Эффекты динамического нарушения симметрий в плотной кварковой среде с учетом граничных условий и неоднородности конденсатов в четырехфермионных моделях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

№

Хунджуа Тамаз Григорьевич

ЭФФЕКТЫ ДИНАМИЧЕСКОГО НАРУШЕНИЯ

СИММЕТРИЙ В ПЛОТНОЙ КВАРКОВОЙ СРЕДЕ С УЧЕТОМ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ И НЕОДНОРОДНОСТИ КОНДЕНСАТОВ В ЧЕТЫРЕХФЕРМИОННЫХ МОДЕЛЯХ

Специальность 01.04.02 — Теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

16 МАЙ 2013

005058816

Москва - 2013

005058816

Работа выполнена на кафедре теоретической физики физического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Жуковский Владимир Чеславович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор кафедры высшей математики факультета информатики МГУПИ П.А. Эминов

доктор физико-математических наук профессор кафедры квантовой теории поля и физики высоких энергий Физического факультета МГУ В.И. Денисов

Ведущая организация: Государственный научный центр

Российской Федерации Институт физики высоких энергий, г. Протвино

Защита состоится "Кб" 2013 г. в мин. на заседании

диссертационного совета Д 501.002.10 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, г. Москва, Ленинские горы, МГУ, дом 1, стр. 2, физический факультет, ауд

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан "] ^ " апреля 2013 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 501.002.10 доктор физико-математических наук профессор

Поляков П.А.

Общая характеристика работы

Актуальность темы

После триумфального подтверждения "Стандартной модели" взаимодействия элементарных частиц, Большой адронный коллайдер (LHC) перешел на режим столкновения тяжелых ионов, в ходе которых можно изучать поведение плотной кварковой среды. Также уже несколько лет результаты экспериментов о поведении плотной кварковой среды поступают из американского ускорителя RHIC (Relativistic Heavy Ion Collider) и космических обсерваторий, наблюдающих за компактными звездами. Об актуальности данной проблемы ярко свидетельствуют масштабы экспериментальных исследований и количество физиков, участвующих в них.

Фундаментальной теорией, описывающей физику элементарных частиц, является теория квантованных калибровочных полей, роль переносчиков взаимодействия в ней играют калибровочные бозоны. Это промежуточные векторные частицы - кванты поля Янга-Миллса. Поле Янга-Миллса можно ассоциировать с любой полупростой группой Ли. Оно задается полем Ац(х), принимающим значение в алгебре Ли этой группы. Если калибровочной группой является абелева группа U(l), а спиноры р(х) реализуют ее фундаментальное (спинорное) представление, то в роли векторной частицы выступает фотон, спиноры описывают электроны, а лагранжиан теории описывает электромагнитное взаимодействие. Если же в качестве калибровочной группы выбрать неабелеву группу SU{3), то в теории будут участвовать 8 калибровочных бозонов, называемых глюонами, а спиноры будут описывать кварки. После квантования такая теория называется квантовой хромодинамикой (КХД).

КХД обладает свойством асимптотической свободы, это означает, что при больших энергиях (маленьких расстояниях) константа связи очень мала, а при уменьшении энергии (увеличении расстояния) константа связи растет, что не позволяет кваркам находится в свободном состоянии. Это свойство вынуждает глюоны и кварки находиться в бесцветном связанном состоянии, представляя из себя адронные частицы.

Еще одной характерной чертой КХД является эффект спонтанного нарушения киральной симметрии в секторе и— и d— кварков в пределе нулевой голой массы кварков. Действительно, в этом пределе лагранжиан

КХД инвариантен относительно кирального преобразования:

СЬ^-О (1>

где г - матрицы Паули в изоспиновом пространстве. В низкоэнергетическом режиме эта симметрия спонтанно нарушается, вследствие чего и— и d— кварки приобретают массу mq ~ 300MeV (конституэнтная масса).

Несмотря на то, что точная киральная симметрия в природе не наблюдается, из того факта, что голые массы и— и d— кварков малы (тпи = 2-8 МэВ,т^ = 5-15 МэВ) по сравнению с характерными масштабами КХД (Л 200 МэВ), следует, что идеальный безмассовый случай не так далек от реальности.

Также, при высокой плотности кварков, существуют теоретические предсказания спонтанного нарушения цветовой группы симметрии Uc( 1) и, как следствие, наблюдение эффекта цветовой сверхпроводимости.

Основным методом аналитического изучения квантованных калибровочных полей является метод разложения по константе связи. Очевидно, что основным условием его применимости является малость этой константы связи. Однако как было отмечено выше, КХД является асимптотически свободной теорией и при описании коллективных явлений дальнего порядка константа связи становится слишком большой для применения пертур-бативой техники.

Наиболее удачным методом аналитического описания фазовой структуры КХД является применение эффективных моделей. Несмотря на упрощенный вид, такие модели обладают неоспоримыми преимуществами. Самой популярной из них стала модель четырехфермионного взаимодействия. Впервые предложенная в пространстве размерности (3+1), модель Намбу-Йона-Лазинио (НЙЛ) оказалась применимой к описанию кирального нарушения симметрии и динамической генерации масс у кварков. Основным недостатком модели НЙЛ является ее неперенормируемость, что ограничивает диапазон ее применимости на низкие температуры и плотности.

