Исследование динамики стержневых систем с разрывными кинематическими связями и упруго присоединенными цепочками твердых тел методом сплайн-преобразования пространственных координат тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

РАЗДЕЛ 1. Состояние вопроса и задачи исследований.

1.1. Динамика стержней с присоединенными массами.

1.2. Постановка задачи.

РАЗДЕЛ 2. Исследование собственных и вынужденных колебаний составного стержня на упругом основании с упруго присоединенными массами.

2.1. Собственные колебания составного стержня на упругом основании.

2.2. Собственные колебания составного стержня на упругом основании с упруго прикрепленными к нему отдельными дискретными массами.

2.3. Собственные колебания составного стержня на упругом основании с упруго прикрепленными к нему цепочками дискретных масс.

2.4. Вынужденные колебания составного стержня на упругом основании и упруго прикрепленных к нему цепочек дискретных масс.

2.5. Собственные колебания составного стержня на упругом основании с упруго прикрепленными к нему отдельными твердыми телами.

2.6. Собственные колебания составного стержня на упругом основании с упруго прикрепленными к нему цепочками твердых тел.

2.7. Вынужденные колебания составного стержня на упругом основании и упруго прикрепленных к нему цепочек твердых тел.

РАЗДЕЛ 3. Статические и динамические напряжения в составных конструкциях.

3.1. Расчет напряженно-деформированного состояния стационарно нагруженного составного стержня.

3.2. Расчет напряженно-деформированного состояния стационарно нагруженного составного стержня с упруго прикрепленными массами.

3.3. Динамические напряжения в составных конструкциях.

РАЗДЕЛ 4. Анализ точности разработанных математических моделей.

4.1. Тестирование метода расчетного моделирования динамических характеристик составных конструкций.

4.2. Тестирование метода расчетного моделирования статических и динамических напряжений в составных конструкциях.

4.3. Сравнительный анализ теоретических результатов с данными экспериментальных исследований.

РАЗДЕЛ 5. Апробация и применение разработанных алгоритмов к исследованию зависимости динамических характеристик стержневых систем от изменения их конструктивных параметров.

5.1. Исследование зависимости динамических характеристик составного стержня на упругом основании с упруго прикрепленными сосредоточенными массами.

5.2. Пример расчета динамических характеристик составного стержня с упруго прикрепленными твердыми телами.

5.3. Пример расчета динамических характеристик карданного вала автомобиля УАЗ-2206 и его модификаций.

5.4. Разработка рекомендаций, направленных на повышение эксплуатационных качеств составной конструкции, схематизированной многоопорным составным стержнем.

Составные неоднородные стержни являются механическими моделями широкого класса реальных конструкций, условия работы которых исключительно многообразны. Во многих машинах и промышленных аппаратах осуществляют крепление на стержневых элементах узлов машин, приборов и аппаратуры. При строительстве мостовых переходов с целью повышения их эксплуатационной надежности применяют конструктивные приемы поддемпфирования введением трибодемпферов, поперечно подпружиненных затяжек, торцевых демпферов и т.д. [48], осуществляющих связи между главными балками смежных пролетных строений. Конструкции в виде стержней, расположенных на упругом основании, находят широкое применение в промышленности. Прогрессивное решение современных технических проблем таких как интенсификация производственных процессов, повышение эффективности работы транспорта, увеличение выпуска промышленной продукции обуславливает неуклонный рост мощностей машин и механизмов. Это приводит к увеличению эксплуатационных нагрузок на строительные сооружения, звенья машин и механизмов, нарушение работоспособности которых может быть сопряжено с тяжелыми экономическими и экологическими последствиями. Поэтому совершенствование и развитие методов расчетного анализа деформирования и напряженного состояния составных конструкций в виде составных неоднородных стержней на упругом основании с упруго прикрепленными массами в условиях нестационарного нагружения продолжают оставаться необходимыми.

