Дослiдження стохастичних моделей росту тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

РГ6 од

I 5 ¡¡и;,КИ'т?Ш1 УН1ВЕРСИТЕТ 1ИЕН1 ТАРАСА ЩЕВЧЕНКА

На нравах рукопвсу

ДНШЕНКО Олзна 1гор1виа

ДОСЛ1ДШШЯ СТОХАСТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ РОСТУ 01.01.09 - ыатвматичпа к1бернвпгка

Автореферат

в

дисертацН на ядоОуття нау косого с туевая кандидата $1 зако-иатвматичЕдх наук

К и Г в - 1993 .

Робота .викояайа в КШвському университет! 1мен1 Тараса Иветевка.

НауковйЙ К0р1внйх: - доктор $1зико-математотних

наук, йро$воср AH1CIM0B B.B.

ОЦц1йи1 опонентя: - доктор ф!зию-математячнйх

наук, про$есор НАКОНЕЧНИЙ О.Г.

кандидат $1эико-математичнвс наук, с.и.с. ПЕРЕКАТОВ O.G.

Пров1диа установа - 1нститут к1бернетики

lu. В.М.Глушкова АН Укра1ня

Захист в1дйудеться UtidR&Ubte? 1993 р. о 14.00 ка зас1даян! спец1ал1эовано! ради Л Оба;18.16 пра Ки1всьгому ун1верситет! 1ивн1 Тараса Шввченка за адреоою: 252127, м. Кн1в - 127, проспект Академика Гдутпкова, 6, факультет, к<бернетим1, ауд. 40.

3 дисертйц1вю уожна огнайоывтися в б1бл1отад1 КиТвського ун1верс1ггету 1мея1 Тараса Шевчвнка.

«Автореферат роя!слаяиЯ

Вчеяий секретар спец1ал1эованоТ рада

" ¿cj* vtce&btf 1993 р.

КУЗШ1Н A.B.

ЗАМША ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ Актуальи1оть темя. Серед pisaoiaaalTw« проблем, що вяязка-

ВТЬ В 610Л0Г1ЧНИХ, еКО.ЧОГ1*ЛтаХ, esOHOIit^HHX оиотзиазс, зг-.ткгд

с дозлЗджвкяя динам! гл процзс1в. Зокрема, для юдезозквто дят:."-гйт й!олог1чш1х попудащ1й, що сксгпггкся э дек! л*:»х хзйэ. ■;ргдец!Япо ЕЕкораоготгугтт.ся SKnafmt д-.Topoantasir.i plr-r^nn. Протэ, под!бя! «одедй :шэ» дзс оопс-тж пвдолйкя: «хягто, я«-

по Ерахозупть вепс-дг.оеюг .¿а:п:ср!з, пр^тгуггспас »та! Я тг.г.?? пспулящТ, а по-друто» природн!3 дпнфгтняа фпзотгаЯ прсот!? npr даону зам!нювться несврерзпам.

Для доол!дяення под!бкзх еволзц15ик cporpcJn зрутаоэ -с дэзъ схема урнл з кулгаст Л'+1 ///?{/ кольор!в, дет ягоУ характерна бетятогргкя1стъ граничного стопу концзптрац! й / nponotv-ц!й / куль, якзй йоге са.тзпатз я ж з!д влазтвзостоЯ детгрм1яог?.?ж: $утсц!й, що задеить sisiny гоидаитрап!Я а сзрадяьссу за одия тфок, таг, t з!д потатг.0Езх к1яь«итс2 гуль в урн!. Кр!м цього, згазаяШ cxeui урпи прптеыаяиа пргродня отохазтпа!ст», зо визвстатдя правилом додадення куль в »аязяаост! в!д nosy та поточнах гдяцзз-трап!Я. Стохвстэтн1сть « яев1д"вкпов рг.ооп навглязшяьоТ природа. Це t зссздков! $луктуац!! даразлетр1в середовища / як adto-nrrat -$1вэтя1 хсрахгерпстиет свредовгща, tss ! 61оттга! - характернатягл 1пггх популяц!й /, t внпадгов! вар!ацИ вкологоф^^лог^шзх характеристик окрсстх представннх!в популяцП, t нвв!ть вяпадго-внй характер взавмодИ м1я гапш. ь

