Сравнительная характеристика и разработка численных методов решения упругих динамических инженерных задач тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

1. ОБЗОР МЕТОДОВ И РЕЗУЛЬТАТОВ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ

ЗАДАЧ ТЕОРИИ У1ШТ0СТИ .Ю

1.1. Методы решения динамических задач, основанные на различных дискретных представлениях уравнений движения.

1.2. Основные результаты, полученные численными методами

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ, ПРИНЯТЫЕ В РАБОТЕ

2. ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ХАРЖТЕЖТИК РАЗНОСТНЫХ

СХЕМ ДЛЯ ОДНОМЕРНОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ

2Л. Спектральный метод исследования разностных схем .18 2.2./Примеры исследования спектральных характеристик разностных схем.

2.3i Разностные схемыг полученные с помощью метода

Бубнова-Галеркина.

2.4. Влияние спектральных характеристик на численное решение задачи о распространении ступенчатого профиля

2.5. Об одном классе бездисперсионных разностных схем

Выводы по главе СПЕКТРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ РЕШЕНИЯ

ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ПЛОСКОСТИ

3.1. Примеры исследования двумерных разностных схем

3.2. Получение разностной схемы в скоростях и напряжениях для решения плоской динамической задачи теории упругости с помощью метода Бубнова-Галеркина и ее спектральные характеристики.

3.3. Поведение разностной схемы, полученной методом Бубнова-Галеркина на границе расчетной области. Вывод приближенных соотношений для рассчета граничных тачек

3.4. Вывод разностной схемы в скоростях и смещениях для плоской динамической задачи теории упругости с помощью метода Бубнова- Галеркина и ее спектральные характеристики

3.5. Расчет тестовой задачи. Исследование сходимости разностных методов к точному,решению. Сравнительная характеристика разностных методов в скоростях и напряжениях и скоростях и смещениях

Выводы по главе

4. РАСЧЕТ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ВОКРУГ ТУННЕЛЬНОЙ

ВЫРАБОТКИ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ

4.'П Описание системы программ решения плоской динамической задачи теории упругости со сложной геометрией

4.2^ Исследование динамического напряженного состояния среды в зоне выработки подземного здания ГЭС, расположенного вблизи от поверхности. Сопоставление полученных результатов с данными экспериментов методом динамической фотоупругости

Выводы по главе

5-. МЕТОД РЕШЕНИЯ ТРЕХМЕРНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ

УПРУГОСТИ СО СЛОЖНОЙ ГЕОМЕТРИЕЙ

5.1. Вывод разностной схемы решения трехмерных динамических задач с помощью метода Бубнова-Галеркина

5.2. Спектральные характеристики трехмерной разностной схемы

5ГЗ. Расчет задачи о действии квадратного абсолютно жесткого штампа на упругое полупространство

