Математичнi моделi i наближенi методи розв'язування нелiнiйних проблем термопружностi тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

РГ6 од

нащональна академш наук укрлши - 5 ИЮН 1885 шститут математики

На правах рукопису КОМАРОВ Геннадш Миколайович

МАТЕМАТИЧН1 МОДЕЛ1 I НАБЛИЖЕН1 МЕТОДИ

РОЗВ'ЯЗУВАННЯ НЕЛ1Н1ЙНИХ ПРОБЛЕМ ТЕРМОПРУ ЖНОСТ1

01.01.03 — матенатична фишка Автореферат

дисертаци на одобуття наукового ступеня доктора ф 1о нко- мат е матичних наук

КиТв 1995

Дисертац1ею е рукогао

Робота виконана у в!дд1л! математично! ф!зики та теорП нел1-н1йних коливань Ысгитуту математики Нац!ональю1 Академ! I Наук УкраТни

Науховай консультант - доктор ф!зико-математичних наук, професор

ЕЕРЕЗОВСЫШ A.A.

0ф1Щйн1 опонанти! - доктор ф1зико-матвматичнга наук, профэоор

СЕЛК308 I.T.

- доктор ф1зико-мат9матичних наук, профеоор КАРНАУХОВ В.Г.

- доктор ф1зшсо-математичних наук, професор ЛЕНЕК М.П.

Пров1два установа - КШвськнА ун1вврситвт 1м. Тараса Ве вгсанка

Загист дисертацП в1дбудеться "¿Q" чл^ 1995 режу

о f годин! на зао!данн1 спец!ал!зовано1 рада Д.01.66.02 при 1нститут1 математики HAH УкраТня за адресов: 25260Г Ки!в - 4, вул. Терещенк1вська, 3. •

3 дис9ртад1ею можна ознайомитись в б!бл!отец1 1нституту.

Автореферат роз!сланий myfß_" jpg ¿У.Л995 р.

фазов! перетворвння 1 перевипром!нювання теплота на вгнутих поверх-нях, а такох 1х р1зн1 спрощення, пов'язан! з спец!альними усереднен-нями температурного Поля по- товщин! шар!в з високою тешюпров1да1стю 1 переходом до задач в!дносно поверхонь р!вня. Методом 1нтегральних р!внянь за допомогою функц!й Гр1на для л!н1йиого оператора задач т8плопров1даост1 зд!йснено перех1д до екв!валентних нел!н1йних !н-тегральних постановок задач. Отримана вагова функц!я 1 друга формула Гр1на для неузгодкеного з крайовими умовами 1 умовами спряжения оператора р!вняння теплопров1дност1. Побудована функц!я Гр1на у вигляд! бШн!йного ряду по власних функц!ях спектральних задач з параметром ян в крайових умовах, так 1 в умовах спряжения. Встановлена узагаль-нена ортогональность I повнота системи власних функц!й таких спект-ральних задач. Досл!дження конкретних, вакливих для практики задач складного теплообм1ну, проведено методом екв!валентно! л1неаризац11, 1де1 якого започаткован! в роботах Л.С.ЛейОензона, М.М.Крилова, М.М.Боголюбова, Ю.О.Митропольського, а також методами дискретизацП по часу (Роте) 1 нел!н!йних 1нтегральних р!внянь.

Проведено досл!дження ф!зично нел!н!йних задач термопрухност! осесимвтрично деформованого багатошарового цшиндра. Виведено нел!-н!йн! р!вняння р!вноваги 1 розроблено 1терац!йн! метода 1х розв'я-зування (А.АЛльшина, 1.А.Б1ргера) в поеднанн! з методом Папковича-Нейбера.Отримано точний розв'язок одн!е! модельно! задач! термопру*-ност! иаруватого цилШра 1з ф1зично нел!н1йного матер!алу. Виконана чисельно-анал!тична реал!зац!я визначення термонапрукеного стану двоиарового цилШра .

На основ! вар!ац!йного п!дходу одержан! геомэтрично I ф!зично нел!н1йн! р!вняння р!вноваги 1 руху осесичетрично деформоваютх . довШяих 1 пологих о болонок оСертання для р!?них визкачалытах

ц!й. Отриман! нов! по постанови! динам1чн! задач! термопрукност!, в тому числ! з приеднаними масами. Зд!йснено перех!д в!д крайових задач для систем нел!н!йних даференц!альних р!внянь до систем екв!ва-лентних навантажених !нтегральних р!внянь типу Гаммерштейна.

Зд1йснено ск!нченновим!рну апроксимац!ю розв'язк!в нел!н!йних задач термопружност! дов!льних 1 пологих оболонок обертання в вар!а-ц!йн!й 1 1нтегральн!й постановках, яка грунтуеться на використанн! Ф1н1тних Оазисних функд!й. У випадку вар1ац!йних постановок отримано трид!агональн! системи алгебра!чних р!внянь в!дносно вузлових зна-чень шуканих функц!й, а для !нтегральних - повн! системи нвл!н1йних алгебраГчних р!внянь в!днасно оервдн!х значень шуканих функц!й на !нтервалах розбиття в!др!зка. Розглянуто питания побудови 0!льш гладких апроксимац!й шуканих розв'язк1в,

Наукова 1 практична ц1нн1сть отринаних результат!^. Досл!дкен-ня в облает! математичного моделювшшя нел!н1йних проблем термопрух-ност! стимулюеться запитами практики. Нел1н!йний п!дх!д приводить до суттевого ускладнення математичноГ сторони, вимдгае застосування абсолютно ново! математично! !деолог!1 ! принципово нових метод!в. До тепер тут ш !снуе зак!нчених загапьних теор!й ! метод1в.Так1 можуть бути створен! т1льки на основ! широкого анал!зу конкретних задач,по-д1б!шх тим, як! розглядаються в дан!й робот!.

Практична ц!нн!сть проведених в дисертацП досл!джень крайових 1 почоткрво-крайових задач нел!н!йно! термопружност! визначаеться тим внеском, який вони.роблять в розв'язання насущних проблем приро-дознавства. Частину отриманих тут результат!в у вигляд! науково-тех-н!чних зв!т1в, техн!чних !нструкц!й, !нженерних методик розрахунк!в ! сп8ц!ал1зованих програм таких розрахунк!в на ЕОМ упровадкено в практику при виконанн! ряду комплексних програм по проблемах турбо-

> '

маимнобудування в 1н ста туг i ¡«xkhikh HAH Укра1ни t Ки1вському ynt-верситет!.

