Граничнi теореми для числа перетинiв границi даноi областi послiдовнiстю слабко збiених дифузiйних процесiв тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Г6 OD

í ÜAR 1503

■ Акадешя наук üja'íHii 1нститут гатскатшш

lia права:-; рукопнсу

Г О И К О Лйбст'ир Взсштюви-;

FPAUI7THI ТЕОРЕДЙ ДЛЯ ЧИСЛА ПЕРЕГНИВ ГРА11Щ1 ПАН01 OEJIACTI ПОСЛЦ.СШЮТЮ СЛАЕКО ЁБШНИ ДЙУ31ЙШ: ПРСЩЕС1В

ОТ.OI.С5 - тесп1я ¡ii.'CBipsocTi та гаттеатсчиа статистика

Лгтореферат ^нсертмй Ï ня сдобуття в'^еногс ступени KatV'.Hnara ф13.'1ко-ма'ге»Агтичшс< наук

Кшв - ÎS93

Робота эикопгна у в^дцШ Teopiï випадкових процесхв Лнституту математики M Украпш. _

Науковий кер1внш( : доктор фгзнко-математичних наук, професор ООРТЕНКО M.I.

0ф1циш1 опоиенти i доктор èi зико-математичних наук, професор ШУРШКОВ Б.!/,.

кандидат ф!зико-математичних наук SSÎMEHKO C.B.

Ведуча орган!зац1я : Тнститут прикладно! математики та механгки АН Украпга, м.Донецьк

Захист В1дбудеться т| ¿¿> " люТ^^о_199-^р

о ^ годикг на зас!далн1 сшещал130ван01 ради Д 016.50.01 при 1нститут1 математики ЛИ Украши за одресою : 252601 Khïb 4, MСП, вул. Тереиенкгвська, 3.

3 дисергащею мо:;ат ознайомитись в б1бл10тед1 шститу

Авторзферат роз1сланий " ^ ^ " ^¿i_

Бчений секрегар спец1ал1Эовано1 ради

ГУСАК Д. В.

Загальна характеристика рсс'оти

Ахтуалып сть тени. Локальну пс-Еед1к«у тра«;;тор1Й випадко: ого провесу характеризуй певною н^ои текий Функционал ргд пронесу, лк число перетишв ник ппксованого р^вня б одновк;лрно!,у г.ипэдку абр фпгсотанох поверив! в багатовтлрноьу пипадку. Якео процес, що досЛ1д:;уеться, я д1гуэ{Сник, то згаданий <?ункц!онгл ::о:.:е приикати лило два значения: або нуль, якео траектор1я процесу протягм; да-ного часу не потрапляо на доний р1Еень / чи поверхню /, або нес-К1нчен1сть, якщо вона в яккЛсь кокент часу на даноцу 1ктервал1 по-трапляа на цеП рхвень / чи поверхню /. Через цм обставину доводиться вводнтн диекретну апроксш/ащю процесу, тобто рогглядзти число перетин!в ¿ЧксоЕаного р1вня / чи повергал / не траекторией, а по-сл1 довн1 стю и' значень в дискретш моненти часу, скаш.ю, з кроксм

/п - натуральна число /. Потп,:, переходячи до границ!, кол:; л->о« , в1дшукують норцукчх ино.-шики, як1 б давали петрив!аль-шй граничит': розпод1л для числа перегнав даного р^вня / чи по-вер:-'Н! / дискрет,.-® апр~ксикац1ею процесу. Саме в такШ постановив цю задг-зу бул»- розглянутс б роботах й.Г.Пхг.ана для одновголр-кого дигузШюго процесу з досить гладкими коефхц'ечтами, МЛ.Пор-тенка для багатовим{рних дтуз!"нкх процес!Е таком з гладкими ксе-<?!Ц1ентами / а такозс для однозиЛ рнсго стЫксго пронесу /, С.З. 6'р1Генко, !.'. ¡.Портэнка для деякю: кас1в узагальнекиз: ди<"уз! ини:: проце-Лв, Улком природшм о ¿акт, що гракичн! розподгли у вказа-шос роботах поЕ"язан1 з розпод!лоы такого функционалу, як локально час, цо його проводить процес в дашй точц1 чи на дашй поверх-ш. Гкц-Пл шдгад до вивчешм локально! поЕедгнкл трэзкторп'} броу-н!еського чя дигузШого провесу в окол! дано{ поверен! /"по-гершз:о" е олкоикл рногу тгадяу будемо кагявати точ*у / полягге в я{,гр£хунку т-;;>слг таетк 1:о:.:ект1Б час;/ / до :.:о:,:ент.; часу € /, в ПК1 траектория потрапляо ка по'Егфжз гйсля в! да! дни зовк{ц'ньо1 частики € -сколу повергни З^т такая робктъся граничим лерех!д при € 10 I виявляеться, ио при тевкскдг коруваин! вказак! Еелкь-инп гаэть гранкчикл роз под"! л, пов"язаниЕ ташх з докальыг/. часом, шо ¿ого процес проводить на дан1й поверхс*.