Выгоды по главе

В В Е Д Е Н И Е В Отчетном Докладе Центрального Комитета КПСС на ХХУ1 съезде и Основных направлениях Шкономического и социального развития СССР на I98I-I985 годы и на период до 1990 года ставится вопрос о повышении эффективности строительства. В частности это предполагается сделать за счет снижения материалоемкости инженерных сооружений и конструкций, причем без ухудшения их эксплуатационных характеристик. Но для более экономного использования материалов при проектировании и строительстве инженерных сооружений необходимо учитывать не только статические нагрузки на объекты, но и динамические, которые могут возникнуть, например, при расположении объектов в зонах с повышенной сейсмоактивностью. Силовые динамические нагрузки невозможно определить без изучения полной, пространственно-временной картины напряженного состояния объекта, возникающего при распространении упругих волн в твердых телах. Поэтому, исследование неустановившихся процессов в механике твердого тела преобретают в настоящее время все большее значение. В изучении нестационарных процессов наряду с натурными исследованиями существенное место занимает моделирование. Экспериментальное моделирование, в частности, метод динамической фотоупругости 45 J успешно решает эту задачу. Но отмечая большие достоинства этого метода, необходимо указать на трудности определения всех компонентов тензора напряжений по ролю модели. Поэтому, математическое моделирование процессов распространения и дифракции упругих волн является важной практической проблемой. До широкого применения численных методов задачи динамически твердого тела решались аналитически в одномерной постановке и с большим количеством упрощающих предположений. Это не всегда удовлетворяло практику. Сейчас, в связи с развитием Э Ш и теории/ численных методов, появилась возможность решения многомерных динамических задач. Несмотря на большое многообразие разностных схем решения динамических задач теории упругости, необходимо отметить два метода наиболее часто употребляемых: это численные методы,основанные на аппроксимации системы уравнений теории упругости в частных производных второго порядка в смещениях и системы уравнений первого порядка в скоростях и напряжениях. Основная часть задач распространения упругих волн решена именно этими разностными методами, но как правило, большинство исследователей при решении конкретных задач ограничивалось регулярной разностной сеткой для прямоугольных расчетных областей или областей, составленных из прямоугольников. В данный момент стоит задача разработки разностных методов решения динамических задач теории упругости в слодных областях о криволинейными границами и с применением существенно нерегулярных разностных сеток. Подобные разностные сетки могут послужить основой для создания универсальных комплексов программ решения широкого класса динамических задач, подобных хорошо себя зарекомендовавших программ решения статических задач методом конечных элементов. Вторая задача заключается в том, чтобы выделить из разностных методов такие, которые дают достаточно достоверную информацию даже при грубой дискретной сетке, т.е. наиболее точные. Эта задача требует более детального исследования разностных методов, которые применяются для расчета волновых явлений в твердых телах. Таким образом, целью настоящей работы является более детальное изучение свойств разностных схем решения динамических задач теории упругости, условий от которых зависит устойчивость и точность численного решения, а так же разработка и применение комплекса программ решения динамических упругих задач со сложной геометрией. Это потребовало решения следующего круга задач: 1. Распространение методики исследования спектральных характеристик линейных систем на определение величин аппроксимационной вязкости и дисперсии одномерных и многомерных разностных схем решения динамических задач теории упругости. 2. Влияние спектральных характеристик разностных схем (аппроксимационной вязкости и дисперсии) на вид и точность численного решения на примере решения задачи о распространении единичного ступенчатого профиля в одномерном случае. 3. Применение метода Бубнова-Галеркина в сочетании с разложением решения в ряд Тейлора по времени для получения разностных схем расчета многомерных задач теории упругости в областях с криволинейными границами и на существенно нерегулярных разностных сетках. 4. Разработка программных комплексов для решения плоской динамической задачи теории упругости и специализированной программы расчета объемной динамической задачи о воздействии квадратного, абсолвзтно жесткого штампа на упругое полупространство. 5. Разработка программ численного исследования спектральных характеристик многомерных разностных схем решения динамических задач, Научная новизна полученных в диссертационной работе результатов заключается в следующем: I, Методика определения спектральных характеристик многомерных разностных схем и на основе полученных величин, аппроксимационной вязкости и дисперсии, возможность классификации разностных методов решения динамических задач теории упругости.Исследование зависимости численного решения от спектральных характеристик разностной схемы и получение на основе разработанной методики класса наиболее точных, бездисперсионных схем с регулируемой вязкостью для решения одномерного волнового уравнения. 3, Разработка методики получения разностных схем для решения многомерных динамических задач теории упругости на основе метода Бубнова-Галеркина в сочетании с разложением в ряд Тейлора во времени. 4, Разработка методики получения приближенных соотнощений для расчета граничных точек, которые с высокой точностью выполняют заданные граничные значения. 5, Непосредственное сравнение решения, полученного разработанным численным методом, сложной динамической задачи теории упругости в плоской постановке с экспериментальными результатами, полученными методом динамической фотоупругости. Оценка точности численного решения. Результаты численного решения задачи о действии плоской продольной волны на туннельную выработку сложной формы расположенную вблизи от криволинейнйй свободной границы, были использованы при оценке сейсмонапряженного состояния вокруг подземного здания греческой гидроэлектростанции "Стратос". Результаты диссертационной работы докладывались на Х Х Ш 1 ХХХУШ и Х Х Х К научно-технической конференциях МИСИ им.В.В.Куйбышева (Москва, 1978,1979,1980гг.), ХУ Всесоюзной конференции молодых научных работников ВНИИГ им.Б. Е.Веденеева (Ленинград, 1980 г.), Ш семинаре "Аналитические методы и применение ЭВМ в механике горных пород" (ИГД СО АН СССР,Новосибирск,1980), Всесоюзных научно-технических совещаниях (I98I,Ленинград), (1982,Москва).9 Результаты диссертационной работы онобликованы в статьях: I Немчинов В.В., Чередниченко Р.А. Применение метода пространственных характеристик и метода Бубнова-Галеркина к решению динамических задач для упругого полупространства; Тезисы докладов Ш семинара "Аналитические методы и применение Э М в механике горных пород", ИГД С СССР, Новосибирск, 1980. В О 2. Немчинов В.В, Численное моделирование задачи о воздействии сейсмической волны на каньон треугольной формы. Сборнж докладов по гидротехнике, секция "Строительная механика", ВНИИГ, Л., деп; в Информэнерго, Д/911, 10 с. 3 Хесин Г.Л., Костин ИД,, Филиппов И.Г., Немчинов В.В;, Мусаев В,К, Применение методов численного анализа и динамической фотоупругости для исследования напряженно-деформированного состояния гидротехнических сооружений при сейсмическом воздействии. Тезисы докладов и сообщений U научно-техническ-ого совещания Гидропроекта "Совершенствование научных исследований, ускорение внедрения достижений науки и техники в проекты с целью повышения эффективности строительства и эксплуатации ГЭС, Г Э АС и АЭС", М., 1982, часть I, с. 86-87. В процессе работы автору оказывал постоянную помощь и доддержку коллектив сотрудников Проблемной лаборатории фотоупругости М С им. В.В. Куйбышева, за что автор выражает искреннюю ИИ благодарность.