Достов1рн1сть результатов, отриманих в дасертацМнМ робот!, заснована на строгШ математичн1й постанови! нол1н!Штх задач термо-пружност! 1 застосуванн! при Ix досл!дженн1 теоретично обгрунтовати матод!в.Вона п!дтверджуеться пор!внянням отриманих чисельних розуль-тат!в з експэрименталышми даними.

Апробац1я робота. Основн! положения дисертаЩйно! роботи та Ii окрем! результата допов!дались 1 обговорювались на р!зних наукових парадах, конфэренц1ях, школах 1 сем!нарах. Зокрема на:

- "Научных совещаниях по тепловым напряжениям в элементах конструкций" (м.Канев, II-1962 р., VII-1967 р., IX-1969 р., XIV-1977 р., XV-1960 р.);

- "Республиканских конференциях по аэрогидромеханике, тепло- и мэссотореносу" (м. Ки!в, 1-1968 р., И-196Э р.);

- II Республикански конференцИ "Вычислительная математика в современном научно-техническом прогрессе" (м. Ки1в, 1978 р.);

- "I Всесоюзной конференции по механике неоднородных структур" (М. JlbBtB, 1983 р.);

- Всасоюзних 1 РэспусШканських школах-свм!нарах "Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения" (м. Нальчик, 1989, 1990, 1993 рр.; м. Самарканд, 1991 р.: с. Кацивел!, 1992 р.; м. Терноп1ль, 1994 р.);

- конференцП "Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики-вторые Боголюбовские чтения" (м.Ки1в,1993 р.);

- загально!нститутському сем!нэр1 з механ1ки 1нстатуту мехзн!-ки HAH Укра!ни (м. КиТв, 1983 р., кер!вник - вкадем1к HAH УкрэТш-Гузь O.U.).

В повному об'ем 1 дисертацШю робота оСговоргоалась на семинар! в!дд!лу математично! ф!зики та теорИ нел!н1йних коливань 1нституту математики НАН Укра1ни (м. Ки1в,1995, кер!вник - академ!к Ю.О.Иигро-польський).

Публ1кац11. За матер!алами дисертацИ опубл1ковано 34 друковв-н! прац!. Основн! результата отриман! автором самостШю. Вклад кожного з сп1вевтор1в ч!тко вид!лено в" дисертац!йн!й робот!.

Структура 1 об'ем роботи. Дисертац!йна робота складаеться 1з вступу, п'яти розд!л!в 1 списку л!твратури, який м!стить 102 найме-нування. Загальний об'ем дисертацИ - 300 стор!нок, в тому числ! Б2 рисунки 1 3 таблиц!.

Основной зм1ст робота

В дан!й робот!.розглядаються актуальн! проблеми нел!н1йно1 тер-мопружност!,пов'язан! !з створенням математичних моделей термонапру-женого стану пружного твердого т!ла, розробкою нових ефективних ме-тод!в досл!дження таких моделей, а також з упровадженням отриманих результатов в Тнженерну практику.

У вступ! формулюетъся мета роботи 1 предают досл!дження .охарактеризована вктуальн!сть проблеми 1 II практична ц!нн!сть, визначена структура дисертацИ 1 в анотованому виг ляд! викладено II зм!ст.

ПервиА розд1д мае вступний характер ! м!стить коротку характеристику основних сп!вв1дношень ! р!внянь геометрично 1 ф!зично нел1-

н!йних задач термопружност!. Викладення цочинаеться з розгляду нап-руженого 1 деформовакого стан!в !зотропного пружного т!ла,як! харяк-

теризуютъся симетричними тензорами напружень 1 деформаЩй. Поряд з л!н1йними розглядаються 1 квадратичн! зв'язки деформац!й з першими поИдними компонент вектора перемйцення.

Матер!альн! р!вняння, як! зв'язують тензор напружень з тензором деформац1й, повинн! вибиратися в так!й форм1,яка дозволяла 0 найточ-н1иэ в1добразити т! ф!зичн! властивост!, урахуваняю яких ми надаемо особливого значения, з одного боку,1 як! мають по можливост! найпро-ст!ший вигляд, з другого Соку. ДругМ вимоз!, без сумн1ву, найкраще в1доов!дае закон Гука для малкх деформац!й в тому вигляд!, в'якому в!н використовуеться в класичн!й теорИ пружност!.Якщо користуватись принципом оптимального формулювання закону, то 1 у випадку ф!зично! нэл!н!Яност! на сл!д, якщо цэ мокливо, в!дступати в!д математично зручно! форми закону Гука. Цього можнз досягти при адитивн!й участ! нвл!н!йност9й в загальн!й форм! закону пружност! для малих деформа-ц!й

5 = 2П>0 + 201У - 3йф(б0)00 - 20ы(фо)П' , (1)

де Э - тензор напружень; Ь0 1 С - кульовий ! дев1аторний тензори де-формац!Я; К 1С- модул! об'емного стискання 1 зсуву; ф(е0) 1 ш(Ф0)-функцН в1дпов!дно середнього подовження е0 та !нтенсивност! дефор-мацП зсуву ф0, як! характеризуют ступЫь в!даилення пружних влас-тивостей в!д лШйних.

Виведення основних р!вняяь руху л!н!йноТ 1 нел!н1йно1 термопру-кност! заснованв на закон! Дюгамеля-Нйймана, який сгвердкуе: швнв деформац!я дор!внюе сум! пружно! деформацИ, зв'язано! з напруження-ми в!дпов!дними сп!вв!дношеннями,! чисто теплового розширення, яке е результатом дИ в!домого температурного поля.

