Применение многочленов Лагерра и прямого метода граничных элементов к решению задач линейной вязкоупругости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

п

о

иплнников

Леонид Матвеевич

ПРИМЕНЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ ЛАГЕРРА

И ПРЯМОГО МЕТОДА ГРАНИЧНЫХ . ЭЛЕМЕНТОВ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ ВЯЗКОУПРУГОСТН

Мосхва 1993

московский государственный строительный университет

На правах рукописи

иванникоз Леонид Матвеевич

удк 539.376

применение многочленов ллгегра и прямого метода гтаничных элементов к решению задач

линешой вязкоупругости

.Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидауа технических наук

Москва 1993

Работа выполнена в Московском, государственном строительном университете и Хабаровском государственном техническом университете.

Нвучный руководитель доктор физико-математических наук» профессор A.M. ЯРОДЕНКО

Официальные оппонента: доктор технических наук, профессор И.Г. ФИЛИППОВ, .

доктор.технических наук Д.».ВЕНИАМИНОВ

Ведущая организация - НИШЕ

Зашита состоится. "¿¡у" . J^W^i*]?^ . . . 19эЗг.

на заседании специализированного совета Д 053.11.02 при Московском государственном строительном университете по адресу : II3II4, г. Москва, Шлюзовая наб., 8, ауд. 409. '

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного строительного университета,

; Автореферат разослан . В^А^А' .. 19Э^г.

Ученый секретарь специалиэировьгшого совета,

доктор технических наук, . • . •

профессор Г.Э. ИАБЯИНСКИЙ

ойцая характеристика pab0tu

Актуальность т.В последнее время в практике строительства широко применение находят човнп материалы. Многие из отих матг-руш-лов уп? при обычных температурах обладапт ярко пчрпжемннчи св^йст-ппми ползучести. Основания инженерных соорухеч-П так»^ обладают peo-логическими свойствами при нпгружеиии.

С другой сторож* п i гелях зкономии к рпеголнчльного проектирования учет полоний ползучести и релпкеании прнчтпет чее большее значение при проектировании конструкций из whsc материалов хяк бетон, искусственный камень. При действии больших температур явление ползу-чггти и релаксации ягшяотсп ригагави».'и при установлении напряженно -деформированного состоянии конструкции. Поэтому в последнее время "со больше внимания уделяется расчету элементов конструкций на основе теории ползучести. Несмотря на большие достижения в развитии теории ползучести, .существует еще ряд нергаенннх проблем. Одной из таких проблей является ретешг<- смешанной .краевой зодачи линейной ползучести, когда реологические свойства стабильной среди описываются двумя базисными операторами. 5 .этом случае даже при отсутствии объемных сил временная и пространственна«/переменная не разделяется и решение задач«-'Представляет большие вычислит&^ьше трудности.

Второй не полностью решенной проблемой является решение задач линейной подзучести со слабо сингулярными ядрами ползучести и релаксации, когда имеются повторные свертки функний во времени.

3 связи с этим весьма актуальной является разработка адгорит -моя решения смешанной зодачи линейной вягкоупругостн для ствбильноЛ средь» с двумя базitci.oVH операторами, когда в качестве рдер скорое -?и ползучести я реляксотши используются ядра со слабо;! особенностью Д.Р. Ржанииыиа (М.А. Колтунова). Во многих случаях материал конструкций находятся в линейной области деформирования, а среда является стабильной-, поэтому весьма актуальными являются соотзетстпулляе линейные задачи теории ползучести.

'Цель и задачи работы. Цель» работы является'

- построение алгоритма реиения смешанной задачи линейной вкзко-упругоофг для стабильной среды с двумя базисными ннзкоулругими one -раторами при отсутствии объемных сил. В связи с этим иоггно сфер,мутировать следуишие задачи исследования:

- получение ос iobhux соотновений прямого метода граничных элементов ШПЗ> для рассматриваемых физических соотношений;

- решение некоторых слабосингудярных интегралы»« уравнений Вольторри'второго рода в рядах По многочленом Лагерра;

А

- контроль реш«:.:« задач с использованием многочленов Яагер-

ра;

- анализ сходимости полученных решений.

