Задача зближення для квазiлiнiйних конфлiктно керованих процесiв тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

ОЛ

Академия наук Укра'шй 1нститут шбернетики ¡мен! В. М. Глушкова

На правах рукопису ПИЛИПЕНКО Юрш В^алшович

УДК 518.9

ЗАДАЧА ЗБЛИЖЕННЯ ДЛЯ КВА31Л1Н1ЙНИХ КОНФЛ1КТНО КЕРОВАНИХ ПРОЦЕС1В

01.01.09 — математична мбернетика

Автореферат дисертацп на здобуття наукового ступени кандидата ф1зико-математичних наук

КиТв 1993

Дисертащею е рукопис.

Робота виконана в 1нституп шбернетики ¡меш В, М. Глушкова АН Украши.

Науковий кер1вник: доктор ф1зико-математичних наук,

професор ЧИКРШ АркадШ Олексшович.

Офщшш опоненти: доктор ф]зико-математичних наук ПАШКОВ Олексш Георгшович,

кандидат ф1зико-математичних наук ЛЕВОШИЧ Олег Леошдович.

Провщна оргашзащя: Кшвський пол1техшчний шститут.

Захист вщбудеться ¿Ш-ъ у^*^— 199 Ь р. о год. на засщанш спещал1зовано1 вченоТ ради Д 016.45.01 при 1нститут1 шбернетики ¡меш В. М. Глушкова АН Украши за адресою:

252207 Ки-1в 207, проспект Академжа Глушкова, 40.

3 дисертащею можна ознайомитися в науково-техшчному арх1в1 шституту.

Автереферат розкланий « ^ » 199 ^ р_

Вчений секретар ;. спещал1зовано! вчено! ради

СИНЯВСЬКИЙ В. Ф.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Атуйлън1сть тели. Предметом досл1дження дисертацН е кэро-впн1 динам1чн! процеси, що функцЮнують в умовах конфликту 1 невизначеностЗ.. Для позначення цього кола нитань будемо вживати введений в останн1й чао терм!н - конфл1ктно керован! процеси. Актуальн1сть задач цього напрямку поясгаоеться як потребами практики, так 1 великим "еоретичним Лнтересом.

Досл1дкення конфл!ктно керованих процес!в гочалося пороняно недавно. 1з автор!в далекого заруб!кжя перш за все сл1д в1дзначи-ти робота Р.Айзекса, Л.БерковХца, А.Брайсена, Дж.Варгу, У.Флем1н-га, А.Фр1дмана, Ю.Хо. Розвиток теорИ в СНД в першу чергу пов'я-заний з ¿менами Л.С.Понтряг1на 1 М.М.Красовського. В Укра1н1 провхДн1 позицИ в дан!й о0ласт1 належать Б.М.Пшеничному 1 . .О.Чикр1ю. Великий внесок в розвиток теорП конфликтно керованих процэсхв зробили Е.Ф.М1щенко, А.Б.Курасанський, Ю.С.ОсШбв,

A.1.Суббот1н, Ф.Л.Черноусько, Е.Г.Альбрехт, . В.Д.Батухтзл, М.С.Габр1елян, Р.В.ГамкрелЛдзе, Н.Л.Григоренко, П.Б.Гусятников,

B.1.Жуковський, А.В.Кряжимський, • Е.П.Маслов, А.А,Мел1кян, М.С.Школьський, А.Г.Пашков, Н.Н.Петров, Л.А.Петросян, В.Е.Третьяков, А.Г.Ченцов.

В теорП конфл!ктно керованих процесхв створено ряд фундаментальних метод1в, котр! можна класиф1кувати за напрямками, групуючи навколо стргашевих хдей.

В основу досл1даень Р.Айзекса покладено метод динам1ч-ного програмування, що приводить до основного рхвняння теорП диференЩальних ¿гор - рЛняння Ведана - Айзекса для визначення ц!ни гри. Класична схема Айзекса строго обгрунтована 1 доповнена в роботах Л.С.Понтрягхна. I хоча клас агор пересл1дування-втеч!, до якого можна застосувати цей метод, досить вузький, багаточисленн! зм!стовн1 приклада стимулювали подальший розвиток теорП, пов'язаний з основним рхвнянням теорП диференц 1 альних ¿гор.

