Граничнi теореми для функцiоналiв вiд розв'язкiв систем випадкових рiвнянь та сумiжнi питання тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

РРБ ОД

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ КИЇВСЬКИЙ УНІВЕРСИТЕТ імеяІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

На правах ругопсзсу

МЛСОЛ Володимир Іваисвггч

ГРАНИЧНІ ТЕОРЕМИ ДЛЯ ФУНКЦІОНАЛІВ ВІД РОЗВ’ЯЗКІВ СИСТЕМ ВИПАДКОВИХ РІВНЯНЬ ТА СУМІЖНІ ПИТАННЯ

01.01.05 — теорії ймовірностей та

математична статнстпга

Автореферат дисертації на здобуття вченого ступеня дохтора фюмо-магештина кауж

Кттш — 1994

Лксэрташев е рудопио-

Ройота вивошша в йнвсьгоцу университет! ш. Тараса Шзвченка

Офшхйвх опсивнтв:

жжтор фхзяжО’Иатешигших наук, ст. наук, спхврой.

Л£В1‘1ТСЪКА А»0. доктор ф13иво-датемати<шшс наук, професор ЛНЬКОВ Ю.М. доктор фгзшю-иатемашшшх наук, професор МШРА Е.С.

йровцща усжаасшаг 1нститут йбэрнетнша и. В.М. Г-.ушкова Я2В Гхрахш

Зазаот вгдбудатьеа " -&> * 1Э9 г1 р. в X 5' года

на зас1давЕ1 ссеагалгзсшано! рада £ 01£.50.01 щш 1нститут1 математика НАН Удрапш за адресов: .252601, Кпгв, 4, щл. Теравекйвська, 3, конфераяц-аад..

3 дисвртяп*вю ша озна£оиитнсь у (Ябдготаш шстЕтуту

Автореферат роз4слано " 31 * VIII 1381 р.

Зчаний свЕратар сиадшлгзсгааао! рада ^

лектор фташео-яатенагачшп наук 1УС£2 ЛЛ»*

Загальна характеристика роботи

^22§льність_темя• Фундаментальні результати теорії систем лінійних випадкових булевшс рівнянь /далі - СЛВБР/, що знайдені в працях i.M. Коваленка, М.В. Козлова, Г.В. Балакіна, В.Ф. Кол-чина, мають відношення до установлення області інваріантності для граничного розподілу числа розв’язків СЛВБР та його (граничного розподілу) явний вигляд. Ці результати мають безпосередній вихід до основно: проблемі кодування, яка для СЛВБР зводиться до вибору розподілу ймовірностей коефіцієнтів системи, при якому ЧИСЛО пенульових коефіцієнтів має бути ПО М05ИШБССТі мінімальний, але ймовірність однозначного оберненого перетворення має бути достатньо високою. Перенесення результатів для СЛВБР на системи нелінійних випадкових булевих рівнянь /далі - СНЗЕ'Р/ наштовху-еїься на труднощі, подолання яких за допомогою ідей та методів, розвинених у теорії СЛНЕР, на уявляється момшвим. '

При переході від систем лінійних булевих рівнянь до систем нелінійних булевих рівнянь /далі - СНБР/ виникають проблем, обумовлені тим, що задача пошуку розв'язків СІШР відноситься до кла-оу -повних задач. Одна з них - проблема отримання оцінок потужностей множин, які об'єднують по тих або іниих ознаках різні вектори, що можуть бути розв'язкам систем нелінійних рівнянь над скінченним полом, (зокрема,. СНБР). У дисертації пропонуються точні *а наближені методи знаходження згаданих оцінок, причому останній а них використовує.граничні розподіли спеціальних статиотіш цілочислової послідовності заданої специфікації. Відзначимо, що частина з найдених граничних розподілів узагальнює на випадкові . мулиімножшгі результати L. CaiCHz/LSIZ/, Е. Ве,ь£ег /Щ7о/, і*. Td*«./ /1973/, С.Х. Сіраддінова /1973/ та інших авторів.

. Розробка методів вивчення функціоналів інтегрального типу від однорідних у часі неперервних з імовірністю І дифузійних Про-цеоів /далі - ОЧЩЩ/ до моменту першого досягнення ними ВИСОКОГО рівня являє ообою складну задачу, яку розглядали, зокрема, Г. Мамії /1988/, B.C. Королик, А А. Турбін /І97Р/, й. Ket’/пта і і). /19*1?/. Актуальність цієї задачі обумовлена використанням ідей та моїод іь теорії випадкових процесів у вивченні розміщання частинок по окринька*'. Гак, М.М. Савчуком /1986/ встановлена слабка зрізніога випадкових процесів, пой'язаних з розміщенням різних чаотпноч по різних оКрннькях, до рішень пШодяцот стохаоїичних дні-оренмі.гпь-

них рівнянь, Поява вінарівсьного процесу як слабої границі спеціально побудованого випадкового процесу при дослідженні зазначених вища цілочислових послідовностей говорить про те, що методи теорії випадкових процесів можуть бути застосовані до задач у схемі розміщання однакових частинок по різних скриньках, у термінах яко: припускає інтерпретацію будь-яка' статистика (0,1)-вектора заданої специфікації.

Мата дисертації полягає в розробці асимптотичних методів дослідження наступних розподілів:

- числа розв’язків СНВЕР і СЛВЕР; .

- статистик випадкових цілочислових послідовностей заданої специфікації;

- функціоналів інтегрального типу від процесів з класу 0ЧКДП до моменту першого досягнення ними високого рівня. .