Практическое аначение работн состоит 8 следующем:

г на основании полученного алгоритма могут быть решены смешан-ныв задачи линейной эязкоупругости для стабильной среды с двумя ба-аисными операторами для бесконечных и иолубесконэчных областей, для которых мётоды.конечных разностей (ЫКР) и нонетах элементов (МКЭ) неудобны;

- применение твмперззурно-вршениой аналогии позволяет реаать задачи термеполэучести для термореологическн простых сред для аналогичных задач, ,

Достоверность гезультотов обеспечивается:

- оценкой получэкиня результата на всех отелах решения задачи;

- сравнение« решения примеров по подученному алгоритму и на основании известных ме годоэ.

На защиту выносится;

- алгори I ревеняя квдаисгатических еадач линейной еяэкоупруго-с?й в форые пряного ИГ® с гфииенением рцдое по «иогочденй« Лагерра для стабильной среды с двумя о'яененьади оператором«;

- решение некоторых интегральных уравнений ящюйиой вяэкоупру-гости в радах по мкогг'демЕм Лагерра;

- контроль решения задач с «сполъзоеаияем. и югочленов Лагерра;

- о нал из сходимости получениях решения,

' Апробация теботы к публикация. Материалы диссертации долодсны и обстздеед на шучзго-техяической конференции КИСИ .г 3977 г., научном семинара пру !.Г/.С'Л им. В.В, йуйбышеиа под руководством акад.Ару« тоияна Н.Х, и проф. Рганнцша А, Р. в 1978 г., первом Советско-Шк \ тайском симпозиуме по. вопросам развития Дальневосточного региона в 1991 г., научном семинаре Мнстмтута материаловедения ДВО РАН в 1992 году. - ' ;

По *ге,«е диссертации опубликовано 8 работ.

Объем и ст"'ктура- диссертант. Диссертация состоит из введения» четырех гдае, заключения и списка литературы из Ш наименований; содержит 133 страницы машинописного текста, 12 рисунков, 27 таблиц.. • .

содашщ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цель к задачи работы, ее научная новизна и практическое значение.

Первая глава представляет собой обзор литературы, касающей-

' ся основных положений теории вязноупругости, методов решения задач линоПноЯ впзкоупругостн к оскоенах положений МГЗ. Отмечается, что одной из наиболез точно описывллшпс поведение реальных материалов во времени, как в начальные иокентн времени после приложения нагрузки, так и в последующие является теория, основывавшаяся на наследственных соотиотштя, Для стабильной среди эти соотношения представлена интегральными уравнениями с ядрам«, зависящими от разнос -ти временного аргумента, Е качестве ядер скорости полиучести и релаксации наибольшее распространение сейчас на практике получили ядра со слабоП (абелевскогО особенность», характеризующиеся бесконечной скорость» ползучести (релаксации) s начальный момент приложения нагрузки.

Рассматриваются ядра А.Р. Раоняцына, A.Ü. 1й>лтуново, D.H. Ра-ботнопа, 'А.П. Вронского «Т.Л. Слонимского, предста*-теш(е ядер с выделением особенности в виде Sit) - йункдои, предложенное A.A. Ияьшиным; При рассмотрении основных методов решения задач линейной вязйоупругости отмечается, что общепринятым здесь является применение преобразования Лапласа. Однако определение реш. шя посредством перехода из пространства изображений Лапласа {<&} а про-• странство оригиналов проставляет очень часто больиие математические трудности. В связи с этим большое внимание уделяется численным методам обращения преобразования Ларласз. Однако зга проблема еще недостаточно исследована» относится к решению некорректно задач и число результатов чдесь вееьиэ мало» . - ■ -

Одним из' ваанвйиих-методов решения.задач -ЛВУ для стабильной среди является метод упругоВязяоЯ аналогии- (1ШШ. Согласно этому . методу" решение задачи дписПнпя Ползучести,, мояэт быть получено и у • решения соотеетствуадзй задача теории упругости, в которой упругие , постоянные заменены траисиа-тденпгики.оарааешилш, преобразования вязкоупругих операторов по Лапласу. Для получения решения задачи ЯЗУ необходимо.найти оригинал npeaípásoaaráoro уравнения.

