Эффективный лагранжиан и поляризация вакуума в двумерных калибровочных теориях поля тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. ДВУМЕРНЫЕ КАЛИБРОВОЧНЫЕ МОДЕЛИ В КВАНТОВОЙ

ТЕОРИИ ШЛЯ

Глава II. МЕТОД РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ В ДВУМЕРНОЙ

ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ ШВИНГЕРА.

2*1* Ренормализационная группа в квантовой теории поля.

2*2. Вычисление фермионного лропагатора в теории возмущений до ос

2.3. Решения уравнений ренормгруппы для пропагаторов в модели Швингера.

2*4* Сравнение с точными решениями для пропагаторов

Глава III. ДВУМЕРНАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА С АНОМАЛЬНЫМ

МАГНИТНЫМ МОМЕНТОМ

3.1. Эффективный лагранжиан и регуляризация методом дзета - функции.

3.2. Эффективное действие дираковской частицы в однородном электромагнитном поле / четырехмерный случай /.

3.3. Эффективный лагранжиан двумерной электродинамики с аномальным магнитным моментом

Глава Н . ПОЛЯРИЗАЦИЯ ВАКУУМА ДВУМЕРНОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ

В ПОЛЕ ДВУХ ВНЕШНИХ ЗАРЯДОВ

4.1. Вычисление функционального детерминанта

4.2. Безмассовый случай.

4.3. Случай ненулевой массы.

Калибровочные теории поля составляют в настоящее , время фундамент для построенияг теории -слабых, электромагниашыхя сильных взаимодействий элементарных частиц.- Теория «ашктрог слабых взаимодействий Вайнберга -балама /"83]• ,/?б/получила-в последние годы блестящее экспериментальное хготверждение [Ъ1] . На роль теории сильных взаимодействий единственным кандидатом фактически является квантовая хромодинамика, основанная на неабелевой 30(3) калибровочной симметрии г описывающая взаимодействие цветных кварков и глюонов. Основные успехи этих теорий связаны с применением методов теории возмущений/улучшенной с помощью ренормгруппы/ для расчета различных процессов* Так свойство асимптотической свободы квантовой хромодинамики [ъч] * /?07 позволило объяснить скейлинг и отклонение от скейлинга в глубоко неупругом рассеянии лепта-нов на адронах при высоких энергиях /58] , [ъъ] .

Однако решение ряда проблем калибровочных теорий поля-конфайнмент кварков, вычисление спектра масс адронов и др. -требует использования методов, выходящих за рамки теории возмущений. Так, например, имеются основания предполагать, что нетривиальная структура вакуума квантовой хромодинамики, не проявляющаяся в теории возмущений, приводит к тому, что между цветными зарядами, помещенными в такой вакуум, возникают струноподобные силы, обеспечивающие невылетание кварков. Таким образом, появляется необходимость изучения одномерных полевых объектов типа струн.

Актуальным является поэтому, исследование двумерных /1+1/ калибровочных теорий поля как с точки зрения развития технических приемов вычислений вне рамок теории возмущений, так и с точки зрения разработки физической картины квази -одномерных процессов, происходящих в реальном четырехмерном пространстве. Классическим примером в этом плане может служить модель Швингера /*78] , /?97 /двумерная безмассовая спи-норная электродинамика/, где имеются аналоги конфайнмента кварков и процесса аннигиляции электрона и позитрона в ад -роны /377 , /"387 •

Целью диссертации является исследование некоторых не-изучавшихся ранее аспектов двумерных квантово-полевых моделей. В ней рассматриваются следующие вопросы: сравнение результатов суммирования бесконечнх рядов теории возмущений с помощью метода ренормализационной группы с точными решениями в модели Швингера, вычисление эффективного лагранжиана в двумерной электродинамике с постоянным и однородным внешним полем при наличии/а также и в отсутствие/аномального магнитного момента у спинорных частиц, поляризация вакуума двумерной скалярной электродинамики в неоднородном поле двух внешних зарядов. Для решения таких задач в дис -сертации применяются методы континуальных интегралов и функциональных детерминантов, метод ренормализационной группы, метод регуляризации с помощью обобщенной дзета-функции.

Диссертация содержит четыре главы, заключение, математические приложения и список литературы.

Первая глава носит вводный характер. В ней дается обзор и анализ основных предшествующих работ по двумерным моделям в квантовой теории поля, сделаны выводы о их физическом значении, обосновывается постановка исследуемых в диссертации вопросов.

Во второй главе изучается соответствие ренормгрупповых выражений для полных функций Грина в модели Швингера точным выражениям. Показано, что метод ренормализационной группы правильно восстанавливает только аналитическую по константе связи часть функции Грина. Проведен анализ диаграмм Фейнмана для фермионного пропагатора в порядке до оС3 .

В третьей главе вычислено эффективное действие для квантовой электродинамики с аномальным магнитным моментом. Для регуляризации функциональных детерминантов, возникающих при интегрировании по фермионным полям в континуальном интеграле, применен метод дзета-функции. Достоинство этого метода состоит в том, что не приходится иметь дело с непосредственным вычитанием бесконечных частей, как в других регуляризациях. Исследовано поведение как мнимой, так и реальной части полученного выражения для эффективного действия. Показано, что при наличии аномального магнитного момента у мнимой части действия, описывающей вероятность рождения пар, появляется максимум, а при значении внешнего поля при котором обращается в нуль эффективная масса фермиона - минимум.

Четвертая глава посвящена исследованию поляризации вакуума двумерной скалярной электродинамики в поле двух внешних зарядов. В отличив от задач, рассмотренных в третьей главе, поле двух внешних зарядов не является однородным во всем пространстве. Это вносит существенные технические усложнения. Точное вычисление детерминанта удается провести в безмассо -вом случае. Показано, что учет квантовых флуктуаций меняет существенным образом поведение классического потенциала взаимодействия двух зарядов. Классическая энергия взаимодействия пропорциональна расстоянию между зарядами. Учет квантовых флуктуаций приводит к тому, что . Таким образом, поляризация вакуума усиливает конфайнмент зарядов. Наличие массы у скалярных частиц, оказывается, не меняет существенно этот результат,

В заключении формулируются и обсуждаются результаты и выводы настоящего исследования двумерных калибровочных теорий.

В приложения А - Г вынесены некоторые математические детали вычислений, в частности, в приложении В дан вывод асимптотического разложения обобщенной гамма-функции отсутствующей в известных справочниках по специальным функциям.

ШВА I

ДВУМЕРНЫЕ КАЛИБРОВОЧНЫЕ МОДЕЛИ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ

Интерес к двумерным моделям в квантовой теории калибровочных полей возник сразу после появления в свет основополагающих работ Янга, Миллса и Ли [12>] , /287 ♦ Как известно, в этих работах указывается на возможность связать сохранение изотопического спина и барионного числа в сильных взаимодействиях с инвариантностью относительно более общей, чем в электродинамике, группы локальных калибровочных преобразований, Трудность, возникающая при этом, состоит в безмассово-сти частиц калибровочных полей. Подобно тому как в электродинамике безмассовость фотона обеспечивается калибровочной инвариантностью, в такой теории промежуточные частицы также должны быть безмассовыми, что противоречит эксперименту.

В 1962 году, Швингер проанализировал возможность появления динамической массы у фотона путем перестройки массового спектра при больших значениях константы связи и предположил, что именно такая ситуация могла бы иметь место в условиях сильного взаимодействия [и] , [чъ] . Действительно, в рамках электродинамики, из теоремы Гаусса $ - ф 1= (1.1) следует, что

Е = # 4 С1-2) есть дальнодействующее поле/то, что речь идет о статическом

- э поле оказываемся несущественным/. Здесь важно то, что полный заряд отличен от нуля» Однако, если он полностью экранирован вакуумной поляризацией, дальнодействие и, тем самым без-массовость поля оказывается под вопросом. Нерелятивистким аналогом эффекта экранировки может служить экранировка дально -действующего кулоновского поля в плазме.

