Методы анализа разностных схем сквозного счёта тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

На правах рукописи

Ковыркина Оляна Александровна

МЕТОДЫ АНАЛИЗА РАЗНОСТНЫХ СХЕМ СКВОЗНОГО СЧЁТА

Специальность: 01.01.07 — вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 в

Новосибирск 2009

003464987

Работа выполнена в Новосибирском государственном университете

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Владимир Викторович Остапенко

доктор физико-математических наук Евгений Игоревич Роменский, кандидат физико-математических наук Дмитрий Владимирович Хотяновский

Ведущая организация:

Институт прикладной им. М. В. Келдыша РАН

математики

Защита состоится 16 апреля 2009 года в 15 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 003.015.04 при Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН по адресу:

630090 г. Новосибирск- 90, проспект ак. Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН.

Автореферат разослан « » марта 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. В настоящее время широкое распространение получили явные двухслойные по времени монотонные разностные схемы повышенной точности для сквозного расчета разрывных решений гиперболических систем законов сохранения (в частности законов сохранения газовой динамики и гидравлики). В большинстве работ, посвящённых построению таких схем, под точностью схемы понимается порядок её тейлоровского разложения на гладких решениях, что не гарантирует аналогичного повышения точности при передачи условий Гюгонио через размазанные фронты ударных волн. Несмотря на это, долгое время было распространено ошибочное мнение о том, что указанные схемы сохраняют повышенный порядок сходимости во всех гладких частях рассчитываемых обобщенных решений. В работах (Годунов С.К. 1997; Остапенко В.В. 1997, 2000; Casper J., Carpenter М.Н. 1998; Engquist В:, Sjogreen В. 1998) на ряде примеров было показано, что эти схемы могут снижать порядок сходимости до первого и ниже в областях влияния нестационарных ударных волн (т. е. ударных волн, распространяющихся с переменной скоростью).

Одним из эффективных методов исследования разностных схем является метод дифференциального приближения (Жуков А.И. 1959; Шо-кин Ю.И., Яненко H.H. 1985), который позволяет сводить исследование разностной схемы к изучению аппроксимирующего её дифференциального уравнения. Однако на основе классических дифференциальных приближений по шагам схемы невозможно построить асимптотическое разложение её решения на сильном разрыве и, тем самым, эти приближения нельзя использовать для детального анализа поведения разностного решения в окрестности разрыва.

В связи с этим актуальным является развитие теоретических и численных методов, позволяющих оценивать реальную точность разностных схем при сквозном расчёте нестационарных ударных волн, а также качественно описывать поведение разностных решений в окрестностях ударных волн.

Целью диссертационной работы является теоретическое и экспериментальное исследование точности разностных схем при сквозном расчёте нестационарных ударных волн и разработка методов построения асимптотических разложений разностных решений на сильных разрывах на основе неклассических дифференциальных приближений разностных схем.

Научная новизна. Путём численного эксперимента показано, что разностные схемы повышенной точности, имеющие достаточно гладкие

функции численных потоков (в отличие от своих ТУБ модификаций) сохраняют повышенный порядок слабой сходимости при сквозном расчёте нестационарных ударных волн. Частичным обоснованием этого экспериментального результата служит доказанная в работе теорема о том, что такие схемы сохраняют повышенную точность при аппроксимации е-условий Гюгонио на нестационарных ударных волнах.

Разработан метод, позволяющий на основе предложенных в работе неклассических дифференциальных приближений разностных схем строить асимптотические разложения их решений в окрестностях сильных разрывов. На основе этого метода получены обоснование и границы применимости классического первого дифференциального приближения при описании поведения разностных решений на ударных волнах.

Достоверность полученных в диссертации результатов обусловлена корректностью постановок рассматриваемых задач, строгостью используемых методов доказательств и сравнением теоретических результатов с данными численных экспериментов.

Теоретическая и практическая ценность полученных результатов состоит в том, что разработанные методики могут быть использованы для анализа поведения и оценки реальной точности достаточно широкого класса разностных схем, предназначенных для сквозного расчёта разрывных решений гиперболических систем законов сохранения.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались на конференциях:

— Четвёртая Сибирская школа-семинар «Математические проблемы механики сплошных сред» (Новосибирск, 2000);

— конференция молодых ученых, посвященная 10-летию ИВТ СО РАН (Новосибирск, 2000);

— Международная конференция «Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании» (Казахстан, Усть-Каменогорск, 2003);

— XXXV Региональная молодежная школа-конференция «Проблемы теоретической и прикладной математики» (Екатеринбург, 2004);

— Международная конференция по вычислительной математике МКВМ-2004 (Новосибирск, 2004);

— 3-я Всероссийская конференция с участием зарубежных учёных «Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения» (Бийск, 2008);

— Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения С. Л. Соболева «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений» (Новосибирск, 2008);

а также обсуждались на семинарах Института математики им. С. JI. Соболева СО РАН; Института вычислительных технологий СО РАН; Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН; Института вычислительной математики и математической геофизики СО РАН; Института теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича СО РАН; кафедры дифференциальных уравнений Новосибирского государственного университета.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 статей в научных журналах и изданиях, а также тезисы докладов на научных конференциях. Список публикаций приведён в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация объемом 89 страниц состоит из введения, четырёх глав, заключения, 25 иллюстраций и списка литературы из 95 наименований.

Автор выражает глубокую признательность научному руководителю д.ф.-м.н. Владимиру Викторовичу Остапенко за постоянное внимание и поддержку на всех этапах выполнения работы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность работы, сформулированы цели и задачи исследования, дано краткое описание работы.

В первой главе проведено экспериментальное исследование точности разностных схем при сквозном расчёте нестационарных ударных волн, возникающих при решении начально-краевых задач для системы уравнений теории «мелкой воды». Поставлена начально-краевая задача на отрезке [О, X] для системы уравнений Сен-Венана

«I+ /(*), = 0, /(«)=( 9Vtf+Va/2)' (1)

#(0, ®) = 2 — — arctgх, д(0,®)= 0,. q(t,0) = q0(t), q(t,X) = qi(t), (2)

7Г

где H(t, x) > 0 и q(t, x) — глубина и расход жидкости, д — ускорение свободного падения, qo(t) и qi(() — гладкие монотонно возрастающие функции такие, что <?о(0) = <7i(0) = 0.

