Динамическое нарушение симметрий в плотной кварковой материи под влиянием внешних гравитационных полей тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи УУ4602412

Тюков Александр Васильевич

ДИНАМИЧЕСКОЕ НАРУШЕНИЕ СИММЕТРИИ В ПЛОТНОЙ КВАРКОВОЙ МАТЕРИИ ПОД ВЛИЯНИЕМ ВНЕШНИХ ГРАВИТАЦИОННЫХ ПОЛЕЙ

01.04.02 — Теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математическихнаук

2 0 МАЯ 20Ю

Москва — 2010

004602412

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Физического факультета Московского Государственного Университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор В. Ч. Жуковский

доктор физико-математических наук, профессор Р. Н. Фаустов

доктор физико-математических наук, профессор В. И. Денисов

Государственный научный центр Российской Федерации Институт физики высоких энергий, г. Протвино

Защита состоится "20" мая 2010 г. в 15 ч. 30 мин, на заседании Диссертационного совета Д 501.002.10 при Московском Государственном Университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, г. Москва, Воробьевы горы, дом 1, стр.2, Физический факультет, ауд. СФА.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Физического факультета МГУ.

Автореферат разослан "16" апреля 2010 г.

Учёный секретарь

диссертационного совета Д 501.002.10 доктор физико-математических наук

профессор '" ' Ю. В. Грац

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Описание свойств кварковой материи является важнейшей задачей квантовой хромодинамики (КХД) - фундаментальной теории сильных взаимодействий. КХД является неабелевой калибровочной теорией, основанной на цветовой группе 5!7С(3), в рамках которой взаимодействие между кварками осуществляется по средствам обмена глюонами. Одним из замечательных свойств КХД является асимптотическая свобода - стремление к нулю инвариантного заряда при больших передаваемых импульсах. Это приводит к тому, что при больших энергиях кварки ведут себя как почти свободные частицы, поэтому для описания их взаимодействий можно использовать теорию возмущений. Однако, при уменьшении энергии эффективная константа связи растет, что делает теорию возмущений неприменимой в инфракрасной области. Поэтому для описания физики низких энергий требуется применение существенно непертурбативных методов, например, вычислений на решетках или использования различных эффективных моделей.

В настоящее время одной из наиболее распространенных эффективных теорий КХД является модель Намбу—Йона-Лазинио (НИЛ), основанная на механизме динамического нарушения симметрии. НЙЛ-модель является релятивистской квантовой теорией поля с точечным четырехфермионным взаимодействием и может рассматриваться как низкоэнергетический предел КХД. Поскольку лагранжианы НЙЛ и КХД имеют одну и ту же группу симметрий, модель может быть использована для изучения свойств непер-турбативного вакуума КХД, в частности под влиянием различных внешних условий, таких как температура и химический потенциал (ненулевая плотность барионов). Роль НЙЛ-модели особенно возрастает при изучении плотной кварковой среды, поскольку при ненулевом химпотенциале становится затруднительным использование численных решеточных методов КХД. Модель НЙЛ также с успехом применяется для изучения динамического нарушения симметрий под влиянием внешних электромагнитных полей.

В то же время для различных космологических и астрофизических приложений большой интерес представляет исследование влияния кривизны пространства-времени на динамическое нарушение симметрий. Одним из распространенных методов учета эффектов гравитации является адиабатическое разложение функции Грина в окрестности фиксированной точки пространства-времени по степеням малой кривизны. Однако, вблизи точки фазового перехода нельзя считать критическое значение кривизны Кс ма-

лой величиной. Поэтому для рассмотрения динамического нарушения симметрии в искривленном пространстве-времени необходимо использование точных по кривизне решений с конечным Дс. Однако, точные решения могут быть получены лишь в ограниченном ряде случаев, когда пространство обладает достаточно широкой группой симметрий. В частности, сюда относятся случаи статических однородных изотропных пространств, а именно статической Вселенной Эйнштейна и статического гиперболического пространства, обладающих соответственно постоянной положительной и отрицательной кривизной.

Целью диссертационной работы является точный учет влияния фоновой гравитации, а также химпотенциала и температуры на динамическое нарушение и восстановление киральной, изоспиновой и цветовой симметрий в плотной кварковой среде в рамках расширенной эффективной модели Намбу—Йона-Лазинио с различными четырехфермионными взаимодействиями в статической Вселенной Эйнштейна и статическом гиперболическом пространстве.