Однако модель Гросса-Невё (ГН) в пространствах размерности (1+1) и (2+1) такого недостатка не имеет. Более того, модель ГН обладает такими преимуществами, как асимпотическая свобода и размерная трансмутация, что делает ее идеальным инструментом для изучения фазового портрета КХД.

Цель диссертационной работы

Целью данной работы является изучение эффектов пионной конденсации с учетом влияния ограниченного объема взаимодействия, а также эффектов возникновения неоднородных кирального и сверхпроводящего конденсатов в рамках двумерной четырехфермионной модели Гросса-Невё.

Научная новизна

В диссертационной работе впервые удалось выразить термодинамический потенциал модели Гросса-Невё с двумя кварками и ненулевым изотопическим химическим потенциалом в аналитическом виде. С его помощью был предсказан фазовый переход второго рода из вакуума в фазу пионной конденсации.

На основе численных расчетов был исследован фазовый портрет модели Гросса-Невё с двумя кварками в терминах барионного и изотопического химических потенциалов, как в неограниченном объеме взаимодействия, так и в ограниченном. В ходе исследования была впервые обнаружена новая фаза пионной конденсации ПК^, провоцируемая ограниченным объемом взаимодействия. Новая фаза ПК^ в отличие от обыкновенной фазы ПК существует совместно с ненулевой плотностью кварков, то есть совместно с нормальной кварковой материей.

Также в рамках модели Гросса-Невё впервые исследовано влияние, оказываемое волной киральной плотности на сверхпроводящую фазу. Как выяснилось, волна киральной плотности при определенных параметрах системы подавляет фазу сверхпроводимости при том, что фазе сверхпроводимости энергетически выгодно оставаться пространственно однородной.

Практическая значимость

Результаты диссертации могут быть использованы для экспериментального поиска и теоретической интерпретации новой фазы пионной конденсации ПКа. Также с их помощью может быть изучен эффект подавления цветовой сверхпроводимости волной киральной плотности. Предсказанные явления могут играть важную роль в поведении плотной кварковой среды в экспериментах по столкновению тяжелых ионов и физике компактных звезд.

Апробация работы

Содержание различных разделов диссертационной работы представлялось в виде докладов на научном семинаре группы физики высоких энергий физического факультета Гумбольтскош университета (Берлин, 2010); на 15-ой международной Ломоносовской конференции по физике элементарных частиц (МГУ, Москва, 2011); на научной сессии-конференции секции ЯФ ОФН РАН "Физика фундаментальных взаимодействий"(ИТЭФ, Москва, 2011); на научной конференции "Ломоносовские чтения"(МГУ, Москва, 2013).

Публикации

По материалам диссертации опубликовано 5 научных работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из Введения, трех глав основного текста, заключения и приложения. Полный объем диссертации составляет 101 страницу. Список литературы включает 103 ссылки.

Основное содержание работы

Во Введении кратко описаны основные положения калибровочной теории сильных взаимодействий и приведены причины, по которым при описании эффектов дальнего порядка необходимо применять эффективные теории. Также в ней обоснована актуальность исследований, проведенных в диссертационной работе.

В Главе 1 подробно описаны свойства четырехфермионных моделей.

В разделе 1.1 выведено эффективное действие модели Намбу-Иона-Лазинио, на основе которого показано, что при определенных значениях константы связи модель описывает эффект спонтанного нарушения симметрии. Так как основные результаты работы получены в рамках модели Гросса-Невё, существенная часть первой главы посвящена именно ей.

В разделе 1.2 выведено и перенормировано эффективное действие

для (1+1)-мерной модели Гросса-Невё. На основе вычисленного эффектив-

6

ного действия изучено основное состояние системы и показано, что модель обладает свойством асимптотической свободы.

В разделе 1.3 изучен фазовый портрет модели в терминах химического потенциала ц и температуры Т.

Раздел 1.4 посвящен описанию эффектов образования пространственно неоднородных конденсатов.

Целью Главы 2 является изучение эффекта пионной конденсации в терминах модели Гросса-Невё с учетом ограниченного объема термодинамической системы.

В разделе 2.1 дано краткое историческое описание исследований пи-онного конденсата, а также обоснована актуальность поставленной задачи.

Раздел 2.2 посвящен выводу термодинамического потенциала из лагранжиана обобщенной модели Гросса-Невё в пределе N со\

ьчЯ = Ч[7р1дР - т0 + М7° + "7-37°]я+ + ф75тд)2], (2)

где каждое кварковое поле д(х) = '-Ца(х) является дублетом по ароматам (г = 1,2, или г = и, й), и Л^-плетом по цветам (а = 1, ...,ЛГС). Кварковое поле является также двухкомпонентным дираковским спинором. Т[:(к = 1,2,3) - матрицы Паули. Барионный химический потенциал ц в (2) отвечает за ненулевую плотность кварковой материи, тогда как изоспино-вый химический потенциал V введен в рассмотрение с целью изучения свойств кварковой материи при ненулевой изоспиновой плотности (в этом случае плотности и— и ¿— кварков разные).

