Качественные эффекты в оценках скорости сходимости в центральной предельной теореме в многомерных пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

у\ и

РОССИЙСКАЯ АКАдаИЯ нш

клтлпгчэскиа институт шшж в.а.стемоба

На правах рукописи

СЕНАТОВ Еладгзлф Васильевич

УДК 519.2

1й1ЧЮТБЕНКЬ13 Э852КГЫ В ОЦЕНКАХ С1ЙР0СТЛ СХОДШОСТН Б ЦЖГРАЛЬЬШ ПРИЦЕЛЬНОЙ ТЕОРЕЬЕ В ШПШШХ ПРОСТРАНСТВАХ

01.01.05 - теория вероятностей к аатецаткческая статистика

Автореферат

диссертахш. на со:гскан;:е ученой степени доктора ;л!з:«ш-матемгтнчес!шх наух

.'.сскза - 1993

Работа выполнена на кайедрз теорш: вероятностей механико-математического ¿акультета ОТ ш. К.В.Ломоносова

Л

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ: доктор фкзг.ко-матеиатических паук, профессор А.Н.Ш);ряев, доктор йизкко-математкческих наук, профессор ВЛ>;.Круглов, доктор пизг.ко-патецатичесюк наук А.1Э.ЗаГщез

Ведущая организация - Институт математики СО РАН

Зацгта состоится "44." ¡-г &л/уз А 1953 года в 14 часов на заседании.специализированного Ученого Совета Д.032.33.03 при Математической Институте ш. В.А.Стеклоза РАН /г. ¡.'.осква, 117955, уд. Вавилова, 42/. С

М И Ря-Н

Автореферат разослан "14." (ЫежА^^А 1992 года

Ученый секретарь специализированного совета доктор йкзЕко-ыатеыатаческих наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТЫ

Актуальность теми. Работа посвящена изучении оценок скорости сходимости в центральной предельной теореме /ЦПТ/ для суш независим: случайных величин, принимавших значения в гильбертовом пространстве . Начиная с 60-х годов эта проблема была предметом исследования многих авторов, в работах которое наряду с улучшением результатов друг друга развивались а мет оды доказательства оценок, но лишь в последние года балл получены результаты, правильно отражающие существо дела. Особый гатерес к этой проблеме связан с тем, что при переходе от конечномерных евклидовых пространств Ь / к - размерность пространства/ к бесконечномерному пространству з оценках скорости сходимости в ЦПТ возникает ряд качественно новых явлений, которых нет в конечномерном случае. Наличие этих качественных эуТ.ектов, с одной стороны, породило ряд существенных технических трудностей при доказательстве оценок в пространстве , но, с другой стороны, после того как эти эбйехзы были осознаны, позволило предложить новые постановки задач для конечномерных распределений и получить в этих постановках результата-* существенно уточняйте ранее известные оценки.

Цель 'работа - изучение оценок скорости сходимости в ЦЫ для нормированных супя незазше.шых одинаково распределенных случайных величин, принимающих значения в пространстве ¿г • Предполагается конечность второго момента нормы сумшфуемых случайных величин. Предельным распределением для распределений нормированных сумм /при росте числа слагаемых/ является нормальный закон, Исследуется близость допредельных и предельного нормального распределений для шаров в пространстве ¿ч .

Методы исследования. Метод доказательства оценок основывается на методе метрик /методе метрических расстояний, метрическом подходе/, предложенном В .Ы.Золотаревым в 1975 г. Говоря самыми общими словами, суть этого метода состоит в том, что для решения задач аппроксимации, постановки которых носят метрический характер, в качестве рабочего аппарата предлагается использовать ыетрикн, ймь может, специально подобранные для данной задачи. Такие специальные метрики для задач, связанных с суммированием независимых случайных величин, были такае предложены В.К.Золотаревы« и получили название идеальных метрик. С формальной точки зрения, использование вдеашшх метрик позволяет сводить задачи об оценках скорости сходимости в ЩТ к задачам об оценках производных тех юш иных шункци?.. В ряде доказательств используются элементы известного метода композиций.

Научная новизна. Б работе получены следующие основные результаты:

1. Для шаров с произвольными центрами в при ограничениях на радиус шара Л получены оценки скорости сходимости в ЦПТ, которые остаются содержательными при выратденик ковариационного оператора суыдгруешх случайных величин. Ери конечном третьей 1ло:.;енте ножи исходных случайны:: залтш эти оцен-кп сохраняют "естественный" порядок п, / уъ - число слагаемых/, если при вырождении ковариационного оператора оказывается отделенными от нуля шесть его собственных 'значений. Если при вырождении ковариационного оператора .остается отделенными от нуля его собственных значений, то порядок оценки -

клГ /,г ; этот порядок является правильным. При изменении радиуса пара от 00 до О оценка скорости сходшости ыеня-ется от тривиальной, что связано с существом дела, до величины

порядка уС '1, где уу, - количество компонент нормированной сунт /в базисе из собственных векторов ковариационного оператора/, для'которых имеются нетривиальные оценки Берри -Эссеена. Это также связано с существом дела.

