Исследование систем дифференциальных уравнений со случайными импульсными и марковскими возмущениями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ртв 0^

пГ

л 1 г1!1 '

О » МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ

ЧЕРНІВЕЦЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМ. Ю.ФЕДЬКОВИЧА

Мосейко Анжела Анатоліївна

УДК 517.9

ДОСЛІДЖЕННЯ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ З ВИПАДКОВИМИ ІМПУЛЬСНИМИ ТА МАРКОВСЬКИМИ ЗБУРЕННЯМИ

Спеціальність 01.01.02—диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Чернівці —1998

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі вищої математики Київського національного економічного університету Міністерства освіти України.

Науковий керівник — доктор фізико-математичних наук, професор,

Валєєв Кім Галямович,

Київський національний економічний університет, завідувач кафедри вищої математики.

Офіційні опоненти — доктор фізико-математичних наук, доцент Свердан Михайло Леонович,

Чернівецький державний університет ім. Ю.Федьковича, проректор з навчальної роботи;

— кандидат фізико-математичних наук, доцент Станжицький Олександр Миколайович,

Київський університет імені Тараса Шевченка,

доцент кафедри інтегральних та диференціальних

рівнянь.

Провідна установа — Інститут математики НАН України, відділ звичайних диференціальних рівнянь, м.Київ.

Захист дисертації відбудеться «11» вересня 1998 року о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 76.051.02 в Чернівецькому державному університеті ім. Ю.Федьковича за адресою м.Чернівці, вул.Коцюбинського, 2.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Чернівецького державного університету ім. Ю.Федьковича.

Автореферат розісланий «1» серпня 1998 року.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ

Актуальність теми. Протягом декількох останніх десятиріч розвивається теорія випадкових еволюцій, що обумовлено моделюванням певних об’єктів радіотехніки, електроніки, математичної біології, механіки, моделюванням польоту літаків та ракет у турбулентній атмосфері тощо. Більшість розроблених на сьогодні моделей економічних процесів детерміновані і не впроваджуються в практику у зв’язку з тим, що з недостатньою точністю описують реальні економічні процеси. Це можуть бути задачі, пов’язані з розподілом ресурсів, плануванням та прогнозуванням у різних сферах народного господарства, вивченням діяльності підприємств в умовах ринкової економіки. Дослідження цих та багатьох інших проблем вимагає вивчення ряду факторів, які в більшості своїй мають випадковий характер поведінки. Таким чином, в умовах постійного ускладнення прикладних задач сучасної математики виникає потреба вивчення систем із випадковими збуреннями.

Отже, актуальність питань, що розглядаються в дисертації, зумовлена необхідністю розв’язання практичних задач теорії стохастичних динамічних систем, теорії надійності та масового обслуговування, задач розподілу ресурсів та прогнозування у різних сферах людської діяльності.

Серед сучасних засобів вивчення якісної теорії стохастичних систем широкого застосування набули методи Ляпунова. Певна універсальність методів спричинила серію активних досліджень щодо їх застосовності не тільки до класичних диференціальних рівнянь, а і до більш широких класів математичних об’єктів. Так в роботах Ю.О.Митропольського,

A.М.Самойленка, М.О. Перестюка, С.І. Горгули питання, що пов’язані зі стійкістю та обмеженістю розв’язків детермінованих систем імпульсних диференціальних рівнянь були досліджені за допомогою прямого методу Ляпунова. Для стохастичних систем без імпульсної дії питання продовжуваності розв’язків, їх дисипативність, стійкість вивчалися Р.З. Хасьмінським за допомогою функцій Ляпунова вкороченої детермінованої системи, метод функцій Ляпунова застосовували Дж.Г. Кушнер, Д.Я. Хусаїнов, К.Г.Валєєв та інші. Так в роботах Є.Ф. Царькова, М.Л. Свердана,

B.К. Ясинського в термінах слабкого інфінітезимального оператора від функцій Ляпунова одержано умови стійкості для систем диференціальних рівнянь з марковськими коефіцієнтами та імпульсною дією. О.М. Станжицьким виявлено умови стійкості інваріантних множин за допомогою функцій Ляпунова. Дослідження різних властивостей розв’язків імпульсних систем за допомогою другого методу Ляпунова проводились А.А.Мартенюком, Д.Байновим, X. Лау.