Рассмотрены два способа задания функций <zo(i), qi(t). В первом случае (задача I) при решении задачи (1), (2) в момент времени t т 1 в результате градиентной катастрофы формируется прерывная волна, распространяющаяся в положительном направлении оси х с возрастающей амплитудой и скоростью (см. рис. 1), а во втором (задача II) — формируются две прерывные волны, распространяющиеся навстречу друг другу

я

о

я

б

з

4

2

Г=2

о

4

8

12

16

О

4

8

12

16 X

Рис. 1: профили глубины в задаче с одной прерывной волной; сплошная линия — точное решение, кружки — численные решения по схеме Лакса-Вендроффа (а) и по ТУБ схеме Хартена (б).

с возрастающими амплитудами и скоростями; эти волны соударяются, в результате чего образуются две новые прерывные волны, распространяющиеся в противоположных направлениях (см. рис. 4).

Для расчёта задач I и II использовались пять разностных схем: схема Лакса-Вендроффа (1960), её ТУБ модификация Хартена (1983), схема МакКормака (1969), схема Русанова (1968) и компактная схема, предложенная Остапенко В.В. (2000). Первые четыре из них относятся к классу явных двухслойных по времени и симметричных по пространству консервативных разностных схем, а пятая является компактной неявной трёхслойной по времени консервативной разностной схемой. Проведено исследование точности этих разностных схем на разрывных решениях путём вычисления порядков их слабой сходимости и путём определения точности вычисления инвариантов в областях влияния нестационарных ударных волн.

Идея метода вычисления порядков слабой сходимости принадлежит С. К. Годунову и В. С. Рябенькому. Данный метод основан на экспериментальной проверке скорости сходимости первых интегралов от получаемого разностного решения, которые берутся по областям, содержащим различные особенности аппроксимируемого точного решения. Для определения порядков слабой сходимости г (рис. 2) и относительных погрешностей вычисления инвариантов Ди>и, Ддог/Лрис. 3, 5) проводилось три расчёта соответствующей начально-краевой задачи с достаточно малыми пространственными шагами Ь,\ = Л, Лг = /г/2, /гз = Л/4 и применялось

Рис. 2: порядки слабой сходимости при численном интегрировании разностного решения через фронт нестационарной прерывной волны «справа налево» для схемы Лакса-Вендроффа (а), схемы МакКормака (б), ТУБ схемы Хартена (в), схемы Русанова (г), компактной схемы (д) и схемы Годунова (е).

Рис. 3: относительные погрешности вычисления инвариантов в задаче с одной прерывной волной для схемы Лакса-Вендроффа (кружки), ТУБ схемы Хартена (точки), компактной схемы (квадратики) и схемы Русанова (треугольники).

т=з

Т= 1

Я

12 16 О

X

7ЬЗ

Г= 1

8 12

16 *

Рис. 4: профили глубины в задаче с двумя прерывными волнами; сплошная линия — точное решение, кружки — численные решения по схеме Лакса-Вендроффа (а) и по ТУБ схеме Хартена (б).

18К1

12 16 О

12

16 X

Рис. 5: относительные погрешности вычисления инвариантов в задаче с двумя прерывными волнами для схемы Лакса-Вендроффа (кружки), Т\Т) схемы Хартена (точки), компактной схемы (квадратики) и схемы Русанова (треугольники).

правило Рунге. При этом для порядков слабой сходимости

г = log2 ¿Vi = VA--VA»+I, ¿ = 1,2,

а

где интеграл V£(t,x) —- f Vh(t, y)dy вычисляется по формуле трапеций.

х

Поскольку формула трапеций имеет второй порядок точности на гладких функциях, то приведённые на рис. 2 значения г отражают реальный порядок слабой сходимости только при г < 2. В расчётах полагалось а ~ X,

хе[0,Х].

Пустьp{t,x) = £(u(t, х)) — некоторая скалярная функция от точного решения u(t,x) и Ph{t,x) = — приближающая её функция от

разностного решения Vh(t,x). Тогда относительные погрешности вычисления функции p(t, х) будем определять по формулам

APh = (3)

Ph

где, с учётом правила Рунге,

5ph ~ ΗпГ"1/1Т~7' ^ = Ph< ~ Ph'+* ' * = 2-

Формулы (3) использовались для определения относительных погрешностей вычисления инвариантов w\ = q[H + 2y/gH, W2 = q/H - 2^/gH системы уравнений «мелкой воды» (1) (рис. 3, 5).

Результаты проведённых численных расчётов демонстрируют (рис. 2, 3, 5), что TVD монотонизация схемы Лакса-Вендроффа, связанная со снижением гладкости её разностных потоков при применении минимаксных процедур их коррекции, приводит к снижению реальной точности разностной схемы при расчёте нестационарных прерывных волн. Теоретическое объяснение этого экспериментального факта дано в главе 4.

Следует отметить, что рассмотрены прерывные волны, возникающие и распространяющиеся строго внутри расчётной области. Это сделано с целью отделить проблему, связанную с повышенной точностью сквозного расчёта прерывных волн, от проблемы аппроксимации с повышенной точностью разрывных начальных и граничных условий.

Во второй главе на основе неклассических дифференциальных приближений разработан метод построения асимптотических разложений разностных решений на сильном разрыве.

Для гиперболической системы законов сохранения

ut + /( и)х = 0, (4)

где u(t, я) — искомая, a f(u) — заданная вектор-функции, рассмотрена задача распада разрыва

<5)

Аппроксимируем систему (4) явной двухслойной по времени консервативной разностной схемой

vh(t + т,х)- vh(t, х) fh(t, х + h/2) - fh(t, х - ft/2) ---+---= 0, (6)

где Л = т/h = const, r, h — шаги схемы по времени и по пространству,

fh(ta+h/2) = f(vh(t,x-{l-l)h)^(t,x-{l-2)h),...,Vh(t,x+lh),X) (7)

есть функция численного потока, согласованная с потоком f(u) системы (4) в смысле выполнения условия

J(u,...,u,\) = f(u), Vu е Mm VA6R. (8)

Шаг т выбирается из условия устойчивости Куранта по формуле

т = r(t) = zh/max sup|a'(vft(f,:r))|, (9)

t x

в которой аг(и), г — 1, 2,....,m — собственные значения матрицы Яко-би /и системы (4), z < 1 — постоянный положительный «коэффициент запаса».

