Численное моделирование нестационарного поведения упругих конструкций тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО

ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

На правах рукописи УДК 539.3:534.1

ЗУЕВ Николай Николаевич

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОГО ПОВЕДЕНИЯ УПРУГИХ КОНСТРУКЦИЙ.

Специальность 01.02.06 "Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры"

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель Доктор физико-математических наук профессор Шалашилин В.И.

Москва, 1998.

СОДЕРЖАНИЕ

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ.............................................................................................5

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ ВВЕДЕНИЕ......................................................................6

ГЛАВА 1. МЕТОДЫ ДИНАМИЧЕСКОГО АНАЛИЗА .............................................7

В ПРОЦЕССЕ СОЗДАНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА....................................8

1.1. Цели динамического анализа как составной части разработки ЛА......................8

1.2. Классификация задач динамики упругих конструкций.........................................9

1.3. Уравнения колебаний в случае геометрической и

физической нелинейности...............................................................................................10

1.3.1. Общий случай..........................................................................................................10

1.3.2. Геометрически и физически линейная задача.....................................................12

1.3.3. Геометрически нелинейная задача........................................................................13

1.3.4. Уравнения колебаний при динамическом анализе ЛА......................................13

1.4. Методы редукции конечноэлементных моделей в динамике...............................17

1.4.1. Цели и общая схема редуцирования.....................................................................17

1.4.2. Статическая конденсация.......................................................................................18

1.4.3. Метод динамической редукции.............................................................................19

1.4.4. Методы, использующие кинематические условия...............................................20

1.5. Интегрирование уравнений движения.....................................................................21

1.5.1. Особенности начальной задачи для уравнений движения.................................21

1.5.2. Специальные методы численного интегрирования.............................................22

1.5.3. Применение общих методов численного интегрирования.................................23

ГЛАВА 2. НАИЛУЧШАЯ ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ МЕТОДОВ

ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ...........................................25

2.1. Наилучшая параметризация задачи Коши...............................................................25

2.2. Анализ эффективности наилучшей параметризации простых задач.................... 27

2.2.1. Влияние на локальную погрешность....................................................................27

2.2.2. Влияние на устойчивость схемы численного интегрирования..........................29

2.2.3. Наилучшая параметризация задачи Коши для

уравнения u t=acöcos(cot)...................................................................................................34

2.3. Алгоритмическая реализация процедуры наилучшей параметризации...............44

2.4. Частные формы наилучшей параметризации..........................................................46

2.5. Наилучшая параметризация для методов Рунге-Кутта..........................................47

2.5.1. Задачи второго порядка..........................................................................................47

2.5.1.1. Применение методов Рунге-Кутта для уравнений движения..........................47

2.5.1.2. Использование наилучшей параметризации для методов Рунге-Кутта.........48

2.5.1.3. Частная форма наилучшей параметризации для методов Рунге-Кутта..........49

2.5.1.4. Анализ эффективности наилучшей параметризации тестовых

задач при использовании методов Рунге-Кутта.............................................................50

2.5.1.4.1.Тестовые задачи второго порядка....................................................................51

2.5.1.4.2.Алгоритмическая реализация...........................................................................57

2.5.1.4.3.Результаты тестирования..................................................................................67

2.5.2. Задачи первого порядка..........................................................................................68

2.5.2.1.Наилучшая параметризация методов Рунге-Кутта

для уравнений первого порядка.......................................................................................68

2.5.2.2.Тестовые задачи первого порядка.......................................................................68

2.5.2.3. Алгоритмическая реализация.............................................................................74

2.5.2.4. Результаты тестирования....................................................................................74

2.6.Наилучшая параметризация неявных методов численного интегрирования.......81

2.6.1. Неявный метод Эйлера для задач второго порядка.............................................81

2.6.2. Неявный метод Эйлера для задач первого порядка.............................................81

2.6.3. Численное интегрирование задач первого порядка ФДН-методами.................89

2.6.3.1..Наилучшая параметризация ФДН-методов для систем

дифференциальных уравнений первого порядка...........................................................89

2.6.3.2. Алгоритмическая реализация.............................................................................91

2.6.3.3.Результаты тестирования.....................................................................................93

2.7.Обобщение результатов решения тестовых задач...................................................94

ГЛАВА 3. ПРИМЕНЕНИЕ НАИЛУЧШЕЙ ПАРАМЕТРИЗАЦИИ В ИНЖЕНЕРНОМ АНАЛИЗЕ.............................................................................................107

3.1.Задача о колебаниях консольной балки....................................................................107

3.2. Динамическое нагружение модуля ФГБ международной

космической станции при стыковке................................................................................116

3.3. Динамическое нагружение КА и РН "ПРОТОН"

- расчетный случай "Отсечка ДУ третьей ступени"......................................................127

3.4. Динамическое нагружение КА и РН легкого класса при старте...........................140

3.5.Обсуждение результатов применения наилучшей параметризации

при анализе переходных процессов................................................................................149

ЗАКЛЮЧЕНИЕ...................................................................................................................150

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ..................................................................................................152

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ

Все используемые в диссертации сокращения расшифровываются при первом использовании. Однако, для удобства чтения тут приводится список сокращений, которые применяются в разных разделах, с некоторыми пояснениями.