ОБЗОР МЕТОДОВ И РЕЗУЛЬТАТОВ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ I.I. Методы решения динамических задач, основанные на различных дискретных представлениях уравнений движения Сложность системы уравнений, описывающих динамическое поведение упругого тела, является причиной того, что в настоящее время полное и достаточно точное решение задач может быть получено в большинстве случаев лишь численными методами с использованием быстродействующих ЭВМ, Последнее обстоятельство и послужило толчком к тому, что в последние двадцать лет интенсивно разрабатываются методы, которые используются для численного решения задач динашческой теории упругости. При этом, учитываются как новые возможности численной реализации алгоритмов, так и потребности решения ряда конкретных задач, которые не поддаются аналитическому исследованию. Исторически сложилось, что в первое время более интенсивно развивались численные методы решения задач газовой динамики. Многие находки в этой области были непосредственно применены для построения разностных схем решения динамических задач теории упругости. Поэтому, возникла необходимость привлечь в обзор наиболее важные работы из области решения задач газовой динамики. Общие методы построения и исследования устойчивости и разностных схем для решения дифференциальных уравнений в частных производных освещены в работах £14,26,42,57,62,72-74] Преимущество лагранжевой аппроксимации и построений разностных схем в смешанных эйлеро-лагранжевых координатах для решения задач с большими деформациями описаны в [4I,54,8I,83j. Работы [8,9] содержат дальнейшее развитие этого подхода,применительно к задачам газовой динашки. Важное место среди методов исследования динамических задач теории упругости занимает метод сеток. Основная идея этого метода состоит в непосредственной замене дифференциальных операторов разностными. Расчет ведется при постоянном шаге по времени и на фиксированной разностной сетке. Описание этого метода имеется в ряде работ [19,38,49,50,56,96,983 Метод сеток может быть реализован как с наделением разрывов решения [49,50] так и как схема сквозного счета t 19,38,102], Одной из первых разностных схем решения динамических задач является схема "крест" и ее обобщение на случай двух пространственных переменных. Впервые эта схема была предложена для одногмерного уравнения акустики Курантом,Фридриксом и Леви в 1928г. 37 и в дальнейшем применялась для решения одномерных задач газовой динамики и теории упругости. Обобщение этого метода на переменную сетку в двухмерном случае с помощью интегрального представления производных впервые предложено в работах [4l] 8 1 для решения динамических упругих и упругопластических задач. Разностные схемы типа "крест" можно использовать при расчете только в гладких решенийх.В случае разрывов возникают дополнительные "паразитные" колебания решения, которые наиболее сильны вблизи фронта разрыва. Снижение уровня этих колебаний достигается за счет введения в разностные уравнения так называемой "искусственной" вязкости. Вопрос о выборе "искусственной" вязкости для одномерных задач газовой динамики был решен в работе Неймана и Рихтмайера [б0] В более поздних работах были даны обобщения на случай дву- и трехмерных задач 41 81 3 Для задач распространения волн в тверднх телах многие авторы вводят "искусственную" вязкость таким же способом или используют "искусственную" вязкость, имеющую тензорный характер 33 Часто применяющийся при расчетах метод метод Лакса-Вендфоффа ]]102] Схема, предложенная Лаксом и Вендроффом, широко используется не только при расчетах задач газовой динамики, но и в теории упругих и упругопластических сред при малых и больших деформациях f67,68,104] Эта схема оказалась очень эффективной при решении гиперболических систем уравнений дивергентного вида, Еще один метод, дающий хорошие результаты при решении задач с разрывами, был разработан К.Годуновым для расчета одномерных задач газовой динамики, а позже применялся для решения задач в общей постановке [l4,25 3 Применение данного метода для исследования неустановившихся процессов в упругих телах отражено в работах [48,71,88,89] Преимущество метода Годунова состоит в том, что разрывы в расчетах по этому- методу представляются более близкими Е реальным, чем это; достигается в методах, использующих "искусственную" вязкость» Другой класс разностных схем строится путем аппроксимацидифференциальных уравнений, представленных в характеристической форме [40,33,12,98,60] Сочетание характеристического подхода с конечно-разностной аппроксимацией было предложено в работе Батлера 98 Построение конечно-разностного метода для систем квазилинейных уравнений описано; в работе Магомедова и Холоднова 40 Обобщение метода Батлера на плоскую задачу теории упругости было сделано Клифтоном 27 Полученная в этой работе разностная схема для расчета внутренних точек расчетной области совпадает со схемой Лакса 57 Наибольшее преимущество данного метода проявляется при расчетах точек границы. Главная аособенность данного метода состоит в том, что с высокой точностью выполняет заданные граничные условия. Обобщение результатов Клифтона на случай двумерной задачи динамической упругости в цилиндрических и сферических координатах сделано в работах П.Ф.Сабодаша и Р.АЛередниченно \67770,91]. Распространение метода на задачу трех пространственных переменных показано в работе [б0 Эффективный подход для решения задач дает концепция конечных элементов (КЭ), или эквивалентный щ для линейных уравнений метод Бубнова-Галеркина. Ж Э получил широкое применение при решении статических задач со сложной геометрией [17,24,46,55, 63,75,79] Удобство машинной реализации, независимость от геометрии расчетной области, общие разностные соотношения как для внутренних, жак и для граничных разностных точек обеспечивают большую популярность МКЭ среди исследователей. Непосредственное применение Ж Э к задачам динамики связано с определенными трудностями, т.к. получаемая разностная схема относится к неявному типу и это существенно ограничивает область использования данного метода. В последнее время появился ряд работ, в которых с успехом применяют метод МКЭ к решению динамических задач твердого тела. В этих работах реализуется приближенный метод конечных элементов, который приводит к явному виду разностных соотношений. Подобное упрощение достигается за счет диагонализации матрицы масс. Для уравнений в смещениях такой подход исследован в ра- ботах [2,29,31,64,76] а для уравнений теории упругости в скоростях и напряжениях в работе Г 52 Продолжаются попытки использования метода граничных интегральных уравнений (ГИУ) для решения динамических задач теории упругости 92 Этот метод привлекателен тем, что снижает iJt- на единицу размерность задачи и реализуется на значительно меньшем количестве разностных точек, чем Ж Э 1.2. Основные результаты,полученные численными методами С помощью численных методов решено уже большое количество сложных задач динамики твердого тела. Среди первых работ, выполненных в этом направлении, следует отметить работу f l i t где с помощью метода интегральных преобразований в сочетании с методом сеток проводится анализ переходных процессов в пластинах и оболочках. Позже, в работе 149 3 и ряде других работ, вклнь чая и работу 50 У.