ПозицШшй пхдххд при прийнятт! ршень в умовах конфликту розвинутий в роботах М.М.Красовського 1 його учн1в. Рац1ональне

л,

поеднання чистих, зм1шаних стратеги? 1 контрстратег1й в сум!сн! пари дозволяе розглядати в един1й схем! даференц1альну гру зблкження - в1даилення. Для не! визначенх фундамэнталии теореми про альтернативу: для ксжно! по/аткоЕо! позицН коже бути розв'язана задача або зближешш, або- вХдхилення. Основу дього подходу становить побудова спегиалышх множил позиций стаб1лышх мостав, що впираыться в задану ц1льоеу множину. Розв'язок !грово! задач! вводиться до посл!доеного Еибору екстремальних керувань, що утримують траектор!ю конфяхктко керованого процесу на стабильному мосту. Якщо виконана умова хснування с^тоео! точки в мал!й гра, то керуЕання в чистих, змЛшаних стратегиях 1 контрстратеПях за оптимально! поЕвдхнкк грзвц1в приводять до одного 1 того к результату.

Стаб!льн! гранично иирокх.мости у фазовому простор! забез-почують найкрзце рвения позицхйно! дифЕфенгДалыю! гри зближен-ня - вхдаилвння. Але ефективна побудова тати, максимальных ста-(Цльних мост!в для досл1дження рэальккх конфликтно керованизс проц8С1Б досить складна. Зручнхше Оудувати мости, що не е максимальными, але мэють властивост! стоб1пьност1 х дають процедур;! керуЕання, як1'ефективно резл!зуються. Один !з способ 1в побудов:' таких мостэ'в пов'язаний з програмиа: або першим поглинанням. Умови регулярности забезпечують зак!нчення гри за час першого поглинання. При цьому обгрунтовуеться перес-л!дування по крив1й погон!. При розв'язку конкретних задач нересл1дування найб!льш простий 1 ефэктиЕний перший прямкй метод Понтрягана. Цей метод, реализований в ¡спас! кйнтркерувань, дав зручно контрольован! достатн! умови завершения пересл1дування. Завдяки ун1Еерсальност1 1 простот!, пераий прямий метод Понтрягана став в!.дправною точкою для целого ряду плодотворних узагальнонь.

Природним розвитком адей Л.С.Понтряггна е метод розв'язувальних фуикц1й. В основу методу покладено факт взаемно однозначно! • в1дпов1дностх М1Е з1ркоЕЮ.м мкокинами, що мхстять нуль, 1 IX кал!бровочними функхЦями. Суть методу полягае в побудов! за в!домими параметрами процесу деяких числових функц1й, цо Лнтегрально характеризуют стулгнь зблкження трззктор!! з терм!-

нальною множимою i в1д1грають Еизначальну роль при розв'язанн! конкретних задач. Особливхстю методу е свобода у BUOopi деякого борел1воького селектора, в1д якого заложить час закздчення гри.

3 одного боку, метод розв язувальких функц!П е загальним . методом досл1дження конфликтно керованих npoueciB, що може бути застосованкй для розв'язання широкого кола задач. 3 imiioro боку, ■ BiH обгрунтовув вiдоме з практики правило паралельного пересл1-дування для резнях Дгрових ситуации

Предметом досл1Джэння в дан!й дисертацП EiiOpsHi проблеми, що в1дносяться семе до методу" розв•язувальних функц1Я. Зокрема, це випадок квазхл1н1йних кояиених npoueciB. 0соблив1стю цього класу задач е те, ¡цо серед елвмент1Е фундаментально! матркц1 присутн1 тригонометричн1 функцП i pyx Еласно! системи е пер1одичним. Внасл1док цього умова Понтрягана часто виконуеть-ся лише перАодично. Тому потр1бна розробка нового математичного апарата для розв'язання цього класу задач.

Одним i3 вежливих imaciB задач Teopii диферешиальних irop е задач1 групового пересл1дування. Складн1сть задач цього напрям-ку полягае в тому, що в загальШй постанов^ терм1нальна множила не s опуклою.

