Теореми марковського вiдновлення у схемi серiй та iх застосування до напiвмарковських процесiв тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

НАЦІОНАЛЬНА АВДМІЯ НАУК УНРАЇКИ «б ОД ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ ,

На правах рукопису

дЯГТЛРЬ Сог гі ;і Вол од ш нро вич

ТЕОРЕМИ МАРІЙСЬКОГО ВІДНОНЛЗШ У CXG.il СЕРІЙ ТА IX ЗЛСТОСУЗЛІШ ДО НАЛІЙМАРіШЇШХ ПРОЦЕСІВ

01.01.06 - теорія ймовірностеЯ та математична статистика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового _.упзня кандздата фізиио-матєматкчних наук

(•

Київ - 1994

■ Робота кікокана у відділі теорії випадкових процесів Ікотитуту штематвдп ШН України

, Науковий керівялк: . доктор фізшго-штемамгвдих наук,

професор ШУРДНКОВ В.М.

’ Офіційні ояоиопгн: доеїор фізіко-глзтеіщт2Ч}шз: наук,

• . ' професор ШШО ОХ,

. ‘ кандидат фізяко-штемзтячнш: наук,

.■ ' ■ -ДОЦ0НХ МАЙддас Р.Я. •

Провідна-¿■•Ьтш’іойа:-' Інститут кібернетики ІШІ Уіграїаи.

Зазшо? дисертації відбудеться -ій Х994 р,

о І Т годині на насіданні опеціалізовшюї рада .

Д .'РІб^бОрОІ щщ ..Інституті ттеиагош’НАН України за адресою: 352601, Кііїв-4, ГСП, вуз. їерещепківська, 3.

. ,3 дисертаціє:) ионна оанайоиитися в бібліотеці Інституті

; Автореферат розіслано ‘____________ 1994 р. .

‘'.Вчений'секретар, ' ' ' ' - . ' •

сгеціалізовакої .-ради'. ' ГУСЛК Д.В.

. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність темл. В роботі досліджуються так аааяі перехідні явища для рівняння мпрковського відновлення. Задачі на перехідні явища виникають в таких різних по своїй структурі розділах теорії випадкових процесів, як асимптотична поведінка функціоналів від ергодичних процесів; грашгші '.здачі для випадкових блукань і процесів з незалояяіши приростами; гіллясті процеси» близькі до критичних'та інших.. ■ "

Вивчення перехідних явлд для .рівнянь віднозлення.було започатковане в роботах Д.С.Сільвестрова, О.В.В’югіна, В.М.Щуренко-ва. Рівномірні оцінки аввдкості збіжності в теоремі відновлення вивчались А..М.Зубковии, Н.В.Картаиовим та іншаш авторами. В роботі Б. Л.достава і В.М.іуренкова досліджені перехідні явища для ОД.. :> :мірних рівчянь з комплексйозначшая коефіцієнтами.

Д.Алімовим і В.М.Пэдэенковиы досліджувалась асимптотика розв'язку рівняння марковського відновлення з основою дцра, близькою до деякого розподілу ймовірностей. 5і(А) . на заданому вимірному просторі СЕ.,Л\ , А * «А . '

.В даній роботі розглядається інший крайній шпадок, коли основа граничного ядра с одиничним ядром. Отримані результати застосовуються до стохастично адитивних функціоналів від напівшр-коеських процесівщо вивчались в роботах В.В.Анісімова та його учнів.-; ; : •

Мета -роботи. Вивчення асимптотичної поведінки розв'язку рівняння шрковського,відновлення, що залежить від малого.параметра: /Е >0: і при І -**в , і —о-о , еЛ и . .

/..•/Методика досліджень.' З дисертації використовуються методи,

розвинуті при вивченні рівняння ШрКОЕСЬКОГО відновлення. лрім цього, використовуються спеціальні їло годи і дані операторного аналізу.

Наукова новизна. В дисертаційній роботі отримано наступні основні результати: .

- доведено операторннй аналог теоремі: Вінера про локальне обернення перетворення Фур’е;

- доведено дві теореми типу відновлення;

- доведено граничні теореми для стохаотачно адитивних функціоналів від напівшрковськах процесів.

