Дослiдження плоского термонапруженого стану вiля крайових трiщин в многозв''язних тiлах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РГ6 од

- 1<г - - • МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНІ!

’ л і \ J 1 * , * ,

J " • '* Київський університет їм. Тараса СЬвч*яка

На правах рутпису

\У2ГАНГОВ Леонід 0л«К2і:ї0їК'і

УЛК 553. 375

ДОСЛІДЖЕННЯ ПЛОСКОГО ТЕРМОаУРУЗЕНЗРО С?££У БІЛЯ КРАЯОЕКХ ТРіїИН В ї£0Г033”ЯЖСС ГІЖ

СІ. 02. 04 - механіка творчого де-іюрмігаого тіла

Автореферат дис;>ртаді і на здобуття науксрогз ступеня кандидата^фхзико-математичних наук

Киха -

1GS3

РсОота виконана е Київському університеті ¡к. Тараса Еіїечєнка

ІіауксЕнй керівник - лектор фізико-математичних наук, лрогёсор А. О. КАМіНОЬКИЙ

Офіційні опоненти - доктор фівико-математичних наук, професор КХ Ы ШДІ-ЛЬЧУК

- кандидат фізико-мзтєматичних наук,

' Д. и. ПАРФЕНЕНЕО

ПроЕідна установа - Київський інститут інженеріЕ ціеільної авіації

Захист дисертації відбудеться ” ^ 199_~^року

о ? $ годині на засіданні спеціалізованої ради К 068.18.09 в Київському університеті ім. Тараса Шевченка за адресою: 252127, Київ-127,проспект акад. Гдушкова, 6, Київський університет, мех.-мат. факультет, ауд. іл.

З дисертацією можна ознайомитися в науковій бібліотеці Київського університету. -

Л- к ,»з.

Автореферат рові сланий "¿Лл *• /»______ 199_ року.

Ь'-^кий секретар спеціалізовакоі ради, кандидат фіь. -мат. тук, .

доцент Е. С. Ковальчук

- з -

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Робота присвячена дослідкеннп плоского термоналруиеного стану біля малих крайових тріщин в многозв"язних пружних тілах, якій виникає як наслідок нагріву поверхонь обмежуючих тіло та берегів тріпж до певних сталих значень температури.

. Актуальність роботи- Елементи конструкцій, які мають в поперечному перерізі ВИГЛЯД МЯОГОЗВ"ЯЗНОЇ ПЛОПОМИ, ШИРОКО застосовуються в усіх галузях сучасного машинобудування. Е багатьох випадках вони працсить в умовах нерівномірного нагріву при сталих значеннях температури на контурах, що обмеггують ці площини, внаслідок чого поблизу отворів виникає зона підвищених напруизиь. В ціх умовах калі крайові тріщини, або іклі поверхневі дефекти, які можуть виникати, наприклад, в процесі обробки, і які є, практично, в усіх конструкціях, являють собою осередки руйнування, з яких почзшається розвиток магістральних тріцин: процес, наслідком якого є локальне, а

згодом і глобальне руйнування конструкції. Де зумовлює необхідність враховувати дію теплових факторів під час проектування, мати ко мив їсть оціктаати вплив наявних створів та можливих технологічних дефектів поверхні на міцність та довговічність споруди. Але, до теперішнього часу, звакаючи на відомі труднощі, до виникають при розв”язуганні двовимірних ьиогозв"язких задач теорії прутзгссті і задач крихкого руйнування пругних тіл, послаблених малими крайовими тріщинами, подібні дослідгекня практично не проводились. В зв"ягку з цім, створення ноеих математичних методів та удосконалення існуючих підходів до розв'язування задач крихкого руйнування при теплових впливах, а також одержання нових числових та графічних результатів, які пов"язані з оцінкою впливу отворів та трівзга на терионапруяекий стан пружних тіл, становить великий науковий та практичний іетєрєс,

Мэта роботи полягала' в розробці нового ефективного підходу до розв'язування плоско! многсзв”язпоі задачи теорії' пружності, на основі якого иояякво було О побудувати загальний розв'язок плоскої задачи термопружності для тіл. послаблених* кількома отворами та малими крайовими тріютамк; одержанні ефективних розв'язків нових задач лінійної механіки

руйнування скінченних та нескінченних многозв'Язних пружних тіл з малими крайовими тріщинами під дією теплових факторів, та розв'язків нових двовимірних аадач стаціонарної теплопровідності, які випливають а постановки розглядуваних задач термопружності; розрахунку числових значень характеристик механіки руйнування в конкретних випадках та дослідженні закономірностей іх зміни в залежності від геометрії області при даних теплових умовах. .