Научная новизна

1. Исследовано влияние внешних гравитационных полей на образование цветовой сверхпроводимости в плотной кварковой среде на примере статической Вселенной Эйнштейна и статического гиперболического пространства.

2. Изучен эффект конечного объема пространства на пионную конденсацию в изотопически асимметричной кварковой материи в замкнутой Вселенной Эйнштейна в рамках четырехмерной модели Намбу-Йона-Лазинио, а также двумерной модели Гросса-Невё с компактифицированной пространственной координатой.

3. Рассмотрено совместное влияние кривизны пространства, химпотенциала и температуры на фазовые переходы с образованием кварково-го, дикваркового и пионного конденсатов.

4. Исследован эффект катализа динамического нарушения киральной и цветовой симметрий в сильном гравитационным поле статического гиперболического пространства.

Научная и практическая значимость работы

Результаты диссертации могут быть использованы для исследования структуры вакуума квантовой хромодинамики в сильных гравитационных полях, а также в различных космологических или астрофизических приложениях, в частности для изучения свойств кварковой материи в ядрах компактных астрофизических объектов, таких как нейтронные звезды.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались на международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов-2007" (Москва, 2007); на международной Ломоносовской конференции по физике элементарных частиц (Москва, 2007); на международной конференции по квантовой теории поля под влиянием внешних условий (QFEXT'07) (Лейпциг, Германия, 2007); на научной конференции секции ЯФ ОФН РАН "Физика фундаментальных взаимодействий" (Москва, 2007); на международной конференции по избранным вопросам современной теоретической физики (SPMTP 08) (Дубна, 2008); на научной конференции "Ломоносовские чтения" (Москва, 2009); на международной конференции "Калибровочные поля. Вчера, сегодня, завтра" (Москва, 2010).

Публикации

По материалам диссертации опубликовано 11 научных работ, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, одного приложения и списка цитируемой литературы, включающего 145 наименований. Объем диссертации составляет 115 страниц. Диссертация содержит 31 рисунок.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обосновывается актуальность темы исследования, формулируется цель работы, дается обзор основных известных публикаций по теме диссертации и описывается ее структура.

В Главе 1 в рамках расширенной модели Намбу-Йона-Лазинио с двумя ароматами кварков рассматривается динамическое нарушение и восстановление киральной и цветовой симметрий под влиянием гравитационного поля, химпотенциала и температуры. В качестве простой модели искривленного пространства-времени размерности D используется статическая Вселенная Эйнштейна вида с постоянной положительной кривизной.

После введения коллективных бозонных полей a, if, Да лагранжиан расширенной НЙЛ-модели имеет вид

С = q [гУ% + М7°] q-q(<r + g - JL(<72 + ir2)

- ^-A*bAb - Д*ь [iq'Cee^q] - Ab [iqee^Of], (1)

где ц - кварковый химпотенциал; - спинорная ковариантная производная; q = g¡0 - кварковый дублет ароматов и цветовой триплет, i = 1,2; а = 1,2,3; бозонные поля определяются из уравнений Эйлера-Лагранжа

Дь=-^»д'СкУд, o = ~~qq, * = -Щ-qtffq. (2)

Лагранжиан инвариантен относительно цветовой группы SUC(3) и кираль-ной группы SUl{2) х SUR{2).

Поля и and 7г являются цветовыми синглетами, а поле Дь - цветовым антитриплетом и сингпетом по ароматам. Если и приобретает ненулевое вакуумное среднее (а) ф 0, то киральная симметрия оказывается динамически нарушенной, а если (Дь) ф 0, то нарушается цветовая симметрия.

Для нахождения истинного вакуума модели вычисляется эффективный потенциал теории, который содержит всю необходимую информацию о кварковых конденсатах, а их значения определяются из условия глобального минимума. Эффективный потенциал для бозонных полей определяется выражением:

^ = ~ + ^ + yeff = A v = JdDxV4, (3)

/Gi G2 v J

где Sq - кварковый вклад.

