Операторная функция Лежандра и вопросы разрешимости линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Гончарова Марина Алексеевна

ОПЕРАТОРНАЯ ФУНКЦИЯ ЛЕЖАНДРА И ВОПРОСЫ РАЗРЕШИМОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ВОРОНЕЖ 2004

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Глушак Александр Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Орлов Владимир Петрович

Ведущая организация: Уральский государственный университет

Защита состоится 2. марта в 15 часов 40 минут на заседании диссертационного совета К 212.038.05 в Воронежском государственном университете по адресу: 394693, Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 314.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан " 1" февраля 2004 г. Ученый секретарь

кандидат физико-математических наук, профессор

Архипов Виктор Петрович

диссертационного совета

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Одним из современных направлений развития теории дифференциальных уравнений является изучение дифференциальных уравнений, решения которых — функции со значениями в произвольном банаховом пространстве. Это направление возникло на стыке теорий обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными и превратилось в большую самостоятельную область исследования. Изучение дифференциальных уравнений в банаховом пространстве позволяет взглянуть с единой точки зрения как на обыкновенные дифференциальные уравнения, так и на уравнения в частных производных.

Начало этой теории для уравнений первого порядка (подход, связанный с теорией полугрупп) положено работами Хилле и Иосиды в 1948 г. В настоящее время на русском языке имееются монографии Н. Данфорда и Дж. Шварца, К. Иосиды, С. Г. Крейна, Т. Като, Дж. Голдстейна, и некоторые другие, излагающие теорию и применение линейных полугрупп, а также обширные обзоры С.Г. Крейна и М. И. Хазана, В. В. Васильева, С. Г. Крейна и С. И. Пискарева научных публикаций, начиная с 1968 года.

Параллельно с теорией полугрупп было начато изучение абстрактных косинус-функций и дифференциальных уравнений второго порядка в банаховом пространстве.

Основные вопросы, подвергавшиеся исследованию, — это корректность задачи Коши (существование решения, его единственность и непрерывная зависимость от начальных условий), устойчивость по отношению к возмущениям операторов, поведение при t —» с» и т.д.

При рассмотрении ряда основных задач математической физики существенную роль играет уравнение Лежандра

(1 - z2)w"{z) - 2г w'(z) + v{v + l)iu(z) = О,

которое также может быть записано в виде

u"(t) + cth t u'(t) -v(v + l) u(t) = 0,

и исследованием которого начали заниматься в начале двадцатого века параллельно с далеко развитой теорией сингулярных уравнений Бесселя и Эйлера-Пуассона-Дарбу.

Аналогичная ситуация складывается и с соответствующими уравнениями в банаховом пространстве. В то время как абстрактное уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу

уже достаточно хорошо исследовано в работах Л. Брэгга, Дж.А. Дональдсона, Р. Кэррола, Р. Шоуолтера и др., абстрактное уравнение Лежандра

и"{г) + 7к сЛ 7г и'{{) + (у)2 и{£) = Аи(1)

изучено сравнительно мало.

Изучение абстрактного уравнения Лежандра было начато в работах А. В. Гдушака, где исследовались некоторые свойства разрешающего оператора задачи Коши для абстрактного уравнения Лежандра с ли-

нейным замкнутым оператором А. При этом ряд свойств, в частности, вопросы дифференцирования операторной функции Лежандра РЩ^), возмущение оператора А и др. остались не изученными.

Важным вопросом в теории дифференциальных уравнений, привлекающим многочисленных исследователей, является изучение вопросов стабилизации решений при

В последнее время в теории стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений получено немало окончательных результатов. Эти результаты формулируются в терминах усреднений начальной функции по пространственным переменным, взятым по телам, ограниченным поверхностями уровня фундаментального решения.

Среди работ, посвященных исследованию стабилизации решений дифференциальных уравнений первого порядка в банаховом пространстве, отметим монографию Ю.Л. Далецкого и М.Г. Крейна, в которой поведение решения при определялось расположением спектра ограниченного оператора

A, и статьи Дж. Голдстейна, С. Радина и Р. Шоуолтера, М.Л. Горбачука,

B.М. Горбачука, где исследовался случай генератора равномерно ограниченной полугруппы. Отметим также работу А. В. Глушака и В. Д. Репникова, в которой критерии стабилизации сформулированы в терминах операторной функции Бесселя.

Во второй главе диссертации теоремы о стабилизации решения задачи Ко-ши для абстрактного дифференциального уравнения первого порядка формулируются в терминах операторной функции Лежандра

Часть теории некорректно поставленных задач составляют обратные задачи для дифференциальных уравнений, которые находят приложения в естественных науках (см. монографии А.Н. Тихонова и В.Я. Арсенина, М.М. Лаврентьева и др.).

В заключительной третьей главе изучается обратная задача для абстрактного уравнения Лежандра. Устанавливаются условия однозначной разрешимости обратной задачи, содержащей ограниченный оператор. В случае неограниченного оператора приводится необходимое условие однозначной разрешимости обратной задачи.

Цель работы. Основной целью является исследование свойств операторной функции Лежандра, которая возникает при решении абстрактного уравнения Лежандра, изучение вопросов разрешимости абстрактных дифференциальных уравнений, связанных с абстрактным уравнением Лежандра, нахождение необходимых и достаточных условий стабилизации решения задачи Коши для абстрактного дифференциального уравнения первого порядка, получение условий однозначной разрешимости обратной задачи для уравнения Лежандра, содержащей ограниченный оператор.

Методы исследования; В работе используются методы функционального анализа и теории операторов в банаховом пространстве, обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных.

Научная новизна. Все результаты диссертационной работы являются новыми. Наиболее важные из них:

1. Исследованы дифференциальные свойства операторных функций Бесселя и Лежандра.

2. Исследованы вопросы возмущения оператора, порождающего операторную функцию Лежандра, себе подобным оператором, ограниченным оператором и генератором группы.

3. Изучены вопросы разрешимости задачи Дирихле для сингулярного эллиптического уравнения и доказана теорема о регулярном возмущении.

4. Получены интегральные представления для решений различных итерированных уравнений, содержащих дифференциальный оператор Лежандра.

5. Найдено необходимое и достаточное условие стабилизации решения дифференциального уравнения первого порядка в банаховом пространстве, которое формулируется в терминах операторной функции Лежандра.

6. Указан критерий однозначной разрешимости обратной задачи для абстрактного уравнения Лежандра с ограниченным оператором.

Практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер. Полученные результаты и методы их обоснования могут быть использованы в дальнейшем при установлении корректной разрешимости начально-краевых задач для дифференциальных уравнений в банаховых пространствах.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на конференциях "Понтрягинские чтения ХП XIII" (Воронеж, 2001, 2002), в Зимней математической школе (Воронеж, 2002), на международной конференции по функциональному анализу (Воронеж, 2003), а также на семинарах кафедры уравнений с частными производными и теории вероятностей ВГУ (2000 - 2003 г. г.), проф. Репникова В.Д. (2000 - 2003 г. г.), семинарах проф. Баскакова А.Г. в 2003 г. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [8].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка используемой литературы. Объем работы 92 страницы. Библиография содержит 55 наименований.

Краткое содержание работы

Во введении обоснована актуальность работы и сформулированы основные ее результаты, дан обзор выполненных в данном направлении работ.

В первой главе вводится основополагающее для дальнейших исследований понятие операторной функции Лежандра, дающей решение задачи Коши для уравнения Лежандра (п.1.1).

Пусть А — линейный замкнутый оператор в банаховом пространстве Е с плотной в Е областью определения D(A). При к > 0, 7 > 0 рассматривается абстрактная задача Коши

Уравнение (1) будем называть абстрактным уравнением Лежандра. Параметр 7 > 0 введен для того, чтобы подчеркнуть, что уравнение (1) при 7 —► О превращается в абстрактное уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу (ЭПД)

с которым оно тесно связано и которое хорошо изучено.

Определение 1. Решением задачи (1)_, (2) будем называть функцию u{t) £ С2((0, оо), Е) П СЧ^оо),^) П C((Ó, ooj.jD^)), котораяудовлетво-ряет уравнению (1) и начальным условиям (2).

Определение 2. Задача Коши (1), (2) ((3), (2)) называется равномерно корректной, если существует заданная на Е, коммутирующая с А операторная функция P¡¡(t) (Yk{t)) и числа М > 1, и > 0 такие, что для любого щ € D(A) функция P¡!(t)uо (Vfc(f)uo) является ее единственным решением, и при этом

Llu(t)=u"(t)+-rkcth'ytu'(t)+(^j u(t) = Au(t), t > О, (1)

м(0) = щ, и'(0) = 0.