Загальна_методика_2осщ2кення. Отримання граничних розподілів для розглянутих у дисертації функціоналів спирається на метод моментів. Апарат асимптотичного аналізу попередньо знайде-

ного явного виразу для к-го, к*і, факторіального моменту числа розв’язків СНВБР побудовано на поданні иього виразу у вигляді суші з числом доданків, яке залежить від л, та наступним вивченням при ■» кожного доданку за‘допомогою доеєдєних у дисертації комбінаторних співвідношень для підмпояин булеану, потужність якого залежить від к ; у свою чергу, початкові моменти довільного порядку функціоналів інтегрального типу від процесів з класу (НІЦЦІ до моменту першого досягнонкя ними високого.рівня проаналізовані на аскмптоткку зав,дяки виявленій (за допомогою знайдених розв’язків відповідних диференціальних рівнянь) мів ними рекурентній, залежності з наступним застосуванням деяких методів та результатів математичного аналізу. Нові аспекти теорії СЛВБР отримані на базі вивчених у дисертації властивостей просторів заданої ваги над -скінченням полем. Граничні теореми для статистик ви- ■ падкових цілочислових послідовностей заданої специфікації встановлені за допомогою методів моментів, зведення до задач підсумовування незатенних випадкових величин у схемі серій та ін.

У§ЇІ:2ва_ноБизнаі_тедратична^та_практична_нінність. Вперло отримапі наступні'найбільш важливі результати (по розділах):

- знайдені область інваріантності для граничного розподілу числа розв’язків сумісної СНВБР із заданим порядком нелінійносгі і па-

раметр пуассонівського граничного розподілу цього числа; г- доведені критерій адитивного подання коефіцієнтів Гаусса у вигляді спеціально уведених комбінаторних чисел та експоненціальна поведінка відношень цих чисел до коефіцієнта Гаусса; ,

- знайдені області інваріантності дш граничних-факторіальних моментів довільного порядку числа розв’язків СЛВБР, явні вирази цих моментів у кожній області через коефіцієнти Гаусса та спеціально уведені комбінаторні числа; знайдено граничний розподіл числа розв'язків СЛВБР за умови, що матриця коефіцієнтів системи має фіксоване число нульових ліній; .

- доведена нормальність граничного розподілу наступних статистик

випадкової цілочислової послідовності заданої специфікації: числа ¡І, і) -спадів, індоксу і -мажорування; вивчена локальна поведінка цих статистик; найдені явні вирази центруючих та Нормуючих функцій від елементів специфікації; , - . ■

- доведена асимптотична незалежність і нормальність числа конфігурацій типу 10 та числа-конфігурацій типу 1*0,. де символ ж замінює нуль або одиницю, у випадковій (ОД)-послідовності, що складається, з. відомої кількості нулів та одиниць;

- доведені граничні -теореми для розподілу їіастушікх статмотиіі випадкової’ (0,1)-послідовності, що складається з відомої кількості нулів, одиниць та конфігурацій типу 10: числа конфігурацій типу 1*0, числа конфігурацій .типу 1**0, розмаху, одиниць;

- знайдені, граничні характеристичні..функції функціоналів інтегрального типу від процесів з класу СЧІЩІ до моменту першого дослг- ■ нення ними високого рівня в залежності, від властивостей фіксова-

‘ пої границі; виявлені усі значення параметру, від-якого заіеяпть кояна із згаданих функцій,.що надають можливість'подати граничну Характеристичну функцію в скіїиЗішому в:;^;шді чероз елементарні, трансцендентні функції. - . . - .' ’

Результата дисертації, можуть бути вякорпоталг в задачах кодування .Інформації, математичної .статистика (наприклад, прн пзре-. йірці гіпотези яро Еішадковість розташування елементів цілочислової послідовності заданбї.специфікації), різних схем розмгіпошш частинок по скриньках тощо. - . !

Апробація. Результати робота були представлені на 17 та УІ Міжнародних К0Ифвр9ЯПІЯХ Э теорії ймовірностей, та МЗТ<?МІТІ1Ч!ШІ

статистики (Вільнюс, 1985, 1993), Міжнародній конферонції, присвяченій пам’яті академіка М.П. Кравчука (Київ, 1992), Міжнародній конференції з методів розпізнавання у випадкових процесах та полях (Київ, І992;, Україяо-Угорській конференції з нових напрямків теорії ймовірностей та математичної статистики (Мукачево, 1992), Міжнародній конференції з ймовірнісних моделей процесіс у керуванні та надійності (Донецьк, 1993і, Республіканських школах -семінарах з статистичного аналізу даних на ЕОМ (У;лгород, 1989, Алушта,-1990). •

. Результати дисертації обговорювались на наукових нарадах, які проводились спільно Інститутом кібернетики імені В.М. Глушко-ва НАН України та Математичним інститутом імоні В.А. Стоклова АН Росії (Киїе, 1976, 1978, І9Є0), наукових семінарах у Київському університеті імені Тараса Шевченка (1992), Московському інституті електронного машинобудування (1992), Інституті технічної кібернетики АН Беларусі [Мінськ, 1993). -

П^блпсаціі. По темі дасортації опубліковано 25 робіт (усі без співавторів). . . - . ~~ - .