Таким чином, питання, які викладені в дисертаційній роботі, продовжують дослідження математиків київської школи нелінійної механіки, а саме: в дисертації викладені питання якісної теорії для систем диференціальних рівнянь із випадковою правою частиною і випадковою імпульсною дією у фіксовані моменти часу та для систем диференціальних рівнянь, коефіцієнти

яких залежать від скінченнозначного марковського або напівмарковського процесів. Дослідження проведено за допомогою функцій Ляпунова. Також, розглянуто питання оптимального керування системами з імпульсною дією у випадкові моменти часу.

Одержані результати дають змогу аналізувати та робити конкретні висновки при дослідженні задач теорії стохастичних систем.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота відповідає плану наукових робіт кафедри вищої математики Київського національного економічного університету в рамках науково-дослідної теми: «Дослідження, стійкість і чисельно-аналітичні методи побудови розв’язків диференціальних та інтегральних рівнянь із застосуванням ЕОМ», № державної реєстрації иА 01002093 Р.

Мета і задачі дослідження. Метою даної роботи є одержання результатів щодо необмеженої подовжуваності, обмеженості за ймовірністю, стійкості розв’язків систем із випадковими імпульсними збуреннями, оптимального керування системами з імпульсною дією у випадкові моменти часу, а також стійкості лінійних систем із марковськими та напівмарковськими коефіцієнтами. При цьому розв’язані задачі застосовності методу функцій Ляпунова до систем із випадковими збуреннями, застосовності принципу максимуму Понтрягіна, а також одержані рівняння для других моментів розв’язків лінійних систем із випадковими збуреннями.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в тому, що в дисертації

•для систем диференціальних рівнянь з випадковою імпульсною дією одержано умови необмеженої подовжуваності та обмеженості за ймовірністю її розв’язків;

•за допомогою функцій Ляпунова вивчено умови стійкості за ймовірністю розв’язків системи з імпульсною дією при постійно діючих випадкових збуреннях;

•одержано принцип максимуму Понтрягіна для одного класу систем лінійних рівнянь з імпульсною дією у випадкові моменти часу;

•вивчено умови асимптотичної стійкості в середньому квадратичному розв’язків лінійної системи з марковськими та напівмарковськими коефіцієнтами;

•одержано умови існування стохастичних функцій Ляпунова для систем із випадковими марковськими коефіцієнтами.

Практичне значення. Одержані результати мають теоретичне значення і можуть бути застосовані при розв’язанні практичних задач теорії стохастичних динамічних систем, теорії надійності масового обслуговування, задач дослідження систем управління при випадкових збуреннях. Для систем з випадковою імпульсною дією дослідження властивостей їх розв’язків зведено до вивчення систем детермінованих диференціальних рівнянь.

з

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались на Сьомій міжнародній науковій конференції імені академіка М.Кравчука (м. Київ, 1998 р.), Міжнародній науковій конференції «Сучасні проблеми математики» (Чернівці-Київ, 1998 р.), Українських конференціях «Моделирование и исследование устойчивости систем » (м. Київ, 1996, 1995 рр.)

Публікації. По основним положенням дисертаційного дослідження надруковано дев’ять праць загальним обсягом 2.28 др.арк., серед яких є три праці у фахових виданнях, дві праці у міжвідомчому науковому збірнику за 1997 рік та за 1998рік, тези доповідей на чотирьох наукових конференціях.

Особистий внесок здобувана. Результати дисертації є новими і належать автору. З 9 публікацій, що відображають зміст дисертації, 4 написано у співавторстві. Роботи [6,7,8,9] написані у співавторстві з д-ром фіз.-мат. наук Валєєвим К.Г. та канд. фіз.-мат. наук Лапшиним А.Л. Наведені у статтях [6,7] та доповідях [8,9] математичні результати належать Мосейко А.А. При цьому Мосейко А.А. дякує Валєєву К.Г. та Лапшину А.Л. за обговорення постановки задачі та цінні вказівки щодо методів дослідження.

Структура, зміст та обсяг дисертаційної роботи. Дисертація складається з вступу, двох розділів, висновків та списку використаних джерел. Повний обсяг дисертації—126 сторінок друкованого тексту. Список літератури містить 113 найменувань.

У першому розділі «Системи диференціальних рівнянь з випадковими імпульсними збуреннями», що складається з трьох підрозділів, одержано наступні результати.