Яйцо розв'язувальна функция стэь нулем, то застосування загально! схеми методу не дае результату. Однак icHye клас задач, розв'язок яких мокна отримати, якщо застосуЕати такий прийом. Вибираеться деяка пддхожа мкозкина, на котру на пйршоу' eTani переводиться траектор1я конфл1ктно керованого процесу, а пот1м 1з uiei множили заЕвршуеться перэх!д траекторП на терминальну множину. Близька i-дея мае Micue в дослхдженнях Зоннёвенда.

'Пета робот. I.Отримати загальн1 достатн1 умови розв'язання задач! пересл1дування одного керованого об'екта ¿ншим керованим об'ектом; коли умова Понтряг1на виконувться лише перЮдичко. 2.Вияснити умови розв'язання задач1 пересл1дування одного керованого об'екта групою керованих об'ект1в у випадку, коли переел1ду-вач! не мають посПйно! динач1чно! перевага або р1вност1 в динам1чних можливостях nopiEHffiic з у'тхкачем. 3.Отримати загал' Hi достатнх умови розв'язання задач1 зближэння для квазхлхнхйшц npoueciB, що. описуються обертальною динамкою у Еипадку, коли

трздац-Шна розв'язувальна функция тотожньо дор1внюе нулю.

Методика дослЮженъ. В дисертацН широко влкористовуються досягнення теорН багатозначних вддображень. Застосовуються загальн! теореми з випуклого анал1зу, функционального анал1зу, теорП оптимального кврування, теорН дифаретЦальних 1гр.

Наумова новизна. . I.Отримано загальш' достатн1 умови розв'язання задач! пересл1дування одного керованого об'екта 1ншим керованим об'ектом у випадку, коли класична умова Понтряг1на виконуеться пбр1одично. Досл1джено повну конфл1ктну керованЮть процесхв, що описуються коливальною динам1кою. Отримано конст-' руктивн! закони кврування для кваз1Л1н!йних конфликтно керованих продесхв 2-го порядку. Встановлено сп1вв1дношення для гаранто-.ваних час1в р1зних схем пересМдування. 2. Отримано загалыИ доотатн1 умови розв'язання задача перэслхдування одного керованого об'екта групою керованих об'ект!в у випадку, коли пересл!дува-41 не мають пост1йно! динамично! пвреваги аОо р!вност1 в динам1ч-них моашивостях пор1вняно з ут!качем. 3. Запропоновано загальний метод дослз-дження процес1в, що описуються обертальною динам!ког у випадку, коли традицл.йна розв'язувальна функЩя тотожньо дор!внюе нулю. Отримано загальн! достатн1 умови розв'язання задач конф-л1ктного зближення з двохступ1нчатою процедурою вибору кврування.

4.Досл1джено повну конфлгктну керованЮть квазд.лз.найних процесхв. Отримано достатн1 умови розв'язання Ще1 задач! у випадку, коли об'ект, що пересл1дуе, мае динам 1чну пвревагу лише по напрямках, число яких визначаеться розм!рн1стю вхдповодного п1дпростору.

Теоретична { г.рашична ц1нн.1стъ робош. Результата дисертацН носить теоретичний характер 1 мокуть бути основою для подельник досл1джень. Отриман1 конструктив^ закони кврування для кваз1л1н1йних конфликтно керованих процесав 2-го порядку, що рвал1зують задачу зближення з термдяальною мнокиною, можуть бути реализован! на ЕОМ.

'АпробацЫ робош. Осноен1 науков1 результата дисертацН допов1дались на наукоЕОму сем1нар1 кафедри моделювання складних систем Ки1вського ун1верситету ( кер1вники член-кор. АН Укра1ни Бубда Б.М., професор Наконечний О.Г.) (1993р.)) на сем!нарах в1дЩлу оптам1зац11 керованих процес!в 1нституту кибернетики

(I99Ip., 1992р.,1993р.), на ceMiHapi з проблеми "К1бернетика" (1993р.), на симпоз1ум1 "Питания оптюлгзвцН оОчислень" (1993р.)

Иубл1иацИ. Ochobhí результата дасертацН arry&niKcme-ii в п'яти статтях, список яких наведено в kíhuí автореферата.

Структура роботи. ДисертаЦ1Я складаеться 1з вступу, трьох • глав i списку лд.тератури. Робота викладена на 101 CTopiHyi. Bi6-Л10граф1я налхчуе 85 найменовань.

