Построение и классификация разностных схем с помощью метода дифференциального приближения. Приложение к газовой динамике тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Введение.

ГЛАВА 1.

§ I. Некоторые основные сведения из теории разностных схем.

§ 2. Необходимые условия устойчивости разностной схемы в терминах дифференциального представления.

§ 3. Нахождение достаточных условии устойчивости разностной схемы в терминах дифференциального представления.

§-4. О диссипативных в обобщенном смысле разностных схемах для гиперболических систем уравнений.

ГЛАВА 2. бо

§ I. Построение разностных схем повышенного порядка аппроксимации на основе дифференциальных следствий в случае постоянных коэффициентов.

§ 2.-Построение разностных схем повышенного порядка аппроксимации, устойчивых в оС^

§ 3. Анализ свойств разностных схем, построенных интегро-интерполяционным способом.

§ 4. Исследование одной схемы четвертого порядка аппроксимации, построенной интегро-интерполяционным способом. 11'

ГЛАВА 3.

§ I. Классификация разностных схем одномерной газовой динамики методом дифференциального приближения.

§ 2. Классификация разностных схем двумерной газовой динамжи методом дифференциального приближения.

В настоящее время среди численных методов решения прикладных задач одно из самых значительных мест занимают конечно-разностные методы. Появилось много работ, в которых обосновывается применение метода конечных разностей для решения конкретных задач и исследуются свойства разностных схем как самостоятельных объектов, т.к. от свойств разностной схемы существенно зависит качество получаемого решения. Среди наиболее значительных отметим монографии [1-Ю] , в которых приведена достаточно полная библиография.

В работах советских математиков Г.И.Марчука, А.Н.Тихонова, А.А.Самарского, О.М.Белоцерковского,

Н.Н.Яненко и др. развита общая теория устойчивости, сходимости разностных схем, описаны конкретные алгоритмы расчетов сложных практических задач.

Особенности построения и исследования устойчивости и сходимости разностных аппроксимаций задачи Коши для гиперболических систем уравнений рассмотрены в работах [II] -[±б] .

В работе [17 J показано, как можно ослабь обычное требование устойчивости, сохранив сходимость, если потребовать гладкости начальных данных.

Работы [18] - [193 посвящены вопросу исследования устойчивости так называемых диссипативных разностных схем, аппрок-сгширующих задачу Коши для гиперболической системы уравнений.

Конкретные алгоритмы расчета решений уравнений гиперболического типа, в том числе уравнений газовой динамики, в одномерном и двумерном случае предложены в работах [20]- [¡5].

Часть этих методов представляет собой методы построения разностных схем повышенного порядка аппроксимации для общих операторных уравнений, нелинейных гиперболических систем и уравнений газовой динамики [23~] - [31] .

В работах [30] - ¡31] разностные схемы повышенного порядка аппроксимации строятся дал случая многомерных задач.

В работах [Зб] - [45] предлагаются и исследуются разностные схемы, учитывающие конкретные особенности решений уравнений газовой динамики.

В последнее время интенсивно развивается теория устойчивости разностных схем, аппроксшлирующих гиперболическую систему уравнений с начальными и граничными условиями, основы теории изложены в работах [I] , [7] , /463 - [48] .

Элективным для исследования свойств разностных схем оказался метод дифференциального приближения, обоснованный в работах [49] - [50 3 . Этот метод применяется для исследования свойств разностных схем, апцроксимирующих модельные линейные и нелинейные уравнения гиперболического типа ( [51] - [52] ) и для исследования разностных схем, аппроксимирующих систему уравнений газовой динамики в одномерном и двумерном случае ( [Ю], [497 , [50] , [53] - [567 ).

Он позволяет проводить качественный анализ разностных схем, среди множества разностных схем, которые могут применяться для решения одной задачи (описание различных схем проведено в обзорных работах [53] , [57] - [62] ) находить наиболее подходящие.