Дана джерг'ац! йна робота, но ргзоруеться, анаходиться в русл! персого э наведенш: вктв п1дхот»!в. Бот присвоена лквчешгэ гратгчнот по?ед1нки к!лькост! пэреткк1в даног повер:'Н1 дискретшп'и апрокси'кц1я:т посл!довност1 1 узагальнентк / ди''уз1 Гни:' провесI в," про як! 2!дс?'0, п,о IX дп'уз!.'«! гатрпц! е сталики /тебто не пяле-

-тать Б1Д. п /, а вектори переносу 3öiтаиться при л-»^ до гра-кичних лише в слабког/у розушнш. Сл1д зауветити, що в роботах й.Т.Ихкана розгледався такогх не ¿¡кеований диаузгГший продес, а поол1довн!сть ланшогчв Маркова, що е певно}.^г розушнш збп'алась до ди:'.узi Иного процесу. так що насправд! в цих роботах шдрахоЕу-Еалась к1льк1сть перетк-пв даного piBHa посипдовшстю ланцюпв Маркова i вивчалась гранична повед1нка utei кглькосп при yuoBi, ц^, гракичний дифуахйний процес те доскть гладкл локальш характеристики / тобто коес?1ц1енти переносу та дщузИ /. i хоча зга-дан: внще диcкpeтнi апроксшацп / узагальненого / дщузхйного процесу монна розглядати лк частинний випадок схеми ЙЛ .Пхмака, sei наведен: киоте результата не е пршиш насупдками кого poßii саме через те, що тх процеси, як! тут роэгладаоться, с дидзгзгйни-ми лише в певнему узагальнено^у сенс:. Це оэиачае, цо ix локальш характеристики мо:яуть бутп локально необгжзвгая.ш f навхть узагаль-ненкшг / в розуглнн! JI. Шварца / функц1яз.гп» а не гладкими, як то було у 3.1 .rixi/ана.

Мета роботи. Довести граничш теареш для числа йеретишв £!ксовано1 повергал дискретшии апроксш.:ац!я1.:и посл!довнсстеЙ узг,-гальнених дисуз^йнкх npoqecis, про як! ц}дсг:о, що 'ix вектори пзр?-носу зб1гах>ться до граничшк лкше в слабксму сенс! / удтриц! дк|у-oii залишаоться нада!инши /.

Г.^етодкка доалхдтень. Вхазаш грангяш теоремп доведен! а до~ помогоэ зсксттеткчного анайзу деякшс сп!вв!дноыень, що т'х задо-вольилить характерксткщЦ с}уккц!1 числа горетин!в дано! йоверхш дигуэ!йним процесс!! / розд.Ш /. Одни/ з найва;хлив!шк i:o:.:en?fE доведения е локаяьн! граничш теореггк, що даахь укови, при яккзе , густили йгов! рностей переходу посл1доеносх1 дгкуз1йних процес! в эб!галтъся до граничного / розд.П V. В авоп чергу п! теорегк до-водяться з допокогоя так звашк piEKsni, Колмогорова для йбуренот mr'yeti. Теория ?аик piк?ячь наведена в роэд.1» .

Каукова коншка та практика цппп сть. В робот! 'встановлено так! твердуенняг ■ •'

V ; I* О>оркульоган! та доведен! теореыи про 1с«уЕа5ия та виг-лад грагаянкх ■pospemixin для тесяг переткшв г!ксованих П0Еер"0нь , дискретеикк. апрококкацип-ш. посг!доБностеЛ /узагальяених/ Д!гуз!й- . них npoaecis прг. , ко Тг гоеф1ц(ети перекосу зб!гаються до" ..

