Точность аппроксимации многомерными устойчивыми законами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

1. ВВЕДЕНИЕ

Глава I Определения и свойства многомерных устойчивых законов устойII,Оценки дяя расстояния по вариации скорости сходимости к многомерноглу чивому закону Г Л А В А I I I Оценки интегрального типа в тер1№нах псевдомоментов

lu риации, полученную в работе [V2] справедливую при достаточной малости урезанных псевдомоментов, Теорема С В. В, Сазонов, В. В, Ульянов [72] Пусть распределение х имеет нулевое среднее и единичную ковариационную матрицу I 1 rt распределение нормированной суммы Yi стандартный гауссовокий закон, l,-J|x||£-N|(dcc)ajN|f-N|(da). Существуют положительные постоянные ц, Q такие что если 1г?-(к:+3)Ук: а С то Оценка в равномерной метрике, полученная в работе £43] приведена в диссертации в главе 4, Предложение V-i-Оценка для расстояния по вариации найдена нами впервые, менее общие оценки интегрального типа рассматривались В.Г.Миранцевым и В.В.Ульяновым [ЗО] С однако, доказательства в [ЗО] содержат существенные пробелы). Оценки скорости сходимости к устойчивым законам строились также в случае банаховозначных случайных величин В.И.ПаулаускасомЦзб]-, однако полученные там результаты в применении к конечномерному случаю дают оценки более грубые, чем полученные нами. Идеальные метрики в задачах аппроксимации распределений сумм нормированных случайных величин были введены В.М. Золотаревым [19] и использовались для оценок скорости сходимости в гауссовском случав [43 В случае предельного устойчивого закона идеальные метрики используются нами впервые. Введение урезанII ных поевдомоментов и идеальных метрик позволило повысить точность аппроксимации. Для вероятностных распределений г и ф ющие метрики: равномерную метрику определим следугде А принадлежит классу 11 всех выпуклых борелевоких множеств о К. и идеальные метрики где S 5> о класс всех таких дейотвихельных фикций -(c на d fc) что \%Н%)\ \oi->f j 4- це— у лов число Jf и 0<р>4. таковы, что "PS производная в смысле Фреше Сом. 25 Между рассматриваемыми в диссертации характернотикавди имеют место следующие соотношения: -?0(Р,Ф) 1Р-Ф1(Г) з(Р.Ф),< Г(5) Г($) I SK У Г для любого (У/0 и натурального К1 В настоящее время представляет открытый вопрос зависимость постояшшх в оценках различного типа от размерности пространства и параметров устойчивого распределения, в частности, от свойств спектральной меры. Ответы на некоторые вопросы были даны В.И.Паулаускасом в работе 36] В диссертации проведено исследование зависимости постоянных в оценках от размерности пространства для сферически симметричных устойчивых законов т.е. случай спектральной меры, равномерно распределенной на единичной fC-мерной сфере S и дано сравнение с гауссовским случаем. Аналогия в оценках обеспечивается тем фактом, что любой многомерный сферически симметричный устойчивый закон является гауссовской смесью. Перейдем к краткому изложению результатов диссертации. Пусть GyfOCpA) -невыровденный устойчивый закон в К. о показателем oL О об 5. параметрем (ШТА ,\У0, (1=0 спектральной мерой Г заданной на единичной сфере S/j. размерности Ю Q(/A) сферически симметричный устойчивый закон с характеристической функцией 3<(Х/А) плотность распределения закона Ьи(ССД) Полоаим &(Х) &-Л(-Х,i) Qjl[Х] QJL(Х,d.) Пусть X.±X$i-последовательность независимых, одинаково распределенных случайных векторов (св.) со значениями в К Р -распределение с в Х и EY-O если существует; Lfi распределение нормированной суммы 1=1 где векторы ДK L имеют вид: M и закон b(ai} симметричен, flEflа WГ(o(u,);o(.=d и закон &dL(oc) несимметричен, 0; W i определим псевдомомент (вариация с весом) и урезанный псевдомомент порядка QtO (здесь и далее всюду знак интеграла без указания области интегрирования означает интегрирование по всему пространству). Положш t \+£<Q и |т|=1,-л ui++Hw-l Через с С обозначаем постоянные, зависящие от величин,стоящих в.скобках,

1. Асриев А.В. Оценка скорости сходимости в метрикев случае устойчивого предельного закона для разнораспре-деленных случайных величин. В кн: Некоторые вопросы прикладной математики и программного обеспечения ЭВМ. - М.: Изд-во Моск.ун-та, 1982, с.69-71.