Розглянуто систему диференціальних рівнянь з випадковою правою частиною і випадковою імпульсною дією у фіксовані моменти часу вигляду

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

де {П,Г,Р) -деякій імовірносний простір, ((>) - випадковий процес на приймає значення в просторі Як, і>0, хеЯп, Іі(х,а>)-

11 Нумерація формул та теорем автореферату співпадає з нумерацією в дисертаційній роботі.

випадкові величини ІЗ простору і?" ДЛЯ \/Х є/?”. ПОСЛІДОВНІСТЬ -

послідовність моментів імпульсної дії. Відносно їх припускаємо, що

ІІт ^ = +<х>, тобто послідовність імпульсів не має скінчених граничних точок. (->00

Вивчено продовжуваність та обмеженість за ймовірністю розв’язків системи (1.1) на півосі І > 0.

Теорема 1.1. дає умови існування та єдності розв’язків системи (1.1). Теорема 1.1. Нехай - вимірний сепарабельний випадковий процес

визначений при / > 0 зі значеннями в просторі ІІк, а

- вгшірна за Борелем функція відносно

змінних ,Х,г}, для якої:

1) існує випадковий процес 5^) Є і (абсолютно інтегрований на будь-якому скінченому інтервалі півосі ї >0) і такий, що для всіх X,- Є і?"

£ Д(фг -*і|;

2) випадковий процес є абсолютно інтегрованим на будь-

якому скінченому інтервалі півосі / > 0;

3)для кожного І Є. N відображення X —> /¿(х, ш) з ймовірністю 1 є

функцією (тобто кожному X Є і?” відповідає єдина точка іі(х,со)).

Тоді розв’язок задачі Коші для системи (1.1) з початковою умовою х(ґ0) — існує, потраєкторно єдиний і представляє собою кусково

абсолютно-неперервний з імовірністю 1 випадковий процес при всіх Ґ > /0.

Для систем спеціального вигляду

сіх

Ті

‘*іі

= F(í, х) + сг(ґ, х)С(і), (1.4)

де функції і7 і /; а також матриці <7, 3 розміру пх к визначені та неперервні за Ґ > 0, X єЯ\ф). к-вимірішй випадковий процес, Щ - к-вимірні випадкові величини задані на ймовірносному просторі (£2, Р, Р), в першому розділі вивчено умови необмеженої продовженості розв’язків системи (1.4) при t'>0. Ці умови дано в термінах функції Ляпунова вкороченої детермінованої системи:

сЬС dt Ах

t*t,

t=U

Позначимо через

(1.5)

■оператор Ляпунова для системи (1.4), а через

dt * * - ' " г dt оператор Ляпунова для системи (1.5). Припустимо також, що послідовність імпульсних моментів |V; І не має скінчених граничних точок.

Теорема 1.3. Нехай випадковий процес ¿Г(^) з ймовірністю 1 с

абсолютно інтегровним на будь-якому скінченому інтервалі півосі t > 0, вектор F та матриця <7, задовольняють локальну по X умову Ліпшиця, причому F(t,0) є локально абсолютно інтегровним і

sup {[|<т(ґ,х)||1 < С„

Ллх{/г?о}

!•/,(*)! ^ LV{tj,x), L = const,L>0,x eRn,i>0. (1.7)

Припускаємо, що для системи (1.5) існує функція Ляпунова V(t,xj Є С0, для якої виконуються умови:

Vn = inf V(t,x) —> со, при R -» оо,

* £Гя*{г*0} V Р ’

(1.8)

де UR - зовнішність кулі радіуса R.

d®V

dt

<C2V(t,x),

К(<„х + 7,(х))-К(г„х)5С3Г(г„д:)

(1.9)

де C2,C3 - де-які додатні сталі, t > Ґ0, X Є Rn

Тоді розв’язок задачі Коші для системи (1.4) з початковими даними х(ґ0) = Х0(й>) ((х0(£у)) - випадкова величина) існує і представляє собою кусково абсолютно-неперервний випадковий процес при t > tQ.

Як приклад розглянуто збурене рівняння Льєнара з імпульсною дією вигляду:

х" +/(х)х' + g(x) = a(x,x')Ç(t), t ф tt

(1.18)

Ах'

t=ti

= Іі(х, х’) + Ji(x, х')ц(со),

Має місце наступна теорема.