Если V = 0 и то = 0 лагранжиан (2) имеет симметрию относительно группы преобразований х 5[/д(2). При р ф 0 и то = О, указанная симметрия нарушается до группы [//^(1) х £//3л(1), где /з = тз/2 третья компонента оператора изоспина. Очевидно, эта симметрия может быть представлена как [//3( 1) х С/д/3( 1). где [7/3( 1) изоспиновая подгруппа, а иА1з(1) аксиально-изоспиновая подгруппа. Кварки преобразуются под действием этих подгрупп как q —> ехр(г^гз)? и д -» ехр(г^з'75тз)д, соответственно. В случае и = О, то ф 0 лагранжиан (2) инвариантен относительно группы 5£//(2), являющейся диагональной подгруппой киральной группы 5^(2) х 5[/л(2). Наконец, в самом общем случае и ф 0, то ф 0 исходная модель (2) симметрична относительно подгруппы С//3. В дополнение, очевидной группой симметрии во всех вышеуказанных случаях является цветовая группа

В разделе 2.3 вычислен термодинамический потенциал с учетом влияния конечного объема взаимодействия. Моделирование такого эффекта достигается погружением модели в пространство, ограниченное следующим условием 0 < х < Ь. Хорошо известно, что такое ограничение на физическую систему может быть эквивалентно описано в пространстве с нетривиальной топологией, в котором координата компактифицирована. Это означает, что можно исследовать модель (1) в пространстве с топологией В.1 х 51, которая накладывает следующие граничные условия на квантовые поля:

я%х + Ь) = (?"фЧ$,х), (3)

где 0 < ф < 2, Ь - длина окружности 51, а переменная х - путь вдоль нее. В работе рассмотрены два предельных случая ф: периодический ф = 0 и антипериодический ф= 1.

Раздел 2.4 посвящен изучению модели (2) в плоском пространстве 5"1 х 51. Показано, что в частном случае нулевого барионного химического потенциала термодинамический потенциал удается вычислить в аналитической форме и описать фазовый переход второго рода из вакуума в фазу пионного конденсата. Причем критическое значение изотопического химического потенциала равно массе пиона в вакууме. Также на основе численных расчетов построен и изучен фазовый портрет для общего случая в переменных ц,и (Рис.1). На нем видно, что в системе в неограниченном объеме могут существовать фазы пионной конденсации, нормальной кварковой материи (I и И) и вакуум. Причем важно отметить, что в фазе пионной конденсации кварковая плотность равно нулю.

В разделе 2.5. рассмотрен более общий случай модели (2), в котором учитывается влияние конечного объема системы, что эквивалентно погружению модели в пространство с топологией Я1 х 51. Показано (Рис.2), что в периодическом случае (ф = 0) в модели появляется новая фаза пионной конденсации (ПК^), которая в отличие от обыкновенной фазы ПК сосуществует с фазой нормальной кварковой материи. В антипериодическом случае (ф = 1) такой ситуации не наблюдается, что свидетельствует о большой роли нулевой моды в наблюдаемом эффекте.

В разделе 2.6 подведены итоги исследований, проведенных в главе 2, сделаны выводы и резюмированы полученные результаты.

Глава 3 посвящена изучению пространственно неоднородных конденсатов и их влиянию на фазу цветовой сверхпроводимости.

В разделе 3.1 описан механизм возникновения сверхпроводящей фазы в плотной кварковой среде, а также сформулирована задача исследования и обоснована ее актуальность.

Раздел 3.2 посвящен вычислению термодинамического потенциала исследуемой модели в пределе N —»• оо. Лагранжиан теории имеет следующий вид:

Ь = фк [уф, + /х7°] г/,к+Щ- [(■фкфк)2 + (фкгуЧк)2] +

где ц - химический потенциал числа фермионов. Все фермионные поля фк (к = 1,...,7У) представляют собой фундаментальный мультиплет группы О (И). К тому же, каждое поле 1рк является двухкомпонентным дираков-ским спинором, а е - матрица зарядового сопряжения. Как видно из (4), киральный и дикварковый конденсаты изучаются в рамках одной термодинамической системы, что позволяет судить об их влиянии друг на друга.

Изучаемая пространственная неоднородность имеет вид волны:

Выбор неоднородности в таком виде продиктован ее теоретическим предсказанием в рамках КХД [Deryagin, О^опеу, ЯиЬакоу, 1992].