3MICT ДИСЕРТАЦ11 В главi i розглядаються kojmbhí конфл1ктно керован! пр^цеси.

п

Постановка задача. Нехай стан процесу в простор! R опи-суеться диферешиальним рхвнянням

z = A z + ф (u,v) , и € и , V € V , (I)

п

де А- квадратна матридя порядку п, ф (u, v) ,ф : ихЬ R - непе-рервна за сукупнЮтю зм1нних векторнфункЩя - блок керування, и

•п

i V - параметри керування 'пересл:1дувача i втйсача. и, V е К( R ), .

п п

де к( R ) - сукупнд.сть непустых компакт1В простору R .

• о о

Термйзальна множила мае еигляд ы =м +ы, де м —лляШгай

г» OJ_

niflnpOCTip 3 R ,Э М g К( L ),(b=lí ) i до того ж, м Еипукле.

Вибираючи керування у виглядх деяких функЩй, кокний з грав-Uíb впливае на процес (I), пересл!дуючи свою мету. Мета переело, дувач а - вивести траекторию процесу (I) на термхнальну множину за найкоротший час, мета вт1кача - Ед.дхилити траекторй) процесу зхд 3ycTpi4i з термх.нальною множиною на всьому нап1вбезмежному 1нтервал1 часу або, якщо це немокливо, максимально вхдтягнути момент 3ycTpi4i.

Нехай z(0) = початковий стан процесу (I). Назвемо перед!стор1ею керування втхкача в момент t, t > 0, функцию

vt(.)=|v(s): v(a) е V , se tO,t],v(s)- вим1рна J , а

перед1стор1ею керування пересл1дувача до моменту t,t > 0, функц!ю

1^(0= |u(s): u(s) е U , s е [0,t],u(B)- EHMipHa J

Позначимо % оператор ортогонального проектування ia простору

п

R на niOTpocTip L. За допомогою функцИ

W (t,u,v)=rc Ф (t)ф(u,v), t> 0, u <= U,v С V (де Ф (t) = exp(tA)),. утворимо багатозначн1 воображения:

ff (t,v)= U ff (t,u ,v), W (t)= n » (t,v) u e и v ^ v

Улова 1.2.I.

со

dorn W (t)= { U Г t . t 1 } Д9 t =0, t < t

V k=0 L 2k 2k»l J О j j tl

для Bcix j=o,i,2,...

Введемо позкачення:

CO OD

Д = U f t ,t 1 , А = uft . t 1 + k=<-"» 2 k 2k-t-l J — k=ö ^ 2..1-* 2kt2

Улова 1.2.2. Хснуе борел1вське багатозначне Bi-дображення

• (t), Q : Д_ -» K(L ) таке ,що

1) О с n { W (t.v) + Q (t) }

V € v ^ ^

t t 2lctZ 2ktl

2) J Q (t) dt с J » (t) dt

для Bcix t e Д ;

2 k

t , t

ДЛЯ BCiX k=0,1,2,...

Визначимо моменти часу:

t = max [t < t : / Q (t) dt с J W (X) (Л; 1, k = 0,1,2, ...

Заф1ясуемо t e Д ; тод1 icHye таке цале число p > о, що

t e [ t , t 1. Визначимо множили A_(t), Ao(t), A+(t)

L 2p Zp-ri-^

за формулами

A (t)= Vit - t ,t -t ]; A (t)= Vi" t - t ,t - t ],

- k =0 ^ 2k-»2 О k ~ О 2 k +1

Д (t)= и it - t ,t - t } и [ o.t - t 1.

+ k=o 2k*» 2k ^ L 2p»i J

Позначимо для ф!ксованого t , t > о,

Г (t)=

7 (•):

T (t-x) е W (t-x), те Д (t)

+

7 (t-x) = О ,т е [0.t]\ Д (t)

+

- сукутпсть борел1вських селектор1в воображения w (t—с), t>T>0. Зафдлсувавши деяний борелхвський селектор 7 (.) с Г (t),

позначимо £(t,z ,7(.))=ic Ф (t)a +J 7 (t-x)dx.