Данная работа посвящена вопросам построения и исследования разностных схем, аппроксимирующих уравнение гиперболического типа. Работа проведена на двум направлениям.С одной стороны, в ней развиваются методы исследования устойчивости разностных схем и предложены методы построения разностных схем повышенного порядка аппроксимации для нелинейных гиперболических уравнений в том числе для системы уравнений газовой динамики.

С другой стороны на основе метода дифференциального приближения проведена классификация существующих разностных « схем, применяемых при решении уравнений газовой динамики в одномерном и двумерном случае, позволяющая вычислителю выбирать разностные схемы с заранее заданными свойствами.

Диссертация состоит из введения, 3-х глав, заключения, приложения к главе 3 и списка цитированной литературы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключение сформулируем основные результаты диссертации.

1. Для разностных схем повышенного порядка аппроксимации, аппроксимирующих гиперболические системы уравнений с постоянными коэффициентами найдены необходимые и достаточные условия устойчивости и достаточные условия диссипативности, как условия, накладываемые на коэффициенты дифференциального приближения.

2. Распространена на случай разностных схем, диссипатив-ных в обобщенном смысле, теорема об устойчивости диссипатив-ных разностных схем, аппроксимирующих гиперболическую систему уравнений с постоянными коэффициентами.

3. Предложен алгоритм построения разностных схем повышенного порядка аппроксимации на основе разностных схем меньшего порядка аппроксимации. Этот алгоритм устойчив, если исходная разностная схема диссипативна.

4. Исследованы свойства разностных схем, получаемых интегро- интерполяционным способом в зависимости от применяемых квадратурных формул.

5. На основе метода дифференциального приближения проведена классификация разностных схем для уравнений газовой динамики в одномерном и двумерном случае.

Результаты данной работы могут быть использованы в различных теоретических и практических исследованиях. Результаты, относящиеся к исследованию устойчивости разностных схем, аппроксимирующих уравнения гиперболического типа, могут применяться для теоретического исследования устойчивости новых разностных схем. Предложенные новые алгоритмы решения уравнений газовой динамики могут применяться для решения конкретных газодинамических задач. Классификация разностных схем для уравнений газовой динамики и составленный каталог дополнительных граничных условий являются важным шагом на пути автоматизации процесса выбора подходящей разностной схемы: если все сведения из таблиц занесены в память ЭВМ, то вычислителю остается только указать требуемые свойства и ЭВМ укажет из данного набора нужную схему. Такая технология требует минимальной подготовительной работы со стороны пользователя.

1. Годунов С.К., Рябенышй B.C. Разностные схемы. - М.: Наука, 1973, 400 с.

2. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука, 1976, 400 с.

3. Авт.: Годунов С.К., Забродин A.B., Иванов М.Я. и др.

4. Яненко H.H. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск : Наука, Сибирское отделение, 1967, 195 с.

5. Рождественский Б.Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений. М.: Наука, 1978, 678 с.

6. Рихтмайер Р.Д., Мортон К.В. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир, 1972, 418 с.6.'Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977, 656 с.

7. Самарский A.A., Гулин A.B. Устойчивость разностных схем. -М.: Наука, 1973, 416 с.

8. Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные схемы газовой динамики. М. : Наука, 1975, 352 с.

9. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977, 455 с.

10. Шокин Ю.И. Метод дифференциального приближения. Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1979, 224 с.

11. Lax P.D. Weak solutions of nonlinear hyperbolic equations and their numerical computations. Commun. Pure Appl. Math., 1954, v. 7, 1, p. 159-193.

12. Lax P.D., Wendroff B. Systems of conservation laws. III. -Commun. Pure Appl. Math., 1960, v. 13, nu 2, p. 217-237.- m

13. Lax P.D. On the stability approximations with variable coefficients. Commun. Pure Appl. Math., 1961, v. 14, Na 3, p. 497-520.

14. Friedrichs K.O. Symmetric hyperbolic linear differential equations. Commun. Pure Appl. Math., 1964, v. 7, p. 345-392.

