Математичнi методи дослiдження стiйкостi стохастичних систем з пiслядiею при наявностi пуассонових збурень тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ
|
Ясинский, Владимир Кириллович
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Киев
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
1993
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.09
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
Р-ГЗ 00
? ШЙЦВСЬШ УН1ВЕРСИТЕТ 1М. ТАРАСА ШЕВЧЕНКА
На правах рукопису
ЯСИНСЬШ В0Л0ДИМИР КЙРИЛОВИЧ
ШЕМАТИЧН1 «ЕТОДИ Д0СЛ1Д1ЕННЯ СТ1ИК0СТ1 СТОХАСТИЧНИХ СИСТЕМ 3 П1СЛЯД16Ю ПРИ НАЯВНОСТ1 ПУЙССОНОВИХ ЗБУРЕНЬ
01.01.09 - лааетшта кМернейиха 01.01.05 - Шеор£д йкоЫрнос(*£й Гл.
тйетШгт сйвяисйшнх
дисертацП' на здобутта наукового ступеня доктора ф1зико-математичних наук
ШВ - 1993
Робота виконана на кафедр1 математичного моделввання Черн1вецъкого державного ун!верситету 1м. Юр1я Федьковича
(fyiulUHi отменяй: академ!к АН Укра1'ни, доктор ф!зико-математич-них наук, професор B.C. КОРОЛЮК; доктор ф1зико-математичних наук , професор О.Г. НАКОНЕЧНИИ;
доктор ф1зико-математичних наук , професор Г.Л. КУЛ1НИЧ.
ЯроЫдна opeaHizauiAl Швський 1нститут к1бернетики 1м.В.я.ГЛУиКОин
Захист дисертацП в1дбудеться 1993 р. о
годин! на зас1данн1 спеЦ1ал1зовано'1 ради Д 068, 18.16 в КиГвськону ун1верситет1 1и. Тараса Иевченка за адресов : 252127 , ШШ-127 , проспект Акайел1т ТЛШШ , 6 , факулЫпеМ кШернеЯики, ау&. 40.
Э дисертац1ею «овна ознайомитися в науков!й б1бл1отец1 Ки1'вського ун1верситету 1и.Тараса Иевченка ( 1ул.Яомдшшрс*ка,58. )
Автореферат роз1слано ..... 1993 р.
Вченрй секретер спец1ал1зованоУ ради, кандидат ф!зико - натенатичних наук,
доцент ff£d><? А.В.КаэЫПН
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТЫ
А(Щ{амм1сЯь Мели, досл1джмня. Врахування п1сляд!Т в мате-матичних моделях дозволяе одержувати резальтати , як! добре уз -годжувться э реальними об"ектами . Безл1ч в!домих иатематичних моделей свЦчать на користь цього твердження . За останШ деся-тир144й Зб1ЛЬШИЛИСЯ вимоги до точност1 разного роду техн1чних пристро!'в . 9 зв"язку з цим з"явилась i" пбх!дн1сть враховувати в иатематичних моделях об"ект1в , що вивчаються, не т1льки адитив-н1 переикоди, як1 спотворввть корисний сигнал , але й шуми , як1 спотворввть розрахунков! параметри системи . Щоб в1дпов1сти на питания про як1сть функц1онування техн!чного пристрой , у бага-тьох випадках доводиться досл1д«увати повед1нку розв"язк!в систем нел1н1йних диференЩальних р1внянь з п1сляд1ею при наявност1 пост!йно д1вчих випадкових збурень . При цьому в б1льмост! випа-дк!в не вдаеться обгрунтовано в!дмовитися в 1д врахування п1сля-д1Y в математичних моделях , як! описують реальн1 процеси . Так, наприклад , у задачах анал1зу систем автоматичного регулюваиня, в яких об"ект регулювання i керуючий орган знаходяться на велика в!дстан! , не враховувати ефект п!слядП" просто неможливо. В деяких системах в ланцюгу оберненого зв"язку затримка конструктивно необх!дна , оск1льки вона повинна.враховувати час обробки 1нформацП для вироблення регулювчоК дН. Щоб дати в1дпов1дь про як!сть регулвваиня в описан1й вице ситуац11" , доводиться досл!д-■увати р!вняння , як! виписувться для в1дхилення координат об"е-кта регулювання в!д розрахункових . На жаль, математичн! модел1, як1 враховуять ефект ШслядП та пост!йно д!пч1 випадков1 збу-рення , ду«е погано п!ддавться як як1сному , так i к!льк1сному анал1зу.
Випадков! збурення можуть приводити до розриву траекторП' динам1чних систем , Тому дуже важливо при анал1з! динам1чних систем враховувати цей факт , Зв^дси випливае акацамн1сЯь пробле-ми розробки метод!в анал!зу повед1нки розв"язк1в стохастичних диференц1ально-функц1ональних р1внянь ССДФР) , чо м1стять дифе-ренц1ал !то та пуассонову Mipy , оск1льки б1льв1сть стохастичних систем з п!сляд1ею можуть бути змодульован! СДФР . Teopia ст!й-кост! стохастичних диференц!альних р1внянь як звичайних , так 1 з п1сляд!ею , розвинута в роботах I.I. Пхмана, A.B. Скорохода,
К. Iто , М. Hielo, K.M. Красовського, I.Я. Каца, B.C. Королвка , Р.З.Хасьм1нського, В.Б. Колмановського, Г.П.Нил]нича, Г.Кумнера, Е.Ф.Царкова , Г.Н.Шльмтейна , В.М!зела. В.Трудзера та багатьох 1нмих математик1в.
В дисертацП пропонуються достатиьо эручнi для застосування критерП' CTiftKocTi розв"язк1в СДФР з розривнини траектор!ями.
ЖаЯа ройоШ :1) розвиток другого методу Ляпунова для СДРФ з ск1нченнов п!сляд!ев та наявн1стю пуассонових збурень;
2) розробка теорИ ст!йкост1 СДФР з необмеменои п!сляд1ев та з пуассоновими збуреннями;
3) розвиток TeoplY ст!йкост! л!н1лних та Кваз!л!н!йних СДФР;
4) застосування одерманих результат(в для анал1зу повед1нки ро-зв"язк1б конкретних стохастичних задач.
Яацяв&а Kaiapta результат^ дисертацП' полягае :
- в побудов! клас1в функц1онал1в Ляпунова-Красовського , як i да-вть умови ст1йкост1 СДФР з обмеменою п!сляд!ев та пуассоновими збуреннями;
- у доведены! загальних теорем про ст1йк!сть розв"язк!в СДФР з розривними траскторinMH : ст1йк1сть в середньому квадратичному , експоненц!альну р -ст!йк1сть та р -ст1йк1сть в ц1лому , асимпто-тичну стохастичну ст1йк1сть та асимптотичну стохастичну ст!й-KlcTb в ц!лому;
- в побудов! клас!в функц1онал1в та метод!в обчислення слабкого 1нф!н1тезимального оператора на розв"язках СДФР з неск!нченнов п!сляд1ею при наявност! пуассонових збурень, а таком у доведенн! теорем !снування та единост! сильних розв"язк!в;
- в побудов! квадратичних функц1онал!в,як1 давть умови ст1йкост! трив1ального розв"язку Кваз1л1н1йнйх СДФР 1з ск1нченнов п!сляд1-ео та розривними траектор1ями;
- у розробц! 1нтегрального методу,який дае необх!дн! та достатн1 умови ст1йкост! в середньому квадратичному трив1ального розв"яз-ку л1н1йних СДФР 1з ск1нченнов п1сляд1ев;
- в одер«анн1 достатн1х умов ст1йкост1 в середньому квадратичному стохастичних диференц1ально - р1зницевих р!внянь в терм1нах власних значень 1нтегрально1 матриц!, яка записана через параме-три цих р1внянь;
- в як1сному анал!з1 стохастичних моделей 1з р!зних галузей науки та техн!ки.
ЯрсиОШна uimlcMb. В дисертацП наведет результати як1с-ного анал1зу конкретних математичних моделей :
- дослЦнена ст!йк1сть стохастично! модел! "звисаючий павук'Чте-ор1я суц!льного середовища та в"язкопрунност!);
- досл1дяена задача втрати сПйкост! стрияня при випадкових збу-реннях;
- вивчена стаб!л!зац1я розв"язк!в стохастичних р!внянь теплопро-вiдностi та коливання;
- знайден! умови стабШзацН курсу судна при випадкових збурен-нях;
- досл1дяена задача фазово! автоШдстройки частоти з багатокас -кадним смуговим п!дсилювачем при наявност1 перемкод у генератор! сигналу (рад1оелектрон!ка);
- дослужена ст!йк1сть процесу р1зання на токарному верстатПма-винобудування).