К,Нигул, основываясь на линейной теории упругости, рассмотрел переходные процессы в полубесконечном упругом слое, а так же осесимметричные переходные процессы деформации полубесконечной цилиндрической оболочки. Результаты численного интегрирования уравнений теории упругости использовались для Ойвнки обоснованной применимости приближенной теории оболочек и пластин в задачах анализа переходных процессов деформации. В работе 98 точные уравнения, описывающие осесимметричяое распространение волн в упругом стержне при воздействии на одном его конце непрерывных и ступенчато-изменяющихся во времени нагрузок, решены методом конечных разностей. При этом решение, полученное при ступенчатом изменении напряжений, согласуется с экспериментальными данными вблизи торца. Здесь же проводится сравнение с решением Похгаммера-Кри 100 в области, удаленной от нагружаемого торца, а для стержня конечной длины исследовано отражение от свободного и закрепленного относительно осевых перемещений торца. На основе использования явной разностной схемы для уравнений теории упругости в смещениях, в работе t 96 решена fS- задача о подземном взрыве в слоистом полупространстве со свободной границей. В работе [97] исследуется процесс распространения упругих волн в полубесконечном цилиндрическом стержне, вызванных импульсным нормальным напряжением, приложенным на торце. Полученное решение иллюстрируется графически в виде зависимостей от времени смещений, напряжений и деформаций в различных точках цилиндрической поверхности стержня. Проведено сравнение с одномерной теорией и с экспериментальными результатами, полученными в работе Ю З при этом отмечено хорошее совпадение теоретических и опытных данных. Цикл работ [18-22] посвящен решению плоских задач распространения упругих волн в сплошной среде. Используется явная, конечно-разностная схема, интегрирующая уравнения Ляме в оценивается точность их решения. В частности, приводится сравнение разнюстного и точного решения задачи о воздействии на границу упругой полуплоскости внезапно приложенной нагрузки. Результаты вычислений показали, что относительная ошибка между численным и точным решением во внутренних точках полуплоскости не превосходит 6, а на контуре достигает Ук%, В работах 10,IIJ методом дробных шагов, развитым;Н.Н.Яненко,А.А.Самарским и др., решены задачи динамической теории упругости в напряжениях. Определено напряженное состояние и поле скоростей упругого секториального выреза длинной цилиндрической трубы при заданных напряжениях на одной криволинейной поверхности и свободной от напряжений остальной его части, а так же для прямоугольного образца при заданных на части поверхности напряжениях; на остальной части задаются смещения. Результаты расчетов доведены до момента, когда передний фронт успевает пройти толщину образца.Ряд публикаций [51,67-70] показывает возможность успешного применения методики ["27] к решению сложных динамических задач. Методом пространственных характеристик решены задачи о распространении упругих волн в пластинах и стержнях, как однородных, так и составленных из различных материалов, моделировались задачи о заглубленном взрыве в полупространстве, Построению разностных схем и решению конкретных задач посвящены работы [48,61,88-90] в которых используется методика, аналогичная схеме "распада" разрывов, предложенная С,К, Годуновым и др. в работе [14] Этим методом исследовалась задача об ударе прямоугольной пластинки о жесткую преграду [88] а подобная задача для кругового цилиндра конечной длины рассмотрена в работе [71 В работе [lOl] точные уравнения движения, описывающие распространение упругих осесимметричных волн в цилиндрическом стержне, аппроксимированы конечными разностями первого порядка. Решен ряд конкретных задач, а полученные результаты сопоставлялись с имеющимися экспериментальными данными и аналитическими решенияш, Исследование численными методами динамического состояния инженерных сооружений проводилось в работах [2,19,29,38,52]. Получен ряд важных результатов, показана необходимость и целесообразность применения численных методов.ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ.ПЕИНЯТЫЕ В РАБОТЕ: к. шаг одномерной разностной сетки по координате X, h>it fia.» Ьз сетки по координатам Zr декартовой системы координат, ДЬ шаг дискретного изменения времени, "Хс узел сетки, УЦ плс М {с jb функция, заданная на разностной сетке на временном слое i 5e=(Wjf<WL V T правая разностная производная в точке "С (производная вперед), MCCKC-U-H)/ левая разностная производная на сетке в точке j (производная назад), центральная разностная производU-CUce-)/2=(U,+,-4:i)/h ная в точке ссс 14х=(Мх-Щ)А=СЧСисЧ:*1 вторая разностная производная в точке Ode ииСхсЛ-!) слое At t значение функции в точке с на временном на временном А1 й C<xci-Ai)- значение функции в точке с слое t-A-t fx (V-2U+ пл)/ вторая разностная производная по времени, со частота изолированной волны или фурье-моды по времени и пространству, к, к волновое число, связанное с длинной волны ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК РАЗНОСТНЫХ С Е ДЛЯ О Н М Р О О ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ. ХМ Д О ЕН Г 2 1 Спектральный метод исследования разностных схем. Существует простой и достатошю эффективный способ исследования линейных систем. На условный вход линейной системы подается сигнал, представляющий собой гармонику чсастотой ост По виду сигнала, получ?аемого на условном выходе, монсно судить о передаточных свойствах данной линейной системы, T.ei определить ее передаточнзш функцию [ТУ], Проведем такое исследование для линейного волнового уравнения, описывающего упругое поведение сплошной среды в одномерном случае: (2.1 где смещение, i ,Х время и координата, ск скорость Е- модуль упругости, L где распространения 30siE,Ci fB./p Р плотность среды. Если обозначить W L ,cc= c L ,t at в безразмерном виде штрихи отбрасываем): 2. -оег- L» характерный линейный размер, то получим волновое уравнение С2-2) Зададим на входе уравнения решение в виде изолированной волны или фурье-моды: Подставляя {J2.V5) в (2,2 получаем соотношение, связывающее частоту и волновое число: Выражение 2.Сказывается дисперсионным соотношением для уравнения {2,1) Соотношение (2.4 показывает, что все фурье-юды распростроняготся с одной скоростью, Б данном случае равной единице, т.е. нет дисперсии и нет диссипации решения- амплитуды всех фурье-мод со временем не изменяются. Но, в отличше. от дифференциального уравнения, присутствие диссипации и дисперсии-обшее явление для всех разностных схем. Для линейного разностного уравнения можно получ*ить соотношение, свя зывающее частоту и волновое ч:исло фурье-моды: Сравнивая дисперсионные соотношения разностной схемы и дисперсионное соотношение соответствующей дифференциальной системы, можно подробно проанализировать применимость и точность разностной схемы. В общем случае решение уравнения (2.2) имеет вид: гдес)- преобразование Фурье по координате X от (iojOc) "Ь начальный момент времени. Примем дисперсионное соотношение 2 5 в форме: co-=z SZCK:)- или СС) (2.7.1) ±И1 ±Sc)-h CifCfcO (2:7.2; где С*)- характеризует дисперсию решения, а JC*) диссипацию, L квадратный корень из минус единицы. Причем, если СК) о, то фурье-мода будет распространяться с большей скоростью, чем физическая, и oCic< о с меньшей. Если СЮ> О, то амплитуда фурье -моды будет со временем убнгвать, JfCKrx о возрастать. Тогда, Б силу 2,6) и С2.7Г2J решение разностной задачи моягно загшсать в виде: Если обозначить: T no теореме о свертке получаем: O «в>о /2 с-,х;= J Cb)Ct-)£s С2;8:2) Данная формула показывает, что зная решение дифференциального уравнения и функции (jCtK) для разностной схемы, которая в данном случае играет роль передаточной, можно получить численное решение по выражению (2.8.2 Функция Q-CtjOC) или G-C-byKt_) характерйзует отличие разностного решения "U от точного ДаннЕШ подход к изучению применимости и точности разностных схем представлен, например, в работах JI4, 57, 62, 82, 93-95J Из (2.8.1) и (2;8.2) можно сделать следующие элементарные выводы: Следствие I: Если "Ji ,"3 численные решения, то Следствие 2: Если 6- 1 U--tc. Следствие 3: Так как б- экспоненциально зависит от времени, то максимальное отлинчие численного решения от точного с увеличением времени растет по экспоненте. Следствия I 3 и соотношения С2.8) показывают, что исследование разностннх схем, оценка отличия разностного решения от точного, практически сводится к изучению функции G- или функций и у Введем для общего обозначения функций S ж название спектральнЕЮ характеристики. Изучение спектральных характеристик дает, такзкё!". подход к возможности классификации разностных схем, Одномерный вид С2.8) рассмотрен только для простоты. Подобное представление разностного решения можно расжространить и на многомерные линейные уравнения. 2.2: Примеры исследования спектральных характеристик разностных схем. Исследуем методом, рассмотренным в предыдущем

