Нелiнiйна динамiка тришарових оболонок i пластин з узагальненями фiзико-кiнематичних моделей тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

АКАДЬМІЯ НАУК УКРАЇНИ ІНСТИТУТ МЕХАНІКИ

На правах рукопису

ТАМУРОВ ЮРІЙ МИКОЛАЙОВИЧ

НЕЛІНІЙНА ДИНАМІКА ТРИШАРШИХ ОБОЛОНОК І ЛЛАСТИН З УЗАШЬНЬНЯМИ ФІЗИКО-КІНШТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ

01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертаці ї на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Запорізькому індустріальному інституті

Сфіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор А.Т.Василенко

доктор фізико-математичних наук, професор Б.Л.Пелех

доктор технічних наук, професор І.А.ІІурпал .

Провідна організація: Київський автомобільно-дорожній інститут

Захист відбудеться " 2-Є______"_______________________199-4 р.

в 40 годин на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 016.49.01 в Інституті механіки АН України /252057, Київ-57, вул.Нестерова,З/

З дисертацією можна ознайомитися в науковій бібліотеці Інституту механіки АН України /вул.Нестерова,З/

Автореферат розіслано " 2.і "_________________________1993р.

Вчений секретар спеціалізованої ради доктор технічних наук,

професор ($/• І .С.Чернишенко

- З -

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність проблеми. Вимоги перспективних галузей машинобудування і приладобудування у використанні тонкостінних конструкційних елементів типу пластин і оболонок шаруватої неоднорідної структури,які б мали змогу працювати при підвищених зовнішніх навантаженнях детермінованого або випадкового характеру, висувають у розряд актуальних наукові і інженерні проблеми побудови уточнюючих математичних моделей деформування і розробці на їх основі теорії і методів розв’язання нових більш складних класів динамічних задач.

Використання матеріалів з регульованими фізико-механічними властивостями у вигляді окремих шарів неоднорідних оболонок і пластин, зокрема тришарових, зменьшує матеріаломісткість виробів, покращує їх технологічність, споживчі властивості і конструктивну надійність,що обумовлює в значній мірі якість продукції, її довговічність в експлуатації.

Сьогодні відома велика кількість матеріалів, які вже на початковій стадії деформування в практично важливій зоні деформацій 0,1-1,Ь% проявляють відхилення від закону Гука. Деякі із таких матеріалів вже знайшли застосування як середній шар тришарових конструкцій, а подальше їх використання буде значно розширюватись.

Застосування у вигляді середнього шару матеріалів, які мають нелінійно-пружні властивості з врахуванням деформацій в поперечному напрямку значно ускладнюють побудову варіантів нелінійної теорії. Додаткове врахування ефектів поперечного зсуву в зовнішніх ортотропних шарах веде до результатів, узагальнюючих ряд відомих фізико-кінематичних моделей.

На цей час переважна більшість досліджень по нелінійній динаміці конструкцій виконана в припущенні лінійної залежності між напруженнями і деформаціями і детермінованому характері навантажень. Тому актуальною залишається проблема розробки, адекватних напружно-деформованому стану тришарового пакета математичних моделей, побудові на їх основі теорій і аналітичних методів розв’язку нелінійних задач динаміки тришарових оболонок складної внутрішньої структури. .

Метою роботи є:

І) розробка варіанта нелінійної теорії деформування, пристосовно до тришарових оболонок, утворених із нелінійно-пружного стисливого матеріалу середнього шару і податливих на попе-

речний зсув зовнішніх ортотропних шарів;

2) здобуття пристосованих для практичного використання рі нянь, які дають змогу розв’язувати складні задачі нелінійної ; наміки;

3) застосування і розвиток відомих аналітичних методів де ліджень до систем нелінійних диференціальних рівнянь і вивчеш на їх основі динаміки детермінованих і випадкових процесів тр» шарових оболонок і пластин.

Наукова новизна дисертації полягає у настуг

ному:

1) для нелінійно-пружного середнього шару утримані шість компонент тензора напружень з урахуванням функцій середнього г довженя і квадрату інтенсивності деформацій зсуву при квадрати ному законі стисненя по товщині;

2) побудовані нові математичні моделі деформування тришар вих оболонок і пластин, які зображені варіаційними рівняннями відносно деформацій шарів і системами нелінійних диференціальн рівнянь відносно переміщень;

3) одержані нелінійні диференціальні рівняння відносно аи літуд поперечних коливань серединних поверхнень шарів і їх кор ляційних функцій, які призначені для досліджень поведінки віль опертих пологих оболонок при детермінованих івипадкових діях;

4) розвинені аналітичні методи дослідження динамічних зад стосовано до нелінійно-пружних тришарових оболонок складної вн рішньої структури;

. 5) розв’язані нові класи задач, виявлені якісно нові меха

нічні ефекти пов’язані з урахуванням впливу нелінійно-пружних факторів на інтегральні характеристики динамічних процесів.

Вірогідність результатів. Вірогідність головних наукових положень і побудованих математичних мо делей забезпечена використанням при їх формулюванні експерямен тально обгрунтованих законів деформування ортотропних і неліні но-пружних ізотропних тіл, а також варіаційних принципів класи ної механіки. Вірогідність кількісних і якісних результатів ро рахунків динамічних задач визначається аналітичними розв’язкам диференціальних рівнянь, вибором апробованих, з достатньою точ ністю апроксимуючих рішення функцій, а також оцінками збіжност розв’язків у нових задачах динаміки і порівняннями одержаних ре зультатів з вже відомими.

Практична цінність роботи полягає в тому, що запропонована узагальнена теорія і методи її реалізації є основою досліджень великого кола прикладних задач, зокрема для вивчення низькочастотних динамічних процесів тришарових оболонок і пластин несиметричної будови, шари яких виготовлені із композитних матеріалів різнорідної структури. Одержані розв’язки і графічний ілюстраційний матеріал дозволяють обгрунтовано і з достатньою вірогідністю прогнозувати поведінку проектуємюс тришарових тонкостінних елементів конструкцій при динамічних діях випадкового або детермінованого характеру, приймати до уваги вплив специфічних механічних ефектів, які установлені при урахуванні нелінійної пружності середнього шару.

Дослідження, наведені у дисертації, виконані згідно плану НДР вузів у галузі механіки на 1985-90 рр. МВССО СРСР і плану пріоритетних наукових досліджень на 1992-94 рр. Міністерства освіти України. Окремі результати роботи використані у проектній практиці КБ "Південне" і КБ Запорізького енерго-механічного заводу.