В качестве иллюстрации полной экранировки заряда калибровочной теории поля, Швингер предложил/"787 » /79,7 модель квантовой электродинамики в двумерном пространстве-времени с исчезающей электронной массой/модель Швингера/. В двумерии масса и заряд имеют одну и ту же размерность. Естественным безразмерным параметром модели, следовательно, является отношение ^/е массы фермиона к его заряду. Таким образом, предел 7п-> О соответствует пределу неограниченно растущей константы связи.

Дальнейшему обсуждению в контексте модели Швингера проблема массы калибровочного поля подвергнута в работах Брауна /"347 и Зумино /867 » • в работе /8б7 подчеркнуто, что если в электродинамике имеется ввиду калибровочная группа без введения дополнительных штюкельберговских скалярных калибровочных полей, то калибровочная инвариантность ведет с необходимостью к нулевой голой массе фотона.

Рассмотрим поляризационный оператор который соответствует сумме всех собственно-энергетических фотонных диаграмм. В калибровочно-инвариантной теории оператор должен иметь поперечную форму:

Соответственно, полный фотонный пропагатор Iдолжен иметь вид: (1.4) где йМ= (1.5) и ^ - параметр калибровки.

Положение полюса функции определяет физическую фотонную массу. В теории возмущений обычной четырехмерной квантовой электродинамики функция П(Кг) регулярна в точке » откуда следует, что физическая масса фотона равна нулю. Ненулевая фотонная масса может возникнуть если/^^^р при Кг->0 • С такой ситуацией имеем дело в двумерной квантовой электродинамике Швингера. Действительно, из-за двумерия/5з7 полный фотонный пропагатор (1.4) модели Швингера

- * можно получить суммируя бесконечный ряд повторяющихся простых собственно-энергетических диаграмм

1.6) где линия соответствует свободному пропагатору а петля - поляризационному оператору

Отметим, что вычисление последнего выражения по правилам Фейнмана не является непосредственным. Мы должны специально позаботиться о калибровочной инвариантности. Для этой цели можно воспользоваться регуляризацией Паули-Вилларса [ь] , [ ЪЪ] , определяя

7Г)

-ГХ(р^кОР)} где М - вспомагательная масса,

1.9) м р-н/И

- свободные пропагаторы фермиона, или, что более экономно, использовать процедуру размерной регуляризации /61/ ,/бб7 » определяя

В последнем случав, если использовать об - параметрические представления/"5] функций £ нам понадобятся формулы/"о] : и о г

4-ге ¿(ар+2£.р) Р • в1

Ре -/¿а)Лр а р)* ре ^е зг / о* С .4-2€ ¿(арг+2ё./>)

РР^е = I а £

1.12) я*2 «г

Из формулы (1.8) видно, что функция Л с в модели е*

Швингера имеет вид ■ и соответственно

0(*Л) = - * (1ЛЗ) от что означает наличие ненулевой, равной , массы у фотона в модели. Этот результат обязан нулевой массе фермиона, что как говорилось выше соответствует бесконечно поляризованному вакууму» Мы видим как один динамический фактор может изменить спектральные свойства фотонного пропагатора. В четырех-мерии тоже мыслима подобная ситуация, если связь с векторным током достаточно сильна [и] ♦

Динамическое появление полюса в П(хг) при /<г~0 называется в литературе механизмом Швингера. Энглерт и Браут/497, [ъо] и Джекив и Джонсон/"63^ пересмотрели заново идею Швингера и показали как может работать этот механизм в случае размерности 4 : полюс в П(кг) может возникнуть, когда безмассовой фермион приобретает массу в результате спонтанного нарушения симметрии. /В работе/бЗ7 предположено существование решения ¿(р) уравнения Швингера-Дайсона для фермионного массового оператора, нарушающее киральную симметрию:{ Механизм Хигеса в калибровочных теориях с нарушенной симметрией также может быть истолкован как специальная-реализация механизма Швингера : отличное от нуля вакуумное среднее канонического скалярного поля, взаимодействующего с векторным бозоном дает полюсной вклад в поляризационный оператор.

Видно, что несмотря на двумерность модели Швингера» она является физически поучительной, а в ходе исторического развития идей калибровочных полей и имеющей определенное эвристическое значение. Оказывается, модель правильно воспроизводит также и ряд особенностей актуальной теории сильного взаимодействия - квантовой хромодинамики /КХД/,таких как асимптотическую свободу, конфайнмент кварков и др. Обратимся более подробно к этому вопросу.

Ренормгрупповым подходом /54/ , [ъъ] , [ы] предлагается решение КХД в трех этапах : во-первых, рассмотрение предела малых расстояний, во вторых, рассмотрение предела больших расстояний и в третьих - установление связи мезду двумя пределами. В квантовой электродинамике в двумерном пространстве-времени /КЭД2/ такую программу можно выполнить в явном виде /зз/ •

Рассмотрим двумерную квантовую электродинамику как модель квантовой хромодинамики с одной цветовой /"глюонное поле" / и одной ароматовой /"кварковое поле" У- / степенями свободы. Имеем максвеловские уравнения:

1.14)

1.15) где ЕМ - напряженность поля и дираковское уравнение

1.16)

Эти уравнения получаются из калибровочно-инвариантной плотности лагранжиана / г-М^ -л - ,

Х = + (1.17) с и(4)~ ковариантной производной • Здесь и дальше:

1.18) е ^^ ✓

1.19)

1.20)

1.21)

• / пока не будем уточнять процедуру квантования, которая как и в обычной четырехмерной электродинамике зависит от выбора специальной калибровки. В нашем обсуждении квантование будет развито вместе с нахождением решений полевых уравнений.

Физические наблюдаемые инвариантны относительно калибровочных преобразований

Такими калибровочно-инвариантными величинами в рассматриваемой схеме являются напряженность поля £(*) и "струнный оператор л-' Г*')*Х/>(* £ & (1.23)

С последним оператором связывается определенная физическая картина : операторы Т(х^х') построены с помощью операторов ровдения кварк-антикварковых состояний, связанных глюонными линиями и являются важным инструментом в квантовой хромодина-мике на решетке /85.7 •

Проследим сначала предел малых расстояний и выявление асимптотической свободы в КЭДг>. Из анализа размерностей величин теории /в длине / , в естественной системе У /

-f (1-24) dim e = / , m = / sH> 1 получаем, что функции üj (P,7*1) высших поправок в разложении кваркового оператора

Q (p.p'sej =-, „ ^ ^ - + (1.25)

- / p-7П где o¿ - , могут быть представлены в виде

1.36) - безразмерная функция. Отсюда легко получить уравнение ренормгруппы

1.27) которое при больших а дает нам ъ) - ■ (1.28)

Таким образом, лидирующий член в (1.25) при малых расстояниях * . * есть свободный. Это рассмотрение показывает, что асимптотическая свобода является трвиальным свойством теории с константой связи с положительной массовой размерностью /сверхперенормиру-емые теории/. КЭД2 дает нам пример такой теории. В перенормируемых теориях с безразмерной константой связи вклад в асимптотический предел дают члены каждого порядка теории возмущений и описание свойства асимптотической свободы, как известно, делается более рафинированными методами [ъч] ,/70.7. Обсуждение этих методов в рамках КЭД2 можно найти в работе/Ц/ .