Известно, что упруго прикрепленные к стержню массы оказывают существенное влияние на динамические свойства конструкции. К примеру, при определенных условиях присутствие упруго прикрепленной к стержню массы вызывает полное гашение колебаний стержня в точке установки подпружиненной массы [71]. В то же время изменение динамических характеристик составной конструкции при неблагоприятных внешних воздействиях может вызвать явление резонанса. Квалифицированное применение указанных выше устройств для трансформирования разрезных пролетных строений мостов в частично неразрезные позволяет гасить колебания пролетных строений при отпуске подвижной нагрузки и при сейсмическом воздействии [48]. Временные мосты по своей конструкции, как известно, существенно отличаются от капитальных. Для них характерны прежде всего повышенная гибкость пролетных строений, а соответственно и повышенная деформируемость подрельсового основания. В силу этого при движении транспорта рельсовая колея подвергается значительным прогибам [44], что вызывает, во-первых, неблагоприятные условия для движения поездов по цепи пролетных строений, а во-вторых, быстрый износ и даже разрушение рельсовой колеи. Это далеко не полный перечень актуальных практических задач, требующих глубокого анализа всех факторов, оказывающих влияние на динамические и статические свойства одномерных стержневых конструкций.

Все это является той материальной предпосылкой, которая стимулирует интерес к изучению динамики неоднородных составных стержней с упруго прикрепленными массами на упругом неоднородном основании.

К настоящему времени имеется большое количество работ, посвященных исследованию динамического поведения неоднородных стержней, нагруженных твердыми массами. Можно, например, указать на работы [2], [24], [32], [36], [38], [39], [55], [64]-[66], [70], [85]-[88], в которых обобщены и изложены решения подобного рода задач в самой различной постановке. Тем не менее, в области динамики стержневых систем остаются недостаточно исследованными вопросы, связанные с аналитическим разрешением задач динамики многопролетных стержневых систем, имеющих разрывные кинематические связи, переменные параметры распределенной жесткости и массы, расположенных на упругом неоднородном основании и несущих упруго присоединенные массы. Приближенные численные методы расчета при условиях выраженной неоднородности и нерегулярности приводят к большим порядкам разрешающих систем уравнений и затруднениям в оценке достоверности получаемых численных результатов. Эти обстоятельства обуславливают потребность дальнейшего развития аналитических методов решения таких задач. В настоящее время высокую эффективность при проведении расчетного анализа динамических характеристик (частот и форм собственных колебаний) и напряженного состояния составных стержней демонстрируют аналитические методы, основанные на сплайн-преобразованиях, предложенных в работах отечественных исследователей [55]. С их помощью получены вычислительно эффективные методы расчетного анализа указанных характеристик при крутильных и продольных колебаниях составных стержней [21]-[24], [84]. В то же время вопросы моделирования поперечных колебаний составных стержней изучены не в полной мере. В частности, недостаточно разработаны методы расчетного анализа динамических характеристик и напряженного состояния составных стержней переменного сечения, расположенных на упругом неоднородном основании, имеющих разрывной характер кинематических связей на стыках стержней и несущих упруго прикрепленные твердые тела.

Подобные расчетные схемы могут быть использованы при исследовании колебаний и статической нагруженности самых различных конструкций: мачт, телескопических антенн, колонных аппаратов химических производств, башен, опор электропередач, мостовых сооружений, валов машин и многих других. Может исследоваться движение и нагруженность конструкций как в эксплуатационных условиях, так и в процессе демонтажных работ. Так, например, при определении расчетных усилий для аппаратов колонного типа от ветровых нагрузок и сейсмических воздействий [20] корпус аппарата принимают в виде консольного упруго защемленного стержня. В этом случае размещенные в нем тарели различной конструкции целесообразно принять в виде одной или нескольких масс, упруго прикрепленных к стержню. При этом в зависимости от геометрических размеров моделируемых объектов можно полагать, что к стержню упруго прикреплены сосредоточенные массы или же абсолютно твердые тела. Присутствие в общей расчетной схеме упругого основания с переменным коэффициентом постели позволяет, в частности, оценить прогибы рельсовой колеи с учетом мест перехода с насыпи подхода на пролетное строение, а также зон сопряжения пролетных строений, имеющих разную конструкцию мостового полотна и разные упругие свойства подрельсового основания [44]. При расчете частично неразрезных пролетных строений [48] демпфирующие элементы типа трибодемпферов, прорезных гасителей и т.п. могут моделироваться в виде упругих шарниров второго рода.