Для вычисления эффективного потенциала применяется метод среднего поля, сошасно которому бозонные поля заменяются на их средние по вакууму. Используя симметрии модели, основное состояние можно всегда выбрать так, что отличными от нуля будут только конденсаты (а) и (Д3). В приближении среднего поля континуальный интеграл по кварковым полям становится гауссовым и может быть вычислен точно. Тогда кварковый вклад в эффективный потенциал оказывается равным:

Sq(a, Д) = -- jlnDetJ'H2 - (р„ + р)2] + 21nDet [4|Д|2 + (Н- ц)2 -р2]} ,

где р0 = ido; Н = —га V + 0*7° - одночастичный гамильтониан фермиона в искривленном пространстве.

Элемент длины в пространстве Эйнштейна имеет вид

ds2 = dt2 - a2 {dd2 + sin2 6ШС_2), (5)

где a-радиус Вселенной, связанный со скалярной кривизной соотношением R = (D~x)(p~2); а dün-2 - метрика на единичной сфере SD~2.

Для вычисления функциональных детерминантов, определяющих эффективное действие, ищется точное решение задачи на собственные значения для оператора 7т! в случае произвольного D. В результате были получены точные собственные функции, собственные значения и кратности их вырождения:

Нфп = ±Еп-фп, Еп = + сг2, wn = - (п +

D- 1

2

(6)

2[(D+D/2 irm + n-1) = —n!r(I)-l) ' n =

где [а;] - целая часть х.

Это позволило найти точное по кривизне выражение для эффективного потенциала при конечной температуре (термодинамический потенциал):

О оо

-Т7 Е dn {Еп + Tin (1 + + Tin (l + -

V п=0

-- £ 4{У(^-м)2 + 4|Д|2 + 7(£п + м)2 + 4|Д|2 + у п=0

+2Т1п (1 + + 2Т1п (1 + } (8)

Для регуляризации термодинамического потенциала использовалось мягкое обрезание с помощью введения в суммы по п множителя е~Шп//Л, где Л -параметр обрезания.

Далее с помощью численных методов исследовались фазовые переходы при нулевой и при конечной температуре и были построены фазовые портреты системы (при Б ~ 4).

Видно, что критическая кривая на Рис. 1 является осциллирующей функцией кривизны К. Это объясняется дискретностью фермионных энергетических уровней (6) в замкнутой Вселенной Эйнштейна. Этот эффект можно сравнить с осцилляциями де Гааза-ван Альфвена различных термодинамических величин в магнитном поле Н, где фермионные уровни (уровни Ландау) также дискретны.

Я

Рис. 1. Фазовый портрет при Т = 0 для (?1 = 10 = §61). Пунктирная (сплошная) линия обозначает фазовый переход первого (второго) рода. Жирной точкой обозначена тройная точка. Цифры 1, 2 и 3 обозначают соответственно симметричную фазу, фазу с нарушенной киральной симметрией и сверхпроводящую фазу.

4 6 8 10 12 14 16 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

(а) (б)

Рис. 2. Фазовые портреты при Т = 0.35 (а) и при Я = 3 (б), С\ = 10.

Как видно из Рис. 2, с ростом температуры киральная и цветовая симметрии восстанавливаются. То же самое происходит и с ростом кривизны. Большое сходство фазовых портретов в осях Я — ц и Т — ц говорит о том, что параметры Я и Т играют схожую роль в восстановлении нарушенных симметрий.

В Главе 2 рассматривается явление конденсации пионов в изотопиче-ски асимметричной кварковой среде (плотность и— и в.— кварков различна) в компактных пространствах. Исследуется эффект конечного объема на динамическое нарушение изоспиновой симметрии в рамках двумерной модели типа Гросса-Невё с изотопическим химпотенциалом в пространстве Я ® 51, которое является двумерным аналогом пространства Эйнштейна.

В рамках этой модели были аналитически получены критические кривые, разделяющие симметричную и пионную фазы, в случае периодических и антипериодических граничных условий. Наличие конечного объема приводит к тому, что существует критическое значение размера пространства, при котором нарушенная симметрия восстанавливается. Показано, что критические кривые имеют осциллирующий характер, что объясняется дискретностью энергетических уровней в замкнутом пространстве. В случае антипериодических граничных условий фазовые кривые демонстрируют значительное сходство с полученным фазовым портретом при нулевой температуре в пространстве Эйнштейна.