Стрітстїр§_апсертазії. Реферована робота об'ємом 23? сторі- • пек сіиіадаеться..з вступу, соми розділи. та списку літератури, ідо містить 95 найменувань. У розділі і знайдені явні вирази для факторіальних моментів довільного порядку числа розв’язків сумісної СІГОЕР. Аналіз цих виразів істотно залежать від порядку нелінііідо-сті систош. Так, для лінійного варіанта (йому щисеячонзй розділ 3) виникла наобхідність знайти.в розділі 2 нові результати для просторів над скінченним полом. 7 розділі 4 розвивається тема оцінювання розподілів вибраних статистик випадкової цілочислової послідовності заданої специфікації. У розділах 5 та-6.ця тема пог-либлазетьоя для (О,І)-послідовностей, причому, якщо в розділі 5 знаходяться оцінки розподілів статистик випадкових векторів з відомою, кількістю нулів та одиниць у коккому з них, то в розділі 6 додатково припускається відомим часло конфігурацій виду 10. Розділ 7 містить матеріал, який присвячений дослідженню функціоналів інтегрального типу від процесів а класу ОЧНВД до моменту парного досягнення лиш високого рівня.

Осногний зміст дисертаційної роботи.

Вступ містить постановки задач, огляд літератури, аналіз методів доведеная теорем. ■

Розділ І присвяченій! сумісним СНВБР виду

Е .

,v К а і 1?J.«

-* _ . *і • - я * »* - . . >

У запиоі системи (u використані позначення: коефіцієнти а'/' ;

, , * § . _________ ; ' • ' «і'“

і* ft, к* і»їй7.-незалежні випадкові' булеві величина

з розподілом £{а'^--і}- р£к; числа являють собою результат підстановки в ліву частинущ булева вектора гс, ге=[х^...........г,';, i =

yjni - невипадкова функція, що приймає цілі, додатні значення, ■ j(in.)* oot ¿»іТа'і додавання в ш виконується аа mod Z. .

. • У § 1 знайдено явний вигляд факторіальних моментів МІ\>п) „ ' довільного-порядку к, кї і, числа )^„ розв’язків системи (і), що відмінні-від а* Доведення побудовано,на моюшвості представлений’ Ж^к.У ВИГЛЯДІ оуми ВІДПОВІДНИХ добутків Індикаторів І кожний з яких приймає значення ¿« якщо і е розв’язком системи НІ, і дорівнює 0 в протилежному випадку. Остаточний вираз для М (^,)к к і і, залежать від>а, иЩії), і * ijf, і параметрів it, к та fin), до число ненульовпх компонент вектора т°. У'прикла-

дахякі завершують § І, знайдено tin\ М\У за умови а.tu) = пі .. • . . - /І-*«» . . . 1 ' ■ ,

та різних припущень відносно розподілів рц,і=ЦЯ, величини qm), у §_2 містяться .допоміжні. результати,.; які використовуються при аналізі на асимптотику (п -v«^).формул дляМі^п)к,кіі. '■ Ці результати відбивають.деякі властивості підаиоші булеану окі-J нчеяної мноявам. Зокрема, .для довільної вихідної підкпожнял булз-ану йнайдепа йотуаніоть уоіх елементів булеану, ро утворюють у перетині а кожним олемйнтом вихідної. підаїномня сукупність;, поту-аність якої е парне число, .Шукана йотупзіість, знайала сві;} вираз чзрйгі варш.ізтрп та число розв’язків спеціально побудованої сиото-tsi ліпійких булевих рівпявь, Прийом; .що полягав у побудові та до-'бліданяі-зйаначойгіх сваціальнпх Ьйотем, їзикоряотоеусться при'до-аедепні уоіх.ївордйенї>..§ 2..

, ' У І 3 формулйхгться; та доводяться яві творами про граничний ■

• w) ЙуаойОнівеьйпЯ з'параметром Zh\ ¡вті, розподіл вэ-

Е

L-K

'г/і, I'M'.

il)

личини Ці теореми відрізняються мік собою умовами на порядок їіелініґшості системи (і), Так, упертій з них <»£*', яі г* ані

яв (> о, £ - мало фіксоване число, а в другій теоремі параметр > не зачепить від а, г-(сті, иг. Відмінність у припущеннях щодо порядку і.елінійності викликала умову: для довільного ¿, і-іТа/, існує і, •¿«І і,,,., іі, таке, щоаігІ!міі(ці і-са^С.гл, Де у перші

теоремі § 3 та умову: сіь'*(лпі^іц-сіііі{лц, / = ІЛ Д9^.^Й,-

невід'еші числа, -» п-*се, у другій теоремі § 3. Слід

зауважити, що умови теорем §' 3 не накладають обмежень на розподілі! коефіцієнтів ЛІНІЙНОЇ ЧИСТИНИ системи а), тобто на В0ЛИЧИШ1 Ріі, Доведенім теорем § 3 побудовано на отриман”! співвідношень М^п)к — Лк, !<■' і, де ,}■= з наступним використанням відомого факту, що луассонівський з параметром Я > о розподіл однозначно визначається своїми факторіальними моментами, які мають вигляд 2 н >... % і . У § -і система і ±) розглядається за умов, при яких можуть не мати місця теореми § Б. Ці умови дозволяють отримувати оцінки Ймовірності £{і?п>о} ери >1— У першій з двох теорем § 4

і* «мі, г>,г але припущення 21 с -*■ «, л може не вшсону-

V і-1

ватись. Та якщо замість нього справджується нерівність /-г^? - *

* «і

«М-іі/Г1 >і , Д0 Ч-ССШІ, ^(оі і/ЧІ, ТО при Д-. с-з ймовір-

ність .С{і’п>о} належить інтервалу сгх•*я'тГі, іглп(і,2м> 3 . 7 першій теоремі §. 4 розглянуто також випадок ?£ г.</ч, і). У теоремі

3.4.1 припускається, що ${(п)*г, г*ч'а, ч'-сот-і., виконується співвідношення, яке залежить від і Ч та умова: для довільного і, і: і77/, існує і, 1 (таке, що Рц-*і/2. За цих умов знайдено інтервал, якому належить £1і>ь>о} при и-> Доведення теорем § 4 спирається на асимптотичний (к. -*аналіз перших • двох факторіальних моментів величини \>п з наступним використанням відомих нерівностей. .