(2)

u"(t) + ju'(t)=Au{t), £ > 0,

(3)

|| P¿(í) ||< Мехр И), (|| Yfc(f) ||< Мехр М)).

(4)

(5)

Операторную функцию (Ук(Ъ)) назовем операторной функцией Ле-

жандра ( в дальнейшем ОФЛ) (операторной функцией Бесселя ( в дальнейшем ОФБ)), а множество операторов Л, для которых задача (1), (2) ((3), (2)) равномерно корректна, обозначим через О], (б^).

Обозначим также через во множество генераторов косинус оператор-функций ( в дальнейшем КОФ).

Далее в п. 1.1 перечисляются доказанные ранее утверждения и формулировки теорем, которые используются в дальнейшем изложении. Приводятся теоремы о сдвиге по параметру для задачи (1), (2) ((3), (2)), согласно которым, если известно решение задачи (1), (2) ((3), (2)) при некотором к > О, то можно получить решение задачи (1), (2) ((3), (2)) при значении параметра т > к. Если А 6 то можно также указать формулы для построения решения задачи (1), (2) и при т < к, но в этом случае разрешающий оператор задачи Коши РЦ^) уже не будет, вообще говоря, принадлежать пространству линейных ограниченных операторов, действующих из Е в Е.

Также приводятся формулы, выражающие операторную функцию Лежан-дра через операторную функцию Бесселя и формула для решения неоднородной задачи Коши

и"{г) + 7т сш 7< и'(г) + (^у)2^) = + /(«)> о < г < ги (6)

При решении неоднородной задачи важно знать, области определения какой степени оператора А 6 должна принадлежать функция ОД, чтобы можно было использовать формулу для решения такой задачи

Поскольку в формуле (8) при т€(2—к,к) присутствуют неограниченные операторы, то возникла необходимость изучения дифференциальных свойств ОФЛ если АеСРк.

Сначала, основываясь на теореме о сдвиге по параметру для ОФБ исследуется, как изменяются дифференциальные свойства ОФБ У() с ростом параметра ш.

Теорема 1. Пусть А € Ск, щ(= Е, т> к>0, тогда функция Ут(1)щ будет п = [(т — к)/2] раз непрерывно дифференцируема при t > 0, причем

справедлива оценка

Теорема 2. Пусть А 6 Gk, т> к, г 6 N, тогдаоператорнаяфункция Бесселя Ym(t) переводит область определения D(Ar) в £)(.Ar+Km*"W4).

Используя теорему 1 и формулы связи между операторной функцией Ле-жандра и операторной функцией Бесселя, затем исследуется изменение с ростом параметра m дифференциальных свойств и ОФЛ

Теорема 3. Пусть А € СГ{, uq € Е, т > к > 0, тогда будет п — [(т — к)/2]раз непрерывно дифференцируема при t > 0, причем справедлива оценка.

(10)

Теорема 4. Пусть А € СРк, т > к, г 6 N, тогда операторная функция Лежандра (ОФЛ) P^(t) переводит область определения D{Ar)

в D(Ar+Km-W4]).

Используя теорему 4 можно указать конкретную степень п оператора, позволяющую использовать формулу (8) для решения неоднородной задачи Ко-ши.

Теорема 5. Пусть А&(Рк,т> к, /(f) € D(An), функции f(t) и Anf(t) принадлежат C([0,£i],£), где п = {N/2} + 2 — [(т — к)/4], если 2 — тп < к и п = 1, если 2 — тп> к, N — наименьшее натуральное число, такое, что 2N + 2 — т> к. Тогда, определяемая формулой (8) функцияu(t) является единственным решением задачи (6), (7).

В первой главе наряду с дифференциальными свойствами исследуются также вопросы сохранения свойства равномерной корректности задачи Коши для уравнения Лежандра при возмущении оператора А. В п. 1.3 оператор, порождающий ОФЛ, возмущается подобным себе, в п. 1.4 — ограниченным опеоатооом. а в п. 1.5 — генетатооом соответствующей С.-готапы.

Теорема 6. Пусть для некоторого к> 0 Ai € GJ, А2 € GZi-k-i пРи ra > к +1, P¿(t,Ai) и P„_jt_i(<, А2) коммутируют на D = D{AX) П D(A2), ~D = Е. Тогда замыкание оператора Ai + А2 принадлежит G^.

Представление для ОФЛ Pk(í, Ai + А2) ввиду его громоздкости не выписывается. В дальнейшем приведем его в частных случаях, когда А2 — ограниченный оператор или А2 — генератор соответствующей группы.

В следующей теореме через В(Е) обозначено пространство линейных ограниченных операторов, действующих из Е в Е.

Теорема 7. Пусть для некоторого к > 0 Ai € (З^.Дг S В(Е), P^{t,Ai) и А^ коммутируют. Тогда А\ + Лг £ GJ с?лл любого q>k и при этом

РЛМ1=т,А1)щ+ r(m+1/2)IW2) (—) х

где m - наименьшее целое число такое, что 2тп > к,

а P^(t,Ai + А2) при q > к определяется через P^(t,Ai + Л2) по формуле сдвига по параметру, записанной для А — Ai + А^.

Теорема 8. Пусть к > О, А = В2 + аВ + cl, В — генератор сильно непрерывной группы T(t,B) класса Со- Тогда А € Gl и операторная функция Лежандра имеет вид

2k'4 /sh 7П1"1 г /ch 7t - ch -rts^2'1 „ . . ,

где

Ca{t) = C(t, ß+a/2/) = 1/2 (exp(—ai/2)T(—i, £) + exp(ai/2)T(t, ß)), «✓»/ . \ r hiWt^ - г]г) ich ft - ch -yts\k/2-1 , , ,-T-

lClia,t,t,) = J Jtis2_v2 { 72 J sds> < = Vc-a74.

Вторая глава посвящена исследованию вопросов разрешимости и стабилизации абстрактных дифференциальных уравнений, связанных с абстрактным уравнением Лежандра.

В п. 2.1 рассматривается задача Коши для дифференциального уравнения Лежандра с тремя параметрами

u"(t) + 7к cth 7f u'(t) + 27g cth 27t u'(f)+

+ (y + 7?)2«W = M0. «>0, (11)

1

и(0) = ио, и'(0) = 0, (12)

где А 6 бо и С(£) — соответствующая КОФ.

Теорема 9. Пусть А е Со £ > 0, д > 0, тогда функция

_ 2^^Г(№ + 1)/2)Г((д + 1)/2) Ч) *Г((* + ?)/2)

х " ^(сЬ+

хаР, (*/2, 1 - 9/2; (к + д)/2; С(.)«о

является решением задачи (11), (12).

П. 2.2 посвящен исследованию задачи Дирихле для сингулярного уравнения. Под задачей Дирихле будем понимать задачу отыскания ограниченного решения уравнения

Л>(0 - = -АгоЦ), г > о,

удовлетворяющего граничному условию

(13)

Вначале устанавливается связь между решением задачи (13), (14) и решением начальной задачи

т/ф = А>(4), г;(0) = щ,

(15)

где оператор А — генератор Со-полугруппы, в частности, А 6 (7*.

Теорема 10. Пусть — ограниченное решение задачи (15), тогда при т<1 функция

2т-1^(2-т)/2 / ^ \ т/2

Г(1/2 - т/2) ^Ь ^

.(т-3)/2,

ехр

(р) ¿р.

(16)

является решением задачи Дирихле (13), (14).

Используя формулу (16) далее доказывается теорема, которую естественно назвать теоремой о регулярном возмущении, поскольку изменяется коэффициент при первой производной.

Теорема 11. Пусть А — генератор равномерно ограниченной Сд-полугруппы Г(1), т < 1, /> < /, тогда равномерно по [0,1о], О

Цт<(г) = ^(*),

где 11)^(1) — решение задачи (13), (14).

В п. 2.3 изучаются дифференциальные уравнения порядка2п > 2. Вначале рассматривается дифференциальное уравнение вида

(Ц - Á)nu(t) = A%u(t), t> О,

(17)

где АО принадлежит банахову пространству линейных ограниченных операторов В(Е), А € Сг^, с начальными условиями

Вид уравнения (17) позволяет установить корректную разрешимость задачи (17), (18) для уравнения высокого порядка, содержащего неограниченный оператор Л, что в общем случае невозможно. Для этого вводятся следующие обозначения: Еп - банахово пространство элементов и — (щ,...ип)Т (значок г означает транспонирование) с нормой

1=1

X - (хих2,...хп)т-, = и(г), и*(г) = (ьк- Л)и<_1(г),

Задачу (17), (18) запишем в виде

LlU(t) = (A{n) + Q)U(t), V(0)=X, U'(0) = 0.