Теоретична і практична цінність. Результати дисертаційної роботи є цікавими upa вивчені,- і/дрковсьісих процесів, гіллястих процесів, стохастцчно адитивних щункціоналіь! '

Апробація роботи і публікації. Основні результати дисертації доповідались.на семінарах '.теорії ймовірностей і математичної статЕотніш га теорії випадкових процесів Інституту матема-.má ГАН Україш, на Ш Донецькій ішшародній конференції "Іімо-вірніс йі ііодєлі цроцесів в управлінні га цадійнооіі" ( Донецке, ÍS93 р,) і опублікованій роботах ,0.1»

• Структура і об’єм роботи. Дисертація вкладається а вступу vi основної чаотніга, яка розбктв ца ш гш( козда.а дкцх поділена на шрад’раащ, Загадали# об"® робота %Ч шип-

•йопиокого тексту. Бібліографії ошадаетьед a Z4 назв,

- 2ЩСТР0ЩЭД ..

. У во тупі подається коротку о?ущ досліджень, цо зв'язані ' з темо» дисертації, викладені її основні результати,

В першій главі визчаетьоя асимптотика розв<яз^:у

ЙркОЕСЬКЗГО відновлення.- •

■ Пехаіі задано випірнай ^лзоиііі простір (і. .Д') з зчнслешіо-:ород^.:гно» 5 - алгеброю Д Введемо сукупність кошлєксно-зкачіиі:: ;-дс-р С сі^ « «¿О (дав, [ ї]) , які залежать від г^а-юго параметра і>о . ■. ‘

¡1сзнач;ио через (х, А * Іо,^ повну варіацію ядра і* ( *., А * [о. О) лк-кіря на А 4 2)^ при.фіксованих я.с 6 ,

і» іЬ< - са;к‘лі2ська СГ — алгебра на Н^ЧІа.с»').

. Розглянемо рівняння відновлення -

■ ' • ' '; ' ^ ■ ■ , '

^(.х.-О - ^ (х,4Л * ^ ОсСк,<і^* ^*0,. (і)

. ■ ' ' І я ; ... .

Гу? .^(х.ЛІ - ¿ака -А 4 ІЬ* - '• вимірна' ¡йакція* а - пу—

ваиз- ..ункціл, - ■ . ■ . •- . ■

Пр;: дос;::ь зарок::* уиоаах розв'язок рівняння (2) иожна задк-с;і?а. у 2;тддг.ї : ■ '•■ . ; ' :

1&СхД* ті и,'* $іЦу* Л V ,

. .. . _ .. ... ^ в. .. .. - ,

зр^І>ьіл'/і^'ч^О>;Поїеш»Ц-д5ра: * ¿\У.

■ далі иаюйяе:» шику о&егепь. Будс-ко ввагатя, що Vt.Ce., 4^*«^ і '04Сх,еГ^ *.с5іУ,Уг?с5іга-Л'»ея- прп.-г-^о до цевід’&яюго <жксас~ тич!іого ядра £> ч ¿£) п талому розумішіі .

1. Шуренков, В.ІЛ. Ьргод;песіс!3 ігсопессн Каряова* - М,: Шула,

І9Б9 г. - 336 с. ’ . .... '• . ■ .. ■•.•■; .. ' ■ ■

«л ^ 1 и, А * <50 ЧШ - ^ ои, Л » ¿0 *?Со\ — О, ( '*4.ї. ЛС.А О « '

(

для довільної неперервної о'бмєяеної функції Ш\^о.

' Образно калуча, У^С'.-, ч с?ЛЛ і (^(.«.,¿^*¿0 збігаптьс

до ОСз-.й^ * сіО "рівномірно по к. „¿ч і слайко по ¿V *.

Позяатамо через Сг^., М , М4С^, М і €»Ск,ДУ основи ядер * сК*) > \С--й, ' ¿0 х СзС'л/а^ * ¿0) відао-

БІДНО, тобто

С к., ^ = 6ЬС'А ( к * ІС, <^>,

чим

• 6 С А4) ■= 6Д ь (* Іо, «*оЬ”),

■ Як цозаззио в £ і 1 , ядро и сїО могша іфедога

та у нагляді ■ .

: ;.. .; ь ¿1) « 6С«»^ ^'С.и, (ч ^¿‘Л (

■'д* разаомі'л йковіряот-й ггшр.чда здшш зале;.

•3i.it В£.ря ЗШІ2РХ; Сі Н. . БІДГ.І!. 'ГОІ'О, бї.ЧемОО.-ЗСНЇОТ, с

&0*-.,}\У - ойШЩ'Шв яд|0, тобїо

СС*,АЬ К*,М « Є><Л .