Отношение между константами связи Сх и С?2 играет важную роль, поэтому для удобства расчетов в теорию введен безразмерный параметр 5, характеризующий преобладание одного канала взаимодействия над другим:

В разделе 3.3 изучено поведение модели в случае однородных конденсатов (Ь = Ь' = 0). С помощью численных методов построены фазовые портреты в переменных Т) для случая, в котором доминирует кираль-ный канал взаимодействия <5 = 1 (Рис.3), и для случая, в котором доминирует дикварковый канал взаимодействия 6 = — 1 (Рис.4). Следует отметить, что качественные различия фазовые портреты имеют только в этих двух случаях, то есть величина преобладания одного канала над другим вносит лишь количественные изменения, поэтому без потери общности можно изучать только эти два случая. Также важно отметить, что даже в случае очень существенного преобладания кирального канала над дикварковым (5 » 1) существует критическое значение плотности, при которой система перейдет в фазу цветовой сверхпроводимости.

Раздел 3.4 посвящен изучению влияния волны киральной плотности (Ь Ф 0, Ь' = 0) на фазу цветовой сверхпроводимости. С помощью численных расчетов построены фазовые портреты модели для случая 5 = 1 (Рис.5) и 5 = — 1 (Рис.6). Если их сравнить с фазовыми портретами для однородного случая (Рис.3 и Рис.4), можно заметить, что волна киральной плотности при 6 > 0 подавила сверхпроводящую фазу. Таким образом при доминировании кирального канала взаимодействия, в отличие от однородного случая, фаза цветовой сверхпроводимости не реализуется ни при каких значениях плотности.

<5 = 21п—!-

&У

(6)

Симметричная фаза

Фаза цветовой

Киральная фаза сверхпроводимости

о 0.1 02 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 г

Рис. 3: Фазовый портрет при 5 = 1 в случае Рис. 4: Фазовый портрет при 5 = —1 в

однородных конденсатов (Ъ~Ъ' = 0). случае однородных конденсатов (6 = Ъ' = 0).

Симметричная фаза

Волна киральной плотности (Ъ=р)

Симметричная фаза

а цветовой сверхпроводимости

0.1 0.2 0.3 0.4

0.6 0,7 0.8 0.9 1 *

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

Рис. 5: Фазовый портрет при 5 = 1 в случае волны киральной плотности (6^0, ¿/ = 0)

Рис. 6: Фазовый портрет при 6 = — 1 в случае волны киральной плотности

(М0,Ь' = 0)

В разделе 3.5 при помощи численно-аналитического расчета, описанного в приложении к диссертационной работе, изучен самый общий вид неоднородности (6 ф 0; Ь' ф 0). В ходе исследований выяснилось, что дикварковому конденса1у энергетически не выгодно быть неоднородным, то есть термодинамический потенциал имеет минимум при Ъ' — 0. Таким образом фазовые портреты, построенные в разделе 3.4, актуальны и для общего случая.

В заключительном разделе 3.6 произведен анализ полученных результатов и сравнение их с результатами предшествующих работ по изучению неоднородных конденсатов в модели Гросса-Невё.

В Заключении подведены итоги диссертационной работы и сформулированы основные положения, выносимые на защиту:

1. Описано явление пионной конденсации в рамках модели Гросса-Невё с учетом барионного ц и изотопического химических потенциалов.

2. В случае нулевого барионного химического потенциала, используя эллиптические интегралы, удалось выразить эффективный потенциал модели в аналитическом виде и на его основе предсказать фазовый переход из вакуума в фазу пионной конденсации.

3. В случае безграничного объема взаимодействия, что соответствует тривиальной топологии (Д1 х Л1), с помощью численных методов построен фазовый портрет модели в переменных (д, ь>) и исследована его структура.

4. В случае ограниченного объема взаимодействия, что соответствует нетривиальной топологии (51 х Л1), построена и изучена серия фазовых портретов в зависимости от размеров системы и условий периодичности.

5. Выяснилось, что в случае периодических граничных условий образуется новая фаза пионной конденсации ПК^, которая, в отличие от классической фазы ПК, имеет ненулевую кварковую плотность, то есть сосуществует с нормальной кварковой материей.

6. Рассмотрена возможность образования пространственно неоднородных конденсатов в виде волны в модели Гросса-Невё с учетом цветовой сверхпроводимости.

7. Построены фазовые портреты в переменных (р, Т) и обнаружено, что киральный конденсат образует волну плотности и тем самым препятствует возникновению фазы цветовой сверхпроводимости в области высоких плотностей. Показано, что дикварковому конденсату энергетически не выгодно принимать неоднородную структуру и он остается однородным при любой величине плотности.

Публикации автора по теме диссертации

1. В.Ч. Жуковский, К.Г. Клименко, Т.Г. Хунджуа. Пионная конденсация в модели Гросса-Неве // Вестник Московского Университета. 2010. Т. 3, № 1. с. 23.

2. D. Ebert, T.G. Khunjua, K.G. Klimenko, V.Ch. Zhukovsky. Charged pion condensation phenomenon of dense baryonic matter induced by finite volume: the NJL2 model consideration // Int.J.Mod.Phys. A. 2012. T. 27, № 27. c. 1250162.

3. В.Ч. Жуковский, К.Г. Клименко, Т.Г. Хунджуа. Влияние волны ки-ральной плотности на сверхпроводящую фазу в двумерной модели Гросса-Невё // Вестник Московского Университета. 2013. Т. 3, № 2. с. 11.