Из вышеизложенного следует, что разработка и совершенствование методов расчетного анализа динамических характеристик и напряженно-деформированного состояния (НДС) в условиях нестационарного нагружения составных конструкций в виде линейных стержневых систем на упругом основании с упруго присоединенными твердыми телами является актуальной задачей, решение которой обеспечивает возможность уточненного исследования и обоснования достоверности соответствующих результатов моделирования, направленного на обеспечении работоспособности ряда ответственных конструкций, применяемых в народном хозяйстве.

Целью работы является совершенствование и развитие методов расчетного анализа динамических характеристик и напряженно-деформированного состояния нестационарно нагруженных составных конструкций в виде составных неоднородных стержней на упругом основании с упруго присоединенными цепочками твердых тел и разрывным характером кинематических связей стержней, исследование зависимости указанных характеристик соответствующих стержневых систем от их конструктивных параметров, разработка конструктивных рекомендаций, направленных на повышение эксплуатационных качеств подобных стержневых систем.

Основная идея работы состоит в использовании для расчетного анализа динамических характеристик и НДС составных неоднородных стержней, расположенных на упругом основании, имеющих разрывной характер кинематических связей, и упруго прикрепленные к ним цепочки твердых тел, сплайн-преобразований пространственных координат, параметры которых выбираются зависящими от собственных частот исследуемых деформируемых конструкций.

Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие основные задачи:

1. Разработать уточненную математическую модель и метод расчетного анализа динамических характеристик и напряженного состояния составной конструкции в виде ступенчатого составного стержня на упругом основании с учетом разрывного характера кинематических связей стержней и неоднородности упругого основания, обусловленной переменной жесткостью в вертикальном направлении и промежуточными упругими опорами.

2. Разработать уточненную математическую модель и метод расчетного анализа динамических характеристик и напряженного состояния составной конструкции в виде ступенчатого составного стержня на упругом неоднородном основании при наличии упруго прикрепленных цепочек твердых тел.

3. Разработать алгоритм расчетного анализа НДС указанных составных конструкций в условиях их нестационарного нагружения.

4. Разработать метод расчетного анализа НДС составной конструкции в виде ступенчатого составного стержня с упруго прикрепленными цепочками твердых тел в условиях стационарного нагружения.

5. Осуществить программную реализацию и апробацию разработанных алгоритмов, оценку их вычислительной эффективности на ряде модельных задач.

6. Осуществить с помощью предложенного подхода исследование зависимости динамических характеристик ряда конкретных стержневых систем от их конструктивных параметров, а также разработку конструктивных рекомендаций, направленных на совершенствование эксплуатационных свойств исследованных систем.

Защищаемые новые научные положения.

1. Разработаны уточненные математические модели поперечного изгиба составного стержня на упругом неоднородном основании, отличающиеся тем, что предложенные модели учитывают возможность возникновения разрывов кинематических характеристик в зоне стыка стержней и наличие упруго присоединенных цепочек твердых тел.

2. Разработан, апробирован и применен к исследованию конкретных конструкций метод расчетного анализа динамических характеристик и напряженнодеформированного состояния нестационарно нагруженных составных конструкций в виде линейных стержневых систем на упругом основании, стержни которых сопряжены с разрывом кинематических характеристик и к ним упруго присоединены цепочки твердых тел, основанный на сплайн-преобразовании пространственных координат, отличающийся параметрами используемого сплайн-преобразования, которые представлены в виде функций собственных частот рассматриваемой конструкции и алгоритмом исключения промежуточных расчетных параметров.

Практическая значимость результатов исследований.

1. На основе разработанных математических моделей и методов решения соответствующих граничных задач составлены программные средства, позволяющие осуществлять расчетное моделирование динамических характеристик и напряженного состояния в исследуемом классе конструкций.

2. Полученные результаты исследования зависимости динамических характеристик составных конструкций в виде неоднородных составных стержней на упругом основании с упруго присоединенными цепочками масс от изменения их конструктивных параметров позволяют ускорить и упростить выбор рационального варианта динамической системы.

3. Полученные алгоритмы расчетного анализа динамических характеристик и напряженного состояния рассматриваемых составных конструкций могут применяться при тестировании программных модулей, реализующих метод конечных элементов, разработке рекомендаций по выбору конечно-элементных моделей рассматриваемого класса конструкций, а также при верификации результатов расчетного моделирования, полученных с помощью других приближенных методов.