Однако нахождение оригинала, 'каз указывалось, вше, представляет большее вычислительные труднеотп. • Эти трудности повлекли за собой появление других ксфздсв, книге ¡as, например, метод ai. iposc-симацяй A.A. Ильшила. Метод oeuosaa на ярниакешш преобразования Лапласа. '

'Функции ползучеоти и релаксации задаются, аналитически или экспериментально.

В качестве основных независимых констант принимается модуль объемного сжатия и коэффициент, зависящий, от нодуля сдвига. Все остальные упруги: постоянные выражаются через эти два параметра. Функции,

б

выражающие m пряженио-деформ/рооанное состояние (НДС) тела, аппроксимируются полияомшм, коэффициенты которых определяются по какому-ли -ба критерию миниулэяции иеяя-ки.. Тг>«им образом получается приближен -над ранение задачи теории упругости. Далее, используя МУЗА, получает-с I решение задачи ьязкоупругости в изображениях. Осуществляя переход и пространство оригиналоз, получаем руление задачи. Получены решения задачи для вязкоупругоге несжимаемого тела. К этому мегоду приникает способ решения квазистатических задач линейк й вязксупругости (ЛВУ), предложенный Д,Л. Bukobïw. В ряде работ, опубликованных М.А. Ко л туковом предлагался решать задачу ЛВУ а виде ряда

где некоторая непрерывная фушшя представляете л в в''це ряда

После подстановки соотношений в исходные уравнения в частных производных и приравнивая выражения при одинаковых степенях i приходим к U.i упругим задачам, решение которах предполагается известным. Важным методой решения задач ЛВУ является метод степенных рядоа, примененный Ф.Е.Бадчлоеым. Искомые функции представляются з виде степенных рядов но временя. Такке представляются правые частя уравнений:

ïm-i*'!«^ ; до.«^^"'

Подставляя степенные ряда в исходные уравнения и приравнивая ко'*)фи~ пиенти при одинаковых степенях Ь прядей к рекуррентным зависимое- ' тям для определения коэффициентов искомых ¿равнений. Доказательство сходимости метода проводится на основе метода усреднения, - a eau не -год используется для решения нелинейных задач квазистатики и динамики.Скорость сходимости этого метода невысока в.том случае, если вяз-' коуиругие свойства "реды описываются двумя базисными операторами. При решении квачистаздческих аацач ЛБУ широко применяется метод Фурье, в котором искомые функции разлагаются в рады по некоторым базисным функциям. В качестве т. лих базисных функций удобно использовать многочлены Дагерра, ортогональнме в интервале [о, «>) . Прч довольно общих условиях искомые функции могут быть представлены в виде таких рздоп. Б работах автора ряды Фурье по многочлене г Лягерра применялись в -сноьном для реиения с ядрами А.Р. Ряаницина без разложения их в' ряд по м эгочлеиам Лагерра, В работе В.Г. Карнаухова и И.Ф. Киричка прег ■ ..агалось приставлять ядро скорости ползучест " в виде ряда по много -

членам Дагерра» Решении динамических задач в рядах по многочленам Лагерра посвящена работа Ф.Б.Бадялова и Н.Ю.Хужа-ровп, Для терморео-логическй простых сред, огдв справедлив принцип температурно-вре -менной аналогии можно, вводя условное время -¿'я где