Далее пионная конденсация была изучена в рамках четырехмерной модели Намбу-Йона-Лазинио в пространстве Эйнштейна Я ® 53. Проводился учет влияния конечных размеров пространства и кривизны на фазовый портрет системы. Изучалось влияние конечной температуры и плотности среды на фазовые переходы. Кроме того, исследовано влияние малой токовой массы кварков на нарушение симметрий. Продемонстрирован эффект осцилляций конденсатов как функций кривизны. Показана схожая роль температуры и положительной кривизны пространства Эйнштейна в восстановлении нарушенных симметрий.

В Главе 3 изучается динамическое нарушение киральной и цветовой симметрий в плотной кварковой среде в статическом гиперболическом пространстве Я <Э Я3. Его метрика имеет вид

с^2 = И2 - а2{¿в2 + этЬ2 6Ш2), (9)

где а - радиус гиперболоида, связанный с отрицательной скалярной кривизной соотношением Я = —

В рамках расширенной модели Намбу-Йона-Лазинио с лагранжианом (1) получено точное по кривизне выражение для термодинамического потенциала. Для этого найдены точные собственные функции и собственные значения гамильтониана Н в пространстве Я ® Нг. В этом случае спектр энергий является непрерывным и формально совпадает со спектром в пространстве Минковского:

ПфР = ±Ерфр, Ер = х/р2 + а2, (10)

но плотность собственных значений отличается от обычной меры интегрирования по импульсному пространству на фиксированную аддитивную постоянную, пропорциональную кривизне гиперболического пространства:

"«-¿Нйг)- <»>

На основании точных решений вычислен термодинамический потенциал в пространстве Я ® Н3:

ад., д) = з (|1 +- А ф (р2 + +т ь (1 +

+Т1п (1 + + \]{ЕГ — ц)2 + 4|Д)2 + ^Р + М)2 + 4|Д|2

+2Г1п (1 + е-М*Р-Л2+4|Д|2) + 2Т1п ^ + (12)

Для регуляризации термодинамического потенциала в интеграл по импульсу вводилось жесткое обрезание с помощью параметра Л.

Значения конденсатов а и Д соответствуют точке глобального минимума термодинамического потенциала и определяются из уравнений щели

да= ' Э|ДГ°- (13)

В начале изучался случай нарушения симметрий в "чистом виде" при ^ = 0. При Д = 0 было найдено аналитическое решение уравнения щели для кирального конденсата в приближении <т Л. Показано, что в отличие от плоского случая Я = 0, когда нетривиальное решение существует только если константа связи превышает её критическое значение в гиперболическом пространстве ненулевое решение существует при < С1с. В этом случае решение для кирального конденсата в пределе сильной кривизны с2 < ^ имеет вид:

его = 2Лехр

12тг2(1-5)

\R\Gi

(14)

демонстрируя неаналитическую зависимость а от кривизны Я. Тот факт, что в гиперболическом пространстве симметрия может быть динамически нарушена даже при малой константе связи, называется гравитационного катализом. Отмечено сходство полученного решения с киральным конденсатом в двумерной модели Гросса-Невё, что говорит о том, что гравитационный катализ сопровождается эффективным понижением размерности системы (размерной редукцией) с (3+1) до (1+1) измерений. Как известно, к подобным эффектам приводит также наличие магнитных или хромомагнит-ных полей в плоском пространстве.

Получена также зависимость кирального конденсата от температуры:

сг0 (Г) = 2Лехр

12тг (1 - д)

- /1(/?а0(Г))

(15)

где /3 = 1 /Т1 — обратная температура, a h(x) - известная комбинация функций Макдональда. Критическая температура Тс, при которой происходит фазовый переход второго рода и сг0(Тс) = 0, равна:

Тс = тг-1есст'о(0) 0, 57с70(0), (16)

где С — 0,5772 - постоянная Эйлера, сто(О) - киральный конденсат при нулевой температуре (14).

Аналогичным образом исследован вопрос о влиянии гравитационного поля на образование дикваркового конденсата. При большой кривизне и константах связи меньше критических получены следующие решения уравнений щели:

ctq = 4А ехр m*o = ао + 4|До|2 = 4Л2 ехр

24

--(ЗЛ-2В-1)

|г|

24

(17)

(18)

где А = В = -щд-^ г = ~ обезразмеренные величины. Оба конденсата могут существовать одновременно только при А > В > 1.

