Разностные схемы повышенного порядка точности в областях сложной геометрии тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Институт математики Национальной академии наук Беларуси

УДК 519.63

ь Од

2 5 ДЕК 2003 1

Зыль Алексей Николаевич

РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ПОВЫШЕННОГО ПОРЯДКА ТОЧНОСТИ В ОБЛАСТЯХ СЛОЖНОЙ ГЕОМЕТРИИ

01.01.07 — вычислительная математика

Автореферат диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Минск, 2000

Работа выполнена в Институте математики HAH Беларуси

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, Г профессор Матус П.П.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Бобков В.В.,

Оппонирующая организация:

Институт математического моделирования РАН.

Зашита состоится 3.11.2000 в 16— на заседании совета по защите диссертаций Д 01.02.02 при Институте математики Национальной академии наук Беларуси по адресу: 220072, Минск, ул. С'урганова 11, тел. ученого секретаря - 284-19-63.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики Национальной АН Беларуси

кандидат физико-математических наук Цурко В.А.

Автореферат разослан

, Ученый секретарь совета но защите диссертаций, доктор физико-математических наук, профессор

П.П.Матус

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. В большинстве работ, посвященных построению и исследованию разностных схем для решения задач математической физики, в качестве расчетной рассматривается прямоугольная область, покрытая равномерной ортогональной сеткой. Однако, при решении реальных задач чаще всего приходится иметь дело с областями сложной геометрии. Ограничивая выбор лишь равномерными расчетными сетками, записать разностную схему для решения таких задач в общем случае невозможно. В связи с этим в вычислительной практике широкое распространение получили алгоритмы на неравномерных сетках. Их использование дает ряд преимуществ, однако, в то же время создает ряд объективных сложностей в качественном изучении свойств используемых разностных схем. Тем не менее, существенная экономия вычислительных ресурсов, которую способны дать разностные схемы на неравномерных сетках, заставляют искать пути к их теоретическому изучению.

В диссертационной работе рассмотрены некоторые подходы к построению и изучению разностных схем повышенного порядка аппроксимации на неравномерных пространственных сетках на стандартных шаблонах. В рамках выбранного направления исследований предпринята попытка дальнейшего развития теории разностных схем для решения задач математической физики в областях сложной геометрии и экономичных разностных методов для решения многомерного уравнения теплопроводности.

Связь с крупными научными программами. Исследования проводились в рамках Государственной программы фундаментальных исследований Алгоритм 04 "Вычислительные методы высокого порядка точности на адаптивных сетках", включенной на 1996 — 2000 г.г. в план НИР, выполняемых отделом численного моделирования Института математики Национальной академии наук Беларуси (№ 1997 4680), а также в соответствии с договором с Белорусским республиканским фондом фундаментальных исследований № Ф96 — 173 от 17 февраля 1997 г. по теме "Разностные схемы на неравномерных сетках для уравнений математической физики".

Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является развитие теории разностных схем повышенного порядка аппроксимации на неравномерных по пространству сетках в областях сложной геометрии.

Для достижения этой цели в ходе работы над диссертацией были

поставлены следующие задачи:

— построить разностную схему второго порядка локальной аппроксимации для эллиптического уравнения в расчетной области сложной геометрии и получить априорные оценки устойчивости и сходимости разработанных методов; для построения алгоритма использовать равномерное разбиение области и стандартные шаблоны;

— для двумерного уравнения теплопроводности в произвольной цилиндрической области построить разностные схемы повышенного порядка аппроксимации;

— построить и обосновать монотонные экономичные разностные схемы на неравномерных по пространству сетках повышенного порядка точности для многомерного уравнения теплопроводности.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются разностные схемы на неравномерных пространственных сетках для уравнений математической физики в произвольной расчетной области.

Методология и методы исследования. В диссертационной работе используются методы уравнений математической физики, функционального анализа, вычислительной математики. При получении конкретных априорных оценок устойчивости и сходимости применяются общая теория устойчивости операторно-разностных схем, принцип максимума и метод энергетических неравенств.

Научная новизна полученных результатов. Новизна полученных результатов состоит в том, что

— построены и обоснованы разностные схемы второго порядка локальной аппроксимации на стандартных шаблонах для решения различных типов уравнений математической физики в произвольной расчетной области;

— построены экономичные монотонные разностные схемы второго порядка аппроксимации для многомерного уравнения теплопроводности на неравномерных по пространству сетках и получены априорные оценки в равномерной норме; при исследовании применялся новый принцип максимума для производных.

Практическая значимость полученных результатов. Полученные результаты могут быть использованы при построении и исследовании разностных схем на неравномерных сетках для различных типов задач математической физики в расчетной области сложной формы.