Теорема 1.4. Нехай в областях X Є > Ґ0 існує невід’ємна функція Ляпунова У(і,Х^ єС0, що задовольняє умову

VR - inf V(t,x) -» œ, R-ï со R ЗД»>,0} V ’

(1.22)

і умови

d V dt

<-CxV,

Г(ґІ.)х + /,.(х))-Г(ґ,.,х)<-С2^,.,х), ||7,.(ґ,х|<£К(/,.,х),г>0,

Р, (х)!І—с3 >

де С|, С3, С2 — додатні сталі.

Нехай також Р і С задовольняють по X локальну умову Ліпшіца

зир ||ст(/,х)|| < С4,

Л"х{/2/0}

де С4 > 0.

Тоді система (1.4) дисипативна для будь-якого випадкового процесу ¿¡{і) і для будь-якої послідовності випадкових величин таких, що

Біір бу)| < оо, Біір м| 7(. (¿у)| < 00.

Одержано узагальнення даної теореми про обмеженість математичних сподівань розв’язків системи (1.4)

Розглянуто задачу стійкості для систем з випадковими імпульсними збуреннями.

Нехай знову маємо систему (1.5).

Будемо вважати, що послідовність не містить скінчених граничних

мають скінченні математичні сподівання.

Означення 1.9.Розв’язок X з 0 системи (1.5) назвемо стійким, при постійно діючих випадкових збуреннях, якщо для У Є > 0, А > 0 існує у > 0 таке, що із нерівності

точок.

Наряду із (1.5) розглянемо збурену систему

(1.47)

Ах = Iі (х) + У; (х, а)

де X, гу) при кожному фіксованому X Є і?” є випадковим процесом, а при X Є /?” - випадкова величина. Припустимо, що випадковий

процес

<^(ґ,£у) = Бир|/г(ґ,Х,(у)|

хєЛп

і послідовність випадкових величин

щ(а>) = зир|У,(х,«)]

хєКп

|х0| + со) + Мц^со) < у

випливає при t нерівність

■ P{|jc(i,io»xo)|>^}<£

Умови стійкості нульового розв’язку системи (1.5) дамо в термінах функцій Ляпунова V(t,x) Є С0.

Будемо вважати, що система (1.47) задовольняє умови існування і єдності розв’язків при X Є Rn, t > t0.

Має місце наступна теорема.

Теорема 1.6. Нехай в області t > , X Є R" існує функція Ляпунова

V(t,x) Є Cq, що має властивості:

1) V(t,0) = о, t inf s V(t,x) = V5 > 0, при 5 > 0;

2) для довільного 8 > 0 знайдеться Cs > 0 таке, що в області ||jt| > X > ?0| виконується нерівність

d°V

У-<-СвГі (1.48)

at

3) V(ti,x + Iiixjj-Vit^x)^ -Cyit^x), при x eR".

Тоді розв’язок X = 0 системи (1.7) стійкий в сенсі означення 1.9., тобто при постійно діючих випадкових збуреннях,при t > t0

У першому розділі досліджено питання оптимального керування для одного класу імпульсних систем з імпульсною дією у випадкові моменти часу.

Нехай 10k, k = 1,со І найпростіший Пуасоновський потік однорідних випадкових подій, тобто випадкова величина //, = вм — ві має щільність розподілу р ^(t) = Ае~М, t> 0.

Нехай кількість подій найпростішого Пуасоновського потоку на (о, ґ). Тоді t^(t) - Пуассоновський процес з параметром /І.

Розглянемо систему диференціальних рівнянь з імпульсним збуренням

де Є і?", та з обмеженням Мх(Т) єЄ, де Мх(Т) - математичне

сподівання кінця траєкторії, б ЄІ?П, тобто система (1.56) є системою диференціальних рівнянь з імпульсною дією у випадкові моменти часу вк, які є Пуасоновським потоком. Для даної системи поставлено і розв’язано задачу оптимального керування.

Знайдено керуючу функцію М є{7, з класу допустимих керувань, що мінімізує математичне сподівання

MJ(T) = М

J((x(s), F(s)x(s)) + (u(s), E(s)u(s)))ds +

Ç(T)

+ Z(x(0k-O)5Lx(0k-O))

k=l

(1.57)

Нехай C,A- сталі матриці, які комутують між собою, L, F (s) -невід’ємно визначені матриці, L = COnst,E(s) - строго додатньо визначена

для кожного S Є R+.