15. Lax P.D., Wendroff B. Difference schemes for hyperbolic equations with high order of accuracy. Commun. Pure Appl. Math., 1964, v. 17, Ha 3, p. 381-39,8.

16. Strang G. Trigonometric polinomials and difference methods of maximum accuracy. J. Math. Phys., 1962, v. 41, Nft 2, p. 147-154.

17. Strang G. Difference methods for mixed boundary problem. -Duke Math. J., 1960, v. 27, Nft 2, p. 221-231.

18. Kreiss H.-O. On difference approximations of the dissi-pative type for hyperbolic difference equations. Commun. Pure Appl. Math., 1964, v. 17, № 3, p. 335-353.

19. Parlett B. Accuracy and dissipation in difference schemes. Commun. Pure Appl. Math., 1966, v. 19, 1, p. 111-123.

20. Burstein S.Z. Finite-difference calculations for hydro-dynamic flows containing discontinuities. J. Comput. Phys., 1967, v. 2, № 2, p. 198-222.

21. Mac Cormac R.W. The effect of viscosity in hypervelocity impact cratering. AIAA Paper 69-354, Cincinatty, Ohio, 1969.

22. Gourlay A.R., Morris J.L. Finite-difference methods for nonlinear hyperbolic systems. Math, Comput., 1968,v. 22, Ntt 101, p. 28-39.

23. Демидов Г.В. Об одном методе построения устойчивости схем высокого порядка аппроксимации. Численные методы механики сплошной среды. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, Б.п., 1970, т. I, II 6, с. 60-69.

24. Русанов В.В. Разностные схемы третьего порядка точности для сквозного счета разрывных решений. ДАН СССР, 1968, т. 180, 6, с. 1303-1305.

25. Балакин В.Б. О методах типа Рунге-Кутта для уравнений га

26. J зовой динамики. ЖВМ и МФ, 1970, т. 10, Ш 6, с. I5I2-I5I9.

27. Грудницкий В.Г., Прохорчук Ю.А. Один прием построения разностных схем с произвольным порядком аппроксимации для дифф ер енцнальных уравнений в частных производных. ДАН СССР, 1977, т. 224, 1Ь 6, с. 1249-1252.

28. Паасонен В.И. Абсолютно устойчивые разностные схемы повышенного порядка точности для систем гиперболического типа.-Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск:

29. ВЦ СО АН СССР, Б.и., 1972, т. 3, J5 3, с. 82-91.

30. Паасонен В.И. Диссипативные неявные схемы с псевдовязкостыовысших порядков для гиперболических систем уравнений.

31. Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск:

32. ВЦ СО АН СССР, Б.и., 1973, т. 4, В 4, с. 44-57. 29ж Steppeier J. On a high accuracy finite difference methods

33. J. Comput. Phys., 1975, v. 19, Ntt 4, p. 390-403. 2Q Abarbanel S., Gottlieb D. High order accuracy finite difference algorithms for quasilinear conservation law hyperbolic systems. Math. Comput., 1973, v.27, p. 505-523.

34. Минайлос A.H., Толстых А.И. Неявные конечно-разностныесхемы повышенной точности для сквозного счета разрывных решений. mi и I®, 1975, т. 15, J> 2, с. 527-531.- 196

35. Русанов В.В. On difference schemes of third order accuracy for nonlinear hyperbolic systems. J. Comput. Phys., 1970, v. 5, №* 3, p. 507-516.

36. Burstein S.Z., Mirin A. Third order difference methods for hyperbolic equations.

37. В сб. Тр. секции по численным методам в газовой динамике второго международного коллоквиума по газодинамике взрыва и реагирующих систем. Новосибирск: 1969, т. 1,с. 357-407. См. также

38. J. Comput. Phys., 1970, v. 5, Ш 3, p. 547-557.

39. Еремин В.В., йшницкий Ю.М. О построении многомерных разностных схем третьего порядка точности. ЖВМ и Ш, 1971, т. 14, 2, с. 280-289.

40. Warming R., Kutler P., Lomax H. Second and - third order noncentered difference schemes for nonlinear hyperbolic equations. - AIAA J., 1973, v. 11, p. 189-196.

