Консервативные конечно-разностные схемы для систем законов сохранения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР

На правах рукописи

Остапенко Владимир Викторович

УДК 519.63

КОНСЕРВАТИВНЫЕ КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ СИСТЕМ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ

01.01.07 - вычислительная математика

Автореферат диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск - 199 3

Работа выполнена в Институте гидродинамики им. Лаврентьева СО РАН.

Официальные оппоненты: член корреспондент РАН,

профессор Васильев О.Ф.

доктор физико-математических наук, профессор Блохин А.М.

доктор физико-математических наук, профессор Кузин В.И.

Ведущая организация: Интститут математического моделирования РАН (г.Москва ).

" ' " ' /- ' -С

Защита состоится "2. Т> "1993 г. в /Э час. на заседании Специализированного совета Д 002.10.01 в Вычислительном центре СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск 90, пр-т Лаврентьева, 6.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Вычислительного центра СО РАН.

1Л /'/'? 1993

Автореферат разослан " /- ^ "г//. ¡Л //'' 1У 1993 года

Ученый секретарь Специализированного совета, дЛ'.-м.н. / ^ ' Ю.И.Кузнецо

общая характеристика работы.

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ.

Численные методы являются мощным инструментом решения многих прикладных задач математической физики. Более того, в настоящее время можно говорить о том, что появился новый способ теоретического исследования сложных процессов, допускающих математическое описание или- математическое моделирование - вычислительный эксперимент, то есть исследование реальных процессов средствами вычислительной математики.

Несмотря на достаточное обилие различных подходов к численному решению дифференциальных уравнений, в настоящее, время одним из наиболее универсальных и широко распространенных является конечно-разностный метод, развитию теории которого (применительно к сквозному расчету обобщенных решений систем законов сохранения ) посвящена настоящая работа.

Важнейшим свойством разностных схем, предназначенных для сквозного расчета разрывных решений.является свойство консервативности, при нарушении которого следует ожидать, что предельные разрывные решения схемы не будут удовлетворять законам сохранения аппроксимируемой системы. При этом если схема строится путем непосредственной аппроксимации интегральных законов сохранения или соответствующей им дивергентной формы записи системы, то она как правило является консервативной. Однако в целом ряде случаев такие схемы могут оказаться менее эффективными с точки зрения их численной реализации, чем схемы построенные путем аппроксимации некоторой недивергентной формы записи системы законов сохранения .

В связи с этим актуальным является развитие общей теории консервативности и связанной с ней теории слабой аппроксимации для разностных схем, построенных на основе недивергентной формы записи системы законов сохранения.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ.

1) Развитие теории консервативности конечно-разностных схем, заданных как на однородной так и на неоднородной разностных сетках, и получение на ее основе универсальных критериев для проверки консервативности конкретных разностных и дифференциаль-

но-разностных схем.

2 ) Анализ при помощи этих критериев консервативности и полной консервативности разностных схем гидравлики, использующих стандартную аппроксимацию уравнения изменения скорости, а также разностных схем газовой динамики и магнитной гидродинамики, использующих стандартную аппроксимацию уравнения для внутренней энергии.

3 ) Построение теории слабой аппроксимации законов сохранения разностными схемами сквозного счета на разрывных решениях и анализ с ее помощью конкретных разностных схем (в том числе и повышенного порядка апроксимации на гладких решениях).

4 ) Развитие метода внутренних асимптотических разложений разностных решений на фронте ударной волны и разработка на его основе метода теоретической оценки дисбалансов неконсервативных схем, возникающих при расчете по ним разрывных решений.

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ связана с использованием математического аппарата функционального анализа, общей теории разностных схем, теории обобщенных (слабых ) решений гиперболических систем законов сохранения, метода дифференциальных приближений разностных схем, а также развитой в данной работе теории представлений разложимых разностных операторов.

ДОСТОВЕРНОСТЬ полученных в работе теоретических результатов о качественном поведении разностных решений на фронтах ударных волн подтверждается проведенными тестовыми расчетами соответствующих точных разрывных решений.

АВТОРОМ ДИССЕРТАЦИИ ПОЛУЧЕНЫ СЛЕДУЮЩИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, КОТОРЫЕ ВЫНОСЯТСЯ НА ЗАЩИТУ:

1) Доказана эквивалентность четырех различных подходов к определен!® понятия консервативности разностной схемы как чисто внутреннего ее свойства. Первое из этих определений связано с возможностью построения схемы методом баланса, второе - со свойством "суммируемости" схемы по сеточной области, третье - с возможностью записи соответствующего ей оператора в виде суммы конечных разностей, четвертое - с дивергентностью дифференциального представления разностной схемы.

2 ) Получены универсальные критерии для проверки конкретных разностных и дифференциально-разностных операторов на свойство

дивергентности.

3) Введено понятие слабой аппроксимации (в том числе и с повышенным порядком) закона сохранения разностной схемой сквозного счета на классе кусочно-непрерывных функций и получены достаточные условия такой аппроксимации на неоднородной сетке и необходимые и достаточные условия - на равномерной однородной сетке.

4 ) Предложен и обоснован способ построения консервативных разностных схем, при котором сначала строятся их дифференциально-разностные аналоги, а затем по этим аналогам восстанавливаются сами схемы. На основе этого способа построены консервативные схемы гидравлики, использующие стандартную аппроксимацию уравнения изменения скорости, а также консервативные схемы газовой динамики и магнитлой гидродинамики, использующие стандартную аппроксимацию уравнения для внутренней энергии.

5 ) Разработан метод, позволяющий строить внутренние асимптотические разложения разностных решений на фронтах ударных волн. При помощи этого метода развит способ получения теоретических оценок дисбалансов неконсервативных разностных схем на ударных волнах. Этот способ использован для определения оценок дисбалансов, возникающих в неконсервативных схемах газовой динамики и магнитной гидродинамики при расчете по ним разрывных решений.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ РАБОТЫ.

Результаты работы могут быть использованы для построения экономичных консервативных и полностью консервативных разностных схем аппроксимирующих неконсервативные формы записи различных систем законов сохранения.

На основе полученных в работе консервативных схем гидравлики был создан шкет прикладных програм для расчета плановых волновых течений однослойной и двуслойной мелкой жидкости в областях сложной геометрической формы. Двуслойный вариант этих программ, со специально введенным "сухим" трением в нижнем слое, был использован для расчета распространения прерывной волны, которая может возникнуть в Сарезском озере (Таджикистан) при катострофи-ческом обрушении в него берегового оползня.

АППРОБАВДЯ РАБОТЫ.

Основные результаты диссертации докладывались на семинарах академика А.А.Самарского (Институт математического моделирования РАН), член-корр. РАН О.Ф.Васильева (Институт водных и экологических проблем СО РАН), член-корр. РАН С.К.Годунова (Институт математики СО РАН), член-корр. РАН А.Н.Коновалова (Вычислительный центр СО РАН), член-корр. РАН Г.А.Михайлова (Вычислительный центр СО РАН), член-корр. РАН Ю.И.Шокина и д.ф.-м.н. В.М.Ковени (Институт вычислительных технологий СО РАН), д.ф.-м.н. А.М.Бло-хина (Новосибирский государственный университет ), д.ф.-м.н. В.В. Пухначева (Институт гидродинамики им. Лаврентьева СО РАН), а также на международных и всесоюзных конференциях.

По теме диссертации опубликовано 27 печатных работ.

ОБЪЕМ РА60ТЫ: Работа состоит из введения, пяти глав (разбитых на параграфы), заключения и списка литературы из 340 наименований. Работа изложена на 337 станицах.

краткое содержание диссертации.

ВО ВВЕДЕНИИ приведен обзор литературы, рассматривается актуальность темы диссертации, кратко излагается ее содержание и основные результаты.