Для згаданих вице математичних моделей вдаеться в терм!нах кое -ФШ1ентib стохастичних систем одернати зручн1 умови стабШзацП' у вигляд! нер!вностей в облает! параметрхв. На заосисМ /кшссдМьсл fhatii гимажния :
1) метод функц!онал!в Ляпунова-Красовського для досл!дмення ст!й-кост! розв"язк!в стохастичних Наференц1ально-функц!ональних р!в-нянь(СДФР)з обмеженоп п1сляд!еш та наявн!стю пуассонових збурень;
2) другий метод Ляпунова для досл!дяення ст!йкост1 розв"язк1в СДФР з безмежною п!сляд!еи та з пуассоновими збуреннями;
3) метод квадратичних функЩонал1в для досл!дження властивостей та ст!йкост1 розв"язк1в кваз!л1н!йних СДФР з ск!нченною п1сляд1-ею та наявн1стп пуассонових збурень;
4) метод 1нтегральних oiUhok других момент1в для досл1дяення ст!йкост! та нест!йкост! розв"язк!в л!н!йних СДФР, якщо детери!-нована частина СДФР експоненц!ально ст1йка; теореми по первому наближенню (критичний випадок);
5) застосування розроблених математичних метод1в для як1сного анал!зу р1зних стохастичних моделей.
Алройщ1я робот. Основы! результати ди-
сертац!йно\ роботи допов!далися на II та Ü м1жнародних конферен-ц1ях з теорП ймов1рностей та математично! статистики (В1льнвс , 1973 р., 1989 р.); III м1жнародн1й конференцП з диференц1аль-
них р1вняць та 1'х застосувань (Руссе, Болгар1я, 1985 р.); респу-бл!канськ!й конференцП' з диференц1альних р1внянь та 1'х застосувань (Одеса, 1987 р.); I та II всесогазних конференщйх з нел1н!й-них коливань мехаючних систем (Горький,1987 р.,1990 р.); III Иральск1й рег1ональн1й конференцП' з диференщальних р1внянь та 1'х застосувань (Перм, 1988 р.); II всесоязн1й школ1-сем!нар1 з ергодично!' теорП маркових процес1в (Рига, 1989 р;); II всесоюзна конференцП з нових п!дход1в до розв"язання диференц1альних р1внянь (Дрогобич, 1989р.); Всесоюзна конференцП' з hkíchoi те-орП" диференц1альних р!внянь (Рига, 1989р.); XIX м1янародн1й конференцП з стохастичних процес1с та П застосувань (Ййзенах.Ш-мечинна, 1990 р.); II м1жнародному колокв!уму з диференЩальних р1внянь (Пловд1в, Болгар1я, 1991 р.); всесоюзна конференцП з як1сно'1 теорП' диферен1Цальних р1внянь та матенатично! ф!зики (Терноп1ль, 1989р.); всесоюзна науково-техн1чн1й конференцП" 1з застосувань статистичних метод1в у виробництв! та управл1нн1 (Перм,1990 р.); конференцП моделювання та досл1дкення ст1йкост1 процес1в (КиТв, 1992р.); на школ1-сем1нар! з ст1йкост1 стохастичних динам1чних систем (кер1вник-академ1к АН Укра'1'ни А.В.Скоро -ход , Черн1вц1, 1990 р.); республ1канському ceMiHapi з ймов1рн1-сних метод!в к1бернетики Ризького техничного ун1верситету (кер1-вник-доктор ф1з.-мат.наук,професор Е.Ф.Царков, 1991 р.,1992 р.); республ1канському сем!нар1 з теорП ймов1рностей 1нституту математики fiH Укра!ни(кер1вник-академ1к АН ИкраГни В.С.Королюк, 1991 р. );науковомь сем1нар1 з теорП диференц1альних р1внянь з части-нними noxiдними Черн1вецького державного ун1верситету (кер!вник-доктор ф1з.-мат. наук, професор С.ДЛвасиыен, 1990 р., 1991 р., 1992 р.,); науковому сем1нар1 з проблем управл!ння Черн1вецького державного ун1верситету (кер1вник-доктор ф!з,-мат. наук,професор М.Ф.Кириченко ,1990 р.); науковому сем1нар1 ,з математичних метода досл1дження операЩй 1нституту к1бернетики АН У крайни (кер1-вник - академ1к АН 9кра!ни В.М.£рмол"ев. 1992 р.).
ВДШкаци. По тем1 дисертацП опубл1кован1 52 роботи . В к1нц1 автореферату приведено б1бл1ограф1чний опис 32 основних праць автора. В сп1вавторств1 з Е.Ф.Царковим опубл1кована моно -граф1я : Квазилинейные стохастические дифференциально-функциональные уравнения.-Рига:Ориентир,1992.-328 с.
СЯрукЩ/ра й» ой"ел робот. Дисертац1я об"емом 383 маиинопи-сних стор1нок складаеться з вступу , трьох роздШв , додатку та списку л!тератури, що м1стить 159 найменувань.
ЗмСсМ дисертщьо. У Шпупь приводиться короткий огляд нау -кових праць, як1 присвячен1 розвитку Teopii ст1йкостI стохастич-них диференц!альних та диференц1ально-функц!ональних р!внянь,об-грунтовуеться актуальШсть та новизна проблеми досл1дкення, виз-начаеться мета досл1двення та описуеться зм1ст дисертацП',
Жер&ий роддм дисертацП складаеться з чотирьох naparpaqiiB. В § 1.1 викладаються загальн! в1домост1 з теорП СДФР та доводятся основн! нер1вност1, як1 будуть використовуватись для досл1-дження ст1йкост1.
На ймов1рн1сному простор! (Q,~5 ,{р ) розглядаеться СДФР
dx(t) = a(t,x )dt + b(t,x )dw(t) + t t
c(t,x (du,dt), (1)
А 1
x (0) =^(9) , 9 e [-r,0] , (2)
о
n
де x(t) E !R ; x^:=(x(t+0), В E [-г,01 };(ыС15> - в1нер1в процес;
~ III о n
^(du,dt),u £ ttJc[R -центрована пуассонова м1ра;а:[0.Tlx Ш—>Ш ;
о п п о п
brfO.TJx Г -> й х ¡R ; с:[0,Т]х Ш х Ш—> Й ; в1добраяення а,Ь,с -
о
неперервн1 за сукупн!стю зм!нних; 5D - прост!о Скорохода непере. п
рвних справа функц!й К ,як! магать л!восторонн! границКНПЛГ) з нормой
о
- |1/2
^ II : = ( N10)1 + -
!M = (^H(0)|2 + H(0)|2dfl)
И(9)| dGj . (3)
-г
jfe*a l.i.l. Якчо ,в С М )cffl ; Ни<э .
и п В->о=> П) и
т о д 1 lin H-J) II = 0. «->00 и о
- п
Тут Ш - прост!р Скорохода НПЛГ функц!й ч £ Ш з метрикой Скоро -п о
хода. Прост!рШ з метрикоп (3) сепарабельний. Розглядаеться питания 1снування та единост! сильного та слабкого розв"язку р!в -
няння (1)3 початковои умовою (2).
Припускаемо, що виконуються умови р1вном1рно1' обмененост1
sup (|a(t,0)| + |b(t,0)| +■ |c(t,0,u)| ШйиГ) = cL (4)
t>o 4 '
ill
та один з вар1ант1в умови ЛШшиця: або глобально!'
2 2 |a(t^) - ас t ) | + |b( t, ) - b(t,4>)| +
' +
2 2 |c(t,^ ,u) - c(t,4\u)| il(du) < L H-4> || (5)
для дов1льних t)0 , {^,4>}crD , де
n
о
II II2 S> -r
2
И(8)| g>CdB) ;
або локально!
2 2 |aCt,JJ ) - a(t,4n| + |b(t,^) - b(t,4> )| +
2 . 2 |c(t,^ ,u) - c(t,4»,u)| Ol(du) < L И-ЧЧ1 (6)
h
" .■ ' „ „ 2 для дов1 льних t>,0 , h>0 та (^.Ч»}«^ | || ^ ||^< h).
Ямови (4),(5) гарантцпть 1снування та един1сть розв"язку
S
x(t,s,>S)) задач1 (1) , (2) для вс1х t^s^O та ^ С G
„ 0 2 2 £ Ю I !Н || Е ( || } . Е о
В лемах 1.1.2,1,1,3; 1.1.4 доведен1 ваялив1 нер1вност! для роз -
S
в"язк1в СДФР (1) для кожного G ,Т > 0 ,s О та tets.s+T]
2 $
IE { sup |x(t+T,s,^ ) - xct.s,^ )1 г lib )<
S<t<s+T-Ь. о
0$T< b
n 2 ,2 < CCT)M Ии + cL ) ;• 0
Ш { sup |x(t,s,-?)| |3iS CCTH IH II + dL2 ); s<t<s+T о о
2 S 2
IE ( sup |x(t,s,^ ) - x(t,s,4» )| ISu } < C(T) И-Ц» II . s<t<s+T о о
- э -
де С(Т) залеяить тако» в!д Ь та а. .
