Предгауссовские процессы и скорость сходимости оценок ковариационных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

2 1-?.

КШВОШ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ иы.Т.Г.ШЕВЧЗНКО

ПРЕДГАУССОВСКИЗ ПРОЦЕССЫ И СКОРОСТЬ сходи,гости ОЦЕНОК КОВАРИАЦИОННЫХ ФУНКЦИЯ

Специальность 01.01.05 - теория вероятностей и катематическая статистика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

СТАДНШ АЛЛА ИВАНОВНА

УДК 519.21

Киев - '1Э£2

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей и математической статистики Киевского государственного университета им. Т.Г.Шевченко

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор КОЗАЧЗШЮ Ю.В. Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

Ведущая организация - Институт кибернетики АН Украины

на баоедании специализированного совота Н 068.18.11 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Киевском государстйенном университете ш.Т.Г.Шевченко.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Киевского государственного университета им.Т.Г.Шевченко.

Автореферат разослан " У " 199&.года.

Ученый секретарь

профессор БУДЦЫГИН В.В., кандидат физико-математических наук, доцент НУРЧЕНКО A.A.

Вшцита соотоится

Н /fu

MGjrrxt- 199 X. го да в SY

часов

специализированного совета

'¡..-ulEtliSi?

^ тдел кхертаций —--Jtf

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ дуальность теми. Диссертационная работа связана с актуа-

льной и интенсивно развивагацейся тематикой - исследованием пред-гауссовских случайных процессов и окорости сходимости оценок ковариационных функций. Объектом изучения являются оценки распределения супремума предгауосовских процессов, скорость сходимости в различных метриках оценок ковариационных и взаимных ковариационных функций гауссовских стационарных случайных процессов, скорость сходикости в норках пространства Орлича бакстеровских сумм гауссовских процессов.

Изучение распределения функционалов типа супремума от случайных процессов и полей является ваяной вадачей теории случайных. процессов. 8ткы вопросом для гаусссвиких процессов аанклались Скороход A.B., Форник К., Дедли P.M./ для процессов типа оубгауссовских отот вопрос раек,'.стран Булдыгиным В.В., Ковачен-ко Ю.В. и Островским ЕЛ1. Распределение супремума предгауссов-CKitx процессов исследовал Дмитровский В.А.

Вопроо о распределении квадратичных форм от гауссовских Случайных векторов рассматривался, в частности, в работах Баки-рова H.H. и Садиковой С.М., где были получены неравенства для экстремумов' распределений квадратичных форм от гауссовских величин.

Исследованиями оценок ковариационных функций занимались Будцыгин В.В., Леоненко H.H., изучавшие предельные теоремы для этих оценок.

В работах Б/лдыгина В.В., Козаченко Ю.В., Курченко A.A., Рыжова E.H., Бесклинской Е.П. исследованы условия сходимости сумм Леви-Бакстера в различных пространствах.

Таким образом, тема настоящей работы явилась естественны* продо.-.яенизм предыдущих исследования. Возникла задача изучения

распределения супремума одного класса предгауссовских процессов с тем, чтобы получить условия равномерной сходимости оценок ковариационных функций гауссовских процессов, а также ва-дача исследования скорости сходимости оценок ковариационных функций, .что позволило бы отроить точные доверительные интервалы и доверительные полосы для ковариационных функций гауссов-ских случайных процесоов при интервале наблюдений любой длительности. Решению втих вадач и посвящена диссертационная работа.

Цель работы.

1. Научение оценок распределения супремума предгауссовских случайных процессов.

2. Исследование скорости сходимости в равличных метриках оценок ковариационных и взаимных ковариационных функций гауссовских стационарных случайных Процессов.

3. Исследование скорости сходимости в нормах пространства Орли-ча бакстеровских сумм гауссовских процессов.

Научная новизна.

1. Получены оценки распределения супремума для широких классов предгауссовских процессов.

2. Исследована скорость сходимости выборочных ковариационных и вваиг з? ковариационных функций гауссовских случайных процессов в нормах пространства Орлича.

3. Исследована скорость сходимости в равномерной метрике выборочных ковариационных и взаимных ковариационных функций гауссовских стационарных случайных процессов.

4. Исследована скорость сходимости бакстеровских сумм гауссовских случайных процессов в нормах пространства Орлича.

"етоды исследования.

При изучении свойств предгауссовских случайных процессов

- э -

использованы методы, равработанные Вулдыгинш В.В., Козачэн-ко Ю.В., Дмитровским В.А. При доказательства условий сходимости в пространстве Орлича оценок ковариационных функций гаус-совских процессов используются методы, равработаннке Ковачек-ко Ю.В.

Практическая и теоретическая ценность.

В основном результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть применены в статистике случайных процессов при решении задач, связанных с нахождением скорости сходимости оценок ковариационных и взаимно ковариационных функций гаусссв-ских процессов, построением точных доверительных интервалов и доверительных полос дйя таких оценок при интервале наблюдений любой длительности.