Актуальною проблемою в розробка мвтод!а доел!джапня ст1Якост! рвкурентних посл}довпоствЯ схвет уряи з кулями М* i кольор1в. Привайливим в метод всимптотичного анал! зу рвкурентних процвс1в, залропоновшшЯ B.B.AhIcImobem, що на основ! принципу осереднення

та дифуз!Яно1 апроксвмадП питания ст!йкост!'рекуреатних посл!дов-ноотей вводить до досл!дження в1дпов!дних детерм!нованих та сто-хастичних диференц!альних р1вяянь. Теор!я ст!йкост! отохаотичних диференц!альних р!внянь розвинута в роботах Ы.Пхмана, А.В.Ско-рохода, КЛто, М.М.Красовського, В.С.Королюка, В .Б .Колманово ького та багетьох 1ншх математик!в.

Актуальноп для еколог11 та е коном! ки задачою оптимального хе-рування в клао! диференц! альних р!внянь с задача оптимального зби-рання врожап, валропонована Р.Белманом 1 досл!джена ним для випад-• ку двтерм1нованих автономиях систем. Ця задача привернула увагу К.Уатта, Ю.М.Св!р1жева, е.Я.€л1зарова, О.Б.Горстко, Г.А.Угольниць-кого та 1нших вчених; В дисертацИ проведено досл!дження модвл! оптимального вбирания врожав для випадку динам!чних та отохаотичних систем.

Мета робота: I/ побудова та асимптотичне досл!дження ст!йко-ст1 стохастичних моделей росту, -що описугться рекуректшши поол!-довностями, шляхом зведеняя Их до детерм!нованих та стохастичних диференц!альних р!внянь;

2/ досл1дження спец!ально1 динем!чно1 та стохастично'1 задач! оптимального керування в к лас! двференц1 альних р!внянь / модель оптимального вбирания врожаю / з метою встановлення достатн!х умов «диност! розв"язку та floro алгоритм!зац!Y.

Наукова новизна ре8ультат!в дисертацИ поляг«:

- в отриманн! системи рехурентних посл!довностей для осеред-неноТ. та дифуз!ЯноТ складових р узагальнен!Я схем! урни типу По-л!а з кулями N*i кольор!в ! досл!дження íx асимптотично! поввд!нки;

- в узагальненн! модел! АЯгена евожщН пол!ну1и1еотид!в на

отохаемггая/! випадок; , •

- в етриманн! достатн!* умов 1снування единого розв"язку дя-нам!чно! задач! оптимального збираняя врожав}

- в синтез! адаптивно! оптимально! маг!страл1 задач! оптимального збираяня врожая з нусково-сталим стохаотичним параметром.

Метода досл!д.тення. Математичним апаратом, то використовувть-ся в дисертац!!, в твор1я Ямов!рностеа, теор!я ди!еренц!аяьиих р1внянь, метода нелШУного йрогремування.

Практична ц!нн!сть. В дисертац!К наведен! результата як!сного досл!дженяя конкретютх математичнлх моделей:

- досл!джена асимптотична повед!нка розв"язк!в.стохастично! модел1 еволпц11 поЛ1нуклаот1д!в в реактор! д!ал!эу$

- зна'1деп1 достатн1 умовя едяност! розв"язку динам1чно! моде-л! оптимального збираняя врожаю.

Результата дисертац! Т wo жуть бути використпн! для доел! д.тзя-ня еволпцИ б!олог!чних популяцИ в стохастичних уловах зовн!ппьо-го середовшца.

Апробация робота. Результата дисертац!! допов!дались t обгово-ртовались на таких кон1ереяц!ях та сем!нарах! Укра!нськ!й яауков!Я кон?еранц1! "Моделгаання та досл!д*:ення ст1йкост! систем" /'м.КиГв, 1991 - 1993 рр./, зимов1 Я тол! молоди вченюс 1ястктуту математики та механ1ки РАН / м.екатериябург, 1992, 1993 рр./, няуговому сем!-нар! з математичшге метод1в досл1дгзняя onapaul 7, 1нстигуту к1бер-нетики АН УкраТни / н.к,- акад. еркольев D.M., 1590, 1993 рр./, пауковому сем!нвр! ка^едри прмшздноГ с те тке тягл Меськсго ун!- • верситету / н.к. - npoi. AhIcIvob В.В., 1993 р./.