У випадку ф1'зично! 1 геометрично! Н9л!н!йностей задач! термо-пружност! зведен! до векторного нел!н!йного диференцХального р!внял-ня з частинними пох!дники, яке мае вигляд

СДй + [К+(1/3)С)8гаИ11л1 = 3Ы^гайТ + ри - Р + Фй, (2)

1 скалярного р!вняння теплопров1дност1

ДГ - ~ Т--. г 0 сНи ц = - ^ , Р(0, 1>0. (3)

аг хг т

Тут и = - вектор перем1щвння; Г - температура т!ла; Р »

• (Х.У.г) - зовнйпня сила, в!даесена до оданиц! маси; о^, - кое-ф!ц1енти л!н!йного теплового розширення 1 тешюпров 1 дност!; с, р -теплоемн1сть 1 густинэ; аг = К/ср - коеф!ц!ент температуропров1дно-ст1; X, ц - стал! Ляме; Т0 - температура т!ла в ненапруканому стан!; и>0 - 1нтенсивн1сть джерела теплоти; Р - точка т!ла О з координатами х, у, г; крапкою позначено диференц1ювання по часу t. Л1вачастика р!вняння (2) - звичайне л1н!йне р!вняння Ляме, а права - кр!м температурного доданку ЗЬ*г£гскЗГ, сил 1нерц11 рй 1 масових.сил ? м!с-тить доданок Фи, де Ф - векторний нвл!н!йний диференц!альний оператор, що д!е на вектор й. Компонента Фи визначавться адитивними не-лШйними доданками узагальненого закону Гула (1) 1 квадрагичними доданками в геометричних зв'язках деформацИ- пох!дн1 компонент вектора перемЩэння.

Для кваз!статичних задач, термопружност!, коли 1нерц1йними членами 1 швидкостями в!дпов1дно в р!вняннях (2) 1 (3) можна знехтува-ти, остання розпадаеться на незалежне скалярне р!вняння теплопров!д-ност! 1 нел1н1йне векторне р!вняння р1вноваги для наступного визна-ченнн вектора перем!щення и

' " ;сди + СЯ+-(1/3)С)£гскИги1 = «гаЗОЯс^ + ®), (4)

де ¿гай « Фи - Р.

Така форма запису дозволяе застосувати 1терац1йн1 метода,зокре-ма метод "пружиих розв'язк!в" А.АЛльппина, 1 звести р!вняння (4) до лшйного на кожн!й 1з 1терац1й, причому ф зам!н»еться його значен-

ням на попервдн!й !терац!Т Ф. Розв'язування л!н!йних р!внянь, в свою чергу, у в!дпов!дност! з методом Папковича-Нейбера зводиться до зна-ходження термопружного потенц!алу Ф

АФ - ЗТРЗС (Зйс^Г + в). (5)

э також ввкгорно1 В 1 скалярно! В0 гэрмон!чних фунхц!й

ЛВ «О, АВ0 = 0. (6)

На кожн1й !з 1тврац!й розв'язок й визначаеться сумою частинного 1 загального розв*язк!в в1дпов!дного (4) л!н!йного р!вняння -

и = вгос» + 4(1-У)В - 8Г0Й(Й.? + В0), (7)

де V - коефОДент Пуассона, г - рад!ус-вектор. Функц!ональну дов!ль» н!сть, що мЮтаться в гармон!чних функц!ях, можна ефективно викорис-товувати при задоволенн! крайових умов.

Поряд з методом А.АЛльюшина для розв'язування р!внянь кваз!-статично! термопружност! застосовуються такой !терац!йн! метода "змйших параметр!в"А.А.Б1ргера. Однак.в пор!внянн! з методом "пруж-яих розв,язк!в",тут виникають додатков! трудаощ!, пов'яоан! э! эм!н-н1стю коеф1ц1ент1в в л!н!йних диференц!альних р!вняннях ! крайових умовах. Зокрема, в цьому випадку неможливо застосувати метод Папковича-Нейбера .

Як уже зазначалося.для кваз1статичшпс задач термопружност! виз-начення температурного поля Т(РД) являе собою незалежну задачу, за допомогою яко1 в подальшому визначаеться термопружний стан пружного т!ла. В цьому план!.-задача твалопров1даост! е одн!ею 1з задач мате-матичноТ ф!зкки ! мае самост!йне значения. Тому в другому роздШ розглядаються чисто температурн! аспекта задач термопружност!.Розд1л м!стить коротку характеристику задач тешюпров1дност! з конкретгзэ-

ц!ею можливих дкерел нвл!н!йностей як в диференц!альних р!вняннях, так 1 в крайових умовах. Визначения температурного поля в твердому т!л1 з об' емом (1, обмеженим повертев 2, в багатьох випадках вима-гае досл!дження задач складного теплообм1ну, який ураховуе процеси кондуктивно! тешктров!дност! в Л, конвективного теплообм!ну та теплового вшром!нювання на опукл!й частин! Е(, перевипром1нювання теплота на вгнут!й частин! 2г поверхн! 2, а також заховану теплоту плавления у випадку фазових шретворень. Урахування цих фактор!в ви-магае р1зноман!тних узагальнень закон!в Фур'е, Стефана-Больцмана, плавления ! залучення !нтегрального р!вняння променевого теплообм!ну на вгнут!й частин! поверхн! твердого т!ла. В загальноыу випадку для визначення температуря Г(Р,Г) нел!н!йними виявляються як диференц!-альне р!вняння, так 1 крайов! умови. Останн! у випадку розв'язност! !нтегрального р!вняння променевого твплообм!ну до того ж нелокальн! на вгнут!й частин! 22 поверхн! 2.

При досл1дж8нн! задач твшюпров!дност1 для шаруватих середовищ, складених 1з шар!в з високов теплопров!дн!стю 1 терм!чно тонких пок-рить, злачного спрощення досягають вже на р!вн! постановки задач за рахунок усереднення температурного поля по товщин! шар!в. Ураховува-ти вплив терм!чно тонких шар!в 1 покрить дозволяють так зван! 1мпе-двнсн! умови спряжения 1 !мпедансн! крайов! умови.

Вшедансн! умови м!стять граничн! значения шуканоТ функцИ, II перших пох!дних по ыормал! 1 часу, других пох!дних в дотичному нап-рямку ! в!дображають вплив на розпод!л температури товщини шару або покриття, його тешюемност! с, коеф!ц1ента 5геплопров!дност! А. 1 кое-ф!ц1ент!в теплообм1ну у випадку нереального теплового контакту м!ж шарами. Сл!д зазначити, що порядок 1мпедансних умов вшдий, н!ж поря--док даферэнШалъного р!вняння.Як правило, 1мп0дансн1 умови виводшшсь

в припущены!, що температура по товпщн! шару або покриття пост!йна. Це можливо в тому випадку, коли коеф!ц!ент тешюпров!дност! досить великий . В той же чао зазначений коеф!ц1ент може бути ск!нчен~ ним. Для того, щоб урахувати його вплив при в1дкидвнн! гаеру айо покриття, в цьому випадку неоСх!дно будувати 0!льш адекватну модель усереднення. Така модель отркмана в робот! в припущенн.1 зм!ни темпе-ратури по тоБщин!.шару аоо покриття за л!н!йним законом.