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ

1. С помощью метода Бубнова-Галеркина, совместно с разложением решения в ряд по времени, получены разностные соотношения для расчета трехмерной динамической задачи со сложной геометрией в декартовых координатах.

2. Определены спектральные характеристики полученной разностной схемы и показано, что на кубической дискретной сетке при отношении at"/ h. =0.5 схема устойчива.

3. Решена конкретная, трехмерная динамическая задача. Определено, что приближенные разнсстные соотношения для расчета граничных точек с высокой точностью выдерживают поставленные граничные условия. u

OS

0.0

-OS

-10

3 * / 5 1Z

Рис, 5.1, Нормальная к поверхности полупространства скорость и напряжения в точке с координатами

4! =0= 0, z =4, <M=v=R=S= Т = 0.

О.Ъ

OJS' о.о

-0.&

-О.Ъ siv ъ

Рис. 5.2. Скорости и напряжения И rw , Р , Q, в точке с координатами = = 2- = 0, v=F = = 5 = 'Т 0.

D.t

0.4

0.0

-0.4

-0.2. г \М

6 \ 9 лг.

-^fjr

Рис. 5.3. Скорость U и напряжения , S в. точке с координатами ос -^ = 3, z = 2, и = v , S =Т. ,

4.0

OS

0.0

-OS

-4.0 у 3 6

Ч^р

С/

Рис. 5.4. Скорость w и напряжения Р , F в точке с координатами ос = Ц = 3, 2 = 2, Р =

0.3

0.1S

0.0

-0.1S

-О.Ъ

9 11

Рис. 5.5. Скоростиtb V- tW В точке © координатами ОН = 2, у. = 6,2 = О* он ом

0.0

-Q.0S

-0.1

Э it V sl 4

Рис. 5.6. Напряжения Р , Q. , R. ъ точке с координатами

ОС = 2, IJ s б, 2 » о, 5 =Н = F = 0.

-129 • "V кк 0.0 0.3Л-/2 0.5/Г/2 0.8Л-/2 7Г /2

0.0 -0.000673 -0.004126 -0.000766 ;'0.035870 fo At 0.0 0.00II64 0.009269 0.055I3I 0.123690

8р A"fc 0.0 -0.004371 -0.024656 ^-0.125259 -0.260729

At 0.0 -0V00635I -0.027825 -0.102963 -0.189520

Табл. 5.1. Вязкость и дисперсия трехмерной схемы ( 5Л) на кубической сетке при кА = к = к3 .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

По результатам данной работы можно сделать следующие основные выводы:

1. Показано, что точность численного решения динамических задач теории упругости определяется спектральными характеристиками конкретной разностной схемы и зависит от двух функций волнового числа-дисперсии и диссипации. В результате численного решения динамических задач всегда получается длинноволновое приближение к точному решению.

2. Исследования применимости того или иного численного метода решения волновых задач нельзя ограничивать только исследованием критерия устойчивости разностной схемы. Необходимо определять величины дисперсии и диссипации.