Публ!кац!Т. Основн! результата дясертацП опу* гЛ в 7

роботах.

Структура та обсяг робота. Дпсертац!я сйсягом 100 стор. екладаеться з встуц;, дззох глас, вискобк1б та опкку л1т£ратури з ¡¿0 кэймвнувакь.

2ШСТ РОБОТИ

1 ' У вступ! обгрунтоваиа актуальн!сть розглянутих в дааергацП

штань, виэначено кзту дос«1дження, зроблзно огляд результате, пов"язаних з темою диоертац!!. Стполо викладено зм!ст дасертац!!.

Перша глава дисертац11 присвячена досл1дженню рекурантнжх посл1доЕНостей узегальнено! схеии урни 1 складаеться я трьсх параграф! в.

- В § I роягляда?ться рвкурвнтна посл1довн!сть схеми урни з кулями / / кольор!в, коли в кожний дискретний момент

часу в урну додаеться лише одна куля. 11д схема досл}даена в роботах В.Артура, Ю.М.ермольвва, Ю.М.Кан!овського /1987/.

Мавмо урну неск!вченого об"вму, яка даже к! стети *ул1 Н* 1

можлявшс кольор!в. В коязшЗ момент часу О —

1 п п.

/к = 0,1,2,... / в урну додаеться одна куля одного з А/+1 можиивнх кольор!в. Вектор

^= О..,

.огасув пропорцЛ / концентрацЛ / куль кольор!в в!д 1 до Л' в1д-

отв1дно в момент чесу к / тобто п1сля того, як к куль додан1

в урну /. В початковиЯ момент в урн! онатодитьоя Ъ 1 куль, в '

НехаЯ

%<Ф-(¿М

шосл!догн!сть вектор-4ункц!й / ?ункц13 урни /, потаа а ягапс про-торп1Т ^ куль в урн! ставить у в1дпов!дя1сть ймов!ря1«ть дода-иакня кул! кожного з колвдр1в 1,2,..., /V в момент часу к . Вводимо сукупн!сть незалежних вппвдкових величин • '

Дв

А* СЮ = plQ),/£ ш),

jre^fac: x^xî...,*."), Z xU/J ,

„¿M fe' 9 araBtpHicTD ( jf) >o,

[ o 3 SMOBtpKtew í -<¿K(t)>0,

fS .

в{=(0,...,0.1.0,...,0) , о -нульовий вектор, Z^O^W • Еволоц1я лропорц!й куль з ypnl ошсувться рвкурвнтшш cuisis 1дпоиепяяа

•с _ к ^ Р"*

f = f + . , к >. о

>п* Гп+к+{ ' ' /I/

цо нгшя приводаться до взгляду

1 г4

M

VWOJ /

■ дв

Ф]г1т,-л^Щ -

д! «тональна матрица; трапепоноваиай вектор / мктор-втро-

ка /} fc* - незалежн! ввктори, що володЮТь эластивоотяка

/1[%>/L]*ô, h[%XJL]^' /з/

F„k = (Ko ' ^ - одннетна д! атональна »ютриця.

В1дщуку«мо fHK у взгляд!

t> ^Nk А

прэтому -Х,о= , .

Рвкурентн® сп!вв1дношвння /Z/ вкв1ввлантнв систем!

Хпк-и ~ + Û.«« (Х„к1 — i Xtta- fHOf j^j

¡/„к*, * + + Cfsv«, y„«) , = O, /6/

а.» («>.£=«£,

(х о-

Користуотисъ метода кос В.В.Ан1с1мова, досл1джуемо зсгаштот-kj повед1нку розв"язк!в /5/,/6/ при П—, коли

Застосовуючв принцип осередиення до /5/, преходимо до теорема. Теорема I. Нехай S„>o , $ункц1я <},(i,x) р!вном!рно по xtS" неперервна no f efo,Tjt задов! льняв умов1 Л1шшця

-p(i,*x)\ ¿CI*»-**/-

тая:

к < пТ " —» °°

X* гс^ - розв'язок 8адач1 Кош1

dy. _ Ite'^-^.dt, х(о)*ЗЬ. /7/

Застосуетю до /б/ ди<5уа1йяу адрохсямац1ю. НехаЯ Wf^i) ,

Znt] v

<*nKCx,y) ~ HeBsra£W*°Bl 4Ункц11, ¥-„(*)= £ ,

■ n. n.