При розв'язуванн! лочатково-крайових задач тег.июпров!дност1 для шаруватих середовищ з непогодженим диференц!алъним оператором, кра-йовими умовами ! умовами спряжения в дисертацИ отримана вагова фун-кц!я Н(х), яка дозволяе симетризувати оператор задач!. Для середовищ з кусково~пост1йними характеристиками 1 вагова функц!я кусково-пос-т!йна

М{х) = | И4[Т)(*-Х,_,) - т){х-х,)], а{_г<х<а(, I « Т7Я. (8)

де т)(т-г{) - функц!я Хев!сайда.

В одаовим!рному випадку отриман! рекурентн! сп!вв!дношення для визначення значень М{ {(=Т7п). Показано, що власн! функцП в!дпов!д-но! спектрально! задач! ортогональн! з вагою |[<х)р(х), тобто в разума! скалярного добутку

(и,и) « |и1-*(х)р(х)йг. (9)

. Зд!йснена також симетризац!я оператора одновим1рних задач теп-лопров!дност! з !мпедансними крайовкми умовами 1 умовами спряжения -отримана друга формула Гр!на для симетризованого оператора т+о

/ ^{иШи]-с(х)р(х)и13-и[1[иЬс(х)р<д:)1>()>*(х)(Ш£ « 22

uL<n> ev\ д<"),, fin) 5t>T\w+l _ МГИ

[ 22 m * P22 V ?22 (10)

~zm~ ¿ ГГ" Si + P.»» u." 7,2 grj -

11

(,r„,<o) ov , fl(0)„ (0) auTUfl - "l*»» ш P-i r " + T»2 gTjf"!*.»^

3 якоТ випливае умова "узагальнено!" ортогональност! власних функцМ спектрально! задач! з.параметром в крайових умовах 1 умовах спряжения в розумЬян! скалярного добутку

7<0) |

<U,W> -.(U.W) + *,р(о0>-|§у и»| +

• (11)

+ *W,P«V Jff> 4«=», +АР<°п> •

12 1 22 п

Побудована функц!я Гр!на C(i,C;i-t) у вигляд! б!л!н1йних ряд!в Фур'в за власними функц!ями в!дпов!дних спектральних задач,адо дозволило, вижористовуючи (10), (11), зввсти розв'язування нел!н!йних задач теплопров1дност! для шаруватих середовищ до знаходаення розв'яз-ку нел1н!Яних !нтегральних р!внянь типу Вольтерра. Отриман! точн! розв'язки л!н!йних задач у вигляд! розвинення в ряда Фур'е за влас-ними функц!ями спектральноI задач! з параметром як в крайових умовах, так! в умовах спряжения. На основ! вказаних розв'язк!в за допомогою ЕОМ проведен! чиселън! розрахунки температурних пол!в для пакету пластин, багатотаровсго по висот! ! вздовж рад!уса цил1ндра, багато-щарово! сфери; результата розрахунк!в про!люстрован! граф!ками.

Зыачно! уваги в другому розд1л1 надано задачам складного тепло-обм!ну, в яких враховано випром!юовання теплота з поверхн! т!ла 2 за нел!н!йним законом -

- лг Ш + Ч(Г)." тi>0' (12)

та фазов! ператворения, коли внутр!шня питома теплова енерг!я е роз-ривною функц!ею температури - е = е(Т). Це приводить до розгляду не-л!н1йного р!вняння тешюпров!дност1

лг - У а? + - dtv й . _ Js (13)

при нел!н!йн!й крайов!й умов!. Тут Се] - стрибок функцИ е(Г) в

г

точд! Г=Г*. який дор!внюе енерг!! поглинання або вид!лення при фазо-вих перетворениях. .

Якщо поверхяя 2 мае вгнуту частину S2, то крнйова умова на н!й набувае вигляду

- + q(T) - еЕ = 0, Юг, t>0, (14)

дв £=Е(Р,Г) - шукана 1нтегральна нап!всферична 1нтенсивн!сть падаю-чого випром!нювання, а 's - ступ!нь чорноти поверхн! Z2. В цьому ви-падку для замикання системи р!внянь теплопров!дност! (2), (3) залу-чаеться • Ытегральне р!вняння променэвого теплообм!ну, яке зв'язуе скалярн! поля Г 1 В на 2г -

. ; S(P.t) » EmJP,t) + JK(P,<3).(rE(q,t)+<j[r(P,t)])d3, P(Z2, (15)

';'..'. ' l2

дв Ä(P,Q) = cosiP-Q^-coaiQ-P.n^/KlP-Q^, E^JP.t) - 1нтвнсив-н!сть зовнйгаього джорела, г=1-е - коеф!ц!ент в!дбиття. В тих випад-ках, коли вдаеться побудувати резольвенту R(P,Q) ядра K(P,Q) п!сля ' виключення Е(Р, t) !з крайовоТ умови, одержуемо задвчу з нел!н!йною 1 нелокальною крайовою умовов.

Доол1дження таких, нових по постанови!, задач складного тепло-обм!ну проводиться методами нел1н1йних 1нтегральних р!внянь, екв!ва-лентно1 л1нееризац!!, де використовугться точн! розв'язки стаШонвр-них задач,!, кр!м того, р!зн! апроксимац!! вих!дних розв'язк!в, дис-кретизацН по часу (метод Роте), неявних р1зшщевих схем, 'у сере дне н-

ня по просторов 1й зм!нн!й, переходу до нормальних форм для квазШ-н!йних парабол!чних р!внянь,тобто розгляду постановок задач для !зо-терм!чних поверхонь.