Для системи (1.56) сформульовано принцип максимуму Понтрягіна. Теорема 0.5. Нехай для системи (1.56) виконані всі умови теореми існування і єдності розв’язків. Тоді, щоб керування u{s) було оптимальним необхідно і достатньо існування ненульового розв’язку їК0=М0’^і(0»--’М0) спряженої системи

^0=°’

у/= -А*у/ +Fy +1

(1.75)

такого, що:

1) о (і) ~ СОПвІ <0, (М^о(0 =---’ б° система однорідна)',

2) виконується умова максимуму

- +(И5)>в(5)иі4 =

= тах

Ує[/

3) виконується умова трансверсальності в правому кінці у/(т)іХ}.

У другому розділі вивчаються питання асимптотичної стійкості в середньому квадратичному розв’язків лінійних систем з марковськими та напівмарковськими коефіцієнтами, а також умови існування стохастичних функцій Ляпунова, які використовувались для дослідження стійкості. Розглянуто систему лінійних диференціальних рівнянь

^ = А(#))х(і), Ак = А(0к) (к=1,...,ч), (2.10)

де - марковський процес, який набуває скінченого числа станів 01 з ймовірністю

рк(і)=Р{С(і) = 0к} (к=1,...,ч), (2.11)

які задовольняють систему диференціальних рівнянь

. А СІІ ^=1

Фі(Г)<М.....* (2-12)

ч

де аь (Аг =^^), а^к ^о, ^аь =0 (к,8=і,...,я).

*=і

В дисертації показано, що існування функцій Ляпунова рівносильне X2 - стійкості системи (2.10).

Стохастичні функції Ляпунова впроваджено за формулою:

У(і,д(і),Х) = ]< \¥(т,д(г),Х(т))\Х(і) = Х>сІт. (2.14)

Означення 2.4. Нульовий розв’язок системи диференціальних рівнянь (2.10) буде ¿2— стійким, якщо для будь-якого випадкового розв’язку Х{ї) системи (2.10) виконуються умови:

]<и адр > * < «°,іда)іР=х\і)хт.

г

Доведена теорема.

Теорема 2.1. Для того, щоб існувала стохастична функція Ляпунова необхідно і достатньо, щоб нульовий розв’язок системи (2.10) був І2—стійким.

Означення 2.5. Нульовий розв’язок системи (2.10) називається асимптотично стійким у середньому квадратичному, якщо за будь-яких початкових значеннях ¿^(0), Х(0) виконується умова:

1ітД(ґ) = 0, £>(г) = (х(/)х*(г)).

Нехай нульовий розв’язок системи (2.10) асимптотично стійкий в середньому квадратичному. Знайдемо достатні умови, накладені на матриці °к =&(&к) Ос=1>"чЧ)> за умовою виконання яких система рівнянь

^ = (АШ) + С(а0)Щ (к=1,...,ч), (2.22)

ш

залишається асимптотично стійкою середньому квадратичному.

Стохастичні функції Ляпунова впроваджено за формулами:

Ук(Х) = }(Х,(5)5(^)Х(5))|^(/) = вк,Х(() = Х)сІ5 к=(1,...,Ч), (2.23)

І

де Х{І) - випадковий розв’язок системи (2.21), Вк = В(0к) (к=1,...,с[) -

симетричні додатньо означені матриці.

Оскільки в формулах (2.23) інтегруються квадратичні форми, то функції

КДХ) (к=1,...,я) будуть також квадратичними формами

Г„(Х) = Х'СІХ,

Доведена наступна теорема.

Теорема 2.5. Для того, щоб нульовий розв’язок системи (2.22) був асимптотично стійкий в середньому квадратичному, достатньо щоб виконувались нерівності

в*кСк + Сквк < Вк (к=1,...,я), (2.25)

для чого достатньо виконання нерівностей

таху. і )

де |&| - спектральна норма матриці (7

|0| = (2Ш„(Є0,))5.

В роботі розглянуто приклад застосування теореми 2.5.