Питання про оцінку ймовірності того, що система (і) при додаткових Обмеженнях на Індекси І .......І невідомих величин X; ... X.; ,

. . ______ ___ “ 1 'у* V.’ і*

кІП- І 4-.fi, має єдиний розв’язок, розглянуто в

роботах І.М. Коваленка (1971) та Г.В. Балакіна (1973). Результати розділу І надруковані в ііч, і $ д.

У розділі 2 вивчаються властивості к-вимірних підпросторіп VK , tí Kill, л>вимірного векторного простору Vn над скінченним ПОЛОМ GF(I}}, ЩО МІСТИТЬ я елементів (<1< <*>,._ ч- отепінь простого числа). Потреба в цих властивостях виникає при дослідженні на асимптотику факторіальних моментів Mt¡>„)lc, к * і, числа )>„

розв’язків СЛББР. Відомо, що загальна кількість зазначених під-

просторів дорівнює коефіцієнту Гаусса [ к]^. Число [ к] ^ можна подати у вигляді [ к]„ = [ £ І ш] « , Яе [ у. h] - кіль-

КІСТЬ К -вимірних підпросторів У/НІШІ ваги «J ч -вимірного простору Vn над полом Вагою простору Vn називається

ЧИСЛО Ш- тіП І ІГ|( ДО )ІГ| - КІЛЬКІСТЬ нонульових КОМПОНЕНТ EOKTO-

і~ІО ... ■ ■■ .

ра ve vn. •г теоремі 2.Ї.2 § І для знайдено число підпро-

сторів V(kiuj) простору V„, які містять фіксований г-вимірний . . підпростір '/^.Доведення творами 2.1.2 № і-наступних теорем

S.I.2 - 5.1.2) спирається на алгоритм побудови множини базисних векторів підпростору V* простору V^, 1< « f ft. y тооремг 3.1.2 знайдено необхідну і достатню умову дая того, щоб мала місце рівність Гк][ kUJ^+ [к lA v Теорема 4.1.2 дав два сиіввідно*-теїюя для- обчислення [ к І і ] f. Одне з них залежить від [ £ :£ ] ? та [£Г£ lij^ яря iíyíK, а інша - від [ кіі та [ цГ’і І і] при і* V< п-ач, У теоремі 5.Í.2 наведено рекурентно по параметрах

' іі і к співвідношення длд знаходження [ к І*]у. Теорема 5.1.2 може'бути доведена за допомого» запропонованого , в- пункті б алгорпт-•му побудови множини базисних векторів підпростору. V(Kію і простору Уп, ііКін, w»г,.Теорема 7.1.2 обгрунтовуй алго^вїм. із п. 6. 7 ., Основний результат § 2 - теорома 6.2,2 про поведінку прин>

-ч. м .відношення f k,Ií]<¡ / f к , зокрема, експоненціальну поведінку, якщо t<* с Th'*h * с(і))\ до с - фіксоване додатно число,

і с/і)-» о, При доведена і' теорема 6.2.2 використані обидві

рівності для обчислення [ к І -í],¡, що знайдені,в § І, п їто*. puf, s* i •1JÍ*(f *s)Я і яка обгрунтована fc лемі Б.2.2, У теор?^ мі *7.2.2 вйрчеєпсй відаойвшш [ к М)г / f «1г пря ft'** і' яв*

яких значеннях параметра к, .

Для теорії кодування вираз i«Jt- - fïlîj, дає число не-

тривіальних (термінологія В.Д. Гоїш (1984)) лінійних кодів розміру к. Результати розділу 2 надруковані в ( 9, і З 3 • ■

У розділі 3 досліджені граничні розподіли та факто-

ріальні моменти числа розв'язків (УВІР, яку можна отримати, коли в системі (і) покласти é¿*o îla1}’-- p;j, ¿*

-V/, т^к-t/чоті. У 5 І основними результатами є теореми І.І.З та 4.1.3. Припускаюча, що (Sít J-Іл, і• ïjv,

■ ' Æ г '

2_ <? ' - olí), л- , ш .

í*¿ *

в теоремі І.І.З знайдено вираз для litn Mf'i)«, к* , чорез коефі-

її

ціенти Гаусса f -г - í ]я та комбінаторні числа 1г*-М1л1[г*-Ли

при к х іск-.і - (к + ііі. Верхня границя дая параметра г. обгрунтована за допомогою теореми 3.1.2. Доведення тоорома І.І.З побудовано на-представленні явного виразу дяя М (^пК, к*і, У вигляді суми доданків, певна кількість -з яких грттуе (п -* &*) до zrIK''lrí)mt ■ а решта до нуля, з подальшим відрахуванням цієї кількості. Для отримання граничних і п.-*<*>) значень доданків із. зазначеної суі,ш використовувались також твердження з § 2 розділу І. Завдяки результату А.О. Левитської <1986), .відомо, що порушеній умови Ш має привести до зміни явного виразу для ііт МЫ,)*, к*.і (відно-

оно виразу, знайденого в теоремі І.І.З)# За умов

P¡j z(t¡* £nn)jn, |c,|s ccnsí< 7“^. , <3)

■£■ ы -, n_1 I— e C‘— a , iv1 H c¡ -» ¿ в теоремі 4.1.3 доведено, що при,

t-і . л-*.«

«*«так*‘і ¿

■і -»О Я

CK*i-£>fi(KH)l . '