В ПЕРВОЙ ГЛАВЕ развивается теория консервативности разностных схем, заданных как на однородной так и на неоднородной сетках. Следует подчеркнуть, что консервативность является важнейшим свойством разностных схем предназначенных для сквозного расчета разрывных решений. Впервые обратили на это внимание А.Н.Тихонов и А.А.Самарский, которые построили пример неконсервативной разностной схемы для уравнения теплопроводности, имеющей второй порядок точности в классе достаточно гладких коэффициентов, но расходящейся в классе разрывных коэффициентов. Ими же был предложен интегроинтерполяционный метод построения консервативных схем.

Другие способы построения консервативных разностных схем для гиперболических систем законов сохранения (и прежде всего для уравнений газовой динамики) были развиты в работах С.К.Годунова (метод распада разрыва), В.В.Русанова (схемы типа Рунге-Кутта ), А.А.Самарского и Ю.П.Попова (полностью консервативные

схемы), Н.Н.Яненко и Ю.И.Шокина (инвариантные схемы), А.И.Толстых (компактные схемы), П.Лакса и Б.Вевдроффа, Б.Лира (метод ращепления вектора потока) и в целом ряде других работ. Методы локализации ударных волн и контактных разрывов развивались в работах Н.Н.Яненко, Е.В.Ворожцова, А.В.Федорова, В.М.Фомина (метод дифференциального анализатора ), в работах Дж.П.Бука и Дж. Л.Бориса (метод коррекции потоков), а также во многих других работах посвященных построению монотонных разностных схем повышенного порядка аппроксимации. Сиыметризуемость системы законов сохранения и вытекающее из нее наличие дополнительного замыкающего закона сохранения использовались при построении и анализе устойчивости разностных схем в работах С.К.Годунова, С.М.Шугри-на, С.М.Блохина и Р.Д.Алаева, П.Лакса, А.Хартена, С.Ошера, Р.Дж. Перна. Методы построения консервативных схем гидравлики разрабатывались в работах О.Ф.Васильева, А.А.Атавина, А.Ф.Воеводина, С.М.Щугрина, А. Н. Метит ее за, Ж. А. Клика, Ф.М.Холли.

Следует отметить, что во всех указанных вьшо способах построения консервативных разностных схем под консервативностью схемы понимается выполнение для нее некоторых разностных аналогов соответствующих интегральных законов сохранения. При таком подходе консервативность схемы является свойством, связанным со способом ее построения и определяемым через консервативность аппроксимируемой системы. В то же время, поскольку разностную схему можно рассматривать как самостоятельный математический объект, значительный интерес прздетавляет другой подход, трактующий консервативность схемы как чисто внутреннее ее свойство, не только не связанное с конкретным способом ее построения, но также непосредственно не связанное с тем, какую систему и как ока аппроксимирует. Важное прикладное значение такого подхода выясняется при анализе консервативности разностных схем, построенных путем аппроксимации некоторой недквергентной формы записи системы законов сохранения.

В соответствии с этим подходом, в первой главе данной работы развивается теория консервативности разностных схем, в которой консервативность рассматривается как чисто внутреннее свойство схемы. В § 1 первой главы рассматриваются разностные схеш, заданные на неоднородной точечной сетке и с К" , равномерно заполняющих пространство К" , в том смысле, что для

V х { ж" Зу(И : | х-у | ; |х-у|>г Ь,у С И ;

где я и г - заданные положительные числа.

На множестве точек (узлов ) VI определим множества

И = { и : V* =» ) , ЭЗГ = { v : М => К }

сеточных вектор-функций и , отображающих И в К*4 и скалярных функций V , отображающих к в К . Для Ухеи зададим упорядоченные множества

Вх = { У^Х).....ум (X) ) : Вх С И П ин(х) (1)

и функции м-м

Ах : К х =» К , (2)

где ин (х) - н-окрестность точки х в пространстве 0?" .

При помощи упорядоченных множеств (1) и функций (2) определим разностный оператор Л : ЭК =» ОТ положив, что при УиеК , Ух^ значение сеточной функции у=Л[и] в узле х дается формулой

V(х) = Л[и] (X) = Лх(и(Вх)) , (3 )

где и(Вх) = { и(у1(Х)), ... ,и(ун (х)) } . Операторное уравне-

X

ние Л[и] = 0 , эквивалентное бесконечной системе уравнений

Лх(и(Вх)) = о Ух<ЕИ (4)

назовем разностной схежзй.

.Из (3) следует, что значение v(x) сеточной функции Л[и] в каждом узле х зависит от значений функции и(х) только на ограниченном множестве узлов (1). Поэтому множество (1) назовем множеством зависимости, а функцию (2) - производящей функцией оператора (3) и схемы (4) в узле х .

Далее оператор Л будем сокращенно записывать в виде

Л= (Лх[вх]} , Лх[вх] зЛх(и(Вх)) . (5)

Вложим точечную сетку и в некоторую ячеечную сетку Р , каждая ячейка а которой представляет некоторый многогранник, содержащий один узел сетки V (объединение этих ячеек покрывает все пространство ). Важным частным случаем такой сетки Р

является сетка составленная из ячеек Дирехле. Ячеечная сетка Р ,

содержащая точечную сетку V? , задает на ней связный неореенти-руемый граф с(Я) , вершинами которого являются узлы сетки V и ребрами которого являются отрезки [х,у] , соединяющие те узлы , которые принадлежат смежным ячейкам сетки Р (т.е. ячейкам, имеющим общую (п-1)-мерную грань). Граф С(И) задает на сетке V? целочисленную метрику р(х,у) , в которой расстоянием между узлами х,уея является количество ребер, входящих в минимальную цепь, соединяющую вершины х , у графа С (Я) . Метрика р(х,у) характеризует внутреннюю топологию графа в(Я) и не зависит от метрики пространства К" , в которое вложена сетка и . Далее граф с (И) будем называть п-л<ерной разностной сеткой, в отличие от породивших ее точечной сетки и и ячеечной сетки Р .

Введем обозначения Фга(х) = { у€И : р(х,у)^л ) , Ах= Ф1(х)\х и заметим, что в силу построения сеток V? и Р , и множеств зависимости (1 ) 3 ь е Ш : Вх с Фь(х) Ух^И .

определение I. Схема (4) построены методом баланса на разностной сетке й^) , если, ее производящие функции Лх при УиШ допускахм запись в виде

= Е Лху[Вху] •

У X

где при. У[х,у] ( вт

1) Л [в ] + Л [В ] = О , 2) В , В с Ф„ (х) , Ф,, (у) ' ху 1 ху' ух1 ух 1 ' ' ху ' ух 21**''

Лху'вху' " ^ху'и(Вху" ~~ некоторые разностные операторы вида

(5), в которых Лху - их производящее функции, а вху - соответствующие им тожества зависимости.

Это определение естественно обобщает интегроинтерполяцион-ный метод построения разностных схем при котором аппроксимация законов сохранения происходит путем аппроксимации потоков через границу области интегрирования. Введем оператор сумки

= {Эй [в„ ]}, э.. = У^ Л (и(в )) . (6)

М 1 Мх 1 Мх ' ' ' Мх и У У

У€Фм(х)

определение 1а. Схем (4) построены метод ом баланса, если .тожества зависшюсти вМх соответствующего ей оператора суши

(6) удовлетворят условию вМх П (>=) = 0- Ума, Ухе? .

Условие этого определения означает,что при Ум > ь , Ух £ и сумма БИх не зависит от значений сеточной функции и , которые она принимает на множестве " самым» из определения

1а следует, что подобно дивергентному дифференциальному оператору, интеграл от которого по области сводится к поверхностному интегралу по ее границе, при суммировании разностного оператора, построенного методом баланса, по сеточной области Фм(х) . полученная сумма БМх будет зависеть от значений сеточной функции и только из множества вдоль границы этой об-

ласти.

В § 1 первой главы доказана следующая

теорема I. Определения 1 и 1а эквивалентны..

В § 2 первой главы изучаются однородные разностные схемы, заданные на однородной сетке.

определение 2. Разностую сетку с (Я) назовем однородной, если для У х,у с и существует и единственен автоморфизм (сдвиг)

т сети С(Н) такой, что у = т °х , р(г,т = р(х,у)

ху ху ху

У г ей ; и множество И. всех этих сдвигов образует линейное пространство над кольцом целых чисел 2 .