Знайдено умови стійкості в середньому квадратичному розв’язків системи лінійних рівнянь з напівмарковськими коефіцієнтами. Припускається, що одночасно зі стрибками напівмарковського процесу відбуваються стрибки розв’язків системи рівнянь.Доведено теорему.

Теорема 2.6. Нехай коефіцієнти системи лінійних диференціальних рівнянь

= сіітХ(ґ) = т, (2.27)

залежать від скінченно значного напівмарковського процесу, визначеного свїми інтенсивностями

]*(0* = 1>к=(1........п>- (2-28>

І=1 о

Нехай розв’язки Х(І) системи (2.27) мають стрибки

х(і; + о) = СЬХ(^ - о), д&Сь* 0, (к,8=і,...,п), (2.29)

які визначаються стрибками процесу ¿Г(^)> а саме Є(і1+о) = є„,

Ф,-0) = в,. Для того, щоб нульовий розв’язок системи (2.27) був асимптотично стійким в середньому квадратичному, необхідно і достатньо, щоб при довільних початкових матрицях /^(О), (к=1,...,п) розв’язки інтегральних рівнянь

М‘) = г,(>У1'М°)е4' +

0

Щ‘)=І яМс^о/оуї'Сь +

+ І'ЕЯіЖ ~ т)Сь(* - т)СьЄА!,Щ{т)еМ(~г)С*ьс1т,

0 *=1 ,

Ак=А(<2к) (к=1,....п). (2.39)

задовольняли співвідношення

1ІШ БМ) = 0 (к=0,...,п).

>+со 4 7

0(1) — матриця других моментів випадкового розв’язку Х(ґ) системи (2.27):

о(і)=

£. *-1 о*(<)= ¡хх-/к(і,хух,

де Ет - ш-вимірний фазовий простір, - щільність ймовірностей

випадкового процесу ¿Г(0'

ВИСНОВКИ

Актуальність дисертаційної роботи обумовлена постійним ускладненням прикладних задач сучасної математики, отже виникає потреба вивчення систем з випадковими збуреннями.

Дисертаційна робота містить в собі такі наукові результати:

• для рівнянь з випадковою імпульсною дією за допомогою функцій Ляпунова доведено теореми про необмежену продовжуваність та обмеженість за ймовірністю її розв’язків, дані теореми застосовані для аналізу коливних систем;

• вивчено стійкість нульового розв’язку детермінованої імпульсної системи при постійно діючих випадкових збуреннях як неперервного так

і імпульсного характеру, умови такої стійкості одержано в термінах функцій Ляпунова вкороченої детермінованої системи;

• досліджено можливість оптимального керування імпульсною системою, коли імпульсні збурення відбуваються у випадкові моменти часу, які представляють собою Пуасонівський потік, метою керування є мінімізація квадратичного функціоналу, показано, що дану задачу можна звести до дослідження на оптимальність деякої детермінованої (без імпульсів) системи інтегродиференціальних рівнянь до якої можна застосувати відомий принцип максимуму Понтрягіна;

• для системи лінійних диференціальних рівнянь, коефіцієнти якої залежать від скінчннозначного напівмарковського процесу, та де одночасно зі стрибками напівмарковського процесу відбуваються стрибки розв’язків системи встановлено умови стійкості в середньому квадратичному, показано, що дослідження стійкості таких систем можна звести до дослідження стійкості детермінованих матричних інтегродиференціальних рівнянь;

• для системи лінійних диференціальних рівнянь з коефіцієнтами, залежними від марковського скінченнозначного процесу показано, що існування функцій Ляпунова рівнозначно L2—стійкості розв’язків системи, для рівнянь з випадковими, кусково-сталими коефіцієнтами знайдені необхідні і достатні умови стійкості розв’язків в середньому квадратичному;

• за допомогою стохастичних функцій Ляпунова встановлено умови збереження асимптотичної стійкості середньому квадратичному для лінійних систем в яких коефіцієнти зазнають випадкового марковського збурення.

ПУБЛІКАЦІЇ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Мосейко A.A. Про необмежену продовжуваність розв’язків систем з випадковою імпульсною дією//Нелінійні коливання.—1998.,—№ 1.—

С.102-106.

3. Мосейко А. А. Про існування функцій Ляпунова для системи диференціальних рівнянь з випадковими марковськими коефіцієнтами//Вісн. Київ. у-ту. Математика, механіка.—1998.,— Вип. 1.—С.28-32.