4. D. Ebert, T.G. Khunjua, K.G. Klimenko, V.Ch. Zhukovsky. Finite size effects in the Gross-Neveu model with isospin and baryonic chemical potentials// Proceedings of the Fifteen Lomonosov Conference on Elementary Particle Physics, Moscow, 18-24 August 2011/ Ed. by A. Studenikin. - Singapore: World Scientific, 2013. - Pp. 429-432.

5. Жуковский В.Ч., Клименко К.Г., Хунджуа Т.Г. Влияние волны киральной плотности на сверхпроводящую фазу в двумерной модели Гросса-Невё // Научная конференция " Ломоносовские чтения", секция физики, апрель 2013 года. Сборник тезисов докладов. - Москва: физ. ф-т. МГУ, 2013. -С. 149-152.

Подписано к печати jfl.fyf.43 ТЦяп« 4ПО Заказ АЗ

Отпечатано в отделе опер^тааной печати фкзкчссхота факультета МГУ

московский государственный университет

имени м.в.ломоносова физический факультет

04201 7ч6444 на правах Рукописи

удК539 1201

хунджуа тамаз григорьевич

ЭФФЕКТЫ ДИНАМИЧЕСКОГО НАРУШЕНИЯ СИММЕТРИЙ В ПЛОТНОЙ КВАРКОВОЙ СРЕДЕ С УЧЕТОМ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ И НЕОДНОРОДНОСТИ КОНДЕНСАТОВ В ЧЕТЫРЕХФЕРМИОННЫХ МОДЕЛЯХ

Специальность 01.04.02 — «Теоретическая физика»

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: Профессор, доктор физ-мат наук Жуковский В.Ч.

Москва - 2013

Введение 4

1 Модели с четырехфермионным взаимодействием 8

1.1 Модель Намбу-Йоно-Лазинио......................................8

1.2 Модель Гросса-Невё................................................12

1.3 Фазовый портрет модели Гросса-Невё............................18

1.4 Неоднородные конденсаты в модели Гросса-Невё ..............21

2 Пионная конденсация в модели Гросса-Невё 23

2.1 Пионная конденсация..............................................23

2.2 Описание модели и ее термодинамический потенциал..........24

2.3 Учет влияния конечного пространства............................31

2.4 Фазовый портрет модели в пространстве 51 х 51................34

2.4.1 Частный случай ¡л = 0, г/ = 0, тг ф 0....................34

2.4.2 Частный случай ¡л = О, V ф 0, тг ф 0....................36

2.4.3 Частный случай /л ф О, V — 0, тг ф 0....................39

2.4.4 Общий случай ¡л ф О, V ф 0, тг ф 0......................41

2.5 Фазовый портрет модели в пространстве Д1 х 51 ..............44

2.5.1 Периодический случай (ф = 0)............................44

2.5.2 Антипериодический случай (ф = 1)......................51

2.6 Результаты и выводы................................................53

3 Неоднородные киральный и дикварковый конденсаты в модели Гросса-Невё 55

3.1 Цветовая сверхпроводимость . ..................................55

3.2 Модель и её термодинамический потенциал......................57

3.3 Случай однородных конденсатов (Ь = Ь' = 0)....................62

3.3.1 Перенормировка ТДП................... 62

3.3.2 Фазовый портрет...................... 64

3.4 Волна киральной плотности (Ь ф О, Ъ' — 0)........... 68

3.4.1 Симметричное импульсное обрезание.......... 69

3.4.2 Несимметричное импульсное обрезание......... 71

3.4.3 Фазовый портрет...................... 73

3.5 Общий случай (Ь ф 0 и У ф 0).................. 75

3.6 Результаты и выводы........................ 76

Заключение 77

Благодарности 79

Список рисунков 82

Приложение 83

А Эффективный потенциал в форме эллиптических интегралов 83

В Континуальный интеграл с диферм ионным взаимодействием 88

С Интегрирование ТДП при Ь ф 0 и Ь' ф 0 90

После триумфального подтверждения "Стандартной модели" взаимодействия элементарных частиц, Большой адронный коллайдер (LHC) перешел на режим столкновения тяжелых ионов, в ходе которых можно изучать поведение плотной кварковой среды. Также уже несколько лет результаты экспериментов о поведении плотной кварковой среды поступают из американского ускорителя RHIC (Relativistic Heavy Ion Collider) и космических обсерваторий, наблюдающих за компактными звездами. Об актуальности данной проблемы ярко свидетельствуют масштабы экспериментальных исследований и количество физиков, участвующих в них.

