Аналитические свойства предгауссовских и х2-процессов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Київський державний університет ім. Т.Г.(ііевченка

на правах рукопису

ОЛШО ТЕТЯНА АНАТОЛІЇВНА

аналітичні вллстевості ПРВДГАУССОВСЬНИХ 1 Х-ПРОЦЕСІВ

01.01.05 - теорія імовірностей І математична статистика

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математочних наук

Київ - 1902

Робота виконана на кафедрі теорії імовірностей і математичної статистики Київського державного університету ім. Т.Г.Шевченка.

Науковий керівник - доктор фізико-математичних Няук, професор Козаченко Ю.В. _

Офіційні опоненти ' *- ДОКТбр фІЗИК0-МаТЄМРТИЧНИХ Нйуі«

■ Самойленко Ю.С., ■

‘ кандидат фіяико-математичних наук

Пашо А.О.

Ведуча організація - Інститут кібернетики АН України

Захист відбудеться " І993року на засі-

данні спеціалізованої ряди К 068.18.II прй Київському державному університеті ім. Т.Г.Шевченка за адресою; 252127 Київ - 127 проспект академіка Глушкова, 6*

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці КДУ /вуя. Болодимирська, 62/.

Автореферат розісланий " 40 " 1992 року

Вчений секретар */'

спеціалізованої роди ^ Суданський В.І.

ЗАІАЛЬНА ХАРЛІСГЕКСТККЛ FCБСГ/

Актуальність теми. Дисертаційно. робота пов"язг.нр з актуальною тематикою - дослідженням предгауссовських та квадратич-но-груссорських випадкових процесів, я також з'оцінюванням пч-раметрів гауссовських і 'Х-пропесів.

В І главі вивчається розподіл супречумг та супремума при- ' ростів предгауссовських і'’квадратично-гпуссовських випадкових процесів і швидкість збіжності в нормах простору Орліч." оцінок математичного сподівання квадратично-гауссокських випадкових процесів.

Вивчення розподілу функціоналів типу супрекума від випадкових процесів і полів є ватлиЕим завданням теорії випадкових процесів. Цим питанням для гауссовських процесів займались Скороход A.B., Фернік K., Дадлі P.M.; для процесів типу субга-уссовських це питання розглянуто Еулдигіним З.В., Козаченком Ю.В. та Островським 6.1. Розподіл супремума. предгауссовських процесів досліджували Дмитровський Б.А., Стзднік А.І.

Оцінки, отримані в роботі, покращують оцінки, одержані раніше для більш широких класів випадкових процесів.

В П главі одержано оцінки параметрів гауссовських і % -процесів через характеристики перетинів різних рівнів.

Звичайно розглядаються оцінки, які вимагають гнання всіх значень траєкторії, не деякому інтервалі. Однак на практиці отримати таку інформацію про траєкторії вдається не зазжди. В деяких Еипадках виявляється -іільш доступним дослідити число перетинів випадкового процесу з різними рівнями.

Питаннями, пов"язеними з перетином рівнів, вивченням числа виходів за рівень гауссовськими випадковими процесами займались Райс С., Крамер Г. і Лідбеттер М. В. роботі Тихонова Б.І. наведені формули,що виражають число перетинів для різних класів процесів. Оцінювання деяких~параметрів^ гауссовських процесів через характеристики перетинів одногорівня розглядали Кузік Ж. і Ліндгрен Г.

Таким чином, в П. главі продовжені дослідження, започатковані в роботах цих математиків. Одная слід відмітити, що бата-' то оцінок раніше не розглядалися.

Мета роботи. '

І. Вивчення оцінок розподілу супремума і супремума приростів предгауссовських випадкових процесів з класу 0(Rt, %г).

2. Вивчення оцінок розподілу супремума і супремума приростів ква-

дратично-гзуссовських випадкових процесів. ■

3. Дослідження швидкості збіжності оцінок математичного сподівання квадрятично-гяуссовських випадкових процесів. .

4. Вивчення оцінок параметрів гяуссовських і ^-процесів, отриманих через характеристики перетинів різних рівнів.

Наукова НОВИЗНА.

1. Отримано точні оцінки розподілу супремума і супремума приростів для широких клгсів предгауссовських процесів.

