Оценки распределения супремума предгауссовских случайных процессов и их применение тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

РГБ ОД

1 7 ОПТ 19,94 киТвський университет

1м. Тараса Шевченка

на правах рукопису Сидоренко Олександра Олександр1вна

УДК 519.21

ОЦ1НКИ РОЗПОД1ЛУ СУПРЕМУМА ПЕРЕДГАУССОВИХ ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕС1В ТАТХ ЗАСТОСУВАННЯ

Спец1альн1сть 01.01.05 - теор!я ймовфностей та математична статистика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертаци на здобуття вченого ступеня кандидата фЬико-математичних

наук

Кшв-1994

Дисертацт е рукопис

Роботу виконано на кафедр1 теорм ймов1рностей та математичноТ

статистики КиТвського унтерситету 1м. Тараса Шевченка.

Науковий кершник - доктор ф1зико-математичних наук, професор Ю.В.Козаченко.

Офщшн! опоненти - доктор техннних наук, професор Ю.Д.Попов; кандидат фЬико-математичних наук ТАОлешко.

Провщна установа - 1нституг юбернетики HAH УкраТни.

Захист вщбудеться Усел&ы^ -,994 рсжу 0

годи ж на засщанн1 спещалЬованоТ ради К 01.01.14 у КиТвькому ун1верситет1 ¡м. Тараса Шевченка за адресою:

252127, м. КиТв, просп. акад. Глушкова, 6, механко-математичний факультет.

3 дисертац1ею можна ознайомитися у б1блгатец1 КиТвського ун1верситет> ¡м. Тараса Шевченка (вул. Володимирська, 58).

Автореферат роаслано 1994 р0ку.

Вчений секретар л

спещалЬовано! ради //о Курченко 0.0.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальн1сть теми

Досл1дження передгауссових випадкових процесс та пов'язане з ним вивчення збЬкност! оц!нок кореляцЮних функц!й е актуальним напрямком в теори випадкових процес1в.

Важливим напрямком теорм випадкових процес|'в та пол ¡в е досл!дження розпод!л!в функц!онал!в типа супремума в1д випадкового процесу чи поля. Для гауссових випадкових процес!в так! задач! були розглянут! А.В.Скороходом, К. Фернком, Р. Дадл!.

В роботах В.В.Булдипна, Ю.В.Козаченка 70-80х рок!в досл!джувалися подбн! властивост1 субгауссових випадкових процесс. Оцжки для розпод!лу супремума передгауссових випадкових процес1в були отриман1 В.О.Дмитровським. Ю.В.Козаченком були одержан! умови неперервност! процеЫв, що належать до простор1в Орл1ча Ьи(0). В роботах Ю.В.Козаченка, А.1.Стадн1к вивчалися оцшки розпод!лу супремума класу К(Я) передгауссових випадкових процес!в й наводилися теореми про умови зб!жност! оцжок кореляцмних функц!й гауссових стацюнарних випадкових процеЫв в норм! простору Орл!ча.

В датй робот! широко використовувалися властивост! квадратично-гауссов их випадкових лроцеав. Так| процес! були введен! Ю.М.Рижовим в 1969 роц!. Треба п!дкреслити, що досл!дженню розпод^в квадратичних форм вщ гауссових випадкових вектор!в був присвячений цтий ряд роб!т. Так, Н.К.Бафов й С.М.Сад1кова одержали нершност! для екстремум!в розпод^в квадратичних форм в!д гауссових величин. Дал1 ф результати були розвинут! в робот! Ю.В.Козаченка, А.1.Стадн1к, де були отриман! оцжки норми в простор! Орл!ча для квадратичних форм вщ гауссових випадкових вектор!в. Продовженням цих роб1т були результати Ю.В.Козаченка, Т.А.Олешко стосовно розподГпу супремума квадратично-

гауссових випадкових процес'ш. Загальж результати в дан)й робот! застосовуються для дослщження швидкост! зб1жносп ощнок корелящйм функцш гауссових стацюнарних випадковгс процесш в нормах простору Орлна.