í'nCLra , ci, -'положительные константы, опреде -

ляешв экспериментально; - соответствующие температуры, мож-

но решать задачи термоползучеети на основании вышеизложенных мето -. дов. Задавая условное время ф и зависимость его от влажности

I «<

~ J'.ur(v)cftf

"о о

^де tla - время релаксации влагонасышенного материала IOOÍ влажности; ^

■Ujr(t:) - влажность материала, например, иУ* W0Q. , где V - коэффициент сушки, можно решать влажностние задачи ползучести. В последнее время шир^ ое применение при решении задач теории упругости находит МГЭ. По сравнению с МЮ этот метод понижает на единицу размерность задачи и является гораздо более удобным для решения задач расчета бесконечных и полубесконечных областей. Существуют два основных подхода, которые приводят к прямому и непрямым МГЭ. Прямой МГЭ обычно строится m интегральном соотношении. В теории упругости это обычно теорема взаимности. Прямой МГЭ позволяет с большой строгость» получить рсзреттэдие уравнения МГЭ. В задачах ЛВУ Йоль-шое количество теоретических работ по применению МГЭ для г здач для нестабильной среды опубликовано Н.М. Хуторянскнм. Однако практическое использование прямого МГЭ для решения задач ЛВУ пока еще не получило широкого распространения.

Во второй главе приводятся основные соотношения, используемые , в прямом МГЭ а задачах ЛВУ в данной работе. Представлены физические соотношения для стабильной cpe^oi с двумя базисными вязкоупругкми операторами в форме, приводящейся А.Р. Разнимым, в извес-. ной мон--гпафии. На основании МУВА из известного решения задачи теории упру -гости о действии сосредоточенной силы а упругой среге, полученного на основании способа Папковича-Нейбера, получены иообранения в ^J для перемещений и напряжений для соответствующей плоской задачи вяз-коупругости: _

где VL *le Ufc/ij... ; H0. v0 - упруго-мгновенные значения модуля упругости и коэффициента Пуассона;

(3)

ШЯШ- скорости ползучести продольной к поперечной деформаций;

Полагая а этих соотнесениях (< = 0 и £ »0 получим известные формулы vaopuM упругости. Построение прямого МГЗ проводится на основании теоремы взаимности, д- шзанной для ЯЗУ Р.Крисгенсеном и Ю.Н. Работ -новым и имасией вид:

где звездочкой о<5i-значена свертка функций во времени, Y .

Применяя v (4) преобразование Лапласа получки при равенстве нулю объемных сил .

= [^-litMcIf (5)

г Г

где мгновенно-упругое значе ие функции Ц: . Полагая

где Ut - вязкоупругая составляющая перемещения; Я(0- функция Хевисайда, получим в {об}

Utb <б)

Подогавл/т (6) в (6) получим

Г г

Для определен«НДС во внутрьлних точках рассматриваемой области при известном НДС на границе в задаче теории упругости иепользу -етсл формула Сомильяни. В работе получены аналоги формулы Сомильякы для определения перемещений в точке внутри облает! . когда рассматривается полная величина перемещения и когда определяв .'Ся вяолоулругая составлявшая перемещения. Для вяакоупругих составляющих перемещений

аналог формулы Сомильяны имеет вид в локальной систем? координат из граница ( 2, П. ).

* I & <опм» и (р^ш)-

-/ ♦ < м - ап (8)

В третьей главе рассм-тривяется решение некоторых интегральных урлпнгний ЛВУ в рядах по многочленам Лагерра. Первоначально приводятся о гаю вниз соотношения из теории многочленов Лагерра, используемые о дальнейшем. Запистеаптся соотношения, связиваящие многочл< ш Лчгчррп (у а пиде конечных сумм с разними индексами и и разными аргументами и № , и ■ Приводится условие

ортогональности и условие разлояения функции в равномерно сходящийся ряд по многочленам Лагерра. Далее рассматривается применение многочленов Лагерра для решения слабосингулярных интегральных уравнений Вольтерр« 2-го рода.