(19)

(20)

Определение 3. Задача (17), (18) называется равномерно корректной, если в Еправномерно корректна задача (19), (20), т.е. Д, + Q £ Gl(En).

Теорема 12. Пусть А € Gl{E), оператор Aq € В{Е) такой, что область определения D(A) инвариантна относительно Aq, и на D(A) оператор А коммутирует с Aq, x¡ £ D(A) для i = 1,..., п. Тогда задача (17), (18) равномерно корректна, и при этом ее решение имеет вид

771 — 1,3,... ,2п—3, N - наименьшее натуральное число такое, что2Ы > к.

Далее в этом же пункте показывается, как ОФЛ может быть использована для построения решения дифференциального уравнения вида

М"

*>(«) = о, АеСГк(Е)

с классическими начальными условиями

го(0) = «/'(0) = ...= ™(2л-2)(0) = 0, и/2п"1>(0) = ш2п-1.

Установлено, что решением задачи (21), (22) служит функция

(21)

(22)

N - наименьшее натуральное число, такое, что 2М > к.

Дальнейшее исследование этого раздела посвящено изучению итерированного уравнения, в некотором смысле более общего, чем (17), а именно:

«=1

(23)

где > 0, Ai различные некоммутирующие операторы, принадлежащие множеству ,

Введя обозначения «!(<) = — (1/1^—А^ 1)и.-1(£) для г =

= 2,...п, будем искать решение уравнения (23), удовлетворяющее начальным условиям вида

гг,(0) = хи ^(0) = 0, г = 1,2,... п.

(24)

Теорема 13. Пусть для г = 1,2, ...п > 0 и Ai € Тогда существует единственное решение задачи (23), (24), и это решение представимо в виде

«(*) = РкА^А^хг + /ОММиАдР^Ь^хг Дх+ + //Я1(ииА1)д1(11,12,А2)Р1^2,А3)х3 <а2 Лх + ••• +

где при ф 1

Предполагается также, что х1 таковы, что определены все операторы, входящие в (25).

Заключительный раздел второй главы посвящен исследованию вопросов стабилизации решений уравнений первого порядка на основании интегральных представлений, записанных с помощью ОФЛ.

При исследовании стабилизации решений дифференциальных уравнений первого порядка в банаховом пространстве, в зависимости от рассматриваемой задачи, критерий стабилизации можно формулировать в терминах ОФБ Ук{Ь) или ОФЛ В п. 2.4 приводится формулируемое в терминах РЦ({)

необходимое и достаточное условие стабилизации решения уравнения

У(4)=ЛУ(0-Л(*, 7)т ¿>0, (26)

где А € СИ].. Решение задачи (26), (27) имеет вид

где

У ( s^sk-rsf 7

t/^rsj—te

2fc/2r((fe +1)/2)Vi ¿ ""^V AtJ 7 Vsh 7s

решение задачи

7 \*/2 j X

x((±JiylPmvo)ds

v'(í) = Av(t), v{0)=v0eD(A).

Теорема 14. Пусть A S Gl, n = fc/2 € ЛГ, /i(fc,7) = (7&/2)2, г>0 € P(A), sup |!РД*)11 < JW. Tosdalim V'(í) = 2 только в том случае, когда для любого

5 > 0 и для всех s таких, что ¡s| > 5

где ß = 7п/2.

Теорема 15. Пусть А € GJ, {к/2} ф 0, h{k,i) = 72([А;/2] + I)2, Щ е € sup || Ii — М. Тогда Ит V(t) = I только в том случае,

когда для любого 5 > 0 и для всех s таких, что |s| > 5

1 ßt*+st

dT =

>st

ßf

где 0 = 7([^/2] + 1).

В третьей главе изучается обратная задача для абстрактного уравнения Лежаидра. Под обратной задачей понимается задача определения функции и(г) е С2((0Д!),£) ПСНЕО, iil.fi) ПС((0,г1),£>(Л)) и параметра р € Е из условий

где /(¿) непрерывная на [0, функция со значениями в Е, непрерывная на [0,(1] скалярная функция, к > 0, 7 > 0.

В п. 3.1 исследуется, каким образом однозначная разрешимость задачи (28), (29) с переопределенными граничными условиями зависит от расположения спектра ограниченного оператора А и поведения функции: Получено необходимое и достаточное условие, при котором существует элемент р 6 Е

обеспечивающий возможность нахождения решения u(t) задачи (28), (29). В формулировке критерия однозначной разрешимости используется функция

где функция (т, z) явно выписывается в терминах операторной функции Лежандра Pk{t\,z).

Теорема 16 .Для того, чтобы задача (28), (29) при любых к > О, uo, Mi G Е, f £ С([0, ti],E) имела единственное решение, необходимой достаточно, чтобы на спектре оператора А не обращалась в нуль функция xl(z)i то есть, чтобы

xl(z)? о, 2€а(Л). (30)

В частном случае <p(t) = 1 условие (30) может быть конкретизировано. Теорема 17. Пусть к> 0 и ip(t) = 1. Для того, чтобы задача (28), (29) при любых U\€E, U0£ СЦО.^Я) имела единственноерешение, необходимо и достаточно, чтобы на спектре оператора А выполнялось условие

(31)

где функция P2{t\,z) определенаравенством

Например, если tp{t) = 1 и к — 2, то условие (31) может быть записано в виде

в ^-nV^slHt! J й

В случае неограниченного оператора Л, который рассматривается в п. 3.2 для случая указано только необходимое условие единственности

решения обратной задачи Коши

u"{t) + ~fkcthft u'(t) + (f) u(t) = Au(t) + f(t)+p, 0 < t < tu (32)

при этом на спектр оператора А не накладываются условия, обеспечивающие корректность прямой задачи.

-2 756

Теорема 18. Для того, чтобырешениезадачи (32), (33) было единственным, необходимо, чтобы ни один корень уравнения

не являлся собственным значением линейного замкнутого оператора А.

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему руководителю Глушаку А. В. за ценные замечания и обсуждение результатов работы.

Публикации по теме диссертации

1. Латынина М.А О задаче Коши для абстрактного уравнения Лежан-дра/ МА Латынина // Сб. статей аспирантов и студентов матем. фак-та ВГУ. - Воронеж, - 2000. - С. 24 - 28.

2. Латынина М.А. Задача Дирихле для одного абстрактного сингулярного уравнения/ М.А. Латынина // Сб. трудов молодых ученых матем. фак-та ВГУ. - Воронеж, - 2001. - С. 113 -118.

3. Латынина М.А О возмущении абстрактного уравнения Лежандра/ М.А Латынина // Труды матем. фак-та выпуск 5 (новая серия) - Воронеж, 2001. - С. 108 - 116.

4. Латынина М.А Дифференциальные свойства операторных функций Бесселя и Лежандра/ М.А Латынина // Вестник ВГУ. Серия физика, математика, - 2001, № 2. - С. ИЗ - 117.

5. Латынина М.А Критерий стабилизации решения задачи Коши для абстрактного дифференциального уравнения первого порядка/ М.А Латынина // Труды матем. фак-та выпуск 7 (новая серия) - Воронеж, 2002. - С. 77 -82.

6. Латынина МА Итерированная задача Коши с оператором Лежандра в банаховом пространстве/ М.А. Латынина // Вестник ВГУ. Серия физика, математика, - 2002, № 1. - С. 155 - 158.

7. Латынина М.А О задаче Коши для сингулярного итерированного уравнения/ М.А Латынина // В сб. Асимптотическое поведение решений уравнений матем. физики. - Воронеж. - ВГТУ. - С. 67 - 71..

8. Гончарова М.А О задаче определения параметра дифференциального уравнения Лежандра с ограниченным оператором/ М.А Гончарова. // Математические модели и операторные уравнения. - Т. 2. - Воронеж: ВорГУ, -2003. - С. 35 - 44.

Заказ № 56 от 27.01.2004 г. Тир. 100 экз. Лаборатория оперативной полиграфии ВГУ

Введение.

Глава I. Операторная функция Лежандра и ее свойства.

1.1. Абстрактное уравнение Лежандра и операторная функция Лежандра.