Обратимся к инфракрасному пределу КЭД^. Самая поразительная загадка кварковой модели - отсутствие изолированных кварков предположительно решена гипотезой инфракрасной нестабильности/инфракрасного заточения//"84/. В терминах ренормгруппы последнее означает при ^ о . Так как последовательной теории сильной связи нет, приходится делать специальные предположения относительно механизма приводящего к кон -файнменту кварков. Имеются два типа идей: во-первых, потенциал между кварками, обусловленный глюонным обменом, изменяется в инфракрасной области от потенциала кулоновского типа ^/ь при /V? сх=> к "конфайнинг'Чютенциалу »растущему при больших . /В КХД в двумерном пространстве-времени расчеты показали линейный рост/62^//. Второй круг идей оперирует тем обстоятельством, что сильная связь должна привести к формированию связанных состояний в сильно поляризованном вакууме, один феноменологический способ описания таких связанных состояний состоит в соответствующей модификации лагранжиана при которой полевые уравнения имеют класси -ческое солитонное решение. Другим таким способом является моде льпмбшковп. Мы рассмотрим эти подходы на языке КЭД2. Для этого учтем, что предел , соответствует т^о т.е. в этом пределе мы имеем случай точно решаемой модели Швинге-ра.

Простая структура алгебры матриц Дирака в двумерии дает возможность решить безмассовое уравнение Дирака для произвольного глюонного поля. Будем использовать калибровочное условие Лоренца с^/)*=() . Специфической особенностью двумерия является то обстоятельство, что если векторное поле имеет нулевую дивергенцию, оно может быть записано как ротор от некоторого скалярного поля: в*{*)= е^ъ №, = зГ*') (1.31)

Поэтому запишем

Д^Х) = - -^Ч ^ (1.32)

Тогда, пользуясь матричным соотношением (1.21) можем записать ' * / решение уравнения (1#30) в виде е ъг*) (1.зз) где

1-34)

Введем векторные и аксиально-векторные свободные токи

Они сохраняются и связаны соотношением

X) (1.36) откуда следует, что ^' удовлетворяет волновому уравнет нию

У £ = * (1.37)

Обсуждение квантованного уравнения Максвела

Ъ*ГГх) = -е1{х) (1.38) у* /* требует корректного определения ^{х) в терминах взаимодействующего дираковского поля ^(х) . Следуя Швингеру/787, , записываем следующее калибровочно-инвариантное определение тока: л т Г 7 С1*39) о

Тогда можно показать, что

•им+4/*) (1.40) где ^ - свободный ток квантованного поля , удовлетворяющий уравнению (1.37). Если отсюда определимыми под/ ставим в уравнение (1.38), получим для калибровочно-инвари-антного тока уравнение Клейна - Гордона а.«) . « г

Уравнения (1.33,34) и (1.32,37,40,41) показывают, что кварковое и глюонное поля модели Швингера связаны со свободными полями. В работе/"677 установлено, что релятивисткое ковари антное решение в операторной форме может быть выражено через свободные квантованные поля э {х) , , определенные уравнениями и комутационными соотношениями ъг+ О , ¿А(х-х';£)} (1.42а)

У;Гх)=-0) £>{х-х')^ (1.426) следующим образом

Г(Х)= (1.43Г) где

А р/> 1/>х. (х.45)

Обсудим некоторые особенности процедуры квантования. В определении коммутационной функции интеграл не существует при • В этом случае необходима регуляризация инфракрасным параметром :

Таким образом калибровочное поле квантуется при помощи индефинитной метрики. Это ведет к локальным коммутационным соотношениям щ £ ^ = 4 £ х), а %')] = (1.47) с одной конечной константой перенормировки и сглаженным поведением на световом конусе /39/ , /74/ . /Для простоты выражения ¿^ использовано, чтъ/тг // Квантовые поля (1.43) удовлетворяют уравнению Дирака г

1.30), а также и уравнению & е^ Гх) (1.48)

Поэтому уравнение Максвела (1.38) выполняется только для фиА зических состояний, определенных условием у (х)/<рид. состоянилУ — О (1*49)

Из квантовой электродинамики в четырехмерном пространстве-времени мы знаем, что физические состояния образуют подпространства, определенного вспомагательным условием [ъ]. Здесь физическое содержание решения (1.43) представлено калибровоч-но-инвариантными наблвдаемыми и относительно которых физическое подпространство инвариантно. "Струнный оператор" вычисляем при помощи уравнений (1.43): т (.,*•)- (1>50) где с

К = е V у- Мр т6

1-51)

Для физических состояний использование условия (1.49) ведет к , х. 71 / ' — ~ д- (г

-г + -2>/ А /----где (1.53) с- г- ' О - свободные заряды, V »Л потенциалы свобод. '. .г ^ ^ ных токов^^ , ^ . Подходящим образом размазанный интеграл по сходится к оператору со свойствами/67.7 : ' (1.546)

0 (1.54В)

5; <?]= 41 , £% ^ (1-54Г)

Рассмотрим сначала физику, связанную с (Г -полями/407, /73/ . Операторы не зависят от /V /ур.(1.546)/. Они генерируют бесконечномерное пространство вакуума:

Собственные состояния в б сг/% в>= е' оу ' (1.55) образуют орт ©нормированный базис. Так как/<£^ ФСу^-О , все состояния соответствуют одному и тому же собственному значению . При этом, как следует из (1.54), в пространстве собственных векторов опре I» делены преобразования группы

Вырождение вакуума свидетельствует о его сильной поляризации, а неинвариантность относительно группы и(*)хиО) - о спонтанном нарушении симметрии. Согласно уравнению (1*51) наблюдаемые зависят только от д=вф-д . Поэтому они инвариантны относительно фазовых преобразований . Мы видим, что в теориях с такими наблюдаемыми вакуумная поляризация, описываемая параметром в влияет сильно на динамическую структуру. Таково положение и в массивной двумерной квантовой электродинамике, которую мы рассмотрим дальше.

Остановимся перед этим на вопросе о конфайнменте кварков в модели Швингера. Все физические состояния получаются здесь в результате действия калибровочно-инвариантных наблюдаемых на вакуум/^ ву . Следовательно, они состоят из свободных частиц массой описываемых полем фГх) . Так как т

Щ №]-[ЪЖЯЪ,&*'>] = 0 (1.57) то эти частицы бесцветны. Кроме того, их поле происходит из "кварк-антикваркового" выражения в правой стороне уравнения

Ь"ф(*)- ■ (1.43)

Отсюда следует, что они представляют собой мезонами. Эти мезоны, получившие в литературе название пФ - мезонов" бесцветны^ мы имеем полный конфайнмент кварков. Чтобы получить динамическое объяснение этого явления можем рассмотреть кварк-антикварковое состояние ТТёУ^)/0^ и вычислить среднее значение энергии

Таким образом, для разведения кварка и антикварка на бесконечное расстояние друг от друга необходима/линейно растущая/ бесконечная энергия. С другой стороны, "голый11 кварк без его глюонного поля не является, как мы видели, физическим состоянием. Б работе [ЪЪ] показано, что в массивной КЭД2 конфайн-мент появляется таким же образом.

В этом анализе возможностей модели Мвингера важны по крайней мере два обстоятельства. Во-первых, мы имеем теоретико-полевую модель, в которой бесконечно большие "ограничивающие " силы между кварками совместимы с принципами релятивизма. Во вторых, из КХД на решетке мы имеем указания, что конфайнмент кварков в реальном четырехмерном мире получается подобным образом/"85,7 •

Поскольку модель Швингера асимптотически свободная, кварки должны наблюдаться как партоны. В работах/37/ »/38/ рассматривается двумерный аналог реакции - адроны" в котором "скалярное фотонное" поле связывается с оператором Корреляционная функция ¿<р/Т5Гх)5(о)/о^> показывает партонное поведение: о1Т5Шо)/°> = г-, ггтл (1.59)

X-¿О с этим выражением можно связать /377 , /387 следующую карти ну процесса пе*£* - адроны". В начальный момент пара кваркантикварк распространяется свободно. Далее поле между ее зарядами вызывает сильную поляризацию вакуума, т#е. возбуждается кварк-антикварковое "море". Затем первоначальные кварк и антикварк "подхватывают" из этого моря партнеров, что приводит к превращению каждого из них в адроны.