2. Отримано точні оцінки розподілу супремумр і супремумя приростів для квадрятично-гпуссовських випадкових процесів.

3. Досліджено швидкість збіжності оцінок математичного сподіввн-ня квядратично-гяуссовських випадкових процесів в нормах простору Орлічя.

4. Побудовано і вивчено оцінки параметрів гяуссовських і % ^-процесів через характеристики перетинів різних рівнів.

Метоли дослідження. При вивченні влястивостей предгяуссовсь-ких випадкових процесів використані методи теоріт субгяуссовських і предгауссовських випядкових процесів те випадкових процесів в просторах Орліча.

Для отримяння оцінок параметрів гяуссовських і Х-проце-сів використано методи, розроблені раніше при вивченні перетинів випадкових процесів з різними рівнями.

Практична і теоретичня цінність. Загалом результати дисертації носять теоретичний характер і можуть бути застосовані в статистиці випадкових процесів та в різних приклядних науках теорії випадкових процесів, таких, наприклад, як метеорологія і радіотехніка.

'' АггроСятіія роботи.Результати роботи доповідались і обговорювались на. наукових семінарах в Київському державному університеті, на конференції молодих учених в Інституті мртємятики АН України /1986/, на Ш Всесоюзній конференції "Перспективні методи планування та аналізу експериментів при дослідженні випадкових полів і процесів" /Гродно, 1986/.

Публікації. Результати дисертації опубліковані в 6 друкованих роботах.

Структура роботи. Дисертація складається із вступу, двох глав, розбитих на 8 параграфів, і списку літератури.

Загальний обсяг роботи -9%- сторінки.

з

ЗМІСТ ГОБОТИ

У вступі обгрунтовується «ктуялміст'ь тями дисертаційної роботи, формулюється метя дослідження і наводиться анотація одержаних результатів.

В І главі вивчаються властивості г.редгруссовсьних і квядра-ТИЧНО-ГауССОВСЬКИХ ЕИППДКОВИХ процесів.

В § І кпведеьо оспоргі огнрченчя, введено пооиеси я класу 0(*і,ЯяІ ' ' ‘ч

Означення. Нехай RjCs)z і} Rg(s)i L (~^Ґ~ 5,<Лг_, ^¿>C)j такі фікції, і’іо пои s>o 5), R^CS') монотонно не спрдрять, a при S<0 R^S) ftpGs) монотонно не зростають, - пар-

на. Будемо стверднув.'.ти, ню предгяуссовський тшядковий процес ' належить класу /\Р) , якко в просторі предгауссовських

?ип?ужо?их ¡»»дичин існує норм? //.// , ч;о для деяких стелит

І Кр пр!' УЯЮТЬ місце нерівності

■ ' M**p{s 2%тц)іР'^>

м exD-ls ^^X-Z-ZC^)_______ — І < Q (S)

м екр 1 Kzh(h)- 7(¿¿II }-

В § 2 розглянуто оцінки розподілу супремум? одного класу предгруссовських процесів. Основним результатом цього параграфа є • ’

Теорема 2.1. Нехяй - сепяребельний предгаус-

совський випадковий процес з кляоу 0{К± ); tfO-)>0, « і - де-

яка монотонно не спадаючп функція (t (it-) t со при -И. -» оо) така, !цо *L(eb) - опукле. Якщо виконується умова

j\( N (v*)) c1v~< o° , £o~ j

О

метрична

£- вимірність простору (т, fît) , ТО при будь-яких р &(0, d.)}

°гг= ¿-rKipfrifr-fiY* tK± 9 /\^ - деякі констрнти/ МРЮТЬ місце нерівності £, ^

І//Ч expp. sup v(i)}$(RjsfiioK^ h(,Rz(s%L0K$ \

р ‘ '

* Г- '~£)((% -pf% ¡t(,V(eo r Ofé'tfi)

2/М ЄХр[-£. ¿п£ & ${-*,/>)

при Д < А± ¿о Кі ) ;

УМ. ехр^я. ^р I у а)!} 2 (^ />)+р (-¿, р)

І £ І-'

при 0^£<ггшь (Л£,Ал)(^£0К^)~^

Якир виконані припущення теореми 2.1, то має місце Наслідок 2.1.