1'Р8никкшг в сяабкоеу сенс!,/-ч1" '.''А

СФор:ггт:1овгл1 та донеден! теоре:л' про s6UMicTb дй гра-■ттгх густпн йг»0в1р10стей перегоду посл!довяост1 / узагапьиеик: /

- а -

Ímíyaiimirí прсшеЫв, якпю Bi.nouo, ню до граничних зб1га:оться в щрбкону cenci ту. коепишпнти переносу.

3, Дпя побугтош и'атештт.'ниу юдеяе;; ярииа д^узг'г в нерегу-ллрних середовинах яапропоиосано рояглдцети пару pÍRHHHb, ¡во ту прпродн.о наяивати пряииы i обернет«,! 'pi вшзгаш.ш Колмогорова для збурено'1 ди*уяи. Щ р!шяния t: досить зручн;э.1 ¡нструментом при до-веденш як локальних граничких теорем, так ¡ теорем для числа пере-тшпв дано! поперхш посл1довн1стк> дийуз1йнгсс nporeciB.

Апробация роботи i публпшцм! По результатах дисертащi бу-ло яроблено допов1д1 на cei.:iHapi в1дгплу Teopií випадкових пропе-cíb i на яас}данк1 сенцИ з Teopii kkobíphootí та иатеыатичнох статистики при iHCTHTyri математики АН Украш).

Ochoehí регз'льтати опуСлгковано в / 1-3 /. Структура та об"ем роботи. Дисертац1Я об"сном сторгнок

уашинописного теисту складаеться 3i Еступу, трьох роздШв / 10 параграф в / i списку рикористано? д!тератури э Ъ-Зг казв,

В po6otí розглянуто три ситуацП. В nepmiñ з них заданою й посл1довн1сть дио-уз^йких процес!в ccn{í), п = - ■ в е/-в1оЛрноку евюйдовому простор! э обмелено» невиродленоо i/атрицего дийузи

é(x) та посл1доешстэт векторгв переносу a,¡(x), шо задовольняе у1/оеи

I/ /| a„ (lp < »» , при деякону р > с/ ;

2/ !снуе. така М -значка функция С[х) ка ¡R , шо

¿f/n / УМ (Хп(х-)с(х - / ,

якоо б не була д!йсна непарервиа íhí тка ¿упкщя r(*J на /Л . Через JT иозначимо rinepraioикну е¡kd:(я,\>) - fj / тут S> - $ík-сований opi> в Й*, cr - фхсоване дШне число, 0/') - скаллрний яобуток fi ¡RJ J, яка роздьчяз npocTiр на дв! частини

«Я, -Л*akJ: (*/))>/] , = {*e$J- (*,*))< . .

Покладемо для.

rí*, *J r ÍjoP) + fai*) , J

дз через ¡¡г(х) иозначавться 1Н.гтикатор шотшш Га ¡R . Вппадкога

вел™ л/

»изначае «исло перетш1Р rf перплопчши J* поелtдоен! стп випагко-РИХ гекторх в Хл(о),Хп(тг)г" • тут /. Осноапп- п«-

аультрто?.' 51 ропд!.т/ Ш в наступив .тверп-ення, в яко«у чч^е-ч

, {>0 позначено густнну ймов1рност1 переходу'

уяагальненого лфузМного процесу з матрицей ди'узiï êfa) та сектором переносу сг(х).

Теорема 1. Якпга виконан! умовп 1/-2/, то при дотильшк xeâ , ЛеД? / через поэначаетьсл и!ла частика д(йсного чис-

ла U / ' f) > \

де и(-1)хА)- едший р^зв"язок ргвнлння ^

U Н,Х)к+ u(4-S, yj) G-(h*,*)(fa)9, /2/

в S

/ тут BHyTpinHiiî (нтегрэл е поверхиевик 1нтегралок по зм!нн1й У /.