У теоремі 8.1.3 знайдені нообхідпа і достатня умови для того, щоб однорідна СЛЕБР мала єдиний розв’язок. У теоремі 8.1.3

ПрППуСКаеТЬСЯ, ЩО РОЗПОДІЛ рц *Р, і. йМ, ПрИЧОМу/і'^с *

и-п'1(с*£лп), до с-готі, тобто співвідношення и) може не виконуватись. Доведення теореми 8.1.3 побудовано на -асимптотичному іп~г -»») аналізі спеціальних виразів від перших двох факторіальних моментів величини У„. Основний результат § 2 - розв'язок задачі про, розподіли числа >>п при н—- «*-•’ за умови, що матриця коефіцієнтів СЛВБР має фіксовану кількість нульових рядків і стоепців. Постановка цієї задачі належить І.М. Коваленку. Загальна теорема 3.2.3, одна з умов якої - стохастична незалежність коефіцієнтів одного рівняння систем від коефіцієнтів будь-якого іншого рівняння система, дає явний вираз граничного {п-*■'**) розподілу 2( )>п-1К-і/ї-*їо, де ї (?)- кількість нульових рядків (стовпців) у матриці коефіцієнтів СЛВБР. Доведення теореми 3.2.3 використовує обгрунтовану в лемі 2.2.3 можливість подання величини . і* І>„ усіх розв’язків СЛВБР у вигляді підходящого степеня числа

2 при умові ї- г„, 'і- іс- У теоремі 4.2.3 припускається, ио коефіцієнти СЛВЕР - незалежні випадкові булеві величини, які приймають значення ї з ймовірністю />,у, }- Г.П, і = іу/. Реита умов творе--ми 4.2.3 стосується обмекень на розподіли р^, ] = Та, І-Г,7/.Ці обмеження виконуються, якщо, наприклад, має місце і і). Доведення теореми 4.2.3 складається з перевірки припущень загальної теоремі 3.2.3.

. Граничний розподіл величини при виконанні и; знайшов І.М. Коваленко (1975). Питання про розподіл пра п—=-=> р1(/ *

*(с + Сіік)ія, і-соті, і-0/ш розв’язано Г.В. Балакі-

ним (1983). Результати розділу 3 надруковані в іч,«,»]..

У ройділах 4-6 вивчаються асимптотичні іп. — розподіли статистик л-вимірного вектора заданої специфікації, який випадково та рхвноімовірно витягується з сукупності а-вимірних векторів. Потужність цієї сукупності має явний аналітичний запис, що надає змогу використовувати зазначені розподіли статистик для, зокрема, наближеного оцінювання числа можливих розв’язків СНБР.

Розділ 4 присвячений інтегральним і локальним граничним (п. --* «»**) теоремам для числа (¿, ^-спадів та індексу г-магорування випадкової цілочислової-послідовності заданої специфікації. Нехай Ті=ІІх....¿^-.сукупність невід’ємних цілих чисел, причому^

/-<ь 4* і- Еозначлмо к(&) множину послідовностей {,

Іслі),У кожній з яких ціле к повторюється разів, к= Г75 (Судомо казати, ио $ має специфікацію 3"?). Сукупність 7)(г, )

<£, ї).-спадів послідовності { визначимо рівністю »(г, і, ¿)-(і. ■. /(О-а і* (І * і' і ^ і, до г г 1, Сі. і, уведено

/І98Х) індекс £ -мажорування послідовності / як число, що дорів-нюс сутлі елементів множини гЛіі,^,і) плюс потужність сукупності ІІІ,/;: і<- і< і і п, }пі> }(іі>}(Ч-і). Нехай з КПз) випадково і рів-ношовірно витягнута ■$-. Для числа (£,г) -спадів у / та індексу Ь-мажорування / приймемо відповідно запис {£) та 1 а .

§ І містять допоміжні твердження, які використовуються в § 2 і § 3. Так, в лемі 1.1.4 знайдено рекурентне по параметрах співвідношення для початкових моментів Мї*>г(і) довільного порядку к, кїі, випадкової величини чп г<і), Доведення цього співвідношення грунтується на можливості представлення п„х(і) у вигляді ЇИЛШ= *, + ...+■ ік_1, де ї<' = { £, якщо у випадковій послідовності fe п (т#), компоненти, які розтаповані на місцях з , номерами і та іи', утворюють ^ , г)-спзд; о -- в - протилежному випадку), ¿= ЦТЇТ{. У теоремі 3.2.4 /7.2.4/ § 2 сформульовані загальні умова на розподіл випадкової величини ( £) / /, пра яких

доведена асимптотична (п-*<^) (о, і) -нормальність величини -Мїміі))//як?її /<ІЙ-МІЙ)//ЯЇГ /< Перевірка цих умов для ■ конкретної.мшяшни становить задачу, варіанти розв’язку якої

пропонуються,в ломах 5.2.4, 6.2.4 дай і лемі.9.2.4 для

. Обгрунтування теореми 3.2.4 спирається на можливість представлення величини >?„•*( і) у вигляді суш незалежних випадкових,величин, які приймають значення нуль або.одиниця із знайденими ¡пря доведенні теореми 3.2.4) ймовірностями. Таке представлення величини (і) дозволило також побудувати за відомою схемою (Й.І. • Гіхман.’Л.В. Скороход (Ї977)) випадковий процес Хп(1), 1( £ о, і) \„(і) V Міпліі) і 7пл(і) Мають однбкбві розподіли) і довести збівяість пра’п-» скіотйанойимірйих розподілів процесів (£) до сяінчзааовшірпях розподілів віиерівського процесу (теорема 10.2.4, ,11.2.4). У § 3 £ умовах,теоремгі 3.2.4 вивчена локальна поведінка (п-+ ■■') величини ч '„л і і) /теорема £.3,4/ на основі результатів § І, § 2 і роботи 0.0. Еоротопв їй іи, (1985/. Локальна поведінка (и-,«.; величини і н розглянута в тооримї 4.3*4 (в умовах .теореми 7.2.4), причому співрілчпиєнйя

£{*„--Су І2>і„ + Мїп:і}- ігк)-1и е-І1/х -го, п-.«, (‘О

доведено для тих значень параметра Ц-, які не наложать фіксованій околиці тсчки нуль. Без цього-обмеження, але при додаткових припущеннях ВІДНОСНО ... ,¿3 (які явно виконуються при ^ = і).