В п.1.1.3 наводяться теореми 1.1.3 та 1.1.4 1снування та едино -ст1 розв"язк1в стсхастичних р1внянь з випадковими операторами , як1 е узагальненням СДФР.
В § 1.2 доводиться Маркова властив1сть с1м"1 оператор1в зсуву
Ь о
вздовж розв"язк!в р1вняння (1) { X :=х (э,^ ), Ъ,^£ Ш }
О . 5 _ I
в фазовому простор1 ( Ш /зОД) , де 3)-сукупн1сть вс1х в1дкритих о .
п1дмновин Ш ,51-<о-алгебра борел1вських множин , що м!стить базу
о
тополог1чного простору (Ш ,95)..В п.1.2.1 доведена теорема 1,2.1 про властивост! перехЦно'У фуккцП для розв"язку р!вняння (1)
Д,А) := Ш(Х ^ £ А) , (7)
Э о
де I £ С 5 ,«=-=«), $ £ СО/»), ^ £Ш та й Е У. , з яко'1 випливае ,
що задача (1), (2) визначае стохастично неперервний справа стро-
о
го марковий процес з значениями уШ з перехЦною ймовгрн!стю(7).
В п. 1.2.2 введена п1вгрупа оператор1в зсуву вздовя розв"язк!в
о
р1вняння (1) в простор! С( ГО х Ш ) за правилом (ТШуМЭ,^ ) : = п +
: = ,X )) та приводиться вар!ант формули Динк1на з
5
використанням слабкого !нф!н1тезимального оператора . П. 1.2.3 присвячений зупиненим розв"язкам СДФР , що дозволяе позбавитися
в!д глобально* умови Л1пшиця (5) , зам!нивши ГУ локальной з кон-(*)
стантош I. .'^.Ч'Е 5 так , щоб величина слаикого 1 нф!н1 тезима-!1 Ь
()
льного оператора всереден! кул! Б не зм!нилася . В п. 1.2.4
11
доведена
Ле*а 1.2.4. Нехай виконуються умови теореми 1снування та единост1 розв"язк!в для р!вняння (1) . Тод! при вс!х Цг^О ,
Г £ -Ула ^ £Ш С1м"я розв"язк1в (х С э ) , Ъ гэ } мае Маркову
властив1сть
2
(Р (х (Э,^) Е Г 134- ) = Р Сг,х (й.^ОД.Г). Ь Б 1
В § 1.3 розробляеться другий метод Ляпунова для анал1зу
ст1йкост1 розв"язк1в нел1н1йних СДФР з врахуванням пуассонових
збурень та обмеженоп п1сляд!еп. В п. 1.3.1 вводиться слабкий 1н-
фШтезимальний оператор для розв"язк1В р^внянна (1) » 1
(I v)(s.^ ): = Ни - [ К (v(s+t,x <S,J} ))) - vCs.Ji )] , U0 t s+t
о
де (s,4*) ) £Ш хЮ , та верхн1й слабкий 1нф1н1тезимальний опера-+
тор
„+ 1 s+~
( JLvHs,^ ) := Пш sup - f E{v(s+-c,X )). - vis,^ )].
is. ^ 0 Octibk t- S
В n, 1,3,2 досл1д*уються функционал« з облает! визначення слаб-кого 1нф1н1тезииального оператора.
Меореяа 1.3.2. Якщо биконувться уковй (4),(5) , то функц!о-
1,2 ft
нал v(s,^ (OJy налеакть B(J. У, де g(s,x) £ С ( R х Ю )
+
та
-+ ((47 g)(S,^(0)),a(s.^ )) +
"3 £>'
12 ft T f
+ - SpC(V B)(S,^(0))b(S,^ )b IS,+ j i g(S,^(0) +
+C(S,^ ,и))-в18.^(0)Ы(Мв)(8Л$ (0)),c(s.^ ,u)l Iii du). (8) Для функц1онал1в вигляду
f(9)H(S,v$(9),v$(ÜJ)d9 ,
-г 2 та v cs,^ ):= F(v(s,Oi )J ,де F(x) £ с ( ffi), дойедеиа налеян1сть
l'x до D(JL) та отри«аИ1 алгоритм обчяслення (/vKs,^) , (JLv )(s,^ ) (теореми 1.3.3 та 1.3.4).
В п. 1.3,3 сформульован! ochobhI визначення ст1йКостей розв"яз -
к1в СДФР. П. 1.3.4 Шстить теореии про ст1йк1сть трив1ального
розв"язку СДФР (1)з розривнимй траектор1ями.
Розглянеио мно1Ину функц1оиал1в
о 2 л 2
Н:= (V Е С( К хШ |с Н<0)| ^v(s,^)<c
+ I 2 ъ
* о
при деяких с >0 , с >0 С (l-r.01) та Bcix s' Е ГО , ^ С Ш ). 12 +
1горела 1.3.3. Якцо виконуиться уиови (4), (5);
a(t,0)sb(t,0)=c(t,0,u)= 0 , (9)
та 1снуе функц!онаЛ v Е И D( L ) такий, цо JL v < -f; f £ Н .то
трив1альний розв"язок задач! (1), (2) асимптотично ст1йкий в середньому квадратичному.
Есореш 1.3.6. Якщо викончеться локальна умова /Иплиця (6)
,+ о +
та 1снуе Функц1онал и 6 D( Д. ) такий, цо v < -f , причому при
деякому р>0 та вс1х s^O, ^ Е Ш виконувться иер1вност!
н
с и( s, ) ^ с |(4J.|ÍP , с > 0 ;
1 2 1
с R(0)|P4< v(s, Jj ) ч< с -И Ф[|Р , с > 0 , 3 4 3
то трив1альний <розв"язок задач! И),(2) асимптотмчми iefflxa-стично
ст1йкий,
П. Í.3.5 1лвс1груе теорегачн! досл1дження §4,í-l,t¡ на прикладах , як1 е стохастнчниии моделями регулввания «8"<&ота за звуком , де-яких задач еп'1д-е*1.0яог1» . Мшедадея! , €®8Д-»гП , задач теорП суц!льних середо-в-иц i т.д.
§ 1.4 мае теоретичний xapa«ir<ep . 'встановлвються деяк! зв"я-эки -ми ст 1 йкостями СДФР з ск!нченою п1сляд1ею.В п.1.4.1 доведена
Яесрела 1.4.1. 1з експоненц!ально1" р - ст!йкост1 при р>0 трив!ального розв"язку (1) випливае його асимптотична стохасти-чна ст1йК1сть,
31ас.л1док- 1.4.1. Якщо виконуються умови (5) та (9) , то з експонениДальноТ ст1йкост1 трив1ального розв"язку задач! (1),(2) в середньому квадратичному сл!дуе його асимптотична стохастична
CTiflKiCTb.
Розглянемо л1н!йне СДФР
tíyt't) = Йу di + >Ву dwtt) + C(u)y (du.dti) ., (10)
t> t» ,tl t> Q!
де fl,B,C(u) - л!н1йн1 обмежен1 в1дрб|рааення.
2е^рсла 1.4.2. Якщо трив1альний 1ро8;В".я»ок р'вняння (10)
асимптотично ст1йкий в середньону квадратичному, тп в1н експоне-
нц1ально ст!йкий в середньому квадратичному.
Розглянемо кваз1л1н1йне СДФР
dx(t) = [Ах + a(t,x )ldt + СВх +b(t,x )Ídwít) f t t t t
tC(u)x + c(t,x .u)l^(du.dt). (11)
t t
4l
Seapem 1.4.3. Якщо трив1альний розв"язок р!вняння (10) асииптотично ст)йкий в середньому квадратичному , в1добраяення а,Ь,с задовольняють (5) та (9), то при достатньо малих L трив1а-льний р'озв"язок р1вняння (11) асимптотично ст1йкий в середньому квадратичному.
ЯасльНок 1.4.2. Якщо трив1альний розв"язок р!вняння (10)
асимптотично ст1йкий в середньому квадратичному ; для а . b та с
виконуються умови(Э) та (6), причоми'Нт L = 0 , то трив1альний
h->0 h
розв"язок р1вняння (11) асимптотично стохастично ст1йкий.