Разработанные вычислительные алгоритмы могут быть успешно применены при численном моделировании процессов, описываемых

уравнениями математической физики, в расчетной области сложной формы, а также для решения многомерных нестационарных уравнений на неравномерных пространственных сетках.

Экономическая значимость. Работа относится к фундаментальным исследованиям, что не позволяет на данном этапе оценить экономическую значимость полученных результатов.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту. В настоящей диссертационной работе получены и выносятся на защиту следующие результаты:

— для уравнения Пуассона в произвольной расчетной области на-стандартных шаблонах построены новые разностные схемы второго порядка локальной аппроксимации и получены априорные оценки устойчивости и сходимости для различных классов областей;

— построена разностная схема второго порядка локальной аппроксимации по пространству для уравнения теплопроводности в произвольной цилиндрической области и получены априорные оценки устойчивости в энергетических нормах;

— построены экономичные монотонные разностные схемы повышенного порядка аппроксимации для многомерного у;х!внения теплопроводности на неравномерных' пространственных сетках и доказана устойчивость предложенных алгоритмов в сеточной норме С.

Личный вклад соискателя. Основные результаты, приведенные в выносимой на защиту диссертационной работе, получены автором лично. Из совместно опубликованных работ в диссертацию вошли результаты, полученные лично автором, а также результаты, полученные на паритетных началах с соавторами.

Апробация результатов. Основные результаты докладывались:

— на I международной конференции "Finite Difference Methods: Theory and Applications"(г. Руссе, Болгария, август 1997г.);

— на 11 международной конференции "Finite Difference Methods: Theory and Applications"(г. Минск, июль 1998г.);

— на IV международной конференции "Mathematical Modelling and Analysis"(г. Вильнюс, Литва, июнь 1999г.);

— городском семинаре по математическому моделированию.

Опубликоваиность результатов. По теме диссертации опубликовано 10 работ. Среди них 5 статей в международных и отечественных журналах, 2 статьи в материалах международных конференций, 3 тезиса конференций. Общее количество страниц опубликованных материалов составляет 55 с.

Структура и объем диссертации. В диссертации имеется введение, общая характеристика работы, 4 главы, список использованных источников. Полный объем — 80 е., из них 12 с. занимает список использованных источников (113 наименований). В работе содержится 13 рисунков и 9 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дается обзор современного состояния теории разностных схем для решения задач математической физики в областях сложной геометрии и для многомерных нестационарных задач на неравномерных сетках, кратко излагается содержание и структура диссертации, приводятся основные результаты.

В первой главе диссертации дается краткий обзор литературы по теме исследований.

Во второй главе рассматриваются вопросы построения разностных схем повышенного порядка локальной аппроксимации на стандартных шаблонах для численного решения стационарных краевых задач в расчетной области сложной формы. Такие алгоритмы строятся на основе аппроксимации уравнения не в расчетном узле, а в специально выделенной точке. При помощи принципа максимума устанавливается монотонность предложенных разностных схем для некоторых типов областей. Методом энергетических неравенств получены оценки устойчивости предложенных методов для произвольной расчетной области.

В разделе 2.1 описывается процедура дискретизации расчетной области сложной формы в случае двух пространственных переменных.

Пусть М2 — двумерное евклидово пространство точек х = (а'],.г2) с расстоянием р(х, х') = у/(х\ — х\)2 + (х2 — г-'г)2, О — ограниченная, связная, строго липшицева область с достаточно гладкой границей 1)П. Покроем область П равномерной прямоугольной сеткой ¡¿о и введем следующие обозначения для ее подмножеств: множество всех внутренних узлов — = {х ( х € ОПи>о}, множество граничных узлов — 7/,, множество всех внутренних и граничных узлов (сетка в области П) —

_ о

и>ь, подмножество чисто внутренних узлов — и>, множества правых граничных узлов по направлению х^ — 7^, множества левых граничных

узлов по направлению х^ — -/¿7, подмножество приграничных узлов — * *

ш, множества узлов, приграничных по направлению х^ — и>/., множества правых и левых приграничных узлов по направлению г> — •

В разделе 2.2 рассматриваются различные способы аппроксимации оператора Лапласа. Сначала описываются стандартные аппроксимации, предложенные в известной монографии А.А.Самарского "Теория разностных схем", имеющие второй порядок в строго внутренних узлах расчетной области, и первый или нулевой — в приграничных узлах.

Потеря локальной аппроксимации вблизи границы может быть нежелательной. Часто основные особенности решения сосредоточены вблизи границы (наиболее характерный пример — задачи с пограничными слоями). Поэтому важно уметь строить такие разностные аппроксимации, которые имели бы повышенный порядок вблизи границы.

