Схемы высокого порядка точности в спектральных задачах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

п к д ?

КИЕВСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Т. Г. ШЕВЧЕНКО

На правах рукописи АМАНАЭАРОВ Жуманияз Прнчязович

УДК 519.032.6

СХЕМЫ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА ТОЧНОСТИ 3 СПЕКТРАЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ 01.01.0?-вычислительная матенатика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математячэских наук

КИЕВ-1992

Работа выполнена в Киевской университете имени : Т. Г. Шевченко.

Научный руководитель: кандидат физико-математических

наук, доцент ПРИКАЗЧИКОВ 0.Г..

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор ЛЯШЕНКО И. Н., . кандидат физико-математических наук ГРИГОРЕНКй А. Я.

Ведущая организация: Иниатитут Кибернетики имени

0.Н. Глушкова АН Украины.

Защита состоится ^ШРШЯ^ 1992 г. в

часов на заседании специализированного совета Л 068.18.16 при Киевском университете ни. Т.Г. Шевченко по адресу: 252127 Киев. 127, проспект. Академика Глущкова. 6, факультет кибернетики, аудитория 40.

С диссертацией иохно озиокоыйтся в библиотеке университета.

Автореферат разослан ". О&СиЛ- 1992 года.

Ученый секретарь специализированного совета КУЗЬМИН А.Н.

, . 1 ' -1"

ЮБШАЯ' ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Одной из важнейших задач вычислительной математики является построение эффективных методов решения прикладных задач о высокоя'.точкостьп. Для получения приближенного решения с высокой точностью можно воспользоваться простейшими дискретными аппроксимациями, выбирая достаточно малые шаги разностной сетки. В этом случае увеличивается как размерность приближенной задачи, так и количество арифметических операций необходимых для ее реализации, в результате чего объем оперативной памяти и быстодействие используемой ЭВМ во многих случаях существенно ограничивает возможности достижения высокой точности приближенного решения. Одним из средств повышения точности является схемы высокого порядка точности. Блогадаря высокой точности схемы, можно использовать сетки с более крупными вагами. При этом для обоснования и эффективного применения высокоточных вычислительных алгоритмов нужно знать гладкость решения исходной задачи и его' особенности.

Многие важные проблемы науки и техники, например, связанные с колебаниями и. устойчивости на этапе моделирования приводят к Необходимости решения спектральных задач для оператора эллиптического типа.

Особый интерес представляет, разностные схемы повышенного порядка точности в спектральных задачах, так как с.з. высокого порядкового номера вычисляется с большой погрешностью.

При бойее подробном знакомстве с немногочисленными работами по построение разностных сЯем . повышенной точности, становится ясно, что возмокноста постоения разностных схем типа

ограничены. При построении разностных схем повышенной точности получается обобщенные алгеораичэские задачи Ах-Х^Вх ,. что существенно осложняет практическую реализацию

Построению разностных схем четвертого порядка точности и получение оценок скорости сходимости в спектральных задачах для оператора эллиптического типа второго порядка посвящена диссертационная работа.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ И ОСНОВНАЯ ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ: '

1. Построить новые разностные схемы четвертого порядка точности в спектральных задачах для операторов эллиптического типа второго порядка, которые не приводят к обобщенной задаче на с. з. -

2. Обосновать точность построенных схем.

3. Экспериментально проверить точность некоторых схем.

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ заключается в использовании теории разностных схем, методов функционального анализа и теории уравнений математической физики.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Построены и теоретически обоснованы новые разностные схемы четвертого порядка точности. При обосновании точности разностных схем доказана сходимость разностных с.з. к точным с.з. Х^ и слабая сходимость восполнений разностных с.ф. к с. $. ик исходной задачи, ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ.

Предложенные схемы' могут быть использованы для решения практических спектральных задач, связанных с колебаниями , и устойчивости объектов различной природы. .

АШРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основ:№ результаты докладывались , на семинаре кафедры "Численных методов математической физики ".на семинаре кафедры " Вычислительной математику " Киевского

университета им. Т.Г. Шевченко, на семинаре отдела " Программного обеспечения и решения задач " института Кибернетики им. В. М. ГлушкоЕа АН Украины и на ВсессозноЯ научно-практической конференций " Вопроси экономики и оргснизации информационных технологий "/т. Гомель, 1991 г./.