4. Разработанные математические модели и методы их расчетного анализа позволяют исследовать линейные стержневые системы на упругом основании с разрывным характером сопряжения стержней, неоднородностью характеристик упругого основания, а также с учетом упруго прикрепленных к ним цепочек твердых тел.

5. Сравнение результатов вычислительных экспериментов с известными в литературе точными и приближенными решениями тестовых задач, а также с данными опубликованных результатов натурных исследований позволили подтвердить обоснованность применения разработанных математических моделей и методов их расчетного анализа в исследованном диапазоне изменения конструктивных параметров динамических систем.

Реализация полученных научных результатов.

1. Разработанная в диссертации методика и программное обеспечение для расчетного анализа динамических характеристик и напряженного состояния составных конструкций в виде неоднородного составного стержня на упругом основании с упруго прикрепленными массами используются при проведении расчетов динамических качеств отдельных узлов машин на Улан-Удэнском авиационном заводе.

2. Научные результаты, полученные в диссертации, использованы в учебном процессе Бурятского государственного университета в специальных курсах по учебным дисциплинам «техника физического эксперимента» и «теория автомобильных и тракторных двигателей» на физико-техническом факультете.

Методы исследования. Анализ и обобщение результатов ранее проведенных исследований динамики неоднородных стержней, несущих упруго прикрепленные массы. Для вывода математических моделей поперечных колебаний указанных составных конструкций применен вариационный метод Га-мильтона-Остроградского. Решение полученных модельных задач осуществлялось с помощью методов математической физики, аппарата обобщенных функций, математического анализа и линейной алгебры. Для расчета по разработанной в диссертации методике динамических характеристик и напряженного состояния модельных конструкций используются специально разработанные программные средства для вычислительной техники. При проверке разработанных аналитических методов решения граничных задач использовано программное средство COMPASS [9], реализующее метод конечных элементов.

Личный вклад соискателя заключается в следующем:

1. Сбор и анализ данных о ранее проведенных исследованиях.

2. Постановка задач исследований и методика их решения, формулировка цели и идеи работы.

3. Разработка и программная реализация аналитического метода расчетного анализа динамических характеристик и НДС нестационарно нагруженных составных конструкций в виде неоднородных стержней с упруго прикрепленными цепочками твердых тел, расположенных на упругом основании.

4. Обобщение и анализ полученных результатов.

5. Внедрение результатов.

Достоверность и обоснованность основных научных положений определяются применением известного вариационного принципа Гамильтона-Остроградского, корректным применением хорошо разработанных методов математической физики, теории обобщенных функций и аппарата математического анализа, а также подтверждается сходимостью результатов расчетов тестовых задач, проведенных при помощи конечно-элементной программы COMPASS к результатам, полученным по предлагаемой методике, а также сравнением с численными и экспериментальными результатами других исследователей.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Межрегиональной научно-практической конференции «Повышение эффективности работы железнодорожного транспорта Сибири и Дальнего Востока» (г. Хабаровск, Владивосток, 2001 г.) и научно-практических конференциях преподавателей, научных работников и аспирантов БГУ (г. Улан-Удэ, 1998-2001 гг.).

Публикации. Основные научные результаты, включенные в диссертацию, опубликованы в работах [4]-[7], [12], [13], [72], [73].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти разделов, заключения и библиографического списка из 120 наименований. Общий объем работы - 200 страниц, включая 60 рисунков и 21 таблицу. Диссертация имеет приложение, содержащее акты внедрения результатов исследования.

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

1. Разработана уточненная математическая модель поперечных колебаний ступенчатого составного стержня на упругом неоднородном основании, учитывающая разрывной характер кинематических связей стержней и наличие упруго прикрепленных к ним цепочек твердых тел.

2. Разработан метод расчетного анализа динамических характеристик и НДС нестационарно нагруженных составных стержней на упругом неоднородном основании с упруго присоединенными цепочками твердых тел, основанный на сплайн-преобразовании пространственных координат, параметры которого выбираются зависящими от собственных частот деформируемой системы.

3. Разработан метод расчетного анализа НДС составных конструкций в виде ступенчатых составных стержней на отдельных промежуточных опорах с упруго прикрепленными цепочками твердых тел в условиях стационарного нагружения.

4. Осуществлена программная реализация разработанного метода расчетного анализа динамических характеристик и напряженного состояния рассматриваемых составных конструкций и его апробация при исследовании динамических характеристик модельных стержневых систем с разрывными кинематическими связями и цепочками дискретных масс.