определение з. Разностную схему (4), заданную на однородной сетке с(Ч) назовем однородной, если ее множест&а зависимости вх и производящие функции Лх при У х,уеи удовлетворят условиям

в = т -в , Л [в ] = Л„ [в ] (7 )

у ху х у 1 х' х 1 х ' 4 '

Поскольку, в силу (7), производящие функции Лх однородной схемы (4) не зависят от х , то при их записи индекс х будем опускать. С учетом этого однородную разностную схему (4) будем записывать в виде

Л[ВХ) = Л(и(Вх)) = 0 Ух£И . (8 )

Будем считать, что действие оператора сдвига т на каждый однородный разностный оператор Л задается формулой

т°Л[вх) з Л[т°вх) УтеО. Ух€И .

определение 4. Однородную разностную схему (8) назовем, кон-серватевной, если она допускает запись в следующей канонической форме

Л(вж) = £ (т1-е)«л1[вх5] = о Ухеи , о)

где операторы т1 образуют базис пространства сдвигов 1 , е -единичный оператор, Лоднородные разностные операторы, жо-жества зависимости {вх1} которых при v 1=1, ... v х,уеи

удовлетворят условиям в = тху°вх1 ; вх1 , т1»вх, с ^ (х) .

Отметим, что П.Лаке и Б.Вендрофф в 1960 г. использовали двуслойные по вреиени разностные схемы вида (9), заданные на прямоугольной сетке, для сквозного расчета слабых решений гиперболических систем законов сохранения. В дальнейшем в ряде работ такие схемы стали называть консервативныш в стсле Лакса-Вендроф-фа.

Следующая теорема, с учетом определений 1 и теоремы 1, дает общий критерий консервативности произвольной разностной схемы (8 ).

теорема 2. Для консервативности однородной разностной схем (8) необходимо и достаточно, чтобы она была построена .методом баланса и соответствующая ей производящая функция А при всех и € к" удовлетворяла условию Л(и.....и) = о .

Далее в первой главе рассматриваются разностные схемы, заданные на равномерной прямоугольной сетке в(Я) с к" , узлы которой имеют координаты

X = ... ,1пьп) ; 1,.....1П € 2 , (10)

где - шаг сетки в направлении оси Ох1 . На этой сетке зададим однородную разностную схему

л(вх] = 2 п ти»чк(11 л (x) = 0 , т^.х € вх ; (11)

где с^ - константы, Т^ - операторы сдвига, а к(1, з) - целая функция, принимающая значения { 1, ... ,N1 .

Следуя работам Н.Н.Яненко и Ю.И.Шокина дифференциальным представлением оператора сдвига т такого, что

Т°и<х1.....V = и<х1+к1111.....хп+кпЬп>

назовем формальный дифференциальный ряд

п 00 Ь" аа к, п 00 (к Ь )а да

Т=П(Е — — ) =П Е

1=1 а=0 а! Ах" 1=1 а=о а! Эх"

а дифференциальным представлением разностной схем Си; назовем уравнение

л . Е^ п " 0 ' (12)

где т^ - дифференциальные представления операторов сдвига т^

Преобразуя уравнение (12) в соответствии с правилами суммирования и перемножения формальных рядов, запишем его в стандартной форме

оэ а, а

Л = Е • ■ ■ ь„ р = 0 , к > 0 , (13)

. . па,,. ...а

а, +. . .+а =к 1 п

1 п

в которой все операторы Г не зависят от Ь (некоторые

а1'' ''ап

из них могут быть равны нулю). Дифференциальное представление (12) разностной схемы (11) назовем дивергентным, если дивергентными являются все дифференциальные операторы г , вхо-

1 ' ' ' * ' п

дящие в его стандартную форму записи (13).

Идея следующего определения принадлежит Н.Н.Яненко

определение 5. Схеш (11) является консервативной. если дивергентным является ее дифференциальное представление (12).

теорема з. Для схем (и) определения 4 и 5 эквивалентны.

Отсюда следует, что для схем вида (11) все четыре рассмотренных выше подхода к определению понятия консервативности (вытекающие из определений 1,4,5 и теорем 1-3), являясь эквивалентными, просто отражают различные стороны одного и того же свойства .

В § 3 первой главы на основе определений 1а и 5 разработаны достаточно удобные критерии для проверки конкретных разностных схем вида (11) на свойство консервативности и приведены примеры построения дивергентных разностных операторов, использующих стандартную аппроксимацию недивергентной формы записи различных дивергентных дифференциальных операторов.

ВО ВТОРОЙ ГЛАВЕ развивается теория слабой аппроксимации законов сохранения разностными схемами на классе обобщенных (сла-

бых ) решений.

Рассмотрим n-мерный скалярный закон сохранения

п N 9f, flu.

F[u(x)] = diU(f(u(x))) s £ E — — = 0 - <l4>

1=1 j=l öuj öxt

где x e R" - независимая переменная, u(x) - искомая функция, отображающая R" в к" ; f(u) - заданная гладкая функция, отображающая к" в . Для определения класса функций, среди которых будем искать обобщенные решения закона сохранения (14), обозначим через ф множество точек разрыва функции и(х) , а через °с<Фи) обозначим пересечение множества D с (R" с е -окрестностью множества ф . Будем считать, что функция ч(х) принадлежит классу 9t , если она ограничена и для каждого ограниченного множества d с 35" Um v(D (фи)) = 0 , где V(D ) -

е-*о

объём множества D . Класс ЭТ естественно обобщает понятие

с

класса кусочнонепрерывных ограниченных функций.

Следуя работам Э.Хопфа, П.Лакса, Б.Л.Рождественского и H.H. Яненко функцию и £ 31 назовём обобщенным (слабым ) решением закона сохранения (14 ), если

! f(u) Vg dx = 0 Vg £ ) , (15)

где С^ - класс бесконечно дифференцируемых скалярных финитных функций. В формуле (15) и везде далее, если область интегрирования не указывается, то это означает, что интеграл берётся по всему пространству переменных R" .

Для введения понятия аппроксимации уравнения (14 ) разностной схемой (4 ), рассмотрим семейство подобных ей схем

Лх (u(Bx ) ) =о Vxew , (16 )

h

где xh = ®h°x . вх = ®h°Bx : а \ ~ nPe06Pa30BaHIIG сжатия про-h

странства К" в 1/h раз к некоторой точке t € К" , т.е. Фн»х = t + h(x-t) для V х £ [R" . Такое сжатие связано с условной аппроксимации на прямоугольной сетке, при которой (в силу условия устойчивости, характерного при аппроксимации гиперболических уравнений ) все шаги схемы изменяются при стремлении их к нулю пропорционально друг другу.

определение 6. Семейство функций uh € 9t почти, равномерно сходится при ь->о к функции и ( 31 , если для каждой ограниченной области d е к" и для каждого е>о

Itт [и.-и|(тч = о , где |uUs max |и(х)| , © = d \ d (фи) . h-o с м хе® с с

Сходимость-в смысле этого определения является частным случаем сходимости "почти всюду". -При помощи определения 6 дадим основное во второй главе

определение 7. Разностная схема (4) аппраксишрует закон сохранения (14) на классе функций 91 , если для каждого семейства равномерно no h ограниченных функций uh е 91 , почш равномерно сходящихся при h->0 к некоторой функции и ( 3! , и для всех g i C^iK")

lira hn_1 2 WBx )) g(j^) = -J f(u) vg dx , . Bx = Фь»Вх . h-ю xfW h h

В этом определении по существу сформулированно требование аппроксимации формулы интегрирования по частям

J- dtU(f(u)) g dx = -J- f(u) vg dx ,

при помощи которой вводится понятие слабого решения закона сохранения (14). Смысл этого определения заключается в следующем. Пусть vh - семейство решений схемы (16), то есть Лх (vh )=о при Vx£W Vh>0 . Предположим, что решения vh при h-0 сходятся к некоторой функции u Е 91 в том смысле, что к этой функции почти равномерно сходятся при h->0 кусочнопостоянные функции uh , значения которых при каждом фиксированном h совпадают в узлах сетки Wh = ®h°w со значениями сеточной функции vh . Тогда, если схема (16) удовлетворяет определению 7, то предельная функция и будет слабым решением закона сохранения (14).