о

Визначимо розв'язувальну функцию:

sup[020:W (t-T,v)-7(t-x)n а(М -£(t,z ,7(.)))*0 ]

a(t,T.a ,v,7(.))=■ t € д (t)

«v

0,u [0,t]\ Д+(t)

KOTpiÄ в1дпов1дае .час

i

T(z,7(.))=min { t>0: inf J a(t,X,z,v(T),7(. ))dx > 1}

Теорема I.I.I. Heхай конфликтно керований процес (I) знаходиться в початковому положенн! z° i для нього вккона-Hi умоеи 1.2Л i 1.2.2, а також icHys борел1вський селектор

о о о о

7 (t-x), 7 (t - х) е Г (t),t > х >о, такий, що T(z , 7 (.)) <+ю. Тод! траектор1я конфликтно керованого процесу може бути приведена

о о

на терм!нальну множину м в момент T(z , 7 (.)).

Улова 1.2.3. 1снують борел1вське багатозначне вДдображення Q(t), Q : к(Ь) i п1дмножина До множили Д такз., що

1) О с n { w (t>v) + Q (t) } ДОИ sei* t € Д_;

v е V i >

00 о о о

2> V и ■ : п ^ =0 .для BCÍX П * ш;.

к=0

о

3) для bcíx к=0,1,2,___i для ЕС ix г е А2кт1 виконано t2kTl>T;

t

2k.z

4) J Q (г) dt с J W (t) dT для ecüc k=0,1,2,-.. t Д°

ZIc + l Zk+i

Теорема 1.2.2. Нехай конфликтно керований нроцес (I) знаходиться в початковому положен! z° i для нього виконанх умови

о

I.2.I i 1.2.3, а також аснуе борелавський селектор 7 (t - т),

■ о о о

■7 (t - т) е Г (t), t > 1 >О, такий, що Т(а , 7 (.)) < + со -Тод1 траектория конфликтно керованого процесу може бути приведена на терм1нальну множину м в момент т° = T(zü, 70(.))• Позначимо:

P(z) = inf { t > О: n®(t)z с М -J W(t-T)dT;

^ «V

A+(t)

Теорема I.4.I. Нехай для конфликтно керованого процесу (I) BKKOHSHi умови I.2.I, 1.2.2 i для деякого початкового положения z0 P(z0)<+a>. Тода траектор1я процесу може бути приведена i3 початкового стану zo на терм1нальну множину в момент Р (zQ).

t

Улова I.6.I вир inf J aít.t.BjdT = m seßS o

'^еорема I.S.I. Якщо для kohJuiíktho керованого процесу виконанх умови 1-3.1, 1.3.2 та I.6.I, то bíh е керованим. В глав1 2 розглядаеться задача групового первсл1дування.

п. _

Нехай стан процесу z = (z1,...,zv), z. е R ( i = 1,v ).

в простора Rn описуеться диферешЦальним р1внянням

z. = A.zt + <fl(u,v), u e Ü., veT (2)

• Тут A. - квндратн1 матриц! порядку п. , ф. (tL,v) - неперервн!

за сукупн1стю зм1нних вектор-функцП, и. i V - HenycTi компакти.

1 * *

•Термолальна множила М складаеться 1з множин 'lí. ,иу,

* о о

кокна i3 Я2ОТХ представлена у вигляд! м = м + к , де м - л!-

г».

HiüHi пхдпростори i3 R 1 ,а м. - випукл! замкнут! множили, що

1 О Г,

належать ь -ортогональним допорченням до п!дпростору !¿í в я 1. За допомогою функцй! W . (t,u. ,v )=%.$. (t)<pt(u ,v) , t> O, u с U, ve V, (де (t) = exp (tA^), визначимо

багатознвчн1 воображения:

W (t,v)= U W.(t,u.,v), W.(t)= n WJt.v).

u . g U V g V

Улова 2.I.I. dorn W

^ k = o L 2 k zVtí J J

ДЛЯ BCÍX 3=0,1,2,...