Зм!ст методу нол!н1йних 1нтегральних р!внянь полягае в зведенн! початково-крайовнх задач для тешговипромЬшочого твердого т!ла до екв!валентного нелШйного 1нтегрального р!вняння м1н1мально! роз-м!рност! з насгушим застосуваяням до нього одного з наближених !те-рац!йних або вар!ац!йних метод!в.Це реал!зуеться за допомогою друго1 формули Гр1на для л!н1йного р!вняння теплопров!дност! 1 функцИ Гр!-на, яка е розв'язком в!дпов!дних розглядуваних крайових задач з л!-н1йними однор!дниыи крайовими умовами ! умовами причинност!.

1де1 застосованого в дисертацП методу екв!валентно1 л!неариза-Ц11 беруть початок в роботах Л.С.Лейбензона, М.М.Крилова, Н.М.Боголюбова, Ю.О.Митропольського 1 суттево використовують спец1альн1 ап-роксимац!! 1 конструкц!I точних розв'язк!в в!дпов!дних стац!оварних задач з деякими вив1льненими параметрами, як! залекать в!д часу. Ви-мога р!вност! нулю нев'язки диферешЦальних р!внянь в тому чи 1шому 1нтегральному смисл! приводить до значво прост!ших задач Кош! для визначенвя цих параметр!в.

На в!дм!ну в!д методу екв!валентно1 л1неаризац!1, в якому вико-ристовуеться апроксимац!я по координат1, в метод! Роте виконуеться апроксимац!я по часу t, що дозволяе звести початково-крайову задачу до крайових задач на кожному часовому шар!.Розв'язок останн!х запро-поновано отримувати методами нел!н!йних !нтегральних р!Енянь.

Оц!нка похибки наближених розв'язк!в зд!йснюеться за допомогою матемаигших експеримент!в на основ! неявних р!зницевих схем. Дпя знихення розм!рност! задач застосовуються викладен! вице усереднення по товадш! оболонок з досить великим коеф!ц!ентом теплопров!дност1.

В тих випадках, коли тукан! розв'язки мрнотонн! по одн!й 1з координат и(х,у,г,Х)*-*г(х,у,и.Л), за допомогою спец1альних перетворень типу М1зеса зд!йснено перех!д в!д задач! визначення температурного поля до задач! визначення поля 1зотерм. Не зважаши на складн!сть 1 нел!н1йн1сть вирззу для даференц!ального оператора, а також необх!д-н!сть знаходження облает! визначення розв'язку.вряд! випадк!в обер-нена постановка задач! краща в!д прямо! постановки. Доц!льн!сть переходу до постановки такого роду задач внправдана 1 необх!дна, тому до Гфи прогнозуванн!,оптим!зац!1 1 управл!нн! тепловими процесами визначальним е не температурив поле и = и(г,у,г,!), а данам!ка його 1зотерм!чних поверхонь г = 2(х,у,и,1).

Пврел!ченими методами розв'язан! задач! Стефана про НВЧ 1 !н-фрачервеного нагр!вання необмехено! пластини, розглянут! р!зн! постановки двовкм1рних задач теплопров!дност! з фазовими перетзорення-ми, як! виникають в спецелектрометалургП. Отриман! розв'язки нел!-н!йних задач кондуктивного 1 рад!ац!йного тешюобм!пу в тонких обо-лонках стосовно до розрахунк!в тешювих режим!в р!зноман!тно1 апара-тури, по1шпсаноТ працвватн в космос!, ! т.!н.

ТрзтИ! розд!л присвячений досл!дженню ф!зично нел!н!йно1 задач'!' термопруиност! осесиметрично деформованого багатошарового цилйщра. Виходячи !з загального зв'язку м!ж тензорами напрутань 1 деформацш . 8 ф!зично нел!н!йних середовищах (1), виведено диференц!альн! р!в-няння I природа! крайов! умови для визначення вектора перем!щення и осесиметрично деформованого цилшдра

= Т0 + Ту (й.ф.ш). Л2 = $0 + (й.ср.ш), (16)

де £ 1 Г - матричн! диференц1альн1 оператори. В цих р!вняннях в явному вигляд! вид!лен! л!н!йн1 оператори, а вс! нел1н!йност! розгля-даються як збурення правих частин.що, як правило, мае м!сце у випад-

ку слабко! ф!зично! нел!н!йност1, коли значения функц!й <р(е0) > 1 -- х(в0) 1 ш(1>0) - 1 - 7(Ф§) мал!.

Отримано точний анал1тичдай розв'язок найпростЬвоГ модально! задач! ((ш(ф0)=0) для неск!нченно довгого кругового цил!ндра, коли температурне поле осесиметричне 1 не залвхить в!д осьово! координат 2 -

С

' и{г) -1 | ё(г,С,)г£»- + ^ , (17)

л

де С;1 С2 - дов!льн1 стал!; в - додатний корЫь р!вняння

в -.4р'(в)(в - ву) - вл; (18)

А, вг 1 вл - в!дом1 величина. Визначення Сг, С2 1 6 зводаться до су-м!сного розв'язку р!вняння (18) 1 двох нел!н!йних р!внянь. як! от-римуемо 1з крайових умов п!сля постановки в них розв'язку (17).

Встановлено умову на функц!ю нол!н1йност1 <р(в): <р(в)«7/|в-0г|, С>0, при виконанн! чко! р!вняння (18) мае единий додатний кор!нь.

У випадку <¡>(6) « 2в/|вг-в|, де г - безрозм!рний параметр, який характеризуе ступ!нь в!дхилення властивостей середовища в!д л!н!йно-го закону Гуна, в = 0/(1 +Аг). Стал! С( 1 Сг при цьому визначають-ся 1з крайових умов. ОтримашА точний розв'язок може бути використа-ний для оц!нки похибки в метод1 "пружних розв'язк!в" А.АЛлышина.

Для знаходження розв'язку нел!в1йно1 векторво! крайово! задач! (16) використан! конструктива! 1терац1йн1 метода розв'язуваяня, зо-крема, метод "пружних розв*язк!в" Л.А.Ьльшина. Процео !терац!й по цьому методу будуеться за схемою *

0 1 . \ (19)

дв 1вдексом к позначено Ь-те наближення до розв'язку задач!. 1тера-ц!йний процес, представления формулами (19), починаеться з й=0, кож й(0)» О, <р(0>- ы(0)» 0. В цьому випадку дор!внюють нулю вс! доданки, зв'язан! з нел!н!йними членами,тобто розв'язуеться добре вивчена л1-н!йна задача.