В п.1.4.2 встановлен! необх1дн1 та достатн! умови експоне-
нц1ально\' ст1йкост1 в середньому квадратичному розв"язк1в зада-
ч1 (1),(2) за допомогою верхнього пох1дного числа
+ ^,(р) 1 »(р) D и (х (s,^)) lim - tv (х (s,vS? ) -p.oL S+pr U0 t p.cL s+pr+t
v(p)
-v (x (s,^))] P,cL S+pr v(p)
для дов1льного p=0,1,2,...; x (s,^) : = (x(s+pr+B.s,^ ) ,
S+pr
fl £ [-(p+1 )r,03).
Se&pem 1.4.4. Якцо а , b та с неперервн! за сукупн1стю зм!нних та задовольняють (5), то розв"язок x(t)s0 задач! (1),. (2) експоненц1ально ст1йкий в середньому квадратичному тод! 1 т1льр тод1, коли 1снувтьо1> 0, р £ {0,1,2....) та > 0 так1 ,
що для комного s £ R та ^Е U-. виконуеться нер1вн1сть + ъ
D+v (х (s,ü))) < -2cJLv ,(x (s,^)). p,cL s+pr p.dL s+pr
В п.1.4.3 доведена
Яеореж 1.4.5. Якцо виконан1 умови теореми 1.4.4 ; (9) та
к „ к
f|c(M ,u)| m(du) < L Hi i
для деякого к С Ш , то розв лзок x(t)=0 р1вняння (1) екс -поненц1ально р -ст!йкий в ц1лому тод1 i т!льки тод1 , коли 1снуе
Функц1онал V £ D( J. ) такий, що при деяких с >0 , с >0 , с >0 та
1 2 3 дов1льних s £ R та ^V £ D виконуються нер1вност1 + п
с^ || ^ цР < v(S>^ ) < с || ||Р . р > 0 ;
< -с ||^||Р ; || sup 3 -гх<е^о
Шеярола 1,4.В. Нехай виконуються умови теореми 1.4.4 та (ь)
умова /IIпшиця з константою L . Якщо icnye Функц1онал Ляпунова-0+ h
Красовського v £ який при деяких с >0, с >0, р>0 та вс1х
S £ R £ Ш задовольняе неровностям + п
И(0)|Р ч< vCs.^K< с М ||Р ; J < - с И НР .
то трив1альний розв"язок (1),(2) асимптотично стохастично ст!й -кий в ц!лому.
Vpyaiu, розд1л присвячений досл1дяенню властивостей та ст iй-кост! розв"язк1в нел1н1йних СДФР з необмеяеною п!сляд!ею при на-явност! пуассонових збурень. TaKi р1вняння е математичною модел-лю багатьох задач теори суц1льних середовищ та в"язкопруяност1. В первому параграф! наводяться в1дом1 факти для детерм1нованих диференц!ально - функц!ональних р1внянь з необмеяеною п1сляд1ею.
В § 2.2 досл1диуються властивост! СДФР з необмеяеною п1сля-д!ею та розривними траектор1ями
t t dxt t )=a(t,x )dt + b(t,x )du(t) +
t -
c(t,x ,uH(du,dt) . (12)
to „ to
x = . ti3)
де x(t) £ ® ; x :=(x(t-s), s £IR ) ; (a(t,^)), (b(t,^)} та
+
n
{c(t,^},u)) - неперервн! в1добраяення вШ за сукипн!ств зи1нних
Р Р
t >,t ;ID - npocTip Скорохода локально обмежених непе -
о . п
рервних справа функцгй ^ : JR —> Ш ,як! мають л1восторонн1 гра-
+
ниц! (НПЛГ), з нормою
.Р С. . .Р Л1/Р
............; (14)
f Р Р М
IIЧ> llDp := (j^(0)| -v- H(s)| ^(s)ds)
(u(t)) -стандартний скалярний в 1нер 1в процес, •>} (du.dt) центрована пуассонова м1ра,яка не залеаить в1д u(t); функц!я<^: Щ —>
—>18 - функц1я згладжування.
В п.2.2.1 одержан! допом1ян1 нер1вност1 для п. 2.2.2, де доводиться теорема инування та единост! сильного розв"язку р1вняння (12) з початкочою умовою (13) . Доведения базуеться на 1терац1й-
Р
ному процес1 Шкара , але для норми (14) в простор1 ID оЩнки Гронуолла не використовуються, ян це зроблено для класичних сто-хастичних диференц1альних р1внянь без ШслядП,
'Леорела 2.2.1. Нехай 1) 1снуе константа L>0, така, що |a(t,x) - a(t,y)l + Ib(t.x) - b(t,y)| +
41
|c(t,x,u) - c(t,y,u)| mcdu) < L ||x-y l^p
(15)
для дов1льних x.y еш ; 2) для кожного t £ [t ,TJ
|a(t,x)| + |b(t,x)| +
ffl
|c(t,x,u)| Kdu) < L( 1+ ||x || )
(16)
3) 1снуе h x. 1 та x_- випадковий процес, x_ iU- такий, що
to
to h
Ж { ||x_ «50,
Тод1 I) 1снуе единий сильний розв"язок (x(t),t £ [t ,T1) р1внян-
to to
НЯ (12) ,який НПЛП для t £ It ,T1 , причому x = x_ ;
II) для t £ tt ,TI 0
h
IE ( Sup lx(S)f ) <oo . t ^sjt
В п. 2.2,3 доведена неперервна залежн^сть розв"язк1В СДФР (12) в1д початкових даних.
П. 2,2.4 встановлюе локальн1 теореми ¡снування та единост1 роз-в"язк1в СДФР (12) (теореми 2.2.3; 2.2.4).
Параграф 2.3 м!стить алгоритми побудови Функц!онал!в 1з облает! визначення слабкого !нф1н!тезиыального оператора. В п. 2.3.1 визначена перех!дна ймов1рн!сть , в теорем! 2.3.1 доведен! фелерова зластив!сть,нер!вн!сть Чепмена-Колмогорова та !ни! вла-стивост!,
Дела 2.3.2. встановлюе Маркову властив^сть для розз"язку
х (й.Ц1) задачу (12),( 13),якщо виконуються умови (15),(16) (аналог леми 1.2.4 для СДФР з обмеженою п!сляд1ею).
Для кожного N > 0 !снуе Ь >0 таке, що для дов!льних р N
х,у £Ш , для яких ||х|| „< N , ||у|| _< N мають м!сце нер1вно-
ст! Л!пашця (14) та р1вном!рна обмежен!сть по Ь > Ь (15) з кон-
о
стантою Ь .
N ' N
В п.2.3.2 визначений слабкий 1нф!н1тезимальний оператор для
Ь р р
строго паркового процесу (х ) вШ для функц1оналу и: ® хШ —>5
та формула Динк!на: якщо "С Н) >, $ з 5Е(Т:(и} <оо та V £ П(<£) , то
Э+ТСI)
Ш У(5+ТГ(1),Х (Б,^ )} = э. ^ ) +
тки * $ + 2 + 1Е ( з+г,х' (з,^ Шг > (17)
о р
при кожному 5>0, 1)0 ; ^ £ 0 <=-Ш , де "С - час виходу з в!дкри-
то1 облает! 0 ; "С : =1пГ {Ъ С К |х Ё в ) таХИ) Ь. Якщо
^ + ^ ТСЬ) »
(х } - процес, зупинений в момента , то х = х , а 4- -
слабкий !нф!н!тезимальний оператор процесу Сх ) . Як правило ,
обчислювати ¿.процесу (ЗГ ) досить важко . Проте обчислення спро-щуються тому.що для обмежено'1 в;дкрито! област1 0 оператор моае бути обчислений в точках облает! для незупиненого процесу ,який визначаеться р!внянням
I - I с!х(I)=а( х )(И + Ьа,х )(1и(П +
с(I,х .игшми
®
де а , b , с - видозм1нен1 функц!онали, як1 задов1льняють уыоваы Л1 пшиця (15) та a(t,x)=a(t,x); b(t,x)=b(t,x); c(t,x,u)=c(t,x,u) для х € Q: a(t,x)=0; b(t,x)=0; c(t,x,u)=0 для x £ Q , Знайдеться
o _t
в1дкрита мновинч Ycq така, то для^ЧС Y маемо х £ Y ,vt >0
(лема 2,3.3) та (¿.vHs,^ )=(ХvИs,^ ) (лема 2.3.4).
П. 2.3.3 м1стить алгоритм« обчислення слабкого ¡нф1н!тозимально-
го оператора (dlvHs,^) для певних клас1в ФункЩонал1в
v:[0,T]xmP—>Ш.