№ '+ IУ(т)К0.-х)с/г* /(±) о

При этом рассматривается два возможных пути решения для ядра типа А.Р. Рявнтшв К^}=Аё{^; о<с1 <£ . При первом ( <3 ) из ядра абелевского типа выделяется особенность и регулярная часть ядра представляется в виде ряда, равномерно, сходящегося по многочленам Лагерра. При втором .( & ) ядра А.Р. Рканицьп . интегрируется непосредственно с искомой функцией, Представленной в виде-ряда по многочленам лагерра. Как известно, при больших, величинах - времени скорость сходимости рядов по многочленам Лагерра заметно ухудшается. Во многих случаях использование ( ) подхода позволяет улучшить скорост1» сходимости решения задачи. В работе рассматривается пример, ямеюлий тонное решение, на основании которого при f =30 показывается, что точное решение по ( ) получается ухе при 7 членах ряда искомой функции, в то время как по (с? > и при 20 членах р'да внчйить точное решение не удается. В главе приводятся рекуррентные формулы, позволяющие по известной функции ползучести определять функции скорости релаксации, представленной в виде рлд^ по многочленам Лагерра с предварительным выделением регулярной части. Отдела -ний параграф поевгаси определений оригиналои в виде рчдоя по многочленам Лагерра вязкоуттругих функций (■£) , входящих а выражения . для определения перемещений и напряжений в точке вязкоупругого тола Таких функций 10. Рассмотрим, например, 8.,(л). В имеем (3).

Переходя в пространство оригиналов получим ■fr

(1-я; * (9)

В дальнейшем интерес представляют функции

<p(i) » j Wdx

Для выявления влияния особенности ядра У (i) на скорость сходимости функции К (i) 1 пользуясь линейностью интегрального уравнения (9), проинтегрируем решение (9), зависящее of , Тогда получим

+ i е* м1>и-£ (и&а (ю)

При нахождении Ф(£} необходимо проинтегрировать решение, зависящее только от K£fcJ . Решение (10) щется в виде ряда

со К=0

Подставляя (II) в (10), используя представление-в веде конечных сумы для различных многочленов Лагерра и условие их ортогональности после применения к (10) процедуры Бубнова-Галеркика получил. такую рекуррентную формулу для определения коэффициентов ряда (II):

где

01С *т*0

* - „^

">=«> Zm- £cnL 1 (¿-"У Qi+iy

-4 7 j-M.i-i'

*

j

. В работе исследуется сходимость решений типа (10) для всех 10 рассматриваемых функций H-iii) . Так как (10) имеет непроиктег -рированнув особенность в правой части, то решение (II) имеет коэффициенту donst при 'Л -ч»«*? . Поэтому из!! г и решение урля -ненил (10) довольно сложно. В рмботе рассматриваются оценки, поз -водящие найти решение интегрального уравнения при больших знача -ииях i . , когда правая часть уравнения имеет не проинтегрированную особенность, как в (10). Подставляя частичную сумму ряда

- Hin. в лев,,» часуь (10) и обозначая через

величину левой части (10), а правую часть обозначив через Vz получим т'^н-ую оценку точности решения гада mi:

f^w-VtM

где

U'«* *'Ф'Ш,, visi6»«

Д а р+4

£ - точность решения. Но рисД графически представлен процесс нахождения' решения уразнешп (10) при - 0.1; fi =? 0.6; <£= 0.4; ^ « 0.7; £"=0.9.. при

'Здесь показана зависимость от Ц. -Так как влияние на

12п, быстро уби'зпет, та приблизительно после Ш члена рядг на рис Л видна зависимость V^ от tv при действии только K(tJ в правой части интегрального уравнения. В работе эта гтоцедура проделана для всех функций 2i(k) , использующихся в дальнейшем в МГЭ. При интегр"рованяи функций представлял k« ¿k&J