4 (t)= { U í tl . tl 1 ). Д8 t =0, t' < t' i ^ k = o L 2k zVti J J o j jfi

Введемо позначення со

д*

' = и Г t' , t ] , д! = и Г t* . t ].

k=0 L 2k 2W1 J k=:0^ 2k*l 2k*2 ^

Улова 2.1.2. 1снують борел!вськ! багатозначн! воображения

V

Q (t), Q : Д_ К(Ъ. ), TBK i ,ЩО ¿ ¿

1) Л { w (t'v) + Q (t) } * 0 для BCiX t e Д_ ; v g v l. i i J

t\ t\ 2k«2 2k»l

2) J q. (x) dx c J w. (x) dx для bcíx k=0,1,2,...

i i.

t t 2 k ♦ 1 2 k

Визначимо момента часу:

• к i

. t

2k +1

t ' =maxít < t* : J Q (x) dx с J W (x) dx 1, * L 2k<< i 'i J

v

t t 2 k ♦ 1

k = 0,1 ,2,...

Заф!ксуемо t e [0,+m ]; тод! для кожного i icHye таке ц!ле

число: Р

120, що I е [ 1 1, або t € Г t Д 1.

Для ТИХ 1, ДЛЯ котрих I 6 [ I , t 1, визначимо множили

I 2р. 2p.fi Л ,

№ I . I

I I "Ч

33 Формулами

р.-1 I ~ •

Л*^ С* )= и |Ч - ,1; - ^ 1; Д*(1;)= и Г t - 1 Л - I ' ],

к во ^ 1к»2 гк-И О к=0>- 2к»1 2к»1^

Т1 -V I , I ,

л (1)= и к - г ,1-1 и од^

+ к = 0 2к*4 2к " I- 2р. *»-!

визначимо

Для тих для котрих Ч 6 [ I . Ь 1,

2р . 2р . »2 I I

I. I ' V

множини Д0), A_^t), Д+(1;) за формулами

д'(1;)= и (Ч - х . - ъ 1 и Г - ± 1, к=0 2к»2 2к»1 2р

V

■ I Р1Г I , "Ч "I-1, -I I .

Д и I ± — ± - t ; Д (1;)= и - 1 Д - Ь 1

С к=с«- 2к»1 2к»1-1 + к=о 2кт1 2к

Позначимо для ф1мсованого t , г > о

71(0:

= О ,Х е [0Д]\ Д Ш

- сукупн1сть борел1вськшс селектор1в воображения »». *;>т>о.

Покладемо 7 (.)=( Т(*),....7(0) , Г (.)=( Г(.).....Г(.)X»

■ 1 V 1 V

Заф1ксувавши деяний борелавський селектор 7 (.) еГЦ),

I

шзна^о 7. (1;-т)<п

с

о

Визначимо розв'язуввльну функцию •

'H(t,T,z.,v,7(-))=

sup[(x>0:W. (t-t,v)-7(t-T)n H.(M-?(t,z ,7(.)))*0 ]

a ■ > ^

т e Д^(t)

0,t e [0,t]\ A^(t)

Покладемо

v

H(t,x,s,v,7(.),a)= V a n(t,i,z.,v,7(«)), 1 i i. i

i=1 V

a g U = | a a = (a4.....a^), a> о |a=i

Визначимо час: т

(z,7(.) )=min {t>0:i- inf шах J" p.(tfx,z,v(t),7(. ),a)d.T < o] L « о

Теорема 2.I.I. Нехай конфл1Ктно керований процес (2) знаходиться в початковому положенн! а° i для нього виконан1 умови

о ,

2.I.I i 2.1.2, а також ¿снують OopejiiBCbKi селектори 7. (t - т),

о о о

7t (t - т) с Г {t), t > т >0, TBKi, що T(z , 7 (.)) < + ю • To;U .ipaeKTopiH конфл1ктно керованого процесу може бути приведена

о о

на терм¿нальну множину М в момент T(z , 7 (»)). Розглянемо частковий випадок, коли ср. (u ,v)=ii- v, и.= ps, v = a s,M = as, n= n.

L I

Покладемо £ (t,z. ,0) = 7й> (t)z..

Улова 2.3.J. Генуе число p<+co : p=min

™ n 1

p>0 ij^t+p-z. ) = £. (t,z. ),V z e R

Улова 2.3.2. '

CO

dom W (t,t)= U Д (k,t) t > 0.,T € [0,t],

ft2k ,t] , t e rt2k ,t2kil),

A(k.t)= [tIk. t,^) , t > t2kri,

0 , t < tik.

Улова 2.3.3. ICHye-9 с [0,p], такв, що Ос int oo £.(0,2^.

Аналогi4HO попередньому випадку визначимо множили A_(k,t), A+(k,t), An(k,t).