2. Получены новые неравномерные оценки скорости сходимости в ЦПТ в &1 , улучшающиеся при удалении границы шара от начата координат в . Эти оценю! существенно использует информация о том, содержит шар начало координат, или нет. Для некоторых шаров, не содержащих начала координат, оценки улучшаются при некоторых вырождениях ковариационного оператора.

Теоретическое и прикладное значение исследования. Результаты работы носят теоретический характер. Они показывает, что оценки скорости сходимости в ЦПТ в шогшерных пространствах существенно зависят от используемой информации о распределениях суммируемых случайных величин и о мнозестаах, на которых сравниваются допредельные и предельное распределения. Б частности, даке форма правильных оценок существенно зависит от этой информации. Эти факты иогут найти пршенение при построении оценок скорости сходимости в Щ!Т, шеирк прикладное значение.

Апробация работы. Результаты работы докладывались в разное время на Международных Вильнюсских конференциях по теория вероятностей п математической статистике /1985, 1989гг./ Семкарах по устойчивости стохастических иоделей/1933, 1985, 1983, 1983, 1991 гг./, Первом Всемирно;.* конгрессе Общества Еерпулли /1936 г./, семинарах з Т5ГУ, на школе-сешяаре "Предельные теоремы и непаракетрическая статистика" в Бклефельд-скои университете /ФРГ, 1992 г./ и др. По теме диссертации опубликовано 13 статей.

-б-

Структура я объял "работа. Диссертация состоит из Введения, трех глаз и списка литературы. Объем работы - 323 страница машинописного текста. В списке литературы - 73 наименования. Во Введении /56 стр./ приводятся постановка задачи, история вопроса, формулируются результаты работы и кратхго говорится о методе доказательства оценок. При обсуждении метода доказательства основное внимание уделяется вопросу о тон, почему од1м из наиболее мощных методов доказательства оценок - метод кошозпцпн-не мокет бить использован в бесконечномерном случае. При обсуг-дениг г.сторкг вопроса особое внимание обращается на то, как использование зсе большей ш^ораацш- о распределениях исходных 'случайных зел!:чкн, которую удавалось зключить в оцени:, приводило к уточнению оценок скорости сходимости в цПТ. Во Введении обсуждается п вопрос о качественных отличиях сценок з конечномерной г: бесконечномерной случаях. При это;.: демонстрируется, что отличие град-щиокшж оценок в конечномерной случае и з

случае пространства ¿г состоит в той, что традиционные оценки/ _ к

в Ь /справедливце для шонаства всех иароз/ используют информацию о минимальном собственном значении козариашоклого оператора слагаемых случайных величин, а в бесконечномерном случае использование згой ;шйориацин невозможно, так как последовательность собстзз.чнмх значений ковариационного оператора ■ стремится к нулю. Оказьзается, что это влечет такие качественные отл;гчия в оценках в ь" к в , как зависимость оценок в ¿<1 от радиуса ыара Р /или от полокеши его центра/, разное порядки оценок при различных вирогденкгх ковариационного оператора и т. д. Обращается внимание и на то, что при уменьшении радиуса сара оценки могут. улучшаться /этому не уделялось внимания с оолыякистве работ, посвященных конечномерному случая/. Во Введении тайге говорится о том, что пос-

талоаки задач, естественно зозникащпе в бесконечномерном случае, йогу? к для конечномерных случайных величин давать результаты, существенно уточняющие те, что были известны ранее. Бо Ввзде'гаи обсуждается и всгтрос о так паЕНваемых неравномерных оценках, ?. е. об оценках, улучшаищкся при удалении границы пара от начаяа координат.

Е ï'jiase 1 /125 стр./ доказывается оценка скорости схо-дикости в ЩГГ, рсгкоко*«ая по полскенпэ центра шара в l>¿ ♦ Вспомогательные результаты, треб;,поциеся прп доказательстве этой оценки. стор;(улирсзаны и доказаны в глазе 2 /55 стр./. Глава 3 /3? стр./ посвящена доказательству "неравно:lepraix" оценок.

СОДЕЙШШ РАБОТЫ.