5. Установлены расчетно-графические зависимости динамических характеристик конкретных конструкций, схематизированных составным неоднородным стержнем, расположенным на упругих опорах, от конструктивных параметров исследуемой системы представленные в виде таблиц и графиков. Это позволило разработать рекомендации на повышение эксплуатационных качеств подобных стержневых систем.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж., Теория сплайнов и ее приложения. - М.: Мир, 1972.

2. Ананьев И.В. Справочник по расчету собственных колебаний упругих систем. М.: Гостехиздат, 1946.

3. Араманович И.Г., Левин. В.И. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1969.

4. Архипов C.B. Математическая модель поперечных колебаний неоднородного стержня с упруго прикрепленными к нему цепочками твердых тел // Вестник БГУ. Серия 9. Физика и техника. Вып. 1. 2001. - С. 14-19.

5. Архипов C.B. К вопросу о применении обобщенных функций в задачах статики стержней // Вестник БГУ, Серия 9, Физика. Вып. 1. 2001. - С.23-31.

6. Архипов C.B. Применение сплайн-преобразования аргумента к расчету неоднородных стержней, несущих упруго прикрепленные массы при изгибе // Математика и методы её преподавания: Сб. статей. Улан-Удэ: Изд-во БГУ, 2002. Вып. 3. (в печати).

7. Бабаков И.М. Теория колебаний. М.: Наука, 1965.

8. Безделев В.В., Буклемишев A.B. Программная система COMPASS. Руководство пользователя. Иркутск: Изд-во Иркутск, гос. техн. ун-та, 2000.

9. Бидерман B.J1. Теория механических колебаний. -М.: Высш. школа, 1980.

10. Бисплингхофф Р.Л., Эшли X., Халфмен Р.Л. Аэроупругость. М., 1958.

11. Болоев П.А., Архипов C.B. Собственные колебания неоднородного стержня с упруго прикрепленными цепочками дискретных масс // Вестник БГУ. Серия 9. Физика и техника. Вып. 1. 2001. - С.4-9.

12. Болоев П.А., Архипов C.B. Вынужденные колебания неоднородного стержня, расположенного на упругом основании, и упруго прикрепленных к немуцепочек точечных масс // Вестник БГУ. Серия 9. Физика и техника. Вып. 1. -2001. С.10-14.

13. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. М.: Гостехиз-дат, 1956.

14. Булгаков Б.В. Колебания. М.: Гостехиздат, 1954.

15. Вибрации в технике: Справочник. Т.1. -М.: Машиностроение, 1978.

16. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1976.

17. Галоватый Ю.Д. О влиянии присоединенной массы на собственные частоты и собственные колебания стержня // МГУ. -М., 1988.-41.- Деп. в ВИНИТИ 16.11.88.-№ 8151-В88.

18. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. -М.: Физматгиз, 1959.

19. ГОСТ Р 51273-99. Сосуды и аппараты. Нормы и методы расчета на прочность. Определение расчетных усилий для аппаратов колонного типа от ветровых нагрузок и сейсмических воздействий. М.: ГОССТАНДАРТ РОССИИ, 1999.

20. Григорьев Е.Т., Науменко Н.Е., Тульчинская Н.Б. Нагруженность и продольное движение стержня с упруго присоединенными массами // Колебания и прочность механических систем. К.: Наук, думка, 1986.

21. Григорьев Е.Т. Продольные колебания неоднородного стержня с упруго присоединенными одномерными системами масс // Строит, механика и расчет сооружений, 1986.

22. Григорьев Е.Т., Тульчинская Н.Б. Продольные колебания стержня с упруго прикрепленными к нему одномерными цепочками масс // Нагруженность и надежность механических систем. К.: Наук, думка, 1987.

23. Григорьев Е.Т., Тульчинская Н.Б. Продольные совместные колебания стержня и систем масс. К.: Наук, думка, 1991.

24. Гробов В.А. Асимптотические методы расчета изгибных колебаний валов турбомашин. -М.: изд-во АН СССР, 1961.

25. Ден-Гартог Дж. П. Механические колебания: Пер. с. англ. М.: Физматгиз, 1960.

26. Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования. М.: Наука, 1971.