Апробация результатов.

Результата диссертационной работы докладывались и обсуждались на Республиканском семинаре по теории вероятностей и математической статистике, на научно-методическом семинаре КВТИУ им. И.И.Якубовского, на У Международной конференции по теории вероятностей и математической статистике ( Вильнюс, 1939), на семинаре Республиканской школы молодых ученых ( Алушта, 1350).

Публикации.

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 6 печатных работах.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы. Общий объем работы - страниц

С0ДЕР2АНИЗ РАБОТЫ

Во введении обоснованы актуальность темы диссертационной работы и сформулированы исследуемые вадачи.

В 1 главе изучаются свойства предгаусоовских случайных процессов ^ . В частности, рассматривается распределение супремума одного класса предгауосовских процессов. Основным ревультатом 1 главы является

Теорв.'.'а 1. Пусть , £ £ Т - сепарабельный предгаус-совокий случайный процесо ив класса К '1(и)>0- некоторая монотонно неубывающая функция (1(и)1оо при и—со) такая что функция ) выпукла. Вели выполняется условие А

/ -с ШЫ)сЫ< оо, где £оа ^Р Ц г (VII Л(ь-) - ый-

о 4

ниыалъное число открытых шаров радиуса 1г , покрывагацих про-

отракотво (Т,т) , Ш (£,ЛН/г Н,)- то ЗА?0

р^Со;-!) справедливо неравенство

. м ехр *иР 1гШ1 и к ) I *№и))Н

±ет ] г г о

где - функция, обратная к Х(х) . Выполняется таюсо нера-

Теорема 1 применяется к классу К($■) предгауссовских

случайных процеосов, где Я (и) = (^-и'/х) ^ехр^^-и')

0± и < ^ . Этот класс представляет интерес для исследования условий и скорости сходимости в С(Т) оценок ковариационных функций гауссовских стационарных процоссов.

Рассмотрены также предгауссовские случайные процессы, определенные на конечномерных евклвдових пространствах. Как следствие теоремы 1 получека

- б -

Теорема 2.- Пусть ^ Ц) - првдгауооовокий случайный про-цвоо,Мч(^}'0 ( Ти - единичный кув в Л -мерном ев-

клидовом пространстве о метрикой К/- ¿¿I ),

те <г(к) - положительная монотонно воврастагацая функция, такая что

при К. — О I и выполняется условие

Тогда ЗА>0 Ур€ С°; 0 V 3€ [О1, справедливо нера-

венство . Р| Й &р{-зъ}В(&-)хм((реа) я

+ «О .

5 <Г([А>((11"](ф-4)Г,М*])>

Э, (РЕО (

где , ^ } Ыре.)-** [[[¿в-1-')(ре>))Л <)*).

^ ^ ' и

Во 2 главе исследованы функционалы вида ^ А^ , где

- гауссовский случайный вектор размерности // , М^ = О, ао\/ В,Л = Ц0-^- Ц ^ ~ вещественная симметричная матрица. Уточнение неравенств для вкстремумов распределений квадраткч-ных форм от гауссовских величин позволило найти условия и скорость сходимости формы З^'А^ - М^^А^ к нулю й норма пространства Орлича

порожденного з-функцией Орлича

Теорема 3. Пусть - последовательность гауосояских Ы

случайных векторов ' » ^

при //—оо , осу й^., А/у.= ЦII1 ^ - вещаствонная симметричная матрица, , Ты - диагональная матрица, приведшая матрицу /ч^А^Яд, я диагональному виду» Тогда для того

чтобы II К/ Д -М?' А ,5* II-»О» необходимо и до-11 л/ а' // V ^Лг''.

► оо

- б -

статочно, чтобы М - М О-

При втом справедливо неравенство

3 глава посвящена исследованию оценок ковариационных функций и сходимости в нормо пространства Орлича гауссовских случайных процессов в теоремах типа Леви-Бакотера. Полученные результаты повволяот строить Точные доверительные интервалы для ковариационных функций.

Пусть ^ - гауссовский стационарный случайный процесс, М^+^О»!)^]^» • В качество оценки ковариацион-

ной функции

приншается величина

Справедлива теорема 4. Теорема 4» Если ковариационная функция В (т)

локально интегрируема по Риману, то для того чтобы в норме пространства Орлича, пороаденного э-функцией необходимо И достаточно, чтобы

Вт - I т Дт- ^(В V) +- 8(|(и-г^и. - о

О .

при . В условиях теоремы при справедливо нера-

венство Р{|8М-в.Ы//в?>»]

Пусть ^^ ^ , - гауссовские стационарные случайные

процессы, О, В; М .¿^^.рас-

смотрим взаимную ковариационную функцию

В качестве оценок В, (*") , В^(^) , Ва(т) при с<£ £¿'1' при-

- 7 -

нимаюгся соответственно величины т

Теорема 5. Для того чтобы I -»О приТ->е»,

1 иу

необходимо и достаточно, чтобы 'Т

j (Т- u.] [ß, (Uj fiv tu) + ß(i (u,-v)Jdu-*0

о

при T-* oo .