Апробація роботи. Окремі результати роботи доповідались і обговорювались: на 11 і Ш Всесоюзних нарадах-семі-нарах молодих науковців "Актуальные проблемы механики оболочек" /Казань,1985,1988/, на И Всесоюзному симпозіумі "Устойчивость в механике деформируемого твердого тела" /Калінін,І986/, на II і Ш Всесоюзних конференціях з механіки неоднорідних структур /Львів, 1987,1991/, на ХІУ, ХУ Всесоюзних конференціях з теорії пластин

і оболонок /Кутаісі,1987; Казань,1990/, на УІ Всесоюзній конференції з композитних матеріалів /Ленінакан,І987/, на Ш Всесоюзній конференції "Современные проблемы строительной механики и прочности летательных аппратов" /Казань,1988/, на Ш науково-технічній конференції "Повышение надежности и долговечности машин и сооружений" /Запоріжжя,1988/, на Ш Всесоюзній конференції "Прочность, жесткость и технологичность изделий из композиционных материалов" /Запоріжжя,1989/, на Всесоюзній конференції ' "Технологические проблемы прочности несущих конструкций" /Запоріжжя, 1991/, на міжреспубліканському науковому семінарі "Технологические проблемы прочности” /Подольск,1992/.

Дисертація в цілому доповідалась на семінарі відділу динаміки та стійкості суцільних середовищ Інституту механіки АН України /Київ,1993 р./, на семінарі Інституту технічної механіки

АН України /Дніпропетровськ,1993 р./, на семінарі Київського а томобільно-дорожного інституту /1993 р./-, на семінарі кафедри опору матеріалів і будівельної механіки Запорізького індустріального інституту /1993 р./.

Публі каці ї. Основний зміст дисертації опублікова но у 23 наукових роботах.

Структура і об’єм роботи. Дисертаційна робота складається із вступу, п’яти глав, висновку і бібліогра фії. Її загальний об’єм складає 251 сторінку машинописного тею ту, включаючи 32 рисунка, 5 таблиць і список літератури із 178 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі наведено огляд робіт, які містять наукові положеі ня, необхідні для обгрунтування теоретичних і методичних основ розробки теорії тришарових оболонок, окремі шари яких утворені із нелінійно-пружних і ортотропних матеріалів; подані постанові нелінійних задач і методи їх розв’язання, аналіз якісних і кілі кісних результатів. Обгрунтована актуальність виконаних в дисе] тації досліджень, сформульована ціль і наукова новизна дисертації, подана коротка анотація роботи по главам і головні наукові результати, які виносяться на захист.

Відзначено, що до теперішнього часу відома велика кількісі публікацій, присвячених теорії і методам розрахунку тришарових оболонок, а фундаментальним внеском у цьому напрямі є дослідже>

A.Я.Александрова, А.0.Амбарцум’яна, Л.Е.Брхжкера, Е.І.Григолкш К.З.Галімова, М.А.Ільгамова, Л.М.Куршина, Х.М.Муштарі, О.П.Прус кова, Е.Рейснера, О.В.Саченкова, П.П.Чулкова. Питанням побудові' уточнюючих теорій ортотропних, трансверсально-ізотропних і шар;, ватих оболонок відводилась велика увага в працях М.А.Алфутова,

B.В.Болотіна, Г.А.Ваніна , А.Т.Василенка, Б.JI.Пелеха, В.Г.Піск} нова, 0.0.Рассказова, В.С.Саркісяна, М.О.Шульги.

Розвиток нелінійної теорії і методів розв’язання динамічт задач обумовлений результатами, одержаними В.В.Болотіним, A.C. Вольміром, В.Ц.Гнуні, О.М.Гузем, М.А.Ільгамовим, В.Д.Кубенко, П.М.Огібаловим, Г.Шмідтом, В.Флюге.

Відмічено істотний внесок у питання побудови визначальних співвідношень для нелінійно-пружних тіл, розв’язання деяких кла сів фізично-нелінійних задач статики і концентрації напружень біля отворів, який зробили О.М.Гузь, Г.Каудерер, Ю.М.Немиш,

Г.М.Савін, І.Г.Терєгулов, Л.О.Толокомков, І.А.Цурпал, І.С.Чер-нишенко та інші.

В першій главі побудований варіант нелінійної теорії тришарових пологих оболонок, який відрізняється врахуванням поперечних деформацій зсуву в зовнішніх шарах і нелінійно-пружних властивостей в стисливому матеріалі середнього шару.

Напруження в матеріалах зовнішніх сртотропнкх шарів описані законом Гука

Ь 6 н « И + ^ : /І/

В66£а^. > 1-аа =■ В55 £.хг ; В^£Цг .

Для шару —виконуються ті ж співвідношення /І/, помічені для відзнаки індексом /#/.

Напружений стан в середньому шарі описується співвідношеннями Каудерера.

:

+28ї(Ф;)(в*-Єо)і їЯ8г §І(%*)ІХІ;

^-ЗКХ«.)£.+г&ї(¥0г)(а,-Е0)і Ї1г-5ї/г/

ЗІ< иеЛ *26 Т(¥02)(£Г В0) Тїг- &Т(Ф„%Ь, де ТС^)«і*ЇДа, ■

X2- |(е| +Ц+її-іхїгь,и-Щ+§(ІД|+е£+%'(3/

Використовуючи принцип Лагранжа, одержано варіаційне рівняння відносно деформацій

І,,

[5(Кі5£^К2^ + К4^К55£іг.К6^г).

* /V

її

+ | (К^Ед. +■ К2?£^-+- К3К£г+ КА5£Ху + К55£хг+ К6^£уг) +

-ь

-Ь .

+ 5 (к‘л*+к'г£^•<«£,+ к'5е'8+к;й*)]и-- ^(зс^ЧС*-.^- ^)] = 0 >

> К2=2 ;

К4=2Вб6£гг^ -, К5= 2В>55Є-зсг і К6=^ВЛ4£^г;

. К...= К...(^,^,-,£’,Єя-£^,-)5

К-хК&КФ* ••■*

Із рівняння /4/ при розгляді різних кінематичних гіпотез рамках геометрично-лінійної теорії одержуються як відомі, так нові диференціальні рівняння деформованого стану оболонок.