Загальна методика дослідження. Розв'язування двовимірної задачі термопружності для тіл з тріщинами відрізняється від розв'язування аналогичної задачі теорії пружності необхідністю визначити розподіл температури в розглядуваній області. Для побудови розв'язків задач використовується метод конформних відображень, апроксимуюча функція спеціального вигляду та розвинення функцій голоморфних в областях обмежених даними контурами в функціональні ряди по поліномах Фабера.

Функція стаціонарного розподілу температури, зображувана як дійсна частина комплексного потенціалу теплопровідності, визначається з відповідних граничних умов. При застосуванні дислокаційної аналогії, многозв"язна задача термопружності замінюється еквівалентною силовою задачею, в якій діючі на контурах навантаження- цілком визначаються розподілом температури в розглядуваній площині.' Розв'язок останньої, шукається на підставі запропонованого в роботі нового підходу, у відповідності з яким будуються комплексні потенціали Колосова-Мусхелішвілі. для многозв'Язної області обмеленої контурами довільної форми, один з яких має крайові тріщини.

Наукова новизна. Застосування апарату’ функцій комплексної змінної та методу конформного відображення для розв'язування плоскої задачі теорії пружності, яке набуло розвитку у фундаментальних працях М. І. Мусхелішвілі, ефективне тільки за умови можливості побудови аналітичної функції, яка дає конфоррмнє відображення розглядуваної області на область, обмежену круговим контуром. З цієї причини спроби шукати розв'язок много-зв’Язної задачі за допомогою методів теорії функцій стикаються із значними математичними труднотами.

В роботі пропонується новий підхід, за яким, на основі комбінації методу Д. І.'Шермана, узагальненого на випадок мно- .

• - 5 -

гозв"язної області, обмеженої довільною кількість» простих замкнених неперетинаючихся контурів, та методу конформного відображення, мнсгозв'Язна плоска задача теорії пружності для скінченних та нескінченйих тіл, може бути зведена до розв'язування однозв'Язноі задачі для нескінченої області, обметеної одним, довільно обраним, з розглядуваних контурів. При використанні методу А. О. Камінського, запропонований підхід розповсюджується на задачі лінійної механіки руйнування много-зв'Язних тіл з малими крайовими тріщинами.

В цей спосіб, при застосуванні дислокаційної аналогії, побудовано загальний розв'язок плоскої задачі термопружності, у відповідності з яким многозв'Язна задача зводиться до одно-зв'Язної задачі, що у випадку, коли на контур одного з отворів виходять малі крайові тріщини, ефективно розв'язується методом М. І. Мусхелішвілі при застосуванні для функції конформного відображення апроксимугочої функції спеціального вигляду, яка'запропонована А. 0. Камінським. При використанні функціональних рядів по поліномах Фабера, за рахунок переносу частини аналітичної роботи на чисельне визначення коефіцієнтів розвинення, значно спрощено реалізацію конформного відображення розглядуваних параметричних областей однієї на іншу. В загальному випадку одержано визначальну систему лінійних алгебраїчних рівнянь відносно коефіцієнтів розвинення шуканих комплексних потенціалів Колосова-Мусхелішвілі в степеневі ряди, яка є регулярною в усіх розглянутих часткових випадках, щэ дозволяє шукати ії розв’язок за методом послідовних наближень.

Одержано розв’язки нових задач лінійної механіки руйнування при тепловому впливі для скінченних та нескінченних многозв'Язних двовимірних*областей з малими крайовими тріщинами, а також розв'язки відповідних нових задач стаціонарної теплопровідності. На їх основі сформульовано висновки про деякі закономірності розподілу термонапружень біля тріщин в многозв'Язних пружних тілах при даних теплових умовах.

Вірогідність одержаних результатів випливає з коректної постановки задач, математично обгрунтованого методу їх розв’язування, контрольованої точності розв’язку визначальних рівнянь та підтверджується відповідністю числових значень розрахованих на основі запропонованого методу для деяких част-

- 6 -

кових випадків відомих з літератури.

