-ви Harpiey, трикутна поол^довшсть систем лш1йних алгебра'1'чних р!внянь, ряд за полгномами Чебишева-Лагерра.

Ооновнi результат» дисертац!У опубликован! в роботах

1. Галазюк В.А., Турчин I.M. Метод пол!ном!в Чебишева-Лагерра в початково-крайових задачах 3i зм!шанимн крайовими умовами для телеграфного р!вняння. - Доп. АН УкраУни, 1993, F I, с. 23-27.

2. Галазюк В.А., Турчин I.M. Метод полиномов Чебышева-Лагерра и разрывных интегралов Вебера-Шафхейтлина-Фурье в задачах квазистатической термоупругости для тел с тонкими неоднородными включениями. - В кн.: II 1-я Всесоюзн. конф. по механике неоднородных структур.: Тезисы докладов, 1991, ч.1, с. 65.

3. Галазюк В.А., Турчин I.M. Досл!дження температурних пол¡в та залишкових напружень в систем! покриття-основа при локальному температурному напиленнь- В кн: 1-й можнародний симпоз1ум укра'Унських н1женер1'в-механ!к1В у ЛьвовЬ 'Гези доповодей, Льв1в, 1993, с.52-53.

4. Галазюк В.А., Турчин I.M. Решение нестационарных смешаных задач термоупругости для полуограниченых тел методом полиномов Чебышева-Лагерра.- В- кн.: Динамические задачи механики оплошной среды ...: Материалы докладов региональной конференции.- Краснодар, 1992, с.34.

5. Галазюк В.А., Турчин I.M. РозйГ'язок осесиметричног нестац!о-нарно'У задач! теплопровгдност! плоско-паралельного шару при локальн!й змж! коеф!ц!енту теплов!ддач1. - Деп. в ДНТБ УкраУни. 2.02.1995 р., деп. Г 172.

В. Турчин I.M. Неотац!онарне температурне поле в смуз! при змша-них крайових умовах III-го роду. - Деп. в ДНТБ УкраУни, 2.02.1995, деп. 1Р 173.

7. Галазюк В.А., Турчин I.M. Нестац!онарний процес розс!яння плоско'У хвилi тиску на жорсткому екран! з пружним включениям.-В кн.: Моделирование и исследование устойчивости систем.: Материалы конференции, Киев, 1994, с.45.