Фундаментальной теорией, описывающей физику элементарных частиц, является теория квантованных калибровочных полей, роль переносчиков взаимодействия в ней играют калибровочные бозоны. Это промежуточные векторные частицы - кванты поля Янга-Миллса. Поле Янга-Миллса можно ассоциировать с любой полупростой группой Ли. Оно задается полем принимающим значение в алгебре Ли этой группы. Если калибровочной группой является абелева группа U( 1), а спиноры ф(х) реализуют ее фундаментальное (спинорное) представление, то в роли векторной частицы выступает фотон, спиноры описывают электроны, а лагранжиан теории описывает электромагнитное взаимодействие. Если же в качестве калибровочной группы выбрать неабелеву группу SU(3), то в теории будут участвовать 8 калибровочных бозонов, называемых глюонами, а спиноры будут описывать кварки. После квантования такая теория называется квантовой хромодинамикой (КХД).

КХД обладает свойством асимптотической свободы, это означает, что при больших энергиях (маленьких расстояниях) константа связи очень мала, а при

уменьшении энергии (увеличении расстояния) константа связи растет, что не позволяет кваркам находится в свободном состоянии. Это свойство вынуждает глюоны и кварки находиться в бесцветном связанном состоянии, представляя из себя адронные частицы.

Еще одной характерной чертой КХД является эффект спонтанного нарушения киральной симметрии в секторе и— и с1— кварков в пределе нулевой голой массы кварков. Действительно, в этом пределе лагранжиан КХД инвариантен относительно кирального преобразования:

где т - матрицы Паули в изоспиновом пространстве. В низкоэнергетическом режиме эта симметрия спонтанно нарушается, вследствие чего и— и с?— кварки приобретают массу тд ~ 300МеУ (конституэнтная масса).

Т

Рисунок 1: Фазовый портрет КХД. Овалами обозначены области исследуемые на

ускорителях тяжелых ионов.

Несмотря на то, что точная киральная симметрия в природе не наблюдается, из того факта, что голые массы и— и с/— кварков малы (ти = 2 — 8 МэВ,т^ = 5—15 МэВ) по сравнению с характерными масштабами КХД (А « 200 МэВ), следует, что идеальный безмассовый случай не так далек от реальности.

Также, при высокой плотности кварков, существуют теоретические предсказания спонтанного нарушения цветовой группы симметрии IIс( 1) и, как следствие, наблюдение эффекта цветовой сверхпроводимости.

Основным методом аналитического изучения квантованных калибровочных полей является метод разложения по константе связи. Очевидно, что основным условием его применимости является малость этой константы связи. Однако, как было отмечено выше, КХД является асимптотически свободной теорией и при описании коллективных явлений дальнего порядка константа связи становится слишком большой для применения пертурбативой техники.

Наиболее удачным методом аналитического описания фазовой структуры КХД является применение эффективных моделей. Несмотря на упрощенный вид, такие модели обладают неоспоримыми преимуществами. Самой популярной из них стала модель четырехфермионного взаимодействия. Впервые предложенная в пространстве размерности (3+1), модель Намбу-Йона-Лазинио (НЙЛ) [1] оказалась применимой к описанию кирального нарушения симметрии и динамической генерации масс у кварков. Основным недостатком модели НЙЛ является ее неперенормируемость, что ограничивает диапазон ее применимости на низкие температуры и плотности.

Однако модель Гросса-Невё (ГН) [2] в пространствах размерности (1+1) и (2+1) [3] такого недостатка не имеет. Более того, модель ГН обладает такими преимуществами, как асимпотическая свобода и размерная трансмутация, что делает ее идеальным инструментом для изучения фазового портрета КХД.

Данная работа посвящена изучению свойств четырехфермионной модели Гросса-Невё и ее применению к описанию таких свойств плотной кварковой среды, как нарушение киральной симметрии и цветовая сверхпроводимость.

В первой главе будет дано краткое теоретическое введение в методы описания плотной кварковой среды с помощью четырехфермионных моделей. Затем, в главе 2, эти методы будут обобщены на случай спонтанного нарушения киральной симметрии с учетом влияния конечных размеров пространства. В

третьей главе будут рассмотрены возможности формирования пространственно неоднородных конденсатов в цветовой сверхпроводимости.

Модели с четырехфермионным взаимодействием

1.1 Модель Намбу-Йоно-Лазинио

В 1961 г. Намбу и Йоно-Лазинио (НЙЛ) предложили модель, в которой пытались объяснить происхождение массы нуклона с помощью рассмотрения спонтанного нарушения киральной симметрии [1].

Модель была сформулирована на основе нуклонов, пионов и скалярных а— мезонов1. Следует напомнить, что в то время фундаментальная теория сильных взаимодействий, квантовая хромодинамика (КХД) еще не была построена.

Через 15 лет японские физики Т.Егучи и К.Кикава [6,7] переформулировали эту модель для кварков. Важно, что в феноменологических кварковых моделях предполагается формирование всех адронов из составляющих кварков с массой т « 300 МэВ, тогда как в КХД фигурируют более легкие токовые кварки с массой т° « 5 — 7 МэВ. В работах [6,7] показано, что легкие токовые кварки переходят в массивные составляющие кварки в результате спонтанного нарушения киральной симметрии. Однако там была рассмотрена только простейшая версия модели НИЛ в киральном пределе т° = 0. В этом случае массы всех псевдоскалярных мезонов равны нулю.