ступ!нчат1 ,Тункц1 i. Приводимо до тооремя.

Та°т'ема 2- НмаЯ s°>0 . викояуютьоя вс1 умови теореад I. Кр1м цього, - непврервно даференц1йовна по * щ*

xtS" • teC°>TJ • Tont CKiOTör.aoMtilpiil рс*п'од1ли пронесу ,

it[o,T] слгЛо зб!гк-?ться до рсзпод)л!в urit) стандартного в!не-р!вського провесу в ßv , а посл1дсвн!сть прочес!в ^ft) U-зб!гаятъся в простер! до процесу y(t) , що в роз-

в"язком стохпстичното дя.Тер9на!ального р!вняння / задач! Кош! /

т

Яауватеккя. У шпанку S*=o / tfn'i / для 1снування розв"яяк!а задач /7/ 1 /В/ додатково необхtдне вvкокания тякит умов

ün f Ct(*,*)]-№*> f*'**} /10/

В § 2 рояглгдаеться узагальнена схема урни типу Пол1а з кулями U+1 кольор!?, то до,паяться порц!ями випвдкового об"ему. В роботах В.Б.Артура, Г.М.ермольвва, Ю.М.КеШовського досл!дтен1 питания про уиовя, при якнт мо*лива зб1жн1сть з *!мов!рн1стю I до деяких конструктивных мно.тнн, про !снування граничного вектора, про характер söiraocrl при и -v «=*> . Алз при цьому залигааються яеютвчеиим! питания дип8м1ки чб!гаост! / тревд, д»туз1я, ст1Як!сть /.

НвхаЯ в ко-яиЧ момент часу к =• 0,1,2,... в урну додазться • /• < -г • \ "7

<-ик * v <•«,,, '■я* I • с*к / , <-nic 6 »

¿« +— + С«'« /¿««I = О2/*"

куя* кольор!в в!д 1 до 'N+i , а

" ( t , • • ■ , ) , Ак-1 | - Ям,* S.S--+S«

в!дпов!дно к!лькост! куль кольор!в в!д I до iV*1 та зегальна к!ль-к!сть куль, що гщаходяться в урн! в момент к / коли порц!я ¿и* ща ие додана в урну /.

Позиотимо

7 * 9 /«■ > о-- = -Я««/*

»И* «.'«1* I '

3 ?м! нвит 1 виберемо незвлветих

1 Лям •

Введем

Г (рЬ с.),..., а)), КЮ

- незалежч! по к випгдков1 вектори, Я* , так1,цо

Тод! ' к-* .

рвкурентне сп1вБ1дношеаня для $пк мае вигляд

Поол1довн1сть 5Ик , к>,о породжуе монстошт*! пот!к С -алгебр , де у,» • -вта1ря1. '

Припугтто, ио для вс!х 5« К + , ае ,/5/<а 1снув вектор-$ункц1я

3 перших /V компонент вектор1в 0„к(5,а) 1 4Пк(?га) утво-римо вектори I розм1рност! /V .

Припусти«^ що симетрична матрица

•-М /"А-ус/^7 - = с <*>*)

в додатньо-визначеноп.

5хк у ВИГЛЯД1

Ня

5пк = 'Хъх ч- ~ , к у. О, = , - о, приходит до систем рекурентних сп1вв1дношень

; ' — + /и/

+ 6.« + . л««) , * о,

дв 11

*в.к = ¿г ^и* ' - &„), «

- незалеяк! веяторв/що волод!ють властивостягля /3/.

Досл1дпмо травкторИ , х*я » при и-»«»«*

НехаЯ для простота • !

Рг1дно п!дсилаяого загону великих чисел отрикуемо ^уякц1онал- )

!

не сп!вв!днояегшя ;

. а= /в/

¿с

1

Явстосояугчи до рекуреятгак посл!довноствЯ /II/ принпяп осе-реднення та даТтМЗну апртсимац1 и, приводимо до тагах творен.