27. Динник А.Н. Избранные труды, т. 1. К.: изд-во АН УССР, 1962.

28. Дусматов О.М. Исследование поперечных колебаний стержня с динамическим гасителем // Киев, политехи, ин-т, 1987. 11 с. - Деп. в Укр. НИИНРИ 11.5.87,-№ 1431-Ук87.

29. Ермолаев Б.В. Использование обобщенных функций в задаче об упругих колебаниях составного стержня // ПММ. М., 1992. - 56. - № 3. - С.465-472.31.3еманян А. Интегральные преобразования обобщенных функций. М.: Наука, 1981.

30. Ивович В.А. Переходные матрицы в динамике упругих систем. М.: Машиностроение, 1969.

31. Кеч. В., Теодореску П. Введение в теорию обобщенных функций с приложениями в технике. М.: Мир, 1978.

32. Козьмин Ю.Г., Васильев Д.И. Напряжения в рельсах в местах перелома профиля пути над промежуточными опорами мостов // Особенности работы железнодорожных мостов в условиях скоростного движения: Труды ЛИ-ИЖТа, вып. 290. Л.: ЛИИЖТ, 1969. - 136 с.

33. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. -М.: Наука, 1972.

34. Колоушек В. Динамика строительных конструкций. -М.: Стройиздат, 1965.

35. Коренев Б.Г., Букейханов С.Р. Использование матричной формы метода начальных параметров для динамического расчета стержней переменного сечения // Труды ЦНИИ строительных конструкций, 17. М., 1971.

36. Коренев Б.Г., Пановко Я.Г. Динамический расчет сооружений // Строительная механика в СССР. 1917-1967. М.: Стройиздат, 1969.

37. Коренев Б.Г., Сысоев В.И. Динамика сооружений. Справочник проектировщика промышленных, жилых и общественных зданий и сооружений. Расчетно-теоретический. -М.: Госстройиздат, 1960.

38. Корнейчук Н.П. О наилучшем приближении непрерывных функций. Изв. АН СССР, серия матем., 1963, 27, 1.

39. Корнейчук Н.П., Лушпай Н.Е. Наилучшие квадратурные формулы для классов дифференцируемых функций и кусочно-полиномиальное приближение. -Изв. АН СССР, серия матем., 1969, 33, 6.

40. Конашенко С.И. К вопросу о модели упругого основания с двумя характеристиками // Некоторые задачи механики скоростного рельсового транспорта. К.: Наук, думка, 1973.

41. Костарчук Ю.В. Динамические характеристики составного стержня // Чер-ниг. фил. Киев, политехи, ин-та, 1987. 29 с. - Деп. в Укр. НИИНТИ 09.01.87, -№ 311-Ук87.

42. Красковский В.Е., Шварц М.А. Деформации рельсов в местах перелома профиля пути на временных железнодорожных мостах // Вопросы динамики мостов и теории колебаний. Днепропетровск, 1984. - С.74-79.

43. Крылов А.Н. О расчете балок, лежащих на упругом основании. М.: Изд-во АН СССР, 1931.

44. Крылов А.Н. Вибрации судов. М. - Л.: ОНТИ, 1936. - 442 с.

45. Крылов А.Н. О некоторых дифференциальных уравнениях математической физики, имеющих приложение в технических вопросах. М. - Л.: Гостехиз-дат, 1950.

46. Кулиш В.И. Повышение эксплуатационной надежности сталежелезобетон-ных мостов. М.: Транспорт, 1992.

47. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Гостехиздат, 1951.

48. Кухта К .Я., Кравченко В.П. Непрерывно-дискретные задачи теории колебаний. К.: Наук, думка, 1976.

49. Кухта К.Я., Кравченко В.П. Динамика непрерывно-дискретных систем. К.: Наук, думка, 1978.

50. Лазарян В.А., Крютченко В.Е. Определение частот и форм собственных поперечных колебаний стержня с сосредоточенными включениями // ПМ,1971,7, 6.

51. Лазарян В.А., Крютченко В.Е. О применении метода начальных параметров к расчету собственных поперечных колебаний вагона с грузом // Труды ДИ-ИТ, 128. Днепропетровск, 1972.

52. Лазарян В.А., Конашенко С.И. Преобразование аргумента в задачах о поперечных колебаниях стержней // ПМ, 1972, 8, 7.