Шорет 2.3.1. Якцо 1) виконуються умови (15), (16) з конс-
р
тантою L^ для дов!льних х,у £Ш таких,що Их1|^<
2) v(s,x) F(s,x(0)) неперервно диференц1йовний по первому та дв1ч! неперервно диференц!йовний по другому аргументу ;
3) а,Ь та с сумован1 за квадратом по t£I0,T], то v(s,^) £ D( та
~0 7)F(s,x(0))
(jLF)(s,x) = -—-+ ((4i F)(s,x(0)),(a(s,x)) +
• OS
12 T f
+ - spü4? F)(s,x(0))b(s,x)b (s.x)) + IF(s,x(0) +
2 i
U
+c(s,x,u)) - F(s,x(0)) - ((vF)(s,x(0)),c(s,x,u))] ül(du). (18) Шеарела 2.3.2 дл$м£ункц1онала
v (x): = k(s)g(x(s),x(0))ds
с o ~u
доводить його належн!сть Oíd.) та задае алгоритм обчислення
(¿v^KS,^ ). Для класу неавтономних функц1онал1в
t
v (t,х ) ;= 2
t
k(s)g(t-s,x (s),x(0))ds
в теорем1 2,3.3 доведено, цо v^£ D(j[) та при певних умовах одержана формула для обчислення (^ Ks,^ ).Для^функц1онал1в вигля-
ду v (t.x ): =QCv (t,x )); v (t.x ):=C(v(t,x )+v (t,x )) 3 2 4 1
побудован1 алгоритми обчислення (¿vHs.x) ( теореми 2.3.4 ; 2.3.5).
§ 2.4 присвячений ст1йкост1 СДФР з необмевеною п1сляд1ею та пуассоновими.збуреннями.
Леш 2.4.1. Нехай 1) (х .t^jD) - неперервний справа строго
марковий процес на Yc:®P3 оператором ¿;2) Q сУ -в1дкрита мно-
t( t) J
«ина, at - час виходу з Q; 3) х = х та А - слабкий 1нф1н1-
^t t> тезимальний оператор процесу (х }; 4) для х £ Q ~ t t (£v)(t,x ) = -k(t,x ) ч< 0. о
Тод1 для х Е Q :
fl)v(t,x ) - нев1д"емний супермартингал зупиненого процесу б? ) ; В)для ковного X >0
t „ viT/x ) J; 5Р( sup v(t,x ) 5-Я) < —т— , де х Е Q ; T.<t<o«=. -Л-
.J,
СНснуе с(со) така, що v(t,x )—>cW> ) майве скр1зь. Seopexa 2.4.2.Нехай 1) виконувться умови леми 2.4.1 ;
2)k(t,x ) ) 0 на в1дкрит1й п1дмно»ин! QcQ^ та для де-якогоЪ > 0 функц!онал к^ р!мном!рно неперервний на
R •= tx* Е ШР | к (xS <^)f\Q ; ь 1
S t
3)0>Ctr >t, sup fx - x | > £.)—>0 р1вном1рно no t для до -Q t<s<t+h h->0
t 4 4 в1льного x £ Q.
t t Тод1 для x E Q маемо k(t,x )—>0 при t—>оо*айве скр1зь в
Q. := eQ.| sup v(t,x Q o^t
В теорем! 2.4.4 , цо^е аналогом теореми 1.3.6 , доводиться б1лья
сильний результат: х —>0 при t—>оомайве скр1зь.
Розв"язок автономного р1вняння (13) експоненц1ально ст1йкий,
- 18 -
~p t t t t t якщо (£.v)(x > = -k(x 0 для Q,;r (x |v(x ) < 3U та k(x ) t t p A пропорц1йний v(x ) в 0ядля хЕШ (теорема 2.4.5).
Найпрост1вий алгоритм побудови функцЮнал1в Ляпунова-Красо-
вського дае
t
Ягорька 2.4.в. Нехай 1Кх ,t >х0) -неперервний справа строго марковий процес, який визначаеться р1внянням (12);
Р L t
2) h ; Ш —>Ш задовольняе умовам: h(0)=0 , h(x ) > 0 при x i О
та неперервний в нул<;
t р
3) для немного хСШ ^Of
4) 1снувть lia -El
t f f й S \ F(x ) = Œ{ h(x )ds Г
s
< oo
s о s<Vt о
h(x )ds)=h(x ); HmIE(h(x 1))=h(x ) s->0
де^ - момент первого виходц з околу Q початку координат;
5) Fix )—>0 при х —>0; F(x ) —хэопри ||х й р>«о.
Тод! F(x ) функц1онал Ляпунова - Красовського , який задовольняе
умовам теореми 2.4.3 та х —>0 при t—> оо майяе скр1зь.
В § 2.5 досл1д«уеться асимптотична ст1йк1сть найме скр1зь СДФР з необмевеною п1сляд1ев.Так1 р1вняння е математичнов модел-лв багатьох задач теорП' механ1ки суц1льного середовица та в"яз-копрувност! задача ("звисавчий павук") ; dx(t') = y(t)dt ,
•ft. t dy(t)=EF(x(t)) + k(s)g(x (s) - x(t))dsldt + (X )dw(t) +
+ |x(t)c(u)^(du,dt), T
де X(t) = (x(t).y(t') • Будуемо функц1онал 2
у (0)
v(X) = -+ h(x(0)) + lk(s)G(x(S)-x(0))ds ,
Jk(s)G(x(S)-x
о
де 6(0) =
В(г)бг ;функЩя 11 задовольняе р1вняннп (ШШ^-ТОШ ,
6 £ Ш, 1 така, до 0)=0, Ив Ь(г) =со при \г\-> <х> .
Використовуючи теореми 2.3.1 та 2.3.2, обчислеио ¿ч. Тод1 зг1д-но теорем 2.4.3 та 2.5.1 достатШ умови асимптотично! ст1йкост! майяе скр!зь трив1ального розв"язку задано!' системи визначаеться нер!вн1ств
<=о 2
О (X)
к(5)Б(х(Б)-х(0Шз »
1
+ -2
2 2
х (0)с (и)икай) +
<&
кС е )СБСхС э) - х(0) - х( 3 )с(и)) - 6(х( э)-х(0)) -
{¿'о
- е< хс г) - х(0))х(з)с(иШз ПМи).
ШреЯШ розд!л складаеться з чотирьох парагра?)1в , де досл1-дшуються л1н1йн1 та кваз1л!н1йн1 СДФР з ск1Нченоп п1сляд!ев та розривними траектор1ями.
В § 3.1 викладен1 результати про ст1йк!сть в серэдньоиу квадратичному трив1ального розв"язку скалярного СДФР (1),де л1н1йн1
функц1онали : а( 1, >, ьа, Ч), с( 1,^,0) - неперервн1 по Ъ для
#
вс1х Ш(С-г,01), причому вони е елементами С ( [-г,01,Ш ) при кояному Ь £ [0,со) та и £ Ш. В п.3.1.2 досл1дяуеться ст1йк1сть л1н1йного СДФР
йх( Ъ > = а(х )dt + Ь(х )(1вт * Ь
с(х ,ии (du,dt)
(19)
з початковими уиовами х(и =^(0 при I Е [-г,01.
2еораяа 3.1.1. Для будь-якого ^ £ ЯК [-г,01) та э^О розв"я-зок р1вняння (19) { х( ),<^0 ) суиовний в середньома ква-
дратичному тод1 1 т1льки тоД1, коли
ае к
{Л6 (Г |Д - а(е ) = 0) с 0ч_ та
Г "О 1 \
Г|
1А0
Ь(е )
1Яо
1% - а(е )
Ой
■ ш
с(8 .и)
1Л
1Я0 а(е )
< 1 . (20)
XobAido* 3.1.2. Тривгальний розв"язок р!вняння (19) експо-ненц1ально ст1йкий в середньому квадратичному тод! 1 т1льки то-д1, коли виконупться умови теореми 3,1.1.
Шгореж 3.1.2. Якцо В-1 , то в будь-якомц окол1 нуля знай-
деться така почиткова функц!я^, ко 11 в Е(х (t,s,^ ШОН оо),
t-> о-=»
Ичоремз, 3.1.3. Якцо В>1 , та в будь-якому окол1 нуля энай-деться така початкова Функц1я^, що lli Е(х (t.s, )}=оо
t->oo
В п.3.1.3. вивчаеться критичний випадок для автономного СДФР
dx(t) = а(х )dt + с 1+<г>ít))b(х )du(t) + t -J t
(1 +>S(t))c(x .un(du.dt), t >0. (21)
í 1 Шеярема 3.1.4. Пехай розв"язок x(t)>0 р1вняння (19) експо-ненц1ально ст1йкий та В=1. Тод! трив1альний розв"яэок (21) ст1й-кий в середньому квадратичному , якцо do (t) = мах (<^(t),^(t)} монотонно сг.адае та 1снуе 1нтеграл
2
|2cí.(t) + cL<t)|dt <ctq ;
нест!йкий в середньому квадратичному, якщоdLtt(t)> 'монотонно зростае та
|2*t(t) +dLZ(t)|dt =оо.