Р{єи£/?К)/>х:}* ¿г/ ехр{-єх}я#,р)+

+ <Н „ ыр1-зх} %(-3,р)-

04 3<А^(^£ о<р< і

Розглянуто також предгауссовські випадкові процеси, означені на скінченновимірному звклідовому просторі. Як наслідок теореми 2.1 одержана

Теорема 2.2. Нехай ^(і) —предгауссовський випадковий

процес,Ь6грп-(гр/1 _ одиничний клуб в л-вимірному евклідовому просторі З метрикою = ГУЇСІ* (Ь£ - ■&£ (

Ч(1)^0(Я1^^)} їи.р /ІГПі]-%%ї)І/^ 6-(к)г

/¿*- ¿д/е /і.

де 6~С/і) - додатня монотонно зростаюча функція, така, що ¿ґ/А) / ¿7 при Л.-»0 , і виконується умова: З К > О !

Xє((г‘~£)(іг))~і/п-) е/іґ < оо.

[ К Тоді \/рє.(0,4), % = *+ кг.^(Кі (1~РІ мають місце нерівності ’ ' .

Ы

"їй

_£ ' при 04 £ < о^х) і

М. ехр[-з ■ ¿п£

■¿еТп.

при 0 4 £>< Аі_(Кі) ^

при О^ £'< ГПІП. Мі , А4)(^ч£е>К1')Г* де 4(р¿о)=г(((&б‘-^(р^ї) + і)").

(4 '

В § 3 вивчається розподіл супремума приростів предгауссовсь-ких випадкових процесів. •

Теорема 3.1. Нехай виконано припущення теореми 2.1. Тоді ~ при будь-яких рь(Оу і) мають місце нерівності

І/ М.ЄХ.р{5• ¿Чг/> /?я ( Є£КЛ*

пф,іу)<г й 1 'с/

*£ (г^їрУ1 І

при £?й^< /»* ^ ^

2/ /Ч ех^ • іу ^ 4(-£, />)

при 04. ^ < Аі (і -р)(£ кя (ї-р))-*-

з/ М еу> - 7М!} 4 ^ /о;^- ^/>)

при ¿7 4 ¿г < (Аі} Аг)(±-р)(є (¿/-р)) *

Наслідок 3.1. Нехай для процесу,у(^) виконуються припущення теореми 3,1* Тоді Рі ¿‘4с0 /у(іі)- у(и')!>СС 2 <

' с 1 ".

" £«*К-р) °*£< Щс^р)

о<р<£ 0<р<£

§ 4 присвячений вивченню розподілу супремума, і супремума, приростів квадратично- геуссовсьр^их випядкових^процесів, тобто процесів типу '%(&) = ^ '(І) А Ш § (і) ,_де ^(і)В Я - векторний гауссовський випадковий процес з Мц(£) — 0 і коваріацій-ною-матрицею £(±,£)=м$Щ?&) ; А(-Ь) - симетрична матриця. .

Теорема 4.1. Нехай ) - квэдратично-гауссовський випадковий процес, СТ,т.) - простір з псевдометрикою Лі(-Ь} уу)~ -УЖу(-к)-уМ)' №(£■)-метрична £- вимірність ('Р, /П.).

Якщо процес 'Ц(-Ь) сепярабельний і для деякої монотонно не спадаючої функції 'і(%)?0) м.ъ£ (Ъ{-и.)?оо при -¿¿.-Vсо) такої, що

опукля, має місце

) - —,

ҐФМ)*г«~, лв £»=*¥1^*Ь 0 .

то при всіх Р e(Oj±) має місце нерівність

Н елр {.s- suf> (I’fil-MyM)} <(i-s їТ^алр l~io0 Yli' > .

*((%*' <£ \г< ](¿рїї-р) є .

при О <, S 2 < t , л ^

--- = (£i (і-P)-t- ^iP>)foY^(d-f>) ■ 8± 3 <5^ £" -

певні числа з проміжку¿0,і J . .