41. Толстых А.П. О неявных разностных схемах третьего порядка точности для многомерных задач. ЕШ и Ш, 1976, т. 16, й 5, с. II82-II90.

42. Извольский В.А., Русанов В.В. Построение и исследование двумерных разностных схем третьего порядка точности. М.: Б.и., 1979, 36 с. (Препринт ИПМ АН СССР, JS 3).

43. Von Neumann J., Richtmyer R. A method for numerical calculation of hydrodynamic shocks. J. Appl. Phys., 1950, v. 21, № 1, p. 232-237.

44. Годунов С.К. Разностный метод численного расчета разрывных решений гидродинамики. Матем. сб., 1959, т. 47, с. 271306.

45. Попов Ю.П., Самарский А.А. Полностью консервативные разностные схемы. SBM и Ш, 1979, т. 9, 4, с. 953-958,

46. Яненко Н.Н., Яушев И.К. Об одной абсолютно устойчивой схеме интегрирования уравнений гидродинамики. Тр. Матем. ин-та АН СССР, 1966, т. 74, с. I4I-I46.

47. Куропатенко В.Ф. О разностных методах для уравнений гидродинамики. Тр. Матем. ин-та.АН СССР, 1966, т. 74,с. 107-137.

48. Колган В.П. Применение принципа минимальных значений производной к построению конечноразностных схем для расчета разрывных решении газовой динамики. Учен. зап. ЦАШ, 1972, т. 3, J5 6, с. 68-77.

49. Kreiss Н.-О. Stability theory for difference approximations of mixed initial boundary value problems. I. Math. Comput., 1968, v. 22, Hft 104, p. 703-714.

50. Gustafsson В., Kreiss H.-O., Sundstrom A. Stability theory of difference approxmations for mixed initial boundary value problems. II. Math. Comput., 1972, v. 26, Nft 119, p. 649-686.

51. Gustafsson B. The convergence rate for difference approximations to mixed initial boundary value problems. -Math. Comput., 1975, v. 29, IT* -130, p. 396-406.

52. Яненко Н.Н., Шокин Ю.И. О групповой классификации разностных схем для системы одномерных уравнений газовой динамики. В сб. Некоторые проблемы математики и механики. Л.: Наука, 1970, с. 277-283.

53. Яненко Н.Н., Шокин Ю.И. О групповой классификации разностных схем для системы уравнений газовой динамики, Труды МИ АН СССР, 1973, т. 122, с. 85-96.

54. Warming R.F., Hyett B.J. The modified equation approach to the stability and accuracy analysis of finite-difference methods. J. Comput. Phys., 1974, v. 14, p. 152-179.

55. Lerat A., Peyret R. Sur le choix de schemes aus differences du second ordre fournisdant des profiles de choc sans oscillations. C.R.Acad. SC. Paris, 1973, t.277,s.363-366.

56. Федотова З.И. Анализ свойств аппроксимационной вязкости некоторых разностных схем для двумерных уравнений газовой динамики, Новосибирск; Б.и., 1979, 33 с. (Препринт ИТПЫ СО АН СССР, й 10).

57. Шокин Ю.И., Урусов А.И. Об инвариантных схемах расщепления. В сб. Тр. четвертого Всесоюзного семинара по числ. методам механики вязкой жидкости. Новосибирск: Наука, 1973,с. 192-209.

58. Федотова З.И. Инвариантные разностные схемы типа предиктор-корректор для одномерных уравнений газовой динамики в эйлеровых координатах. В сб. Тр. У Всесоюзного семинара по численным методам механики вязкой жидкости. Новосибирск:

59. ВЦ СО АН СССР, 1975, с. 160-176.

60. Мухин С.И., Попов С.Б., Попов Ю.П. Разностные схемы с искусственной дисперсией для уравнений газовой динамики. Москва: Б.и., 1983, 23 с. (Препринт Ин. прикл. матем. им. Келдыша АН СССР, й 66).