Поскольку схема (6), так же, как и начальные данные (5), инвариантна относительно преобразования подобия

t' = at, x' = ах, т' = ат, h' = ah, (10)

то имеет место

Теорема 1. Пусть v{t,x) — решение разностной задачи Коти (6)-(9), (5) при шаге h — 1. Тогда решение Vh(t,x) этой задачи при любом шаге h > 0 имеет вид

vh(t,z) = v(t/h,z/h), (11)

т. е. получается из решения u(t, х) в результате его сжатия в 1/h раз к началу координат t — х = 0.

Из теоремы 1 следует, что внутренняя структура разностного решения i7/i (х, t) не зависит от h и, тем самым, классический метод дифференциальных приближений (Шокин Ю.И., Яненко H.H. 1985) нельзя использовать для построения асимптотических разложений этого разностного решения.

В работе (Остапенко В.В. 1991) для разностных схем (б) первого порядка с линейной искусственной вязкостью был предложен способ построения асимптотических разложений их разностных решений на фронте бегущей ударной волны, в котором в качестве параметра разложения выбиралась величина обратная коэффициенту линейной искусственной вязкости. В этой работе был применён переход к автомодельной переменной, что не позволяет описывать начальный этап формирования разностного фронта ударной волны из разрывных начальных данных (5). Для описания этого этапа во второй главе предложен метод построения асимптотического разложения разностного решения, изложенный на примере задачи Коши

для которого, из-за отсутствия сходящегося поля характеристик, не происходит выход разностного решения на автомодельный режим, в силу чего этап формирования схемного фронта ударной волны «продолжается неограниченно долго». В данном случае получаемая асимптотика существенно зависит от двух независимых переменных <иа;.

В основе метода построения асимптотического разложения лежит понятие определяющего коэффициента асимптотического разложения Ст. изменение которого существенным образом влияет на внутреннюю структуру разностного решения v^^(t, х). Коэффициент Ст выбирается как максимальный по модулю коэффициент при одной из пространственных производных в дифференциально-разностном представлении разностной схемы (метод I) или в П-форме дифференциального представления разностной схемы (метод II). Номер т равен порядку производной. После того, как коэффициент Ст выбран, в качестве параметра асимптотического разложения берётся величина

(12)

для линейного уравнения переноса

щ + их = О

(13)

hm = \Ст\ ^ , ТП>2.

u

•0,15t,_____. ___

-1 0 1 2 3 4 5 X

Рис. 6: сравнение разложений по параметру Лг по методам I (пунктир) и II (сплошная линия) с разностным решением (кружки), полученным по схеме с линейной искусственной вязкостью. Начальные (а) и вторые (б) приближения.

Рис. 7: сравнение разностного решения (кружки), полученного по схеме с линейной искусственной вязкостью, с его разложением по параметру кз (сплошная линия). Начальные (а) и вторые (б) приближения.

Метод изложен на примере явных двухслойных по времени линейных разностных схем (6), аппроксимирующих задачу Коши (12) для линейного уравнения переноса (13). Этот метод, как и теорема 1, остается верным и для неявных схем, в том числе многослойных по времени, если эти схемы являются инвариантными относительно преобразования подобия (10).

В третьей главе по методам I и II построены примеры асимптотических разложений разностных решений для явных двухслойных по времени схем с искусственной вязкостью и дисперсией, а также для симметричной компактной схемы с искусственными вязкостями второго и четвёртого порядка дивергентности. Рассмотрены случаи, когда определяющим коэффициентом разложения является Сг (рис. 6), Сз (рис. 7) или С4. Показано, что асимптотическое разложение разностного решения, построенное по методу II, более точно описывает поведение разностного решения, чем разложение, построенное по методу I (рис. 6). На примерах разностной схемы с линейной искусственной вязкостью и схемы с искусственной вязкостью и дисперсией показано, что в случае |Сг| < |Сз| разложение по параметру /12 = 1 /Сг, в отличие от разложения по параметру /г3 = 1/л/Сз, неверно описывает поведение разностного решения на сильном разрыве. Этот факт подтверждает правильность предложенного метода выбора определяющего коэффициента разложения.

Для схемы с линейной искусственной вязкостью по методам I и II построены неклассические дифференциальные приближения, которые, как показали результаты расчётов, правильно описывают поведение разностного решения в окрестностях сильных разрывов. В частности, пользуясь методом II получим, что нулевое и первое неклассические приближения по параметру /12 в переменных х, £ имеют вид

ди ди _ дЬ дх

Х\д2и С~2 Ж'

(14)

ди ди А\д2и ,2/ 2А2 + 1 \ дъи

а по параметру /13 записываются следующим образом

ди ди__

дЬ дх ди ди , (,,

хс-

2А2 +1

А\ дЧ и2

дхг' А С-

2А2 + 1

дх3'

(15)

(16)

Проведено сравнение построенных приближений с классическими, которые, правильно передавая поведение разностного решения на гладких решениях аппроксимируемого уравнения, перестают его приближать в окрестностях сильных разрывов. Совпадение нулевого неклассического приближения (14) с первым классическим даёт обоснование того, что в работах (Жуков А.И. 1959; Иванов М.Я. 1982) на основе точного решения первого классического дифференциального приближения было получено описание поведения разностного решения на фронте изолированной ударной волны.

Как показали численные расчёты (рис. 7), приближения (15), (16) правильно передают поведение разностного решения на сильном разрыве в случае преобладания коэффициента схемной дисперсии. Существенное отличие в данном случае нулевого неклассического приближения (15) от первого классического показывает, что разработанная методика не только даёт обоснование применимости классического первого дифференциального приближения для описания поведения разностного решения в окрестностях. сильных разрывов, но и указывает границы его применимости.