ДП - метод Дормана-Принса численного интегрирования задачи Коши (семейство

методов Рунге-Кутта); КА - космический аппарат; ЛА - летательный аппарат;

МКС - международная космическая станция "АЛЬФА"; МКЭ - метод конечных элементов; МН - метод Ньютона;

МРК - метод класса Рунге-Кутта численного интегрирования задачи Коши; НМЭ - неявный метод Эйлера;

ПИ - метод простых итераций решения системы нелинейных алгебраических уравнений;

ПИЭ - метод простых итераций с ускорением по Эйткину решения системы

нелинейных алгебраических уравнений; ПС - переходная система (- между КА и РН); РБ - разгонный блок;

РКФ - метод Рунге-Кутты-Фельберга численного интегрирования задачи Коши; РН - ракета-носитель; СБ - солнечная батарея;

ФГБ - функционально-грузовой блок - модуль МКС "АЛЬФА"; ФДН-метод - метод класса неявных методов численного интегрирования задачи Коши, основанных на формулах численного дифференцирования назад; ЯМЭ - явный метод Эйлера численного интегрирования задачи Коши;

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

Все используемые обозначения поясняются по ходу изложения. Однако, для удобства чтения тут приводится список наиболее употребимых обозначений, которые применяются в разных разделах диссертации.

h - длина шага интегрирования по независимой переменной (t либо Л);

kr - относительные вычислительные затраты ( - мера эффективности параметризации) - отношение п^ при решении данной задачи после параметризации к пГШ1 исходным методом при одинаковой допустимой погрешности; для явных методов совпадает с отношением nstep;

nrim - количество обращений к подпрограмме вычисления правых частей дифференциальных уравнений при интегрировании;

nstep - количество шагов интегрирования;

q - обобщенные координаты при редуцировании или интегрировании уравнений колебаний путем разложения в ряд по собственным формам;

t - независимая переменная задачи Коши; dX

toi - для методов с управлением длиной шага интегрирования по оценке локальной погрешности - допустимая локальная погрешность;

Нижний индекс после запятой - частная производная по переменной, указанной после индекса.

dt

а = — d^

Ô - для методов с управлением длиной шага интегрирования по оценке локальной погрешности - допустимая локальная погрешность;

s - для методов с постоянным шагом - мера локальной погрешности (средняя по шагам локальная погрешность, локальная погрешность в окрестности точки и т.п.);

X - независимая переменная при интегрировании после наилучшей параметризации;

наилучшей наилучшей локальной

ВВЕДЕНИЕ.

Прогресс ракетно-космической техники требует постоянного улучшения качества численного моделирования исследуемых объектов, что достигается как путем уточнения методик расчета и верификации модели, так и за счет усложнения расчетной модели. Следствием этого является увеличение времени выполнения расчетов, а в некоторых случаях - даже получение некачественных результатов из-за использования традиционных подходов и численных методов, которые не годятся для новых усложненных расчетных схем и методик.

Одним из основных этапов расчета конструкции является численное моделирование динамических переходных процессов (динамический анализ). Этот вид исследований выполняется, например, для определения нагружения элементов летательного аппарата (ЛА). В этом смысле трудно переоценить влияние качества таких расчетов на правильность принимаемых проектных решений и, в итоге - на успех или неудачу реализации программы в целом.

В диссертации анализируется универсальный способ повышения эффективности численных методов интегрирования задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений и его применение в рамках динамического анализа. При этом исследования проведены по нескольким направлениям. Во-первых, для простейших случаев получены аналитические результаты относительно эффективности указанного преобразования. Во-вторых, выполнено исследование применения преобразования для решения тестовых задач. В-третьих, эффективность указанного преобразования проверена на нескольких практических примерах - выполнен анализ совместного нагружения ракеты-носителя (РН) и космического аппарата (КА) для двух расчетных случаев активного участка выведения, проанализировано нагружение модуля космической станции в процессе стыковки.

Настоящая работа имеет своей конечной задачей снижение вычислительных затрат (счетного времени) при динамическом анализе и повышение качества результатов за счет использования более надежных и эффективных вычислительных алгоритмов.

ГЛАВА 1. МЕТОДЫ ДИНАМИЧЕСКОГО АНАЛИЗА В ПРОЦЕССЕ СОЗДАНИЯ

ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА

В первой главе динамический анализ рассмотрен как важнейшая часть работ по созданию нового изделия. Указаны некоторые конкретные цели, решаемые путем анализа динамического нагружения конструкции.

Вводится классификация динамических задач исходя из допущений, которые можно использовать при решении той или иной задачи.

Рассмотрено обобщение МКЭ - метода перемещений на геометрически и физически нелинейные задачи динамики. Отдельно отмечены некоторые частные случаи предлагаемой процедуры. Обсуждены особенности записи уравнений колебаний для динамического анализа РН и КА.

Дан сравнительный анализ различных методик редуцирования динамических моделей как эффективного средства упрощения численной процедуры решения задач динамики. Обозначена связь между используемой процедурой редуцирования и вычислительными свойствами задачи Коши для уравнений колебаний.