1.2. Дифференциальные свойства операторных функций Бесселя и Лежандра.

1.3. Возмущение абстрактного уравнения Лежандра оператором из G^

1.4. Возмущение абстрактного уравнения Лежандра ограниченным оператором.

1.5. Возмущение абстрактного уравнения Лежандра генератором соответствующей Со-груииы.

1.6. Сведение задачи о возмущении к задаче Коши для полного уравнения второго порядка

Глава II. Вопросы разрешимости и стабилизации абстрактных диффереициальиых уравнений, связанных с абстрактным уравнением Лежандра.

2.1. Задача Коши для дифференциального уравнения Лежандра с тремя параметрами.

2.2. Задача Дирихле для абстрактного сингулярного уравнения.

2.3. Итерированная задача Коши

2.4. Критерий стабилизации решения задачи Коши для абстрактного дифференциального уравнения первого порядка.

Глава III. Обратная задача для абстрактного уравнения

Лежандра.

3.1. Обратная задача для абстрактного уравнения Лежандра с ограниченным оператором.

3.2. Необходимое условие единственности решения обратной задачи для абстрактного уравнения Лежандра с неограниченным оператором.

Одним из современных направлений развития теории дифференциальных уравнений является изучение дифференциальных уравнений, решения которых — функции со значениями в произвольном банаховом пространстве. Это направление возникло на стыке теорий обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными и превратилось в большую самостоятельную область исследования.

Начало этой теории для уравнений первого порядка (подход, связанный с теорией полугрупп) положено работами Хилле и Иосиды в 1948 г. В настоящее время на русском языке имеется ряд монографий, излагающих теорию и применение линейных полугрупп [14, 17, 19, 21, 24, 48], а также обширные обзоры [3, 25, 36] научных публикаций, начиная с 19G8 года.

Параллельно с теорией полугрупп было начато изучение абстрактных косинус-функций и дифференциальных уравнений второго порядка в банаховом пространстве [3, 14].

Основные вопросы, подвергавшиеся исследованию, — это корректность задачи Коши (существование решения, его единственность и непрерывная зависимость от начальных условий), устойчивость но отношению к возмущениям операторов, поведение при t —► оо и т.д.

Известно, что задача Коши для дифференциального уравнения un(t) = Au{t), t > О равномерно корректна, если при п = 1 А — генератор Со-полугрупны, при п = 2 А — генератор косинус-оператор функции (КОФ), при п > 3 А — ограниченный оператор.

При рассмотрении ряда основных задач математической физики суще, ственную роль играет уравнение Лежандра о. cPw dw . ,ч которое после замены может быть записано в виде u"(t) + cth t u'(t) -v(u + l) u{t) = 0, и исследованием которого начали заниматься в начале двадцатого века параллельно с далеко развитой теорией уравнений Бесселя и Эйлера-Пуассона-Дарбу.

J. Аналогичная ситуация складывается и с соответствующими уравнениями в банаховом пространстве. В то время как абстрактное уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу u"(t) + -u'(t) = Au(t) t уже достаточно хорошо исследовано в работах [52-55, 4-6] и др., абстрактное уравнение Лежандра u"{t) + -ук cth 7t u'(t) + (у)2u(t) = Au{t) (1.1.1) сравнительно мало изучено.

Уравнение (1.1.1) в предположении, что А - оператор Бельтрами А2 в пространстве Sm постоянной кривизны а = —72 < 0 было изучено М.Н.Олевским в [38], где оно названо обобщенным волновым уравнением. Естественно было продолжить его изучение для случая, когда А - линейный замкнутый оператор.

Исследование абстрактного уравнения (1.1.1) было начато в работе [7], где исследовались свойства разрешающего оператора P^it) задачи Коши для абстрактного уравнения (1.1.1), названного абстрактным уравнением Лежандра с линейным неограниченным оператором А. Установлена его связь с разрешающим оператором Yk(t) задачи Коши для абстрактного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу и доказано совпадение множеств операторов Л, с которыми равномерно корректны задачи Коши для уравнения Лежандра и уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу.

Вопрос об изменении дифференциальных свойств с ростом параметра к в [7] не рассматривался. Исследования, посвященные решению указанной проблемы и ее применение для уточнения условий разрешимости неоднородного уравнения Лежандра, а также теория возмущения уравнения (1.1.1) составили содержание первой главы диссертации.

Опираясь на установленные свойства операторной функции Лежандра Pf!{t), в0 второй главе изучаются вопросы разрешимости, абстрактных дифференциальных уравнений, связанных с абстрактным уравнением Лежандра. В частности, рассмотрены задача Коши для уравнения Лежандра с тремя параметрами и итерированная задача Коши для сингулярного дифференциального уравнения высокого порядка, содержащего неограниченные операторы. Кроме того, в этой главе находится решение задачи Дирихле для сингулярного эллиптического уравнения.

Важным вопросом в теории дифференциальных уравнений, привлекающим многочисленных исследователей, является изучение вопросов стабилизации решений задачи Коши для параболических уравнений при t оо. Обзор публикаций по данной тематике можно найти в [18, 49]. Эти результаты формулируются в терминах усреднений начальной функции по пространственным переменным, взятым но телам, ограниченным поверхностями уровня фундаментального решения. Работа [43] положила начало исследованиям ио стабилизации решения уравнения теплопроводности в пространстве постоянной отрицательной кривизны. В [43] рассмотрено двумерное пространство постоянной отрицательной кривизны а = —72 < 0 и найдены необходимое и достаточное условия стабилизации решения уравнения теплопроводности u(t,%) для ограниченных начальных функций. В предельном случае, когда 7 = 0, эти условия совпадают с необходимым и достаточным условием стабилизации в евклидовой плоскости, однако, в случае —72 < 0 они различны.

В [41] получено необходимое и одновременно достаточное условие стабилизации решения уравнения теплопроводности в пространстве отрицательной кривизны любой размерности с помощью некоторых средних по шарам радиуса р с центром в точке х.

Во второй главе диссертации теоремы о стабилизации решения задачи Ко-ши для абстрактного дифференциального уравнения первого порядка формулируются в терминах операторной функции Лежандра что в применении к уравнениям в частных производных соответствует использованию вместо средних Пуассона других средних по пространственным переменным. Новые условия стабилизации решения задачи лучше приспособлены, например, к уравнению теплопроводности в случае, когда А - оператор Лапласа, записанный в координатах вытянутого эллипсоида, а также к уравнению теплопроводности в пространстве Sm отрицательной кривизны, равной (—72).

В заключительной третьей главе изучается задача определения параметра, которую, следуя сложившейся терминологии, будем называть также обратной задачей для абстрактного уравнения Лежандра. Устанавливаются условия однозначной разрешимости обратной задачи, содержащей ограниченный оператор. В случае неограниченного оператора приводится необходимое условие однозначной разрешимости обратной задачи.

Возвращаясь к обзору публикаций, заметим, что в каждом разделе будут еще приведены ссылки на работы, которые примыкают к теме диссертации.

Переходим к формулировке результатов диссертации, сохранив номера утверждений и формул, которыми они обозначены в основном тексте.

В первой главе в п. 1.1 вводится основополагающее для дальнейших исследований понятие операторной функции Лежандра, дающей решение задачи Коши для уравнения Лежандра.

Пусть А — линейный замкнутый оператор в банаховом пространстве Е с плотной в Е областью определения D(A). При к > 0, 7 > 0 рассматривается абстрактная задача Коши

Llu(t) = u"{t) + 7к cth 71 u'(t) + (у) u(t) = Au{t), t > 0, (1.1.1) u{0) = uQ, u'(0) = 0. (1.1.2)

Уравнение (1.1.1) следуя [7], будем называть абстрактным уравнением Ле-жандра. Параметр 7 > 0 введен для того, чтобы подчеркнуть, что уравнение

1.1.1) при 7 —> 0 превращается в абстрактное уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу (ЭПД)

Bku(t) = и"it) + ju'(t) = Au(t), t > 0, (1.1.3) с которым оно тесно связано и которое хорошо изучено (см.[4-6, 11, 12]). Определение 1.1.1. Решением задачи (1.1.1), (1.1.2) будем называть функцию u(t) в С2((0,00), Е) П Сх([0,00), Е) П С((0,00), D(A)), которая удовлетворяет уравнению (1.1.1) и начальным условиям (1.1.2). Определение 1.1.2. Задача Коши (1.1.1), (1.1.2) ((1.1.3), (1.1.2)) называется равномерно корректной, если существует заданная на Е, коммутирующая с А операторная функция Pk{t) (Yfc(£)) и числа М > 1, и > О такие, что для любого щ 6 D(A) функция Рк(Ь)щ (Ук^)щ) является ее единственным решением, и при этом

11^(0 ||<МсхрМ), (1.1.4)

II Yk(t) ||< Мехр (иЛ)). (1.1.5)

Операторную функцию Pk(t) (Yk(t)) назовем операторной функцией Ле-жандра ( в дальнейшем ОФЛ) (операторной функцией Бесселя ( в дальнейшем ОФБ)), а множество операторов А, для которых задача (1.1.1), (1.1.2) ((1.1.3), (1.1.2)) равномерно корректна, обозначим через GJ (Gk).