Питаниям досл'щження оцЫок кореляц'1йних функцм були присвячен1 роботи В.В.Булдипна, М.М.Леоненка, де були наведем гранича теореми для цих оцжок. Результати дано! роботи дозволяють будувати точш в1ропдн1 ¡нтервали й в!роп'дж смуги для кореляцЮних функц'|й гауссових стацюнарних випадкових процес1в, коли ¡нтервал спостер1гання мае довшьну тривапють. Як правило, под1бн1 ¡нтервали будують з використанням граничних розподтш, що не дае можливосл бути цшком впевненими щодо припустимост1 застосування граничних теорем.

Дисертацмна робота присвячена вивченню оцЫок розпод!лу супремума передгауссових випадкових процесс, так само як ! супремум; прирост цих процесш. Процес розглянуто не на метричному простор! з псевдометрикою, породженою процесом, як це було зроблено в роботах Ю.В.Козаченка, А.1.Стадшк, а в основному простора що узагальнюе отриман! раыше результати для певного класу процесш. Кр1М цього, в робол проведено дослщження деяких оцжок кореляцмних функцЮ гауссових стацюнарних випадкових процесш з ненульовим середам й наведен! умови ТхньоТ зб1жносл в р1зних метриках - як в норм1 простору ОрлЫа, так г в ртномфнм метриц). Важливо, що одержан! оцЫки е дограничними, що дозволяв будувати точж в1ропдн1 смуги.

Мета роботи

Мета дисертаци полягае в вивченж оцжок розподшу супремума передгауссових випадкових процесш з класу К(И) (а також Тх прироста) та в застосуванн1 одержаних результате при розв'язанн! задач оцжюванн кореляцмних функцм гауссових стацюнарних випадкових процеав й побудови критерпв перев1рки ппотез про вигляд кореляцмних функщй.

Методика досл!джень

Методика, яку використано в робот1, базуеться на методах теори випадкових процес!в та теорИ простор^ Орл1ча.

Наукова новизна

В дисертацК м!стяться так1 нов! результати:

• отримаж оц1нки розпод!лу супремума класу К(Я) передгауссових й квадратично-гауссових випадкових процес1в;

• отриман! оц1нки розпод!лу супремума приросте передгауссових випадкових процес!в з класу К(й);

• одержан! умови зб1жност! в простор! Орл1ча, а також р!вном!рно! зб!жност! виб|рковоТ та ¡нтегральноТ оц!нок кореляц1йних функщй гауссових стац!онарних випадкових процес!в;

• побудован! критери перев!рки ппотез про вигляд кореляцмних функцм гауссових стац!онарних випадкових процест.

Практична та теоретична ц1нн1сть

Загальн1 результати дисертацИ носять теоретичний характер, але в робот1 показано, як вони можуть бути застосован| в таких практичних розд!лах теорм ймов1рностей та математичноТ статистики, як задач! оц!нювання корелящйних функцЮ й критер!Г перев1рки ппотез вщносно вигляду кореляц!йних функцЮ. Приведен! в робол критери перев!рки гтотез можуть бути реал1зован! як алгоритм обчислень на ЕОМ й е корисними в р!зних прилягаючих до математичноТ статистики задачах.

Апробац1я роботи

Результати дисертацИ доповщалися на Друп'й украТно-угорськЮ конференцпз нових напрямк!в теорм ймов!рностей та математичноТ статистики (Мукачево, 1992), на наукова конференц!Т пам'ял академка М.П.Кравчука (КиТвський пол!техн!чний 1нститут, 1993), а також на ВсеукраТнськ!й конференц!Т молодих вчених (КиТвський ун!верситет !м. Тараса Шевченка, 1994).

Публ1кац17

Ochobhî результати дисертацК опублковано в роботах [1]-[4].

Структура та обсяг дисертацм

Дисертацвд.складаеться |'з вступу, трьох роздмш й чотирьох параграф^, а також з перел1ку використаноТ лтератури, що нал1чуе 41 найменування. Обсяг роботи Ш сторЫок машинописного тексту.