При виконанні припущень теореми 4.1 мяє місце Наслідок 4.2. P{SUj>(f(i)-М »(і)) >х\^

< «V І- fW 1 § -*ф} </г-

^(¡Ь¡г(М(^гі))с/'і4

пря X 1-а ,у):

в(р) = ^ ® ^<г/- £') ^ с4 - 4 D •

Теорема 4Ііехнй ¡¡(і) - кв-->дряги"-іно-гяуесовський сєпр-рабельний випадковий процес; (Т.т)- простір з псевдометрикою

m(t,\4yi^(-y(i)~ fOv)), tft&) - "STpwun £ - вимірність^"/n).

Нехай lt(u)>Oi -it >, / - деяка монотонно не спрдпючя функція,

lt(ei) - опукла; ¿0 = Suf> ^(viii-vdv))' ¿'<£c.

і we-T ‘ 1 ' ’

£ •

Якщо то ПрИ BCjx pe(o,i) має місце нері-

вність

М exp {s- sup (у(і)- уМ-Жуїі)- у(*Щ 4 (is 2І ^

m(it\w)<a. 1

■6 v /- ?(і- 4)К'ТЛ> t1А/М^") е 4

при 0$ si I% < * , де ¿ = Л'-/»; <£ 'f

§ 5 присвячений дослідженню умов і швидкості збіжності оцінок математичного сподівання квядрятично-гйуссовських процесів в нормах простору Орліча.

Спочатку розглядається квадрятично-глуссовський стаціонар-

ний випрдкоекй процес у(і) . Як оцінку математичного сподівання гіри 0$і-$гГ приймемо величину

тг^ї\(і)М. и

Теорема 5.1. Для того, щоб ¡¡М-^-ґН-ІІ О при Т—со достатньо, гарб Ю(Т) ^ 4^. $ -->0

при Т-^СЮ . О о

Теорема 5.2. При Х> ^ має місце нерівність

Р{('\-^№7т)Гіх}*л>хГ£екр- Щ,} .

Якшо у (- незалежні копії процесу р(і) , то за оцінку математичного сподівання ППИЙМЯСМО величину

т (п) - і: А 4'/ Г<с^ ■ .

ЛемпЛІ Мехр/^г^Ш^и

/М/С ¡/їїГІІ(П) і

&(і-тгГ^Мш) ■

причому 5£> >П- ґл) -- У£- ^ и

ГЛ Г П V Ґ » ->- - Г/*» ЇЇІ/і —>0

1^0 IVі М-- 0.3. ЛЯ ТОГО, І'-ОО При Я- '>**" Я<Х) '

достатньо, щоб , т* 2*

.7 ¿7

їеоі.ч.ч;-' 5.4. При Х> ку мло мі єно .мері кність

^ІЙГ>х^~ {л,і'^ г(х^/г-

Далі розглядається нестаціонарний квадратично-гауссовський випадковий процес у (і) } (і) - його незалежні реалізації.

Як оцінка математичного сподівання розглядається величина

Лема

п.

О > /І ' ’

. о -

причому *¡0 їП-ьІЬ) - уй‘д’/ґ£)- ^ ^

Теорема 5.5. Для того, щоб при П->с*> V с ^ I ЦґП. Ю-ҐП-ІЇ)!!, ->0 достатньо, щоб п 9>?(і)-+ О

При /1~*се> .

Теорема- 5.6. іієхрй % (і) - кведрятично-гяусеовський сеппря-бвльний ВИПОДКОВИЙ процесе і для деякої МОНОТОННО не СПЯДЯЮЧОЇ функції '¿(и)-?0,и'9і (ї(И)(& при и-*я>)тякої, що *С(£ - опукла, має місце нерівність .

ї°г{Л/М)аГг < со} = У£да^/ .

Тоді при всіх рє(0,і) справедлива нерівність

М. ехр{£- (пілН)гШ(Щ $ ** х

> ехр {- § а. уе(і,г *;У4

де ш.*‘(&?+р(4.-рїх)&ь12:

Теореми 5.7. При виконанні умов теореми 5.6 для X > (¿і*- &*) має місце нерівність '^

р{ ехРІ~ т-)е^{і'

х (г№'0и.ї)с/и).

П глава присвячена побудові і вивченню властивостей оцінок

О

параметрів гв.уссовських і X-процесів.