Для получения достаточных условий слабой аппроксимации в смысле определения 7, зафиксируем ячеечную сетку Р содержащую точечную сетку W , на которой задана схема (4 ). При помощи этой сетки Р зададим на точечной сетке w разностную сетку G(w) , на которой рассмотрим разностную схему построенную методом баланса по определению 1. Дадим вспомогательное

определение 8. Производящие функции Л , входящие в опре-

Ху

деление i назовем i) равномерно ограниченным, если для

VA>0 3 В>0 : v (x,y]€G(W) , VUj : ¡Uj|<A ; i = l, ... , Mxy =>

lAxy<Ul.....UM >I<B

' xy

2) равностепенно непрерывными "в окрестности диагонали", если для Ve>0 VA>0 3 0>0 : V [x,y]€G(W) , VueO^ : |U|<A , vu^k" : |uj-u|<6 ; 1=1.....mxy

1Лху'и1.....UM >"Axy<U.....U>l<e •

xy

Наряду с сеткой P (при помощи которой была построена разностная сетка G(W) ), зафиксируем еще одну ячеечную сетку Р', относительно которой будем предполагать, что (а\3а) П g(w) 0 для Vaep' , где 5а - граница ячейки а . Обозначим через На множество ребер сетки g (w) , которые пересекаются с а\да , а для каждого ребра [х,у] € Н^ через (х"У)а обозначим вектор, направление которого совпадает с направлением вектора х-у и длина которого равна длине отрезка [х,у] П a .

теорема 4. Для того, чтобы схе.'.и (i) аппроксимировала закон сохранения (и) в слысле определения i, достаточно, чтобы она была построена методом баланса на разностной сетке g (wj u производящие функции Л „ ее разностных стерашоров потоков были

ху

равномерно ограниченнши, равностепенно непрерывными "в окрестности диагонали" и при Va е р' были согласованы с векторным потоком f закона сохранения (14), в слысле выполнения при V и е следующего условия

£ Л <и.....и) (у-х) = f (U)V{a) , (17)

[х,у)ен ху a

a

где v(a> - объём ячейки а .

Из этой теоремы следует, что условия, достаточные для слабой аппроксимации на функциях класса 9? , не зависят от точки t сжатия сетки w , а также от конкретного выбора ячеечной сетки Р , задающей на сетке w разностную сетку G(w) . Эти условия существенно зависят от выбора сетки Р' , относительно ячеек

которой записаны соотношения (17) (они становятся более слабыми с увеличением размеров ячеек сетки Р' ). Отметим, что условия (17) в общем случае не совместны с более распространенными условиями согласования

Лху(и.....U) = f(U) S([х,у]) VU € к" V [х,у] е G(W) , (18)

в которых S([х,у]) - вектор перпендикулярный к грани сетки Р пересекающей ребро [х,у] (длина вектора S([x,y]) равна площади этой грани, а направление совпадает с направлением внешней нормали для ячейки а е Р : х ç а ). Соотношение (18 ) получается путем непосредственной аппроксимации потоков f через грани ячеек сетки р при записи интегрального закона сохранения

§ f(u) ds = О S

относительно границ этих ячеек. В § 2 второй главы показано, что условия (17) и (18) становятся эквивалентными для однородных разностных схем, заданных на однородных равномерных сетках G(W) и Р .

В заключение § 1 главы 2 рассмотрен пример слабой аппроксимации на шестиугольной по пространству разностной сетке двумерного нелинейного уравнения переноса.

В § 2 второй главы получен критерий слабой аппроксимации закона сохранения (14) однородной разностной схемой (8), заданной на равномерной сетке, под которой понимается такая однородная сетка G (W) с , каждый сдвиг т которой реализуется как паралельный перенос на вектор у-х в пространстве (к .

теорема 5. Для того, чтобы однородная схет (8), производящая функция Л которой непрерывна, слабо аппроксимировала по определению i на равномерной разностной сетке G(W) закон- сохранения (а) необходимо и достаточно, чтобы она допускала запись в канонической форме (9), в которой производящею функции

непрерывны и согласованны с векторным потоком f закона сохранения (14) в смысле выполнения при всех и ç r" следующего условия

£ Л. (U.....U) е = V f (U) , (19)

1 = 1

где е. = (т.-Е)ох , a v - объем ячейки равномерной ячеечной

сетки р , содержащей точечную сетку и .

Из этой теоремы следует, что необходимым условием слабой аппроксимации закона сохранения (14) однородной разностной схемой (8), заданной на равномерной сетке, является консервативность схемы (8). Это означает, что, если схема (8) аппроксимирует закон сохранения (14 ) на гладких функциях (в смысле обычного Тейлоровского разложения), но при этом не является консервативной, то она не будет аппроксимировать этот закон сохранения на разрывных функциях и £ 91 (в смысле определения 7 ). Причем этот факт не зависит от порядка аппроксимации на гладких функциях.

Полученные в теореме 5 условия согласования (19) наиболее простой вид принимают на прямоугольной равномерной сетке (Ю ), у которой вектора е1 = (Т1~Е)°х направлены в ту же сторону, что и единичные базисные вектора е^ декартовой системы координат в К" , то есть = ^ье/ , где 11. - шаг сетки в 1-ом базисном направлении. Поскольку в этом случае

£ = £ ^е; = £ ^е^ь , v = п ь 1=1 1=1 1=1

то векторное условие согласования (19) распадается на п скалярных условий Л. (и, ... ,11) = ^ (II) Н1 ,1=1, ... ,п ; где

н. = 11. •... >ь. , -ь. , •.. . -ь .

11-1-11+1 п

На равномерной разностной сетке множества зависимости Вх однородной схемы (8) при всех х £ можно записать в виде

вх = { , . .. , х+Ь|хм } , где - заданные вектора в 2П .

С учетом этого, саму схему (8 ) на равномерной сетке можно представить следующим образом

Ль[и(х)] = Л(и(х+11Ц1).....и(х+11Ц.м)) = 0 . (20)

Будем считать, что функции и(х) , входящие в (20), определены не только при х € , но и при всех х ( (такое рассмотрение широко используется при анализе аппроксимационных свойств разностной схемы ). Тогда схема (20 ) также определена при всех х К" и для нее имеет смысл следующее определение , представляющее собой интегральный аналог определения 7.

определение э. Разностная схела (20) аппрокси-трует закон сохранения (14) на классе функций 31 , если для каждого селвйст-

6а равномерно по h ограничнных функций uh е 91 , почти равномерно сходящихся при h - о к некоторой функции и £ ЧП , и для всех g е

Um — Jl|u (X)] g(x) dx = - Jf(u) vg dx . (21) h-»0 hV

где v - объел ячейки равнолерной ячеечной сетки р , содержащей сетку w , на которой задана схема (20).

теорема 6. В случае однородной разностной схеян (20), производящая функция Л которой непрерывна, определения 7 и 9 эквивалентны.

В заключение § 2 главы 2 показано, что неконсервативность разностной схемы в общем случае приводит к нарушению сходимости разностного решения на фронте бегущей ударной волны.

В § 3 главы 2 показано, что введенное А.А.Самарским и Ю.П. Поповым понятие полной консервативности разностной схемы существенно связано с, введенным в данной работе, понятием стандартной аппроксимации, которая предполагает замену всех элементарных дифференциальных операторов, входящих в систему, на аппроксимирующие их конечно-разностные отношения.

В ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ предложен и обоснован способ построения консервативных разностных схем (использующих стандартную аппроксимацию недивергентной формы записи системы законов сохранения), при котором сначала строятся их дифференциально-разностные аналоги, а затем по этим аналогам восстанавливаются сами схемы. В основе этого способа лежит приводимая ниже теорема 6, для формулировки которой рассмотрим дивергентный дифференциальный оператор-

n 3f (и)

F[u(x) ] = diu f (u) = £ -pji- , (22)

1 = 1 üxi

в котором функции ft представляют собой многочлены

fi = Д аифи ' фи = uk1Jk ' аи = const (22a>

от компонент вектор-функции и = (и1# ... ,uN), зависящей от векторного аргумента х = (xJ( ... ,хп) . Введем обозначение

»и = { и , ; Ф«и , к=1 } , (23)

в котором Ф - некоторый дифференциальный или разностный оператор. При помощи вектор-функций

"и = ',"1.....ц1,.....,»м.....цн,> <24)

V V

-иГРаэ »ин-раз

N

содержащих м. . = £ га, компонент, с учетом обозначения (23), м к=1 и«

оператор (22) можно записать в следующей недивергентной форме

П Ни Ми (д -.1

Р = Е Е а Е П §зг , (25)

1 = 1 j = l к=1 1 = 1 *-ох1-'к 1'31

где - компоненты вектор-функций (24).

Для аппроксимации оператора (25) на прямоугольной сетке (Ю) обозначим через E(s) оператор осреднения

Els) = Ё - Ё Pi = 1 - Pi = const (26)

l=-ra l=-m

по координате xs , в котором T* - оператор сдвига на i шагов hs по оси xs . Вводя обозначения

fi|s) = { a/dxj , sjii ; , s=i ) , где Aj = (Tj-E)/ht ,

аппроксимируем на сетке (10) оператор (25) дифференциально-разностными (ДР) операторами

J • н, , м, , ,

(ч) П 1 ij ij f (-П1 (ч!

Л(з) = Е Е а Е п [a s)j .Е , (27)

1=1 J=1 1J k=l 1=1 1 1 Jk 1J 1 1J1

s =

( Э )

1.....п ; в которых - некоторые операторы осредне-

( Б )

ния (26). Отметим, что каждый ДР оператор Л является разностным по переменной хз и дифференциальным по остальным переменным х1 ; . По операторам (27) однозначно восстанавливается разностный оператор

«7* М, . М, , , п 1 1,5 1,1 г ,1 п , ,

Л = Е Е «и Е П ГдЛ . п . (28)

1 = 1 j = l ^ к=1 1 = 1 1-'к б=1 ^ Поскольку, при всех 5=1, ... ,п

lim ... lim lim ... lim Л = Als) , (29)

h ,-.0 h ,->0 h ->0 1 s-1 s+1 n

то операторы (27) назовем ДР аналогами разностного оператора (28). При этом из (29) следует, что для дивергентности разностного оператора (2 8 ) необходимо, чтобы дивергентными были его ДР аналоги (27) (под дивергентностью ДР операторов (27), в соответствии с определением 5, понимается дивергентность их дифференциальных представлений). Оказывается, что для достаточно широкого класса операторов (22) имеет место и обратное утверждение.

теорема 7. Если оператор (22) удовлетворяет условиям 1) Фи * Ф1к V i , V j/k ; 2) О m1Jk <2 V i,j,k ;

3) если m = 2 , TO m = О при V 1/к ;

1 j К 1 J1

то для дивергентности разностного оператора (28) достаточно, чтобы дивергентными были его ДР аналоги (21). Если же хотя бы одно из условий 2 или 3 нарушено, то тогда существует двуточечный по всем переменным х недивергештий разностный оператор (28), все ДР апологи (гп) которого дивергенты.

Доказательству этой теоремы посвящен § 1 главы з. В конце этого параграфа приведены примеры построения при помощи метода восстановления двумерных• дивергентных разностных операторов, использующих стандартную аппроксимацию недивергентной формы записи дивергентного дифференциального оператора.

В § 2 главы 3 метод восстановления применяется для анализа консервативности разностных схем одномерной и двумерной (плановой ) гидравлики, построенных путем аппроксимации недивергентного уравнения изменения скорости. В качестве примера применим теорему 7 для выделения всех консервативных разностных схем, входящих в восьмипараметрическое семейство схем

k VH + Е Лг°(а) - 0 ' <30а>

1 (р) 1 (0) (г) 1 (г)

^ Vv + Q(a.b> Б Arv(c) / н<0.5> + 5 Н VH - 0 ' <30б>

стандартным образом аппроксимирующих недивергеитную форму записи уравнений одномерной гидравлики, в случае прямоугольного русла

н,. + Ох = о , v,. + о vx/H + д Нх = 0 , (31)

в которых Н - глубина воды, 0 - расход, V - скорость, д - ускорение силы тяжести. При записи схемы (30) использованы следующие

обозначения = [атт+(1-а)Е], £ = [(1-а)Е]°£ ,

£г ч = [ ат. + (1-а-Ь) Е+ЬТ . ] , Д.=Тт-Е , Д =Т.-Е , Д-=Е-Т , . (а,Ь) 1 Ь 4 ' -Ь' I ' х (1 ' х -11

где Тт - оператор сдвига на один шаг 1 по времени, а Ть,-оператор сдвига на один шаг Ь по пространству. В схеме (30) глубины вычисляются в целых, а расходы и скорости - в полуцелых по пространству узлах разностной сетки, что обеспечивает второй порядок пространственной аппроксимации.

Следствием системы (31 ) является уравнение

0,. + ( 02/Н + д Н2/2 )х = 0 , (32)

представляющее собой закон сохранения импульса. Для консервативности схемы (30 ) необходимо, чтобы консервативным было соответствующее ей разностное уравнение импульса аппроксимирующее уравнение (32). Для получения этого уравнения возьмем полусумму уравнений (31.1), записанных в двух соседних узлах л.Ь и

(1 - т )

(1 + 1) Ь , умножим ее на V ' и сложим с уравнением (31.2), <г>

умноженным на Н(0 5) . В результате придем к следующему разностному уравнению импульса

"ь

в котором

(1-у) . (а) (0) . (в)

ЛЬ = У 2Н А2х°° + 0(а,Ь) 5 Ах^(с) • Д2х = тн"Т-П ' <34>

(33)

Для консервативности-разностного уравнения (33) достаточно, чтобы дивергентным был, входящий в него, оператор (34 ), который стандартным образом аппроксимирует недивергентную форму записи vQx+Qvx дивергентного дифференциального оператора (0у)х • Поскольку этот оператор удовлетворяет условиям 1 )-3 ) теоремы 7, то для дивергентности разностного оператора (34 ) достаточно, чтобы дивергентными были его ДР аналоги

Лт = Ш = У(1-")(Ои))х + о'"' (У(0))х , (35а)

ЛЬ = - * 2К + О(а.Ь) Б ЛГ"(с) • <35б>

Пользуясь критериями, вытекающими из определений 1а и 5, можно показать, что оператор (35а) является дивергентным при выполнении одного из двух условий

1) а=р, 7+9=1 ; 2) Р = 7, а + 7=1 ; (36а)

а оператор (356 ) - при выполнении одного из трех условий

1) а=Ь=0, с=0.5 ; 2) а=с=0, Ь=0.5 ; 3) а=0.5, Ъ=0, с=1 . (366)

Эти условия, в силу теоремы 7, выделяют шесть однопараметричес-ких семейств консервативных схем (30), для которых разностное уравнение импульса (33) допускает запись в дивергентной форме. Особый интерес представляет, входящая в построенные семейства консервативных схем (30 ), (36 ), разностная схема

1 V" + Б Лх°° - 0 ' <37а>

ч + 0 2н д2х^ ' н!о!5» + 9 б v""' = 0 ' (3?б>

получаемая при весах а=р=6=а=Ь=о , с=0.5 , 7=1 . Эта схема, имеет второй порядок пространственной аппроксимации, допускает явную реализацию и является условно устойчивой по Куранту в линейном приближении. Для устойчивого расчета по ней разрывных решений в правую часть уравнения (376 ) необходимо добавлять некоторую искусственную вязкость.