Введемо позначення e. (t,z. )=(-£. (t,z.))£ | f.Ct.z^J J для

tj (t) ■= J {o(t-x)-p(t-x)-ü)(t,x)} dx, k=kU).....0.

A_(k,U

Покладемо Q (t)- у (t) S .Визначимо для Tj e Q (t) функцН

2k*» 2k»« 2k»l

-I

Pl (11 )-f?i(t)-l4 II Ii i Mt,z.)i ]

2k»l 2k»i 1 iktl гк»> 'v J

за умови, що. ( т] ,е. (t,zi )) < О,

Pl (Т) )■= f( "Q ** ,е. (t,z. ))+ rt (t)-8 Т] - е. (t,z.)*

2l«l 2kt> 1 2k* 1 2k»l !k«I

-1

«( T) ,e. (t,z. ))J lf I E (t,z. )| 1 ,якщо'(Т} ,e (t,z ))>0,

2kf 4 1 J 2k»»

p (T),. ) =У а f (T} ).

2ktl iktl v >ktl 2k»i

Утворимо багатозначне втдображэння:

в (z)={ 9 :0 6 int oo (?,z. ) j.

В силу умови 2.3-3 в (z) * 0. Вадповздно до умови 2.3.1, яйцо 8, 6 е (z), то для BCix k=0,1... . {-öj+kp } е в (z).. Визначимо розв'язувальн! функцП:

Bup[ p>0: -ц С (t,z ) е W (t,T,v) ] i i i. i ^

при а e A+(t)

О при т e • [0,t]\ A+(t),

fi(t,<r,v,a) - £ац. (t,T,z. ,v). Покладемо для t e 9 (a)

A.(t,z)=1- in/ min max к = к < t >.....с

J p(t,T,z,7Cr),a)dT+yp (т] )

• akti 2bi

Визначимо час: T (z)= min { t?0; t e 8(s):\(t,z)<0 }.

Теорема 2.3.1 Нехай конфиЦктно керований процес (2) знаходаться в полокенн! z°.

I.Виконанх умови 2.3.1 i 2.3.3.

2.1снуе борвл!вська невхд'емна функция u(t,T:),t>'r>0, така, що BiiKOHaHi умови 2.2.2 i 2.3.2.

Tofli траектор1я конфликтно керованого процесу може бути

*

приведена на термолальну множину М в момент т = Г (z) , такий,

ш<. >

що J (J(t.T)dT =1 , Т < fco. о

В глэв1 3 розглядаються конфликтно керован1 процеси з обертальною динам!кою.

Улова 3.1.1. % А = А тс. Улова 3.1.3. W (t) о Для Bcix t > О. . Напхвнеперервне зверху воображения w (t) м1стить хоча б один борел1вський селектор. Позначимо

Г = | 7 (.) : 7 (1) е W (т) | - сукупн1сть борел^вських селек-

To'piB в!дображеннп w (t).

Зафгксувавши • деякий селектор ^ (.) е Г .покладемо

*

£ (t,z,T(-)) = ö (t) z + J 7 (t-x) dx.

о

Введено ровв'язувальну функц1ю: a(tA.z,v,7(ObK4>{a20:[ff(t-T:,v)-7(t-T:)] n a[ M-f(t.z,7(.))]*0}-Визначимо час:

• t

T(z,7(-))= min { t > 0: Inf f a(t,T,z,T,7(-)) «г 1 }.

I- o J

Заф1ксуемо параметр в >o i розглянемо багатозначне воображения

G (в) = | z е Ь : 3 7 (•) е Г , Т (z,7<.)) < в J,

G(0)- не пусте, коыпактозначне 1 для нього справедлив! так! очевидн! спАвводношення: О(в/)со(в2) tet> в2>.о, G(0) М-

Покладемо

ß(t,i,efz,»,7(.))= вир { р>0:[ W(t-x,v)-7(t-x)J n

Л ß[ 0(в) -£(t,z,7(.))]^0 } В!дпов1дао, визначимо час:

*

Т(а,в,7(-))= »In { t > О: Inf J ß(t.T,e,z,y,7(.)) dt > 1 }.

v«. >e il. _

о

Теорема 3.1.I Нехай конфл!ктно керований процес (I) знаходлться в початковому положены! z° 1 для нього виконанх умови 3.1.1 i 3.1.2. Тод1, ящо icHyiorb селектор 7°(.) е Г i момент часу 9° TaKi, що T(z°,e0,7°(.)) < + в, . то траектор1я конфликтно кврованого процесу (I) мохе бути приведена на терм пальну множину в момент часу, цо наложить !нтервалу

[T(z°,e0,7°(.)) . Т^.в^.т0«.)) + 6й ].