. В § £ будуються оцінки математичного сподівання, дисперсії І коверТаційної функції неперервно диференційовного в середньому квадратичному стаціонарного гауссовського випадкового процесу через характеристики перетинів кількох рівнів.

Розглядається р різних рівнів (0,Т)-

час, який процес проводить під рівнем іі/ на проміжку

(о,Т); ш-Н^И),Ол~ я$а), $&)$& + **);

°Их} =1^^-

Тоді оцінки, мають вигляд: ■

0р- (р-і] Р ф^(0> ?№'*)-&■ &{с,> *№ )

"Ф-і) 72/№1(ґіііоіт)тЛг-гь.ЧгЧе.(о>т}т-і№1{‘сМ?)т-* ’

¿’І _ ' ' *

( Ги и-і - £ ^і(о,Т)Ті!і)р~\

де б-“' -.дисперсія процесу у (і)-= <§(± ~ §-(І) ■

Основними результатами § 7 є

Теорема 7.1. Якщо $(4) - стаціонарний гауссовський ергодичний випадковий процес, А(о)<.ех>/ б^л>0, то при Т-»<ю з імовірністю одиниця /п. — тг ■*&" '£-№) .

Теорема 7.2. Нехай )- неперервно диференційовний в середньому квадратичному гауссовський стаціонарний випадковий процес. ео

Припустимо, ЩО І О при ¿-+СЮ.

Тоді Ут^(гп.-/п) І Ут(<Г-іГ) слабо збігаються до ),

знаходимо по фсрмулам (Ч. Ч) -(7. 9). с § 8 присвячений отриманню оцінок дисперсії і '£ /0) процесів тп вивченню їх властивостей.

Розглянуто процес у(і) = і- де $¿4),

незалежні однаково розподілені гауссовські випадкові процеси.

М т = - С‘\ і а У77Г; Ш)-н

Тоді ' -----6

¿Ч^-иЛ[іи(^иЛТ)..у <іЛ

' г А і Ний(о,т) У <‘-і V >

де різні рівні, - число перетинів рівня

процесом у(1) за час (ОгТ).

<їи(0)■= я г‘г(с), 6іІ-= я асг! .

А Л*

Теорема В.Т. Якщо *?(£) - ергодичний процес, то при гГ-*<х>

з імовірністю одиниця с '£■"("О)-* х''(О).

Автор висловлює щиру подяку своему науковому керівнику Козаченку Юрію Васильовичу за постійну увагу до роботи і підтримку. •

Основні результати дисертації опубліковані в таких роботах:

1. Олешко Т.А. Оценивание математического ожидания случайного процесса с помощью числа выходов за уровень // Труды научной конференции молодых ученых Института математики АН УССР. Тезисы докладов.- Киев 24-26 ноября [966. С.99-100 /ИМ АН УССР, Киев, 1987, ІТ^-ї. СБ. Дсп. в БНН11ТИ 25.09.87, №6907/,

2. Олешко Т.А. СвсГ'г.тва оценок параметров стационарного гауссовского случайного процесса, полученных по характеристикам пере», сечений нескольких уровней // Ш Всесоюзная конференция

"Перспективные методы шірлировглия у. еналита экспериментов при исследовании случайных полей и процессов". Тезисы докладов. Т.І. Гродно, М88. С. 75-70.

3. Олешко Т.А. Оценивание математического ожидания нормального

стационарного процесса // Исследование операций и АСУ. 1988. Вып. 31. С. 46-48. '

4.' Олешко Т.А. Оценивание параметров стационарного нормального случайного процесса // Теория вероятностей и мат. статистика 1909. Вып. 41. С. 78-80.

Б. Олешко Т.А. Асимптотическлл нормальность оценок параметров гауссовского стационярноїо процесса, полученных по характеристикам пересечений различных уровней // Теория вероятностей и мят. статистика. 1930. Вып. 42. С. 103—ІI0.

6. Козаченко Ю.В., Олешко Т.Л. Про розподіл супремуме квадратич-но-геуссовських випадкових процесів // Теорія імовірностей і М8Т. статистика. 1992. Вип. 47.

Зах. №281. тир. 100. Выдазньгчй» полиграф, центр КДУ, КїйГб — 1Т, Бульвар Шевченка, И.