2. Банис И.И. Об оценке остаточного члена в многомерной интегральной теореме при сходимости к устойчивому закону. -Лит.матем.сб., 1969, т.9, I4, с.731-739.

3. Банис И.И. Об интегральной предельной теореме при сходимости к устойчивому закону в многомерном случае. Лит. ма-тем.сб., 1970, т.10, J£ 4, с.665-672.

4. Банис И.И. Оценка скорости сходимости в многомерной предельной теореме в случае сходимости к устойчивому симметрическому закону. Лит.матем.сб., 1971, т.II, В 3, с.497-507.

5. Банис И.И. Некоторые оценки скорости сходимости в интегральных и локальных теоремах в случае предельного устойчивого закона. Канд.диссерт.- Вильнюс, 1972.

6. Банис И.И. Оценка скорости сходимости в интегральной предельной теореме.- Лит.матем.сб., 1972, т.12, с.41-46.

7. Банис И.И. Оценка скорости сходимости в метрикев случае предельного устойчивого закона.- Лит.матем.сб., 1973, т.13, 1Ь 3, с.45-52.

8. Банис И.И. О неравномерной оценке остаточного члена в интегральной предельной теореме.- Лит.матем.сб., 1974, т.14, 1Ь 3, с.

9. Бенткус В.Ю., Рачкаускас А.К). Оценки скорости сближениясумм независимых случайных величин в банаховом пространстве. I. -Лит.матем.сб., 1982, т.22, Я 3, с.12-28.

10. Банис И., Калинауекайте Н., Вайткус П. О скорости сходимости к устойчивым распределениям в локальной теореме.-Лит.матем.сб., 1971, т.II, с.511-516.

11. Бхаттачария Р.Н., Ранга Рао Р. Аппроксимация нормальным распределением и асимптотические разложения.М.: Наука, 1982.

12. Гнеденко Б.В., Колмогоров Л.Н. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин. М., Гостехиздат, 1949.

13. Градштейн И.О., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, суш, рядов и произведений. Изд. 4-е. М.: Госуд.изд-Ео физико-матем. лит-ры, 1963.

14. Золотарев В.М. Аналог асимптотического разложения ЭднЕорта-Крамера для случая сближения с устойчивыми законами распределения. Труды 1У Всесоюзного Совещания по теории вероятностей и математической статистике. Вильнюс, 1962, с.49-50.

15. Золотарев В.М. Метрические расстояния в пространствах случайных величин и их распределений. Матем.сб., 1976, т.101 (43), й 3 (II), с.416-454.

16. ЗолотареЕ В.М. О псевдомоментах. Теория вероят. и ее примен., 1978, т.23, Л 2, с.284-294.

17. Золотарев В.М. Статистические оценки параметров устойчивых законов распределений. Труды Международного математического Центра им.Стефана Банаха, 1978.

18. Золотарев В.М., Петрова О.Л. Оценки параметров устойчивых распределений. Тезисы докладов Второй Вильнюсской конш.по теории ьероят. и матем, статистике, 1977.

19. Золотареь В.М. Идеальные метрики в проблеме аппроксимации распределений сумм независимых случайных величин. Теория Еероят. и ее примен., 1977, т.22, is 3, с.449-465.

20. Золотарев В.М. О свойствах и связях некоторых типов метрик. Записки науч.семинароЕ ЛОМИ, 1979, т.87, с.18-35.

21. Ибрагимов И.Л., Линник Ю.В. Независимые и стационарно связанные случайные величины. М,: Наука, 1965, с.25-73.

22. Калинауекайте Н. Некоторые разложения многомерных симметричных устойчивых плотностей. Лит.матем.сб., 1970, т.10, В 4, с.727-732.