Обозначим также через Gо = Gq множество генераторов косинус оператор-функций ( в дальнейшем КОФ).

Далее в и. 1.1 перечисляются доказанные ранее утверждения и формулировки теорем, которые используются в дальнейшем изложении. Приводятся теоремы о сдвиге по параметру для задачи (1.1.1), (1.1.2) ((1.1.3), (1.1.2)), согласно которым, если известно решение задачи (1.1.1), (1.1.2) ((1.1.3),

1.1.2)) при некотором к > 0, то можно получить решение задачи (1.1.1), (1.1.2) ((1.1.3), (1.1.2)) при значении параметра т > к. Указаны формулы для построения решения задачи (1.1.1), (1.1.2) прит < но в случае т < к разрешающий оператор задачи Коши P^(t) уже не будет, вообще говоря, принадлежать пространству линейных ограниченных операторов из Е в Е.

Также приводятся формулы, выражающие операторную функцию Лежан-дра через операторную функцию Бесселя и формула для решения неоднородной задачи Коши u"{t) + 7т cth 71 v!{t) + u{t) = Au{t) + /(£), 0 < t < tu (1.1.22) u(0) = 0, Vim(~^yu'(t)=0. (1.1.23)

При решении неоднородной задачи важно знать, области определения какой степени оператора А € GJ. должна принадлежать функция /(£), чтобы можно было использовать формулу для решения такой задачи

-Plit) j S±JLplm(r)f(r) drl . (1.1.21)

0 7 / Поскольку в формуле (1.1.21) при га 6 (2 — к, к) присутствуют неограниченные операторы, то возникла необходимость изучения дифференциальных свойств ОФЛ P^{t), если А £ GJ., то есть оператор А = А(к) таков, что с ним равномерно корректна задача (1.1.1), (1.1.2). щ Сначала, основываясь на теореме о сдвиге по параметру для ОФБ исследуется, как изменяются дифференциальные свойства ОФБ Ym(t) с ростом параметра т. Отметим,что в частном случае А Е Go аналогичная задача исследовалась ранее в [39].

Теорема 1.2.1. Пусть А £ Gfc, щ € Е, т > к > 0, тогда функция Ym(t)uo будет п = [(т — к)/2] раз непрерывно дифференцируема при t > 0, причем справедлива ог^енка Mt~jcxp(ojt)\\uQ\\, j = 0,l,.n. (1.2.1)

§jYm(t)uo

Теорема 1.2.2. Пусть А £ Gk, т> к, г £ N, тогда операторная функция Бесселя Ym(t) переводит область определения D(Ar) в

Используя теорему 1.2.1 и формулы связи между операторной функцией Лежандра и операторной функцией Бесселя, затем исследуется изменение с ростом параметра т дифференциальных свойств и ОФЛ P^(t). Теорема 1.2.3. Пусть А £ Gl, щ £ Е, т > к > 0, тогда P^(t)u0 будет п = [(га — к)/2] раз непрерывно дифференцируема при t > 0, причем справедлива оценка. Mt jexp(u>t)\\u0\\, j = 0,1,.п.

1.2.9)

Теорема 1.2.4. Пусть A £ G1, т > k, г € N, тогда операторная функция Лео/сандра (ОФЛ) P^{t) переводит область определения D{Ar) в

Е)(Дг+[(т-к)/4}у

Используя теорему 1.2.4 можно указать конкретную степень п оператора, позволяющую использовать формулу (1.1.21) для решения неоднородной задачи Коши.

Теорема 1.2.5. Пусть т> к, п = [iV/2] + 2 — [(m — к)/4], если 2 — т < к и п = 1, если 2 — т > к, N — наименьшее натуральное число, такое, что 2N + 2 — т > к. Тогда, определяемая формулой (1.1.21) функция u(t) является единственным решением задачи (1.1.22), (1.1.23). Аналогичная теорема доказывается для случая т < к. В первой главе наряду с дифференциальными свойствами исследуются также вопросы сохранения свойства равномерной корректности задачи Коши для уравнения Лежандра при возмущении оператора А. В п. 1.3 оператор, порождающий ОФЛ, возмущается "подобным" себе, в п. 1.4 — ограниченным оператором, а в п. 1.5 — генератором соответствующей Со-группы (то есть оператор В2 возмущается оператором аВ).

Теорема 1.3.2. Пусть для некоторого к > О А\ € G)А2 £ при т > к + 1, Pj?(t, Л1) и P?nki(t, А2) коммутируют на D = D(A{) П D(A2), D = Е. Тогда замыкание оператора А\ + Ai принадлеэ/сит G

Представление для ОФЛ Р^(t, А\ + А2) ввиду его громоздкости выписывать не будем. В дальнейшем приведем его в частных случаях, когда Аг — ограниченный оператор или А2 — генератор сильно непрерывной группы.

В следующей теореме через В(Е) обозначено пространство линейных ограниченных операторов из Е в Е.

Теорема 1.4.1. Пусть для некоторого к > О А\ £ Gj.tA2 € В(Е), P^(t,Ai) и А2 коммутируют. Тогда А\ + А2 £ G^ для любого q > к и при этом l)m2fc/2-^-1r((A; + 1)/2) fsh 7Г 1fe m. л,+А2)Щ=At* + >r{m+1/2Дt/2) * xM i РгГ fei)m m A2)pl(v' Ai)u° dy< где m - наименьшее целое число такое, что 2т > к, р (t у.м) = ? 4 ^х2Ш dT

J-i(t,y,A2) L.o22la{i + 1y J у 72 j X ax, a P^(t,Ai + A2) при q > к определяется через Pk(t,Ai + A2) no формуле сдвига no параметру, записанной для А = А\ + А2.

Теорема 1.5.2. Пусть к > О, А = В2 + аВ + с/, В — генератор сильно непрерывной группыТ(Ь, В) класса Со. Тогда A £ G], и операторная функция Jleoicandpa имеет вид тГ1, . 2к'Ч /sh 'ft\l~k } /ch 7t - ch -jts^''2'1 „ , , ,

A)U° = В(ЩТ75) ("Г") I ( ) B(k/2,1/2) br) / Ч)«о Л», где

Ca(t) = C(t, В + a/2 /) = 1/2 (exp(-at/2)T(-t, B) + exp(ai/2)T(£, 5)), j h(Wt2s2 - T]2) (ch 71 - ch 7ts^2-1 Ф mi , ^ Г hiWtW - rf*) (ch >yt - ch 7ts^2'1 , c ,-j-r

Кроме того, в п. 1.6 показано, что в некоторых случаях задача о возмущении неограниченным оператором может быть сведена к исследованию равномерной корректности задачи Коши для полного уравнения второго порядка.

Вторая глава посвящена исследованию вопросов разрешимости и стабилизации абстрактных дифференциальных уравнений, связанных с абстрактным уравнением Лежандра.

В и. 2.1 рассматривается задача Коши для дифференциального уравнения Лежандра с тремя параметрами

Lltqu(t) = и"{t) + 7& cth 71 u'{t) + 27q cth 271 u'(t)+ (? + 7<7) uW=Au(t), t>0, (2.1.1) u(0) = w0, K'(0) = 0, (2.1.2) где к > 0, q > 0, A e G0.

Введем в рассмотрение операторы

2fc/2r((fe4-1)/2) /sh7*y-*7 7 d\~k'2 7 (t> л ^

Mk'°~ \~) vshTtJt) (2Л-3) 2«r((g + l)/2) /sh Trfl}1-* ( 7 d \~q/2 7

0F l~T~) Uh2Ttdi) shWt' ( J с помощью которых строится решение задачи (2.1.1), (2.1.2).