Теорема Я. НехаЯ вря г-»оо буде —> > о , |5ункцЛ ур-

• ° , дэ . « так1,п»

Ц /И/

1снують граяичн! *ункц!Т с, $,а.) так!, що в!дпов!дн! 1м

$ункц1Г р!вном!рно по неперерв-

в! ш I для вс1:: ^ Т* задсв!льняють ушв1 Л!пгаця по эмИга!!! ; 5 . Тол!

дв Х&) - розв"ячок задач! Кош! ; ■ -

¿я* х(о)*5а, ^

О- визначавться ?ункц1оналышл сп1вв!днопенням /12/.

Теорема 4. НехаЯ виконуються вс! умови теореми 3. Кр!м цього, для вс1х £ + , а.е виконувться нер!вн!сть

£ 11'11$.пк(£>$>0-) 4 С, > /15/

матрично-значна " /ннд1я Сл* е додатньо-впзнвченою, а

(5,а) з&тсе!льнне умов1 Л! питая по зм!ин!й $ , Векторно-значна гргнично <Тункц!я ,5)а) при |з|йа неперервна ди<?еренц1Яовна по $ при * с СоД'].

■ Т0Д1 Ск1к"ен!!0-рп-л)рн1 р03под 1.ли процесу £>у

»с=0

сясбо зб!гакться до розпод!л!в

стандартного в!нер1всько-

гс пронесу в , а посл1дови1сть

при

\1 -зй!га$ться в простор1 Д° процесу у (*) , шо е

роав"язком стохпстичного ди$еренц!ального р1вняння

#0)=о, /к/

дв х. - розв"язок задач! Кош! /14/, а виэначвчться з $унк-ц1овального сп!вв!дношення /12/.

В § 3 розгляцапться детврм1нована модель АЯгвна динам!кж рвп-л! прочих вол1нуклоот1д1в при !деальних вкспериментальних умовах в реактор! д!ал1зу ^

¿г «2 ... /17/

44

де ОС1 - иншзнтрап! I пол!нуклеот!д!в,

хе-х^Сх,,^..Ъъо] ¿Е^Ъ.**), поточив значения ф / внесения•/ задавться так

/18/

4. >о - швидк1сть синтезу пол1нуклеот1д!в типу ^ , Э,- >0

- ишидк1сть розклану» - Й1ЛОВ1рн1СТЬ того, що коп1б«) молв-

<7

куля типу ^ буде молекула типу I / для це шввдкГстъ

мутацН /, (3. ? О , ¿Г = ^ .

/ «

Вводимо матриц! ,

\А/= -2), <2= [в^ > ' •

Для иодел! Айгена встановловться доотатня умова

/?е Ъ(С1А-2>)<0 ш

• асЕМПтотично! ст15кост! в ц!лому рояв*яяку X .

Модель АЯгена узагошповться па стохастнчниЯ випадок. Дяя цьо-го вводиться & незалэжних випадкових величин

ё4' 8 ЙМОВ|рн!сТО ¿О з ймов1рн1стп У- О.^- о,

хе - квадратна к.втряця <*/-го порядку, у яко! елвмвят (у)

р!вниЯ I, а 1нш! елементи р!вн! О, О - нульова матрица. Н«аЯ

Г)

Г як V / 'п* »•••»»»г /

- х1льк1стъ / в натуральна* одиняцях / пол!яу*леот1д1в кожного тяну в момент часу *с . тод! баланс пол!нуклеот1д!в за пром!кок

(к, ки] буде

I .т 12 - •

I .

Якцо перейти тут до вектор!в одинично! норми / пропорц!8 ш-л!нуклеот!д!в /

2 ■ ' ПК

/22/

_ ? , /23/

/и

отримаемо стохастичинй двскреттгё аналог «одел! АВгева

В1дпов1двкЯ иеперерввий аналог пае виг ляд

2 = (рА-2>) н - Iг , гГо) = га . м

Ыдшукуоч» розв"яаок ракурантиого сп1вв1дноиення /21/ у ваг ляд»

/25/

та вастосовуючи принцип осереднення та ди([ув1йну апроксшлад1в,от-римавыо дв1 задвч1 Кош!

й/и. = (СМ ^ , л «Со) = > /26/

с/гг = {0.А -2>)чг<и + 6(и)с1ы-Юг *Го) = 0, /2?/ д« - стаадартний *1нер1воыой сроцео в В.", •

• д! атональна матрица.