Рассмотрим теперь вопрос о связанных состояниях в массивной двумерной модели спинорной квантовой электродинамики с "голой" массой фермиона тп. . Индуцирует ли вакуумная поляризация такие состояния? Чтобы ответить на этот вопрос, с помощью уравнений (1.43в) и (1.50), вычисляем плотность гамильто * ниана

772 : ^Гх)У-Гх): = :2-/*лФУ*)-\ - (1.60)

• - *

Эта операция преобразует КЭД£ в каноническую систему с оператором Гамильтона [ъъ] , /74/ :

61) о ^ "2

Важное влияние вакуумной поляризации описывается фазой & . . £ / В пределе сильной связи -г>772 имеем тяжелые <р - мезоны массой — . Поэтому в первом приближении можно пренебречь многочастичными взаимодействиями и использовать нерелятивисткое приближение /^Оу7. Ограничение двухчастичными взаимодействиями приводит гамильтониан к выражению:

Н(4>= : (1-63) где , , а знаки " * " соответствуют двум характерным фазам /притяжению и отталкиванию соответственно/« С другой стороны, в нерелятивистком приближении число частиц сохраняется и реализуется нерелятивисткая кинематика. Пользуясь нерелятивисткими соотношениями

ФТафгч]*

0 > <-> в(К); £4«')]= И«'«') , получаем из Н^выражение для нерелятивисткого гамильтониана

В этом приближении, из гейзенберговских уравнений движения получаем

- (Я -ф (1'66) т.е. поля 1Г и /^являются решениями так называемого нелинейного уравнения Шредингера. В случае Л>о , когда вакуумная поляризация ведет к сильному притяжению ф - мезонов,

Так как это решение периодическое по времени его можно про-квантовать методами ВКБ или Бора-Зомерфельда. Результат для энергии стационарных состояний дается формулами:

Главное внимание в нашем обзоре мы уделили двумерным полевым моделям и их аспектам наиболее плотно соприкасающимся с реальными проблемами последовательной теории сильного взаимодействия. Этр безмассовая и массивная модели Швингера. Конечно, этим не исчерпывается значение и применение двумерных полевых моделей. Точной решаемостью модели Швингера можно в принципе пользоваться и в других актуальных задачах /см.напр. [ш] /. В главе II мы ставим себе задачу проанализировать в какой связи находятся ренормгру-пповые решения для функций Грина и точные решения в модели Швингера.

Кажется, также, интересным проследить эффекты поляризации вакуума в несколько измененной двумерной модели кван

1 ^ 3 з ^

З72 П/*92

1.68)

V = —г/ Ъ , 72=

Л "

-товой электродинамики с феноменологическим паулиевским членом с аномальным моментом. Квантовые эффекты во внешних полях происходящие из-за наличия аномального магнитного момента у фермионов, интенсивно обсуждались в литературе /427 »/~437 » /60/ в связи с возможными астрофизическими применениями. В главе III мы рассматриваем рождение пар и стабильность вакуума в двумерной спинорной электродинамике с аномальным "магнитным" моментом во внешнем однородном поле.

Четвертая глава посвящена изучению поляризации вакуума двумерной скалярной электродинамики в поле двух внешних зарядов. В отличив от главы III, здесь рассматриваемое поле не является однородным во всем пространстве, что вносит существенные технические усложнения и требует иных методов анализа.

ШВА II

МЕТОД РЕН0РМАЛИЗАЦИ0НН0Й ГРУППЫ В ДВУМЕРНОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ ШВЙНГЕРА

2Л. РЕНОШАЛЙЗАЦИОННАЯ ГРУППА В КВАНТОВОЙ ТЕОРИЙ ПОЛЯ

Метод ренормализационной группы возник 30 лет назад вслед за созданием аппарата ренормировок в квантовой теории поля. Было замечено, что преобразования мультипликативных ренормировок квантованных полей и констант связи образуют группу, причем наблюдаемые величины /матричные элементы 3 -матрицы/ инвариантны относительно этих преобразований. Выяснилось также /54/ , что свойство ренорминвариантности квантовой теории поля налагает определенные ограничения на вид зависимости квантовополевых функций Грина от своих аргументов, что в ряде случаев позволяет явно найти некоторые характеристики этой зависимости, а именно асимптотику функций Грина по импульсам. Эффективно, применение метода ренормгруппы соответствует суммированию лидирующих асимптотик бесконечных подклассов диаграмм Фейнмана.

В настоящее время метод ренормгруппы широко используется как для чисто теоретических изысканий в области квантовой теории поля, например для нахоздения ультрафиолетовых и инфракрасных асимптотик функций Грина в разных моделях, для исследования динамического нарушения симметрии и т.д., так и для изучения высокоэнергетического поведения ряда физических процессов: глубоконеупругих лептон-адронных реакций, электрон-позитронной аннигиляции в адроны и др. Повидимому, наиболее известной формулой, ассоциируемой с термином "ренормализационная группа" является выражение для эффективного заряда в приближении главных логарифмов

При а<0 /ситуация так называемого "нуль заряда"/ имеет нефизический полюс и соответствующая квантовополевая теория/квантовая электродинамика/ оказывается внутренне несогласованной. Если же <2>0 ¿асимптотическая свобода"/, то с ростом импульса эффективная константа связи £ монотонно стремится к нулю, т.е. взаимодействие исчезает на малых расстояниях. Это позволяет использовать асимптотически свободные модели для описания лептон-адронных процессов с большой передачей импульса. Выражение (11.1.1) для эффективного заряда является на сегодняшний день основой большинства приложений ренормгруппы в физике. Но вместе с тем, метод ренормгруппы представляет собой и последовательную схему вычисления поправок к этой формуле. Могут ли высшие поправки в случае нуль-заряда как то исправить ситуацию, а в случав асимптотической свободы - дать дополнительную полезную информацию о высокоэнергетических асимптотиках, улучшить согласие теории с экспериментом? Эти вопросы продолжают быть объектом обсуждения.

В основе всех квантовополевых приложений ренормгруппы лежат ренормгрупповые уравнения. Изложим коротко некоторые детали ренормгрупповой инвариантности, вывод соответствующих ренормгрупповых уравнений и их анализ [ь] для спинорной квантовой электродинамики.

Ренормализационная группа представляет группу мультипликативных преобразований/учтено тождество Уорда = ^ /

11.1.3) содержащихся в теории промежуточных величин типа функций Грина 4е^/электронная/,/фотонная/, о(-} /вершинная функция/, зарядов и параметров калибровки , которые не приводят к каким-либо изменениям в выражениях для наблюдаемых эффектов. В частности при преобразованиях из этой группы не меняют своих значений элементы матрицы рассеяния.

Группа преобразований (11.1.2) позволяет получить для функций Грина простые функциональные уравнения, а также и дифференциальные групповые уравнения Ли. Поскольку в следующих параграфах мы будем иметь дело с фотонной ¿^¿{х) и электронной (Р) функциями Грина сосредоточимся на рассмотрении групповых уравнений только для этих функций. В соответствии с (11.1.2) в функциях и С? содержатся мультипликативные конечные произвольные постоянные. Если записать (11.1.3) радиационные поправки не даш вклада в /,

772 то произвольный множитель, например пр^ функции ^А^пере-носится в ее аргумент и задается нормировочным условием: сС = / при Кг= , (ПЛ. 5) где 7\г играет роль квадрата импульса нормировки.