ЗМЮГ РОБОТИ

У BCTyni обгрунтовуеться актуальмсть теми дисертаци, даеться огляд найб'шьш близьких до uieï теми результатш та коротко викладено змют дисертацм.

В роздан1 вивчаються властивосл передгауссових випадковх процесш n(t), введених В.В.Булдипним й Ю.В.Козаченком. Наведено необхщж BiflOMOCTi про npocTip ОрлЫа ь„(0)й npocTip передгауссових випадкових величин.

Визначення 1.4. Випадковий процес n(t), teT, належить до кла1 K(R), якщо ¡снують:

а) функфЯ R(s), Oîs<A, така, що R(0)ï 1, функцю R(s) 6 монотонн зростаючою на [0;А), R(s)t~, коли s-A;

б) норма | | в простор! передгауссових випадкових величин, дл; яко! при Oîs<A, tvt2eT

Такий клас випадкових процесш K(R) було розглянуто в робот! Ю.В.Козаченка, А.1.Стадн1к. Доведено теорему про розподт супремума процеЫв з цього класу. Основным результатом першого роздшу е наступна теорема:

Теорема 1.1.

Нехай n(t), teT, - сепарабельний передгауссовий випадковий процес, що належить до класу K(R)\ r(u) - деяка нев1д'емна монотонно зростаюча функц!я, r(u)t~, u->~, така, що г(«0е опухлою. Якщо виконан1 умови

m

РМ<Д «Ч»-Ч(*> * ФУ, °№0М0; o(e0)«0, де р е(0;1),ев = «Ф„Г|1(')|,

тод! для будь-яких se[0; А/^ ^ o(eiipk'1')), ре (0;1) виконуеться HepiBHiCTb:

I eiv'-'Wv1"')) Ма^инр^Ю^» ï o(€0pt-,»r("1>(—-;-).

I )

t.I

де rl*l> (•) - функщя, обернена до r(-).

Також для х>0 виконуеться нер!вн1сть

I о(еy-'WCey-1»

R(* I 0(6оР*" l))'"i"l)(—-;-).

i-1 . .

J. о^*"1)

1-1

Теорема 1.1 застосовуеться до передгауссових випадкових процес!в з класу K(R), визначених на сюнченновим1рному евклЩовому npocTopi (я',р)3 метрикою p(/,r) « ma^jit1-s -

Як наслщок теореми 1.1 одержана теорема 1.2: Теорема 1.2, Нехай n(t), t е [0;а]'- сепарабельний передгауссовий випадковий процес ¡з K(R)\ r(u) - додатна монотонно зростаюча функщя, r(u) t~, u-»; r(e')- опукла. Процес задовольняе умов1

р("s)íh llO-lto s °(Л); о(й)10,А-0; о(е0)«в>

а також виконана умова

, i

oíe^p'"1)^----) <

Tofli для будь-якого se[0; A/£¡m<¡ а(е0рк'1)), ре (0;1) виконуеться HepiBHicTb:

V'WI'K^V««-«! R(.S £ o(e0Pt"1))r("1)(—-----)■

»•I

i °(VM)

Дал1 позглядаються квадратично-гауссов1 випадков! лроцеси. Нехай 5(í)eR'- векторний гауссовий випадковий процес з М5(г)=0 та ковар1ац'1йною матрицею В(<,s) =М?(»)?(«)• Розглянемо випадковий процес 1(0 Де A(t) - симетрична матриця. Процеси n(t). а також

процеси, яю е границею в середньому квадратичному послщовностей

=5,('И,(05.(')> будемо називати квадратично-гауссовими. Квадратично-гауссов'1 процеси належать до класу K(R) з нормою

I »>(') -ЧW, = Mn(')-r\(s)) й Л(</) = ^ explu3-^- [.

I 3 J

Дослщження такого класу процес¡в мае велике значения для задач оцжювання швидкост1 збЬкносл оц!нок кореляцшних функцм гауссових стац1онарних випадкових процес1в. Як насл!док з теореми 1.2 одержана теорема 1.3.