решение от НШ я J; p. ¿^/i) получим 4=0

х) к«о

0т1гуда видно, что при . ft.-* о° » hfc^^ife" W'**^ ряд достаточно быстро сходится, что f дно в дальнейшем при сходимости решений, полученных по МГЭ. (Три = 0 сумма фяда ^ дает со от -

<ш 0.12 0.Í0 D.oS

ам ш 0.0?, аао

/ ' t í

-4

_J

-r гм

040 QM 0.0 s

Q.10 aot m

o i 2 3 < s б ? è з io t¿ tí i< is is i? is í¡> ¿o i/

Ps//

' 1 4-4- и 1 i . i

j l: ■[ ' ■ ■ "■] ■■■ ■ 4+r -j- i

o i 2 Ь 4 5 6 ? S 9 10 Ü Í2 ib H 1$ iS I? j& iS гО f/

Ya

тя

.to ш:

OJO i 0.0S Ú.OG ô. 4

E 1 2 H í S ? ¿ i Ш Й Й âVH 15 iS i? ÍS iS га ^

' 1

t

Ж

A

o i ¿ 3 4 5 6 ? 8 9 да -ií ía JS H 15 46 1? Í8 ií to ^

ветствуодую упругую постоянную. Приводятся оценки длн проверки правильности вычисления коэффициентов рядов при решении уравнений вида ^

ааО '

и для вяэкоупругой составлявшей решения

| 2^ у* | < ё

п-о

В четвертой главе рассматривается применение прямого МГЭ в линейной вязкоупругости. Гранина рассматриваемой области разбивается на

линейных граничных элементов. С центром каждого граничного элемента связывается точка ^ . На основании теоремы взаимности в локальной системе координат к 2, Л ), где 2. - к юательная, и К. - нормаль к границе, после интегрирования в пределах каждого

граничного элемента длиной лгУ , получается такое соотношение * {£}

iШЦ-

- * Сф ~4(+с)] I , < ¿г

Поступая аналогично известному алгоритму прямого МГЭ в теории упругости, изложенного а книге А.Краувд и С.Старфилда (КС), для определения 2.Я контрольных решений, прикладывал в центре каждого граничного элемента две си«а Гг (I) = НЦ) и а пос-

ле преобразований получим в матричной форда в {«б}:

Л2>

где

рГ £•: Ео

&гг Вгд

Впгй 6„„.(«>)

1*5

Чг

■г?* р пТ

Элементы тгриц имеют вид:

При использовании теоремы в виде (7) имеем

(в-в0) § « Л- й

Далее аналогично (КС) определяются в {обЗ выражения для функций

ВЛИЯЬИ/1?

где обозначений) те ие, что и в (КС). Функции в простран-

стве оригиналов интегрируются. Далее представляя все функции • в пространства оригиналов в радах по многочленам Лагерра получим

оо (ю

в» а ВДЛ-О; АъЬъМг"

. во _ . ..со

6-= 2 иш-,: и * 2 ик

Подставляя этк соотношения в (12) получим в пространстве оригиналов

~ " "Л2"1 "

- $к-т-л) - Щ> (Л •

Т. В* о

При решении зад чи при смешанных граничных.условиях, когда, например, известия на границе перемещения и напрякения ^ получим такую систему алгебраических уравнений порядка 2.Ы

Аналогичные решения ажио получить и для решения задачи в перемещениях и напряжениях. Далее на основании рассмотренных аналогов формулы Сомильяны получены формулы для определения НДС во внутрен -них точках рассматриваемой области

пт " + д (Т3 В2(4) - ^^И^, а})+

= Ф^-Фм-Î '

Далее определяете* напряжения в точке внутри вяэкоупругого пространства: *- .