О . -х* А,

Ь (о) кшлгЕзс, цо функція розпо-і-ту з (4),

шгагатк, ке задепгеь від, ^ , тобто

ЄС*,^ * » 1 (.*, ^ ;«Ю •

З (2)^3),(б) Елпдазе. що '

І - ІСж^М —- о ,

ЗЛЕ АЕ.Л *-~о

Чхр "Аїр 1М4С», М - І (.«, Ь'А —"" 0 . *лЄ &Л.А ь~*" о

ІІрішустжо, цо ісзузть га:-:і я~рг С(*, ^ ти ОС-л,^ ;

и.ЛО.яо *

V»» илр 1 (*, 'V* " 6. (.*, - С (х^АЛ\ —*• о

«ІА?Л 1-0

*М£і 5*лр І ^Сіи,^ - - бс*,аМ —».

Зауншшо, ко на підставі (?), (ь)

можна

(О

(7)

(8)

¿а

(9)

(ю)

»/ідо V*© І С, С«■, М 4 ■•''* , хе & Л ’

Ь

£алі, будемо вимагати, цоб

Vx(p vj^» ^ MtC«.,txAC)V —*-0 , (та)

t>o atE у T—-«=•«=>

Ььідсц, зокрема, вашшзае, цо

. «»в «»о

$ G С*,Е » іІН - *ua ^ * ««» .

vna j ц v*,e » «хіх = *ua «cfcfc 0 <wt

Ксзішчіко -•. mix')« ^ FCx.oitH і, нарешті, припусти-

О

150. ЩО

Щ ІлС.-о.'і "> о, (14)

*лЕ

Розглянено банахошй простір Ь , цо складається з обкесе-нкх А ~ вгиірнгх функцій ^ з нормою Ц51* ‘■илЦС.я.'Л . з лдраиз пов'яземо оператори (оі, , ао діють з ®> в

& аа дорцулов

■Ушей (?) еквівалентна тому, цо в оаераторній нормі,

де ояератор Є породауєтьоя граничний ядром ЄС*»^ •

В § 2 доведено операторшй аналог їеореиз Вінера про локальне ОСерЕеВНЯ перетворення Оур’с.

Ыеха2 на вимірному просторі ( Е, JO задачо функції OX*-, A,*} - ®-Cx.\4—когяа з яких e кошілекснозначівюміраоЕа J\x£>, і Л - вимірна функція *t.c , де ї> - Є _ алгебра борелівськЕХ аідкножн R . Для будь-якої • вязначшге

функцію о/а^м = S ^ас ) О , гцо^влзнзчае лінійний, оператор на Е> . ^

Розглянеш m - банахоий простір опэраторозначнлх функцій й(Л^ на Ь таких, що

Ц Q.1 = м-ь ^ \й\ Е; О «U < »« , •

Xfet.**'*

де IQ-1 (х,Е ; О Vw. Q (.*.,£; О - повна варіація мір::

(Нэь.А^О при фіксованих *лЕ , ttR. .

Для О- fc Х(Е>) позначимо Gt(.x') а ^

Теорема 1.1. Нехай послідовність елементів Qh i. ХСЬй зЗі-. гаетьзя в нормі 51 ' W до елемента Сі £ ХСФ) j оператор нешродаенкй при As {.«.,41 ,

^ Ifitl (а, Е ;0 d\.--------- С .

«•tfc Kl*T т —

Тоді зкайдетьоя така послідовність F , Ft , F,_ з X(Ь) s

що

lFh- Fill — о > h —«

[а(ої1 - f (a

r\py ,

Р.рИ Л£.1а,Ь]

для всіх достатньо великих я .

З (із) випливає, що множина розподілів ймовірностей [ї{*г),хії]ь слабко компактна. Позначимо через *ї* слабке зашианкя сукупності *? .

Овпачення І. Сукупність розподілів ймовірностей називається рівномірно нерешітчата, якщо всі елементи множній У ке-решітчаті.

За допоиогос георешг 1.1. в § 3 доведена теорема гапу Блекуєла Теорема 1.2,. Нехай додатково до уїаоз (і) - (14) сукупність РСЗЗОДІЛІЕ ійісвіркос'гей Т * \ с (.'* ,. ^ <*_, Е \ рівномірно

нереаітчата. Тоді .

> - ■ М*'С

&>г. *А; = » <■ Уг'

1-е'

Ц-*-о©

за нормою простору ~дя всіх ь>о. К' *0*^ - -г* Н*\- * 4Ї>.