Нормировка на единицу возможна лишь при тех значениях

2г , когда обычная /нормированная при А=о / фотонная функция с10 является действительной и положительной. Это связано с тем, что перенормировка функции с( осуществляется той же величиной , которая перенормирует и квадрат заряда и поэтому должна быть действительной и положительной. Условие действительности с{ при в соответствии с формулами второго порядка и при учете высших порядков теории возмущений приводит к условию

О . (Н.1.6)

С другой стороны, рассмотрение пространственно-подобных импульсов нормировки диктуется тем, что при времени-подобных импульсах амплитуды приобретают абсорбтивные части, которые отличны по своей структуре от затравочных выражений.

Из соображений однородности в импульсном пространстве дальше вытекает, что с{ может быть представлена функцией от безразмерных импульсных переменных причем 7 г< о и

11.1.8)

Подобным образом можно фиксировать постоянную 2 , наложив условие нормировки на одну из функций и или 3 , которые с учетом однородности в пространстве импульсов можно записать в виде

•>( Я*г Я" ' '/ (11.1.9)

Как видно из (11.1.8), квадрат импульса нормировки функционально связан с зарядом оС • Подставляя (II*1*3) в уравнение

П.1.10) с учетом уравнения

V ^ / находим о/ = V. (ПЛ. 11) г

Полагая здесь и учитывая (11.1.8) получаем для выражение пллз) подставляя которое в (11.1.12) приходим к функциональному уравнению для Ы :

Л Ъ ' ' причем = * ■ (ПЛЛ5)

Аналогичные рассуждения приводят к следующему функцио -нальному уравнению для двух функций О. и 8 , обозначенных общим символом Я : г 5 л2. * Г /

11.1.16)

Уравнения (II.1.14), (II.1.15), (11.1.16) принимают более компактный вид в обозначениях:

П.1.17) 4 4 * ' '

Имеем ? ¿Л«)-у) (IX» 1.18)

5«Г=

11.1.19)

Последние уравнения накладывают определенные ограничения на функциональный вид функций £ и Я , являющиеся отражением некоторой автомодельности функций Грина.

Вместо функциональных уравнений часто оказывается удобным использовать дифференциальные уравнения группы. Эти уравнения получаются следующим образом: дифференцируя (11.1.18) и прологарифмируй, а затем дифференцируя (ПЛ.19), получаем

• • У

--, (11.1.20)

ЭАг 5 (х^,*;■*<!>,)

2л где Ъх

11.1,22)

11.1.23)

Л' /Г-/

Структура решений функциональных уравнений группы, показывает, что ограничения на функциональные зависимости функций Грина £ и ^ оставляют еще большой произвол функционального типа. Это связано с тем обстоятельством, что в решениях уравнений не отражена динамика. Дополнительная информация может быть почерпнута из теории возмущений. Иными словами, можно фиксировать функциональный произвол из соображений соответствия с теорией возмущений. Этим путем удается улучшить аппроксимационные свойства разложений теории возмущений в случаях,когда члены этих разложений убывают недостаточно быстро. Такая ситуация возникает в ультрафиолетовой и инфракрасной областях импульсных переменных, когда эффективным параметром разложения является произведение постоянной тонкой структуры на большой логарифм.

В третьем параграфе настоящей главы, мы, следуя описанной схеме, получим уравнения ренормгруппы для модели Швингера квантовой электродинамики и найдем их решения, проводя соответствие с выражениями функций О и во втором порядке теории возмущений.

2.2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ФЕРШ0НН0Г0 ПР0ПАГАТ0РА В ТЕОРИИ возмущений до ог3 .

В целях дальнейшего анализа нам будут полезны выражения для радиационных поправок к фермионной функции Грина в безмассовой модели Швингера. Их вычисление сделано в работе 21 вплоть до ъ калибровке Фейнмана / .

Лагранжиан модели Швингера запишем в виде

-¿гУг-^^-^*" , (И.2.1) где

11.2.2)

У = ' , у*

Примем,как и в гл.1, следующие обозначения: для свободной фермионной функции Грина

-л

11.2.3) для свободной фотонной функции Грина

Полная фермионная функция Грина С^/р) содержит всевозмокные радиационные поправки типа собственной энергии. Так как в двумерном случае выполняется специфическое алгебраическое соотношение

11.2.5) определение /* -матриц дано формулами (1.19)/, то анализ в случае калибровки Фейнмана приводит к результату, что отличные от нуля радиационные поправки вплоть до 6-ого порядка даются диаграммами

11.2.6)

11.2.7)

Аналитическое выражение диаграммы четвертого порядка (11.2.6) есть

• Ш.М)

Поляризационный оператор п ^вычислен в гл.1/формула (1.8)/:

П»(1 - £(г*- &

Подстановкой этого выражения в (11.2.8) и интегрированием с помощью исчезающей фотонной массы » выполняющей роль параметра инфракрасного обрезания, получаем

Радиационные поправки 6-ого порядка даются диаграммой (II.2.7), которая имеет следующее аналитическое выражение:

2ъ)<

11.2*10)

Здесь снова используем выражение для поляризационного оператора (1.8). Вычисления аналогичны, но довольно длинные. В результате получаем г'Ч ,

Т1 /Т^Х ' (П'2Л1)

Сумма диаграмм

-+ ^J

II. 2.12) дает нам соответствующее аналитическое выражение

II.2»13) откуда, принимая в виду выражения (II.2.9) и (II.2.11) имеем & 4

II. 2. 14:)

В рамках рассматриваемой точности, это выражение совпадает с полученным в работе/207/см.ур.(11.3.146)/.

2.3. РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ РЕНОРМГРУППЫ ДЛЯ ПРОПАГАТОРОВ В МОДЕЛИ ШВИНГЕРА

Как известно, в квантовой теории поля ряды теории возмущений являются не сходящимися, а, в лучшем случав асимптотическими. Поэтому возникает вопрос о том, насколько адекватно суммирование бесконечных рядов теории возмущений с помощью метода ренормализационной группы. Чтобы в какой-то степени ответить на этот вопрос естественно попытаться применить метод рвнормализационной группы к точно решаемой модели квантовой теории поля и сравнить выражения, получаемые с помощью этого метода с точными. Как нами будет показано, метод рвнормализационной группы позволяет правильно восстанавливать только те члены в высших порядках теории возмущений, в которых сохраняется аналитичность по константе взаимодействия.

Рассмотрение проведем на примере модели Швингера безмассовой квантовой электродинамики/"20/в двумерном пространстве -времени. Полные пропагаторы бозонного и фермионного полей модели Швингера имеют в импульсном представлении вид где О и /чЗ* -лоренц-инвариантные функции. Добавление в лагранжиан модели - у^/й^ е=/5гу<. (1Л7) конечных контрачленов приводит к мультипликативным перенормировкам функций Грина (11.3.1) аналогично тому, как это имеет место в случае спинорной электродинамики в четырехмерном пространстве-времени. Поэтому можно использовать известные аргументы метода ренормализационной группы /см.напр./57»/547» а также и изложение в п.2.1/ с дополнительным учетом того обстоятельства, что в двумерной электродинамике константа взаимодействия является размерной величиной, в отличие от случая четырехмерной электродинамики. Поступая таким образом, определим перенормированные пропагаторы

11.3.3а) *$) • (п-3-2б> что соответствует введению новых функций Ж и 5 вместо О и 5 .