4. Мосейко A.A. Про функції Ляпунова систем диференціальних рівнянь з марковськими збуреннями. Сучасні проблеми математики (матеріали міжнародної наукової конференції). Частина 2.—Київ: Ін-т математики НАН України, 1998.—С.144-146.

5. Мосейко A.A. Интервальная устойчивость решений случайных

диференциальных уравнений со случайными марковскими

коэффициентами. Сьома Міжнародна Наукова Конференція імені академіка М.Кравчука (матеріали конференції ) Київ 14-16 травня 1998 року-С.350.

6. Валеєв К.Г., Мосейко A.A. Стійкість розв’язків системи лінійних диференціальних рівнянь з випадковими напівмарковськими коефіцієнтами// Машинна обробка інформації: Міжвідомчий науковий збірник.-Київ КДЕУ-1997.-№59.-С. 160-166.

7. Валєєв К.Г., Мосейко А.А. Дослідження стійкості розв’язків системи різницевих рівнянь, коефіцієнти якої залежать від марковського процесу// Машинна обробка інформації: Міжвідомчий науковий збірник.-Київ КДЕУ-1998.-№59.-С.116-123.

8. Валеев К.Г., Ничипоренко A.A. Оптимизация решений линейніх стохастических систем управления. «Моделирование и исследование устойчивости систем » (тезисы докладов конференции ) Киев 15-19 мая 1995год-С.25.

9. Валеев К.Г.,Лапшин A.A., Мосейко А.А. Моментные уравнения для системы линейных дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами. «Моделирование и исследование устойчивости систем » (тезисы докладов конференции ) Киев 20-24 мая 1996год-С.27.

АНОТАЦІЇ

Мосейко A.A. Дослідження систем диференціальних рівнянь з імпульсними та марковськими збуреннями.—Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02—диференціальні рівняння.— Чернівецький державний університет. Міністерство освіти України. Чернівці, 1998.

В термінах функцій Ляпунова одержано умови необмежненої продовжуваності, обмеженості за ймовірністю та стійкості розв’язків систем диференціальних рівнянь з випадковою імпульсною дією. Розв’язана задача оптимального керування для одного класу диференціальних систем з випадковими імпульсами. Знайдено умови існування стохастичних функцій Ляпунова для систем лінійних диференціальних рівнянь, з коефіцієнтами, які залежать від марковського скінченнозначного процесу. Досліджено умови стійкості лінійних систем диференціальних рівнянь з марковськими та напівмарковськими коефіцієнтами.

Ключові слова: необмежнена продовжуваність, обмеженість за

ймовірністю, стійкість, оптимальне керування.

Мосейко А.А. Исследование систем дифференциальных уравнений с импульсными и марковскими возмущениями.—Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физикоматематических наук по специальности 01.01.02—дифференциальные

уравнения.—Черновицкий государственный университет. Министерство образования Украины. Черновцы, 1998.

В терминах функций Ляпунова получены условия неограниченной продолжаемости, ограниченности по вероятности и устойчивости решений систем дифференциальных уравнений со случайным импульсным воздействием. Решена задача оптимального управления для некоторого класса дифференциальных систем со случайными импульсами. Найдены условия существования стохастических функций Ляпунова для систем линейных дифференциальных уравнений, коэффициенты которой зависят от марковского конечнозначного процесса. Выведены условия устойчивости линейных систем дифференциальных уравнений с марковскими и полумарковскими коэффициентами.

Ключевые слова: неограниченная продолжаемость, ограниченность по вероятности, устойчивость, оптимальное управление.

MoseykoA.A. Study of differential equations systems with impulsive and Markov’s disturbances—Manuscript.

Thesis for a candidate’s degree by speciality 01.01.02—differential equations— Chemivtsi State University, Chemivtsi, 1998.

In terms of Lyapunov’s functions, conditions of unlimited duration, limited in probability and stability of differential equations systems with random impulsive influence were found. Stochastic control problem for certain kind of differential equations system with random impulses is solved. Conditions of existence of stochastic Lyapunov’s functions for differential equations system with coefficients, which depend upon Markov’s fmite-valued process, were found. Conditions of stability of solution were derived for differential equations systems with Markov’s and semi-Markov’s coefficients.

Key words: unlimited duration, limitation in probability, stability, optimal conlrc