ІІараграф 4 гр;к2лчекй доведенню основного результату пер-сої глакг.

Теооеіа 1.2. Нзхзй додатково до уі.;ов (_ї) - (14) сукупність розподілів йлоЕІркосїеМ 5”---, £ Р (ж, *ч/, ^ Є рівномірно нерешітчата. Тоді, яісцо рдд '

Оо

к‘*с> 4

зіїгаег^са ріваагірно ко і>о , ,

V*« » -|

ЇАЦ> 6 2 \ Я* Ні с5л*і*'и^\с"*‘ ° *

К*0 К&Си<*бЧ&

І»«І ^ <иС*,и^Ач =сК.*>, vus \ ¿(.»Л < (

і-—Q » і xtï

ТО

- •fc HT' С

few Ut* tjc.x'î

VJ —• 0-0 Ьд—*

рівномірно no ». C t . ■

Друта глава присвячена застосуванню оскозяоро результату зллзеп I - теореми 3 - до стохастично адативниу; функціоналів від напівмарковоькіь-с процесів,

Нехай ( Q, w/Ц , Р ) - основний Змовірносняй простір, £ -метричний повний сепарабельниЯ прсс?іре .А - <а - алгебра його борелівських підмяокен. Розглянемо напівмарковськяй процес ХМ, \ о ,з значеннями в фазовому просторі vt . А) і о тог. а етично адитивний функціонал Ь(4Л , *:> о від нього. Нехай т -момент пераого шрковсьхого втручання з еволоців випадкового процесу ХОЛ А.? о , а Т5 - оператор асуву на ь траєкторії

цього процесу.

В § І другої глави виводиться рівняння для сумісного розподілу величин ХС-0 , SCO . Зафіксуємо *-1Е , дійсне число ,

А , оймеяену складкову яеллчшу Ü , вимірну відносно от - алгебри, да породнується процесом XW, , і покладемо

i>A*lXSU4*V

^U,0 « **ч\»

G(.*, >j А«') я Рл , ti ¿n , XWSt

■ Доводиться.. go задовольняє рівняння марковоького

відновлення (і), а саме

к

Д«, V) •* ^t*,0 * S \ G Сх \(^,Л-ьУ.

Е » '

Б другому іираграуі глаш П розглядаються граничні теореми. Будемо БЕатата, що напішаркозський процес XW , і "»о t оіохасгачно адагишкй йунх-і;іонал від нього S(V>, ^ % о і бєлйчинє 'і залежать від малого параметра і~> О .Відповідно цьому перєяозначкмо .

XW- 4tW, SW‘т‘і\ р,»рх1

Нехай випадковий процес Xt(A\i>o( збігається до деякого випадкового процесу Х0(Л\ о, а моментом перзого :лар-ковеького втручання t* в такому розумінні

£ Ц а К*. М + t "bU, to + оСО, с

рхвкшірио ко хсЕ , А€ >А npis t — 0 . Ssass-

тимемо, що XtW) - Х,Со)

Додатково до цього припустимо, що

Скінчемовшірні уповні ( при умові XtQe^sx, S>tCeVo) розподіли пари {W>, btw\ при tfc1 ' слабко збігаються до умовних. ( яри умові Х,(<Л» х; ^6^

ї>в(.<Л = С>) СКІЯЧеийОЕИИІрНШС розподілів пари [х.СО, *.wi| при kt t* рівномірно ПО X S. Е . I Це означає, що ‘ .

Й?0 Іх^6 А'. • • • к *, v, А^Ч, v,v*V

€ tА„.X.Wn'i4An, *.C4VUt. • • • S.U> f J

в точках неперервності ^д., .. .> Ц граничного розподілу ймовірностей, <л а 1,2,3,...; ь. R. , Д^Д , І» рівномірно по as Е . •

Позначимо nvt*>, -■ і будемо вимагати,

щоб

»і» \ —*■ 5 t

t>o T ** у—«кою

И »*»Cx> - р“ч*>0 , . u%)

xcE attc

і сукупність розподілів ймовірностей ■

{ P* ttf>

була ріькоаірио норааігчакло

Лр::пуст:шо, що рівномірно по хсЕ. існуать границі

tm ir Pj I чч*,», (204)

t-'-e ' ' '

. fete Pj1 \

t~o " ‘ ‘ (¿i}

^6 Ч1 (_*, л~> ', ФСх, t^t\) для вoix неперервно

залежать від * . '

Позначиш •' . .