Загальний розв'язок (й+1)-го наближення записуеться у вигляд! суми частинного розв'язку неоднор!дного р!вняння (5) 1 загального розв'язку однор!даого векторного р!вняння (4) в форм! (6), (7), зап-ропонован!й П.Ф.Папковичем ! Г.Нейбером.

Використання методу А. А.. I ль шин а в поеднанн! з методом Папкови-ча-Нейбера дозволяе визначити теплов! напруження в раруватому порож-нистому цил1ядр1 скЮТенно! довжини з точним задоволенням крайових умов на бокових поверхнях 1 наблюю ним (в розумйш! принципу Сен-Ве-нана) - на торцях. У випадку дробово-л!н1йного закону ф!зично! нел!-н!йност! отримано чисельно-анал!тичний розв'язок задач! термопрукно-ст! для двошарового цил!ндра з екв!валентними пружними 1 тепловими Характеристиками - коеф!ц!ентом Пуассона V* 1 коеф!ц!ентом теплооб-м!ну Результата чисельних розрахунк!в представлен! г|аф!ками

зм!ни напружень по координат! 1 в час!.

Досл!дженню статичних ! динам!чних нел'1н!йних задач термопруж-ност! дов!льних 1 пологих оболонок обертання присвячено IV роздЗл дасертац!!.Оболонки обертання широко застосовуються в техн!ц! та бу-д!вшщтв! у вигляд! р!зних тонкост!нних елеменг!в конструкций. За !х. допомогою досягаеться створення легких,вконом!чних ! водночас м!цних споруд.а також гнучких пружних елемент!в прилад!в спец!ального приз-начення. Так! елементи працпють в умовах нер!вном!рного нестац!онар-ного нагр!ву ! зазцають значних силових вшшв!в.Це призводить до того, що в приладах виникають теплов! напруження,як! супроводяться ди-

нам!чними ефектами 1 великими прогинами, до унемокливлюе застосуван-ня л1н1йно! теорИ оболонок. Л!н!8нэ теор!я в таких випадках не моле дати не т!лькк к1льк!сного, а й як!свого опису напрукеного I дефор-мованого стану оболонок обертання.Гакий опис стае мокливим т!льки на основ! геометрично нелШйно! георИ. Кр!м того, на сучасному етап! розвитку техн!ки широко застосовуюгься тонк! оболонки, виготовлен! з матер!ал!в, пружн! властивост! яких описуються нел!н!йними залежнос-тями м!к напрукеннями ! деформац!ями. Для !нжвнерних розрахунк!в таких оболонок треба виходити 1э ф!зично нел!н!йно! теорН.

В четвертому роэдШ на основ! понять 1 формул теорП поверхонь встановлюються геометрично нелШйн! сп!вв!даошення м1к деформац!ями I компонентами вектора перем!щення дов!льно! оболонки обертання.Роз-глянуто р!зн! закони ф!зично нел!н!йних залежностей (1) м!ж напру-женнями ! деформац!ями в тонких оболонках.На основ! закону Дюгамеля-Неймана отримано зв'язки м!х зусиллями, моментами та деформац!ями.

Наведено вар!ац!йн1 постановки задач термопружност! оболонок обертання, як1 зводятъся до в!дшукання м!н!муму наступного функцЮ-налу повяо! потенц1вльно1 енергИ:

Э = 3(и,У) = *{|Р(8,и,ю,и' ,ю' ,«Г)ва + Ф(и(Х),^(1),ш'(20)

де Р ! Ф - задан! функц!! сво1х аргумент!в, що в!дображають кр!м робота пружних сил 1 зовн!шн!х навантажень гакож роботу тешературних напружень на зм!н! деформац!й 1 кривин.

Поряд з вар!ац!йними,зяачна увага прид!лена дафарвнц!альним постановкам задач, як! описуються р!внянням Ейлера 1 природними крайо-вими умовами для функцЮналу векторно-матричн!й форм! запи-

с. .801.П првдставляються р1вняянщи

10й - - Х,ц - /с* Г, (и), Гй »■ * (й). т)

з явно вид!леними л!н1йними операторами диференц!альних р!внянь шостого порядку ¿0, оператором крайових умов Г 1 нелШйностями

т1льки в правих частинах /,(й), $,(и).

Розглянуго р!зн! спрощення диференц!аяывЕС постановок задач термопружност! оболонок обертання, зв'язан! з нерозтякн!стю, безмо-ментн!стю 1 геометр!ею оболонок I, кр!м того, вибором визначальних функцМ.

Проведено доол!дження динам!чних задач нел1н1йно1 термопрукнос-т! осесимэтрично деформованих оболонок обертання, в яких врахован! йюрд1йн1 члени в диференц!адьнях р!вияннях руху. Отримано нов! за постановкою задач! термопружност! оболонок з приеда&оши масами, як! м!стять !нерц!йн1 члени як в даференц!алышх р!вняннях, так 1 в крайових умовах.

За допомогою формул 1 функцй* гр!на виконано переход в!д дафе-ренц!альних постановок кваз1л!н1йннх задач термопружност! (21) до систем екв1валентних наваятаженнх нэл1н1Яних !нтегральних р!внянь типу Геммератейна, як! записан! у внглад!

и(х) »5,(1) * |о(х,5)/„(и(е))с1? 4- Р<х,2(0),и(а)). (22)

Наближеним методам розв'язування геометрично ! ф!зично нел!н1й-них задач термопружност! оболонок обертання в вар!ац!йн!й, диферен-ц!ая>н!й I !нтегральн!й постановках присвячэно п'ятий розд1л дисер-тацН.Розглянут! питания ск!нченновим!рно1 апроксимац!! шуканих роз-в'язк!в у виг ляд! д1н1йних комб!нацМ фуикцМ з ск!нчешшм нос!ем того чи йяого ступени гладкост! (ф!н!тних функцМ)

и(х) а «^(Х) = Й{(т)(Х-Х1Т) - Т}(Х-Х4)1,

- га. -

v(x) я vF{x) » f 1>ж(х), (23)

ixt

w{x) ¡t vP{x) « J? (^(xJ+^Xtíx)!, де т) {х-х() - функц1я Хев1сайда, р!зниця яких для р!зних значень ( визначае одшшчну сходанку; tpt(x) - л!н!йн! функцП-кришечхи; ф{ (х). Х((х) - Kyöi4Ht функцИ-кршечки.