Теорема 1.3. Т=[0;а]'. Нехай пМ, 1 е [0;в]'- сепарабельний передгауссовий випадковий процес 1з К(Я),

Нехай для довтьних s,t еТ, 0<u<-^ виконан! HepiBHOCTi

м«Р t-Al < *(«) [ VD^WJ

Мехр £ R(u)

{Мт-лт

де R(u) - 2 „рЬ^К

Г 3 J

_ а i

Виконан! такожумови sup л /D(n(f) - пМ) <"(4. г -) < »•

' *■! (2«оР У

Тод'| для ре(0;1), х> G(p)/\/2 виконуеться нер1вн1сть:

' G(p) I y2G(p) J *■« (2«оРУ

де G(p) -

i-i

В другому розд1п! роботи досл!джен1 деяк! анал1тичн1 власти Bocri класу передгауссових випадкових процес!в, зокрема, одержана наступна теорема про ощнку розпод'шу супремума прирост!в процеЫв з цього класу:

Теорема 2.1. Нехай n(t), teT- сепарабельний в (Т,р) передгауссовий випадковий процес, що належить до класу K(R), r(u) - деяка невщ'емна монотонно зростаюча функц1я, r(u)i~, и-», така, що r(e') е опухлою. Якщо виконаы умови

'«/WwiW-nCOi i oQi), o(h)l0Ji-0,

m

та I "(«оР'Ж^ор'*1)) < -

í-t.i

де€о ^^«rinO-lMi. - е„р*м, ре{0;1),

то« для будь-яких se[0; A/2G(p)), ре (0;1) виконуетьоя нер!внють:

Mexp{s *upfM < tlti(í) - i R(2sG(p))x

де г'" »(•)- функфя, обернена до r{-), a G(p)= ¿

Також для х>0 виконуетьоя нерщнють '"bl Р

Р{ ^рс.-)< > *) -«i K(2íG(p))x

2G(p)

o^ÍM^oP1'1)) ♦ 2 £ o(t0,<K*(6y-))|).

1-кЛ I

Як наслщок теореми 2.1 одержано наступну теорему про оц!нку розподш} супремума передгауссових випадкових процеав з кпасуК(Я), визначени: на ск1нченновим|'рному евклщовому простор!.

Теорема 2.2. Нехай n(t). te[0;a]'- сепарабельний передгауссовий випадковий процес з K(R), r(u)- додатна монотонно зростаюча функция, r(u)i», г(е') опухла. Процес задовольняе умов1

suPf-., «»iKO-lWií a(h),

о (A) I О, А-О,

а також виконана умова

Е »«oP'M-i—) <

1-Ы (2е„р )

де

е„ - SUP inO-nMl. " £У'.е*.1<£<£* l.weT

Тод1 для довШьних ре (0;1), se [0; A/2G(p)) виконана HepiBHiCTb Р, '"Р.,-*, < .11(0 > «) «ЧМ "«I R(2sG(p))*

2G(p)[ \-р (2£tPy Д., ^ (2е„р ) J

деС(р)= £

j»ta 1 ~Р

Роздал III присвячено розгляду певних оцмок кореляц1йних функц1й гауссових стацюнарних випадкових процес1в й дослдженню умов Тх збЬкност1 в норм1 простору Орл1ча, а також р1вном1рноТ зб1жност1. Для розв'язання ufcT проблеми використовуються модифковаж результати Ю.В.Козаченка, А.1.Стадни< щодо зб1жност1 квадратичних форм вщ гауссових випадкових векторш в норм1 простору Орл1ча, наведен! в першому параграф! третього роздшу, а також результати перших роздМв роботи.

Розглядаеться £(t), OstsA, Л>0, Т>0 - гауссовий стац1онарний

випадковий процес з ненульовим середшм М5(/) = ш й кореляцмною функщею В(т) = М( 5(<+t)-«)(?(') "«). 5/'), * =ц7- незапежж реалюацИ процесу 1(1). Як оцжку в(т) розглянуто функц1онал

N Т

VT> = ¿Е / < W+ т> -**>«»«

1 О

де

г г

** - «•* = ^ WOA

i О -1 о

Також введено виб1ркову оцжку кореляцмною функци:

-

К а - 1« - la - 1

Хг_Э Е Е Е Е

"" ¡-U'01-tJ-t

kT iT

п п

if.—

п п

ле N.