В ряде работ указывается на возможность повышения точности метода за счет аппроксимации исходного дифференциального уравнения не в узлах расчетной сетки, а некоторых промежуточных точках расчетной области. В работах А.А.Самарского, П.Н.Вабищевича и П.П.Матуса без увеличения шаблона построены и исследованы схемы повышенного порядка аппроксимации для одномерных параболических и гиперболических уравнений, для многомерного уравнения Пуассона на произвольной неравномерной сетке в прямоугольной расчетной области построены монотонные консервативные схемы второго порядка точности. В двумерном случае соответствующий разностный оператор имеет вид

Лу = У(2)£1£1 + У(1)х2£2, (1)

где х = (£-ь х2), хк = хк + Кк, Лд- = }1к = 0,5 С Л а ± |Лд-|), .'/(I) =

= ¿'2) = у + Л^Уп + Лх !/х„ !/(2) = у(х 1, Ж2) = У + /|2 У*2 + Л^г/ха-

Отметим, что значения искомой сеточной функции у в фиктивных узлах жз), (хх, Х2) усредняются по формулам второго порядка аппроксимации с учетом направленных разностей. В случае равномерной сетки ¡1~ = 0 и разностный оператор (1) сводится к обычному оператору, записанному на пятиточечном шаблоне "крест".

В дальнейшем будет показано, что на основе такого подхода можно построить разностную схему повышенного порядка точности и для области произвольной формы.

Для определения шаблона разностной схемы в приграничных узлах задается разностный оператор

Положив 6+ - ± |/и|), ¡¡к = - Л*), хк = хк + Ък, к = 1,2,

приходим к разностной аппроксимации (1) на неравномерной прямоугольной сетке, которая имеет второй порядок в точке (?"1, ¿г)- Такой

оператор называется шаблонным, т. к. его область определения задает шаблон разностной схемы в приграничных узлах. На основе, такого оператора строится аппроксимация Лапласиана в приграничных узлах и в случае произвольной области. Например, если 1г > 1ц, /¡2+ > 2> то соответствующий 8-точечный шаблон следует из (2) и изображен на рисунке.

Нг

\ Л2 н2 ,¿2)

X Ах Л2 .

Далее на основе простой геометрической интерпретации показыпа-ется, что существует такая точка х* = (х^х^), относительно которой на введенном шаблоне оператор Лапласа Д можно аппроксимировать со вторым порядком и в явном виде выписываются расчетные формулы для нахождения координат точки х* для всех возможных вариантов шаблонов в приграничных узлах.*

Определим линейное пространство И как множество сеточных функций уп — з/„(х), заданных на <!>;, и равных нулю на границе, со скалярным произведением (г:„,г/,,) = ^^ ^пЬ^г п(х)уп(~х.) и нормой

х£шл

||у|р = (у, у). Через "На, где А = А' > 0, обозначим гильбертово про-

странство, состоящее из элементов пространства Л. в котором введены скалярное произведение и норма:

Ы?а = (ау> у) = Иг/« Л2 + Ы2= £Иг/^]12= Е ЬЬуЪ

хбш+ хеш?

где = и и 7*. к = 1,2.

Для дальнейших исследований нам понадобится следующее, важное свойство шаблонного оператора.

Лемма 2.1. Имеет место операторное неравенство

\\А0у\\ ^ 1\\Ау\\.

В разделе 2.3 на примере простейшего двумерного эллиптического уравнения на основе введенного шаблонного оператора строится и исследуется разностная схема второго порядка аппроксимации в области сложной формы.

Рассмотрим задачу Дирихле для двумерного уравнения Пуассона в произвольной области П:

¿0 = -/(*)> х=(*1,*2)еп, (3)

и(х)=д(х)) хедп. (4)

Построим схему второго порядка локальной аппроксимации и приграничных узлах на рассматриваемой почти равномерной сетке для приближенного решения дифференциальной задачи (3), (4).

Используя шаблонный оператор (2), приходим к следующей разностной схеме:

хец, у(х)=5(х), х £ 7л, (5)

в которой (см. обозначения на рисунке) уже = =

= х^ = Хк + Ь'к. к = 1,2. На основе свойств шаблонного оператора (2) заключаем, что разностная схема имеет второй порядок аппроксимации: ф — 0{Щ-тЩ). В случае прямоугольной неравномерной сетки она совпадает со схемой второго порядка точности, построенной на основе

разностного оператора (1), а на равномерной сетке она вырождается в обычную схему "крест", заданную на пятиточечном шаблоне.

Для оценок в норме С решений разностных эллиптических и параболических уравнений применяется принцип максимума, который справедлив для сеточных уравнений общего вида. Для этого вводится каноническая форма записи разностного уравнения в виде

а(х)у(х) = £ /?(х,{)у(0 + <р(х), х £ ы.

С6А<'(Х)

Здесь Л4'(х) = .М(х)\{х}, Л4(х) — шаблон схемы.