В условиях теоремы 5 справедливо неравенство

Теорема б. Пусть §(£) - гауссовский стационарный■случа!-ный процесс,

О_

s^p , У M (QlT)-eiv'))1- ¿6-[к], ГД9 (Tili) - положительная

Ir-r'l«h. ~ll \ l n I

монотонно возрастания функция, такая что v) [H-J k U йри k.-» О •

"t(u.J>0 - монотонно неубывающая функция (l[u-jfoo при u.-*<® ),

такая что функция t (е J выпукла. Тогда

Vs€ [О; ) , р€С°>-1), VG<T справедливо одно из

неравенств

Р { g | в Mj>*} 4 ех/> fs*J ß C-^-J'

оо

где А >0 , с,« та * УМ (0$/, (/>£,)» (¿рт^Ч

Рассмотрим гауаоовокий стационарный случайный процесс ,

04 ¿бТ - неэа-

Л п. т

рисиыыа реализации , ¡^Л^^Н^ •

Теорема 7. Для У С. 6 (о(Ч) при 8 Б £о; С-]

где -ОД" ^^(Ч) '

Теорема 9» Для того чтобы при п.-» сю или Т —г со

(г} а) - АМН, -+0 , необходимо и достаточно, чтобы "У ^

О

В условиях Теоремы 6 справедливо неравенство

/ ЗхУ Г /¿^ f Е&м - /ЖтЬ) /

~ ^ I ш,м(¿з^гь +.щм))] ■

Пусть % 14г) - шуссовский нестационарный случайный процесс,

Пф)--0> ОьЫТ , ВМ«М™>за-

"гт4 II 1 ^

висимые реализации § [-У) , 5)= ^ 27 (+Jf/c (ь\) •

Теорема 9. Для того чтобы [| (4г; б)-

V

необходимо и достаточно, чтобы

В условиях теоремы 9 справедливо неравенство

< 4от{-щ^щ-

' Зх^-а^М -в/*;

где

Пусть гауссовский случайный процесс, »

04 ^ ^ I ковариационная функция. Осуществим равбиение

г т , £«ч1 , (1) .

отрезка г0 4... ^'^кп, = т тая, что

тих. I ~ ^ 0 при п.—<*> » Построим

-1' (С И (С)][! (С ♦ г) ■КГЧ •

Теорема 10. Для того чтобы | 'Х'а~ М У!,Л О "Ри оо , необходимо и достаточно, чтобы У

В^ЕГ {[ В (С'; $) ~ 8(С ; -

1 = 0 ¿'О I- ° ° .

-В

+[В (С ; # 8 (С; - в +

при а—сю . При справедливо наравенство

в Тм

В ваключание автор выракает благодарность своему научному руководителю профессору Коваченко Ю.В. sa постоянную под-дернку и внимание к работе.

Ооновныэ реоультаты диосертации опубликованы в следущих работах: - --

1« Кэваченко Ю.В., Стадник А.И. О скорости сходимости в некоторых пространствах Орлича скалярного произведения гауссов-ских векторов, У Кекдународная Вильнюсская конференция по теории вероятноией и мат.статиотике. Тезисы докладов. Т.Ш. Вильнюс, 19Э£, С.Е96-££6.

2. Коваченко Ю.В., Стадник А.И. 0 сходимости некоторых функционалов от гаубсовских векторов в пространствах Орлича// Теория вероятностей и мат»статистика. 1991. Вып.44. С.80-87.

3. Коваченко Ю.В., Стадник А.И. Предгауссовские процессы и сходимость в С(Т) оценок ковариационных функций// Теория вероятностей и мат.статистика. 18S1. Вып.45. С.54-62.

4. Стадник А.К. Уоловия сходимости оценки дисперсии гауссовских стационарных случайных процессов в пространствах Орлича// Вычислительная и прикладная математика. 1991. Вып.73._ C.-tûd-fO?-

5. Стадник А.И» 0 скорости сходимости оценок ковариационных функций гауссовских "случайных процессов. Киев: Киев, ун-т, 1991. 8 С. ton. в УкрНИИНТИ'03.06.91, К 794.

6. Стадник А.И. 'О скорооти сходимости оценок -взаимных- ковариационных функций гауссовских стационарных■случайных процессов. Киев» Киев, ун-т, 1S91. 6 с. Деп. в УкрЮШНТИ 03.06.91, К' 795. —

Пода, в печ.13.01.94. Сормат 60x84/16. Бумага тип. Oie. печать. Усл.печ.Л. С,7 . Уол.кр.-отт. 0,7. /Ч.-изд.л. О, С-. хлра;;: XU0 зкз; оак. /Д. . Бесплатно._:_

Отпечатано в Институте математики АН Укрупни. 2523и1 Киев 4, 11311, ул. Репина, 3