В п.8.1.4. для дослЦаення ст1йкост1 (1) з зм1нними л1н1йними
функц1оналами використовуеться породяене р1вняння
dy(t) = a(t,v )(it . (22)
t»
Позначимо h(t,t ) розв"язок (22) , побудований за початковою функции h(X+0,t )=Н(0) , який дор1внве нулев! при вс1х 8£[-г,0) та одиншй при 9=0.
Мсорема 3.1.5. Нехай : 1) виконупться умови для htt.t:) :
2 f 2 sup h (t,t) <oo; lis h(t,t:)=0 ; sup h (t,x )dt<©o; tvt*0 t->co Ц0 J
- 21 -
2) для розв"язку р1вняння (22)
Ни sup |y(t,0,4})| = 0; t->oo || J? ||= i ,
3) icHye константа c>0 та ймов!рн1сна м1ра^(&в) на [-г,01 та ка, що при кожному t)0 та Е Ш виконуеться нер!вн1сть t
lira
t-> с>о
2
[b (t,h (B.s)) +
2
с (t,h (9,s),u) Ш(du)]ds < 1 t
Тод! розв"язок х(Ь) = 0 р!вняння (1)з л!н1йними Функц1оналами асимптотично ст1йкий в середньому квадратичному.
В п.3.1.5 здобуто алгебра\чний критер1й асимптотично!' ст1й-кост! в середньому квадратичному систем стохастичних диференц1а-льно-р!зницевих р1внянь з сталими коеф1ц1ентами (теореми 3.1.В ; 3.1.7),з допомогоп якого досл1даена ст1йк1сть стохастично1" моде-л1 курсу судна.
В § 3.2 досл!дяуеться ст!йк!сть стохастичних моделей , як! описушться стохастичними диференц!альними р!вняннями з частинни-ми пох1дними при наявност! пуассонових збурень. Доведена теорема 3.2.2 про стабШзацШ розв"яэк!в стохастично* задач1 Ком1 для р1внянь парабол!чного типу з сталими коеф1ц1ен-тами та теорема 3.2.1 1снування розв"язку ц1е!' задач1 в простор! сумовних в середньому квадратичному за часом випадкових функ-Щй.
Досл1джена стаб!л!зац!я розв"язк1в м1шано!" задач1 стохастичного р!вняння коливання та теплопров!дност! (п.3.2.3 та 3.2.4).
В § 3.3 доведена формула 1то для квадратичних функц1онал1в. В п.3.3.1 вводиться поняття квадратичного функц1оналу Т Т
Q
Г 2
1
де ^ £ Ш ([-г,0П;.ДЕ С (Q—>М( Ш))- л1н1йний неперервний опера-
п *
тор, який flie на^\ £Ш за правилом
(JA.JJ )(Й) =
JUUM9)^(0)
-г
де А е]Е1 -Q-алгебра борвлевих п!дмножин в!др!зка [-г.01,
причому для с^>0 виконуеться нер1вн1сть с^|^(0)| < < ,v!J >.
и
- 22 -
Яеорсла 3.3.1. Нехай мае м!сце стохастичний диференц1ал
с1ут = С ГС у ) + сЛ(ОШ
( Ъ )йи( I) +
йа.иР? (с1и,(Ю
Й
з початковою умовою у(Ъ3 = •*) (и, I £ [-г.0];^£Ш ([-г,0]) , де
ПС ([-Р.О])— ^ ; (Л(Ь),&(Ь)}с=Н £ Н ?
п * * •-> 1 2
Якщо >1- £ ОНА ), то для випадкового процесу <^у ,у > стохастичний диференц!ал обчислиеться за формулою * п (о)
ск^АУ .у > = ( <ЙЛ*.у ,у > + 2Ж1 < Д . У > ос (Ь) + Ь Ь Ь I ]=о ] I ]
+ ^ а)%(>0<^(и +
<Ь
П (0)
+ 2211 <м ,У >Ъ> (1 )с!иСЪ) + 3.=о 1 Ь
+ 2
п
3=0
(0) ^ <и .У +
1
ш
Г
^ (I,и)ЪС^^(МГ^^Ми,
(23)
де Ш -тв1рний оператор швгрупи (Т(и) на розв"язках детерм1но-ваного р!вняння dy(t) = Пу ; ,<£> - ]-т1 координати век-
I ^ л. 1 $
тор1в Лта^; 1 = 1,2,...,п;о<.М) - матриця (пхп) значень еле-
мент!в и. матрично! м1ри .А на мнояин! , яка складаеться з од-
'Нк (о)
нIеУ точки В =0, 0 =0;^ - векторн1 м1ри на [-г,01, як1 скла-1 2 Л
даються з 1-го стовпчика звукення матрично! м!ри^на®-алгебру мновин вигляду А х (0), А-борелева мнояина в!др!зка [-г.О]. П. 3.3.4 присвячений досл1дшенню л1н1йних та кваз!л1н1йних СДФР з розривними траектор!ями. Розглядаеться л1н!йне СДФР
йхС Ь)
Ах dt + Вх dы(t) + г I
(24)
де А, В та С(и)- л1н1йн! неперервн! в!добралення.
+
Щрмремз, 3.4.1. Трив1альний р зв"язок р1вняння (24) експоне-нц!ально стойкий в середньому квадратичному год! 1 т!льки тод1 , коли D(R , де tK - майже в1ДТворюючий конус в
<q £ С(Q—>М ( Ш))|ч(0 ,ö ) = g (В ,9 ); Ч О ,В £ Q ) ; п 12 2 1 12
(S(t),t £ЭД ) - п1вгрупа оператор1в зсуву вздовн розв"язк1в (24)
з в1дтвориючим оператором (й , резольвентою R та потенц1алом R .
У- о
Аьш 3.4.2. Нехай <£. - слабкий 1нф1н1тезимальний оператор
маркового процесу , як розв"язку р!вняння (24). ЯкщоЦи-£ D(ffl ) , то квадратичний функц!онал ): = ij^.'J} > Е D(J£) та
) = < wjjl^ ,vs) >.
Ъхурът 3.4.2. Трив1альний розв"язок р1вняння (24) ст1йкий
*
в середньому квадратичному тод1 1 ильки тод1, коли 1снуе Ja£ К
о
—*
та число с>0 таке, цо (й ju< -с<5 ,М}<5 •
о о
Для кваз!л1н1йного СДФР
dxCt) = [f(x ) + a(t,x )Jdt + b(t,x )du(t) + t t t
c(t,x .uWdu.dl) . Л (23)
1
де f : С ([-г.01)—>ffi -неперервне в1добранення; вЦобраяення а, п
b та с визначен1.неперервн! та обмехен! на коан1й обмежен1й п1д-
мнояини i3lB с t-г,01), доведена теорема единост! розв"язку
п *
йеорсяа 3.4.3. Нехай 1снуе посл1довн1сть {Jul , в £OI>citK .
в '
така, що для будь-якого Ц* £ Ш ([-г,01) iCHye
п
lin <ju 4) > = > .
ш->оо в
Якцо JJL >>0 , sup |i (П Jul II <о<з та для вс1х И>1 в
-ks
w (S.JJ ,Ч> ) = е <U Н-Ч>),^-Ч>> в в
виконуеться сп1вв1дноиення
Пи (fflv Ks.^,4'J ^ 0 ,
|1->«о в я
де s £ R ; Ц ,Ч»)=Ш (t-r,01), то через коину точку (s,4) t + n
£ Ш хШ проходить не 61 льве одного розв"язку (25) , де оператор + п
- 24 -
Hv д1е з D(\H) в К за правилом
ш -ks *
(fflv )(s,^,4> ) = -kv (s,^,4>) ■+ e < O JU-H -W),^ - 4> > +
-ks n
(o)
+ e { 2~SZ,<jx -s>) > (a (s,^ ) - a (s,W)) + j = 1 j „i j
+ (b(s,^ ) - bís.^v )) $(JU)(b(S,^ ) - b(s,vv)) + T
(c(s,vS),u) - cís.vy.u)) 'й С jjü(c(s,^ ,u) - c( s.^V .u)) Щ( du)>, В п.3.4.2 розглядаеться квазШн1йне стац1онарне СДФР
di
А
dy(t) = t f С v^ J + aty^ndt + b(y^)du(t) +
c(y^,u)~S> (du,dt),
(26)
де a, b та с < ..и) - неперервн! воображения , як1 задовольняють умобам
о о
2 2 2 2 |а(^ )| < L И(8)| о (d6)+L ; |b(^)| < L Н(8)| <5(d8)+L ;
1, ^ 2 3, 4
|v^(8)| ^(dQ)Ш(du) + L
|c(vSJ,u)| < L
5 , -r
де о- ймов1рн1сна Mipa на
S [-Г.0]
Seopcjía 3.4.4. ЯкцоСЗ (fi)<=(z £C |Rez <-2^<0 } , та при деякоиу виИонуеться нер1вн1сть
* Аг 1
с || Of R а >11 е ( -L + L + L ) < 1 , -ЗГо Ai 3 5
то р!вняння (26) мае стац!онарний розв"язок,
Я&орема 3.4.5 дае достатн! умови : К || o(R <5 ) II < 1
о
асимптотичноГ стохастично! ст!йкост1 для р1вняння (25). ЯодаЛйж складаеться з двох параграф1в. В § 1 проведено як!сне досл!дяення стохастично!" модел! ме-xaHi4Ho'í системи "р1зець-деталь".