Наибольший практический интерес представляет построенная на основе схемы (37) почти консервативная разностная схема гидравлики для общего случая непрямоугольного непризматического русла, поскольку при реализации этой схемы удается избежать численного определения интегралов давления и реакции стенок русла на что в традиционных консервативных схемах (построенных путем аппроксимации закона сохранения импульса ) уходит значительная часть машинного времени. На рис.1 приведены результаты расчета по этой схеме задачи распада начального разрыва уровней в трапециоидаль-ном русле (рис.1а) и нетрапециоидальном русле, имеющем область

сужения (рис. 16). Пунктиром на рис.1 показано начальное положение свободной поверхности воды, а кружками - результаты численного расчета на момент времени юо сек. Сплошной линией на рис.1а изображено точное решение на тот же момент времени, а на рис.16 - результат численного расчета по консервативной схеме (аппроксимирующей закон сохранения импульса ), в которой шаги в четыре раза меньше, чем в основной схеме.

В § 2 главы 3 при помощи метода восстановления проведен также анализ консервативности двумерных (плановых ) схем гидравлики построенных путем аппроксимации закона сохранения массы и уравнений изменения компонент скорости потока. Полное множество выделенных консервативных схем содержит 321756 различных четы-рехпараметричёских подсемейств. Из этих схем была выделена консервативная схема, представляющая собой двумерный аналог схемы (37). На ее основе был создан пакет прикладных программ для расчета плановых волновых течений однослойной и двуслойной мелкой воды в областях сложной геометрической формы. Двуслойный вариант этих программ (со специально введенным сухим трением в нижнем слое) был использован для расчета распространения прерывной волны, которая может возникнуть в Сарезском озере (Таджикистан) при

катострофическом обрушении в него берегового оползня.

В § 3 главы 3 при помощи метода восстановления проведен анализ консервативности разностных схем газовой динамики и магнитной гидродинамики. Наибольший интерес представляет построенная в результате этого анализа новая консервативная схема

i At«v + i Д-МР+аН2) = 0 , \ At«u = 2ab ¿ А- = Н , (38а) i At»T) = ¿ A-"v(1 ' , ^ At«(T]H) = ¿ Aso(bu(1)) , (386)

ÍAt.e+ (p(°-5)+| (V">2HVv(,) • . <3BB)

заданная на разнесенной сетке и аппроксимирующая недивергентную форму записи системы уравнений магнитной гидродинамики (МГД)

vt+(p+aH2)s = 0 , ut = 2abHs , T)t = , (T)H)t = (bu)s , (39a)

£t + P vs = 0 , (396)

где v , b - продольные ( b = const ); u , H - поперечные компоненты соответственно скорости газа и напряженности магнитного поля, р - давление, Т) - удельный объем, 8 - внутренняя энергия, а = 1/(8%) = const . Уравнения (39а) представляют собой законы сохранения импульса (в продольном и поперечном направлении) , массы газа и напряженности магнитного поля, а недивергентное уравнение (3 96 ) описывает изменение со временем внутренней энергии газа. Вытекающее из схемы (38) разностное уравнение для полной энергии, аппроксимирующее закон сохранение полной энергии

[£ + (v2+u2)/2 + аТ)Н2 ] t + [ (р+аН2) v - 2abuH)s = 0 , (40)

для системы (39), является консервативным. Для устойчивого расчета по схеме (38 ) разрывных решений, в нее вводится искусствен- • ная вязкость путем замены давления р на величину g=p-CAx°v/T) , где С - коэффициент искусственной вязкости.

Схема (38) имеет заметные преимущества (по сравнению со схемами построенными путем прямой аппроксимации закона сохранения полной энергии (40)) при расчете процессов в низкотемпера--турной плазме, в которых внутренняя энергия газа на несколько порядков ниже его полной энергии. В этом случае внутренняя-энер-'

е-Ю'3

гия и температура газа вычисляются по схеме (38 ) с гораздо более высокой точностью. В качестве примера на рис.2 приведен расчет задачи о поршне, ко-

торый с постотоянной скоростью

-.-.-^ ( V = 1/4 , и. = 21/2/5 )

7 Я Ч

г вдвигается в покоющийся

рис.2 ( = и0 = о ) холодный

( р0 = е0 = о ) политропный ( £ = РТ)/ (-у-1) . Т = 5/3 > газ ( ^о = 1 ' но = I %1/2 ) и порыдает в нем быструю МГД ударную волну, которая распространяется со скоростью и = 1 и имеет следующие параметры за фронтом волны

О 1 /о

т]1 = 3/4 , н1 = | тс , р^о.01 , е, = 0.0И25 . В этом тестовом примере, взятом из книги А.А.Самарского и Ю.П.Попова "Разностные методы решения задач газовой динамики" (1980, стр.256 ), внутренняя энергия газа за фронтом ударной волны на два

порядка меньше его полной энергии.

На рис.2 крупными кружками показаны результаты расчета этой задачи по консервативной схеме (38) с параметрами ь = 0.1 , Т = 0.06 , С =0.5 .Сплошной линией показано точное решение. Для сравнения более мелкими кружками и точками изображены результаты расчета этой же задачи по схеме (38), в которой уравнение для внутренней энергии (38в) заменено соответственно на уравнение

^об + р'0-5' К-'1' =0 (41а)

(кружки) и на уравнение

\ Д,.°г + р | Д..°у' 1' = о (416 ;

(точки). Схемы (38а,б),(41) являются неконсервативными. При этом в случае уравнения (41а) недивергентный дисбаланс полной энергии имеет второй порядок малости по Т , а в случае уравнения (416 ) - первый порядок малости по Т . Наличие этого дисбаланса приводит к отсутствию сходимости разностного решения к точному разрывному решению за фронтом ударной волны. В следующей главе получены теоретические оценки возникающих при этом дисбалансов в определении параметров газа за фронтом волны и в определении скорости распространения ударной волны.

В ЧЕТВЕРГOH главе для схем первого порядка аппроксимации с линейной искусственной вязкостью разработан метод позволяющий получать внутренние асимптотические разложения разностных решений на фронте бегущей ударной волны

u*(£) = { Uj , £<0 ; uo , i>0 ) , £ = x-Dt , (42)

где d = const - скорость распространения волны. Такие разложения (представляющие большой практический интерес ) не удается получить на основе классического метода дифференциальных приближений, развитого в работах Н.Н.Яненко, Ю.И.Шокина, Ю.М.Давыдова и др. Это объясняется тем, что, при условии устойчивости 1 = Ah (характерном при аппроксимации гиперболических систем) уменьшение шага h в схеме приводит лишь к сжатию соответствующего разностного решения uh(£) по оси 0£ , никак не влияя на его внутреннюю структуру.

Идею предлагаемого метода продемонстрируем на простейшем примере разностной схемы

[ и (х, t+T) - u(x,t) ]/1 + [ u2(x+h,t) - u2(x-h,t) ]/(4h) =

= Ch [ u (x+h, t) - 2u(x,t) + u(x-h,t)]/h2 , (43)

где С = const , аппроксимирующей нелинейное уравнение переноса 2

ut + (u /2) = 0 . Вводя новые независимые переменные

у = х/(Ch) = Ох/h ( е = t/(Ch) = at/h ; а = l/C (44)

и зависящую от них функцию v(y,0) = u( hy/a , h0/a ) перепишем схему (43 ) в виде

[ v(y,6+P) - v(y,9) ]/р + [ v2(y+a,6) - v2(y-a,9) ]/(4a) =

= [ v(y+a,6) - 2v(y(6) + v(y-a,8)]/a2 , (45)

где a - новый пространственный, а p = Aa - новый временной шаг

схемы. При а,р -> О схема (45) аппроксимирует уравнение Бюргер-2

са-Хопфа v0 + (v /2)у = vyy с единичным коэффициентом вязкости

и поэтому характерное для нее условие устойчивости имеет вид р = Ва , где А = ва . Отметим, что в этом условии коэффициент в не зависит от а (от С ), а в условии устойчивости t = Ah для схемы (43 ) коэффициент А не зависит от h при постоянном коэффициенте вязкости С .