В друНй з вигае згачанж ситуа'л!й кова^йда про посл!довн1сть узагальненгес дкг'уз4йних' nponeciB xn(i) в R , як! визначаюгься нал1вгрупо-о onepaiopiB Т^ ! "i >а Л то ДЬ; на обметвну вишрну ''jUKriJi VfcJ на ¡¡^ за формулою

т/W;« т4' . /з/

о S

Хут поклалено Х= [х € JR : (я^ ) = - Нперплош^ша в й , ортогональна ф1ксовано1,у орту )ff^i'i^^vi)' /е.хр{-(г-- густина feiOBipKocTt переходу стандартного в1кер1вського процесу В iRd ; - наШвгрула cnepaiopiB, що в!д-,

поведав ^-вкшрному в1нер1всь«ому процесов{ ; означаз п ох ¡дну по простороз!й зыШшй в напрякку <) ; - задана поел 1довн1сть , :неперервних адтац!й на S , для яких при BCix ffjT та

; Енутр{шн1й 1нтеграл в формул! для yj"' е поЕерхневим штегралом по зм1тпй У , йор.»ула /3/ визначаа нелерервки; процес Маркова //?"' , для якого'штриця ди?узП е одкничиою катри-

цеи, а вектор переносу задаеться фор-улою йп^)" у» де fy*).- узагальнена '¡ункщя в ¡R , д1я яко'1 на. неперарвку штну 1зункд1ю вводиться до, !нтегрування останцьо1 по ri перплсгцин! ' X . Виэкачк.'о формулою /I/ величини ^ для цього процесу / в п?иачен1 8+ та »3- - сшд вватати, що 0 / i,. припустивши, у;о при м-»-о-» в слабкоьу poayi,:iHHi, ' поставило запитан--

Г'У, про грёничну при л повед^нку величин : n'^Jfrl] для (iiK"

ссгрлюго . ''■'.,;.■

Виявляеться,. що самого припушення про слабку a'îirHi сть пос-.■•vvoi.i'ocTi до.нуля зашло для того, щоб'полка Супо гаранту*

гати 1снування граничного при п -*•><• розподхлу величгаш з певнт) нормуючим множником. Потребна ще углова, яка б пов"яэува-ла шввдк1сть o6íM¡ocTi послгдошост1 ^„W Д° нуля з величиною проку диокретизац! i, тобто з п . Позначшо для -¿>0, аг<?.Г та натуральна п J

Нп = /^ J а/п Ос/Ъ

Ясно, що при фгксоваплх -¿>0 та аг<г_Г t^? > як-'о

Функц11 ^í*) задовольнямть укову(

/ . /4/

якоо б на була нэп9рервна.ф1н1тна функц$я V5 на S . Больше того, за ц!ei уиови збЬзисть послхдовност! Hn(-l>s) до нуля нав!ть р1вном1рна в1днооно зм!нних (4,v) t коли вони зуйнюються на компактах, що ы1стяться в tmcramt (o1a<')*f .'3 1ншого боку, якщо , ф!ксуваги п , то Н»= te) t осн1льки, взагалг казучн, посл}довн1сть не зб!газться р!вноы1рно, подв!йний

грантний перех1д при -¿¿о i « -„юже приводити до pismix

насл!дк1в. Наступна уыова якраз i пов"язуе швидктть слабко: эб!:к-hoctí посл1довност1 до нуля та величину кроку дискретиза-

ц!i. Ми припускаемо, що icHys гака вкдрна функц!я на [о,°°) , що виконуеться'сп1вв1дношення

¡H* (М Щ^П^М^и* - •

якою б не була нэперерша cpiHiraa 4унвц1я Vй на J . Очевидно, UÜS бути ¡ f(¿}¡4.¿ IipUBCÍX -t&O .

Основниа результатом §2 розд1яу IH о наступна тверджешя. Теорема 2. Припустило, цо посл!довн1сть задовольняе ушви /4/,/5/. Тод! при , xe¡r, ¿>о • •

до в!дал& В1д точки др гшерплощкни X t а ста-

ла ^ вкзначаетьсп сп1вв1дношенням у Щ - ¿ g

а?

. - ¿

i t с/Т /\r-H~' в/т-ió) , - ' !'!'