Четвёртая глава посвящена теоретическому исследованию точности разностных схем при сквозном расчёте нестационарных ударных волн. Изучается точность, с которой явные двухслойные по времени разностные схемы (6)-(9) аппроксимируют ^-условия Гюгонио (Остапенко В.В.

1998)

(I /*

[Du-f{u)]£ + — / ис/ж = О (17)

х(«)-г

— соотношения связывающие значения обобщённого решения х) системы (4) на границах е-окрестности его линии разрыва х = х(Ь), где Б = Хь. Вводится разностный аналог условий (17)

хОТ+е

(I Г

ОлК^а;)] = [Птн-<рн]е + — I чон<1х = 0, (18)

«+т х+Л/2

wh{t,x) = ^ ! vh{t\x)dt\ = ^ ! }н{1,х')йх'

< х—Л/2

и рассматривается невязка П/,[и(£, х)\ разностной схемы (6), возникающая при аппроксимации е-условий Гюгонио (17). Получена следующая

Теорема 2. Пусть

1. в разностной схеме (6), (7) производящая функция разностного потока f еСк, где к > 2;

2. е — I £ Ы, где I - число, определяющее шаблон разностного потока /;

3. схема (6) с к-м порядком аппроксимирует систему (4) на её гладких решениях;

4. х = х(Ь) — изолированная достаточно гладкая линия разрыва обобщённого решения и(Ь,х) системы (4);

5. обобщённое решение и(£, х) имеет кусочно-непрерывные к-е частные производные в окрестности линии разрыва х = х(Ь).

Тогда соответствующее схеме (6) разностное е-условие Гюгонио (18) с к-м порядком аппроксимирует е-условие Гюгонио (17) системы (4).

Приводится подробное доказательство теоремы 2 для случая к — 2. Для случая произвольного к доказательство можно провести аналогичным образом.

Из теоремы 2 следует, что явные двухслойные по времени схемы Лакса-Вендроффа, МакКормака, Русанова, имеющие достаточно гладкие функции численных потоков, аппроксимируют е-условия Гюгонио с тем же порядком, который они имеют при аппроксимации системы (1)

на гладких решениях. ТУБ схема Хартена, получаемая путём монотонизации схемы Лакса-Вендроффа при помощи минимаксных процедур коррекции потоков, имеет лишь Липшиц-непрерывные функции численных потоков и поэтому ТУБ схема не удовлетворяет условию 1 теоремы 2. Это служит обоснованием результов расчётов, проведённых в главе 1, из которых следует, что схемы Лакса-Вендроффа, МакКормака, Русанова (в отличие от ТУБ схемы Хартена) сохраняют второй порядок слабой сходимости через фронт прерывной волны (рис. 2).

Компактная схема является неявной трёхслойной по времени консервативной разностной схемой и имеет третий порядок как классической, так и слабой аппроксимации, в силу чего она аппроксимирует е-условия Гюгонио с повышенным порядком. Это проявляется в сохранении ею повышенного порядка слабой сходимости (рис. 2) и в высокой точности, с которой она вычисляет инварианты (рис. 3, 5).

В заключении сформулированы основные результаты диссертации.

1. Для явных двухслойных по времени разностных схем получены достаточные условия, при которых они с повышенным порядком аппроксимируют е-условия Гюгонио на нестационарных ударных волнах. На примерах разностных схем Лакса-Вендроффа, МакКормака и Русанова (имеющих гладкие функции численных потоков) показано, что (в отличие от ТУБ схемы Хартена, функции численных потоков которой являются лишь Липшиц-непрерывными) такие схемы сохраняют повышенный порядок слабой сходимости при сквозном расчёте нестационарных ударных волн и, как следствие, сохраняют повышенную точность в областях их влияния. Методом численного эксперимента показана более высокая точность компактной схемы, обладающей повышенным порядком слабой аппроксимации, по сравнению с явными двухслойными по времени разностными схемами, имеющими литъ первый порядок слабой аппроксимации.

2. Введено понятие неклассических дифференциальных приближений и на их основе разработан метод построения асимптотических разложений разностных решений на сильном разрыве, в основе которого лежит понятие определяющего коэффициента асимптотического разложения. Определяющий коэффициент выбирается как максимальный по модулю коэффициент при одной из пространственных производных в дифференциально-разностном представлении разностной схемы (метод I) или в П-форме дифференциального представления разностной схемы (метод II). Построены асимптотические разложения разностного решения для явных двухслойных по времени схем с искусственной вязкостью и дисперсией, а также для симметричной компактной схемы с искусствен-

ными вязкостями второго и четвертого порядка дивергентности. Построенные асимптотические разложения правильно передают поведение разностных решений.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Остапенко В.В., Тюшева O.A. Асимптотическое разложение разностного решения на фронте ударной волны для линейного уравнения переноса // Динамика сплошной среды / Изд-во Института гидродинамики СО РАН. 2001. Вып. 118. С. 58-64.

[2] Ковыркина O.A., Остапенко В.В., Павлов A.A. Неклассические дифференциальные приближения разностных схем // Вычислительные технологии. 2003. Т. 8. Ч. 2. С. 92-99.

[3] Ковыркина O.A., Остапенко В.В. Неклассические дифференциальные приближения разностных схем // Проблемы теоретической и прикладной математики. Изд-во Института математики и механики УрО РАН. 2004. С. 86-90.

[4] Ковыркина O.A., Остапенко В.В. Построение асимптотики разностного решения на основе неклассических дифференциальных приближений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2005. Т. 45. № 1. С. 88109.

[5] Ковыркина O.A., Остапенко В.В. Асимптотическое разложение разностного решения в окрестности сильного разрыва // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2007. Т. 7. Вып. 4. С. 49-73.

[6] Ковыркина O.A. Численное моделирование течений мелкой воды с прерывными волнами // Тезисы докладов 3-й Всероссийской конференции «Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения». Бийск. 2008. С. 53.

[7] Ковыркина O.A. О численном моделировании течений с прерывными волнами // Вычисл. мех. сплош. сред. 2008. Т. 1. № 1. С. 48-56.

[8] Ковыркина O.A. О реальной точности разностных схем при сквозном расчёте нестационарных прерывных волн // Тезисы докладов Международной конференции, посвящённой 100-летию со дня рождения С. Л. Соболева «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений». Новосибирск. 2008. С. 505.