Будем говорить, что в точке х € oj выполнены условия положительности коэффициентов, если

а(х) > 0, ]9(х,0 > 0 для всех £ € М'(х), а(х) - £ > (б)

€6 М'М

Сформулируем следующие утверждения.

Лемма 2.2. Пусть при всех х 6 oj выполнены условия положительности коэффициентов (6). Тогда разностная схема (5) устойчива по правой части, граничным условиям и имеет место оценка

1Ык(а') ^ С0|Н|с(ш) + |Н|с(7). с0 = Const > 0.

Теорема 2.3. Пусть при всех х € ui выполнены условия леммы 2.2. Тогда решение разностной схемы (о) сходится к решению дифференциальной задачи и имеет место оценка

ИкмОЩяг + л!).

Далее показано, что для некоторых типов многоугольников условия монотонности (6) выполняются без ограничений на шаги сетки. Так, эти условия всегда выполнены для таких многоугольников, которые удовлетворяют условию в„ = 0(7г/2) либо 2/3 < tg вп < 3/2, п = l,2,...,iV, где N — число его сторон, 0п — угол наклона n-ой стороны относительно линии сетки.

Отметим, что принцип максимума позволяет устанавливать оценки точности метода только для достаточно ограниченного класса областей. На основе техники метода энергетических неравенств далее устанавливаются оценки точности алгоритма для области произвольной формы.

Рассмотрим выпуклую, ограниченную, связную, строго липшицеиу область Q, покрытую равномерной прямоугольной сеткой. Предложенную разностную схему (5) запишем в виде

(4+A>)j/ = v(x). СО

где уз(х) = f(x*1,xl). Исследования проводятся в предположении однородности граничных условий:

Далее доказываются следующие утверждения. Теорема 2.4. Разностная схема (7), (8) устойчива по правой части и для произвольной расчетной области имеет место оценка

Теорема 2.5. Разностная схема (7), (8) устойчива по правой части и для произвольной расчетной области справедлива оценка

В третьей главе рассматриваются вопросы построения разностных схем повышенного порядка локальной аппроксимации по пространственной переменной для численного решения многомерного уравнения теплопроводности. Предлагается два класса таких алгоритмов: неявные разностные схемы второго порядка аппроксимации по пространству для уравнения теплопроводности в произвольной цилиндрической области н экономичные монотонные разностные схемы на неравномерных пространственных сетках для прямоугольных областей. При помощи метода энергетических неравенств получены оценки устойчивости предложенных методов. Для экономичных разностных схем при помощи принципа максимума для производных доказана оценка устойчивости в равномерной норме.

В разделе 3.1 на основе алгоритма, предложенного во второй главе, строится и исследуется разностная схема повышенного порядка локальной аппроксимации по пространству для двумерного уравнения теплопроводности в произвольной цилиндрической области.

Пусть П — произвольная двумерная область с обладающей достаточной гладкостью границей Г. Требуется найти непрерывную функцию и(х, ¿), х = (ж1, гг), удовлетворяющую в От = П х [0,Т] начально-краевой задаче для уравнения

у{к) =0, х е 7-

(8)

1Иг/|1 $ 3|Н-

1Ыи ^ с3|Мь сз = с01151 > о.

2

и(х,0) = «о(х), X е П, н|адт =/х(х,г), 0<?г = Г х (0,7]. (10)

В О введем равномерную прямоугольную сетку Wo с шагами /Д. по переменным т.к, к = 1,2. Для подмножеств узлов пространственной сетки будем использовать обозначения, введенные ранее.. Пространственно-временная сетка Q в области Qt определяется обычным образом.

Простейшая разностная схема для уравнения теплопроводности на неравномерной по пространству сетке первого порядка аппроксимации имеет вид:

2

yt = + (x,í)€w, ЛкУ=Угк£к, l = t + T, (11)

y(x,ü) = но(х), х6шЛ, y\lh = ¡i{x,i), X67 h, í6wT. (12)

Построим на основе введенного шаблонного оператора (2) разностную схему повышенного порядка аппроксимации для дифференциальной задачи (9), (10). Она будет иметь вид

y{S)t+An/a) =/<">(xV), ,.<"> = (l-or)w(0 + o-o(<), O^rr^I, (13)

2 J

где y{S) = y + Y,iSty*b + SkVibh St = 7у(Ч ± l'4l). * = 1,2. k=l ¿ Рассмотрим вопрос о погрешности аппроксимации предложенной разностной схемы. При достаточной гладкости функции и(х, I)

шах||0||с ^ c0(/i2 + г), с0 = const > 0,

t6wr

где || • ||с = max | • |. Следовательно, разностная схема (13), (12) аппрок-

симируст исходную дифференциальную задачу на сетке ojj, со вторым порядком.