Друга глава дисертацП пргсвячева досл1дженню моде л! оптимального карування - модел! оптимального збираяня врохаю 1 склада-сться в трьох парагра$1в.

В 5 I роэглянут! п'ять наЯпрост!ших детерм!нованих иод*лай для автоношкгсистем,р!от вопудяцЛ ягах '

' 42=. ъЧ>(яс) , Х(о)=?Хо /29/

- 1Я -

оппсуеться татпк.п Л-унг.ц!яма: I/ гЛп!ЯпяЯ р!ст? íP('r) .; 2/ л!-л1ЯпяЯ р}ст з вратузе.чпям д^тг-япя зультур;i, V/rf-Q.-Bx ; 3/ ¿i-я!ЯяиЯ píCT з вратувшгяш c.ferry впутр!Еньозпдого1 боротьбя, «ftiy--cl-Sx1 » 4/ експонеиц! альниЯ р!ст, ах ; 5/ експонвнц! альта?. р!ст з врахуввншпл е.Тег.ту внутрIиньоэтдо'мТ боротъбп, 4>(х) -гах-бх*- / модель <1ерхюльста /.

Ставиться задача вазначепия оптпмальпого кзруваяяя дано» системою виробництвв б!омаси ! велячиня часового греку к м!я двогда посл1довнгжя вбираниями при умов1, шоб сукарппЯ яро^аЯ, з!брапдй за $1ксованиЯ в!др!зок часу [о,т] , був мекекмальнт. В к1нцч-етЯ момент часу Т процес нршиняеться шляхоа позяого в!дбору <51 о-мася. Застосовуючк катод рекурентнях сп!вв1диошзяь динам!«?яого сро-граяуваяяя, в явному ояал!тичному виглзд! отрпкеп! розв"язкз rrt sí задач!. Маг.силальгой доход буде при нзперервкому культовуваян!

fte^^Xo+Ta. в дападма 1-3/, ■+(%,)= эсое*~ в випадку 4/,

ЙГ вшадкг5/'

В § 2 розглдпавться задача оптимального збярання зрожгт для дянам!чно! систем, коля р!ст шяуляцП опясувться задетою Коя!

XCO^Z,. /30/

Лема I. НехаЯ- в облает! & = f« * f°**'íXÍ XrJ ifynKrrf я f(x,-t) - непярервяа, дя|еренц!Яовяа ito , -X., xx i спутала вгору по X . Тод! розв"язоя задач! Кои! /30/ s монотонно простатою та опуклрю вгору (Туняц!вв в!д початютято зпачеппя .т0 . i . . Лема 2. При вякопанн! уига яэмн I "с?!Як!с?ь" оптимально" стра' Tsrlí задач! оптимального збяраюи врояаэ для модвл1 /30/ забезпэ-чувться, .ягсзо:

а/ в дискретному випадку / к >о /

X h, А.) •> , ¿ -<5Г«Я; /&1/

tí/ в неперервному випадку / А * о /

mea: = X*(i) >,0. /32/

Теорема. Задача оптимального вбирания врожая при впкоаанн! , * умов геми I i лет 2 маг адмниЯ розв"язок як в днсхфетноыу, так 1 в неперервному вкйадкат. при неперервному «уяьтивувани! одерхуеть-ся маясзшально. можливий доход.

Б § 3 розглчдаеться задача оптимального збирання врожая для стохастичноТ дкнам!чяо! системи, коли р1ст популяцИ описуеться заддчою Кош!

dar

xb)*ze, /зз/

де х - кон«ентрац1я популяцИ, В - стохастичний параметр.

Розглвдавться параметрична эадача оптимального ябираяня врожая, що полягав в в1дшуканн1 тако! адаптивно* стратег!! оптимального кврувания у о , що максим!зув $ункц!онал доходу

Т • *'

¿6 %(i,e)>,o /34/

дв ха,е) - розв"язок задач1 Кош! ,

SÍ* = 4>Cx,t,e)-y , *<W»aTe. • /35/

Реал1стичноп постановкою звдач! в умовах кусково-сталого параметра 0 , jpо зм!шовться дискретно в íIkcoeej!! моменти час$г, в те, що 1н!1орнап1я про величину параметра G= Gk поотупае лише в момент ¿- _, / точки контролю /. В пей же момент Í приЯ-мавться р!шення иаХшвидиого переходу на нову оптимальну г<яг!страдь X*(i,9K) • * е . При цьому ц1 апостер!орн1 дан1 да- '

^ть х>2лив1сть прийняти адаптивна р!овкня немов бц е детерм!нова-ис!-у випет*?.