Практичне значення. Результати дослідження можуть бути використані при проектуванні конструкцій та механизмів, працюючих в умовах нерівномірного нагріву, для оцінки впливу наявних отворів і технологічних дефектів обробки поверхні на міцність та довговічність конструкцій. А саме:

- загальний розв'язок стаціонарної плоскої задачи термопружності для многозв'Яаних пружних тіл (для побудови розв'язків окрема задач, в тому числі і при інших теплових умовах);

- розв’язки розглянутих в роботі задач (для дослідхення характеристик руйнування пружних тіл іншої геометрії, виготовлених з інших матеріалів тощо);

числові та графичні результати (для оцінки запасу міцності конструкцій відповідної геометрії, що працюють при відповідних теплових умовах та ін.).

Робота являється складовою частиною дослі джнь за комплексним планом науково-дослідної роботи кафедри механіки суцільних середовищ Київського університету ім. Тараса Шевченка (держреєстрація N 01860098772 ).

Апробація роботи. Ьіатеріали дисертаційної роботи докладалися та обговорювалися' на науковій конференції їм. акад. Кравчука (м.киїз, квітень 1993 p.), семінарах відділу механіки руйнування матеріалів Інституту механіки AH' України (ц.Київ, 1992 г- 1993 p.p.), засіданні проблемної ради механіко-математичного факультету Київського університету ім. Тараса Еевченка (вересень 1993 p.),на конференціях молодих науковців Київського університету, наукових семінарах кафедри механіки суцільних середовищ Київського університету (1991-1993 p.p.)

Основні положення, що виносяться на захист:

1. Метод розв'язування плоскої задачі термопружності для многозв'Язних областей з крайовими тріщинами;

2. Розв'язки нових задач лінійної механіки руйнування многозв’Яаних пружних тіл при заданих на поверхні тіл і берегах тріЕИН сталих значеннях температури;

2. Результати дослідження залежності характеристик руйнування при тепловому впливі від геометрії області.

Публікації. за матеріалами дисертації опубліковано 6 наукових праць. ■

■ -7 ~

Структура і об"ем роботи. Дисертація складається а передмови, вступу, 4-х глав, висновків та списку літератури. Робота викладена на 165 сторінках машинопису, містить 28 малюнків та 2 таблиці. Список літератури налічує 160 назв.

ЗМІСТ РОБОТИ

Передмова відбиває важливість та актуальність питань, шо ■ складають предмет дослідження. Тут сформулювано мету роботи та основні положення, які виносяться на захист.

Вступ містить огляд • наукових праць, які присвячені розв"язанню двовимірних задач теплопровідності та визначенню плоского напружено-деформованого стану, шр виникає при дії теплових факторів у пружних многозв"ягних тілах, послаблених отворами а криволінійними контурами та тріщинами.

В першій главі дисертації, що носить допоміжний характер, наведені основні співвідношення двовимірної задачі теплопровідності, плоскої задачі термопружності та лінійної механіки руйнування. Стисло викладено метод розв'язування однозв"язних плоских задач для тіл з тріщинами, в основі якого лежить застосування конформного відображення. Побудовано функції, які реалізують конформне відображення області, розташованої зовні одиничного кола, на зовнішність кругового та еліптичного отворів з однією або двома малими крайовими тріщинами. Побудовані функції апроксимовано поліномами спеціального вигляду. Розглянуто необхідні в подальшому ВІДОМОСТІ з теорії поліномів Шабера, та одержане їх • зображення в області, обмеженій довільним криволінійним контуром, на якій виходять малі крайові тріщини. .

В другій главі розглянуто плоску задачу термопружності для нескінченної многозв"язноі області, обмеженої контурам: довільної форми з крайовими тріщинами. Розглядається тіло ізотропне за його тепловими та пружними властивостями, деіс;-мації вважаються малими, теплофізичні та механичні властивості не залежать від температури, береги тріщин під час де;о;-мування не стикаються. ,

Вважається, до замкнені гладкі криволінійні контури т = та контур отвору £,д разом з крайовими трізвівіс-..

- 8 - . вільні від зовнішнього навантаження. В розглядуваній області дано стаціонарний розподіл температури T(x,ÿ) = 2 Re F(z) , де F(l) - аналітична в цій області функція вигляду

F(z) - Іп (z - 2,^) + £(г),

m.» 0 '

що визначається з відповідних граничних умов. В якій: -

деякі дійсні стаді, Zт. - довільні точки всередині контурів L, , г0(г) - функція, голоморфна в області S ■-

Задача полягає у визначенні голоморфних в області ■ 5 функцій $>(*) і То(і) , що задовольняють на кожному з контурів L т , т.- 0, М наступним граничним умовам:

%(1) + І $(*-)’ + = 2 f т. (*) , t’e-

де м - ■

•/«.(*) - і(i + В^) ¿ь\ї - Z.^1 +

tot=ro

+ Ji гт. І

. ■ 2. t -■ І*. J

- неперервні та однозначні на лі = 0,./И, функції,. в яких,

задовольняючи умові однозначності змішрнь, слід покласти

= --О’

- коефіцієнт теплового розширення матеріалу пружного тіла, Е

- модуль Шга, 6іт - лишок функці і F^iz) в точці 2^._________________

. Шсля введення на кожному з гладких контурів Ln7 і, М, неперервних та однозначних допоміжних функцій ,

які мають задовольняти наступним рівностям

if.(i) - t (і) - fo (і) =2 t e ,

граничні значення функцій %(i) і fo(i) на кожному з конту-

рів Lm 7 т — і, М , подаються у вигляді

^Рс(і) = (0- + -^гп. (¿),

І Є і

т.

Тоді,

ж. =1 І

і розглядувана задача зводиться до визначення регулярних всюди зовні контуру і,с функцій у,с(2) і %„(і) з гранично! умови

Це співвідношення ЯВЛЯЄТЬСЯ’ граничною умовою ДОПОМІЖНОЇ задачі - перші основної задачи плоскої теорії пружності для нескінченної 0ДКЛЗ"ЯЗН0 ї області, обмеженої кпитттппм і „

яка фізично означає прикладене на ¿0 деяке навантаження, шр цілком визначається розподілом температури в області ¿' .

являє собою лінійну комбінацію функцій голоморфних всередині контуру і о . Шдаючи ЦІ функції у вигляді рядів по поліномах Фабера, побудованих для області, обмеженої, контуром і а .праву частину граничної умови допоміжної задачи одержимо у вигляді деякого степеневого’ ряду.

Тоді розв’язування допоміжної задачи ефективно проводиться методом конформного відображення (глава 1) і функції У»»/2) і одержуваться у вигляді деяких операторів

%о{і) +- і $о(±) +- = Р({:) , і е-іо

при деякій, поки невідомій, правій частині

- 10 - ______________________ .

від невідомих допоміжних функцій } т = і, /И .

Подаючи останні у вигляді відрізку ряду Фурьє на кожному з контурів, та застосовуючі підхід А. О. Камінського, допоміжну задачу за методом рядів зводимо до регулярної системи лінійних алгебраїчних ріенянь. . ,

Потім, підставляючи одержані вирази для Цоо(%) і f'°c(z) В РІВНОСТІ, ЗГІДНО ЯКИХ ВВОДИЛИСЬ ДОПОМІЖНІ функції Н)

одержимо систему лінійних алгебраїчних рібнякь для визначення коефіцієнтів іх розвинення в ряди Фурьє.

Поєднуючи обидві системи, одержимо повну систему лінійних алгебраїчних ріенянь відносно невідомих коефіцієнтів розвинення в ряд функцій </іо (z) І fcc(i) , яка € регулярною

і допускає в усіх розглянутих випадках розв'язування ва методом послідовних наближень. •

. В третій главі дисертації вперше розглянуто задачу про термонапружений стан нескінченної площини з двома круговими отворами, коли на контур одного з них виходять дві малі колінеарні тріщини рівної довжини. На контурах отворів та берегах тріщин підтримуться сталі значення температури. Перед усім, одержано розв’язок відповідної нової задачи теплопровідності. Розв'язок задачи термопружності одержано у відповідності з ї: загальним розв’язком, побудованим в главі 2. Досліджено вплиб відстані між центрами отворів, кута між лінією, що сполучає центри отворів та лінією тріщин, відносних розмірів отворів та довжини тріщин на коефіцієнти інтенсивності термонапружень біля КІНЦІВ тріщин. •

Для перевірки вірогідности запропонованого підходу та одержаних числових результатів, визначені напруження G& на контурі другого (гладкого) отвору. Результати обчислень співставлені з даними, одержаними О. с. Космодаміанським і С. О. Калоєровим іншим підходом’ для випадку двох гладких кругових отворів. . ' .