В п.1.1 розроблено метод усереднення для диференц1ально-функц!о-нальних р!внянь з пвидкоосц1люючими випадковими функц1оналами (теорема Д i.2).
П. 1,2 дослЦиуе л1неар1зоване р!гняння системи "р1зець-деталь"в окол! статично'1 р!вноваги
u(t) +^u(t) + au(t) + blu(t) - u(t -x(t))] - 0, (27)
де ^ , a , b - визначають характеристики систем . Будемо вважати швидк1сть шп1нделя випадковою величеною tr(t) = М 1 + dL*\Сt)) , де {^(t)) -марковий випадковий процес, який набувае два значения 0 та 1 , причому ф!нальна ймов1рн!сть дор1внюе 1Р(^(оо) = 1)гр, Якщо усереднити (27) по ф1нальному розпод1лу, то питания про ст1йк1сть полояення спок1йного ргзання мояна розв"язати, пров1в-ши анал!з розташування нул1в кваз1пол1ному
2 -(i+db^z чг
И(Л) = X а + b( 1-ре -- (1-р)е ) = 0 .
3 використанням ЕОМ побудовано D - розб!ття при~&&. = 1 ;<¿=0,5 ; р=0,5 та встановлено, цо область ст1йкост1 зб1льшуеться та з"я-влявться достатньо обширн1 зони ст1йкост1 нав1ть над границея абсолютно! ст1йкост1.
Тут такоя роэглядаеться 1нва л1неар1зована стохастйчна модель процесу р1зання , в як1й параметри детерм1новано! системи знаходяться п1д впливом випадкових збурень
u(t) + -£u(t) + au(t) + btu(t) - u(t-b)] =
= tu(t) - u<t-b, )Hd«(t) +
f(v)^(dw,dt)]. (28)
Тод1 область cTiftKOCTi в середньому квадратичному трив!ального
розв"язку (28) визначаеться нер1вн!стю
2 KS sin — ds
4/2 2 - <о + с f
f (v) > dv
2
2 2 2
<1. (29)
41 v ' о [_s tatb(l-cosstk)] +( s+bsinsh) де <o- параметр дифузП процесу (u(t)) та
ffa(v)
dv <оо.
Умова (29) визначае в простор1 параиетр1в (О1, а, Ь) "пелпстко-ву поверхни". При с=1; ^ =0,1: fc».=0,i та f(v)=sin 3v , за допомо-гои ЕОМ побудовано облает! ст1йкост1 . При ф1ксованому значенн1 <3 "пелпетки" пом1тно згладяувться, до найб1льп реально в1добра-
- 26 -
кае процес р!зання на токарних верстатах.
П. 1.3 лрисвячений дос/пдкенню системи "р1зець-деталь" за допо-могою методу Ляпунова. Якщо побудувати функц1онал у(зл^) . який задовольняе умовм теорем 1.3.2 та 1.3.3
о
1 2 - Н<0)| +Ы. 2
Н(.в)| (10 , о[ >0
то достатн1ми умовами асимптотично'1 стохастично'1 ст!йкост1 про-цесу р1зання е виконання нер1вностей
с+о1 >0; (сЫ)(с1-^) - - (1-а-Ь)<0; с=1 +
4
2
[ (V)
(IV < оо
с-сА.
1
-(1-а-Ь) 2
-(1-а-Ь) 2
-с
Нер1вност1 легко
-с
-Ь
> 0
-Ь с-<*1
перев1рягаться за допомогою ;ЕОМ , що >да€ «отливать вказувати облает! параметра, де спостер1гаеться стаб1л1-зац1я стохастично! системи "р1зець--деталь",
В § 2 розглянута ст1йк1с-гь стану р1вно-ваги системи фазово! ввтоп1дстройки частоти (ФЙПЧ).
В п.2.1 описана стохастична модель ФйПЧ при наявност! смугового Шдсилавача в ланцюгу оберненого зв"язку.
В п. 2.2 проведений анал1з ст1йкост1 стану ^¡вноваги системи ФЙПЧ з багатокаскадним смуговим П1дсилювачем три «йдсут-ност! перешкод. Цей анал1з зводиться до досладкевня «яйй89С1г4 (гр«В'1аль -ного розв"язку диферец1ального р!вняння даугег«о «горя-дву з загая-нии аргументом
Тх'а) + х(П - Ьха--с) + ЬшТх(г-'с) = 0, ■ (30)
де р'(4} - смуга утримання , Т - стала ф1льтру низь-
- У о У " '
ких частот. При п=0 область захвату (ст1йкостП сильно в1др1зня-
еться при вс1х Т>0 В1д випадку ФЙПЧ без смугового пЦсилювача.
При££ ^ (£ ) близьких до одиниц1 та достатньо великих Т сл!д У о
досл!дяувати вплив малих випадкових збурень параметра на динамку ФЙПЧ , тобто досл1дяувати ст1йк1сть трив1ального розв"язку
лШйного стохастичного дифервнц1ально-р1з1ыцевого р!вняння при
наявност! випадкових збурень
ТхШ + хС Ь) + Ьхи-Ъ) + ЬшТх(Ь--Х) =
= х(0 + хи~-ъ) + хи-х +
1 2 3
' *
+ Сс х(Ь) + с ха-л:) + с ха-~с)] (3!)
12 3 ,
41
Знайдено област1 ст1йкост1 в середньому квадратичному трив!аль-ного розв"язку СДРР (31).
0СН0ВН1 РЕЗУЛЬТАТ]! РОБОТИ
1. Доведена теорема 1сн^вання та единосп для розв"язку стохас-тичиих диференц!альних р!внянь з випадковими функц!оналами.
2. Побудованс класи функц1онал!в Ляпунова-Красовського та знай-денI алгоритми обчислення слабких 1нф1н1тезимальних оператор!в на розв"язках СДФР з обмеженою п1сляд1еи та пуассоновими збурен-нями .
3. Доведено прямг теореми Ляпунова про асимптотичну ст1йк1сть в середньому квадратичному та асимптотичну стохастичну ст1йк1сть розв"язк!в СДФР з розривними траектор!ями.
4. Встановлёно зв"язки ст1йког тей для розв"язк1в СДФР з обмеженою П1сляд1еш , необх1дн1 та достатн! умови експоненц1ально'1 р -СТ!ЙКОСП В Ц1ЛОМУ.
5. Доведе..с теореми 1снування та единост! розв"язк1в для СДФР з необмеженою п1слядп;ь , про неперервну залеатсть розв"язк1в в!д початкових даних,
6. Побудованс класи функц10нал1в Ляпунова-Красовського та обчи-слен1 слабк! 1нф1н1тезимальн1 оператори для розв"язк1в СДФР з необмеженою п1сляд1ею та пуассоновими збуреннями.
7. Доведена прям! теореми Ляпунова про ст1йк!сть майае скр1зь СДФР з необмеженою п1сляд!ею з розривними траектор!ями.
В. Побудованс квадратичн1 функц1онали, як! даать умови ст1йкос-т1 трив!ального розв"язку кваз1л1н1йних СДФР 1з ск1нченнои п1-сляд1еи та розривними траектор1ями.
Э. Розроблений 1нтегральний метод, який дае необх!дн1 та достатн! умови асимптотично! ст!йкосп в середньому квадратичному ро-зв"язк1в л!н!йних СДФР.
10, Знайдено достатн! умови ст1йкост! в середньому квадратичному
стохастичних диференц1ально-р!зницевих р!внянь у термИшх влас -них значень деяко! 1нтегрально1' матриц1.
11. Досл1двена ст1йк1сть стохастично! модел1 " зв1саючий павук " (теор1я суц1льного середовица та в"язкопруиност!).
12. Проведений як!сний анал1з стохастично* модел1 задач! р1зання на токарному верстат! (маминобудування).
13. Досл1дкена стохастична модель фазово'1 автоп1дстройки частоти з багатокаскадним смуговим П1дсилювачем (рад!оелвктрон!ка).