3. Методика определения спектральных характеристик разностных схем дает достаточно полное отражение работы численных методов решения динамических задач теории упругости, Для одномерной схемы решения волнового уравнения, с помощью данной методики, введен класс особо точных, бездисперсионных разностных схем с изменяемой вязкостью.

4. Сочетание метода Бубнова-Галеркина с разложением решения в ряд Тейлора по времени дает возможность конструировать разностные схемы расчета двумерных и трехмерных динамических задач теории упругости со сложной геометрией и применить специальный прием получения приближенных соотношений для расчета точек, принадлежащих криволинейной границе, причем данные соотношения с высокой точностью выполняют заданные граничные условия.

5. Эффективность разработанных численных методов решения двумерных задач динамической теории упругости показана как путем определения спектральных характеристик, так и непосредственным сравнением результатов численного расчета конкретных динамических задач с аналитическим и экспериментальным решениями,

6, Исследование спектральных характеристик разностной схемы, разработанной в данной работе, расчет тестовой задачи и оценка необходимых затрат машинного времени, показывает возможность решения данным численным методом трехмерных динамичес ких задач теории упругости со сложной геометрией.

-S3Z

1. Айнола Л., Нигул У.К. Волновые процессы деформации упругихплит и оболочек. Известия АН ЭстссР» сеР* физико-математических наук, 14, №1, 1965, с. 76 81.

2. Аськов B.JI., Константинов И.А., Сапожников Л.Б. Расчет гравитационных плотин методом конечных элементов в рамках плоской теории упругости. В сборнике "Метод конечных элементов и строительная механика", ЛПИ,Л., 1973, с. 98-106.

3. Барон М.Л., Метьюс А.Г. Дифракция волны давления относительноцилиндрической полости в упругой среде. Прикладная механика. Серия Е. №3, 1961, с. 31-38.

4. Бейда Ю. Двумерные упруго-вязкопластические волны. В кн. "Распространение упругих и упругопластических волн" ( Труды У Всесоюзного симпозиума) ."Наука", Алма-Ата, 1973, с. 77-81.т

5. Белевич С.М.\ Коротких Ю.Г. Некоторые результаты численногоисследования процесса соударения стержня с жесткой преградой^ В сб. "Методы решения задач упругости и пластичности", №6, Ученые записки ГГУ, серия механика, Гсрький , 1972, с. 85-99.

6. Васильковский С.Н. Применение метода расщепления к решениюосновных краевых задач динамической теории упругости. В кн. "Распространение упругих и упругоготастических волн", Алма-Ата, "НауШ", 1973, с. 107-III.

7. Васильковский С.Н. Численное решение задачи об ударе в упругом приближении. В сб. "Динамика сплошных сред", вып. 4, Новосибирск, 39-70, с. I07-II3.

8. Веденяпин Е.Н. Еаспространение цилиндрических волн давленияв круглой трубе. Труды научной конференции МФТИ, 1971, серия аэрофизики и прикладной математики, Долгопрудный, 1972, с. 10-18.

9. Винокуров О.А., Константинов И.А.,Применение ЖЭ к расчетумассивных контрфорсных плотин на сейсмические воздействия. В сб. "Метод конечных элементов и строительная механика", ЛПИ, Л., 1973, с. II2-II8.

10. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы."Наука",1973,с. 400.

11. Гордеева С.П. Решение задачи о концентрации динамическихнапряжений около отверстий методом сеток. Известия ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева, Сейсмостойкость гидротехнических ьсооружений, 1979, "Энергия", Л., с. 58-62.

12. Давыдов Ю.М. О методах "части?" для решения задач газовойдинамики. В кн. "Распространение упругих и упруго-пластических волн. Материалы У Всесоюзного симпозиума "."Наука",Алма-Ата, 1973,с. 140-146.

13. Деклу Ж. Метод конечных элементов. "Мир", М., 1976, 92 с;

14. Дятловицкий Л'.И. К решению плоской динамической задачи теории упругости методом конечных разностей. Прикладная механика, т. Ц, вып. 10, "Наукова думка", Киев, 1966, с. 1-9.

15. Дятловицкий Д.И., Чудновский В.Г., Лемберг Э.Д. К вопросуо колебаниях гравитационных плотин под действием коротковременных нагрузок. Труды координационного совещания, № 47, "Энегрия", Л., 1969, с. 132-145.

16. Дятловицкий Л.И., Ермоленко А.И. Решение задачи о собственных колебаниях упругого тела методам конечных разностей. В кн. "Динамика гидротехнических сооружений". Труды координационных совещаний по гидротехнике, №54, "Энергия", Л., 1970, с. 272-281.

17. Жубаев Н., Мардонов Б„ Байталиев Т. Разностный метод вплоских динамических задачах нелинейной теории упругости. ь кн. "Распространение упругих и упругопласти-ческих волн. Материалы У Всесоюзного симпозиума "Наука", Алма-Ата, 1973, с. 183-188.

18. Зенкевич О.С. Метод конечных элементов: от интуиции к общности." В сб. Механика, Ыэб (24),"Мир", М., 1970, с. 90-103.

19. Иванов М.Я., Крайко А.Н. Об аппроксимации разрывных решенийпри использовании разностных схем сквозного счета. IBM и МФ, 18, №3, 1978, с. 780-783.

20. Калиткин Н.Н. Численные методы."Наука", Mi, 1978, 512 с.

21. Клифтон Р.Дж., Разностный метод в плоских задачах динамической упругости. В сб. Механика, №1 107), "Мир", 1968, с. 103-122,

22. Кондауров В.И., Рой И.В. Исследование и применение одной разностной консервативной схемы для уравнений динамики деформируемой среды. В сб. ^Численные методы механики сплошной среды", т.II, №2, 1980, Новосибирск, с. 64-79.