встановлена локальна теорема 5.3.4. Доведення теореми 5.3.4 базується па можливості представлення' (за допомогою формул обернення ' характеристичних функцій) виразу в лівій частині (ч) у вигляді' су;ли скінченного числа доданків з наступним обгрунтуванням збіжності до нуля кояного з них. .

Граничні інтегральні та локальні теоремі для числа

(±,і) -спадів при ¡¡_- ••• - ¿¿-і знайдені в роботах Е. Ben.de: (1972), І.СліСііг та ін,. (1973), $. Галп^ (1973), С.Х. Сіраздінова (1979). Граничні іп-* <=**) інтегральні /локальні/ теореми для іаде-ксу х-ма'к.оруваніія при ї, і наведені в роботах Б.М.

Сачкова (1978) /£. Вепсісг (1972)/. Результати розділу 4 надруковані В С £- 7 3.

. У розділі-. 5 на сукупності' ІК^с^х) усіх м-вимірних векторів, кожний з яких містить т„ нулів, (пі одинець, т0*т^/і, уведено рівномірний розподіл і вивчаються статистики 7і, да ЧпіС) - число -сходин у випадковому векторі { е£11*п0>™±) < будемо казати, шо компоненти ^(і)тапослідовності £ е утворюють ¿-сходину, ЯКЩО ■}( і) > І І ^ ), } - <■' * ІІІІП-С, С>о). Основний результат § І - теорема 1,1.5 про сумісний розподіл випадкових величин *7„(і), 7„(я).Доведеній теорема 1.1.5 виконується за-допомогою комбінаторних формул, а такоя наступної властивості двійкових послідовностей, які починаються з одиниці і закінчуються нулем: перестановка в таких послідовностях серій, що складаються лише з пулів, не змінює загальної кількості 2-сходин (а та~ кож, звичайно,, загальної кількості І-сходин;. У теоремі в.1.5 знайдено розподіл величини £>- і. 7 теоремі Г.2.5 5 2 доведе-

на асимптотична і п,—• «> незалежність і нормальність величин 0/піі)-- ш0с<.іа)/о(£)с<1^пГ І де /гг0чх0(і, т<=с<1/і)

Умови теорема 1.2.5 накладають обмеження на ос0та <*., при п.— ,

а ї ї обгрунтування побудовано на асимптоти чно?.{у (п —► осу) йїіЗЛІЯї явного виразу для сумісного розподілу величин »/„(і} І 7„(.2).Із умов теорема 1.2.5 випливає, що прп п’-* ,)*/г — м. Якщо

при и— ^ т; -* <*.— а* «», т° сумісний граничний

(іг-* розподіл величин т.; - ч„и) і т,- - ?„а) має вигляд <21!г,{/і*

»уі*2-1, де 21,2,-цілі фіксовані невід'ємні числа, тео-

рема 2.2.5). Теорема 4.2.5 у припущеннях &с*і)гь*™г £*с**І>«-і'Гії) , стверджує (о,і)-нормальність величини при

п -*. у теоремі 5.2.5 встановлено, що випадкова величина т,--‘¡пії) пра и~* «*в приймає фіксована ціле значення к, к*с, з ймо-,■ вірністю е -л Аж/ к £, якщо прип-*»~ і€3&іт,)їт,-+ о,

Цо твердження такоя має місце, якщо в ньому замінити т, ка % і сс„ на о«.*. . У теоремах 8.2.5, 10.2.5 - £2.2,5 виконано асимптотичний (и-*-«*>} аналіз коефіцієнта кореляції випадкових величин >?„(£,), 1„(£д ¡(і £і<£гт-і, Завершується § 2 розглядом умов збіжності , т-*<*>) екінченновішіриих розподілів процесів і „(і) до скінченно-вимірних розподілів вінорівського процесу, да їпН), інс,и,г випадковий дрсцес, побудований в § 2 розділу 4 у припущенні, що СПбЦИфІКЩІЯ 7$ ;

Ба допомогою теорем 4.2.5 і 5.2.5 пра £ = і в п. 6 § 2 отримані граничні іп.-*- розподіли числа серій, які утворені лише нулями випадкової ПОСЛІДОВНОСТІ f, ЛііПсМі). Ці к розподіли мояна отримати, використовуючи деякі твердження, знайдені у схемі розміщення однакових частинок по різних скриньках (дав. А.Н, Трунов (1986)).. Результаті розділу 5 надруковані в І ні. ■ .

У розділі 6 вивчаються, статистики послідовностей з шоаиш .