Для визначення коеф!ц!ент!в таких комб!нац!й застосовувались вар!ац!йно-р1зниц9в! 1 проекц1йно-о1тков1 метода. Перш! з них пов'я-зан! з м1н!м!зад!ею отриманих функц!онал!в (20) (метод Р1тца), а друг! - з вимогою ортогональност! нев'язки диференц!альних (21) або 1нтегральних (22) р!внянь до вс!х ф!н!изих базисних функц!й (метод Бубнова-Гальорк!на).

' Ефективн1сть таких метод!в визначаеться перш за вое тим, що на в!да!ну в!д методу Фур'е, коеф!ц!енти л!н!йних комб!нац!й ф!н!тних функц!й мають ч!ткий апроксимацШшй зм!ст - це середа! (й{), вузло-в! (и<? и{) значения функц1й, а також вузлов! значения самих функц!Й wi та Ix перших пох!дних w't.

Вар!ац!йно-р!зницэва схема для функЩон&лу нел!н!йно! задач! термопружност! оболонок обертання (20), в як!й використовуються ф!-н!тн! функцИ-кришечки ! куб!чн! функцИ-критечки, приводить до три-д!агональних систем алгебра!чних р!внянь з явно вид!леними пол!ном!-ашами нелШйностями в правих частинах - .

+ W, + *ij.bv? - - (24)

lía аналогичному р1вн! обчислен! блементи матриць 1 прав! часга-яи отряканих систем.

Розглянуто ПР09КЦ1ЙН0-С1ТК0В1 схеми ДЛЯ 1НТ0ГраЛЬНИХ р!внянь пологих оболонок обертання. Отриман! системи нел!н1йних алгебра!чних р!внянь в!дносно вузлових значень з{ 1 ^

-<Ъ<А - ^ "<!/'« (ав)

На в!дм!ну в!д системи (24) матриц! останн!х систем повн!стю завантвжэн!.

Розглянуто проекцйно-с1тков! ! вар!ац1йно-р1зницев! схеми по-будови наближених розв*язк!в ф!зично нел!н!Яних задач термопружност! гнучких оболонок обертання в диференц!йних 1 вар!ац!йних постановках. Розв'язок систем алгебра1чних р!внянь з пол!ном1альними правимн частинами ножна одержати методом Ньютона з використаниям ПЕОМ.

Основн1 результата дисертацИ

В дисертацИ з залученням нових 1дей, спеЩальних прийом!в 1 застосуванням точних анал1тичних,наближених 1 чисельних метод!в проведено досл1дження математичних моделей нел!н1йних задач терлопруж-ност!, як! приводять до крайових 1 початково крайових задач для век-торних 1 скалярних нел!н1йних диференЩалышх р!внянь з частинними пох!дшши. При цьому одержано ряд нови результатов.

1. Запропоновано нов! математичн! модел! теркзпружност!,як! в!-дображають нел1н1йн! властивост! матер!ал!в 1 ск!нченн! деформацП. Для 1х досл!дкення , застосовуються 1терац!йн! метода в поеднанп! ; методом Папковича-Нейбера.

2. Розглянуто нов! по постановц! дал1л1йн1 задач! складного теплообм!ну, в яких враховано випром1нювання тешгати з поверхн! де-формованого т1ла, моюшв! фазов! пере творения 1 перевипрои!ншання теплота на вгнутих поверхнях, а такс« Тх розумн! спрощення.як! базу-ються на спец1альвдх усередненчях температурного поля по товпин1 ша-р!в з високою т9плопров1дно1) з дата! стю 1 переход! до задач в!дносно поверхонь р!вня, • Методой 1нтегральнях р!вняю> за допомогою формул 1 фуякц18 Гр!на для л1н!йшго оператора эдШстао шрех!д до екв!ва-лентних нел!н1йних £ятвгрвлышх постановок задач.

3. Страшно вагову функц!ю 1 другу формулу Гр!на для неузгодже-ного з крайовики умовами 1 удавами спряжения оператора диференц!аль-ного р!вняння теплопроводное?!. Побудовано функц!ю Гр1на. в виг ляд! б1л!н1йного ряду за ьласними функд1яш спектрельних задач з параметром як в крайових умовах, так i в умовах спряжения. Встановлена уза-гальнена ортогональн!сть 1 повнота власних функц!й таких шектраль-них задач. Отримаго точа! розв'язки л!н!йних задач у вигляд! ряд!в за власними функц1$ам, 1 за допомогою ЕОЫ проведено розрахунки температурного тля пакета пластин, багатошарового по висот! Í вздовв рад!усв Цйл!вдра, багатоиарово! сфери. Результата ч»свльних розра-хунк!в про!люстрован! графйсамя.

é< Методом бкв!валентно1 л!нвариз8ц11, якого започзткован! в роботах Л.С.Лейбензона, М.М.Крвяова,в.й.5огалвЗова, Ю.О.Иитрошль-ського, a тйкож методами даскрвтйзац!! по часту (Perra) í нел!н!йних !нтегральних р!внянь отршан1 чисельна-аяал!тичн! розв'язки важливих для практики задач складного теплообм!ну;

5 ^ Проведено досл!дження ф!зично нел!н!йша задач термопружнос-?! oceciiMeípímo деформованого багетоиврового вадовж рад!уса цил!нд-р,6ййэдей! нел!нЫй! р!8вяння р!вноваги í розроОлен! 1терац!йн1 ме- ;

тоди 1х розв'язування (А.АЛльшина, 1.А.Б1ргвра) в поеднанн! з методом Папковича-Нейбера. Отримано точний розв'язок ода!еГ модальноI задач! термопружност! шаруватого цил!ндра 1з ф!зично нел!н!йного ма-тер!алу. Зд1йснена чиоельно-анал!тична реал1зац!я визначення термо-пружного стану двошарового цил!ндра.

6. На основ! вар!ац!йного п!дходу одержано геометрйчно I ф!зич-но нел!н!йн1 р!вняння р!вноваги ! руху осесиштрично деформованих дов!лыщх 1 пологих оболонок обертання для р!зних визначалышх функ-ц!й. Отримано нов! по постанови! динам!чн! задач! термопружност!, в тому числ! з приедааними масами. Зд!йснено перех!д в!д крайових задач для систем нел!н!йних диференц!йальних р!внянь .до систем екв!ва-лентних навантажених йггегральних р!внянь типу Гаммерштейна.