Теорема 2.1.5. Пусть А € Go, C(t) — соответствующая КОФ, к > 0, q > 0, тогда функция м = ^ ЩоРт = 2^+fc)/2~1r((fe + 1)/2)Г((д + 1)/2) ТГГ((л + 9)/2) X sh -rt\~k fsh 2-?t\1-q } /ch 71 - ch 7s\t^/2"1 / , i W2 .

X( 7 ) ( 7 ) /( 72 ) (ch 7s -f ch x x2F, (Л/2,1 - g/2; (k + g)/2; ОДг* ds является решением задачи (2.1.1), (2.1.2).

П. 2.2 посвящен исследованию задачи Дирихле для сингулярного уравнения. Под задачей Дирихле будем понимать задачу отыскания ограниченного решения уравнения

Л>(*) - 9l(t)w(t) = -Aw(t), t > 0, (2.2.1) удовлетворяющего граничным условиям

ЦО) = -шо е D(A), sup \\w{t)\\ < М, (2.2.2) t€[0;oo) где 7 > 0, т < 1,

Alu(t) = u"{t) + 7m cth 71 u\t), gl(t) ее (^f^) •

Вначале устанавливается связь между решением задачи (2.2.1), (2.2.2) и решением начальной задачи v'(t) = Av{t), v(0) = w0, (2.2.3) где оператор А — генератор Co-полугруппы. В частности, если A G G]., то решение задачи (2.2.1), (2.2.2) можно выразить, через решение задачи (2.2.3). Теорема 2.2.1. Пусть v(t) — ограниченное решение задачи (2.2.3), тогда при т < 1 функция птп-П{2-т)/2 / Ч т/2 ор / /2 \ является решением задачи Дирихле (2.2.1), (2.2.2).

Используя формулу (2.2.5) далее доказывается теорема, которую естественно назвать теоремой о регулярном возмущении, поскольку изменяется коэффициент при первой производной.

Теорема 2.2.2. Пусть А — генератор равномерно ограниченной полугруппы T(t), т < 1, р < 1, тогда равномерно note [0, to], to > О m = 11 где w^it) — решение задачи (2.2.1), (2.2.2).

Аналогичная теорема справедлива и для предельного случая 7 —> 0. Теорема 2.2.3. Пусть выполнены условия теоремы 2.2.2, тогда равномерно note [0,t0], t0>0

Ит wm(t) = wp(t), где wm(t) — решение задачи тп w"(t) + — w'(t) = —Aw(t), t > 0, О w(0) =w0e D(A), sup IHOII < M. te[Q\oo)

В п. 2.3 изучаются дифференциальные уравнения порядка2п > 2. Вначале рассматривается дифференциальное уравнение вида

Ll-A)nu{t) = An0u{t), t> 0, (2.3.1) где Aq принадлежит банахову пространству линейных ограниченных операторов В(Е), А е GJ. с начальными условиями lim(Ц - A)ju(t) = xj+u lim((LZ - Л)М*))' = 0, 0 < j < n - 1. (2.3.2)

Определение 2.3.1. Решением уравнения (2.3.1) называется функцияи(t), для которой при j = 0,1,., n — 1 выполняются условия (L^ —A)Ju(f) е G C(R+, D(A)) ПС2(Я+, Е) и которая удовлетворяет этому уравнению при t > 0.

Вид уравнения (2.3.1) и начальных условий (2.3.2) позволяет установить корректную разрешимость задачи (2.3.1), (2.3.2) для итерированного уравнения высокого порядка, содержащего неограниченный оператор А, что в случае задачи Коши для уравнения и^ = Аи невозможно. Для этого введем следующие обозначения. Пусть Еп - банахово пространство элементов U = (щ,. .ип)Т (значок т означает транспонирование) с нормой \\\U\\\ = Е|Ы|; X = (xux2,.xn)T-,u1(t) = u(t), Ui(t) = (Ц г=1

А 0 0 . (0 1 0 . . 0\

А(п) = 0 А 0 . 0 , Q - 0 0 1 . . 0

1° 0 0 0 А) ЛП \ ло 0 0 . . о)

Учитывая введенные обозначения, задачу (2.3.1), (2.3.2) можно записать в виде

LlU{t) = {A[n) + Q)U{t), (2.3.3)

U{0) = X, U'{0) = 0, (2.3.4) при этом, если U(t) — решение задачи (2.3.3), (2.3.4), то u(t) = щ({) — решение задачи (2.3.1), (2.3.2).

Определение 2.3.2. Задача (2.3.1), (2.3.2) называется равномерно корректной, если в Еп равномерно корректна задача (2.3.3), (2.3.4), т.е. если Л(п) + Q £ G].(En).

Теорема 2.3.1. Пусть A G СРк{Е), оператор Ао е В{Е) такой, что область определения D{A) инвариантна относительно Aq, и на D(A) оператор А коммутирует с Ао, Х{ G D(A) для i = 1 ,.,п. Тогда задача (2.3.1), (2.3.2) равномерно корректна, и при этом ее решение имеет вид u(t) - PVt Л)х, + (-1)"2^-"-'Г№+1)/2) /ehTty-* хО (±Ж\ r2i.r Ап f- «.»)

1\ 7 J Vsh vjdyl I о ^ 2'-'("J+"-D(nj + п - 1)!Г(гу + п + 1) x^fa.Л)*, + ЕЕ№2 + if^'ЛЧ

2.3.5) гс?е

2,m(t,y) = s2„j+m m = 1,3,., 2n—3, /V - наименьшее натуральное число такое, что 2N > к.

Далее в этом же пункте показывается, как ОФЛ Рк (t) может быть использована для построения решения дифференциального уравнения вида А)П W{t) = (2-3-9) с классическими начальными условиями w(0) = w'{0) = . = w^n~2\0) = 0, и/2""1^) = w2n-i. (2.3.10) Установлено, что решением задачи (2.3.9), (2.3.10) служит функция

W 22"-3((п - 1)!)2(27V - 1)!!

- / (iirV^)"1 ((t2 - (^)2iV

N - наименьшее натуральное число, такое, что 2N > к.

Дальнейшее исследование этого раздела посвящено изучению итерированного уравнения, в некотором смысле более общего, чем (2.3.1), а именно f[(Ll-Ai)u(t)=0, t> О, (2.3.15) г=1 где к{ > 0, Ai — различные некоммутирующие операторы, принадлежащие множеству Gfc., т-ч d2 , d /7 кЛ2

Введя обозначения u\(t) = u(t), щ(Ь) = (Li — Ai-\)ui-\(t) для i = 2,.п, будем искать решение уравнения (2.3.15), удовлетворяющее начальным условиям вида

Ui(0) = хи u-(0) = 0, г = 1,2,. п. (2.3.16)

Теорема 2.3.2. Пусть для i = 1,2, .п кг > 0 и Ai G СРк. Тогда существует единственное решение задачи (2.3.15), (2.3.16), и это решение представимо в виде t u(t) = Pl&AJx! + JQl(t,tuAl)Pl(tuA2)x2 dti+ 0 tu JJQl(t,tl,Al)Ql(tut2,A2)Pl(t2,A3)x3 dt2 Л1 + .+ 00 tt! tn-2 //••• / Qi(t,tbAi)QL(h^2,A2)-'-Qll(tn-2,tn-UAn.l)x 00 0 xP/JVi, An)xn dtn-i dtn—2 • •' dt\, (2.3.17) где при ki 1

QZ(f,r,4) = Аг)Р?(т, Ai) - ±21p?(t,Ai)Zl(T,Ai),

7 7

37(r, i4i) = ^ /(ah 7i - sh ту)-* In

7Г ^ 7 Sh 7С

Предполагается также, что xi таковы, что определены все операторы, входящие в (2.3.17).

Заключительный раздел второй главы посвящен исследованию вопросов стабилизации решений уравнений первого порядка на основании интегральных представлений, записанных с иомощыо ОФЛ.

При исследовании стабилизации решений дифференциальных уравнений первого порядка в банаховом пространстве, в зависимости от рассматриваемой задачи, критерий стабилизации можно формулировать в терминах ОФБ Yk(t) или ОФЛ Pk(t) (см. [8] и имеющуюся там библиографию). Так в [8] в терминах PjJ(t) формулируется как необходимое, так и достаточное условие стабилизации решения задачи

V'(t) = AV(t) - h(k,f)V(t), t > 0, (2.4.1)

V(t) = vo, (2.4.2) но эти условия не совпадают. В п. 2.4 приводится формулируемое в терминах PfJ(t) условие, которое является одновременно и необходимым, и достаточным условием стабилизации.