23. Калинауекайте Н. О точности аппроксимации функций распределения сумм независимых случайных величин устойчивыми распределениями,- Лит.матем.сб. , 1974, т.14, 2, с.41-51.

24. Калинаускайте Н. Некоторые разложения плотностей многомерных устойчивых распределений с показателем Лит.матем.сб., 1970, т.10, й 3, с.491-496.

25. Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы.- М.: Мир, 1971.

26. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей.-М.: Наука, 1974.

27. Лоэв М. Теория вероятностей.- М.: ИД, 1962.

28. Миталаускас А. Асимптотическое разложение для независимых случайных Ееличин в случае устойчивого предельного распределения. -Лит.матем.сб,, 1963, т.1, JS 3, с.189-193.

29. Мальков А.С., Ульянов В.В. О неравномерной оценке скорости сходимости б локальной предельной теореме в случае устойчивого предельного распределения,- Теория Еероят, и ее примен., 1982, с.

30. Миталаускас А. Оценка остаточного члена е интегральной предельной теореме в случае сходимости к устойчивому предельному закону. Лит.матем.сб., 1971, т.II, № 3, с.627-639.

31. Паулаускас В.И. Оценка скорости сходимости в многомерной предельной теореме в случае устойчивого предельного закона.-ДАН СССР, 1974, т.219, В I, с.43-45.

32. Паулаускас В.И. Оценки остаточного члена в предельной теореме в случае устойчивого предельного закона,- Лит.матем. сб., 1979, т.14, № I, с.165-187.

33. Паулаускас В.И. Равномерные и неравномерные оценки остаточного члена в предельной теореме с устойчивым предельным законом. Лит.матем.сб., 1974, т.14, В 4, с.171-185.

34. Паулаускас В.И. Об аппроксимации распределений сумм независимых случайных В-значных величин устойчивыми распределениями.- Теория вероят. и ее примен., 1979, т.25, № I, с.

35. Паулаускас В.И. О скорости сходимости в многомерной предельной теореме в случае устойчивого предельного закона. -Лит.матем.сб., 1975, т.15, J6 I, с.207-226.

36. РвачеЕа Е.Л. Многомерная локальная теорема для предельных устойчивых распределений,- Труды Института математики и механики АН Узбекской ССР, вып.10, ч.1, 1952, с.106-121.

37. Рвачева Е.Л. Об областях притяжения многомерных устойчиеых распределений. Уч.зап. Львовского гос.ун-та, сер. мех.-мат., 1954, т.29, й I (6), с.5-44.

38. Сакалаускас В.П. О неравномерном сближении с устойчивыми законами в пространствах Банаха. Канд.диссерт.- Вильнюс, 1932.

39. СакоЕИЧ Г.Н. Единая форма услоЕИй притяжения к устойчивому закону.- Теория Еероят. и ее примен., 1956, т.1, Je 3, с.

40. Сатыбалдина К.И. Об оценке скорости сходимости к устойчивым законам,- Вестник АН Каз.ССР, Алма-Ата, 1973, $ 4, с.57-65.

41. Сатыбалдина К.И. Уточнение оценок остаточных членоЕв предельных теоремах для сумм независимых случайных Ееличин. Канд.диссерт. Москва, 1972.

42. Сенатов В.В. Равномерные оценки скорости сходимости.-Теория Еероят. и ее приглен., I960, т.25, 4, с.757-770.

43. Стейшунас С.П. Об оценке скорости сходимости в предельной теореме в случае устойчивого предельного закона.- Лит.ма-тем.сб., 1974, т.14, В 2, с.

44. Ткачук С.Г. Предельные теоремы для суш независимых случайных величин, принадлежащих области притяжения устойчивого закона. Канд.диссерт.- Ташкент, 1977.

45. Ульянов В.В. Уточнение оценок скорости сходимости в центральной предельной теореме. Канд.диссерт. М., 1978.

46. Ротарь В.И. Неравномерная оценка скорости сходимостие многомерной центральной предельной теореме. Теория Еероят. и ее примен., 1970, т.15, В 4, с.647-665.