В цій главі розглянуте також нову задачу про термонапру-жгний стан ВсСкінчєнної площини, послабленої двома еліптичними-отворами, коли на контур одного з них виходять дві малі крайові тріщини, при даних на контурах отворів та берегах тріщин сталих значеннях -температури. Одержано розв'Яаок відповідної задачи теплопровідності. На цьому прикладі показано ефектив-

ність запропонованаго підходу та зручність одер.тансго загального розв'язку задачі! термопружності у вигадку, коли контури отворів відрізняються від кругових. Досліджно вплив геометричних параметрів еліптичних отворів, відстані мі.т. ним;? та довжини тршш на коефіцієнти інтенсивності напружень. У випадку, коли еліпси вироджуються з кола, одержані числові результати співпадають з результатами попередньої задачи.

З четвертій главі дослід.чується термонапругений стан скінченної області. Ефективність запропонованого підходу показано на прикладі нової задачі про термоналрухений стан еліптичної плодики з центральних* круговим стЕСром, на контур якого з і ходять малі крайозі тріиини. Нз контурах плсгани та берега:? трішин дачо сталу температуру. Розв'язано відлозі дну нову задачу теплопровідності. Дссліджно закономірності зміни коефіцієнтів інтенсивності тврмонапрутвнь біля герзшн- тріаин з залежності від геометричних параметрів зовніснього кенгуру, його відносних розмірів з порівнянні з радиуссм створу, орієнтації півосей еліпсу відносно лінії тріщин та довжини трізин.

Граничнім переходом одержано розв’язок для еліптично: площини з гладким круговим отвором. Обчислено значення напружень <¿0 на обох її контурах. Одержані числові значення

співставлені з результатами, які для аналогичного випадку обчислені О. С. Космодаміанським і С. О. КалоєроЕим.

ОСКОЕНІ РЕЗУЛЬТАТИ

1. На основі підходів Д. І. Пйрмака і А. О. Качінського розроблено метод розв'язування многозв’Язної задачі плоскої теорії пружності для однорідних пружних середовищ, які заповнять скінченну або нескінченну областе обмежену лінією, зр складається з кількох простих замкнених контурів довільної форми.

2. Побудовано загальний розв'язок плоскої задачи термопружності для мнсгозв’Язних пружних тіл, послаблених маниш крайовими тріїдинами. В загальному випадку задачу зеєдєно до системи лінійних алгебраїчних рівнянь, регулярної в усіх розглянутих часткових випадках.

а Розв'язано ряд нових задач стаціонарної теплопровід-

- 12 - ■ ності і термопружності для скінченних та нескінченних много-ав”яаних областей а крайовими тріщинами, коли на контурах області та берегах тріщин дано сталі значення температури. Визначено коефіцієнти інтенсивності температурних напружень при різних геометричних характеристиках областей (відстань між центрами, відносні розміри та форма отворів, їх розміщення і орієнтація відносно вісі трішин, довжина тріщин).

4. Проведено аналіз одержаних розв'язків, в результаті якого встановлено деякі закономірності зміни характеристик руйнування в залежності від геометри області.

Публікації. Основний зміст дисертації викладено в наступних публікаціях: .

1. Флегантов ДО. Температурне поле в нескінченній многозв"яз-ній площині, послабленій малими тріщинами, шр виходять на контур отвору. - Київ:Київ.ун-т, 1992.- 11 с.- Рос.- Деп.в УкрІНГЕІ 25. Об. 1992 р. , №30-Ук92.

2. Флегантов ДО. Розподіл температури в криволінійному кільці, послабленому малими тріщинами, щр виходять на контур. - Київ: Київ.ун-т, 1992.- 10 с.- Рос.- Деп. в УкрІНГЕІ 20.10.1992 р., Ш?02-Ук92.

3. Флегантов ДО. Концентрація термонапружень біля малих поверхневих трішда в многозв"яаній пластині.- Київ: Київ.ун-т,

1992.- 13 с.- Рос.- Деп. В УкрІНГЕІ 18.11.1992 р., М1839-Ук92. 4- Флегантов ДО. Малі збурення температурного поля зумовлені наявністю малих крайових тріщин в многозв"язній пластині. -Київ:Київ.ун-т, 1992.- 13 с.- Рос.- Дэп. в УкрІНГЕІ 18.11.1992 р., N1840-Ук92.

5. Флегантов ДО. Температурні напруження біля трівдш в еліптичній пластині з круговим отвором. - Київ: Київ, ун-т, 1993.12 с. - Рос. - Деп. в ДНГБ України 20.05.1993 р., №33-Ук93.

6. Флегантов ДО. Температурні напруження біля тріщин в ізотропній пластині, послабленій еліптичними отворами.- Київ:

Київ.ун-т, 1993,- 11 с.- Рос.- Деп. в ДНТБ України 20.05.1993 р., №34~Ук93.