Реалізован варіант, коли для податливих на поперечний зсу: зовнішніх шарів прийнята поперечна модель зсуву типу С.П.Тимо-шенка

4 4

Ь^Ь+Е; : •, 1^*2

І.М і=4

А * /5/

-К-^<24-И: ^=2^(а:>^Лі(2)5

і.=1 і=\

Л,(2)«Л*Са>1 •> Л3(г)=2-Ь-| •, Л*(г)=2+Ь+|} \(г)=і\*(г)=0; з з

> 'іб = ^ ^ ^>Ч[)р$. >

ргрГ-1* РгРЇ-°-

Для поздовжних переміщень середнього шару -'Ьбг^Ь. прийнята гіпотеза розподілу по товщині, яка аналогічна закону С.О.Амбарцум’яна, а для прогинів враховано поперечне стиснення по параболічному закону.

Використані далі умови сполучення при відсутності взаємню

зсунень поверхнень шарів 2»*‘Н дали змогу виразити через функції И і , , 'и?-. переміщення заповнювача зображені у вигля-

ді 4

£=2 и^(Ж;^ а 1 (2) + ^ глГКз. (хИ2(г)С-(г) •,

<-=< ^

^4 З

3-2 Чч.(*5^)^б(г)с;(г) 5 /б/

іи * *

з

^=Еч(х^с»(г) •• с1(2)=^ (1+її^}

Тут а(С*), ^(г), И2(г) , Ь6(г) - вирази, які визначають

зміну тангенціальних переміщень по товщині середнього шару;^ , ьї2 і и^з - прогини серединних поверхнень зовнішніх шарів і середнього шару. і

Враховуючи /5/,/6/ із /4/ одержана система нелінійних диференціальних рівнянь в переміщеннях для оболонок з податливими на поперечний зсув /малою зсувною жорсткістю/ зовнішніми шарами. Ця система містить сім шуканих функцій переміщень М.^ , ^

/і =1,2; ¿-=1,2,3/ і чотири функції /0=3,4/, визначаючі кути поворотів нормалей до серединних поверхнень зовнішніх шарів. Її структура має вигляд .

і ІМК,,« ■ к, ), \,К5]<Ь + 1 [а5(к,_х, К*Д(ЧіК5]Л+

и -ь

+ $ К(К*,, к;;А^КЦсЬ-О і п,

-н

Ь+Б; *і

^ [Л&( К2 ^, К4(Х), Л5^г К б|сІг +- ^ ( К2^, , ^г-к6]із+

ь , -К

"5 /8/

+ I IX (К2Д'К^х). Л5^К1]^г=0 ’’

5 К^р^г + І

Ь -Ь

^3» ^4,хд. » ^5, ос > ^б,£> ^(г), ^і,-г^2), ^2^, Ь6(г)^сІ2 +

-н

+1 (к;,С к^ .К^р^-^С^+У“*»)^. /9/

/3-І.......4; 1-І,2,3/.

При розгляді задач динаміки права частина рівнянь /9/ доповнюється членами, які враховують поперечну інерцію оболонки і демпфування.

Із контурного інтеграла варіаційного рівняння /4/ отримані граничні умови, на основі яких моделюються всілякі симетричні і несиметричні кріплення шарів на контурі.

Виконані спрощуючі перетворення, які дозволили варіаційним шляхом перейти до диференціальних рівнянь руху оболонки з жорст кими на поперечний зсув зовнішніми шарами. В цьому випадку рівняння записані відносно переміщень , “і5^ , иї' /¿=1,2; ¿-=1,

2,3/. .

Одержані результати мають узагальнений характер і дозволяють суттєві спрощення на випадки лінійного закону поперечного стиснення і нехтування стисненням взагалі, тобто, приймаючи, що •и*3= */2(Ч+г^ е.б° 'Ц=У'2=и'у»и5'. Так, враховуючи додатково ^н~°, £г~-30 + із А/-/9/ У випадку нехтування

стисненням одержані нелінійні диференціальні рівняння відносно п’яти функцій переміщень і чотирьох функцій, визначаючих кути поворотів нормалей. •

В межах геометрично-лінійної теорії з залученням визначальних співвідношень /2/ побудована модель нелінійно-пружної основі в якій прийнято, що горизонтальні переміщення відсутні, а вертикальні характеризуються тільки однією функцією ) , тобто

ЬЇ°(Х->Ц> 2 >-!:)і . Єв°- З КД (Є0)80 -н2С0да,2)(£г°-£о)»

£с= е.в/з ■, ¥02= 2/з[Уз ки^(^)2].

Із умови рівноваги елемента основи товщиною Н визначена його реакція, яка узагальнює результати В.З.Власова, М.М.Леонт’є-ва на випадок нелінійної пружності матеріалу. Її можна навести у вигляді

(7*П

+ Чим .

В другій главі одержані рівняння динаміки вильно опертих оболонок, які записані відносно амплітуд прогинів серединних поверхнень шарів , §2(±) , !3(-Ь) .

Деформації в шарах оболонок визначені після приняття апрок-

симуючих переміщення і кути поворотів функцій у'тригонометричному вигляді. Виконав лінеаризацію у виразах деформацій середнього шару відносно амплітуд тангенціальних переміщень ^(-Ь) , £.00 і тригонометричних функцій, записані вирази для К, ¿(і- 4.

• /п / /о/ 7^,/

рівнянь /7/,/8/, що дало змогу зв’язати

ді їх® + 2 &Т !„(•%«§,«$ >

ьи к и

. te.be.

/<,=1,..., 4/.

Тоді із /9/ виходить система нелінійних диференціальних рівнянь відносно амплітуд поперечних коливань

о,\«+ с?і,.*)рг+(<іг,«+^£„)р:+

к,*,Є,т,п.

+

/*=1,2,3/.

Для системи /Ю/, яка згідно /3/ містить параметри ^ характеризуючі малу фізичну нелінійність пружного- матеріалу заповнювача застосовано метод розкладу в ряди по малому параметру ’>Г2К*С&3+3&2К)"і і сформульовані рекурентні систі ми неоднорідних лінійних рівнянь.