~ JL- (-¿I f ja

В третей ситуац11 розглядаеться посл1довн1Сть одновимхрних дифуе!йних процесхв X~„(-i) з одиничним кое^щенгом дифуз1 i та ko-j еф1Ц1ентом пергносу Ctn(x)=na(nx), де ссС*) - задана на дШсна обмеяена ¿ункц!я,для якох ЦсеЦ^ ■</. Покладаючи S)+ = (xelRl:x>oj , Ю- = [хе JRd: x<oJ , утворимо для натуральних т , п , К веллчи-

' i v t"<W

1 поставимо питания про граничит розпод1ли величин [ ^¿J для

-¿>0 , коли т та п узгодаено зростають до нескпменост!. В1Дпов1Дь на це питания М1ститься в наступшй теореш,' що е основ-ним результатом §3 роздыу III. Попередньо введено деяк! позначен-ня. Через позначиш густину fn/OBiрностi переходу про-

цесу xji) , так що Q± ) - це густина Шовгрностг переходу одновим! рного дияузгйного процесу з одиничним кое(Нц1ентом дид'зП та кое^щентоы переносу а{х). Через А(х) шзначшо nepBiCHy гункц!?) для а£с) , а cave

= { «(у)/у , -zeß

Позначико тепер c=4£f ^ £ V .

Теорема 3. При п сх» величини «7 V кають граничили рОЗПОД1Л '

для дов!льних ¿ъ-о , xcß*, о , який визначазться формулою

о . i

де: &J у випадку! коли деяних

констант e(ot~>} та уё (o,i) ; *

* О ъ» оо

у випадку, коли т -^л^для деяко! сталог ^£(0/*° ;

в/ ¿^r fl?Jil exp f2d(o)J у випадку, коли т^^^^ля деяких

стали* Та .•

Заунакга/о, шо при л -v процес :r,,<7j зб!гаеться в слаб-"ог;,Т1нн! до процесу .косого броушрського g/xy, що в!дп0в[дае

значению параметра = . Це такий процес. х(4) , що мае сзо-хы коефчхдентом дифузП тотсту одиницю, а кое^лщентом переносу — сункц!га С ¿Х*) , де - (Г-^уннщя Дграка. ГУстина Яков1рнсз-Т1 переходу цього процесу задаеться формулою /■/><> , хе/Ц*, у<г/<? /

(л*)~*е " + в' ' /9/

Доведения теорем 1-3 грунтуетьсг на аналхз! деяких сп1вв!д-нотань, що IX зэдовольня.оть характеристичш функци величин • В деяких випадках / наприклад, е теореш А / успшно провести цей анал!з допомагають локальн1 граничнх ^еореми для густгни ймов!р-ност1 переходу тих процес1в, що тут розглядаються, I хоча в 1нших випадках / напрлклад, в теоремах 2,3 / одних лише лок.гпьних гра-ничних теорем замало для того, щоб мо-тна було зд!йснити бараний граничниЯ перех1д, все ж локальш граничш теореми сам по собх заелуговують на певну увагу, I току хм присвячено роздхл II дисер-тацГх. Бона складаеться з трьох параграф!в, в кожному з яких йдеть-ся про одну з трьох вице згаданих ситуац!й. В §1 розглянуто ситуации теореми I,

Теорема 4. Нехай - густина ймов{рност! переходу

узагальненогс ди<|уз*йного процесу в В* з невиродженоэ обмеженою геявдеровою матрицею дифуз 11 та вектором переносу ап1*), що

задоволытяз" умову щъПаЛ, <гуа при деяксау р>Л . Припустило,

цо рля /К -зиачно'г фугапд! х ей?) вяксгано сп1вв1джяиення

/у - /, </>6г)<Г(х)(/х,

9* Г ^

ото» б гае буда <Цн1тка тязперервна Зункц1я у на /г . Тод! при вс1х / >0 « гей^

да - гуетта й»ов1рдаст* перемещу узагальненого дифу-

з!йного процесу з т1ею -ж яатрщеп дийгаН та вектором пере-

носу Кр1м того в ютш!й облает! шгляду (о,т]*^ ^

при ск$нчених 7"* т-ае йер4з«1©га> .

по/

з деякики додатними сталиМи ' К^ ■ - 'Ту , а Д - .