Запишем разностную схему (13), (12) в каноническом виде:

Byt + Asy = <p, т/о = «о, ^ = (14)

В = D+сгтАг, D = E + Á.

В дальнейшем нам потребуется следующая лемма. Лемма 3.1. Пусть )|Ау||2 ^ ^^{Ау, у), ci=cqnst > 0, a=const. > 0, ||/10?/||2 ^ (1 — c2)||/lj/||2, с2 = const, 0 < с2 ^ 1. Тогда при ограничении

i

cía

г > 77-ÍTñ—« а > °'5>

4(<г - 0,5)еj

для разностной схемы (14) справедлива оценка

11г/п+1||и Ы1 д + ^т-Е'-Ы2,

к = 0

где постоянные £х, е2 > 0 и с2 — 2(£1 + е2) ^ 0.

Теорема 3.1. Для разностной схемы (13), (12) в произвольной расчетной области при ограничении

V2

4(сг — 0, о)

где постоянная е > 0, справедлива оценка

• к = 1

Замечание 3.1. В случае прямоугольной расчетной области, покрытой равномерной ортогональной сеткой, в лемме 3.1 константы о = 0, с2 = 1 и разностная схема (13), (12) устойчива при любых г и Л.

Замечание 3.2. При а — 0 для разностной схемы (13). (12) не получено априорных оценок устойчивости. Кроме того, вследствие взвешивания по пространственным переменным такая схема не имеет явной реализации.

Замечание 3.3. Поскольку лемма 3.1 доказана без предположения о размерности задачи, аналогичные оценки устойчивости можно получить и для многомерного уравнения теплопроводности.

'В разделе 3.2 предлагаются экономичные монотонные безусловно устойчивые разностные схемы второго порядка локальной аппроксимации на неравномерных прямоугольных сетках для уравнения теплопроводности произвольной размерности.

Пусть П = {0 < ха < 1а, « ■= 1;Р} — р-мерный параллелепипед с границей Г. Требуется найти непрерывную функцию г/(х,/), х = (г'1. г'2,..., гр), являющуюся решением начально-краевой задачи для параболического уравнения

^ = £и+/(х,«), (х,<)е«?г, (15)

и(х,0) = и0(х), хЕО. «(х,г) = /<(хЛ)> хеГ. (16)

В П введем произвольную прямоугольную неравномерную по каждому направлению сетку йь Через и>/, обозначим множество внутренних

узлов сетки ы/, и 7/1 — множество граничных узлов. Пространственно-временная сетка w в области Qx вводится стандартным образом.

Простейшая разностная схема первого порядка аппроксимации на

неравномерной сетке имеет вид

р

yt=^Aap+f(x,t), (x,f)e«v (17)

а=1

у(х, 0) = «о(х), хейл, г/|-уЛ = /"(х, х 6 7л, t £ ыт. (18)

Введем в рассмотрение сеточные функции уа = уа(ха, £), которые будем вычислять в узлах

(ха, <) = (¿J1, ..., i^-l1) га 1 ^Q+j1! •••! ^р") ^п)'

Тогда разностная схема второго порядка локальной аппроксимации, основанная на использовании векторно-аддитивных схем и переменных весов по пространству, будет иметь вид

■к Р

= ]С + Л-оУа + р, <p = f(x,t), k = ï,...,p, (19)

а=1 «=ir41

№,(**»0) = «о(х*), №k=/<(xfc,i), fc=l,...,p. (20)

Здесь

V{C„) = <W+b) + (1 - cru. - trafc)ifr + (21)

o-ife='0,5(Âfc + |Âfc|)/Aft+, <T2k = 0,b(hk-\hk\)/hk, Формула (21) используется для аппроксимации смешанной про-

■ - и к ди

изводнои по потоку , что соответствует интерполяции — в точке

х = (хих2,..., хр). Однако можно использовать и аппроксимацию "против потока.". В этом случае

. , У (о к) = ё1ку[+и)-+ (1- vu, - *2к)Ук + <Т2ку1~1к), : ,. (22) ... cri к = -о, 5(hk - \hk\)/hk+, â2k = -0, ô(hk + \iik\)/hk,

Разностная система уравнений (19), (20) решается последовательно одномерными прогонками, начиная с к = 1. В результате реализации получаем р значений решения в точках (xa,t). а = 1 В случае

равномерной сетки ?/(<,) = у и схема (19) вырождается в известную многокомпонентную схему переменных направлений.