В 1982 в работах М.К. Волкова и Д. Эберта была введена в рассмотрение более реалистичная версия кварковой модели НЙЛ при гп° ф 0 [8,9]. Это

'Важно отметить, что в том же 1961 году были опубликованы две работы [4,5] советских ученых посвященные решению тех же проблем.

позволило описать спектр масс, внутренние свойства, сильные и электрослабые взаимодействия скалярного, псевдоскалярного, векторного и аксиально-векторного мезонных нонетов. В 1984 г. Т.Хатсуда и Т.Кунихиро применили эту модель для описания адронов в горячей и плотной среде [10,11].

После этих работ модель Намбу-Йоно-Лазинио получила широкую известность и по существу заняла одну из главных ролей в феноменологическом описании свойств КХД. Рассмотрение модели НЙЛ обобщалось на случаи с учетом влияния внешних магнитных и хромомагнитных полей, инстантонной поляризации вакуума, конечного размера пространства, нетривиальных топологий и.т.д.

Чтобы проиллюстрировать основные свойства модели НЙЛ рассмотрим простейшую ее версию. Исходный лагранжиан четырехфермионного взаимодействия имеет вид:

С

¿Ф = ^ 'ФкЪ&Фк +

2ДГ к=1

N N

[. к=1 к=1

(1.1)

Для того, чтобы использовать непертурбативный метод 1 /А^--разложения, используют Ы- фермионную версию модели при N —>• оо. Модель при этом инвариантна относительно простейших непрерывных киральных преобразований:

фк-±е1в^фк- (к = 1, (1.2)

Для начала выясним свойства вакуума теории (1.1). Для этого введем дополнительные бозонные поля по следующим формулам:

_ _

Ох = —{фф)-, = (1.3)

тогда лагранжиан (1.1) будет выглядеть как:

£а = ф1дф -ф(а1+ ж2ъ)Ф ~ + а1)- (1>4)

Здесь ради простоты у ф опущен индекс к, нумерующий ферми-поля. Надо отметить, что в терминах бозонных полей киральные преобразования (1.2)

выглядят следующим образом:

Фк егв^фк]

О"! —>■ COS 0\ — sin 02', (1-5)

<72 —>• sin (7i + COS СГ2.

Законность введения бозонных полей (1.3) очевидно следует из следующего соотношения (соотношение Хаббарда-Стратоновича):

J ЪфТ>фТ>а1Т>а2ехр1 J La(x)d4x = J ЪфЪфех pi J L^(x)d4x.

Запишем производящий функционал для функций Грина

Произведем преобразование Лежандра для производящего функционала связных функций Грина W[J, J], по определению это:

W\J, J] = Г[сг Ф-> Ф] + J (£х(3{х)ф{х) + 3{х)ф{х)), (1.7)

где Г [<7^2, ф, ф] эффективное действие. Следовательно (1.6) с учетом (1.7) имеет следующий вид:

егГ[аг,2.ф.ф] = J ЩЩХ)^^ I <*xLa{M,<ju<T2) _ (1 g)

Возьмем в (1.8) континуальные интегралы по спинорным полям:

еггк2] = J Va^^e^^^+^iáetiid - ai - 275(73). (1.9)

Предполагая, что N 1, мы можем воспользоваться приближением "среднего поля" а(х) а(х) >. В данной главе мы рассмотрим случай лишь однородных конденсатов2 < сг1_2(х) >= <71.2 = const.

Основываясь на предположениях касательно поля а, возьмем оставшиеся пространственные и континуальные интегралы в (1.9) и воспользуемся пред-

2Следует отметить, что данное ограничение не является обязательным и существует целый ряд работ посвященный неоднородным конденсатам в модели НИЛ описанию которых будет уделено внимание.

ставлением det А = exp(Tr ln А), после чего получим выражение для эффективного действия:

= + <4) - гТг1п(г<9 - аг - г75а2), (1.10)

где П - объем пространства времени.

Раскладывая эффективное действие в ряд по производным поля и учитывая, что поля не зависят от координат, очевидно, ненулевым останется только первый член, по определению это эффективный потенциал, умноженный на объем пространства-времени:

г к2] = -t4ff(^i,2)n. (1.11)

В импульсном представлении с учетом (1.11) эффективный потенциал равен:

>-(=) = !+ 2 г/^Ш^-Л 0.12)

где

Е=у/<т* + а1 (1.13)

Переходя в (1.12) к евклидовой метрике (ро —> ipo) и вводя лоренц-инвариантное обрезание области интегрирования (р2 < А2), получаем:

(1.14)

Уравнение стационарности для функции (1.14) имеет вид:

Отсюда видно, что при G < Gc = 47г2/А2 уравнение (1.15) не имеет решений, кроме Е = 0, т.е. в этом случае фермионы безмассовы и киральная инвариантность (1.5) не нарушена.

Если G > Gc, то уравнение стационарности (1.15) будет иметь одно нетривиальное решение, на котором располагается глобальный минимум потенциала Vo(£), что означает спонтанное нарушение киральной симметрии и появление у фермионов ненулевой массы. Тем самым четырехфермионная модель Намбу-Йоно-Лазинио описывает механизм спонтанного нарушения киральной симметрии.