Нехтуючи врахуванням поперечного стиску і впроваджуючи так: позначення

При взаємодії оболонки з пружньою основою його реакція визначається виразом '

В третій главі розглянуті застосування розробл« ної некласичної теорії і методів її реалізації. Досліджені динамічні процеси в тришарових оболонках і пластинах при поперечному навантажені. Рекурентні системи рівнянь наведені в такому вигля-

із /10/ одержано рівняння поперечних коливань

м К*+Сі-Ь +Т*і! Ю+ГаІ 49+ Г3|5(ІЬ^. /II/

з

- ІЗ -

¿520,«: І 520^ ■¿—М'-кЗкО І'й4 '> /12/

' к=4 '

З

ки

до

) 1у«,«: + С( +3 ^-кікц" >

к<и

2 І2^,-Н:'+'<“2 і2^ + 2 ^кі*=

к-4

з т3 із^,н+ з сз !з^ +2Л-к Ік^* Пз,Ш ,

т*

/ІЗ/

де ^=1,2,...- номер наближення в розкладі по малому параметру

Л .

Проаналізовані умови і можливі випадки коливних процесів в тришарових оболонках при дії зовнішніх збурних факторів ,

су2(^') . Для цього робилось припущення відносно виконання умов додатності головних діагональних мінорів матриці Рауса-Гурвіца, побудованої для характеристичного рівняння системи /12/

с06+ сцо;5+ а2со*+ а3с03+ а4со2+ а5со + а6= 0, /м/

де СЦ,—> 0-б _ коефіцієнти, які одержані при розгортанні визначника.

Розглянуті стійкісні коливальні рухи оболонки, які можливі при трьох випадках коренів рівняння /14/

Л) 4,2="^1±І311 •> 4,4““Vі^ »

2) 4,2 = “ > 4,4 ~~^2~ » ^5,6^^ 5

3) 4,2 = -°Ц±£|і > 4,-,6<0-

Рішення задачй зображено в вигляді суми розв’язків систем

/12/ і /ІЗ/, де частинні розв’язки визначено методом варіації . . < . довільних сталих, а загальні - при початкових амплітудах зсунень

1^(0) і швидкостей |го^(0). '

Аналогічний вигляд має рішення задачі при равномірному стис-

леншзаповнювача. Тут характеристичне рівняння мае четвертий пс рядок і можливі два випадка коренів.

Розглянута задача малошвидкісного поперечного удару кулею по поверхні тришарової пластинки. Зсунення спадного тіла, які відраховуються від точки зіткнення з пластинкою в початковий мо мент часу, визначаються із диференціального рівняння

rns — m.

Вважається, що повне зсунення складається із місцевого стиску оС(Р) і динамічного прогину Тоді рішення

може бути зображено в вигляді функціонального рівняння типу Тім шенка, в якому місцевий стиск визначається по теорії Герца <¿(P) = UpVa ) а прогини пластинки одержані методом малого параметру із рівняння /II/ при навантажені ^т|і= 4P(t)a4~4inc¿m3^stnjS

^[ f^o + ^Ч*)sCn +

00 -t +vS*cos^t]+-i- J(n,mll+2

> Q2-IiH.№+5Fs|J)i

де m , lí” - маса і швидкість кулі в момент часу -Ь=0; VÍ*, 1Ґ* -початкові умови в точці удара, яка має координати xt ; а , -fe розміри пластинки.

В випадку, коли динамічна контактна сила перевершує деяке граничне значення, яке визначається теорією Герца, то нехтуванн. пластичними деформаціями вносить суттєві спотворення в динаміку розглядаємого процесу, веде до похибок в обчисленні Р(-t) , 5 , •ur . Тому тут для розв’язку задачі використана пружно-пластичн модель локального деформування в зоні удару, яка запропонована роботі В.U.Александрова, И.Г.Кадомцева, Л.Б.Царюка і добре пого,

жується з теорією і експериментом:

кР2/3, вир ¿(Р)=<! к^Р^+^^рРСО], 5ирР(£)>Р

(і+/)с°р</2+а(і-?в)Р, вирио-р

.

зир Р(І)>Р1

де к»Р1 - коефіцієнт і граничне значення сили по теорії Герца;

- пластична компонента місцевого стиску. Інтервал часу співудару поділено на малі елементи ДТ , після чого рівняння /15/ інтегрується чисельно і крок за кроком обчислюються значення зсувів, прогинів і контактних сил по ітераційній схемі М.А.Кіль-чевського, в яку внесені доповнення відповідно складності задачі.

На рис.І показано випадок центрального удару сталевою кулею радіуса Н=0,0І м з швидкістю =0,3 м/с, С=0 і початковими умовами ^=Ї0~^ м/с, г^=0. Тут. суцільні лінії відповідають рішенням лінійної /Л=0, криві Р0 , 'Іл5'(> , В0 / і нелінійно-пружньої /з урахуванням третього наближення/задач, а штриховими лініями наведені результати розрахунку з урахуванням другого наближення .

Розглядався випадок нелінійності "м’якого" типу, тому прогини виявились більшими, ніж для відповідної лінійної задачі. Урахування вищих наближень в розкладі по параметру привело до збільшення прогинів, зменшення значень контактних сил з розходженнями між другим і третім наближеннями в області максимальних значень не перебільшуючими 1,5%. .

Було встановлено, що при малих іґд початкові умови можуть здійснити суттєвий вплив на прояв пластинкою її нелінійно-пружних властивостей. При ^<0, ьї*4-0 вплив нелінійної пруж-

ності. не виявляється, так як система стає більш "жорсткою" по відношенню до поперечного навантаження, і прогини не виходять за

межи нескінченно малих значень. Якщо

0 і

лї* > 0, то

вже на початковому етапі одержані розрахункові прогини виявляються значними, і вплив нелінійної пружності помітний. При

Р,кН

Рис. I

Рис. 2

врахування нелінійно-пружних властивостей привело до таких результатів, коли розгляд задачі з прийнятими параметрами в рамках впроваджених припущень стає неможливим.

На рис.2 показано характер перебігу процеса удару при 1Ґ0 = =0,7 м/с, ьї*= 0, а^*=0 и -^=0,01 м/с. Результати засвідчують про замітний вплив початкових умов на поведінку нелінійно-пружної пластинки. Штриховими лініями наведені результати для лінійної задачі, а суцільними - для нелінійної з урахуванням третього наближення. Крива І відповідає розрахунку із параметрами С =2,5 МПа-с-м“^, л1*=0; крива 2 - С =2,5 МПа-с-м , 1*^=0,01 м/с; криві 3,4 - <2=0, аГ*=0,0І м/с і 1^=0 відповідно; крива 5 - С =0, і5'*=0, крива 6 - с=0, 05^=0,01 м/с. Наведений графічний матеріал засвідчує, що при врахуванні демпфування система виявляється менш чутливою до розглянутих початкових умов, і тому вплив нелінійної пружності на прогини і контактні сили зменьщується.