и*Л ^4 ~ч Itu.M'vu,^ V іилж*,^ -

- І(х,Ю^ Ф(х,^,У> Т>(.х,<Ь£) -V ^ <Кх,^) х1) t)Cx,^,

Е і

■х t. Е , k *■ Л , а через кСх4) оператор.цо породаується ядром КС*, К,х").

Позначшо

Уг< ~ Ub.

ml*.', л ' 1

Теорема 2.1. Нехай виконуються умови (із) - (2Ґ).

Тоді,якщо

^ 0 V & , \.,Ч <■ -— о,

l>b «.t С . ,. ' ' . А.-«-*- о

для всіх 5 >0 , то рііг.оі.'.ір.ю ю с £

Ьп ЇІ\ІХЬІ'ЧА '■ ітн-Чкиі

^ —¿V £*-&■

&Ц-Л- і*

для всіх дійсних X , ІС

о

ДеЛ одого знадітлчяуЛ резудьті,? має гака кіО'-ііл, ліа їїлууелотм, .

Позкачшо через 'ВІЛ') еднорідай марюЕомс і! :лошс з мноятаою станів Е з зтаслошгсчюродаеїтю ® -алгеброю А , що.характеризуються розгоділом 2исБі.;иос.гг2

У\1

Л*0

тта ■ К(, А, * КСх, 14, о') за оззкгтетіяи, і .г.ллі з з іадук-

цісп ;

К'‘ і К").:

Нохаіі ^и\ - ьрагда з. ивтесняаа приросїа»® з ішигкстіО'

‘•іорелоевді ?£(0> , Г.О 1’0і'.рддз;сгься яерси К(х. &,>Л

Це означає, ідо пара ^ X (Л'і Д(лД утгораз одноріднії!: мордовський процес, для якого ’ ' . ' -

рД'ХЛіНЛ , ХІ. Е, ки\.

має вигляд ^ ^ КЛ(жД , . ' .

. - і\*о и* - ‘

Процес ^ називають ще - шрглЕСЬкіі!.*. г.ро: -'¿ои:, од-

норідши-А за другою КОУ.ПОНСІІГОа, _ ;: -. .. •

Далі, нехай при ко;*но«у *л.Є «ара в~гад:о?:ас величин ^С«Л,ЇІ(х^ з значеннями.я досіугиу їлосїоріз Ь >•• розподілена за законом - .

- . • • , . • 0*0 ' - ' ■ -

'. іиіі , !<:£> . -

Будеш вважай:, цо ларн ваяшіпн Д^ІхУ^С-^ ^ п ' ■ . нвзалеяні'в оукуиносгі і не.'заяагагь від процесу ^

Зафіксуємо невід'а*^у .вапераршу' обасавазг Зуівдіа , *;«. €

і покладемо 'г ° ^/ОЦЛУ-. Тоді Т°£*' -В цих шзначзшхях шз'місце • '’ ■ .

Теорема 2,2. ■ Б уаовазе 0? ) -. (£•>) сугдісіг:!! розподіл ’.. вашгаш'- ,; ■; ■' ^■

.'■ ' •' ' ."■

йрп уаові ^ ; слабко збігається до сушеного роз-

ищглугвеятт 'І-.; ../.,! .. : ' .

: І5 ;

при у.МОЬІ У„( «»V ъ при 4 -*-0 VI —- о» , ^ .

Автор приносить глибоку коднку споону науковому керівнику ііро^всору

і'.;.;.Шурейкову па допомогу і постійну увагу

до роботи, ,

Оскомі (іуло.г.о«ня йртаі;ії опубліковані в насгуїшлх

чоЗотах: ■ '

о* ,

1. Іиуронков В.:,:., Догіярь С.Е. Теорема марковського відаовлення у схемі сері.: // АоииптотичшГ: аналіз випадковій оволицій. - Київ: Ін-т математики НАН України,1094. ~ С.270-305.

2. Дегтярь С.Е» Теорепи ыарковського відновлення у

схемі серій.-К., 1924. - 19 а. - (Прєприит /НАН України» Іп-т математики} 94.25). .

3. Шуренков В.М., Дегтярь С.Е. Матричний боскопечію-, норный аналог теоремы Еинера о локальной обращений- щ>еобразования Фурье // Укр.мат.яурн» - Подано до друку.

<тС^т->тсг