Решение задачи (2.4.1), (2.4.2) имеет вид

V(t)=exp(-th(k:j))v(t), где m - 1 ? (Л sh7£ (j\k/2

2Wr((k+l)/2)Vt rXI>{ At) 7 U17J X 0 х((тГНл решение задачи v'{t) = Av{t), v(0) = vQ G D{A).

Теорема 2.4.1. Пустъ A e GJk, n = k/2 € Nt h(k, 7) = {<yk/2)2 , v0 e D(A), sup ||.Pj(£)|| — M. Тогда lim V(t) = l только в том случае, когда для любого f>o t-> 00

6 > 0 и для всех s таких, что |s| > 6

1 j3t2+st

Й2, т* I p^t)vo dT = (2-4'4) st (3t* где (3 = 771/2.

Теорема 2.4.2. Пусть А е (Pk, {к/2} ^ 0, h(k, 7) = 12([к/2) + I)2, г;0 € D(A), sup 11-^2^/2]+2(Oil ^ M. Тогда lim V(t) = l только в том случае, когда для любого S > О и для всех s таких, что |s| > S

J pt2+st PW2]+2(r)vodr = l, гдеР = 1{[к/2} + 1).

В третьей главе изучается обратная задача для абстрактного уравнения Лежандра. Под обратной задачей понимается задача определения функции u(t) е c2((0,£i],£) П Cl([Q,ti],E) П C{($,ti),D{A)) и параметра р е Е из условий v!'{t)+^kct\\^tu'{t)+{^j u(t) = Au(t) + f(t) + (p(t)p, 0 <t <tu (3.1.2) u{0) = u0, u{ti) = щ, u'(0) = 0, (3.1.3) где f(t) непрерывная на [0, функция со значениями в Е, ip(t) непрерывная на [0, ti] скалярная функция, к > 0, 7 > 0.

В п. 3.1 исследуется, каким образом однозначная разрешимость задачи (3.1.2), (3.1.3) с переопределенными граничными условиями зависит от расположения спектра ограниченного оператора А и поведения функции y>(t). Получено необходимое и достаточное условие, при котором существует элемент р £ Е обеспечивающий возможность нахождения решения u(t) задачи (3.1.2), (3.1.3).

Введем в рассмотрение функцию xl(z)=JS2(T,zMr)dr, о где для к Ф 2п + 1, п £ N, для к = 2п + 1, п £ N, для к = 1

S1(t,z) = (ziituzWfaz) - Z?(T,z)P?(ti,*)) ■

При этом, для к > О О для к > 2, к ф 2п + 1, п G N,

Z) = (3-Л)(5-Л).-(а-1) sh7£\fc-1/ 7 d\m (/sh 7^4 г) = ЩкЩЩ I 7 j 5(2i)I I^-^J ** X

7 / \sh 7tdty где m — наименьшее натуральное число такое, что а = 2т + 2 — к > 0; для к > 2, к = 2п + 1, п е N

P2-k&z) - 2n1(n 1}, j [^-tJt) Z, (f, г). Наконец,

Zl(t, Z) =^ /(ch 7t - ch 7г/Г'/2,п 2(ch7t -ch7y)eh ^

7Г ^ 7 sh

Теорема 3.1.1. Для того, чтобы задача (3.1.2), (3.1.3) при любых к > 0, щ, Щ £ Е, f Е С([0, ti],E) имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы на спектре оператора А не обращалась в нуль функция xliz)) то есть, чтобы

Xl(z) ф 0, г е а(А). (3.1.10)

В частном случае <p(t) = 1 условие (3.1.10) может быть конкретизировано. Теорема 3.1.2. Пусть к > 0 и ip{t) = 1. Для того, чтобы задача (3.1.1), (3.1.2) при любых щ, щ € Е, f G C([0,ti], Е) имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы на спектре оператора А выполнялось условие

--l—j^ft, Z) - 1) ф 0, г € о(А). (3.1.19) г - (7&/2)

Например, если (p(t) = 1 и к — 2, то условие (3.1.10) может быть записано в виде

В случае неограниченного оператора А, который рассматривается в п. 3.2 для случая (p(t) = 1 указано только необходимое условие единственности решения обратной задачи u"(t)+-ук cth yt u'(t) + ^у) u(t) = Au{t) + f(t)+p, 0 <t<th (3.2.2) u{0) = u0, u(ti) = m, u'{0) = 0, (3.2.3)

При этом на спектр оператора Л не накладываются условия, обеспечивающие корректность прямой задачи.

Теорема 3.2.1 .Для того, чтобы решение задачи (3.2.2), (3.2.3) было единственным, необходимо, чтобы ни один корень zj уравнения 1

7*/2)' не являлся собственным значением линейного замкнутого оператора А.

Основные результаты диссертации докладывались на конференциях "Пон-трягипские чтения XII, XIII"(Воронеж, 2001, 2002), в Зимней математической школе (Воронеж, 2002), на международной конференции по функциональному анализу (Воронеж, 2003), на семинарах кафедры уравнений с частными производными и теории вероятностей ВГУ (2000 - 2003), семинарах проф. Репникова В.Д.(2000 - 2003 г.г.), проф. Баскакова А.Г. в 2003 г., па семинаре кафедры математического анализа и теории функций УрГУ в 2004 г. и опубликованы в [15, 26-32],

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему руководителю Глушаку А.В. за ценные замечания и обсуждение результатов работы.

1. Бейтмен Г. Высшие трансцендентные функции/ Г. Бейтмен, А.Эрдейи. - М.: Наука, 1967. - Т. 3. - 299 с.

2. Бронштейн И.Н. Справочник по математике для uuoicenepoe и учащихся ВТУЗов/ И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев М.:Наука, 1980. - 976 с.

3. Васильев В.В. Полугруппы операторов, косинус оператор — функции и линейные дифференциальные уравнения/ В.В. Васильев, С.Г. Крейн, С.И. Пискарев // Математический анализ. М., 1990. - С. 87 - 102. - (Итоги науки и техники / ВИНИТИ; Т.28).

4. Глушак А.В. О возмущении абстрактного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу/ А.В. Глушак // Мат. заметки. 1996. - Т. 60, № 3. - С. 363 - 369.

5. Глушак А.В. Операторная функция Бесселя/ А.В. Глушак // Докл.РАН. 1997. - Т.352, № 5. - С. 587 - 589.

6. Глушак А.В. Операторная функция Бесселя и связанные с нею полугруппы и модифицированное преобразование Гильберта/ А.В. Глушак // Диф. уравнения. 1999. - Т.35, № 1. - С. 128 - 130.

7. Глушак А.В. Операторная (функция Лежандра/ А.В. Глушак // Изв. РАН. Сер. мат. 2001 - Т. 65, № 6. - С. 3 - 14.

8. Глушак А.В. О стабилизации решения задачи Коши для абстрактного дифференциального уравнения первого порядка/ А.В. Глушак // Изв. ВУЗов. Математика. 2001. - № 11. - С. 3 - 13.

9. Глушак А.В. О стабилизации решения задачи Дирихле для одного эллиптического уравнения в банаховом пространстве/ А.В. Глушак // Диф. уравнения. 1997. - Т. 33, № 4. - С. 433 - 437.

10. Глушак А.В. Задача определения параметра абстрактного дифференциального уравнения высокого порядка/ А.В. Глушак, В.А. Попова // Тр. Мат. фак. Воронеж.ун-та. Нов. сер. -2002.- Вып. 5 С. 34 - 42.

11. Глушак А.В. Об одной сингулярной абстрактной задаче Коши/ А.В. Глушак, В.И. Конопенко, С.Д. Шмулевич // Изв.ВУЗов. Математика. -1986. № 6. - С. 55 - 56.

12. Глушак А.В. Интегральные представления решений одного сингулярного уравнения, содероюащего сумму коммутирующих операторов/ А.В. Глушак, С.Д. Шмулевич // Диф. уравнения. 1992. - Т. 28, № 5. - С. 831

13. Глушак А.В. Операторная функция Бесселя, интегральные представления и вопросы стабилизации решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве: Дис. физ.-мат. наук / А.В. Глушак. Воронеж, 1997. - 226 с.

14. Голдстейн Дж. Полугруппы линейных операторов и их прилоо/сения/ Дж. Голдстейн. Пер. с анг. В.В. Любашенко; Под ред. Ю.Л.Далецкого. -К.: Выща шк., 1989. 347 с: ил.