В четвертій главі досліджена стійкість оболонок при дії періодичних і лінійно зростаючих динамічних сил.

Досліджена поведінка оболонок в головній області динамічної нестійкості, коли по контурам зовнішніх шарів діють нормальні навантаження

ІЇХІ = М01 + ИЬІ соьві } і Л/Х2 = ... •, Нуг...

Рішення /10/ шукається в стандартному вигляді. Після лінеаризації тригонометричних функцій амплітудно-частотгіі залежності ви-' значаються із системи шести нелінійних рівнянь

-(!)2[р,тгс^р>^-|ргтгс3,]т + [ргСГС,>і + р£СГС23Ч + І Сзз-і] +

)С2І<

2С ‘

ДМС + 7 А1й Г(і) + У ЛСО (!с0 =0 /Іб/

А3ЦЬ+ 2л,АчеСкіе + ^ и>

/1=1,2; ‘£■=1,2,3/,

В /16/ верхні позначення відносяться до рівнянь І=І, нижні - до рівнянь 6=2, а позначені коефіцієнти мають вигляд

їм = І1 1J п ' Р •

*»№ кМ w ,.9._9*-ґг ’ /17/

(2“f- ^ [Af - А?)рг] ,

> (^2t) “ одержуються з /17/ при замінах І-»■2, Рг — pfc*

Рішення цієї задачі одержано і для лінійної моделі стисливості середнього шару. В цьому випадку замість /16/ одержана система чотирьох рівнянь /ї=І,2/, в якій вирази /Г7/ зберігають свій вигляд, але в них необхідно замінити Л.^ на коефіцієнти відповідні рівнянням з лінійною стисливостю.

Розглянута стійкість оболонки при дії по контурам зовнішніх шарів зсувних навантажень Nf * N01 + Nb1 cosQ-h , N2= N02 +

+ Nii cosBi . Система шести рівнянь вигляду /16/, яка установлює амплітудно-частотні залежності для цієї задачі, одержана після інтегрування /10/ методом Бубнова-Гальоркіна, підстановки в праві частини рівнянь виразів •

Ц2№)-2 (^ikftnn

і розкладу амплітуд /к=І,2,3/ по ортогональним тригоно-

метричним функціям. Тут замість коефіцієнтів /17/ враховується

_______tA-mfin. l^-tl __ , ^ік,тп q .

A'f-i’NLoU&n ьл.™ г> /їв/

1 J Лік,inn.

a одержуються при заміні індексів I 2, рг— f* ;

а., , A-, - визначаються інтегралами від тригонометрич-

них функцій координат. Розглянута також задача, коли стисливість

середнього шару здійснюється по лінійному закону.

На основі рівняння/П/ вивчена стійкість оболонок при стиску і при зсуві контура зовнішніх шарів періодичними навантаженнями. При дії на оболонку стискуючих сил, рівняння типу Дуффін-га має вигляд

і,«+Й І'-0 • о,5ли<^*гА?і , о*

^ 7,-^чАЖ м

де ^ - коефіцієнт збудження; частота власних коливань.

Апроксимуюча функція прийнята в вигляді

•С^)=СіаіГІ^ + С;(С05у

після чого приходимо до рівнянь, дійсні рішення яких установлюють залежність амплітуди від відношень частот

5.3. /)4 + 1. -5_ Л2+{-( —)2± =0 /19/

де ЛСі2'+- квадрат амплітуди поперечних коливань оболонки. Розв’язок рівняння /19/ зображено виразом

/20/

■ь

На рис.З наведені амплітудно-частотні залежності, одержані в результаті розрахунку по формулі /20/ для випадку усталених коливань панелі без врахування демпфування при дії по контуру стискуючих періодичних навантажень. Розрахунок проводився для параметрів навантаження N¡,=10^ кН/м, ^і=0,4, розмірах <Х = =0,6 м, -її =0,4 м, ^1/82=3, &г= И.^=І0~3 м і для заповнювача з характеристиками ^=-0,387-10 , %2=0. Криві І відповідають

Aiô

2

і

і

• - - -ч \ \

\ —

\ \ /

/■ / / , / /

г г У

2ЯЪ

Рис. З

SoIOö, м N.. Н ÄN<, н 1024т^, % N° т2 .н I02*Nî, %Nt*H N*p, H

3 -171 -0,48 -12 • -0,03 35355

6 35538 -683 -1,92 -99 -0,28 34756

9 34483 -1537 -4,32 -334 -0,98 33667 •

12 -2733 . -7,69 -792 -2,41 32013

15 -4270 -12,01 -1547, -4,94 29721

пластинці Т*,=^а- °° , а криві 2 - циліндричній панелі м*

Вигляд графічних залежностей якісно погоджується з відомими результатами, якщо врахувати, що розглянутий випадок нелінійної пружності "м’якого" типу. Явище перекидання, яке при цьому спостерігається, виражається в зміни стійких віток рішень /суцільні лінії/ на нестійкі вітки /штрихові лінії/ і навпаки - при розвороті резонансних кривих в напрямку нелінійності "м’якого" типу. Одержані результати погоджуються з висновками Г.Шмідтаі, коли для урахованого у відновлюючій силі доданка п’ятого степеня вірна умова ^^<0. Якщо 0, то спостерігається уточнення роз-

в’язку рівняння Дуффінга.

На прикладі задачі статичної стійкості подовженої пластинки симетричної побудови проведено порівняння результатів розрахунків з відомими літературними джерелами, а також вивчена збіжність метода малого параметру. Розглянута пластинка з розмірами 5" =І*І0-3 м, 1і=8-І0_3 м і довжиною <1=0,4 м. Розрахунки проводились при механічних характеристиках ізотропних зовнішніх шарів ■Ь=0,27, &=8*І0^ МЛа і заповнювача & =8,7*10^ МЛа, К =1,82*10® МПа, Т2=-8'І04. Збіжність методу малого параметру досліджено на числовому аналізі результатів розрахунків критичних сил, які наведені в таблиці при різних значеннях амплітуди §0 • Здобута величина критичної сили лінійної задачі підвищує на 3,06% ре-

зультат, обчислений на основі розв’язку О.П.Лрусакова, який наведено в знаменнику. При амплітуді прогину §0 =3-^6 *10"^ м вплив нелінійно-пружних властивостей незначний. Але вже при амплітудах §о рівних 0,083$ товщини, врахування нелінійної пружності зменшує одержане значення Нср на 16,37%.