Подписано в печать 25.02.2009. Формат 60 х 84 1/16. Уч. изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 82

Редакционно-издательский центр НГУ 630090 Новосибирск-90, ул. Пирогова, 2.

Введение

1 Экспериментальное исследование точности разностных схем на нестационарных ударных волнах

1.1 Постановка задачи.

1.2 Методы определения порядком слабой сходимости и относительных погрешностей.

1.3 Задача с одной прерывной волной.

1.4 Задача с двумя прерывными волнами.

2 Методы построения асимтотических разложений на сильном разрыве

2.1 Разностная задача распада разрыва.

2.2 Постановка задачи для линейного уравнения переноса.

2.3 Построение асимптотического разложения разностного решения но методу I.

2.4 Построение асимптотического разложения разностного решения по методу II.

3 Примеры построения асимптотических разложений для конкретных разностных схем

3.1 Разностная схема направленных разностей.

3.2 Схема Лакса.

3.3 Схема с линейной искусственной вязкостью (метод I)

3.4 Схема с линейной искусственной вязкостью (метод II и его сравнение с методом I)

3.5 Построение асимптотического разложения на основе определяющего коэффициента схемной дисперсии.

3.6 Разностная схема с искусственными вязкостью и дисперсией.

3.7 Симметричные компактные разностные схемы с искусственными вязкостями второго и четвёртого порядка дивергентное™.

4 Теоретическое исследование точности разностных схем сквозного счёта

4.1 Основные определения

4.2 ^-условия Гюгонио на фронте нестационарной ударной волны.

4.3 Разностная аппроксимация е-условий Гюгонио

4.4 Достаточное условие аппроксимации ^-условий Гюгонио с повышенным порядком.

Настоящая диссертация посвящена разработке методов анализа разностных схем сквозного счёта: исследованию точности разностных схем при сквозном расчёте нестационарных ударных воли п построению асимптотических разложении разностных решений па сильных разрывах па основе пеклассических дифференциальных приближении разностных схем.

Актуальность. В настоящее время для исследования сложных процессов, допускающих математическое описание или математическое моделирование широко используется вычислительный эксперимент |1, 3, 5, 10, 11, 28, 29, 49, 51, 52, 5G, 58]. Одним из главных этапов вычислительного эксперимента является построение приближённого (численного) метода решения задачи, которое в случае использования конечпо-разпостпых методов сводится к выбору разностной схемы, аппроксимирующей соответствующую систему дифференциальных уравнений. Основная трудность этого заключается в том, что для каждой такой системы можно написать бесконечно много различных, аппроксимирующих её разностных схем. Поэтому актуальной является проблема разработки новых методов анализа разностных схем п оценки их реальной точности при расчёте сложных физических задач с ударными волнами.

Для сквозного расчета разрывных решений гиперболических систем законов сохранения |13, 28, 49, 74, 76] (в частности законов сохранения газовой динамики |49, 52] и гидравлики [44, 53]) широко применяются явные двухслойные по времени монотонные разностные схемы повышенной точности (типа TVD (TVNI), TVB, ENO, WENO) [26-28, 64, 69-71, 73, 79, 80, 84-86, 92, 95]. Однако в большинстве работ, посвящёп-пых построению таких схем (см., например, |6, 12, 26, 27, 47, 48, 54, 59, 60, 67, 71, 81, 83, 87, 88, 90, 91, 94]), под точностью схемы понимается порядок её тейлоровского разложения па гладких решениях, что, как показано в [31, 37] пс гарантирует аналогичного повышения повышения точности при передачи условий Гюгонио через размазанные фронты ударных волн. Несмотря па это, долгое время было распространено ошибочное мнение о том, что указанные схемы сохраняют повышенный порядок сходимости во всех гладких частях рассчитываемых обобщенных решений. В работах [9, 38, 42, 61, 62, 65] было показано, что в общем случае эти схемы имеют не более чем первый порядок сходимости в областях влияния нестационарных .ударпых волн (т. с. ударных воли, распространяющихся с переменной скоростью) и тем самым по существу схемами повышенной точности не являются.

В [31, 37, 42] введено понятие слабой аппроксимации законов сохранения раз-постными схемами сквозного счёта, которое, в отличие от классического понятия аппроксимации, сохраняет смысл па их разрывных решениях. Получены достаточные условия слабой аппроксимации, в том числе и с повышенным порядком, н показано [42|, что явные двухслойные по времени консервативные разностные схемы имеют не более чем первый порядок такой аппроксимации. В [42] построен пример компактной разностной схемы третьего порядка как классической, так и слабой аппроксимации, которая сохраняет повышенный порядок слабой сходимости в областях влияния нестационарных ударных волн. При этом недостаточно изученным остаётся одни из наиболее важных вопросов о точности, с которой разностные схемы повышенного порядка аппроксимации па гладких решениях передают условия Гюгопно на нестационарных ударных волнах. Численному и теоретическому изучению этой проблемы посвящены две главы диссертации.

При построении разностных схем сквозного счёта, предназначенных для сквозного расчёта разрывных решений гиперболических систем законов сохранения [28, 49, 7G], основной интерес представляет поведение разностного решения па фронте ударной волны. В работах |15, 1G, 18-20] описание поведения разностного решения па фронте изолированной ударной волны было получено при помощи первых дифференциальных приближений соответствующих разностных схем. Основы классического метода дифференциальных приближений изложены в [5G, 58]. В дальнейшем этот метод получил широкое распространение и развитие [4, 14-20, 55, 57, 63, 68, 72, 78, 89, 93, 94].

В работах [15, 16, 18-20] приближение разностного решения па фронтах ударных воли было получено в результате построения точного решения первого дифференциального приближения схемы. Построить же асимптотическое разложение разностного решения па фронте ударной волны па основе классических дифференциальных приближений по шагам схемы невозможно, поскольку в нулевом приближении получается разрывная функция.