Приближенное решение в узле сетки (х, t) 6 и можно найти по одной из формул второго порядка аппроксимации

y(x, t) = уа(ха, t) - О, 5 {(Л* + |Лд-|)!/аг, + (Л* - lAftDife,^} . (23) fc=i

Аналогичное выражение справедливо и для схемы "против потока". С помощью сеточных функций уа мы можем также определить значения решения и в точках (¿1,..., хр,<). /

При достаточной гладкости функции u(x,t)

тах||У'||с ^ c0(|/i|2 + г). с0 = const > 0, {'24)

t£OJT

где || • ||с = тах| • |. Следовательно, разностная схема (19),- (20) аппрок-

Igiih

симирует исходную дифференциальную задачу на произвольной сетке ы/, относительно узла, (х, t) со вторым порядком по пространственной переменной.

Теорема 3.2. Разностная схема "против потока"(19), (20), (22) сходится абсолютно к решению дифференциальной задачи (15), (16) и при любом t 6 wr имеет место оценка

||Лг|| ^ ci(|/i|2 -f г), Cl = const > 0.

Для разностной схемы "по потоку"(19), (20), (21) получена следующая априорная оценка в норме С.

IA5. — I

Теорема 3.4. Пусть т > ——, ' к = 1 ,...,р, ik = 1,..., Лга._,.

Тогда для решения задачи (19),. (20), (21) при = const и любых к = 1, ...,р, t £wT справедлива оценка

1Ы1с ^ 1М|с + * (II £ Лвю« + р(0)||с + £ г\ЫП\\с V а = 1 t'=T

Замечание 3.1. В случае равномерной по пространству сетки разностная схема (19),* (20), (21) вырождается в известную многоком- • \ понентную схему переменных направлений, предложенную в работах В.Н.Абрашина, которая имеет вид

л- р

гл=£Лс,Уа + £ <P = f[x,t), к = 1,2,...,р,

<x~l а=к + 1

ук(хк,0) = Мх!с), глк =/«(^,0. хл€7а, *=1,2,...,р.

Для такой схемы на равномерной сетке утверждение теоремы 3.4 справедливо без ограничений на шаги г и Л.

С точки зрения вычислительной практики новые алгоритмы позволяют при расчете задач с особенностями эффективно использовать неравномерные сетки и дают значительный выигрыш в объеме расчетов для достижения заданной точности. Отметим также, что эти методы допускают распараллеливание вычислений, что делает их весьма полезными для практического применения.

В четвертой главе приведен подробный алгоритм расчета, использовавшийся при проведении численных экспериментов. На примере простейшей двумерной задачи проведено сравнение результатов расчета при использовании новой схемы с результатами, полученными при помощи классических схем первого и нулевого порядков аппроксимации в приграничных узлах.

В качестве модельной рассмотрим задачу Дирихле для двумерного уравнения Далласа:

Дн. = 0, и = и(х) = х-2). х£й, и|ап = /<(х). (-5)

Для численного эксперимента выберем простейшую расчетную область в виде несимметричного кольца:

Л = + < 1}П{(*1 - 0.35)2 + 4) < 0,25}. (20)

В качестве точного решения и граничного условия возьмем гармоническую функцию

и(х) = 1п—-Г + -г, (27)

Х1 = (А' - 0.15,0), х2 = (0.2.0.2).

Здесь XI и хг — точечные источники, причем координаты Х] задаются при помощи параметра А". Тем самым мы сможем провести серию экспериментов, последовательно приближая источник к границе области (в нашем случае А' Е (0, 1)).

Далее приводится-подробный алгоритм расчета, использовавшийся при проведении численного эксперимента.

Для сравнительного анализа результатов был проведен численный эксперимент на последовательности сгущающихся сеток с использованием схемы второго порядка локальной аппроксимации (5) и стандартных схем первого и нулевого порядков локальной аппроксимации в приграничных узлах.

Результаты вычислений показали, что новая схема позволяет найти решение с существенно меньшей погрешностью. Использование схемы повышенного порядка аппроксимации позволяет вести расчет па менее подробных сетках. Отметим, что второй порядок сходимости схемы (5) наблюдается при любых положениях источника и на самых грубых сетках. Второй порядок сходимости остальных схем имеет место лишь асимптотически и на достаточно мелких сетках. Примечательным является тот факт, что максимум ошибки при использовании схемы (Г)} достигается внутри области, а при использовании стандартных схем — вблизи границы. Отмстим, что поскольку очень часто основные особенности решения сосредоточены вблизи границы, такое качество ионов схемы весьма полезно.

В разделе 4.2 для тестирования экономичной разностной схемы (19), (20) был произведен расчет двумерной задачи (9), (10) в квадрате [0, 1] х [0,1] с точным решением

^ = ■* ++ (^Толр + (^ГГолг (28)

е = 10~9. Такое решение имеет следующую особенность — оно резко возрастает при приближении к границам квадрата X! = 0, гг2 = 0, а в остальной части расчетной области меняется слабо. Правая часть /(х, /) и начально-краевые условия однозначно определяются заданным точным решением. Вычисления проводились до момента времени Т — 1. Получающаяся система уравнений вида решалась последовательными одномерными прогонками.