Розв’язана задача динамічної стійкості тришарової оболонки при дії лінійно наростаючих навантажень

5 -Ь-Тік г

де - темп навантаження, ’Ь«- критичний час, 0 І. Для

апроксимуючої функції використана функція

І ОІТС/ оі-»-Л о\

І«»“1-® (зттг-х), КЧ

яка задовольняє умовам |(0) =» 1^(0= 0.

3,5

0,5

О

\ \ \ \

\ 2 \ \ \ \ ч >Л \\

х. \ ^4 \ Ч / г //' !/

середній шар: I - вініпласт, 2 - ДІ6-Т Рис.4

N-t

НИ/м

0,5 0,3 0,і

- _ Tv

2у

- —- '

і s

— "

О 1

3 St/s.

I _ N1^=10 кН/Гм.с) ; 2 - N=10° к\{/(ц.с> ;

3,— N=I07 кН/ (м-с)

Рис.5

Застосовуючи теоретико-експериментальний метод О.В.Саченко-ва із /II/ з урахуванням /21/ одержано енергетичний функціонал

І+ c-t;1 Jd-т J+ 4^1 i2c,)sx +

° -і 0 і 0 -*■ T ^ jg'rad-'E ЇSv>-

О 0 '

1

- N, і к (otf + 4fin) I' fcj'Г І !,t(T) ^ •

A 93 35

Із умов мінімізації ~§JT і "gjr виходить система двух нелінійних алгебраїчних рівнянь для визначення критичного часу і хвильового числа Um /при f>n = const/ в залежності від параметрів Nf , Ч , А . Результати розрахунків для цієї задачі зображені на рис.4,5. Суцільні лінії на графіках відповідають нелінійно-пружним оболонкам, штрихові - пластинкам, а штрих-пунктиром зображені криві, які відповідають лінійно-пружним оболонкам. Шля- -хом лінеаризації зв’язку між функціями &(-Ь) , f^Ct) и g(±) одержані наближені аналітичний вираз для критичної сили Ы{ЬК і рівняння для визначення хвильового числа

Розв’язана задача коливань тришарової оболонки на нелінійно-пружній по Каудереру основі при дії рухомого навантаження. Виконані дослідження процесу матих коливань, виникаючих при виведенні системи із стійкого квазістатичного режиму дією "амплітудного збурення". Задача зведена до розв’язання рівняння ,

+ cof|-H |5=0 ;

м* м*

cO02=M‘J(F, + F10-<Vzm) >

F22= F7 + F20 ; F33= F3 + F30 ,

де c00 - частота коливань лінійної системи; V , m. - швидкість і маса рухомого навантаження.

Після впровадження безрозмірного параметру часу rL = cOt і одночасного розкладу амплітуди і частоти в ряди по параметру

|сс)-|0го+2л Ут^> ,

5 ^=1 г одержана система рекурентних диференціальних рівнянь, звідки, використовуючи метод О.М.Крилова для усунення вікових членів, одержані значення |(-Ь) і сО з врахуванням других наближень. На підставі одержаних розв’язків розглянуто ряд окремих випадків.

Питання, розглянуті в п’ятій главі дисертації відносяться до статистичної динаміки конструкцій. Використовуючи метод диференціальних рівнянь до рівняння /II/, одержано нелінір не диференціальне рівняння відносно кореляційної функції амплітуд • стаціонарного процеса, близького до нор

мального, центрованого

К3ттп:®+ Р"2кК(Т)+ Р3к К3(Т) +- /22/

+ Б,кК5(Т) = Я'кСТ) »

Г*\4 . Р = ■ .

р =^2о(-^)2- а. Сґ) = . сд*= — • £=— •

ак Vй М2 » М 2\А ’

*и - різниця МІЖ двома моментами часу, Т = -Ь2--Ц.

Після зображення кореляційної функції в вигляді розкладу К(т) = К0(т) + ^Е|А*КдС£) із /22/ одержані рекурентні диференціальні рівняння, лінійні відносно КоСО , К.,,Се), ...

К'о.хот^ + ^кК^ССНР^КвСО-Як^ > /23/

К^гтаСО +Я|К Кі>тт 0} + Р2к^(Т)= (і) . /24/

Рівняння /23/ має більш загальний вигляд, ніж рівняння нульового наближення, яке відповідає розв’язку лінійної задачі,

його можливо розглядати як один із варіантів статистичної лінеа-

ризації рівняння /22/.

Для находження кореляційної функції із рівняння /23/ використовується метод спектральних зображень /співвідношення Вінера-Хінчина/:

Врахування /25/ дає змогу встановити зв'язок між спектральними спільностями в вигляді

Для випадку "білого шуму", коли cj, (т) = S &(т) , QK(uj) =

= S = const із /26/ виходить, що

а параметр дисперсії може бути визначений із кубічного рівняння

Як доповнення до характеристик випадкового процесу наведені вирази середніх кругових частот по нулям, екстремумам і складності структури процеса.

На рис.6 в безрозмірних величинах показано якісний характер зміни величини спектральної щільності в частотній області до її значення О„(0). Криві І відповідають"випадку £ш=0, а 2,3 -випадку <£(з)>€(2)* Криві з максимумом при (со/с00) =1 відповідають розв’язку лінійно-пружної задачі, а з максимумом при

/25/

G(i-co) = F1Kc<)2 + F2K)

і одержати кореляційну функцію ■

K»lX)*JrS F,KcJ!+F2 J‘dw. /26/

s

к С 0) = s j 8 5i £ [OJ02 + 3 К (0) M ” ^ ( F2 + 5 F3 К (0))] I~1

<ï^|Crt

Рис .6

Рис.7 Рис.8

(oj/cú^- і + (%>/<*>$- нелінійно-пружної.

Зображуючи спектральну щільність через параметр нелінійної пружності У2 у вигляді

g а<о)=— - >

вивчено поведінку оболонки при CO = COnSt в залежності від параметру Хг • Рис*^ показано змінювання спектральної щільності для випадку додатних коренів Т2 . а на'рис.8 зображені результати коли , £=0.