14; ЗнайденО умови асимптотично! стабШзацП в середньому квадратичному стохастично'Г задач! Кош1 длчя р1внянь парабол1чного типу з сталими коефЩ1ентами.
15. Отримано умови асимптотично!' стабШзацП в середньому квадратичному розв"язк1в стохастичних р!внянь коливання та теплопро-в1дност1 з м1шаними початковими умовами.
Оаи>&н1 ре^ульёаШа дисертацьС огщ&л1ко&ан1 & робота«:
1. Царьков Е.Ф..Ясинский В.К. Об устойчивости тривиального решения линейных стохастических систем//Укр.мат, журн.-1970.-Т.22.N5.-699-701.
2. Ясинский В.К. Устойчивость решений линейных стохастических дифференциальных систем с последействием //Уравнения мате -матической физики и теории алгоритмов.-Рига,1972.-С.97-109.
3. Ясинский В.К. Об Кр,ч)-устойчивости решений линейных диф -ференциал но-функциональных уравнений //Уравнения математической физики и теория алгоритмов.-Рига, 1972.-109-120.
4. Слисарчук В.Е., Царьков Е.Ф., Ясинский В.К. Об устойчивости решений линейных стохастических дифференциально-функциона -льных уравнений к случайным возмущениям их параметров//9кр. мат. »урн.-1973.-Т.25,N8.-С.412-418.
5. Ионии Л.Л., Царьков Е.Ф., Ясинский В.К. Об устойчивости решений стохастических дифференциально-разностных уравнений// Исследование по теории Дифференциальних и разностных урав -нений.-Рига: Латв. ун-т, 1974.-С.29-72.
6. Ясинський В.К. Про моментну ст1йк1сть розв"язк!в диференц1-ально-функц1ональних р1внянь до випадкових збурень 1'х пара-метр!в // 11атер1али друго1' конференцП" молодих науковц!в Зах1дного центру АН ЗРСР. Секц1я математики та механ1ки,-
- 29 -
Уягород, 1975.-С.112-115.
7. Слпсарчук В.Е., Ясинский Е.К. Устойчивость решений линейных стохастических систем с последействием // Исследование систем со случайными возмущениями.-Киев,1977.-С.3-15.-Препринт /АН УССР. Ин-т кибернетики, N77.14.
8. Ясинский В.К. Устойчивость решений линейных стохастических функционально-дифференциальных уравнений в критическом случае //Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук.-1977.-Т.31,N6.-С. 977-1005.
9. Ясинский В.К. Устойчивость почти наверное тривиального ре -шения функционально-дифференциальных уравнений// Асимптотические методы нелинейной механики.-Киев;Ин-т математики АН УССР, 1979.-С.111-117.
10. Ясинская Л.И., Ясинский В.К. Асимптотическая устойчивость в среднем квадратичном тривиального решения стохастических функционально-дифференциальных уравнений // Укр. мат.»урн., 1980, Т.32, N1, С.89-98.
11. Ясинский В.К.Об устойчивости решений стохастических функционально-дифференциальных уравнений с переменными коэффицие-нтами//Аналитические методы исследования нелинейных колебаний.-Киев: Ин-т математики ЙН У ССР, 1980.-С.109-117.
12. .Свердан И.Л,, Ясинский В.К. Устойчивость решений линейных стохастических функционально - дифференциальных уравнений в критическом случае // Изв.вузов. Сер.математика.-1982,-Т. 241, N6,-С.53-56.
13. Свердан М.Л., Ясинская Л.И., Ясинский В.К. Некоторые свой -ства функционально-дифференциальных уравнений/ Черновиц.ун-т.-Черновцы,1982.-47с.-Деп. в ВИНИТИ 9.10.82, N6202-82 деп.
14. Свердан М.Л., Ясинская Й.И., Ясинский В.К. Устойчивость стохастических дифференциально-разностных систем/ Черновиц. ун-т.-Черновцы,1982,-36с,-Деп.в ВИНИТИ 9.07.82,N3668-82 деп.
15. Ясинский В.К. Поведение на бесконечности решений стохасти -ческих дифференциальных уравнений со случайными оператора -ми // Дифференциальные уравнения и применения I : Тр. тре -тьей конф. (Руссе, 26 авг.-2 сент. 1985 г.).- Руссе, 1987 -С.487-490.
16. Ясинский В.К. Анализ устойчивости резца в радиальном направлении с учетом стохастических возмущений //Нелинейные ко -
- 30 -
лебания механических систем: Тр. всесоюзн. коиф. (Горький, 11-17 окт.), 1987.-С.113-114.
* I
17. Ясинский В.К. Устойчивость стохастических дифференциально -функциональных уравнений при наличии пуассоновских возмущений // Функционально-дифференциальные уравнения и их применения: 111 Уральская региональная конф,-Пермь, 1988.-С.304.
18. Свердан Н.Л., Ясинская Л.И., Ясинский В.К. Стабилизация решений стохастических линейных уравнений в частных производных при наличии пуассоновских возмущений//Кибернетика и вычислительная техника.-19В8.-Т.81.-С.7-12. ,
19. Царьков Е.Ф., Ясинский В.К. Квазилинейные стохастические дифференциально-функциональные уравнения // Стохастические модели в функциональных пространствах.-Киев,1989.-С.27-46.-Препринт / АН УССР. Ин-т математики, N83.-13.
20. Ясинский В.К. Устойчивость решений счетных систем стохастических дифференциальных уравнений с разрывными траекториями // U межд. Вильнюсская конф. по теории вероятностей и математической статистике.-Вильнюс,1989.-С.395-396.
21. Перун Г.П., Ясинский В.К. Стабилизация решения стохастического уравнения колебания с оператором Бесселя при наличии пуассоновских возмучений.-9кр.мат.журн.,1990.-Т.42,N7-C.974 -978.
22. Ясинский В.К. Исследование потери устойчивости стержня в динамических системах с учетом стохастических возмучений // Нелинейна колебания механических систем : II всесоюзная конф,- Горький, 1990.-Т.2.-С.31-32.
23. Ясинська Л.1., Ясинський В.К. Про зв"язок експоненц1ально1' та асимптотично* стохастично!' ст1йкост1 розв"язк1в диферен-ц1альнь-функц!ональних р1внянь з розривними траектор1ями // Крайов! задач! з р!зними виродженнями 1 ,особливостяии:3б1рн. наук.праць.-Черн!вц1,1990.-С.183-189.
24. Цмнгаева A.B., Ясинский В.К. Устойчивость решений линейных стохастических дифференциально-разностных уравнений с раз -рывными траекториями //Укр.мат.журн.-1989, Т.41,N5.-С.666 -671.
25. Ясинский В.К. Об асимптотическом поведении ревений стохас -тических дифференциальных уравнений с переменным запаздыванием при наявности пуассоновских визмущений//Стохастические системи и их приложение:Сб. Научн.тр.-Киев,1990.-С.107-116.
26. Царьков Е.Ф., Ясинский В.К. Квазилинейные стохастические дифференциально-функциональные уравнения. - Рига. Ориентир, 1992.-328 с.
2?. Yasinsky U.K. The Investigation of Stochastic Quasilinear Differential-Functional Equations with Poisson Disturbances //19 Conference on Stochastic Processes and their Applica -tions (Eisenach. German Democratic Republic, September 3-8, 1990 ).-Jena (GDR), 1990.-P.97-98. Co-author Tsarkov E.F.
28. Yasinsky U.K. Research of Accountable System of Stochastic Differential Equations with Breaking Trajectories // Second Collogvium on Differ-ntial Equations ( Plovdiv . Bulgaria, August 19-24).-Plovdiv, 1991.-P.111. Co-author Ivaniv I.I.
29. Yasinsky U.K. Stability of Solution of Nonlihear Stochastic Functional Differential Equations. // Second Collogvium on Differential Equations (Plovdiv, Bulgaria, August 19-24). -Plovdiv, 1991.-P.111. Co-author Yasinskaya L.I.
30. Yasinsky U.K. On Strong Solutions of Stochastic Functional-Differential Equations with Infinite Aftereffect// Procee -dings of the Latvian Probality Seminar.-1992.-Uol.i.-P.189-214.
31. Yasinsky U.K. The Second Lyapunov Method for Stochastic Functional-Differential Equations with Poisson Disturbancess //Randnm Opereters and Stochastic Equations.-1992.-Uol.4. -P, 1-18, Co-author Tsarkov E.F.
32. Yasinsky U.K. Study of the Stability of Nonlinear Functio -nal-Differential Equations with Infinite Aftereffect Pois -son's Perturbations.//Тези м1янародно'( конференцП, присва-чено'1 пам"ят! академ1ка М.П. Кравчука (Ки1в-Луцьк, Укра'1'на, 22-28 вересня 1992 року).-Ки!'в, 1992.-с.254.