15. Гончарова М.А. О задаче определения параметра дифференциального уравнения Лежандра с ограниченным оператором) М.А. Гончарова. // Математические модели и операторные уравнения. Воронеж, - 2003. -Т. 2. - С. 35 - 44.

16. Грабовская Р.Я. О косинус операторной функции, порожденной суммой двух коммутирующих операторов/ Р.Я. Грабовская, В.И. Кононенко; Воронеж, лесотехн. ин-т. Воронеж, 1983. - 6 с. - Ден. ВИНИТИ 8.02.1984, № 783 - 84.

17. Данфорд Н. Линейные операторы. Общая теория/ Н.Данфорд, Дж.Т. Шварц. М.: Изд-во иностр. лит., 1962. - 895 с.

18. Денисов В.Н. О стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений/ В.Н. Денисов, В.Д. Репников // Диф.уравнения. 1984.- Т. 20, № 1. С. 20 - 41.

19. Иванов В.К. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи/ В.К. Иванов, И.В. Мельникова, А.И. Филинков. М.: Наука, 1993 - 238 с.

20. Катрахов В.В. Композиционный метод построения В-эллиптических, В-гиперболических и В-параболических операторов преобразования/ В.В. Катрахов, С.М. Ситник // Докл. РАН. 1994. - Т. 337, № 3. - С. 307 - 311.

21. Като Т. Теория возмущений линейных операторов/ Т. Като М.:Мир, 1972. - 740с.

22. Киприянов И.А. Уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу в римановом пространстве/ И.А. Киприянов, Л.А. Иванов // Докл. АН СССР. 1981. Т. 260, № 4. - С. 790 - 794.

23. Кононенко В.И. Операторы преобразования, связанные с дифференциальным оператором Якоби/ В.И. Кононенко, Л.А. Хинкис; Воронеж, ун-т. Воронеж, 1989. - 89 с. - Деп. в ВИНИТИ 13.03.89. N 1604.

24. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве/ С.Г. Крейн. М.:Наука, 1967. - 184 с.

25. Крейн С.Г .Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве/С.Г. Крейн, М.И. Хазан // Матем. анализ. М., 1990. - №21. - С. 130 -264. - (Итоги науки и техники / ВИНИТИ; Т. 21).

26. Латынина М.А. О задаче Коши для абстрактного уравнения Лежандра/ М.А. Латынина // Сборник статей аспирантов и студентов/ Мат. фак. ВГУ. Воронеж, - 2000. - С. 24 - 28.

27. Латынина М.А. Задача Дирихле для одного абстрактного сингулярного уравнения/ М.А. Латынина // Сборник трудов молодых ученых / Мат. фак. ВГУ. Воронеж, 2001. - С. 113 - 118.

28. Латынина М.А. О возмущении абстрактного уравнения Леоюаидра/ М.А. Латынина // Тр. мат. фак. Воронеж, ун-та. Нов.Сер. 2001. - Выи. 5. - С. 108 - 116.

29. Латынина М.А. Дифференциальные свойства операторных функций Бесселя и Лежандра/ М.А. Латынина // Вестн. Воронеж, гос. ун-та. Сер. Физика, математика. 2001. - № 2. - С. ИЗ - 117.

30. Латынина М.А. Критерий стабилизации решения задачи Коши для абстрактного дифференциального уравнения первого порядка/ М.А. Латынина // Тр. мат. фак. Воронеж, ун-та. Нов.Сер. 2002. - Вып. 7. -С. 77 - 82.

31. Латынина М.А. Итерированная задача Коши с оператором Леэюап-дра в банаховом пространстве/ М.А. Латынина // Вестн. Воронеж, гос. ун-та. Сер. Физика, математика. 2002. - № 1. - С. 155 - 158.

32. Латынина М.А. О задаче Коши для сингулярного итерированного уравнения/ М.А. Латынина // Асимптотическое поведение решений уравнений матем. физики. Воронеж, 2002. - С. 67 - 71.

33. Мельникова И.В. Семейство М, N — оператор-функций и уравнения второго порядка в банаховом пространстве/ И.В. Мельникова // Изв. ВУЗов. Математика. 1985. - № 2. - С. 45 - 52.

34. Мельникова И.В. Теорема типа Миядера-Феллера-Филлипса для полного уравнения второго порядка в банаховом пространстве/ И.В. Мельникова // Изв. ВУЗов. Математика. 1985. - № 4. - С. 34.

35. Мельникова И.В. Классификация и корректность задачи Коши для уравнений второго порядка в банаховом пространстве/ И.В. Мельникова, А.И. Филиппов // Докл.АН СССР. 1984. Т. 276, № 5. - С. 46.

36. Мельникова И.В. Интегрированные полугруппы и С-полугруппы. Корректность и регуляризация дифференциально-операторных задач/ И.В. Мельникова, А.И. Филинков // Успехи математических наук. 1994. Т. 49, Вып. 6 (300) - С.112 - 150.

37. Олевский М.Н. Задача Коши для итерированного дифференциального уравнения/ М.Н. Олевский // Докл.АН СССР. 1963. - Т. 148, J№ 5. - С.1026 1029.

38. Олевский М.Н. О связях между решениями обобщенного волнового уравнения теплопроводности/ М.Н. Олевский // Докл.АН СССР. 1995.- Т. 101, N 1. С. 21 - 24.

39. Орлов В.П. О слабо выроэюдающихся гиперболических уравнениях/ В.П. Орлов // Диф.уравнения. 2003. - Т.39, № 10. - С.1409 - 1419.

40. Орловский Д.Г. К задаче определения параметра эволюционного уравнения/ Д.Г. Орловский // Диф.уравнения. 1990. - Т. 26, № 9. - С. 1614 - 1621.

41. Погорелов Ю.В. Критерий стабилизации решения задачи Коши для уравнения теплопроводности в пространстве Больаи-Лобачевского/ Ю.В. Погорелов, В.Д.Ренников // Диф.уравнения. 2003. Т.39, № 12. - С. 245 - 246.

42. Прудников А.П. Интегралы и ряды. Специальные функции/ А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. М.: Наука., 1983. - 752 с.

43. Репников В. Д. О стабилизации решения задачи Коши в пространстве Больаи-Лобачевского/ В. Д. Ренников // Диф. уравнения. 2002. -Т. 38, № 2. - С. 262 - 270.

44. Самко С.Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения/ С.Г. Самко, А.А. Килбас, О.И. Маричев. Минск.: Наука и техника, 1987. - 688 с.

45. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики/ А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. М.: Наука, - 1977. - 736 с.

46. Тихонов И.В. Обратная задача для дифференциального уравнения в банаховом пространстве и распределение нулей целой функции типа Миттаг-Леффлера/ И.В. Тихонов, Ю.С. Эйдельман // Диф. уравнения.- 2002. Т. 38, № 5 - С. 637 - 644.

47. Хелгасон С. Группы и геометрический анализ/ С. Хелгасон. М.: Мир, - 1987. - 735 с.

48. Хилле Э. Функциональный анализ и полугруппы/ Э. Хилле, Р. Филлипс. М.: Иностр. лит., 1962. - 829 с.

49. Эйдельман С.Д. Параболические уравнения/ С.Д. Эйдельман // Современные проблемы математики. М., 1990. - С. 201 - 313. - (Итоги науки и техники; Т. 63).

50. Ярославцева В.Я. Об одном классе операторов преобразования и их приложениях к дифференциальным уравнениям/ В.Я. Ярославцева // Докл. СССР. 1976. - Т. 227, № 4. - С. 816 - 819.

51. Bragg L.R. Some abstract Cauchy problems in exceptional cases/ L.R. Bragg // Proc. Amer. Math. Soc. 1977. - Vol. 65, № 1. - P. 105 - 112.

52. Carrol R.W., Showalter R.E. Singular and degenerate Cauchy problems/ R.W. Carrol, R.E. Showalter. Academic Press. № 4. - 1976. - 333 p.

53. Donaldson J.A. A singular abstract Cauchy problems/ J.A. Donaldson // Proc. Nat. Acad. Sci. 1970. - Vol. 66, № 2. - P. 269 - 274.

54. Donaldson J.A. New integral representation for solution of Cauchy's problem for abstract parabolic equations/ J.A. Donaldson // Proc. Math. Acad. Sci USA. 1971. - Vol. 68, № 9. - P. 2025 - 2027.

55. Fattorini И.О. On the growth of solutions to second order differential equations in Banach spaces/ H.O. Fattorini // Proc.Roy.Soc.Edinburgh. -1985. Vol.101 A, № 3 - 4. - C.237 - 252.V