Оптимальна адаптивна стратег!я при цьому полягае в тому, цо:

■ А/ при Т :

I/ якщо х(*)> , то в!дбувавться одномоментне част-

кове вбирания врожая, щоб попасти в цзЗ же момент на оппшальну маг!страль; 2/ якщо , то в!дбувавться непврервнв

вбирания врожаю з шввдк!стю 5 3/ якщо хС{)< в),

то в!дбуваеться нврощування б!омаси популяцИ I врожаЯ не збира-«ться / ^ = о /.

Б/ при в!дбувавться повне збирання врожав.

Функц!онал доходу описувться 1нтегралом Сг1лтьеса

> г ■ '

То о

дв

та*

ха,е) - траектор!я росту популяц11; 7в - множила пром1жк!в !з [о, Г] . Дв ос*(*,в) , тобто у а, в) .

Отриман! результата 1люстругться на.наЯпрост1ших п"ята моделях 1з § I, коли л= в .в цьому випадку одержувться явн1 екал!-тнчн! виразя для $ункц!онала доходу.

*

ОСНОВН1 РЕЗУЛЬТАТИ РОБОТИ

1. Побудоваяа система рекурентних посл1довностей осереднено! траекторН та ди?уз1Яно1 складово! адаптивно! моде л! росту для узагальнено! схеми урнв типу Пол! а з кулями Ы+{ кольор!в. с,

2. Проведено асимптотпчннй анал1з осереднено! тразкторИ та дв$уз1йио! складово! для узагальнено! схема урни типу Пол1а.'

3. Узагальнено модель Айгена'еволвц11 репл!цгочях поя1нухлзо-т!д!в на стохастичниЯ випадок.

4. Доведена лема про.опухл!сть розв"язку ди$еренц1 альнсго р!вняння в!д початкового значення.

5. ЗнаЯдено достатн! умови }снувмшя единого розв"язку дана-м!чноТ задач! оптимального збирання врожав.

Основа! результата дксертацН опубл1 кован! б роботах:

1."Ксжювсм}й й.К., Ляпекко Б.И. Об одном седеркательном Щ)2шрз суцзотеохааия {ункцда Ляпунова для обозленной схемы урны с парам /</ цгвтоз / Метек- кгюдц гзрдкяткя рвиешй в условиях неопределенности,-' Киев: №1-1- кибернетике /Л УССР, 1990,-с.52-55.

2. Лгс1влко В.И. Иоолздовышо устойчивости стохЕ^тичеоьой популяцаошю! моделг / Иоде лир. и гхелгд. усюйч, £изач, процэссог. Тез. докл. неучн. пррда-сешнара, К.- 1991. -с.54.

3. Ляазкко 1.Ы., Лшенко 0.1. Досл^джзння одного класу моделей оптимального збиргшня вроашя / Досл1дж, олерсц!й.-К.-1993.-40.

4. Лшенка Е.И. Об оптимальном управления ростом биологически популяций /' Моде лир. д.исслэд, устойч. процессов. Тез. докл. научной копф. - К.-1992.-Ч.1.-0^97-93.

5. Лекснко 0.1. Модел1 оптимального збдраная врожав в ояук-лов вгеру фуш;ц1 ею пвадкост1 рост)' иону ляд! I / Обчпсл. та прикл. ыатемаглка.-199Я.-вш1.76.

6. Лишенке 0.1. Стохастична /адаптивна/ задача овтлмального збирання вро.тлю / ООчесл. та прикл. математика.-1983.-вид.76.

7. Лгоэнко В.И. Принцип усреднения для одной рекуррентной последовательности обобщенной схемы урны / (.'оделир. и исслед. устойчивости систем. Те$. докл. научной крн$.-к,-1993,-^ч,1г с,87,

уии/

Подписано к пэчатиХ?/££?Зак.£71Д тир.^э г размножено . Г1Щ Минстата УкраиныЛШ' '