61. Kreiss Н.-О., Oliger J. Comparison of-accurate methods for the integration of hyperbolic equations. Tellus, 1972, v. 24, 3, p. 199-215.

62. Turkel E. Phase error and stability of second order methods for hyperbolic problems. I. J. Comput. Phys,, 1974, v. 15, Nci 2, p. 226-250.

63. Turkel E. On the practical use of high-order methods for hyperbolic systems. J. Comput. Phys., 1980, v. 35,m 3, p. 319-340.

64. Яненко Н.Н., Шокин Ю.И., Компаниец Л.А., Федотова З.И. Классификация разностных схем двумерной газовой динамики методом дифференциального приближения. Новосибирск: Б.И., 1932, 53 с. (Препринт ИТПМ СО АН СССР, 15 19).

65. Yanenko N.N., Fedotova Z.I., Tusheva L.A., Shokin Yu.I. Classification of difference schemes of gas dynamics by the method of differential approximation I. Onedimen-sional: case. - Сотр. Fluids, 1983, v. 11, 1^3, p.187-206.

66. Компаниец Л.А. Применение квадратурных формул для построения и анализа разностных схем. Новосибирск: Б.и., 1982, 32 с. (Препринт ИТПМ СО АН СССР, J2 13).

67. Шокин 10.И., Тушева Л.А. 0 диссипативных разностных схемах для гиперболических систем уравнений. Численные методы механики сплошной среды. - Новосибирск: Щ СО АН СССР, Б.и., 1971, т. 2, J* I, с. 91-98.

68. Тушева Л.А., Шокин Ю.И., Яненко Н.Н. Об одном методе построения схем повышенного порядка аппроксимации. В сб. Избранные проблемы прикладной математики. М.: ВИНИТИ, 1974,с. 681-689.

69. Тушева I.А., Шокин Ю.И., Яненко Н.Н. О построении разностных схем повышенного порядка аппроксимации на основе дифференциальных следствий. В сб. Некоторые проблемы вычислительной и прикладной математики. Новосибирск: Наука, 1975, с. I84-I9I.

70. Тушева I.A. Об одной неявной схеме 4-го порядка аппроксимации для системы уравнений газовой динамики. Численные методы механики сплошной среды. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, Б.и., 1977, т. 8, JS 5, с. I20-I3I.

71. Компаниец JI.A. Каталог дополнительных граничных условий для разностных схем, аппроксимирующих уравнения гиперболического типа. Новосибирск: Б.и., 1983, 41 с. (Отчет ИТПГЛ СО Ж СССР, JS 1341).

72. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1969, 367 с.

73. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966, 576 с.

74. Roberts К.V., Weiss N.O. Convective difference schemes. -Math. Comput., 1966, v. 20, № 94, p. 272-299.

75. Rubin E.L., Burstein S.Z. Difference methods for the in-viscid and viscous equations of compressible gas. J. Comput. Phys., 1967, v. 2, № 2, p. 178-196.

76. Abarbanel S., Zwas G. An iterative finite-difference methods for hyperbolic systems. Math. Comput., 1969,v. 23, Na 107, p. 549-566.

77. Abarbanel S., Goldberg M. Numerical solutions of quasi-conservative hyperbolic systems the cylindrical schock problem. J. Comput. Phys., 1972, v. 10, 1, p. 1-21.

78. Boris I.P., Book D.L. Flux-corrected transport. III. Minimal-error FCT algorithms. J. Comput. Phys., 1976,v. 20, № 4, p. 397-431.

79. Eilon B., Gottlieb G., Zv/as G. Numerical stabilizers and computing time for second-order accurate schemes. J. Comput. Phys., 1972, v. 9, 3, p. 387-397.

80. Burstein S.Z. High order accurate difference methods in hydrodynamics. "Nonlinear Partial Differential Equations", New York, Academic Press, 1967.