23. Константинов И.А. Некоторые вопросы статического и динамического расчета плотин методом конечных элементов в рамках плоской теории упругости. В сб. "Метод конечных элементов и строительная механика", Г1У, Горький, 1973, с. 73-69.

24. Коротких Ю.Г. Численный метод исследования поведения упругопластических тел при импульсных воздействиях. В кн. "Распространение упругих и упругопластических волн. Материалы У Всесоюзного симпозиума 11. "Наука", Алма-Ата, 1973, с. 209-218.

25. Коротких Ю.П, Рузанов А.И. Анализ методом конечного элемента задач динамики сплошных сред. В сб. "Метод конечных элементов в строительной механике", Изд. ГГУ, Горький, 1975, с. 96-107.

26. Костин И.Х., Фрейншист Н.А., Юренева Е.В., Дмитриенко О.Л.,

27. Кукуджанов В.Н. 0 численном решении задачи распространенияупруго-вязкопластических волн. В кн. "Распространение упругих и упругопластических волн. Материалы У Всесоюзного симпозиума ","Наука", Алма-Ата, 1972, с. 223-230.

28. Кукуджанов В.Н., Кондауров В.И. Численное решение неодномерных задач динамики твердого деформируемого тела. В сб. "Проблемы динамики упруго-пластических сред. Новое в зарубежной науке"."Мир", М., 1975, с. 39-84.

29. Кукуджанов В.Н. Численное решение неодномерных задач распространения волн напряжений в твердых телах. Предпринт ВЦ АН СССР, М., 1976, 65с.

30. Кукуджанов В.Н. Одномерные задачи распространения волн напряжений в стержнях. Предпринт ВЦ АН СССР, М,.1977, ^ 55 с.

31. Курант Р., Фридрикс К., Леви Г. О разностных уравнениях математической физики. Успехи математических наук, вып. 8, 1940, с. 125-13I.

32. Ломбарцо В.Н. Алгоритм численного решения плоских динамических и статических задач теории упругости. Известия ВНИИГ, Л., т. 103, 1973, с. 152-163.

33. Магомедов К.М., Холодов А.С. 0 построении разностных схемдля уравнений гиперболического типа на основе характеристических соотношений. IBM и МФ, 9, №2, 1969, с. 373-386.

34. Майнчел Дж., Сак С. Метод расчета "Тензор". В кн. "Вычислительные методы в гидродинамике", "Мир", М., 1967, с. I85-2II.

35. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. "Наука", М.,1977, 454 с.

36. Мейз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред. "Мир", М.,1974, 318 с.

37. Мехта П.К., Девидс Н. Прямой численный метод расчета цилиндрических и сферических упругих волн. Ракетная техника и космонавтика, 4, 1966, с. I44-I5I.

38. Метод фотоупругости. Под ред. Н.А. Стрельчука, Г.Л. Хесина,т. 2, "Стройиздат", М., 1975, 315 с.

39. Митчел Э., Уейт Р. Метод конечных элементов для уравненийв частных производных."Мир", М., 216 с.

40. Моисеенко Б.Д., Рождественский Б.Л., Свдоров В.К. Спектральные характеристики разностных схем и условия численного моделирования предельных режимов течений вязкой жидкости. IBM и МФ, 14, №6, 1974, с. I499-I5I5.

41. Навал И.К., Сабодаш П.Ф. Численное решение задачи о распространении волн напряжений в сплошном цилиндре переменного радиуса. Известия АН МССР, серия физ.-тех. наук, №3, 1974, с. 27-35.

42. Нигул У.К. О методах и результатах анализа волновых процессов изгиба упругой плиты. Известия АН ЭстССР, серия физ.-мат. и тех. наук, 14, №3, 1965, с. 51-59.

43. Нигул У.К. Сопоставление результатов анализа переходных волновых процессов в оболочках и пластинах по теории упругости и приближенными теориями. fflffi, вып. 2, 1969, с. 308-322.

44. Немчинов В.В., Чередниченко Р.А.,Распространение в слоистомполупространстве упругих волн, вызванных сферически нимметричным источником возмущений. В сб. "Газовая и волновая динамика", выл. 3, Изд. МГУ, М., 1979, с.163-166.

45. Немчинов В.В. Численное моделирование задачи о воздействиисейсмической волны на каньон треугольной формы. Тезисы доклада на "ХУ Всесоюзной конференции молодых научных работников ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева. Ленинград, 1980 ", Деп. Зс.

46. Нох У.Ф. СЭЛ-совместный эйлеро-лагранжевый метод для расчета нестационарных двумерных: задач. В кн. "Вычислительные методы в гидродинамике", "Мир", М., 1967, с.316-342.

47. Оден Дж. Метод конечных элементов, в нелинейной механикесплошнйх средь "Мир", М., 1976, 464 с.

48. Повериус Л.Ю., Ряямет Р.К. Распространение упругих волн втранверсально-изотропной плоской пластине. Труды ТПИ, Таллин, серия А, №296, 1970, с. 95-104.

49. Поттер Д. Вычислительные методы в физике."Мир", М., 1975,418 с.

50. Рахматулин Х.А., Каримбаев Т.Д., Байталиев Т. Применение метода пространственных характеристик к решении задач по распространению упруго-пластических волн. Известия АН КазССР, серия физ.-мат. наук, Вй, 1973, с. 59-66.

51. Рекач В.Г. Руководство к решению задач по теории упругости.

52. Высшая школа",М., 1977, 215 с.