Обсуждены специфические особенности задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, к которой сводится анализ динамических процессов. Рассмотрены группы методов численного интегрирования, традиционно применяемые в рамках динамического анализа, кратко дана их сравнительная характеристика.

1.1. Цели динамического анализа как составной части разработки ЛА.

Нагружение ракет-носителей (РН) и космических аппаратов (КА) в процессе эксплуатации во многих случаях является динамическим, т.е. характерное время изменения внешних усилий сравнимо с частотами собственных колебаний конструкции. Это приводит к необходимости учета инерционных нагрузок при решении многих инженерных проблем.

Основной целью динамического анализа является определение непосредственно внутренних усилий в отдельных элементах конструкции РН или КА с учетом сил инерции. Это необходимо для достоверного задания уровня эквивалентного квазистатического нагружения и, далее, проведения дальнейшего статического анализа прочности и устойчивости конструкции.(методами, описанными в [1,2,49, мн. др.], по поводу интеграции динамических и статических расчетов см. [37]). Хотя на данном этапе развития программного и инструментального обеспечения в принципе возможен

непосредственный анализ прочности в рамках динамического расчета (к примеру, определение запаса прочности в конкретных элементах исследуемого отсека), на практике так не поступают в силу ряда причин. Главным образом это связано с существенно большей трудоемкостью выполнения динамических расчетов по сравнению со статическим анализом. Следствием указанной проблемы является меньшая степень детализации расчетной схемы, которая сводится к совокупности пружинно-массовых и редуцированных моделей отсеков (примеры см. в частности в [19,41]). Другие факторы -необходимость поиска оптимального набора конструкторских параметров, которая, как правило, требует выполнения серии расчетов, а также сложность интерпретации результатов динамического анализа по сравнению со статическим расчетом.

Еще одна цель динамического анализа связана с разработкой системы управления (СУ) и заключается в создании динамической модели механической части СУ. Особенно актуальна эта задача для орбитальных систем, поскольку в этом случае, как правило, имеет место близость собственных частот конструкции и характерных частот работы СУ. Эти вопросы также обсуждаются в частности в [6,7,39,53,57,58,61,75].

1.2. Классификация задач динамики упругих конструкций.

По аналогии со статическими задачами, введем классификацию задач динамического анализа. Будем различать:

- линейные динамические задачи, для которых справедливы допущения о линейно-упругом деформировании и малых линейных и угловых перемещениях конструкции как твердого тела;

- нелинейные динамические задачи, т.е. задачи, связанные с анализом геометрической, физической или конструктивной нелинейности при деформировании конструкции;

- анализ механизмов, т.е. объектов, для составных частей которых характерны большие твердотельные перемещения при допущении о малости и линейности упругих деформаций;

- комплексные задачи.

Таблица 1.1 иллюстрирует предлагаемую классификацию задач по типам. В традиционных подходах обычно рассматриваются задачи первого типа, а при анализе механизмов расчетная схема составляется из абсолютно жестких тел. Эти методики являются наиболее простыми с позиции вычислительных затрат и в ряде случаев позволяют получить результаты буквально на клочке бумаги за несколько минут.

Таблица 1.1.

Классификация динамических задач.

Упругие перемещения Перемещения конструкции как твердого тела

малые большие

малые линейные задачи анализ механизмов

большие нелинейные задачи комплексные задачи

Однако для ряда задач подобные подходы дают результаты, содержащие большие методические погрешности. Сюда можно отнести моделирование сброса головного обтекателя РН, раскрытие панелей солнечных батарей КА, моделирование выхода РН из пускового контейнера, исследование поведения тросовых орбитальных систем ([23]).

В диссертации далее рассмотрены задачи в рамках МКЭ, а проблемы анализа механизмов не рассматривались.(простейшие подходы представлены в [18,72], в [48] обсуждены некоторые инженерные решения, наиболее комплексный подход рассмотрен в [89], а соответствующая программная реализация - в [30,34]). Вместе с этим, исходя из подобия вычислительных свойств задач, можно предположить, что рассматриваемые численные процедуры решения задачи Коши будут столь же эффективны и при анализе механизмов.

В [3,4,11,24,31] рассмотрены некоторые особенности современных программ для инженерного анализа задач механики и дан сравнительный анализ.

1.3. Уравнения колебаний в случае геометрической и физической нелинейности.

1.3.1. Общий случай.

Рассмотрим общие уравнения МКЭ-метода перемещений для нелинейных динамических задач.

Рассмотрим движение трехмерного упругого тела. По принципу возможных перемещений и с учетом принципа Даламбера имеет место равенство работ внутренних и внешних сил, включая силы инерции, на возможных перемещениях

|{а}т{58}ёУ= |{Ру}Т{5и}ёУ + |{Р5}Т{8и}ё8- |р {й}Т{5и}ёУ . (1.1)

v v б v

Здесь {в} и {а} - векторы, составленные из соответствующих друг другу компонент

тензоров деформаций и напряжений;

{Бу} и {Бб} - векторы объемных и поверхностных нагрузок, к