В связи с этим в [32] для разностных схем первого порядка с линейной искусственной вязкостью был предложен способ построения асимптотических разложении их разностных решении па фронте бегущей ударной волны, в котором в качестве параметра разложения выбиралась величппа обратная коэффициенту линейной искусственном вязкости. В [35] этот способ был применен для разностной схемы, аппроксимирующей нелинейное уравнение переноса, в [33, 46] — для схем, аппроксимирующих уравнения «мелкой воды», в [32, 34] — для схем, аппроксимирующих уравнения газовой динамики. В [36] этот способ был обобщен па случай разностных схем с квадратичной искусственной вязкостью, в которых в качестве параметра асимптотического разложения в окрестности фронта ударной волны выбиралась величина обратная корню из коэффициента квадратичной вязкости.

В работах [32 36, 46] асимптотическое разложение строилось для автомодельного разностного решения и = Переход к автомодельной переменной применялся также в работах |16-18, 20] при построении -точного решения первого дифференциального приближения разностных схем в окрестности фронта ударной волны. Основное преимущество, связанное с переходом к автомодельной переменной при получении асимптотического разложения, заключается в том [32, 33, 35|, что в этом случае построение разложения сводится к интегрированию последовательности обыкновенных дифференциальных уравнении первого порядка. В то же время основной недостаток такого подхода заключается в том, что автомодельное разностное решение и его асимптотические разложения определяются граничными условиями с точностью до параллельного переноса по оси и поэтому для их сравнения с разностным решением приходилось делать эвристическое предположение о совпадении центров размазанных фронтов [16, 18-20, 32-36, 46]. В данном случае такое предположение неизбежно, поскольку автомодельное решение пе описывает начальный этап формирования разностного фронта ударной волны из разрывных начальных данных. Для описания этого этапа необходимо построить асимптотическое разложение самого решения, что удобно сделать па примере линейного уравнения переноса для которого, из-за отсутствия сходящегося поля характеристик, не происходи т выход разностного решения па автомодельный режим, в силу чего этап формирования схемного фронта ударной волны «продолжается неограниченно долго». Поэтому две главы диссертации посвящены разработке методов пеклассических дифферепциальпых приближений, позволяющих строить асимптотические разложения разностных решений задачи Копш с разрывными начальными данными, существенно зависящие от двух независимых переменных t и х.

Целью диссертационной работы является теоретическое и экспериментальное исследование точпостп разностных схем при сквозном расчёте нестационарных ударных волн п разработка методов построения асимптотических разложений разностных решений на сильных разрывах на основе пеклассических дифференциальных приближений разностных схем.

Научная новизна:

1. Путём численного эксперимента показано, что разностные схемы повышенной точности, имеющие достаточно гладкие функции численных потоков (и отличие от своих TVD модификаций) сохраняют повышенный порядок слабой сходимости при сквозном расчёте нестационарных ударных волн.

2. Разработан метод, позволяющий па основе предложенных в работе пеклассических дифференциальных приближений разностных схем строить асимптотические разложения пх решений в окрестностях сильных разрывов. На основе этого метода получены обоснование и границы применимости классического первого дифференциального приближения при описании поведения разностных решений па ударных волнах.

3. Получены достаточные условия, при которых явные двухслойные но времени разностные схемы сквозного счёта сохраняют повышенную точность при аппроксимации е-условий Гюгонио па нестационарных ударных волнах.

Краткое содержание работы. Диссертация объёмом 89 страниц состоит из введения, четырех глав, заключения, 25 иллюстраций и списка литературы из 95 наименований.

Заключение

1. Для явных двухслойных по времени разностных схем получены достаточные условия, при которых они с повышенным (к-м) порядком аппроксимируют £-ус-ловия Гюгонио на нестационарных ударных волнах. На примерах разностных схем Лакса-Вепдроффа, МакКормака и Русанова (имеющих гладкие функции численных потоков) показано, что (в отличие от TVD схемы Хартепа, функции численных потоков которой являются лишь Липшиц-непрерывными) такие схемы сохраняют повышенный порядок слабой сходимости при сквозном расчёте нестационарных ударных воли и, как следствие, сохраняют повышенную точность в областях их влияния. Методом численного эксперимента показана более высокая точность компактной схемы, обладающей повышенным порядком слабой аппроксимации, по сравнению с явными двухслойными по времени разностными схемами, имеющими лишь первый порядок слабой аппроксимации.

2. Введено понятие пеклассических дифференциальных приближений и па их основе разработан метод построения асимптотических разложений разностных решений на сильном разрыве, в основе которого лежит понятие определяющего коэффициента асимптотического разложения. Определяющий коэффициент выбирается как максимальный но модулю коэффициент при одной из пространственных производных в дифференциально-разностном представлении разностной схемы (метод I) или в П-форме дифференциального представления разностной схемы (метод II). Построены асимптотические разложения разностного решения для явных двухслойных по времени схем с искусственной вязкостью и дисперсией, а также для симметричной компактной схемы с искусственными вязкостями второго и четвертого порядка дивергентпости. Построенные асимптотические разложения хорошо согласуются с разностными решениями.

1. Андерсен Д., Таипехилл ДжПлетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. М.: Мир. 1990. Т. 1, 2.

2. Атавин А.А., Гладышев М.Т., Шугрин С.М. О разрывных течениях в открытых руслах // Динамика сплошной среды АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1975. Вып. 22. С. 37-64.

3. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука. 1973. 631 с.

4. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Метод «крупных частиц» для задач газовой динамики // Числ. методы механики силотнн. среды. Новосибирск. 1970. Т. 1. N° 3. С. 3-23.

5. Воеводин А.Ф., Шугрин С.М. Методы решения одномерных эволюционных систем. — Новосибирск: Наука. 1993. 368 с.

6. Ворожцов Е.В., Яненко Н.Н. Методы локализации особенностей при численном решении задач газодинамики. — Новосибирск: Наука. 1985. 224 с.

7. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. — М.: Наука. 1988. 512 с.

8. Годунов С.К. Разностный метод численного расчета разрывных решений гидродинамики // Мат. сборник. 1959. Т. 47. № 3. С. 271-306.

9. Годунов С.К. Воспоминания о разностных схемах. — Новосибирск. Научная книга. 1997. 40 с.10| Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы. — М.: Наука. 1973. 400 с.