Для сравнительного анализа были выбраны три разностные схемы: предложенная новая схема второго порядка локальной аппроксимации по пространству на неравномерной сетке (19), (20), (21), схема второго порядка на равномерной разностной сетке и схема первого порядка на неравномерной сетке (17), (18).

Результаты расчетов показали, что уже само по себе использование, неравномерной пространственной сетки при решении данной модельной задачи даст ощутимое преимущество — даже схема первого порядка локальной аппроксимации за счет адаптации к решению дает гораздо более точный результат, чем тот же алгоритм, второго порядка точности, но записанный на равномерной сетке. Повышение же порядка точности схемы дает дополнительный выигрыш, особенно сильно это заметно при использовании грубых сеток.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертационная работа посвящена построению и изучению вычислительных алгоритмов на неравномерных по пространственной переменной сетках, а также дальнейшему развитию теории разностных схем для задач математической физики в областях со сложной геометрией.

В ходе выполнения диссертационной работы получены следующие результаты:

1. Для уравнения Пуассона в произвольной расчетной области на стандартных шаблонах построены новые разностные схемы второго порядка локальной аппроксимации и получены априорные оценки устойчивости и сходимости для различных классов областей ( [3,4,7-10]).

2. Построена разностная схема второго порядка локальной аппроксимации по пространству для уравнения теплопроводности в произвольной цилиндрической области и получены априорные оценки устойчивости в энергетических нормах ( [5,6]).

3. Построены экономичные монотонные разностные схемы повышенного порядка аппроксимации для многомерного уравнения теплопроводности на неравномерных пространственных сетках и доказана устойчивость предложенных алгоритмов в сеточной норме с ( [1,2]).

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Зыль А.Н., Матус П.П. Экономичные разностные схемы для многомерных параболических уравнений на неравномерных сетках /7 Докл. НАН Беларуси. - 1998. - Т. 42, Л* 4. - С. 45 - 50.

2. Зыль А.Н., Матус П.П. Экономичные разностные схемы повышенного порядка точности для многомерных параболических уравнений на неравномерных сетках // Журнал вычисл. матем. и матем. физ.

- 1999. - Т;.39, К'- 8. - С. 1151 - 1157.

3. Самарский А.А., Вабищевич П.II., Зыль А.Н., Матус П.Г1. Разностная схема повышенного порядка аппроксимации для задачи Дирихле в произвольной области // Докл. НАН Беларуси. — 1998.

- Т. 42, jV 1. - С. 13 - 17.

4. Самарский А.А., Вабищевич П.Н., Зыль А.Н., Матус П.П. Разностная схема второго порядка точности для задачи Дирихле н произвольной области // Мат. моделирование. — 1999. — Т. 11, № 9. — С. 71 - 82.

5. Matus P.P., Zyl A.N. Difference schemes of high order accuracy for . mathematical physics prob-lems in arbitrary areas // 4th International

Conference on Mathematical Modelling and Analysis. June, 3-4, 1999. Vilnius, Lithuania. Book of Abstracts. — P. 55.

6. Matus P.P., Zyl A.N. Difference schemes of high order accuracy for mathematical physics problems in arbitrary areas // Mathematical Modelling and Analysis (MMA). - 2000. - Vol. 5. - P. 133 - 142.

7. Matus P.P., Zyl A.N. Second order approximation difference schemes for multi-dimensional elliptic equations in arbitrary area // Book of Abstracts of International Conference on Finite Difference Methods: Theory and Applications. Rousse (Bulgaria), August 10-13. — 1997. — P. 31.

8. Samarskii A.A.. Matus P.P., Vabishchevich P.N. and Zyl A.N. Difference Schemes of Second Order of Approximation for Multidimensional Elliptic Equat ions in Arbitrary Area. In: Proc. of the Intern. Conference FDM, Kusse, Bulgaria, 1997, Finite-Difference Methods: Theory and Application. NOVA Science Publishers. - 1999. - P. 221 - 227.

9. Zyl A.N. Construction of difference schemes of high order of precision for Dirichlet problem in arbitrary areas // Book of Abstracts of the Second International Conference on Finite Difference Methods: Theory and Applications. Minsk (Belarus), July 6-9, 1998. - P. 71.

10. Zyl A.N. Construction of difference schemes of high order of precision for Dirichlet problem in arbitrary areas. In: Proc. of the 2nd Intern. Conference CFDM9S, Minsk, Belarus, 1998, Finite-Difference Methods: Theory and Application. - 1998. - Vol. 3. - P. 147 - 151.