В отличие от плоского случая при константах связи меньше критических фазовая структура модели всегда нетривиальна (отсутствует симметричная фаза) и зависит от соотношения между константами связи А и В (С?1 и Сг). При А > В > 1 эффективный потенциал имеет глобальный минимум при а ф О, Л ф 0, то есть образуется смешанная фаза с нарушенной киральной и цветовой симметриями. При В > А > 1 может быть нарушена только киральная симметрия и глобальный минимум достигается при сг^0,Д = 0.

Зависимость конденсатов от температуры имеет вид:

аЦТ) = а20(0)ехр[~21г(13ай(Т))1 (19)

™20(Т) = т20(0)ехр[-2Д(/Зт,о(Г))], (20)

где сгд(0) и т20(0) даются формулами (17) и (18). Критические температуры для кирального и цветового конденсатов равны

Т? = 7г-1ессго(0), ТСА = 7г-1ест»0(0). (21)

Далее с помощью численных методов были изучены переходы между фазой с нарушенной киральной симметрией и цветовой сверхпроводящей фазой под влиянием конечного химпотенциала и кривизны при сверхкритической константе связи. Показано, что при большом химпотенциале, как и в

плоском пространстве, происходит образование дикваркового конденсата, а кварковый конденсат подавляется. Построен фазовый портрет системы при нулевой температуре, из которого следует, что критический химпотенциал /лс(|Д|), при котором происходит фазовый переход первого рода, растет с увеличением кривизны. Кроме того, кварковый и дикварковый конденсаты сг и Д приобретают малые по кривизне поправки, увеличивающие их значения и приводящие к усилению нарушения симметрии.

В Заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Рассмотрены эффекты динамического нарушения киральной, цветовой и изоспиновой симметрии в плотной кварковой среде под влиянием внешних гравитационных полей, а также химического потенциала и температуры. В качестве основной теоретической модели использована расширенная модель Намбу-Йона-Лазинио, содержащая различные типы четырехфермионных взаимодействий.

2. Для изучения влияния гравитации на динамическое нарушение симметрии рассмотрены два типа пространств: статическая Вселенная Эйнштейна, имеющая постоянную положительную кривизну, и статическое гиперболическое пространство с постоянной отрицательной кривизной. В приближении среднего поля получены точные по кривизне выражения для термодинамических потенциалов, которые содержат всю необходимую информацию о кварковых конденсатах в искривленном пространстве.

3. В случае статической Вселенной Эйнштейна показано, что положительная кривизна играет роль, аналогичную температуре в плоском пространстве, приводя к фазовым переходам второго рода с восстановлением нарушенных симметрий. Большое сходство фазовых кривых как функций кривизны и температуры говорит о схожей роли этих параметров в восстановлении симметрий.

4. Продемонстрировано, что при конечном химпотенциале конденсаты, а также фазовые кривые являются осциллирующими функциями кривизны. Эти осцилляции объясняются дискретностью фермионных энергетических уровней в компактном пространстве. Данный эффект сравнивается с осцилляциями де Гааза-ван Альфвена различных термодинамических величин в магнитном поле. Показано, что при увеличении температуры осцилляции сглаживаются.

5. Изучено влияние конечного объема пространства на образование пи-онного конденсата в рамках двумерной модели Гросса-Невё с изотопическим химпотенциалом в пространстве Я <Э й"1, которое является двумерным аналогом Вселенной Эйнштейна. Аналитически получены критические кривые, разделяющие симметричную и пионную фазы, в случае периодических и антипериодических граничных условий. Показано, что они имеют осциллирующий характер, что объясняется дискретностью энергетических уровней в замкнутом пространстве. В случае антипериодических граничных условий фазовые кривые демонстрируют значительное сходство с полученным фазовым портретом при нулевой температуре в пространстве Эйнштейна.

6. Показано, что в случае статического гиперболического пространства с отрицательной кривизной имеет место гравитационный катализ динамического нарушения симметрий, т.е. симметрия может быть нарушена даже при произвольно слабом притяжении между кварками, в отличие от плоского пространства, а также Вселенной Эйнштейна, где симметрия может быть нарушена только если константа связи больше своего критического значения. Найдены решения уравнений щели и получена неаналитическая зависимость конденсатов от кривизны пространства. Показано, что при константе связи, превышающей критическое значение, кривизна приводит к малым поправкам к значениям конденсатов в плоском пространстве, усиливая эффекты нарушения симметрий.