ПУБЛИКАЦИИ. По материялам диссертации опубликовано 4 работы. СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Работа изложена страницах машинописного текста и состоит из введения, 4 пораграфов, заклочения и списка основной использованной литературы, содержащего найменование.

Перейдем к кратному изложению содержания диссертаций. В § 1 изучается разностная схема для эллиптического уравнения второго порядка со смешанной прозводной и с постоянными козфициеитами в прямоугольной области.

С1.1)

а.2)

где П -прямоугольник (0<xí<lí, ' i-l,2} о границей Г. Построена разностная схема с самосопряженным и положительно определенным оператором.

h h S h h

Л у + a Bty ñ (3 В гу +Х у -0, х б u С1..3)

а^и э^и s^u

—V- + —тг- + 2а - + \ч - 0 ,

dxfj д>5> дх^дх^

ujf. = 0.

у = О , X € Г

С1.4)

гдэ

Л Л

А V - + • = Цхг + У^-

4 У = П^хгхг> Р ^ + 2а 2>/б •

«-множество внутренних узлов,/"-множество граничных узлов сеточной ойласи с/1. Для с. з. дискретной задачи доказана двусторонние оценки.Доказана сходимость в среднем с. ф. дискретной задачи к с.ф. исходной задачи. Установлен четвертый порядок точности по с. з. и по с. ф, с обоснованием гладкости о. ф, исходной задачи.

ТЕОРЕМА I. Если Х^-некоторое с.з. номера к задачи С1.13,(1,2), а соответствующие решение задачи (1.3),(1,4), то справедлива оценка

н 4 г ак»г

vi * кко • /'v ч " — -

где

Н1 иг ' 4 г

-- яд д с ] аг+ аг= 4

О 1 -I )-1 ■ I J

Следствие. Теорема утверждает, что

Ь ЛГ л. - Х.ь+ -- = ОСИ4) .

К * 12 ■

Поэтому в качестве .приближенного выражение

с.з.

- П

надо брать

н г

-V И ■ И ак»

КК = Кк *

Л

где Х^ - с.з. задачи (1.33,(1.4).

Эта величина приближается к собственному числу Х^ исходной задачи с гочностьр ОСЬ^Х Доказана

ТЕОРЕМА 2. Если СХ^ к^З- решение 'задачи (1.1). (1.23 , а соответствующие решение задачи (1,33,(1.43, то (погрешность решения имеет четвертый порядок точности, т.е.

Полученный реэультать подтверждается численным экспериментом. Результаты пораграфа опубликованы в 11Ы23. В § 2 рассматривается дифференциальное уравнение

Ди - ци Хги=0 , хеА КЗ. 13

и=0 , хеГ , (2.23

где Д- оператор Лапласа , Г- граница прямоугольной области

, х^), 0<х±<11 , (»1,^. Для построенной разностной схемы

пг

А^у + -- ( гВ-ЪгС№ "9У + Ау =0, уеУ , С2.3) где Л У^х/ ^ 'Цх^ ' = «? " йГ,

^ - о.з. разностной задачи

- <?у + =0, уеУ ,

установлен четвертый порядок точности, т.е. справедлива

ТЕОРЕМА 3. Если г,деС^4,1^,то разностная схема С2.3) имеет четвертый порядок точности , т.е. справедлива оценка

1ХА- х{| $ МГЮ7>4С|Ц|4 + и )4* |/|0+ |и|0|«|^

« 2к Но = И А - "М «о- , / = (д-кг!и .

ГЕе СХ^.ь^.СХ^.у^}- собственные решения соответственно исходной

и дискретной задаче.

Результат этого параграфа опубликован в С 31. В §3 для дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами в главной части т.е.

1и + Хи = + 1-й + Ки = 0, х £ П, (3.1)

и = О, " е г, (3.2)

где ¿.„и = — — 1 , 0 - прямоугольная область с границей Г, * ^

Ра= Ра(хгх^)0 < с{ < Р/( Рг < с2, Ра б ¿5,Ю(П) (3.3) построена разностная схема

- А°у + А*у = >Л, х <= о, СЗ.43 12

Л*у + л|у = 0, у = 0, х е г, С3.5)

где А°у = + Агу, Аау = Са^

аал1 = -р----Гш--77---. «»/,г.