В другому параграф! одержано теорему про умови збЬкносл оцЫки кореляцмноТ функцм в Hopwi простору Орлна ¿„(Q), породженого S-функц1ею U(x) = е* - 1.

Теорема 3.1. Якщо £(х) е локально ¡нтегровною за Р!маном, то для того, щоб

тт

¿Т-В( г) -—11 £(t s +x)dtds Т оо

за нормою простору Орлна £„(Q), породженого 8-функц1ею U{x) =еп - 1, необхщно й достатньо, щоб

I (Т -и)В(и)<1и

Г4

тт

у |В(/ -г +т)Л</.г

о

ггг

--11цВ(1 +т-и +т) +2В(1 -и) +5(г -х -т)Я(* -и -х)\4и1!(1и-

Г ООО

-о, 7—,

В другому параграф! наведено також приклад побудови в!рог!дних ¡нтервап'ш для В(т). Трелй та четвертий параграфи третього розд!лу присвячеж дослщженню р!Вном1рно1 зб1жност1 виб1рковоТ та ¡нтегрально! оцжок кореляц1йних функцш гауссових стацюнарних випадкових процесш. Основн! результати представлен! наступними теоремами: Теорема 3.2. Нехай е9 = уЮ^^(х)I виконана нер1вн!сть:

'"Р ь /о^г,)-^)) , а (К).

|Т,|«А,* »1,2

Тод1 для ре(0;1), х> С(р)/^виконуеться нертшсть

вир

»-1»-1

де 1(х,р) як функцю в!д о(-), г(-) мае вигляд

Р

к'01-0

Кхр) - 2*

6(р)/ П. \fcGiP) 1

-гтг о(£ор1-')г(-^—)

ОД

Як наслщок з теореми 3.2 одержано критер!й перев1рки Ппотези Н в!дносно того, що для Скт<;Л кореляцМна функц1я гауссового стац1онарного випадкового процесу е В(т).

Критер!й. При деякому р, 0<р<1, що визначаеться з умови мЫ1мальност1 1(х,р), й в1роНдному р[вн1 а, 0<а<1, знаходять значения хв як кор!нь ршняння 1{хр) - а. Ппотезу Н приймають, якщо

*ир

1-осо

< х_

В ¡ншому випадку гтотезу Н вщкидають.

Розглянуто також випадок, коли функцт о(-) мае виглядо(Л) = Сйг, 0<у*1. Мае м1сце наступна теорема: Теорема 3.3. Нехай виконуеться умова

=1.2

|Т1 ~ 12

Тод1 для х * виконуеться нер1внють

Pi sup OsxsA

■ - la - I

W) r i

n t.ll.o "

>x

i A {Ml

2 Г

3 теореми 3.3 випливае критерЮ перев1рки ппотези вЩносно вигляду кореляцмно! функцП гауссового стацюнарного випадкового процесу, що задовольняе наведенм ywoBi. Розглянуто конкретний приклад застосування критер'ио.

Четвертий параграф третього розд!лу повторюе виклади третьего параграфа для ¡нтеграпьно! оцшки. Одержано наступи! теореми: Теорема 3.4. Нехай с0 = sup0ttiA /вг^х) й виконана нер1внють

sup ^B^J-B^xj) S o(h). Якщо виконана умова

l2v4J

тод|" для ре(0;1), х> G(p)/ \Jl виконуеться нер1внють

pj sup OsxiA

В,,/-!)-В(т) *±u£(,-s*X)dtds T «а

Де

-^-Г о^'Х——)

<Нр)1 (оР 2

0(р) = Е 0(е„р*-1).