11.3.3а)

П.З.Зб) где

11.3.4) л~ л* > * л* ' ^ и новых констант и вместои ^ : у" ^sfDC-fj/**) , (II.3.5a) *

-^— . (II.3.56)

Как видно из определения (II.3.3), параметр является импульсом нормировки функций d и 5 т.е. dfojJ^sOj*,*)^ ' • (П.3.6)

Учитывая, что перенормированные функции (II.3.2), вычисленные при различных значениях параметра Я /например и / отличаются мультипликативным фактором, и определяя этот фактор с помощью условия нормировки (II.3.6), получим следующие функциональные уравнения для лоренц-инвариантных функций d и £ : t (II.3.7a)

Sfrjtf'sfaysff.ijfajj-f) . (II. 3.76)

Дифференцируя уравнения (II.3.7), получиы дифференциальные уравнения Ли ренормализационной группы

A dfa)- irgdCw)) в (шз.8а)

II.3.86) где c-vir>JI!!KI

11.3.9) 7

Уравнения ренормализационной группы позволяют проводить частичное суммирование ряда теории возмущений по известным первым членам этого ряда. Чтобы увидеть это, вычислим в начале вклад однопетлевых диаграмм Фейнмана, отвечающий второму порядку по константе взаимодействия. Получим /см.(1.6),(1.8), а также п.2.2/ г

2) рг с в ^ ^

П.ВЛОа)

II.3 ЛОб)

Используя (11.3.3), найдем функции и с точностью до второго порядка по

11.3.11а) 5 г) 4 "

•£-1) • (П.3.116) и, соответственно, функции ^ и У" в этом приближении

11.3.12а)

11.3.126)

Подставляя последние в уравнения (11.3.8) и интегрируя эти уравнения, получаем н, (11.3.13а)

5 2) -у] "еур/'^а -')] • (И. 3.136)

Таким образом, мы нашли функции с( и 5 в приближении,учи- . тывающем все порядки теории возмущений по степеням • Отметим, что, в отличив от четырехмерной электродинамики, в данном случае суммируемые члены не являются логарифмическими. Формулы (11.3.13) справедливы в области пространственно-подобных импульсов -/> , и имеют конечный предел при оо , что отражает факт отсутствия ультрафиолетовых расходимостей в двумерной электродинамике. Переходя к пределу

2 Л в (II.3.13) и учитывая, что при ЭТОМ а/. , осуществим переход от и 4* к и ^ • в результате получим

0(Р*^У==(^г) , (П.3.14а) г,— ^ • (II. 3.14<3)

4/г

Таким образом, применение метода ренормализационной группы позволило, исходя из второго порядка теории возмущений (11.3.10) найти пропагаторы в приближении, соответствующем суммированию во всех порядках некоторых членов ряда теории возмущений.

2.4. СРАВНЕНИЕ С ТОЧНЫМИ РЕШЕНИЯМИ ДЛЯ ПРОПАГАТОРОВ

Рассмотрим вопрос о том, насколько результаты, полученные с помощью метода ренормализационной группы, соответствуют точным решениям уравнений для функций Грина.

Если обратиться к точному решению для бозонного пропа-гатора в модели Швингера /787 /см.,также(1.4)и(1.13)/ у и.4.1) то, как видно, оно находится в точном соответствии с полученным нами выражением (11.3.14а) для лоренц-инвариантной функции О •

Что касается фермионного пропагатора, то здесь мы сталкиваемся с иной ситуацией. Точное решение для фермионного пропагатора в калибровке -О было получено Швингером в координатном представлении в следующем виде/": ар=о ' ' г «л где & (*)=—^г - пропагатор свободного фермионного поля. Проинтегрировав по К в (11.4.2), получим ^Мехр^О*^;^)] , (11.4.3) где к (гЯГ/)-1Г (П-4-4) К0 - модифицированная функция Бесселя нулевого порядка/. Переходя в импульсное представление, получаем здесь - функция Бесселя первого порядка/.

В формулах (11.4.3) и (11.4.5) нами оставлена малая мнимая добавка ¿€ в силу следующих соображений. Если, как это обычно делается, после интегрирования по К в (II.4.2) взять предел о } то в выражениях для пропагаторов возникает неаналитическая особенность при . Действительно, исполь^ зуя разложение функции Бесселя в (11.4.3) при малых значениях аргумента, получаем где - постоянная Эйлера. Разлагая экспоненту в

11.4.5) и интегрируя /см.приложение А/, получаем

Возникновение этой /логарифмической/ особенности по у* обусловлено инфракрасными расходимостями, связанными с двумер-ностью пространства-времени. Как видно из (11.4.7), в импульсном представлении эта особенность проявляется, начиная с четвертого порядка теории возмущений по ¿и . В соответствии с этим, вклад двухпетлевых диаграмм Фейнмана в собственную энергию фермиона оказывается инфракрасно расходящимся в ка

- 46 либровке ^ = о . Однако, как видно из вычислений в предыдущем пункте/207 в калибровке вклад двухпетлевых, а также трехпетлевых диаграмм в собственную энергию фермиона является конечным. Поэтому представляется интересным обобщить выражение (11.4.5) на случай с/^о. Формула перехода к произвольной калибровке ^^о для фермионного пропагатора в координатном представлении имеет вид /см.например[ъ] / (11.4.8) где /в двумерном случав/ г е*** р(х) = )—2 . (II.4.9)

Переходя в импульсное представление, получаем г Г о где

Разложение лоренц-инвариантной функции S по степеням имеет вид до 2

Ь=/ где х> суммирование в (11.4.13) проводится по всем целым положительным решениям уравнения + Рассмотрим несколько нижайших коэффициентов Сп /по поводу вычисления интегралов от функций Бесселя см.приложение А/:

С (в)=- № -<]

1 1 у 46 I 1 У (11.4.14) /- V ^

- т -¿у*/

11.4.15) У-*»)*.

Как видно из (11.4.14) и (П.4.15), в калибровке коэффициент приуи в разложении (11.4.12) становится сингулярным в пределе ¿2-* о , что находится в соответствии с (11.4.7). В калибровке этот коэффициент конечен, поэтому рассмотрим следующие коэффициенты

3 (в]/ = и 4~ в/

11.4.17)

Таким образом, в разложении точного решения для фермионного пропагатора по степеням ^ инфракрасные расходимости проявляются в коэффициентах С^ при п^^ в случае / и при в случае .

Выражение для фермионного пропагатора, полученное с пог мощью метода ренормализационной группы (11.3.146), является аналитической функцией , так как оно не учитывает инфракрасных особенностей. Как видно из сравнения соответствующих функций, коэффициенты разложения £ по степеням ^ , имеющие предел при /т.е. Сг , С^ , С3 в случае и С/Л в случав 4 /, в этом пределе совпадают с соответствующими коэффициентами разложения функции (11.3.146) по степей ням уц . Таким образом, ренормгрупповая функция (11.3.146) правильно учитывает лишь ту часть точной функции (XI.4.12), в которой инфракрасная расходимость не проявляется.

Можно заключить, следовательно, что обычный метод ре -нормализационной группы, основанный на свойстве мультипликативности перенормировок и использующий результаты теории возмущений в ее первых порядках, позволяет восстанавливать только аналитическую по константе взаимодействия часть функции Грина. Для учета членов содержащих неаналитичность, требуется привлечение дополнительных соображений.

Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в работах [1\] , /18/ , [1Ъ] , /¡207 , /21/ .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем основные результаты и выводы диссертационной работы :

1. Методом ренормализационной группы получены бозонный и фермионный пропагаторы в точно решаемой двумерной модели квантовой электродинамики. Путем сравнения с точными выражениями для этих пропагаторов установлено, что обычный метод ренормализационной группы, основанный на свойстве мультипликативности перенормировок и использующий результаты теории возмущений в ее первых порядках, позволяет восстанавливать только аналитическую по константе взаимодействия часть функции Грина.