47. Стейшунас С.П. Оценки скорости сходимости в предельных интегральных теоремах в случае устойчивого предельного закона. Канд.диссерт.- Вильнюс, 1974.

48. Прохоров Ю.В., Розанов Ю.А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1973.

49. Паулаускас В.И. О безгранично делимых и устойчивых законах в сепарабельных банаховых пространствах. I. Лит. матем. сб., 1978, т.18, & 4, с.101-114.

50. Рачкаускас АЛО. Замечание об устойчивых мерах в бана-хоеых пространствах. Лит. мат ем. сб., 1979, т.19, £2, с.161-165.

51. Паулаускас В.И., Рачкаускас Л.Ю. О безгранично делимых и устойчивых законах в сепарабельных банаховых пространствах. II. Лит.матем.сб., 1980, т.20, В 4, с.97-113.

52. Фихтенгольц Г.М. Курс д picTxd ер енциал ьн о г о и интегрального исчисления, т.2. М.: Наука, 1957.

53. Сакович Г.Н. Многомерные устойчиЕые распределения. Канд.диссерт. Киев, 1965.55» В.von Bahr. Multidimensional integral limit theorems. -Arkiv for Matematik, 1967, v.7, К 6, p.71-88.

54. Banis J.J.Convergence rate estimation in the local limit theorem in a case of a stable limit law. Third international Vilnius conference on probability theory and mathematical statistics. Abstracts of communications. - Vilnius, 1981, p.18-19»

55. Basu S.K. On a local limit theorem concerning variables in the domain of normal attraction of a stable law of index l<oC<ft, . Ann.Prob., 1976, v.4, N 3, p.286-289.

56. Blondal P.H. Explizite Abschatzung des Fehlers im mehr-dimensionalen zentralen Grenzwertsatz. Dissert. KBln, 1973»

57. Feldheim M.E. E^le de la stabilite' des lois de probability. These de la Faculte des Sciences de Paris, 1957»

58. Pristedt B. Expansions for the density of the absolute value of a strictly stable vector. Ann.Math.Stat., 1972, v.43t N 2, p.669-672.

59. Ferguson T.S. A representation of the symmetric bivariate Cauchy distribution. Ann.Math.Statist., 1962, v.33, p.1256--1266.

60. Levy P. Theorie de 1*Addition des Variables Aleatoires, 2 nd ed. Gautheir-Villars, Baris, 1937»

61. Press S.J. Multivariate stable distributions. J.Multivar .Anal., 1972, v.2, p.444-462.

62. Paulauskas V.J. Some Remarks on Multivariate Stable Distributions. J.Multivar.Anal., 1976, v.6, N 3, p.356-368.

63. Sazonov V.V. On a bound for the rate of convergence in the multidimensional central limit theorem. Proceedings of the Sixth Berkley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, v.II. University of California Press., 1972, p.563-581.

64. Sazonov V.V., Uljanov V.V. On the speed of convergence in the Central Limit Theorem. J.Appl.Probability, 1979, v.11, N 2, p.269-270.

65. Sazonov V.V., Uljandv V.V. On the accuracy of normal approximation. J.Multivar. Anal., 198« , v.'lot , H 3 ,р.т-зм.

66. Schilder M. Some structure theorems for the symmetric stable laws. Ann.Math.Statist., 1970, у.41, p.412-421.

67. Sa^onov V.V. tiwmi Appwocumatdwi-Sorru Recent Advances: Spunget VwioLfrMSl.П. Pnutt W.E. ,Tayeot S.^. ITU po-tmUae кешв and Ш(т pto6a6c&t&s |ot Ш gen&tafc sta£& process Cn Я * Ttans. А тег- MaiA.Soc. Ш, p. гяя-ъзи.

68. Гнеденко Б.В. К теории областей притяжения устойчивых законов. Уч. записки МГУ, 19Ё0, т. 30, с. 61-72.

69. Золотарев В.М. Одномерные устойчивые распределения. М.: Наука, 1983.

70. Калинаускайте Н. О притяжении к устойчивым законам типа Леви Фельдхейма. - Лит.матем.сб., т.14, 1974, ЖЗ, с. 93 - 105.