»-1

Одержано критерм перев1рки ппотези Н вщносно того, що для 0*т<:Л кореляц|'йна функц|'я гауссового стацюнарного випадкового процесу е В(т).

Критер1й. При деякому р, 0<р<1, що визначаеться з умови мМмальност1 1(х,р), й в1ропдному р!вн1 а, 0<а<1, знаходять значения як корЫь р1вняння 1(хр) = а. Ппотезу Н приймають, якщо

¡ир 0£ХйА

В„/_х) -5(т) +—цВ(1 Т оо

< Ж.

гг

В ¡ншому випадку ппотезу Н вщкидають.

Застосуемо теорему 3.4 в випадку, коли функцю о(-) мае вигляд

о (Л) =СЛТ, о<у*1. Одержимо наступну теорему:

Теорема 3.5. Нехай виконуеться умова

Тод1 для х г +У7)2 виконуеться нершнють

5ир

тт

В^х) - В(х) ♦ — (I В(1 -1 * >х |

Т не

Се!

■ - ^ - 1»)Ц(. - ** ^ -1>) -} ^

р

Як наслщок з теореми 3.5 одержано критерш перев1рки п'потез щодо вигляду кореляц!йноТ функцм гауссових стацюнарних випадкових процесш, що задовольняють наведенШ умовк Розглянуто конкретний приклад застосування критер1ю.

РОБОТИ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦП

1. Козаченко Ю.В., Сидоренко А.А. Об одном критерии проверки гипотезы относительно вида корреляционной функции гауссовского стационарного случайного процесса// Материалы Второй украинско-венгерской конференции по новым направлениям теории вероятностей и математической статистики, Мукачево, сентябрь 1992. С. .

2. Сидоренко О.О. Про розподш супремума одного класу передгауссових випадкових процес'ш на компакт! в й'/Деор1я ймовфностей та мат. статистика. 1994. Вип.50. С. 120-125.

3. Сидоренко О.О. Про оц1нки розпод'ту супремума прирощень одного класу передгауссових випадкових процесш// КиТв: КиТв. ун-т, 1994. 14 с. Деп. в ДНТБ УкраТни, N2 778-УК 94 вщ 20.04.94.

4. Сидоренко О.О. Про одну оцшку кореляцшноТ функцм гауссового стац1онарного випадкового процесу та вЦуювщний критерш перевфки ппотези// Прац1 ВсеукраТнськоТ конференцм молодих вчених / математика// КиТв. ун-т.- КиТв, 1994.- С. Ич-Шт Б1блюгр. 4 назв.- Укр.-Деп. в ДНТБ УкраТни, № 1502.-УК д,о.ог.<34.

Сидоренко А.А.

Оценки распределения супремума предгауссовских случайных процессов и их применение. Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.05 - Теория вероятностей и математическая статистика. Киевский университет, Киев, 1994.

Диссертация содержит сведения, нашедшие отражение в четырех опубликованных научных работах автора. Основными резльтатами диссертации являются оценки распределения супремума класса K(R) предгауссовских и квадратично-гауссовских случайных процессов. Теоретические результаты применены для исследования сходимости оценки корреляционной функции гауссового стационаного случайного процесса. Предложен критерий проверки гипотезы о виде корреляционной функции, имеющий практическое применение.

Alexandra A. Sidorenko

On Estimates of Supremum for Pre-Gaussian Random Processes and Their Applications. Manuscript. Thesis for a degree of Candidate of Science (Ph.D.) in Physics and Mathematics, speciality 01.01.05.- Probability Theory and Mathematical Statistics. Kiev University, Kiev, 1994. The results of the thesis were delivered in four scientific papers of the author. The main results achieved are the estimates of the distribution of the supremum for pre-Gaussian and quadratic-Gaussian random processes belonging to the special class K(R). Theoretical results are applied to the investigation of estimates of a correlation function of Gaussian stationary random process and their convergence. The criterion of testing the hypothesis on a type of the correlation function that is useful in some applied tasks is given.

Ключов! слова

npocTip Орл!ча передгауссовий процес

квадратично-гауссовий процес кореляцмна функщя