Пусть X¿, , .. • - независимые одинакозо распределенные случайные вел::чиш, прпш-машцие значения в гильбертовом пространстве Сх - Предположи /без ограничения обп^ости/, что G Х^О к êIXj.11 < ^ , где 1-1 - норма в -4 . Обозначь Р - распределение X i , Р^, - распределение Ъ н -(X• • • + X ^ ) и.", G*, ^ j .,. - собственные числа ковариационного оператора G> распределения Р , которые без

х 1

ограничения общности ¡лояно считать-упорядоченными - -г S ^ Ы" - нормальный закон с нулевым средним и ковариационным оператором 8 . Пусть ¿дЫ-fx: l-x-akRj- иар радиуса ^ с центром а з ¿í . Хорошо известно, что при и.-»^- Обозначал tí), где b-Jv) - идеальные

метрики, введенные В. Золотаревым, , где^чГ-,-1

- равномерное расстояние по классу выпуклых борелезсгаос подмножеств , I* i* PfoM след

О > i ZI 1

оператора tá •

Нас интересуют оценки величины

д^ = (Р,^ - | Р^С^М)- /Я

Наряду с Д „ будем рассматривать расстояния

Пол озим

Х;-Х:(и\ = - ^ + , г = 1 2 •••

г г 1 с* ..„V, > ->

г = ь («, УЛ = ( а 5^ (а ^УС

I: зафиксируем некоторое /достаточно большое/ число ^ > О • Символами С) С- далее обозначаются постоянные, через с Л-• ) обозначаются величины, зависящие лшь от аргументов, указанных в скобках.

Теорема 1. Для люйвс (Ч Ь-0 . яг^ и. 5 1 6

. 1 1 ! = £ ' 1 У

Теорема 2. Пусть для нара велечика - (А1- ¡3 ><9.

Пусть- ~ дисперсия проекции Р на подпространство

{ ^ . Для лэ&гх и г= ^^ 3 л у

Ух , нг 2 величгаа

Ъ3

г

^г^

где

х

4-

/ , ^ |Ос,.

Величину иог.ло заменить на + <5 е .

Теорема 3. Пусть произвольный шар в

Для любюс Ц^бгЗ,^1^

^ л (с(ц < Р) /Г V^

где б и у^ - те ге, что и в теореме 2,

Величину г.с~чо заменить на ^ + ^ .

Сфорглулгауе:.: несколько следствий теорем 1-3. Следствие 1 теоремы 1. дня любого

г;")

Дня получения огтыально^ оценки здесь следует положить

-;е обращать внимание на

V. - I ; •. Ц- /если не

.завдеггюстьс(!«>от к/. Неретеиевво б^Ч^и"*-! мо;лш шггерпре-ткровать ка:: условие нетпншк:сста оцешш Берзи - Зссеена для к -й компонента вектора базисе из собственных

векторов нов аркалк шн ого оператора. Ка рис. 1 отаечеш точки, б которых меняется вид функции ^ и указага значен-дя |к(й]в интервалах менду эткш точками.

Следствие 2 теореиы 1. Для любого -1 £ \<

в частности, . А

При к^ 5* порядок этой оценки /по 'а / язляется правильным /4/, приV-!}главный /по и / член оценки является правильным /б/. Следстзие 3 теоремы 1. Величина

, 5 с {,

)к и У 1.

Распределения л/" могут быть близки как з силу

того, что велико количество слагаемых и. , та:; и в силу того, что исходное распределение £? близко к нормальному закону /V" . Этот такт и отражается в последнем неравенстве. Следствие теоремы 3. Для любого 4. к -ь Ь

Ч'а О а«*

<5 4

-У, а И- 1

.»<5с I

ПрнЦ-гб этот результат совпадает с оценками других исследователей, получившее неравенства, равномерные по радиусу

tí

"чЧ

.f

.Г*

*<í

rr_ u

¿í

cüto

•V

'•С O

*

e. *

X

1 ь

-W

•c b

"

"rv; b

ГЧ

o

i5

- u-

í,] r

У1

o •s -cf to

íüj. Oí

u>

ú Ö

*C| „ "s if

U>

o u «1 iT

ъ •c b"

tü

15*

»¿¡"s

■—" i 15

jrft чу » ü

<fc

WM* M

^ic?

¿B

lia

i i .3

шара R/Б.А.Залесский, В.В.Сазонов, В.В.Ульякоз и С.В.Нагаав/.

Отметим следующие качественные эффекты, присутствующие в приведенных оценках.

1. Аппроксимация распределения нормальный законом tf в /а также в конечномерной евклидовом пространстве fe1* / для шаров с ограничениями на R. или \я\ имеет места и при

ОТСУТСТВИИ раьНОыеуНОИ аЛПиОхСИмаЦИи. мОуиаДЬышМ Зав-ОнОЫ для

отдельных компонент вектора дазе для всех, начиная с

некоторой/. Так, в следствии 2 теоремы 1 компоненты с

номерами, большими U , могут не аппроксимироваться нормальным законом. Этот Эффект имеет место Ддя всех оценок скорости сходимости в ЦП! в ¿г , в котошх используется конечное число собственных значений ковариационного оператора. Для традиционных оценок в конечномерном случае разномерная аппроксимация распределений всех компонент вектора Ненормальным законом является необходимым условием.