Записывая, дифференциальное представление схемы (45) по ее новым шагам а и ß = ва , переходя в нем к автомодельной переменной С = a£/h = у - D0 и интегрируя полученное уравнение с

граничными условиями lim v(£) = u , lira v'1' = o Vi>i , no-

лучим следующее дифференциальное уравнение бесконечного порядка

1 00 ?\ V' +i(U -v)(v-u ) = J й"ф (46)

г 1=0 1

(-в)1+1в4(1) (v2)(2l) 2v(2i + n где ф4 = ;(i+1),- + 2(21+1)! - (21+2)! ■ Поставил дополнительное граничное условие v(o )=D , фиксирующее, центр размазанной ударной волны в начале координат С = 0 и будем искать решение уравнения (46 ) в виде ряда

v(C.a) = Ü V (С) а21 (47)

1=о

по четным степеням а . Подставляя разложение (47) в уравнение (46) и собирая в нем поело этого коэффициенты при одинаковых степенях а , получим рекурентную последовательность дифференциальных уравнений, интегрируя которую, найдем

VQ = z = D - ö- ihr) , (48а )

9 -О ^ 7

Vj = I ch J] f ф1-СЛ T) CÍT) Vi>l , (486 )

о

где б = d-uq , т) = 6С/2 , - функции, зависящие от Vj и ее

производных при 3 < i . Из (486 ) при i = 1 следует, что 2

V1 = lí' [ 4D-ln(Chri) + Зб-thT) - 2(Ö+6BD2/6 )Т) ].ch~2r¡ . (49)

Проводя в формулах (48 ), (49 ) замену переменных обратную (44), получим асимптотическое разложещге разностного решения uh(£) начальной схемы (43) на фронте ударной волны (42). Отметим, что первый член (48а) построенного разложения представляет собой хорошо известное классическое решение уравнения Бюргерса-Хопфа на фронте бегущей ударной волны (аналогичное решение допускаю уравнения газовой динамики с линейной вязкостью). Поэтому основное внимание уделим второму члену этого разложения, задаваемому формулой (49 ).

На рис.3-5 приведено сравнение первых двух слагаемых постро-

fi

о

A> \

У

■e^bi

pjic. 3a

V

рис.36

f\>

t

Л

4"

рис.Зв

С = 0.5

рис.4а

рис.46

J ' -JSXOCTQ^-

\

fo

рис.5а

с = i

л

/1 ji

рис. 5<5

e-o-ö-e-^-0"^^ ofiOOo по_й_о0\} íi h С = 1

рис .6

енного разложения с точными монотонными решениями схемы (43 ) на фронте стационарного скачка при 0=0 (рис.3) и с результатами численного расчета бегущей ударной волны при Б = 1 (рис.4,5). На рис. 3,46, 56 сплошной линией показан график функции

^ (£) = v1 (/С2 , . (50)

где v1 (С) определяется по формуле (49). При этом на рис.3 кружками показаны величины ДиЦй) = и(1Ь) +и0 • £/гЦи0/2С) , представляющие собой разность между стационарным решением и (111) схемы (43) и значениями уо(д./с) в этих же точках его первого приближения • ^ рис.4а,5а монотонной линией показан

график функции ^д!?) = у0(£/сЬ) . дающей первое приближение разностного решения, немонотонной линией на рис.4а показан график функции + £](5) , представляющей собой второе прибли-

•3о--5

жение этого решения, а кружками показаны значения и, раз-

ностного решения и^ = иЦЬ.эТ) на различных временных слоях (при заданном фиксированном 1 ), где ]о - разностный

центр размазанной ударной волны, т.е. точка, в которой и.° = о .

На рис.46,56 кружками показаны величины Ди1 = и. - уо(}А/с) .

В § 2 главы 4 построено асимптотическое разложение разностного решения на фронте ударной волны для семейства схем газовой динамики в лагранжевых координатах с линейной вязкостью

$ Vй + к ДГ9 = 0 ' к ^ - Н Vй"1 - 0 ' <51а>

\ Д4<>е + д'^' £ Дх°и(П = о , д = р - с Дх°и / т] , (516)

где е = рТ)/(7~1) , а - параметр. При помощи критериев главы 1 можно показать, что схема (51) является консервативной только при а = о.Е (в этом случае она совпадает со схемой "крест", которая с квадратичной вязкостью была предложена Дж.Нейманом и Р.Рихтмаером). Формулы аналогичные (48а), (49) для схемы (51)

имеют вид vo = иг (1—tfyl.) /2 , |1 = (7+1)и1С/4 ;

У1 = (7+1)и^ {[(ги^а^Ц - (7+2)и1(Л|Л + + (а2-а1) 1п С?Т(1]СЛ2|1 - 2а:/[1+ехр(2Ц)]} , (52)

где аг = 4 (а-0.5) (7~1)Ь/(3(7+1) ) , a2 = 2[DT]o-b+Tpo/D] + (7+l)u1 ,

Uj = lim v0(C) = 2(DT|0-TP0/D)/(7+l) , Ь = 12 ACD , С—со

v - преобразованная, с учетом (44), скорость газа и .

На рис.6 приведено сравнение функции (50) (в которой задается формулой (52)) с результатами трех расчетов ударной волны по схеме (51) при (7=0, 0.5 , 1 . В случаях когда CT = 0 , 1 схема (51 ) является неконсервативной и предельные значения 2

ÖUj = lim Vj(С ) = AD(a-0.5) (7"l)Uj/(6С) (53)

дают величины дисбалансов в определении скорости газа за фронтом ударной волны_. В этих расчетах 7 = 5/3 , Т|0 = 1 , vQ = pQ = О , D=1,C = 1,A = 0.1 .

В § 3 главы 4 развит метод позволяющий получать теоретические оценки дисбалансов вида (53), возникающих при расчете простейших разрывных решений по неконсервативным схемам газовой динамики и магнитной гидродинамики. В качестве примера в таблице приведены результаты сравнения теоретически определенных при помощи этого метода дисбалансов ®ftheor с дисбалансами öfcomp , возникающими при численном расчете по неконсервативной

(0=0, с=о.5, А=0.1) схеме (51) задачи о прохождении ударной волны через контактную границу с образованием двух новых ударных волн.

Таблица

f f exect f comp . ßf I theor. öf comp. Д2 f

0. . 75 0 .74335 -0 .00625 -0. .00665 6. 4

0. . 25 0 .24329 -0 .00625 -0. .00671 7. 4

0, .28125 0 .27127 -0 .00939 -0, .00998 6. 4

V 0. .63017 0 .63172 0 .00149 0. .00155 4. 0

р 1. .05897 1 .05114 -0 .00745 -0, .00783 5. 1

< 0. . 125 0 .12034 -0 .00441 -0, .00466 5. 7

0. . 20352 0 .19790 -0 .0053 -0. . 0056 5. 7

С13 0. .19856 0 .18974 -0 .00840 -0, .00881 4. 9

£а 0. .32329 0 .3120 -0 .0111 -0 .0113 1. 8

Контактная граница разделяет два покоющихся "холодных" газа (а) и ф) , у которых 7 = 5/3 , т)" = 1 , Т)^ = 0.5 . Ударная волна задается поршнем вдвигаемым в газ (а) . На поршне задана скорость V™ = 0.75 => 6у" = 0 . Скорость начальной ударной волны и" = 1 . После прохождения этой волны через контактную границу возникают две новых ударных волны со скоростями б" = -2.57834 , = 1 .68045 . В таблице через б^ , б^ , б^

обозначены дисбалансы за фронтами волн о" , б"', соответственно. Поскольку на контактной границе = • р2 = р1' то = = бv и бр^ = бр^ = бр . Теоретически посчитанные дисбалансы в скоростях распространения ударных волн = -0.008(3) , е^ = -0.0221 , бгз3 = -0.0158 . Из этой таблицы видно, что для данного примера относительная погрешность

2

определения дисбалансов А í < 10% .