Как видно, выражение (1.12) не перенормируется, т.е. параметр А не устраним и является размерным параметром модели. Таким образом применение модели Намбу-Йоно-Лазинио ограничено случаем низких энергий, плотностей и температур, что очевидно, является ее существенным минусом.

В заключение, следует добавить, что основной фундаментальной проблемой модели НЙЛ является возможность получения эффективного лагранжиана (1.1) из первых принципов фундаментальной теории КХД. Одна из интересных попыток такого рода была предпринята в работе [12], где SU{2) х ¿'[/(2)-симметричное четырехкварковое взаимодействие в скалярном и псевдоскалярном каналах было получено при использовании инстантонной модели вакуума КХД.

Так как данная работа посвящена описанию кварковой материи с помощью модели Гросса-Невё, модель НЙЛ представляет для нас лишь исторический интерес и, ограничившись описанием основных свойств этой модели, можно приступать к детальному описанию четырехфермионных взаимодействий в пространстве размерности (1+1).

1.2 Модель Гросса-Невё

В 1974 году Дэвид Гросс и Андрэ Невё рассмотрели четырехфермион-ную модель НЙЛ в пространстве размерности (1+1). В своей классической работе [2] они продемонстрировали такие преимущества двумерной модели, как асимптотическая свобода, перенормируемость и размерная трансмутация - свойства присущие фундаментальной теории КХД и недостающие эффективной модели НЙЛ. Впоследствии оказалось, что помимо формального сходства существует более глубокая связь с фундаментальной теорией, а результаты, полученные на основе модели Гросса-Невё, с точностью до масштабов описывают поведение плотной кварковой среды. На первый взгляд ис-

кусственная модель Гросса-Невё оказалась крайне удачной и, как следствие, очень популярной "лабораторией" для изучения свойств КХД . Ее простота по сравнению с калибровочными теориями позволяет описывать влияние таких внешних условий, как искривленное пространство, нетривиальная топология, электромагнитное [13,14] и хромомагнитное поле, неоднородные конденсаты и.т.д.

Лагранжиан модели Гросса-Невё выглядит следующим образом:

* _ 1 / N _ \2 ¿см = ^Фггдфг + -д20\У2ФгФг) . (1-16)

Как и в модели НЙЛ, расчеты производятся в пределе 'т Хоофта (ТУ —>■ оо). Лагранжиан (1.16) инвариантен относительно дискретных преобразований фг —»■ 75фг. Используя следующий вид для матриц Дирака в двумерном пространстве:

О Л 1 • ( 0 Л 5 Л 0

7 =С71=(,1 о); 7 =1(72=(,-1 о); 7 =аз=(,0 -ху

можно показать, что лагранжиан (1.16) симметричен относительно кирально-го преобразования:

фгфг = ф\^ф = -фЬ0фг = -ФгФг• (Ы7)

Таким образом, величина (фгфг)2 действительно остается инвариантной. В дополнение к киральной 2(2)-симметрии модель, очевидно, инвариантна относительно группы и{Ы).

Следует отметить, что в классической работе [2] авторы также рассматривают лагранжиан с дополнительным псевдоскалярным каналом взаимодействия:

1 о Г/- , \ 2 /— к , х 2

£ХСМ = Фг^дфг + -д1 у{фгфг) ~ {Фг^Фг)

(1.18)

который инвариантен относительно непрерывного преобразования ф —> е^^ф. Такой вариант лагранжиана взаимодействия в современной

литературе имеет разные названия: киральная модель ГН (хСА^), двумерная модель НЙЛ (А^Л/2) или модель Тиринга.

В системе единиц % = с = 1 дираковское поле имеет массовую размер-

ность

2 где И - размерность пространства. В двумерном пространстве И = 2, поэтому массовая размерность фермионного поля Следовательно, четырехфермионное взаимодействие имеет массовую размерность 2, которая сокращается с объемом интегрирования. Отсюда следует, что константа связи безразмерная.

Введя составное бозонное поле по формуле3 а = —д^фгфг, можно записать исходный лагранжиан (1.16) в следующем виде:

£а = фг1дфг - стфгфг

1

Ч

Г О"

(1.19)

Покажем явно, что процедура линеаризации лагранжиана (1.16) путем введения составного поля а не меняет меру континуального интеграла:

Т>а ехр

Т>сгехр

й х | —афгфг 1

ч

и

<1 х

1

с!е1 \ ч 9о,

-1/2

ехр

2д2 О7 + 9оФгФг) + ^(ФгФгУ (Рх^д^ФгФг)2

(1.20)

Как видно, результатом введения бозонного поля а является константа, не влияющая на физику процессов.

Однако для того чтобы, воспользоваться техникой размерной перенормировки, необходимо сделать важное замечание по поводу размерности поля а. Следуя процедуре размерной перенормировки, примем размерность фермионного поля за | — е. Тог