53. Лазарян В.А., Конашенко С.И. Обобщенные функции в задачах механики. -К.: Наук, думка, 1974.

54. Лейбензон Л.С. Вариационные методы решения задач теории упругости. Собр. тр. АН СССР, 1951.

55. Мамзенко Ю.А. Об учёте гистерезисного рассеяния энергии при динамическом гашении колебаний распределенных систем // Киев, политехи, ин-т. -К. 1988. - 23 с. Деп. в Укр НИИНТИ 27.10.88. - № 2751-Ук88.

56. Мамзенко Ю.А. Случайные колебания стержня с динамическим гасителем при их несовершенной упругости // Ин-т мех. АН УССР, Киев. 1988. -С.105-109. Деп. в ВИНИТИ 27.12.88. -№ 9071-В88.

57. Мащенко Ю.А. Об учете гистерезисного рассеяния энергии при динамическом гашении колебаний распределенных систем. // Киев, политехи, ин-т, -К.: 1988.-23 с. Деп. в Укр. НИИНТИ 27.10.88. -№ 2751-Ук88.

58. Мижидон А.Д., Архипов C.B., Федоров М.Е. Математические модели механических систем, описываемые гибридными системами дифференциальных уравнений // Сб. научн. тр. ВСГТУ, 1999. -№3. С.52-61.

59. Мижидон А.Д., Архипов C.B., Федоров М.Е. Исследование простейших гибридных систем уравнений // Сб. научн. тр. ВСГТУ, 1999. №3. - С.61-71.

60. Никитин H.H. Курс теоретической механики. М.: Высш. школа, 1990.

61. Панарин Н.Я., Тарасенко И.И. Сопротивление материалов. Л.: Госстрой-издат, 1962.

62. Пановко Я.Г. Внутреннее трение при колебаниях упругих систем. М.: Физматгиз, 1960.

63. Пановко Я.Г. Основы прикладной теории упругих колебаний. М.: Машиностроение, 1968.

64. Пановко Я.Г. Свободные и вынужденные колебания стержней и стержневых систем, т. 3, гл. 5. Справочник «Прочность, устойчивость, колебания», М.: Машиностроение, 1968.

65. Петровский A.B., Маироусов Ю.Н., Стрельникова H.JI. Исследование движения тел, присоединенных к элементам упругих конструкций, на основе моделей с запаздывающими связями // Сб. научн. тр. Моск. энерг. ин-т., 1988.-№ 190. С.58-64.

66. Писаренко Г.С. Рассеяние энергии при механических колебаниях. К.: Изд-во АН УССР, 1962.

67. Писаренко Г.С., Богинич O.E. Колебания кинематически возбуждаемых механических систем с учетом диссипации энергии. К.: Наук, думка, 1981.

68. Рабинович И.М. Курс строительной механики, т. 1,2. М.: Изд-во по строительству и архитектуре, 1954.

69. Рыжов Л.М., Дусматов О.М. О колебаниях стержня с динамическим гасителем // Вестн. Киев, политехи, ин-та. Приборостр. 1987. - № 17. - С. 16-19.

70. Сайдаков В.М., Архипов C.B. Поперечные колебания неоднородного стержня на упругом основании // Объединенный научный журнал. М.: Те-зарус, 2001.-№ 10.-С.51-55.

71. Сандаков В.М. Архипов C.B. Вынужденные колебания неоднородного стержня, лежащего на упругом основании, и упруго прикрепленных к нему цепочек абсолютно твердых тел // Вестник БГУ, Серия 9, Физика. Вып. 1. -2001. С.19-22.

72. Сафаров И.И. Колебания и волны в диссипативно неоднородных средах и конструкциях. Ташкент: Фан, 1992.

73. Сеймов В.М., Ермоленко Н.П., Шевченко Е.Д. Колебания многомассовых систем на упругом полупространстве при импульсных воздействиях // Динам. оснований, фундам. и подзем, сооруж.: Тез. 7 Всес. конф., Днепропетровск, 25-27 сент. М., 1989. - С.27-28.

74. Смирнов А.Ф. Устойчивость и колебания сооружений. М.: Трансжелдориздат, 1958.

75. Снитко Н.К. Динамика сооружений. Госстройиздат, 1960.