Тут XI (К, т„ - сукусніоть усіх . а-ВІМІрИКХ Ю,1)-Ь0-кторів, КОЖНИЙ -3 ЯКИХ МІСТИТЬ п0 нулів, Мі одиниць і к ї-схо-дин. Перехід від £1 (т0І%)"З розділі 5 до йІк,тВгіпі) у розділі

6 дав змогу виявити певну кількість статистйк, які .допускають однаковий підхід до асимптотичного (іг— ~0 аналізу їх розподілів. Нехай ркп(£}- число і?-сходин у, послідовності, яка випадково і рівно і мов ірію витягується зЛ(к,^0,мі). у § £ теореми ЇЛ.6 та 2.1.6 дають за допомогою методу моментів сумісний розподіл випадкових величин ркп.і£і), і »17?, при в.-* . та фіксованих к, і, ¿і,

і,5. Якщо к». к(ь-ї при іг~+.°0, то залеяність мін /^ (£?;), <*£?,. ускладнюється, про що свідчить, зокрема, гшаяіз коефіцієнта кореляції валичип /икАїя> і /чК(,п), виконаний у теоремі 8.1.6. Хоча окремо для /»к„С2)/к і дяя (3)/к обгрунтовані твердження типу закону великих чисел за уков, ідо пра «_»&<,, к-1 к-» че>

,п~1« -* (теорема 3.1.б). Доведення теорема 5.Ї.6 етршш

■ ’ •• , ■ '

методом моментів. Цой же метод використано в .‘ооренах ІЗ.1.6 -16.1.6 та 18.1.6 - 20.1.6, де знайдені граничні розподіли

велйчия відповідно

( тіМ^о.т,)) 1 та.% Ьхі п-і>

V1-** £*<і

У § 2 досліджені на асимптотику < п -* -=•) методом моментів розподіли наступних статистик послідовності }, ^ Л. {к,т01 т4) •• числа інверсій (теорема 3.2.6), індексу мажорування (теорема 5.2.6), довжини найбільшої /найменшої/ серії з одиниць (теорема 7.2.6/теорема 9.2.6/), розмаху ?к/1 одиниць (теорема 14.2.6), номерів крайніх зліва у ~п та крайніх справа у+п позіщій, на яких розміиені одиниці (тоорома 16.2.6). Тут $'К(г = ?*л- о~п * і, «шах/і; ііфі),т І(і)- значення ¿-ї ком-

поненти послідовності іе Пік, т„, тд ¡.--ІТИ. У теоремі 10.2.6 знайдені явні вирази розподілу величини ?кп, сумісного розподілу величин •?£,._. У теоремі Ї2.2.6 за углов, що при п -• ^

т,-* «, к/#п0-» ‘ісі к/«,-» 7^ проведено асимптотичний аналіз розподілів, отриманих у теоремі 10.2.6.

Результати розділу 6 надруковані в с і о, їда. .

, У розділах 4 і 5 виявилось, що розподіли деяких статистик послідовностей заданої специфікації моїпуть бути отримані за допомогою розподілів спеціально побудованих випадкових процесів, а сг.іпченповинірпі розподіли цих процесіз збігаються до скінченно-Еиміриях розподілів зінерівсьісого процесу. Таким чішом, постають задачі дослідження статистах випадкових процесів {зокрема, оці-ГіЕветпя параметрів дафузійнзх процесів), розподілів функціоналів від.дифузійних процесів тощо. Периу з ярх розглядали Р.Ш. Липцор, А.II, Еаряев (1974), Ю.И. Ліньков {£981} та іи. Деяким аспектам другої задачі присвячений розділ ?.

7 розділі.7 знайдені розподіли функціоналів інтегрального типу від дифузійних процесів до моменту першого досягнення ними високого рівня. Нехай $( і), - процес з класу ОЧЩЦ1. Позначн-

ого Т<а.,Х,2) - момент нериого досягнення процесом \(і), І Ї о, одного а кінців інтервалу (а.,г), |‘(о}-х з ймовірністю І, хс (а,2),

У § і теорома 1.1.7 дає явний вигляд граничної (2—«>) характори-

. г<а.,х,г)

стичної функції випадкової величини ' $ }(ї{±))с£і, де

ІЗ

.$(■)- нєвипадкова неперервна функція, а само: Мехріир'1 ?,)-*•

-о (ТЧ))'1, до у - нормуюча функція,

о- г РС

1-І- ^ І-іИҐ П (¿{¿-і) і)'1 у^І О.оо),

к=1 . ’

Аналіз припущень, при яких доведена теорема 1.1.7, дозволяє дійтй висновків, що, зокрема, фіксована границя а - відштовхуюча, при . 2 „ ( я$г),/г7М?г(9/(і+і))і/г, відома аналітична умова і сну

в&чня стаціонарного розподілу процесу £(і), і*°, може не виконуватись. Останній з наведених висновків стосується також решти теорем § 1. 7 п. З показано, що серед усіх значень'параметра у, уе-і (О, м), ТІЛЬКИ/при 5>=Я функція Г( $) записується в скінченному вигляді через елементарні трансцендентні функції. В умовах теореми 5.1.7 фіксована границя л~ притягуюча т знайдено перетворення Фур’є функції, яка е граничною (гдяя12 < ^/^(пес^г))*

- г }, у'і (- •**>, оо), де • нормуюча функція. Зазначене иеретворен-ня має вигляд . -

К . .

Ім;*ГД (</</*іЯ + ГГ1)“*,

і, як показано у п. 7, тільки при Його можна подати через елементарні.трансцендентні функції. 7 теоремі 8.1.7 розглянуто . випадок, коли ? а отриманий при вдому граничний і2~* розво діл величини Пз. пра умові ї(Тіа,х,2))* г має перетворений Сур’с ( у (£))'і, Обгрунтування теореи § ї побудовано на знаходженні рекурентних співвідвопєнь для граничних Іг- моментів вихідних випадкових величин з наступною перевіркою умов однозиач-ного визначення розподілу по Його моментах. ..