'¿si- '"'•.. ^ ■

2 - '

« 2гЫ)+ к ' * '

* вф• h,Ф*(ц^-Ъ^У

*

Изложенный алгортм реализован на 1Ш совместимой II3M Мснра-1031 на языке Паскаль в среде Турбо-Лаоквль версии 5.5. S ряботе приводятся распечатки используемых моделей и тестовых примеров,

Первоначально решается упругая задача на основании известной программ TWQW С КС). Затем решается вязкоупруг/м зада m, На зтом отаие рфмсллотся аязкоупругие составлявшие перемещений и напряжения. Ч качестве контрольного примера рассматривается задача о растяжении пязкоупругой полосы с отверстием. Контрольная задача с одним бтиснмм операторов может быть просто решена на основании МУВА, если показатель сингулярности ядра скорости ползучести <£ - 0.5. В отп-.г случае интеграл от' функции скорости ползучести -выражается через интеграл вероятности, Проведенные расчеты показали хорошую точность решения задачи при определении перемещений и напряжений на границе и во внутренних точках рассматриваемой области. При шести граничных элементах точность решение составила Выл проведен ряд решений задачи с двумя базисными операторами, что позволило виявитh влияние объемной ползучести на НДС пластины.

Основные выводы. ■ , I. В случае ядер А.Р. Ркакицына удобно использовать непосредственное выражение для ядер и резольвент инте1 ральных уравнений.

2. Решение интегральных уравнений линейной вязкоупругости для стабильной среды удобно получить, представляя искомые функции, зависящие от времени в рядах по многочленам Лагерра, Приводимые в . работе рекомендации позволяют оценить точность полученного решения и получить радения для любых величин времени,

3. Применение прямого МГЭ » представление искомых функций НДС, - зависящих от времени' по многочленам Лагерря позволяет решать квазистатические задачи линейной вязкоупругости для стабильной среды, реологические свойства.которой описываются двумя базисными операторами с достаточной для практики точностью.

4. Полученный.алгоритм дает возможность решать задачи квази-статикй для полубесконечных и бесконечных областей прг любых граничных условиях.

Основные положения работы опубликованы в следующих работах автора:

1. йванников JI.M. Об одном способе решения квазистатических задач линейной вязкеупругости //ЩНИС Госстроя СССР. Строительств и архитектура. Раздел Б. Вып. 4. Деп. рукопись. 1977г.

2. Иванников Л.М. О применении полиномов .Гшгерра при решении динамических задач линейной вязкоупругости /ЛЗ^ИС. Госстроя СССР.

Строительство и архитектура. Раздел Б. Вып. 4. Деп. рукопись. М., 1977г.

3. Иванников Л.№. Об одном способе решения слабосингулярных интегральных уравнений линейной вяэкоулругссти, //Автомвтизнрсван-ное оптимальное проектирование конструкций. Сб. науч. труд. ХПЙ, Хабаровск, 1977г. с. 60-63.

4. Иванников Л.М. Решение задач линейной ползучести в полиномах Лягсррч. // Известия АН СССР, KIT. tf 4, 1978г. с. 191.

5. Иванников Л.М. Воздействие пожвиинрй нагрузки на вязкоул-ругуя пластинку //Динамика и прочность облегченных элементов конструкций и деталей маиин. f.', еж вуз. сб. науч. трудов. Чита, 1985г. о. 29-34.

6. Иганников Л.Й, Воздействие недвижной нагрузт на пазкоуп- , ругое полупространство. //Научно-техническая конф. ХШ. Тезисы докладов, 1966г. с. 56.

7. Иванников Jl.'i. Дейстшш подвижной нагрузки на вязкоунругую толстостенну» .ц-лтощричоску» оболочку //Тезисы докладов научно-технической -<онф. ХабЙИНТ. r.Z,'■Хабаровск,' 1939г. с. 238.

8. Иванников Л.М..Применение прямого метода граничных элементов для, решения плоской задачи алэкоупругоети // Современные проблемы научно-техн. прогресса Дальневосточного региона с учетом развитая прямых советско-китайских связей. Первый советско-китайский • симпозиум. Тезисы докладов. Хабаровск, 1991г. с» 6-7.