РЕЗЮМЕ Зыль Алексей Николаевич Разностные схемы повышенного порядка точности в областях

сложной геометрии

Ключевые слова: разностная схема, область сложной геометрии, принцип максимума, априорная оценка, экономичные методы.

В диссертационной работе решаются проблемы построения разностных схем повышенного порядка аппроксимации для решения задач математической физики в областях сложной геометрии, а также экономичных монотонных методов для решения нестационарных задач на неравномерных по пространству сетках.

Основные результаты диссертации заключается в следующем:

— для уравнения Пуассона в произвольной расчетной области на стандартных шаблонах построены новые разностные схемы второго порядка локальной аппроксимации и получены априорные оценки устойчивости и сходимости для различных классов областей;

— построена разностная схема второго порядка локальной аппроксимации по пространству для уравнения теплопроводности в произвольной цилиндрической области и получены априорные оценки устойчивости в энергетических нормах;

— построены экономичные монотонные разностные схемы повышенного порядка аппроксимации для многомерного уравнения теплопроводности на неравномерных пространственных сетках и доказана устойчивость предложенных алгоритмов в сеточной норме С.

Все результаты диссертации являются новыми. Они имеют как теоретическое, так и прикладное значение и могут быть использованы при исследовании конкретных разностных схем, аппроксимирующих соответствующие задачи математической физики.

РЭЗЮМЕ Зыль аляксей м1калаев1ч Рознасныя схемы павышанага парядку дакладнасц! у абсягах складанай геаметрьп

Ключавыя словы: рознасная схема, абсяг складанай геаметрьп, прынцып максимума, апрыёрная адэнка, эканам1чныя метады.

У дысертацыйнай рабоце вырашаюцца праблемы пабудовы роз-иасных схем павышанага парадку апракамацьп для рашэння задач матэматычнай ф1зп-л у абсягах складанай геаметрьп, а таксама эка-налнчных манатоиных метадау для рашэння нестацыянарных задач на нераунамерных па прасторы сетках.

Асноуныя вышю дысертацьн заключаюдца у наступным:

— для раунанпя Пуасона у адвольным разл1ковым абсягу на стандартных шаблонах пабудаваны новыя рознасныя схемы другога парадку лакальнай апракамацьп г атрыманы апрыёрныя ацэню устойлшпсщ 1 збежнасц] для разнастайпых класау абсягау;

— т-'удавана рознасная схема другога парадку лакальнай апрак-С1Мап ' ' прасторы для раунання цеплаправоднасц1 у адвольным цылшдричпым абсягу 1 атрыманы апрыёрныя ацэню устойл'шас.щ у энергетычных нормах;

— пабудаваны эканалпчныя манатонныя рознасныя схемы павышанага парадку апракамацьп для мнагамернага раунання цеплаправод-насц1 на нераунамерных прасторавых сетках 1 даказана 5'стойлшасць прапанаваных алгарытмау у сетачнай норме С.

"Усе вьппк» дысертацьп з'яуляюцца новыш. Яны маюць як тэарэ-тычнае, так 1 прыкладное значэнне 1 могуць быць выкарыстаны при даслсдавашп канкрэтных рознасных схем, як1я апракс'ипруюць адпа-ведныя задачы матэматычнай <}из1к5.

SUMMARY Zyl Alexey Nikolaevich Difference schemes of high order of approximation in complex

domain

Keywords: difference scheme, complex domain, maximum principle, a priori estimate, economical method.

In the thesis it is set up the difference schemes of high order approximation for numerical solution of problem of mathematical physics . in a complex domain. Efficient monotone methods to solve non-stationary ■ problems on nonuniform spatial grids are developed.

Main results of the thesis are:

— new difference schemes of the second order of local approximation for Poisson's equation in arbitrary domain are constructed using standard templates; a priori estimates of stability and convergence for different classes of domains are obtained;

— the difference scheme of the second order of local approximation with respect to space for heat equation in arbitrary cylindrical domain is developed; a priori estimates of stability in energy norms are obtained:

— the efficient monotone difference scheme of high order of approximation for multi-dimensional heat equation on nonuniform spatial grids are constructed; stability of the algorithms proposed is proved in the grid norm

C.

All the results are new. They have both theoretical and applied meaning and can be used for investigation of concrete difference schemes approximating correspondent problems of mathematical physics.

Подписано в печать 22.09.2000 г. Формат 60 х 84 1/16. Усл. неч.л. 1,22. Уч.-изд.л. 1,42. Тираж 80 экз. Заказ JV23G.

Институт математики HAH Беларуси. 220072, г.Минск, ул. Сурганова, 11. ЛВ №379 от 29.04.99 г.

Отпечатано на ксероксе Института математики HAH Беларуси. 220072, г.Минск, ул. Сурганова, 11. ЛП №266 от 25.05.98 г.