А*у = Л^Л^ + , -

* 1 аг, 1■ I =---. , -1 /э , 3 №2

а. '/с,

Эта схема при любом шаге квадратной сетки имеет самосопряженный и пояснительно определенный оператор. Доказана следующая

ТЕОРЕМА 4. Если .коэффициенты уравнения (3.1),С3.2) удовлетворяет условии (3.3) , то схема (3.4),(3.5) имеет четвертый порядок точности, т.е. •

IV 4! I- ^ «"»б.и

!1 ^¡¡о =11 - ик||0 < /с^и .

н

где СХ-п,и, собственые решения соответственно исходной

и дискретной задач.Предложенная схема использовалась при решении конкретной задачи. Численный эксперимент подтверждает теоретические оценки. Результат этого параграфа опубликован в [51.

В § 4 для задачи Штурма-Лиувилля с переменными коэфициентами

-[--] - ци + кги * О, С4.1)

Ф< 1 р dx -1

исо; = шс1) = о, с*.?)

0< С{< рСх) < Са , 0< оСЮ < С3 ,

0< с4£ гос> < с5 , с4.3)

исследуется разностная схема

р

Ь О р и

•Са урЭх - д-у —г)су + к ту = О, хеш , С4.4)

Уо=У„*0, С4.5)

где а

Pi = рскр , Ры/г * (¿хс^н -

о

X - с.з. разностной задачи

Са у£>х - + \\у = 0, хеы ,

С4г. 4Э

У = У ~ о, 'о 'п

(4.5)

Оператор схемы (4. 4),С4,5) самосопряжен и положительно определен при лсбом шаге сетки.

• Установлена

ТЕОРЕМА 3. Если коэффициенты уравнения (4.1) удовлетворяет условие гладкости (4.3), то схема (4.4),(4.5) имеет четвертый порядок точности, т.е.

где />,= (%- ■(>к'ик) ~ и

с.ф. исходной задачи , - с.э. дискретной задачи. Рассмотрены другие разностные схемы:

-Лу +

—ЛСрЛу.) + (?у = X гу , хбы ,

(Ау)0 -СА'уОи - 0, у0 = уЛ/ = О

где

6

Лу = Сау-рх , а,

-10- '

дг £

Лу « , =

и

иг О И

Сау;0.,--< ¿СрСу-КгЭиЭ Э - ду + Хгу = 0,

/г х х

у0 = ум = о.

- Точность первой разностной сзсекы следует из § 3. Вторая схема приводит к алгебраической задаче с трехдиогональной матрицей, однако разностный оператор в этом случае не является самосопряженным.

Последние две схемы имеют четвертый порядок точности как по с.: так и по с. ф. Численный эксперимент подтверждает теоретические оценки Результат этого параграфа опубликован в [4].

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1'. Построены новые разностные схемы четвертого порядка точности для спектральных задач с эллиптическим оператором второго порядка с переменными коэффициентами и со смешанной прозводкой.

2. Установлена слабая сходимость в восполнений сеточных с. ф. к с.ф, исходной задачи.

3. Доказана точность предложенных разностных схем как по с. з.так и по с. ф.

4. Проведены численные эксперименты подтверждающие порядок точности в теоретических сценках.

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в следующих работах:

1. Приказчиков В.Г., Алланазаров К.П. Точность дискретной

спекральной задачи со смешанной производной. // Изв. Высш. учеб. заведении. -1991, ~9. -С. 83-86.

2. Приказчиков В. Г., Алланаэаров П. Схема чзтвертого Порядка точности в спектральной задаче для уравнения со смешанной производной. //Дифференц. уравнения. -1939. -Т. -25. -7. -С. 1250-1253.

3. Приказчиков В.Г.. Алланаэаров Ж. П. Схема четвертого порядка точности в спектральной задаче с переменными коэффициентами.// Дифференц. уравнения. -1990. -Т. -26. -12. -С.2153-2157.

4. Приказчиков В. Г., Алланаэаров К. П.- Уточнение решений в дискретной спектральной задаче. // Вычисл. и прикл. математика. -1989.-Вып. 69.-С. 56-63.

5. Алланаэаров Ж. Г|. Дискретная спектральная задача четвертого порядка точности. // Тезисы ВорсовзиоЯ научно-практической конференции " Вопросы экономики и организации информационных технологий ". Гомель'.: ГГУ. -1991. -Ч. -2. -С. 138-159.

Зйх. ЮЛ.тир. 100. Уч. тип. КГУ. 1Я32 г. КИЕ». Вулымр Т.7ШПВЧЕИКО, М.