Визначимо множину G = | z е-ь : 3 7 (.) е Г , Т (z,7(-)) < +ю

Заф!ксувмо елемант ш е о, позиачимо t(u)= min |t > 0:ш е G(t)j-i покладемо розв'язувальну функЩя piBHifi

P(tfT,s,v,7(-),u)=sup | p>0: p[ 0>-C(t,z,7(-))] e W(t-t,v)-7(M)j.

in вхдповОае час

-fc '.. ~ '

Т(а,ш,7(. ))= mill { t > 0: inf Г e(t,T,z,v,'7(-.),u) dT > 1 }.

I- vt. ie Q >

e V о

Насл1док 3.2.1 НоляЯ конфликтно корованиЯ процес (I) ^находиться в початковому лолс^енн! z° i для нього виконан! умови 3.1.1 i 3.1.2. Тод1, якщо Дсщ'ють селектор 7°(.) е Г i елемент TSKi, що T(s°,Cjj°,7°(.)) < + со, то траектор1я конфликтно керованого процесу (I) мока бути приведена на терм!нальну мнокину в фасований момент часу T(z0,u°,7° (.)) + t(u)°).

Розглянемо задачу про приведения ' траекторН конфликтно керованого процесу (1) на терм1нальну множину, що s

афонним многовидом ( М = М + | га j ) i3 довьльних початкових

положень.

Улова 3.5.1. Генуе константа с >0, така, що для Bcix z g

п 1

R i t е R+ справедлива ¡| % <D(t) z J < 0 || z J.

Визначигло розв'язувальну функцию для ф1ксованого напрямку

g vjSI

a (t,T,e,v)= sup £ а > О: а е g W (t-T,v) J, a (t,T,e)=ini a (t,T,e,v).

vgV

ВЕедемо тикоз ряд позначенъ, необх1дних надал!:

5(t,z,M)= п - тс S>(t) z, t

1

о(Т,^,^,е)= /a (T,T,e) dt , e g S, dim (L)=k.

Улова 3.5.Z. 1снуе Ha6ip вектор1в \ti= ^ e.g CS : i=1,...,k+1 J, таких, що

1. 0 e int со ( e^).

2. Icnys число b > о, таке, що o(T,t1,t0,ei) > L (t4- tc)

i

для ECiX T € ,tl£ tO,T],toe [O.tJ, e. g E^.

Теорема 3.5Л Якщо для конфя1ктно керованого процесу (I ) виконан! умови З.Б.1 i 3.5.2, то травктор!я процесу мохе

бути приведена на терм!нальну множину Ы 1з будь-якого початкового

г»

положения z с R за к1нцевий час.

Основн! результата дисертацИ опубликован! у таких роботах. I.Пилипенко Ю.В. Об одной задаче преследования // Методы решения задач нелинейного и дискретного программирования,- Киев: Ин-т кибернетики им.В.М.Глушкова АН Украины,1991.-С.57-62.

¡г.Чикрий A.A., Пилипенко Ю.В. Конфликтно управляемые процессы с периодическим условием Л.С.Понтрягина // Автоматика. - 1991. -Н4.-С.67-77.

3.Пилипенко Ю.В. К вопросу о полной конфликтной управляемости квазилинейных процессов // Теория оптимальных решений.- Киев: Ин-т кибернетики им.В.М.Глушкова АН Украины,1992.-С.29-33.

4.Пилипенко Ю.В. Конфликтно управляемые процессы с нулевой разрешающей функцией // Теория. и вычислительные проблемы оптимизации,- Киев: Ин-т кибернетики им.В.М.Глушкова АН Украины, 1993.-С.64-67. |

5.Пилипенко Ю.В. «Чикрий A.A. Колебательные конфликтно управляемые процессы // Прикл.матемаг :ка и механика.-1993.-N3.-С.3-14.