В новій постановці розглянута задача параметричних коливань тришарової панелі при дії нормальних до контуру випадкових навантажень

blx(0,-t)=V1xsin6t + V2xcos6t ; = Vy &іп Oh + cos віт}

де Vix , V2X , , V2y - некорелюючі випадкові величини з дис-

персіями ¿L і dí і нульовими математичними сподіваннями.

Замість /22/ для цієї задачі записано рівняння

•W«'♦ V.-CO-[F*- «зв-фто-

+ F3kK3Ct) + F,kK5(t)=0.

Його розв’язок шукається в вигляді К(Т)= C1Stfl-^-+C2Cos-2" , тоді із біквадратного рівняння відносно амплітуди кореляційної ■ функції одержано

j ,А п4 dU г- З ^зк ¿d0

де d0 = oLm+ Р>р ¿ F--5 • І J4¿- 2M2a), .

Для лінійного закону стисливості сер^нього шару одержана система трьох нелінійних диференціальних рівнянь відносно кореляційних функцій Kj^CO, Kj2^(T) І

+^КНа^ + ^Ч!2('с))3= КЧСТ) '

/і=1,2,3/.

При її виведенні враховані умови симетрії і стаціонарності, піс^ ля чого вона зображена рекурентними системами рівнянь по малому фізичному параметру. Знайдені спектральні щільності для лінеари^ зованої системи, а при однобічному навантаженні =0 одер'

жані вирази для кореляційних функцій, амплітудних і фазових спектрів щільності. Проаналізована зміна амплітудних і фазових спектрів щільності в частотній області і розглянута іх поведіню в залежності від параметра Т2 .

На підставі /10/ побудована система шести лінеаризованих диференціальних рівнянь

В /29/ при у =3,5,6: К<у СЕ)=0. Розв’язок шукається в ви гляді інтегралів Фур’є

^¡н І22 ^!з§з^ +

/29/

+ + +^25К|2|5(Т)= К^СО >

/¿г =1,2,. .,6/.

—ОО

+оо

З

що дає

1с І

Ьс о = -------------------------—-------------------

су,г(-Ь) =0 можна записати, що

звідки одержані вирази для амплітудних і фазових спектрів щіль-ностей.

У висновках коротко сформульовані основні результати наукового і прикладного характеру, які одержані в дисертації. Вони полягають у наступному:

1)побудовані нові, узагальнюючі рад некласичних, математичні моделі деформування тришарових пологих оболонок на основі варіаційних принципів механіки, експериментально обгрунтованих законів деформування ортотропних і нелінійно-пружних ізотропних матеріалів і відповідних їм кінематико-деформаційних співвідношень;

2)одержані варіаційне і системи нелінійних дифференціальних рівнянь відносно деформацій і переміщень відповідно, в яких для зовнішніх ортотропних шарів враховується податливість на поперечний зсув, а для нелінійно-пружного матеріалу середнього шару враховується поперечна стисливість;

3)для вільно опертих тришарових оболонок одержані системи

нелінійних диференціальних рівнянь в амплітудах переміщень і відносно кореляційних функцій /при дії випадкових стаціонарних навантажень/; .

4) одержані аналітичні розв’язки нелінійних задач динаміки

тришарових оболонок і пластин при імпульсних, вібраційних і ударних навантаженнях; .

5)для нелінійно-пружних тришарових оболонок розвинуто тео-

ретико-експериментальний метод аналітичного дослідження стійкості при імпульсних стискуючих навантаженнях; встановлена залеж- ' ність критичних навантажень від відношень товщин шарів і радіуса кривини оболонки, впливу на критичний час втрати стійкості оболонки і хвильові числа темпу навантаження, нелінійно-пружних параметрів матеріала; '

6) вивчений процес сбіжності методу малого параметру для переміщень і критичних навантажень в задачі статичної стійкості нелінійно-пружних тришарових пластин;

7) досліджена поведінка амплітудно-частотних залежностей усталених параметричних коливань тришарових оболонок з врахуванням в рівнянні типу Дуффінга відновлюючої сили вищого наближення /доданок п’ятого степеня/; вивчено вплив кривини оболонки, коефіцієнта збудження і товщин шарів на амплітуди усталених коливань

в головній області динамічної нестійкості;

8) вивчена динаміка пружнопластичного удару кулею по повер: ні тришарової пластини і визначені залежності контактних сил, зміщень кулі, прогинів, тривалості співудару від механіко-ге» метричних і нелінійно-пружних параметрів пластини, швидкості співудару і початкових умов, дана оцінка сбіжності метода малої параметру;

9)одержані розв’язки стаціонарних задач в вигляді кореляційних і спектральних функцій і проведений їх аналіз в частотні області, яка характеризує поведінку тришарових оболонок при поперечних і вібраційних параметричних випадкових навантаженнях; визначені амплітудні і фазові спектральні щільності для моделей стану, враховуючих поперечну стисливість заповнювача по квадратичному і лінійному законам або нехтуючих нею;

•10)при розв’язанні перелічених класів задач виявлені нові механічні ефекти, які обумовлені врахуванням впливу нелінійно-пружних факторів на інтегральні характеристики динамічних проце сів, зокрема із аналіза наведеного графічного матеріале виходит що:

а)врахування нелінійно-пружних властивостей в задачі на по перечний удар привело до зменьшення максимального значення контактної сили на 11%, при цьому на результати розв’язку лінійної і нелінійно-пружної задач суттєвий вплив мали початкові умови і демпфування;

б) врахування вищого наближення в відновлюючій силі рівнянш типу Дуффінга привело при £2.^5 < 0 до якісно нових результатів, які виражаються в явищі перекидання амплітудно-частотних залежностей в головній області динамічної нестійкості; '•

в) вплив врахування нелінійної пружності на величину критичної сили втрати стійкості при наростаючих стискуючих силах привс дить до зменьшення Niep на ЗОД-35% при темпі навантаження N{ = =10® кН*м-^с-* і на 7%-12% при N(=I0^ KH-M-ic-^, при подальшому збільшенню темпу вплив нелінійно-пружних властивостей на вели чину N*p зменьшуеться;

г)врахування нелінійно-пружних факторів приводить до зсунен ня резонансних частот коливань оболонки при випадковому навантаженні типу "білий шум".