символ дов1льно1 час'тинног пох!дно1 по 3(пш1гх х1,. -, ^ порядку т , Наступний результат вноситься до ситуац1х, описано! в тео-

рем1 2. Позначиыо через густшу И(/ов1рност1 переходу

пронесу, цо опнсуетъся наШвгрупо» /3/. Ця густина ¡снуе 1 при У^ моте бути задано» аа допомого^форыули

+ /с1х ¡д. « " г, *> I1 /

о х г

Нева-гко зрозушти, цо при переход! зьагетгт у через г1лерплош1шу $ густина (2п (-{¡х,*) кае стрибок, Пс -.начгаго для у с £

Сп = л» £« щ лО

Тод! з теоре'шт про стрибок нормально! пох!дно! потенциалу, простого шару та з рх вняння /II/ дхстаеко

= (Л $ С $)2>

так г,о при (и) $уннц!я в неперерзноа в точц!

у^Х . Що стосуеться значень $унвд1* О-С^^ь?) при Х , то хх . кочна ввакати р1внюл1 лрав!й части» /II/, де п!д хнтегралои розу-шсио пргаге значения нормально! пох!дног г.этенцхалу пресгего ¡пару. Неважно зрозуы1ти,що бон о дсрЗшаа нулевх, оскхльки при в £? S та Уй^Г ыазко — > ,

Наступна теорема е сенссшш результатом роздхлу II.

Теорега 5. Яздэ поел!доен!сть <£уняц1й" О,„С») на така, цо

при ЕС1х Ус .Г 1,кр1и ТОГО,

якоа б ке буяа неперерзна епптна я ^ на X , то при вс1х

■¿>о , хе1Г, К*

¿¿т -Я&Ъи)

' А-.»»« "

Кр1м того,мае и1сцэ сц1нка ,

**

при ЕС1Х -¿>,0 ,2., у<?/? ,

Срор^удюеио тетр локальну граннчну -георе^, цо' доведена в §3 розд!ду ГГ. •'

Теорема 6. Нехай - густина ¡Шов1рност1 переходу

одновимркого ди$уз!йного процесу а одиничнш кое^1ц1снто>,! дгцувИ та коеф1ц1ентом переносу ал(?)-па(пх), де а ("О - обмежека $ункц1я на../{Р1 , для яко! Да//^/. Тод! при вехх ¿>о, Уфе /

(£, ¿('¿fry),

де (¿.ушщ!я £(-С/х/ у) визначаеться формулою /9/ з костаитога

це нер!

ly-cc/'

C~4J\Q, » /a(-jc/x. При цьогу гадать сця иер1влост1 У 7

i-mUi пЩг? с ,

при вс1х 4>о , хей*, хе R*.

Вззультати розд!лу II / теорски 4-6 / хоч t кають допомхшш! характер / вони використовуються при доведены! тесрзм 1-3 /, все я вони представляють i певний сакост!йний 1нтерес. 1х доведения грунтувться на анал1з! р1вн.чнь, що'йс задовольняоть ayrmuii %

га подальшому граничному переход! / при / в цих р1вняннях.

Teopli чих р!внянь прксвячено першиЯ рояд!л дисертацГг.

Ивняння, про як1 йдсться в роздШ I, ми називаемо р!вняння-ки Колмогорова для збурено! дифуз!г. При розглдд! руху частники, шо д;пу]!дуа в певноглу нерегулярному середовищ!, корисною буваз точка зору я;» цей рух як на суперпоэпЩю досить регулярно! ди)уз} t i певного нерегулярного збурэння. Ця точка зору дозволяе в деяких ситуац{ж- написати р!шяння, дещо простini, нИ rl; як! б довелооя писати, коли б цю точку зору не братп . до уваги.

Розглянемо / неоднор!дний I дщузШниЙ процес в (R з ло-кальними >арактеристиками / , e(Sjx) / / вектор переносу та

матриця ди$узt i /. Припустило, шо ul ijuKUii достатньо регулярнт, так що 1снуа Яуяяаментальний розв"язок ^С^х,-^,^) р1вняння

Тут к/*) - елементи матриц!

- координати

вектора <x(s,x).

Ф/нкц1я е густинога KwoBtpHOCTi переходу неод-

нор!дного диауз!йного процесу В $ з локальними характеристиками / а (ь х) , SjX) /. При пеЕних умовах як здгак-и!я apryi/°HTiB (4,у) при $1коованих (/,*) задовольняе в облает! \4,Ч) е (s^)' # J , р1ЕНЯННЯ

- М лз/

г* 4

Припустило, що тепер на [о,о<>)хЙ задана .нерегулярна <£унк-ц!я , що приймае значения в /у?0', I хочеш розгллнутй дифу-.