81. Zv/as G. On two step Lax-Wendroff methods in several dimensions. Numer. Math., 1973, v. 20, N& 5, p. 350-353.

82. Abarbanel S., Gottlieb D. A note on the "leap-frog" scheme in two and three dimensions. J. Comput. Phys., 1976, v. 21, № 3, p. 351-355.

83. Strang G. Accurate partial difference methods, II. Nonlinear problems. Numer. Math., 1964, v. 6, №• 1, p. 37-46.

84. Wilson J.C. Stability of Richtmyer type difference schemes in any finite number of space variables and their comparison with multistep Strang schemes. J. Inst. Math. Appl., 1972, v. 10, N* 2, p. 238-257.

85. Livne A. Seven-point difference schemes for hyperbolic equations. Math. Comput., 1972, v. 29, №■ 130, p. 125133.

86. Mac Cormac R.W., Paullay A.J. Computational efficiency achieved by time spliting of finite-difference operators -AIAA Paper 72-154, 1972.

87. Turlrel E. Symmetric hyperbolic difference schemes and1977» „matrix problems. Linear Algebra Appl.Jy'v. 16, p. 109129.

88. Turkel E. Symmetrization of the fluid dynamic matriceswith application. Math. Comput., 1973, v. 27, NQ 124,p. 729.- 736.

89. Годунов С.К., Забродин Л.В., Прокопов Г.Г. Разностная схема для двумерных нестационарных задач газовой динамики и расчет обтекания с отошедшей ударной волной. ЖВМ и МФ, 1961, т. I, В 6, с. 1020 1050.

90. Osher S. Systems of difference equations with general homogeneous boundary conditions. Trans. Amer. Math. Soc., 1973, March 1973, p. 177-201.

91. Oliger J. Fourth order difference methods for initial boundary value problem for hyperbolic equations. Math. Comput., 1974, v. 28, 125, p. 15-25.

92. Gottlieb D., Turkel E. Dissipative two-four methods for time-dependent problems. Math. Comput., 1976, v, 30, N* 136, p. 703-723.

93. Gustafsson В., Oliger J. Stable boundary approximations for a class of time discretizations of U^

94. Report 87, September 1980, Uppsala University, Department of Computer Sciences.

95. Goldberg M. On a boundary extrapolation theorem by Kreiss. Math. Comput., 1977, v. 31, №• 138, p. 469-477.

96. Goidberg M., Tadmor E. Scheme-independent stability criteria for difference approximations of hyperbolic initialboundary value problems. I. Math. Comput., 1978, v. 22, № 144, p. 1097-1107.

97. Oliger J. Constructing stable difference methods for hyperbolic equations. "Numerical methods for partial differential equations", Seymour Parter ed., Academic Press, 1980, p. 255-271.

98. Gary J. On boundary conditions for hyperbolic differenceschemes. J. Comput. Phys., 1978, v. 26, N& 3, p. 339351.

99. Gottlieb В., Turkel E. Boundary conditions for multistep finite-difference methods for time-dependent equations.-J. Comput. Phys., 1978, v. 26, 2, p. 181-196.

100. Русанов В.В., Нажесткина Э.И. Разностная аппроксимация вблизи границ для гиперболических систем квазилинейных уравнений. Москва: Б.и., 1980, 30с (Препринт Ин. прикл. ма-тем. им.Келдыша АН СССР, $ 32).

101. Yee Н.С. Numerical approximation of boundary conditions with applications to inviscid equations of gas dynamics.-Nasa TM 81265, 1981.

102. Gottlieb D., Gunzburger M., Turkel E. On numerical boundary treatment of hyperbolic systems for finite difference and finite element methods. SIAM J. Numer. Anal., 1982, v. 19, 4, p. 671-682.

103. Sloan D.M. On boundary conditions for the numerical solution of hyperbolic differential equations, Int. Journ. Numer. Meth. Engin., 1980, v. 15, p. 1113-1127.

104. Chakravarthy S.R. Euler equations implicit schemes and implicit boundary conditions. - AIAA 20th Aerospace Sciences Meeting, Yanuary 11-14, 1982, AIAA - 82 - 0228.