10. Годунов С. К., Забродин А. В., Иванов М. Я. Крайко А. Н., Прокопов Г. П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. — М.: Наука. 400 с.

11. Голъдин В.Я., Калитин Н.Н., Шитова Т.В. Нелинейные разностные схемы для гиперболических уравнений // Ж. вычисл. матсм. и матем. физ. 1965. Т. 5. N2 5. С. 938-944.

12. Гельфаид И.М. Некоторые задачи теории квазилинейных уравнений // Успехи мат. паук 1959. Т. 14. № 2. С. 87-158.

13. Давыдов Ю.М. Дифференциальные приближения и представления разностных схем. М.: МФТИ. 1981. 130 с.

14. Иванов М.Я., Корецкии В.В., Курочкииа, Н.Я. Исследование свойств разностных схем сквозного счёта второго порядка аппроксимации // Числ. методы механики сплошн. среды. Новосибирск. 1980. Т. 11. № 2. С. 41-63.

15. Иванов М.Я., Корецкий В.В., Курочкина Н.Я. Исследование свойств разностных схем сквозного счёта повышенного порядка аппроксимации // Числ. методы механики сплошн. среды. Новосибирск. 1980. Т. 11. № 4. С. 88-103.

16. Иванов М.Я., Крайко А.Н. Об аппроксимации разрывных решений при использовании разностных схем сквозного счета // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1978. Т. 18. № 3. С. 780-783.

17. Ковыркина О.А., Остапенко В.В. Неклассическпе дифференциальные приближения разностных схем // Проблемы теоретической и прикладной математики. Изд-во Института математики и механики УрО РАН. 2004. С. 86-90.

18. Ковыркина О.А., Остапенко В.В. Построение асимптотики разностного решения па основе пеклассических дифференциальных приближений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2005. Т. 45. № 1. С. 88-109.

19. Ковыркина О.А., Остапенко В. В. Асимптотическое разложение разностного решения в окрестности сильного разрыва // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2007. Т. 7. Вып. 4. С. 49-73.

20. Ковыркина О.А. О численном моделировании течений с прерывными волнами // Вычисл. мех. сплоти, сред. 2008. Т. 1. ДО 1. С. 48-56.

21. Куликовский А.Г., Погорелое П.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. — М.: Физматлиг. 2001. 608 с.

22. Марчук Г.PI. Методы вычислительной математики. М.: Наука. 1989. 608 с.

23. Остапенко В.В. Об эквивалентных определениях понятия консервативности для конечно-разностных схем j j Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1989. Т. 29. № 8. С. 1114-1128.

24. Остапенко В.В. Об аппроксимации законов сохранения разностными схемами сквозного счета // Ж. вычисл. матем. и матем. фнз. 1990. Т. 30. № 9. С. 14051417.

25. Остапенко В.В. Разложение разностного решения на фронте ударной волны // Докл. АН СССР. 1991. Т. 320. ДО 2. С. 275 -279.

26. Остапенко В.В. О разложении разностного решения на фронте бегущей ударной волны // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1992. Т. 31. Х- 2. С. 296-310.

27. Остапенко В. В. Разложение разностного решения схемы «крест» уравнений газовой динамики на фронте ударной волны // Моделирование в механике. 1992. Т. 6 (23). ДО 2. С. 108-116.

28. Остапенко В.В. Асимптотическое разложение разностного решения па фронте ударной волны // Матем. моделир. 1993. Т. 5. N° 2. С. 94-103.

29. Остапенко В.В. Разложение разностного решения на фронте ударной волны (случай квадратичной вязкости) // Динамика сплошной среды. 1994. Вып. 106. С. 121-135.

30. Остапенко В.В. О повышении порядка слабой аппроксимации законов сохранения на разрывных решениях // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. Т. 36. № 10. С. 146-157.

31. Остапенко В.В. О сходимости разностных схем за фронтом нестационарной ударной волны // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1997. Т. 37. N° 10. С. 12011212.

32. Остапенко В.В. О слабой сходимости па разрывных решениях TVD схемы Хар-тена второго порядка аппроксимации. // Вычислительные технологии. Новосибирск. 1997. Т. 2. № 5. С. 57-65.

33. Остапенко В.В. О конечпо-разностпой аппроксимации условий Гюгонио на фронте ударной волны, распространяющейся с переменной скоростью // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. Т. 38. № 8. С. 1355-1367.

34. Остапенко В.В. О монотонности разностных схем // Сиб. матем. жури. 1998. Т. 39. № 5. С.1111-1126.

35. Остапенко В.В. О построении разностных схем повышенной точности для сквозного расчета нестационарных ударных волн // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т. 40. № 12. С. 1857-1874.

36. Остапенко В.В. Симметричные компактные схемы с искусственными вязкостя-ми повышенного порядка дивергентпости // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2002. Т. 42. № 7. С. 1018-1037.

37. Остапенко В.В. Гиперболические системы законов сохранения и их приложение к теории мелкой воды. Новосибирск. Изд-во НГУ. 2004. 180 с.

38. Остапенко В.В., Тюшева О.А. Асимптотическое ра зложение разностного решения на фронте ударной волны для линейного уравнения переноса // Динамика сплошной среды. Изд-во Института гидродинамики СО РАН. Вып. 118. 2001. С. 58-64.

39. Павлов А.А. О разложении разностного решения па фропче стационарного гидравлического прыжка // Вычисл. методы прикладной гидродинамики. 1993. Вып. 106. С. 185-191.

40. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. — М.: Наука. 1978. 687 с.

41. Русанов В.В. Разностные схемы третьего порядка точности для сквозного счёта разрывных решений // Докл. АН СССР. 1968. Т. 180. № 6. С. 1303-1305.

42. Самарский А.А. Теория разностных схем. — М.: Наука. 1983. 616 с.

43. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Наука. 1980. 352 с.

44. Стокер Дж.Дж. Волны па воде. — М.: Изд-во иностр. лит. 1959. 618 с.

45. Толстых А.И. Компактные разностные схемы и их применение в задачах аэрогидродинамики. — М.: Наука. 1990. 232 с.