7. Зд!йснвно ск!нченновим1рну апроксимац!» розв'язк!в нел!н!Й-них задач термопружност! дов!льних ! пологих оболонок обертання в вар!ац1йн!й 1 !нтегральн!й постановках, яка базуеться на використан-н! ф!н!тних базисних функц!й. Отримано трид!агональн! системи нел!-н!йних алгебра Гчних р!вшшь в!дносно середн!х значень функц!й для вар!ац1йних постановок 1 повн! система нел!нШшх алгебраТчних р!в-нянь в!дносно середн!х значень на !нтервалах розбиття у випадку !н-тегральних постановок задач. Розглянуто питайня побудови б!льш гладких апроксимац!й шуканих розв'язк!в.

ochobhi положения дисертацИ опубл1кован1 в наступим роботах:

1. Комаров Т.Н., Иотовиловец И.А. Нестационарное температурное поле многослойной стенки //Дифференциальные уравнения с частными производными в прикладных задачах. - Киев: Ин-т математики АН УССР, 1986. - С. 52-60.

2. Комаров Т.Н. О собственных функциях и собственных значениях сис-. тем дифференциальных уравнений и разложении произвольной вектор-

функции//Мат. <Хмзика:Респ.межввд.сб. - 1968.- Вып.4 - С. 66-77.

3. Комаров Т.Н. Нестационарная теплопроводность многослойных систем // Тепловые напряжения в элементах конструкций. - 1967. - Вып.7. - С. 166-173.

4. Комаров Т.Н. Теплопроводность многослойных систем с несовершенным тепловым контактом //Тр. I Респ. конф. по аэрогидромеханике, тепло- и массообмену.- Киев: Изд-во КГУ, 1969. - С.334-338.

5. Комаров Т.Е. Нестационарная теплопроводность многослойного ци-линдра//Тез. докл. II Респ. конф. по аэрогидромеханике, тепло- и массообмену.- Киев: Изд-во КГУ, 1969. - С. 129.

3. Комаров Г.И. Нестационарная теплопроводность многослойной сфер« //Тез. докл. П Респ. конф. по аэрогидромеханике, тепло- и массо-обмену.- Киев: Изд-во КГУ, 1969. - С. 130.

7. Комаров Г.Н. Решение задачи теплопроводности пакета шгастин//На-уч. сб.КТЭИ. - 1971. - Вып.9. - С. 36-43.

ь. НОмаров Г.Н.Реше-ше задачи теплопроводности многослойного диска //Науч. сб>. ВТЭИ. - 1971.- Вып.9. - С. 43-50.

9. Коларов Г.Я.Теплопроводность многослойных систем при неидеальном тепловом контакте //Тез. докл. XIV Науч. совет, по тепловым напряжениям в элементах конструкций.- Киев: Наук.думка, 1977.-0.61.

10. Комаров Г.Н. Теплопроводность многослойных- систем при неидеальном тепловом контакте //Тез.докл. II Респ. конф. "Вычислительная математика в современном научно-техническом прогрессе".- Киев: Изд-во АН УССР, 1978. - С. 95.

11. Коларов Г.Н., Иотовиловец И.А., Червинно О.П. Нестационарное напряженное состояние двухслойного цилиндра при контактном термосопротивлении //Прикл. механика. - 1983. -19, * 11. - С. 46-51.

12. Коларов Г.ff., Иотовиловец H.A.,Сиз C.B., Шик A.B. Расчет нагрева мясных кулинарных изделий при обработке их влажным насыщенным паром//Изв. ВУЗов, Пищевая технология. - 1988.-Л2. - С.131-155.

13. Коларов Г.Я.Обобщенная ортогональность собственных функций неса-мосопрякенной спектральной задачи с параметром в краевых условиях и условиях сопряжения//Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения - Киев: Ин-т математики HAH Украины, 1994. - С. 103-106.

14. Коларов Г.Н. Умови спряжения через терм!чно тонкий шар в задачах теплопров1дност! //Краевые задачи математической физики. - Киев: Ин-т математики HAH Украины, 1994. - С. 56 - 62.

15. Коларов Г.М. Одном1рн1 задач! нестац1онарно! теплопров!дност1 з 1мпедансними умовами спряжения 1 крайовими умовами //Краевые задачи математической физики. - Киев: Ин-т математики HAH Украизш, 1994. - С. 67 - 68.

16. Коларов Г.Н. СВЧ нагрев неограниченной пласпшы//НелинеШш9 дифференциальные уравнения в прикладных задачах.- Киев: Мн-т мате-., матики АН УССР, 1984. - С. 26-29.

17. Каюров Г.Н. Задача Стефана при СВЧ нагреве неограниченной пластины //Математическое моделирование физических процессов.- Киев: Ин-т математики АН УССР, 1969. - С. 78-82.

18. Коларов Г.Н. Задача Стефана при СВЧ нагреве //Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. - Киев: Ин-т математики АН Украины, 1990. - С. 64-65.

19. Березовский' A.A., Колароб Г.Н., Юртин И.И., Применение сопряженных задач теплопроводности с подвижной границей к расчету температурных полей в пищевых продуктах //Физико-технические приложения нелинейных краевых задач. - Киев: Ин-т математики АН УССР, 1987. - С. 19-27.

20. Коларов Г.Н. Интегральная формулировка одномерных задач Стефана //Нелинейные эволюционные уравнения в прикладных задачах. -Киев: Ин-т математики АН Украины, 1991. - С. 68-70.

21. Комаров Г.Н.Эккшалвнтная линеаризация в задачах Стефана//Асимп-тотичвское интегрирование нелинейных уравнений.-Киев: Ин-т математики АН Украины, 1992. - С. 140-145.

22. Каюров Г.Н. Математические модели двумерных процессов теплопроводности с фазовыми переходами //Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения.-Киев:Ин-т математики АН УССР, 1992. - С. 58-€0.

23. Коларов Г.Н. Двумерные задачи Стефана в проблемах плавления и испарения//Тез. докл.конф. "Нелинейные проблемы даМервнциалышх уравнений математической физики" - Вторые Боголюбовские чтения. - Киев: Ин-т математики АН УССР, 1992. - С. 74.