2. Вычислены реальная и мнимая части эффективного лагранжиана двумерной квантовой электродинамики с аномальным магнитным моментом фермиона во внешнем однородном электрическом поле. Найдена зависимость плотности энергии вакуума от величины аномального магнитного момента и от внешнего поля. Показано, что вероятность рождения пар имеет максимум, положение которого зависит от аномального момента и величины поля. При критическом значении поля, когда эффективная масса фермиона обращается в нуль, у вероятности рождения пар появляется также минимум. При этом значении поля следует ожидать, по аналогии с моделью Швингера, возникновение массы у фотона.

3. В двумерной скалярной электродинамике получено замкнутое аналитическое выражение для энергии взаимодействия двух внешних статических зарядов в однопетлевом приближении. Это выражение является неаналитическим в нуле по константе связи и не может быть получено методами теории возмущений. Показано, что флуктуации вакуума приводят к усилению взаимодействия /конфайнмента/ зарядов на больших расстояниях. При этом установлено, что лидирующие члены в квантовой поправке к эффективному действию имеют один и тот же вид в безмассовом и массивном случаях.

4. Вычислена вероятность рождения пар неоднородным полем двух внешних зарядов в двумерной массивной скалярной квантовой электродинамике. Показано, что существует пороговое расстояние между зарядами с которого начинается рождение пар. В пределе больших расстояний между зарядами установлено соответствие с известной формулой Швингера.

1. Ахиезер А.И*, Берестецкий В.Б. Квантовая электродинамика.-М.: Наука, 1969.- 623 с.

2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, т.1:/Гипергеометрическая функция и функция Лежандра/.-пер. с англ.-М.: Наука, 1965.- 292 с.

3. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, т.2-- М.: Наука, 1966.- 295 с.

4. Бейтмен F., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований, т. 2. М.: Наука. - 327 с.

5. Боголюбов H.H., Ширков Д.В. Введение в теорию квантованных полей.- М.: Наука, 1976.- 479 с.

6. Боголюбов H.H., Ширков Д.В. Квантовые поля.- М.: Наука, 1980.- 319 с.

7. Буслаев B.C., Фомин B.C. К обратной задаче рассеяния для одномерного уравнения Шредингера на всей оси.- Вестник ленинградского университета, 1962, вып. 1, с. 56-64.

8. Владимиров A.A., Ширков Д.В. Ренормализационная группа и ультрафиолетовые асимптотики.- Успехи физ.наук, 1979,т.129, вып.З , с.407-441.

9. Градштейн Н.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, рядов,сумм и произведений.- М.: Физматгиз, 1962. 1108 с.

10. Гриб A.A., Мамаев С.Г., Мостепаненко В.М. Квантовые эффекты в интенсивных внешних полях. М.: Атомиздат,1980.-295с.

11. Гусынин В.П., Русев Д.Г. Поляризация вакуума двумерной электродинамики в поле двух внешних зарядов.- Препринт ИТФ-84-78Р. Киев, 1984 г. 28 с.

12. Ли Т., Янг Ч. Сохранение тяжелых частиц и обобщенные калибровочные преобразования.-в сб. Элементарные частицы и компенсирующие поля, под ред. Д.Иваненко.- М.: 1964, с. 39 41.

13. Майер М.Э., Ширков Д.В. О двумерной модели Тирринга.-Доклады АН СССР, 1958, т. 132, 11, с.45-47.

14. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды.- М.: Наука, 1981.- 798 с.

15. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики.« т.2.-пер. с англ.- М.: Мир, 1978.- 395 с.

16. Рисс Ф., Секефальви Надь.Б. Лекции по функциональному анализу.- пер.с англ.- М.: Мир, 1979.- 587 с. .

17. Рубаков В.А. Сверхтяжелые магнитные монополи и распад протона.- Письма в 1ЭТФ, 1981, т.33, вып.12, с.658-660.

18. Русев Д.Г. Дзета-функция и эффективное действие для дира-ковских частиц во внешнем электромагнитном поле.- Научные труды Пловдивского университета /НРБ/, т.20, Ш 2, 1980-физика, с.23-27.

19. Русев Д.Г., Гусынин В.П., Фомин П.И. Эффективный лагранжиан в двумерной электродинамике с аномальным моментом.-Препринт ИТФ-83-113Р. Киев,1983/ Укр.физ.журнал, 1984, т.29, № 6, с.808-814.

20. Русев Д.Г., Ситенко Ю.А., Фомин П.И. Метод ренормализаци-онной группы в двумерной модели Швингера.- Препринт ИТФ-82-86Р. Киев, 1982./Укр.физ.журнал, т.27, № 12, 1982,с.1790-1797/

21. Русев Д.Г., Янев В.П. Диаграмные исследования фермионной функции Грина в безмассовой модели Швингера.- Науч.труды Пловдивского уни вереи те та/НРБ/, физика, 1979, т.17, N22, с. 35-39

22. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами.- Под ред. М.Абрамовича и И. Стигана.- М.: Наука, 1979.- 830 с.

23. Фаддеев Л.Д. Свойства 5 матрицы одномерного уравнения Шредингера.- в Трудах матем.ин-та им. В.А.Стеклова, t.73J Краевые задачи математической физики.-1964, с.314-336

24. Фаддеев Л.Д. Обратная задача квантовой теории рассеяния.-в сб.Современные проблемы математики, т. З.-М.,1974,с.93

25. Фок В.А. Собственное время в классической и квантовой механике.- йзв.АН СССР, сер.физика, 1937, с.551-568.

26. Хриплович И.Б. Взаимодействие классических Янг-Миллсовс-ких зарядов и проблема невылетания кварков.- ЖЭТФ, 1978, т.74, вып.1, с.37-42.

27. Швингер Ю. О калибровочной инвариантности и поляризации вакуума.- В сб. Новейшее развитие квантовой электродинамики.- М.,1954, с.254-283.

28. Янг Ч., Миллс Р. Сохранение изотопического спина и изотопическая калибровочная инвариантность.- В сб.Элементарные частицы и компенсирующие поля, под ред. Д.Иваненко.- М., 1964, с.28-38.

29. Adler S.L. Effective-Action Approach to Mean-Field Hon -Abelian Statics, and a Model for Bag Formation.- Phys. Rev.,1981, D23, No.12, p.2905-2915.

30. Aoyama H., Kobayashi M. Pair Creation in Strong Electric Fields.- Progr. Theor.Phys., 64, 1980, p.1045-1057.

31. Arnison G. et al. Experimental Observation of beptonp

32. Pairs of Invariant Mass Around 95 Gev/c at the CeRN sps Collider.-Phys. Lett., 1983, 126 В, p.398-410.

33. Bailey W.N. Some Infinite Integrals involving Bessel Functions.- Proc.London Math.Soc.,1936,No.2,Vol.40,p.37-48»

34. Becher P„,Joos H. 1+1-dimensional Quantum Electrodynamics as an Illustration of the Hypothetical Structure of Quark Field Theory.- preprint EES! 77/43, July 1977.

35. Brown L.S. Gauge Invarianse and Mass in a Two-Dimensional Model.- II Nuovo Oim.,1963, Vol.XXIX,No.3,p.617-643.

36. Gallan C.G.,Jr. Broken Scale Invariance in Scalar Field Theory.- Phys.Rev.,1970,D2, No.8, p.1541-1547.

37. Callan G.G.,Jr. Disappearing dyons.- Phys.Rev., 1982, D25» No.8, p.2141-2146.

38. Casher A., Kogut J.,Susskind L. Vacuum Polarization and Quark-Parton Puzzle.-Phys.Rev.Lett.,1973, 31, p.792-795.

39. Casher A., Kogut J., Susskind L., Vacuum Polarization and Absense of Free Quarks.- Phys.Rev. D10, 1974,No.2,p.732-745.