46. IJfonuH Ю.П. Необходимое и достаточное условие инвариантности разностных схем в терминах первого дифференциального приближения // Числ. методы механики сплошн. среды. Новосибирск. 1974. Т. 5. № 5. С. 120-122.

47. Шокин Ю.И., Яненко Н.Н. Метод дифференциального приближения (применение к газовой динамике). — Новосибирск: Наука. 1985. 365 с.

48. Лгога М., Roe P. L. On postshock oscillations due to shock capturing schemes in unsteady flows j I J. Comput. Phys. 1997. V. 130. P. 25-40.

49. Boris J. P., Book D. L., Hain K. Flnx-corrected transport. II. Generalizations of the method // J. Comput. Phys. 1975. V 18. N. 3. P. 248-283.

50. Carpenter M.H., Casper J. The accuracy of shock capturing in two spatial dimensions // AIAA Paper 97-2107. 1997. P. 488 498.

51. Casper J., Carpenter M.H. Computational consideration for the simulation of shock induced sound // SIAM J. Sci. Comput. 1998. V. 19. № 1. P. 813-828.

52. Daly B.J. The stability properties of coupled pair of nonlinear partial differential equations 11 Math. Comput. 1963. V. 17. N. 2. P. 346-360.

53. Delis A., Skeels C.P. TVD schemes for open channal flow // Int. Л. Numer. Methods in Fluids. 1998. V. 26. P. 791-809.

54. Engquist В., Sjogreen B. The convergence rate of finite difference schemes in the presence of shocks // SIAM Л. Numer. Anal. 1998. V. 35. P. 2464-2485.

55. Friedrichs K.O., Lax P.D. Systems of conservation equation with convex extension 11 Proc. Nat. Acad. Sci: USA. 1971. V. 68. № 8. P. 1686-1688.

56. Gottardi G., Venutelli M. Central schemes for open channal flow // Int. Л. Numer. Methods in Fluids. 2003. V. 41. P. 841-861.

57. Harlow F.H., Amsden А.А. К numerical fluid dynamics calculation method for all flow speeds // Л. Comput. Phys. 1971. V. 8. N. 2. P. 197-213.

58. Harten A. High resolution schemes for hyperbolic conservation laws // Л. Corrip. Phys. 1983. V. 49. P. 357-393.

59. Harien A. ENO schemes with subcell resolution // J. Comput. Phys. 1989. V. 83. N. 1. P. 148-184.

60. Iiarten A., Osher S. Uniformly high-order accurate nonoscillatory schemes j j SIAM J. Numcr. Anal. 1987. V. 24. JV? 2. P. 279-309.

61. Ilirt C.W. Heuristic stability theory for finite-difference equations // J. Comput. Phys. 1968. V. 2. N. 4. P. 339-355.

62. Jiang G.-S., Wu C.-C. A high-order WENO finite difference scheme for equations of ideal magnetohydrodynamics // J. Comput. Phys. 1999. V. 150. N. 2. P. 561-594.

63. Kroener D. Numerical schemes for conservation laws. — Wiley, Teubner, Leipzig, Germany. 1997.

64. Lax P. D. Weak solutions of nonlinear hyperbolic equations and their numerical computation // Comm. Pure Appl. Math. 1954. V. 7. № 1. P. 159-193.

65. Lax P.D. Hyperbolic systems of conservation laws and the mathematical theory of shock waves. Philadelphia: SIAM. 1972.

66. Lax P., Wendrojf В. Systems of conservation laws // Comm. Pure and Appl. Math. 1960. V. 13. P. 217-237.

67. Lerat A., Peyrat R. Noncentered schemes and shock propagation problems // Computer and Fluids. 1974. V. 2. N. 1. P. 35-52.

68. LeVcque R.J. Numerical Methods for Conservation Laws. — Basel, Boston: Birkhauser Verlag. 1992.

69. Liu X.-D., Osher S., Chan T. Weighted essentially non-oscillatory schemes // J. Comput. Phys. 1994. V. 115. N. 1. P. 200-212.

70. Lm X.-D., Tadmor E. Third order nonoscillatory central scheme for hyperbolic conservation laws // Numer. Math. 1998. N. 79. P. 397 425.

71. MacCormack R. W. The effect of viscosity in hypervelosity impact cratering // AIAA Paper 69-354. 1969.

72. Osher S. Riemann solvers, the entropy condition, and difference approximations // SIAM J. Numer. Anal. V. 21. N. 2. P. 217-235.

73. Shu C.-W. TVB uniformly high-order schemes for conservation laws // 1987. Math. Comput. V. 49. N. 179. P. 105-121.

74. Shu C.-W., Osher S. Efficient implementation of essentially non-oscillatory shock-capturing schemes. I // J. Comput. Phys. 1988. V. 11. N. 2. P. 439-471.

75. Shu C.-W., Osher S. Efficient implementation of essentially non-oscillatory shock-capturing schemes. II // J. Comput. Phys. 1989. V. 83. N. 1. P. 32-78.

76. Sweby P.K. High resolution schemes using flux limiters for hyperbolic conservation laws // SIAM J. Numer. Anal. 1984. V. 21. P. 995-1011.

77. Tadmor E. Convenient total variation diminishing conditions for nonlinear difference schemes // SIAM J. Numer. Anal. 1988. V. 25. N. 5. P. 1002-1014.

78. Vila J.P. An analisys of a class of second-order accurate Godunov-type schemes // SIAM J. Numer. Anal. 1989. V. 26. N. 4. P.830-853.

79. Wang J., Ni H., He Y. Finite-difference TVD schemes for computation of dambreak problems // J. Hydr. Engrg. ASCE. 2000. V. 126. P. 253-262.

80. Warming R. F., Hyett B. J. The modified equation approach to the stability of finite-difference methods // J. Comput. Phys. 1974. V. 14. N. 2. P. 159-179.

81. Warming R., Kutler P., Lomax H. Second and thirdorder noncentered difference schemes for nonlinear hyperbolic equations 11 AIAA J. 1973. V. 11. N. 2. P. 189195.

82. Yee H. C. Construction of explicit and implicit symmetric TVD schemes and their applications // J. Comput. Phys. 1987. V. 68. N. 1. P. 151-179.