В ПЯТОЙ ГЛАВЕ на примере однородной разностной схемы

Ль[и(х,Ъ)1 3 Л(и(х+11Ь^+31а), . .. .,и(х+1мЬ^+ЗмТ)) =0 , (54)

где Л € С , х = АЬ , заданной на функциях и(х,Ъ) , зависящих от двух непрерывно меняющихся аргументов х и t , введено, понятие слабой аппроксимации закона сохранения

ф1(и(х,1)) + фх(и(х,1;)) = 0 ; ф,(|> е (С1 (55)

с повышенным порядком и получены необходимые и достаточные условия такой аппроксимации. В соответствии с формулой (15), слабым решением закона сохранения (55) является функция и (. ЭТ такая, что для V д(х^) €

Я { Ф(и)д1 + ф(и)дх ) <3х<^ = 0 . (56)

Следующее определение обобщает на случай слабой аппроксимации с повышенным порядком определение 9.

определение ю. Разностная схема (54) аппроксимирует закон сохранения (55) на функциях и е 91

а) с порядком о (1гк) , если для , Уу^ , Vh>o

Я ( Л)1[и]д/Ь + ф(и) д4 + ф(и)дх } с1хс^ = СЬк (57а)

где с при каждой фиксированной функции д(х^) является огра-

шченшм функционалом от и

б) с пороком ось1'"1) , если для каждого семейства равномерно по п ограниченных функций иь с (Л , почти равномерно сходящихся при ь-о к некоторой функции и е ЭТ , и для ¥д е

1ш -¿тг Д { Ль[иь]д/Ь + ф(иь)дь + Ф(иь)дх ) dxdt = 0 . (576)

ь

теорема 8. Для того, чтобы схема (54) аппроксимировала закон сохранения (55) на функциях и е 91

а) с порядком не менее чем 0(Ьк), необходимо и достаточно, чтобы ее оператор Ль допускал запись в виде

ЛЬ - ЬГФ + + "ь ' " (Т^-Е)1-(Т^-Е)1"-^« , (58)

где га = к+1 ьх/ь , ь2/ъ - линейные разностные операторы аппроксимирующие с порядком 0(Ьк) соответственно дифференциальные операторы д/дt и д/дх ; 0Ью1 - разностные операторы, производящие функции Пи1 которых либо тождественно равны нулю либо непрерывны;

б) с порядком о(Ьк_1), необходимо и достаточно, чтобы ее оператор Ль допускал запись в виде (58), где т = к и производящие функции По1 всех разностных операторов ПЬю1 либо тождественно равны нулю либо непрерывны и удовлетворят условию согласования О . (о.....Ш = о VI.

т 1

Из этой торемы следует, что определяющим для повышенного порядка слабой аппроксимации на разрывных функциях и € 91 является повышенный порядок дивергентности соответствующего схеме (54) разностного оператора Пь . Тем самым повышенный порядок дивергентности этого оператора можно рассматривать как обобщение свойства консервативности разностной схемы на случай аппроксимации закона сохранения с повышенным порядком на разрывных функциях.

В § 1 главы 5 приведены примеры разностных схем одинакового второго порядка аппроксимации на гладких функциях и существенно различного порядка слабой аппроксимации на разрывных функциях.

В § 2 главы 5 анализируется возможность использования дифференциальных и интегральных следствий закона сохранения (55) для повышения порядка его слабой аппроксимации на разрывных решениях .

список публикаций.

1. Остапенко В.В. Оценки дисбалансов газодинамических величин, возникающих при счете по неконсервативным разностным схемам бегущей ударной волны. // Числ. методы механ. сплошной среды. ИТПМ СО АН СССР (ЧММСС), 1983. Т.14. №6. С.130-144.

2. Остапенко В.В. Оценки дисбалансов газодинамических величин, возникающих при расчете простейших разрывных решений по неконсервативным разностным схемам. // ЧММСС, 1984. Т.15. #6. С.110-123.

3. Остапенко В.В. О законах сохранения для одного класса предельных разрывных решений.//ЧММСС, 1985. Т.16. №1. С.120-135

4. Остапенко В.В. О сходимости разностных схем сквозного счета на разрывных решениях. // Динамика сплошной среды. Ин-т гидродинамики СО АН СССР (ДСС), 1985. Вып.69. С.155-160.

5. Остапенко В.В. О дивергентности конечно-разностных операторов. // ДСС, 1985. Вып.70. С.105-126.

6. Остапенко В.В. О консервативности конечно-разностных схем. // ДАН СССР, 1985. Т.284. #1. С.47-50.

7. Остапенко В.В. О стандартной аппроксимации дифференциальных операторов. // ДСС, 1985. Вып.72. С.67-83.

8. Остапенко В.В. О сходимости на ударной волне разностных схем сквозного счета инвариантных относительно преобразования подобия. // ЖВМиМФ, 1986. Т.26. #11. С.1661-1678.

9. Остапенко В.В. Метод оценки дисбалансов, возникающих при расчете ударной волны по неконсервативным разностным схемам. // ДСС, 1986. Вып.78. С.108-127.

ю. Остапенко В.В. Метод теоретической оценки дисбалансов неконсервативных разностных схем на ударной волне. // ДАН СССР, 1987. Т.2.95. #2. С.292-297.

11. Остапенко В.В. Один способ построения консервативных разностных схем гидравлики. // ДСС, 1987. Вып.79. С.70-77.

12. Остапенко В.В. О консервативных разностных схемах, заданных на неоднородных сетках. // ДСС, 1988. Вып.84. С.76-90.

13. Остапенко В.В. Об одной явной консервативной разностной схеме для уравнений гидравлики. // ДСС, 1988. Вып.86. С.71-78.

14. Остапенко В.В. Исследование консервативности конечно-разностных схем магнитной гидродинамики. // Моделирование в механике. ИТПМ СО АН СССР, 1988. Т.2(19). #4. С. 127-135.

15. Остапенко В.В. О дивергентности разностных операторов, заданных на неоднородной разностной сетке. // ДАН СССР, 1989. Т.304. а6. С.1295-1298.

16. Остапенко В.В. Об эквивалентных определениях понятия консервативности для конечно-разностных схем. // НВМиМФ," 1989. Т.29. №8. С.1114-1128.

17. .Остапенко В.В. Об аппроксимации законов сохранения разностными схемами сквозного счета на разрывных решениях. // ДСС,

1989. Вып.89. С.129-138.

18. Остапенко В.В." Аппроксимация законов сохранен™ разностными схемами сквозного счета. // ДАН СССР. 1990. Т.313. №6. С.1348-1352.

19. Остапенко В.В. Об аппроксимации законов сохранения разностными схемами сквозного счета. // ЖВМиМФ, 1990. Т.30. №9. С.1405-1417.

20. Остапенко В.В. Оценки дисбалансов неконсервативной разностной схемы на ударной волне, распространяющейся с переменной скоростью. // Моделирование в механике. ИТПМ СО АН СССР,

1990. Т.4(21). №1. С. 39-47 .

21. Остапенко В.В. О локальном выполнении законов сохранения на фронте "размазанной" ударной волны. // Математическое моделирование, 1990. Т.2. №7. С.129-138.

22. Остапенко В.В. О повышении порядка.аппроксимации разностных схем на разрывных решениях. // ДСС, 1990. Вып.96. С.122-135.

23. Остапенко В.В. Представление разложимой функции в виде суммы функций, зависящих от меньшего числа аргументов. // ДСС, 1990. Вып.96. С.148-1521

24. Остапенко В.В. Разложение разностного решения на фронте ударной волны. // ДАН СССР, 1991. Т.320. №2. С.275-279. •

25. Остапенко В.В. О разложении разностного решения на фронте бегущей ударной волны. // ЖВМиМФ, 1992. Т.32. №2. С.296-310.

26. Остапенко В.В. Разложение разностного решения схемы "крест" уравнений газовой динамики на фронте ударной волны. // Моделирование в механике.- ИТПМ СО РАН, 1992. Т.6(23). ' № 2. С.108-116. .

27. Остапенко В.В. О сквозном расчете прерывных волн в открытых руслах. // ЖВМиМФ, 1993. Т.33. № 5. С.743-752.