2. На порядок /по w, / оценки влияет информация о ковариационном операторе, которая в ней используется /следствие

2 теоремы 1/.

3. При отделении от нуля двух и более собственных значений ковариационного оператора оценка улучшается при

О и для очень малих радиусов оценка ;.:о::ет иметь более высокий порядок стремления к кулю, чем к ^ £ пространстве

к в пространстве Е'пр:; неиспользовании информации о минимальном собственно:: значении ковариационного оператора оценки порядка пГ^'для <="=/, если они есть, обязательно зависят от R гак от 1с.1, , причем при больших R или [а \ оцен-

Z з

ка ухудшается как R или 1я1 /6/.

4. При одном и той se расстоянии от начала координат в

¿

■о j. до грданц?.! шара оцен:-:;: для шароз, не содер^а^их начала

коордшат в , могут бить существенно точнее оценок в общем случае /т.к. в теореме 2 используется величина ^е , а в теореме 3 - (5 /.

Бо Введении оОсуздаютсп к другие качественные эоЯекты в оценках скорости сходимости з цПТ, связанные с использованием различной информации о распределении £ и о множествах, на которых сравнивается в .

По теме диссертации опубликозакы следуззщие работы:

1 Сенатоз В.В. Некоторые юскнке оценки скорости сходимости в центральной предельном теореме в г:гльбертовом пространстве //Доклады АН СССР. - 1931. - Т. 255, Р б. - С. 1318-1322.

2 Сенатов В.В. Об оценке скорости сходимости в центоальной

сопредельной теореме по системе паров в К //Теория вероятн.

и ее пршен. - 1933. - Т. 25, в. 2. - С. 440-445.

3 Сенатов В.В. Одна оценка метрик: Леви - Прохорова //Теория вероятн. и ее прзиен. - 1984. - Т- 29, в. 1. - С. 103 - 113.

4 Сенатов В.В. О порядках оценок скорости сходшости в центральной предельной тесреме в пкъбертозом пространстве // Проблемы устойчивости стохаотг-гесгак моделей. Труды семшара. -1984. - К.: ШИига. - С. 126 - 135.

5 Сенатоз В-В. 0 зазисшостп оценок скорости сходимости в центральной предельной теореме от ковариацинного оператора 1лагаеьшх//Теория вероятн. и ее примен. - 1935. - Т. 33, в. 2.354 - 357.

> Сенатов В.В. Четыре примера оценок в многомерной

;ентральной предельной теореме//Теср:к вероятн. и ее пркмен. -985. - Т. 30, в. 4. - С. 77Э - 772.

Сенатов В-В. Об одной оценке скорости сходшости з централь-ой предельной теореме по игра:.! в конечномерно.'.! пространстве//

Берояткостные распределения и пат е.чатиче с кая статистика. -Ташкент: ФАН. - 1986. - С. 421 - 435. 3 Сенатов В.В. О зависимости оценок скорости сходимости в центральной предельной теореме по шарам с центром в нуле от ковариационного оператора слагаемых//Теория вероятн. и ее придан. - 1936. - Т. 31, в. 1. - С. 128 - 122. 9 Сенатов В.Б. Несколько замечаний о неравномерных оценках скорости сходиыости//Теория вероятн. и ее припек. - 1983. -Т. 33, в. 3. - С. 573 - 577.

ю Senatov V. V. Он ike. VbtirviAie с $ tUe habz. о £

C6Wглупее. Jn U,e cent'i.Q.l iinlt i-beaterи H Hafeit =>p«ee ^loUe^J, b* biccka^tic

Su !<t,u.m; 13??,-Lect. tfabe.4. V. 1412

и Sptu'n^e* £, 305-22?.

11 Сенатов В.В- Об оценке скорости сходимости з центральной предельно:: теореме в гильбертово:.: пространстве//Теория вероятк. и ее пршен. - 1989. - Т. 24, в. 2. - С. 412.

12 Сенатов В.В. Несколько замечаний об оценке скорости схо-дшости в центральной предельной творено в г::льбэртовом

. пространстве//Теория вероятн. i: ее пршен. - 1991. - Т. 35, в. 2. - С. 332 - 336.

13 Сенатов В.В. Об оценка:: спорости сходз^сстл в центральной предельной теоре;.:е в шогомэршх пространствах//Теория вероятн. и зе пркыен. - 1992. - т. 37, в. 4. - i;. 7сЭ - 762.

14 Сенатов В-В. Качественнее елфеетл в оценках скорости сходимости з центральной предельней теореыа в шогс:.:ердах пространствах//Рукопись депонирована, в ВЖСИ, per. S400-B92, 323 с.