зШшй процес з локальнимп'характеристиками + а(.¡]х), ,

Тод! для густини Ё-^зг^!*) йнов1рност1 переходу такого провесу ыожна б'уло б напипати р^вняння типу /12/, /13/ з заменою дункщй а' на а. Однак, якщо вважати Б1доко:о ¿ункщю то можна (Тункц1ю у) розвукати як розв"лзок наступно! парк

рхвнянь, одне з яких ¡нтегро-диференщальне, а друге - ¡нтеграль-не:

-Ь

о ^

i

^(^¡¿(т.х,г,г)М),а(т,г))с/г л5/

О Ш* ■

1Ут , а^у^/К - символ градиента по зшншй 2 .

Ввняння /14/ е р1внянняи в1дносно першо! пари' зшнних шункц11£ , оак що -його сл!д розглядати як аналог рлвняння /12/ I називаги обернсг'с.: р!вняння1.' Колмогорова для збуреног дифузи. Що стосуеть-ся р1 вняння /15/, то воно е аналогом »¡вншня /'.о/ I кого варто назиЕати пряшш рхвнянням Колмогорова для збурено! дкфуш1.

В роздШ I дисергащ! доводиться, що при певшк уиовах на й.ункЦ1! .та розв"язки р!внянь /14/ 1 /15/ ствпада-

ет ь, якщо ?ункЦ1Я а (ь*) задоводьняа таку згмову

/¡аЦ т = /1*г/ ^

■ [ о '

при вс1х та деякс;.у р >¿+2 • При цьсьу розв"язс:.

&(х,х,-(/у) ■ Р^вняиь '/14/, /15/ е густкнол йиов^рност! переходу узагальненого Д1:фуз1Гшого провесу о локальнкьш характеристикам;

В одкор!диску випадау, / §4, роздгл I /, тобто у випадку, коли функщ I ¿7 , $ , а не залетать в1д часу, «¿ункц! I ? та ¿Р лале^ать р{д I .та У лиге «епез 1х ртэтда. Якшо

позначити , то ргЕНш-

ня /12/ - / 15/ но:ат еаписати у ил-ляд! :

(*<*>> мм

Д2°/

д4 Л : ' " ^ Эх' '

■ё

/14°/

а ^ /

ч

О^^УуС+Л*) а (г)] с/г. п 5о,

ОН?*

§уш;ц!я ) , ян 5ункц1я аргукент1в при ф!ксовано-

Щ Ьезадовояышз в облает! {(4,*): 4~>0;Хё/%')] рхвняння

як <}ункц1я аргуме}шв ¿4,^ при ф!нсованому хе/^^вона за*-довольняе р1 вняння /13°/ В облает! [(-¿¡х): 4->а, ¡/6 /Я**} . Розв"яз-ки р!шлнь /14°/ та /15°/ сп!впадаоть при умов! ,'що а(х) обке-яена та гелвдэрова функц1я, функц!я £(х) обменена гельдерова та р!вном!рно невироджена, а функщя а(х) така, що при деяхому р > с/ -маемо , Ц! розв"язки визначаютъ густину

(1мов!рпост! переходу узагальненого дифузхИного процесу з лскалыгюэд характеристика™ / а(х) + а(х) , ■ /• Саке р!вняння /14 / та /15 / викорлстовувадись при доЕедекн! теорем

* - б * .;- -ч*. ■ .

Осноеи! "Яолойеюм дпеертоц!! Ьггублгкован* и наступних роботах:

I. Гошко Л.В. О сходи/ости плотностей вероятностей перехода тзослвдоватвльябсти диффузионных процессов // Стохастичес- . ККэ уравнения и граничила теореш Киев.' Кн-т математики АН УССР, 1991.- С.39-45. -. ;у.' '' - Г г "'

ч 2. Токио Л.В. Про зб»зм!сть узагальнегак дй&зМних. ПроцесГв при слабк!й зб!жност! коеф!ц!ент!в переносу // Случайнее процессы и бесконечномерный анали?! -Киев: Ин-т ^атемати-