53. Реккер Дж. Численное решение пространственных динамическойзадач теории упругости. Прикладная механика, Серия Е, Труды американского общества инженеров механиков, 37, №1, 1970, с. I2I-I29.

54. Римский В.К. Сравнительная характеристика численных методоврешения контактных задач динамической теории упругости. В сб. "Математические методы в механике", вып. 57, Кишинев, 1980, с. 91-97.

55. Розин Л.А. Вариационные постановки задач для упругих систем.

56. Изд. ЛПГ, Л., 1978, 223 с.

57. Рузанов А.И. Численное исследование двумерной динамическойзадачи пластичности с линейным распределением деформаций по элементам. В сб. "Методы решения задач упругости и пластичности", №6, ГГУ, Горький, 1972, с. 100-107.

58. Сабодаш П.Ф., Чередниченко Р.А. Численное решение задач дифракции и распространения упругих волн методом пространственных характеристик. ПМТФ, №4, 1971, с. I03-III.

59. Сабодаш П.Ф., Чередниченко Р.А. Решение нестационарной динамической задачи для полуполосы методом пространственных характеристик. В сб. "Прикладная механика и программирование", вып. 4, Кишинев, 1971, с. 84-93.

60. Сабодаш П.Ф., Чередниченко Р.А. Применение метода пространственных характеристик к решению задачи о распространении упругих волн в упругой полуполосе. МТТ, ®бг 1972, с. 180-185.

61. Сабодаш П.Ф., Чередниченко Р.А. Распространение упругих волнв полуполосе, составленной из двух разнородных материалов. В сб. "Избранные проблемы прикладной механики", ВНИИТИ, М., 1974, с. 617-624.

62. Сабодапг П.Ф., Навая И.К. Численное решение задачи о распространении волн напряжений в цилиндрической оболочке конечной толщины. Прикладная механика, т.XI, выи. 5, "Наукова думка" Киев, 1975, с. 14-20.

63. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем.

64. Наука", М., 1973, 415 с. 72. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные схемы газовой динамики. "Наука", М., 1975, 351 с.

65. Самарский А.А. Теория разностных схем. "Наука", М., 1977,653 с.

66. Сегерлинд JI. Применение метода конечных элементов. "Мир",1979, 388 с.

67. Синицин А.П. Метод конечных элементов в динамике сооружений.

68. Стройиздат", М., 1978, 230 с.

69. Смит Дж.М. Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей. "Машиностроение", М., 1980, 271 с.

70. Содырин А.И. Алгоритм реализации трехмерных динамических задан на ЭВМ. В сб. "Методы решения задач упругости и пластичности", №6, 1972, с. I08-II8.

71. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов."Мир",1977, 349 с.

72. Туров В.п; К вопросу о сведении задачи распространения упругих волн в бесконечной облавти к задаче для области конечных размеров. В сб. "Сопративление материалов и теория сооружений", вып. 28, Киев, 1976, с. 186-190.

73. Уилкинс M.JI. Расчет упруго-пластических течений. В кн. "Вычислительные методы в гидродинамике", "Мир", М., 1967, с. 212-263:

74. Федосеева З.И. Анализ свойств апироксимационной вязкостинекоторых разностных схем для двумерных уравнений газовой динамики. Предггринт ИТПМ СО АН СССР, №10, Новосибирск, 1979, 33 с.

75. Харлоу Ф.Х. Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики. В кн. "Вычислительные методы в гидродинамике". "Мир", М., 1967, с. 316- 342.

76. Хачатуров А.Р. Спектральные характеристики одной разностнойсхемы для уравнения Навье-Стокса. В сб. "Численные методы механики сплошной среды", т.7, №6, Новосибирск^ 1977, с. 145-152.

77. Хеминг Р.В. Численные методы для научных работников."Наука",1. М., 1972, 400 с.

78. Чебан В.Г., Руссу И.В. Численный метод решения задачи об ударе упругой тонкой прямоугольной пластины о жесткую преграду. В сб. "Прикладная математика и программирование", вып. 4, Кишинев, 1971, с. 94-103.

79. Чебан В.Г., Сабодаш П.Ф. Упругие и термоуп.#тие волны1 в деформируемых средах. "Штиница", Кишинев, 1972, 267 с.

80. Чебан В.Г., Навал И.К., Сабодаш П.Ф., Чередниченко Р.А. Численные методы решения динамических задач упругости. "Штиница", Кишинев, 1976, 225 с.

81. Чередниченко Р.А. Нестационарная задача о распространенииупругих волн в полосе. В кн. "Распространение упругих и упругопластических волн. Материалы У Всесоюзного симпозиума ", "Наука", Алма-Ата, 1973, с. 319-324.

82. Шиппи Дж. Применение метода граничных интегральных уравненийк изучению нестационарных явлений в твердых телах. В сб. "Метод граничных интегральных уравнений. Новое в зарубежной науке.", "Мир", М., 1978, с. 30-47.

83. ВГокин Ю.И; Метод дифференциального приближения. "Наука", Новосибирск, 1979, 220 с.

84. Яненко Н.Н., Шокин Ю.И., Тушева Л.А., Федотова З.И. Классификация разностных схем одномерной газзвой динамики методом дифференциального приближения. В сб. "Численные методы механики сплошных сред", т. II, №2, Новосибирск, 1980, с. 123-159.

85. Ж ёее/г&ин&Фе^ /fedu-CJ'.J asideo/iyiecrin wtik ^er&f. <7. dfyi/.foJ/. fflytasbtHtt ё^Я^1. Дъск. ffleeA. 2З, Mo.</</0.ttf. Jctwe&h CUiMZct. fit Aw^. ау/У&аыА fa