.Результати та методо § ї внкорастані б § 2 дай доведення основної теорема ї.2.7, в якій знайдено граничну (і -**>*) характери-

тіг>

стичну функцію ВЄЛКЧШІЙ /Мг *

, . ■ . _ , р , . • , * к,

' & . * : . '

НІ® іе и-О-а) а« о,

. ■ . ' . **і . ■ ’

К5»і> ї*.Ш, ¿*0,иггі,-неза,:о/зіі процеси а класу ОЧДШ, ояінченнови-мірні розподіли яках не залежать від к, ^к(о)г 0, к*і, а ймовірністю 5; <»о, г]. Пропас £Н), **є, ирлроДчо На-

звати' регеперуети,і дифузійним процесом 8 момвпїймя регвйбрайії

ге*,» , Умоеи теоромя 1.2.7 /3.2.7/ співпадають з умовами теоро-

мп 5.1.7 /8.1.7/, а отримаїшЯ при цьому результат мае вигляд

Мехр/и^^)-^ (і+ £<-*^кП о1)'1 г1

к*1 ¿.-і , " •

/ МехМі* -*• ШЯГ1/.

Граничні теореми дуй випадкових функціоналіз інтегрального типу від ергодичних процесів розглянуті в роботах В.С. Королюка, А.Ф. Турбіна /1978/, Б.М. Щуренкова /1989/ та їх учнів, від зворотних процесів з класу ОЧНДП - в роботах Ю.С. Мішури /1576, 1977/. Граничні характеристичні функції, що допускають запис через елементарні трансцендентні функції, для моментів пг-рпого до-сяпіення високого рівня процесами з класу ОЧНДЯ, отримані В. \\а.чіі /1968/, £. Ке№ег та ін. /1988/. Результати розділу_.7 надруковані в Сі-Зз.

Основні результати дисертації містяться в наступних роботах:

1. Касол В.И. Предельные распределения для функционалов от траектории случайного процесса диффузионного типа // Теория вероятностей п мат. статистика. - 1975. - Вып. 13. - С. ІС0 - 106. ■-

2. Масол В.І. Граничні теореми для функціоналів адитивного типу від регенеруючих дифузійних процесів // Дол. АЕ УРСР. - 1976. -й І. - С. 15 - 17.

3. Масол В.И. Предельные распределения для функционалов аддитивного типа от диффузионных процессов // Теория вероятностей и мат. статистика. - 1977. - Вып. 16. - С. 59 - 64.

4. Масол В.И. Расширенно области инвариантности дая случайных булевых матриц // Кибернетика. - 19Є0. - И 3. - С. 125 - 128.

5. Масол В.И. Предельное распределение числа спадов целочисленной последовательности // 4-я Мевдунар. Вильнюс, конф. по теории вероятностей й кат. статистике. Тез. ддкл. - Вильнюс, 1985. - Т. 2.

- С. 51 - 52.

6. Масол В.И. Предельные распределения некоторых статистик цело- . численной последовательности // Теория вероятностей и мат. статистика. - 1986. - Вып. 35. - С. 69 - 75‘.

7. Масол В.И. Локальные теоремы для некоторых статистик целочисленной последовательности // Теория случайных процессов. - 1988.

- Вып. 16. - C. 61 — 66.

8. Масол В.І. Про ймовірність единого розв’язку системи лінійних випадкових булсвих рівнянь // Вісн. Київ, ун-ту. - 1988. - Вип. ЗО. - С. 58 - 62.

9. Масол В.И. Некоторые применения алгоритмов построения подпространств над конечным полем // Укр. мат. журн. - 1989. - 41, № 8.

- С. И46 - 1148. '

10. Масол В.И. О случайных двоичных последовательностях с заданным числом ступеней // Там же. - 1990. - 42, )• 4. - С. 512 - 518.

11. Масол В.И. Асимптотическое поведение некоторых отатибтпк

(о, і) -вектора'// Теория вероятностей и мат. статистика. - 1990.

- Вып. 43. - С. ЄЗ - 90. ■

12. Масол В.И. О распределении числа ¿-ступеней случайной двоичной последовательности с ограничениями // Укр. мат. курн. -І99Ї. - 43, » 9. - C. 1186 - 1193.

13. Масол В.І. Граничні‘розподіли числа лінійних кодів заданої ваги // Тез. Міжнар. конф., присвяченої пам’яті акад. М.П. Кравчука. - Київ, 1992. - С. 126.

14. Mas о£ V.J. М о ке п і S of Ые пи ті ex oj sotui’ton i oj a-

system of хапіот BooCecLn. equations // ka.ndom 0/>ei, Sioci. E'J-S. - і 993. - V. і, /fl, - £. і7і- ІУ9.

15. Мало/ V.l. Tfieozemi oj in. vclII л лс e jo'i tusie/nf oj ~ta.ft.itom BooCe.a-n efrucci і о л J Ц VІ Іюі. Vilnius lonf. in pxotf. Месъу and mtiA, siat. ; Atitt*, oj Ccm m. - Vi 6n.Lugt І19І. - V. Z. - ]>, 14 • zo ,

Jitieeet

Підп. до-друку¿ООЬ-ЗЧ Формат 60*84/16. Папір друк. Сфо.друн. Ум. друк. арк. 1Д6. Ум. фпрбо-БІдб. ІДб, 014.-вид, арк. 0,6. Тираж 100 пр. Загл, {55 і&йг.оштошо/ .

Віддруковано в Інституті математики ИАН України .

252601 Київ 4, ГСП, вул. Терещенківоька, З