76. Сорокин Е.С. К теории внутреннего трения при колебаниях упругих систем. -М.: Госстройиздат, 1960.

77. Стрелков С.П. Введение в теорию колебаний. М.: Наука, 1964.

78. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М.: Физматгиз, 1959.

79. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М.: Наука, 1967.

80. Тимошенко С.П., Янг Д.Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле. М.: Машиностроение, 1985.

81. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1956.

82. Тульчинская Н.Б. О продольных колебаниях закрепленного стержня с сингулярной податливостью и упруго присоединенными массами // Динамика механических систем. К.: Наук. Думка, 1983.

83. Филиппов А.П. Колебания упругих систем. К.: изд-во АН УССР, 1955.

84. Филиппов А.П. Колебания механических систем. К.: Наукова Думка, 1965.

85. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. М.: Машиностроение, 1970.

86. Чудновский В.Г. Методы расчета колебаний стержневых систем. К.: изд-во АН УССР, 1952.

87. Chai G.B., Low К.Н. On the natural frequencies of beams carrying a concentrated mass О собственных частотах балок, несущих сосредоточенную массу. //J. Sound and Vibr. 1993, 160, № 1. - С. 161-166.

88. Eisenberg M. Vibration frecquences for beam on variable one and two -parameter elastic faundations Частоты колебаний для балок на упругих основаниях одним и двумя переменными параметрами. // J. Sound and Vibr. -1994, 176, № 5. - С.577-584.

89. Fosdick R., Ketema Y., Yu Jang-Horng. A non-linear oscillator with history depended force Нелинейный осциллятор с силой, зависящей от истории. // Int. J. Non-Linear Mech. 1998, 33, № 3. - C.447-459.

90. Kim S.C., Dickinson S.M. On the analysis of laterally vibrating, elastically supported, slender beams Исследования поперечных колебаний упруго опертых тонкостенных балок. // J. Sound and Vibr. 1989, 129, №1. - С. 161165.

91. Kukla S. Free vibration of a beam supported on a stepped elastic foundation Свободные колебания балки на упругом ступенчатом основании. // J. Sound and Vibr. 1991, 149, № 2. - С.259-265.

92. Kukla S., Posiodafa В. Free vibration of beams with elastically mounted masses Свободные колебания балок с упруго прикрепленными массами. // J. Sound and Vibr. 1994, 175, № 4. - С.557-564.

93. Laura P.A.A., Filipich С.Р., Cortine V.H. Vibrations of beams and plates carrying concentrated masses Колебания балок и плит, несущих сосредоточенные массы. // J. Sound and Vibr. 1987, 117, № 3. — С.459-465.

94. Lui W.H., Huang С.-С. Free vibration of restrained beam carrying concentrated masses Свободные колебания балки, несущей сосредоточенные массы, при ограничении поворота на опоре . // J. Sound and Vibr. 1988, 123, №1. -С.31-42.

95. Liu W.H., Yeh F.-H. Free vibration of a restrained non-uniform beam with intermediate masses Свободные колебания неоднородной балки со связями и промежуточными массами. // J. Sound and Vibr. 1987, 117, №3. - С.555-570.

96. Maurizi M.J., Belles P.M. Vibrations of non-uniform, simply supported beams Колебания шарнирно опертой балки переменного сечения. // J. Sound and Vibr. 1988, 123, № 2. - С.380-381.

97. Sato К., Shikanai G., Minamino Y. Non-linear vibration of beams with attacked spring-mass system Нелинейные колебания балки с присоединенной системой пружин и сосредоточенных масс. // Trans. Jap. Soc. Mech. Eng-1985, 51, № 471. C.2807-2813.

98. Sato K., Shikanai G., Minamino Y. Non-linear vibration of beams with attacked spring-mass system Нелинейные колебания стержней с упруго присоединенной системой масс. // Bull. JSME. 1986, 29, № 253. - С.2232-2238.

99. Shen G. The calculation of natural frequencies of elastic simply supported teams with concentrated mass Вычисление собственных частот упругих свободно опертых балок с сосредоточенными массами. // J. Nanjig Forest. Univ. -1991, 15, № 3. С.54-59

100. Wang Ji. Vibration of stepped beams on elastic foundations Колебания ступенчатых балок на упругом основании. // J. Sound and Vibr. 1991, 149, № 2.-С.315-322.