Таким чином, виконані в дисертаційній роботі дослідження, сформульовані наукові положення і одержані результати дозволяють кваліфікувати іх сукупність як теоретичне узагальнення і вирішен ня крупної наукової проблеми в новому перспективному напрямку не

- ЗІ -

класичної механіки оболонок.

Основний зміст дисертації опубліковано в слідуючих роботах автора:

1. Тамуров Ю.Н. Динамическая устойчивость нелинейно-упругих трехслойных пластин несимметричного строения//Алгоритмы решения нелинейных задач и обработка данных.-Днепропетровск: ДГУ,1964.-

С.131-135.

2. Тамуров Ю.Н. Поверхностное давление и сжатие трехслойкой цилиндрической панели с нелинейно-упругим заполнителем//Методы решения нелинейных задач и обработки данных.-Днепропетровск:ДГУ, 1985.-С.174-179.

3.Тамуров Ю.Н. Динамическая устойчивость трехслойной цилиндрической панели с нелинейно-упругим заполнителем//Актуальные проблемы механики оболочек: Тез.докл. II Всесоюз.совещания-семинара молодых ученых.-Казань: КИСИ, 1985.-С.211.

4. Тамуров Ю.Н. Основные уравнения устойчивости трехслойных пластин с ортотропными и нелинейно-упругими свойствами материалов и определение критических нагрузок при всестороннем сжатии прямоугольных пластин.-Киев,1986.-34 с.-Деп. в УкрНИИНТИ 10.07.86,

№ 1651. .

5. Тамуров Ю.Н. Устойчивость трехслойных оболочек с малой сдвиговой жесткостью и нелинейно-упругими свойствами материалов/

Устойчивость в механике деформируемого твердого тела: Тез.докл.

II Всесоюз.симп.-Калинин,1986.-С.200-201.

6. Тамуров Ю.Н. Динамическая устойчивость трехслойных нелинейно-упругих пластин и некоторые упрощения аппроксимирующих функций и решений//Применение композиционных материалов при проектировании деталей машин.-М.: ВЗПИ,1986.-С.40-46.

7. Тамуров Ю.Н. Поперечный удар шаром по кусочно-однородной нелинейно-упругой пластинке//П Всесоюз.конф. по механике неоднородных структур: Тез.докл.-Львов, 1987,т.2.-С.267-268.

8. Тамуров Ю.Н.Упругий удар по трехслойной пластинке с малой сдвиговой жесткостью и■нелинейно-упругими свойствами материалов/

ХІУ Всесоюз.конф. по теории пластин и оболочек: Тр.конф.-Кутаиси ,1987,т.П.-С.465-470.

9. Тамуров Ю.Н. Устойчивость слоистой физически нелинейной оболочки на нелинейно-упругом основании// УІ Всесоюз.конф. по композиционным материалам:■Тез.докл.-Ереван: Изд-во Ереван.ун-та, 1987.-С.216.

10.Тамуров Ю.Н. Упругий удар по трехслойной панели на нелинейно-упругом основании//Материалоемкость и расчеты современных деталей машин.-М.: ВЗПИ,1968.-С.13-21.

11. Тамуров Ю.Н. Действие подвижной нагрузки на физически нелинейную трехслойную панель//Современные проблемы строительной механики и прочности летательных аппаратов: Тез.докл. Ш Всесоюз. конф.-Казань: КАИ,1988.-С.141.

12. Тамуров Ю.Н. Влияние сдвиговой жесткости материала на амплитуды колебаний нелинейно-упругой пластинки//Повышение надеж ности и долговечности машин и сооружений: Тез.докл.Ш научно-тех-нич. конф.-Запорожье,1988,ч.2.-С.84-85.

13. Тамуров Ю.Н.. Некоторые вопросы динамики тонкостенных конструкций//НТП в машиностроении. Вып.З: Проблемы машиностроения и долговечности в машиностроении.-М: МЦНТИ,1988.-С.141-150.

14. Тамуров Ю.Н. Динамическая устойчивость трехслойной физ1 чески нелинейной пластинки в поперечном магнитном поле//Актуаль-ные проблемы механики оболочек: Тез.докл.Ш Всесоюз.совещания-семинара молодых ученых.-Казань: КИСИ,1988.-С.212.

15. Тамуров Ю.Н. Динамика трехслойных оболочек и пластин с физически нелинейным заполнителем: Автореф.дис. ... канд.физ.-мат.наук.-Ереван,1988.-20 с.

16. Тамуров Ю.Н. Учет обжатия физически нелинейного заполн] теля в теории трехслойных оболочек//Прочность, жесткость и техн логичность изделий из композиционных материалов: Тез.докл.Ш Все союз.конф.-Запорож ь е,1989.-С.202-204.

17. Тамуров Ю.Н. Динамика трехслойных оболочек с малой сдв говой жесткостью внешних слоев и нелинейно-упругим заполнителем Вопросы проектирования и опыт разработки модулей гибких производственных систем.-Днепропетровск: ДГУ,1988.-С.45-51.

18. Тамуров Ю.Н. Параметрические колебания трехслойных обо лочек с учетом обжатия нелинейно-упругого заполнителя//ХУ Всесо юз.конф. по теории оболочек и пластин: Тр.конф.-Казань: КГУ.199 т. I.-С.673-678.

19. Тамуров Ю.Н. Вариант обобщенной теории трехслойных по/ гих оболочек с учетом обжатия физически нелинейного заполнителя

Прикл.механика.-1990.-26,№ 12.-С.39-45.

20. Тамуров Ю.Н. Колебательные процессы в трехслойной оболочке при неравномерном обжатии физически нелинейного заполнит« ля//Прикл.механика.-1991.-27,№ 7.-С.82-88.

21. Тамуров Ю.Н. Упругопластический удар шаром по трехслойной пластинке с физически нелинейным заполнителем//Изв.АН СССР, МТТ,-1991.-№ 3.-С.127-133.

22. Тамуров Ю.Н. Динамика трехслойных оболочек с включениями в нелинейно-упругом сжимаемом материале заполнителя//Изв. АН СССР,МТТ.-1991.-№ 5.-С.148-155.

23. Тамуров Ю.Н. Случайные колебания трехслойных оболочек с нелинейно-упругим заполнителем//Технологические проблемы прочности несущих конструкций: Тр.конф.-Запорожье, 1991.-С.229-235.