40. Coleman S., Jackiw, Susskind L. Charge Shielding and Quark Confinement in the Massive Schwinge r Model.— Ann.of Phys. (N.Y.), 1975, 93, p.267-275.

41. Coleman S. More about the Massive Schwinger Model.- Ann.of Phys.(N.Y.), 1976, 101,No.1,239-267.

42. Coleman S., Weinberg E. Radiative Corrections as the Origin of Spontaneous Symmetry Breaking.-Phys. Rev.,1973, D7, No.6, p.1888-1910.

43. O'Connel R.F. Effect of the Anomalous Magnetic Moment of the Electron on Spontaneous Pair Production in a Strong Magnetic Field.-Phys.Rev.Lett.,1968,21,No.6.p.397-398.

44. O'Connel R.F. Effects of the Anomalous Magnetic Moment of the Electron on the Nonlinear Lagrangian of the Electromagnetic Field.-Phys.Rev.,1968,176,No.5,p.1433-1437.

45. Crewther R.J.,Sun-Sheng Shei, Tung-Mow Yan. Renormalization Group and Axial-Vector Current in Two-Dimensional Quantum• Electrodynamics.- Phys.Rev.,1973,D8, No.6,p.1730-1734.

46. Dashen R.F.,Hasslacher B.,Neveu A. Partical Spectrum in model Field Theory from Semiclassical Functional Integral Techniques.-Phys.Rev,1975, Dll, No.12,p.3424-3450.

47. Dittrich W.,Tsai W.-Y., Zimmermann K.H. Evaluation of the Effective Potential in Quantum Electrodynamics.-Phys.Rev.,1979, D19,P.2929-2934.

48. Englert F.,Brout R. Dynamical Theory of Weak and Electromagnetic Interactions.-Phys.lett.,1964,49B,No.l,p,77-80.

49. Englert F., Brout R. Broken Symmetry and the Mass of Gauge Vector Mesons.-Phys.Rev.Lett.,1964,13,No.9,P.321-323.

50. Faddeev L.D.,Korepin V.E. Quantum Theory of Solitons.-Physics Reports,1978,Vol.42C,No.1,p.1-87.

51. Falomir H.,Gamboa R.,Saravi,Schaposnik F. Vacuum Behaviour in Two-Dimensional Scalar Electrodynamics.-Phys.Lett.,1980, Vol.94B,No.3,P.385-387«

52. Frishman Y. Quark Trapping in a Model Field Theory.-Lecture Notes in Physics,32 (Particles,Quantum Fields and Statistical Mechanics)

53. Gell-Mann M.,Low F.E. Quantum Electrodynamics at Small Distances-Phys.Rev.,1954, 95, p.1300-1312.

54. G-eorgi H., Politzer H.D. Electroproduction Scaling in an Asymptotically Free Theory of Strong Interactions.- Phys, Rev.,1974, D9, No.2.,p.416-420,

55. Gross D.J., Wilczek F, Ultra-Violet Behaviour of Non-Abe-lian Gauge Theories.-Phys.Rev.Lett.,1973,30,No.26,pl343-46,

56. Gross D.J.,Wilczek F. Asymptotically Free Gauge Theories.I.- Phys.Rev.,1973,D8, No.10,p. 3633-3652.

57. Gross D«J.,Wilczek P. Asymptotically Free Gauge Theories.II.- Phys.Rev.,1974,D9,No.4,p.980-992.

58. Hawking S.W. Zeta Function Regularization of i&th Integrals in Curved Spacetime. Comm.Math.Phys. ,1977133-148.

59. Hong-Yee Ghiu, Canuto V. Quantum Theory of an Electron Gas with Anomalous Magnetic Moments in Intense Magnetic Fields.- Phys.Rev.,1968,176, No.5,p.1438-1442.

60. G.'t Hooft, Veltman M. Regularization and Renormalization of Gauge Fields Nucl.Phys.,1972,B44, p.189-213.

61. G.'t Hooft. A Two-Dimensional Model for Mesons.-Nucl.Phys., 1974, B75,No.3,p.461-470.

62. Jackiw R.»Johnson K. Dynamical Model of Spontaneously Broken Gauge Symmetries.-Phys.Rev.,1973,D8,No,8,p.3286-3298.

63. Kaup D.J. Exact Quantization of the Nonlinear Schrodinger Equation.-J.Math.Phys.,1975,Vol.16,No.10,p.2036-2041.

64. Kirzhnits D,A.,Linde A.D. On the Vacuum Stability Problem in Quantum Electrodynamics.-Phys.Lett.,1978,73B>P»323-326.

65. Leibbrandt G. Introduction to the Technique of Dimensional Regularization.-Rev.Mod.Phys.,1975,Vol.47,No.4,P.849-876.

66. Lovenstein J.H., Swieca J.A. Quantum Electrodynamics in Two Dimensions.-Ann.of Phys.(N.Y.),1971,68,p.172-195.

67. Nielsen H.,01esen P. Vortex-Line Models for Dual Strings.-- Nucl.Phys.,1973,£1B, p. 45-61.69* Nohl G.R. Semiclassical Quantization of the Nonlinear Schro-dinger Equation.-Ann.of Phys.(N.X.), 1976,Vol.96,No.2, p.234-260.

68. Politzer H.D. Reliable Perturbative Results for Strong Interactions. -Phys .Rev. Lett . ,1973 , Vol. 30 ,No .26 , p. 13 46-1349 .

69. Polyakov A.M. Quantum Geometry of Bosonic Strings.-Phys. Lett.,1981,103b,tp.207-210.

70. Polyakov A.M. Quark Confinement and Topology of Gauge Theories. -Nucl.Phys.,1977,B120,p.429-458.

71. Rothe K.D»,Swieca J.A. Gauge Transformations and Vacuum Structure in the Schwinger Model.-Phys.Rev. ,1977,D15.,No.2, p. 541-543.

72. Rothe K.D.,Swieca J.A. Fields and Observables in the Massive Schwinger Model.- Phys.Rev.,1977,P15,No.6tp.1675-1683.

73. Rubakov V.A. Adler-Bell-Jackiw Anomaly and Permion-Number Breaking in the Presence of a Magnetic Monopol.-Nucl.Phys., 1982, B203,No.2.,p.311-348.

74. Schwinger J. Gauge Invariance and Mass.-Phys.Rev.,125, 1962,No.1,p.397-398.

75. Schwinger J. Gauge Invariance and Mass.II.-Phys.Rev.,1962 No. 5 ,128, p. 242.5-2429.

76. Schwinger J. Gauge Theories of Vector Particles.-In: Theoretical Physics,I.A.E.A.»Vienna,1963,STl/PUB/61.-p.89-134.

77. Stern R. Dynamical Symmetry Breaking and the Renormalization Group.- Phys.Rev.,1976,D14, No.8,p.2081-2092.

78. Weinberg S. A Model of Leptons.-Phys.Rev.Lett.,1967,Vol.19, No.21,p.1264-1266.

79. Weinberg S. Non-Abelian Gauge Theories of the Strong Interact ions. -Phys. Re v. Lett . ,1973 , Vol. 31, No. 7, p. 494-49 7.

80. Wilson K.D. Confinement of Quarks.- Phys.Rev.,1974, DIP, No.8,p.2445-2459.

81. Zurnino B. Theories with Gauge Groups.- Acta Physica Austriaca /Supplementum II/,1965,p.212-233«

82. Zumino B. Charge Conservation and the Mass of the Photon.-Phys.Lett.,1964,Vol.10,p.224-226.