7. Показано, что катализирующее действие сильного гравитационного поля гиперболического пространства аналогично влиянию магнитного или хромомагнитного полей на нарушение симметрий в плоском пространстве. Продемонстрировано, что гравитационный катализ сопровождается эффективной размерной редукцией до двух измерений.

8. Исследование влияния конечной температуры на нарушение симметрий в гиперболическом пространстве показало, что для любого фиксированного значения кривизны существует критическая температура, при которой симметрии восстанавливаются.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Жуковский В. Ч., Тюков А. В., Эберт Д. Фазовые переходы в плотной кварковой среде в 1равитационном поле постоянной кривизны.— Вестник Московского Университета. Серия 3. Физика. Астрономия. — 2007,-Т. З.-С. 68-70.

2. Ebert D., Tyukov A. V., Zhukovsky V. Ch. Dynamical breaking and restoration of chiral and color symmetries in the static Einstein universe. — Phys. Rev. D. - 2007. - Vol. 76. - P. 064029.

3. Ebert D., Klimenko K. G., Tyukov A. V., Zhukovsky V. Ch. Pion condensation of quark matter in the static Einstein universe. — Eur. Phys. J. C.-2008.-Vol. 58.-Pp. 57-68.

4. Ebert D., Klimenko K. G., Tyukov A. V., Zhukovsky V. Ch. Finite size effects in the Gross-Neveu model with isospin chemical potential. — Phys. Rev. D. - 2008. - Vol. 78. - P. 045008.

5. Ebert D., Tyukov A. V., Zhukovsky V. Ch. Gravitational catalysis of chiral and color symmetry breaking of quark matter in hyperbolic space. — Phys. Rev. D. - 2009. - Vol. 80. - P. 085019.

6. Ebert D., Zhukovsky V. Ch., Tyukov A. V. Dynamical breaking and restoration of chiral and color symmetries for an accelerated observer and in the static Einstein universe. — J. Phys. A. — 2008. — Vol. 41. — P. 164064.

7. Тюков А. В. Цветовая сверхпроводимость на фоне статической вселенной Эйнштейна // Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов-2007". / МГУ.— Секция "Физика".— 2007.-С. 237-238.

8. Ebert D., Zhukovsky V. Ch., Tyukov A. V. Phase transitions in dense quark matter in a constant curvature gravitational field // Proceedings of the 13th Lomonosov Conference on Elementary Particle Physics / Ed. by Studenikin A. - World Scientific, 2007.

9. Ebert D., Klimenko K. G., Tyukov A. V., Zhukovsky V. Ch. Dynamical symmetry breaking for quark matter in the static Einstein universe // Proceedings of ХГП International Conference "Selected Problems of Modern Theoretical Physics". - Dubna: 2008,- Pp. 162-167.

10. Жуковский Б.Ч., Тюков A.B. Динамическое нарушение киральной и цветовой симметрий в кварковой материи в гиперболическом пространстве // Научная конференция "Ломоносовские чтения" / МГУ. — Секция "Физика". — Сборник тезисов докладов, 2009.— С. 132-134.

11. Ebert D., Tyukov А. V., Zhukovsky V. Ch. Dynamical symmetry breaking in hyperbolic space and in extra dimensions // Proceedings of the Conference "Gauge Fields. Yesterday, Today, Tomorrow ".— Moscow: 2010.

Подписано к печати /3.01/. -/О Тираж Заказ 6 £

Отпечатано в отделе оперативной печати физического факультета МГУ

Введение

1 Динамическое нарушение и восстановление киральной и цветовой симметрий в статической Вселенной Эйнштейна

1.1 Введение.

1.2 Расширенная НЙЛ-модель в искривленном пространстве

1.3 Эффективное действие.

1.3.1 Случай статической метрики.

1.4 Собственные функции и собственные значения.

1.4.1 Собственные функции и собственные значения оператора Дирака на сфере.

1.4.2 Собственные функции и собственные значения оператора Гамильтона в пространстве Эйнштейна

1.5 Термодинамический потенциал.

1.5.1 Регуляризованный термодинамический потенциал

1.6 Фазовые переходы.

1.6.1 Фазовые переходы при нулевой температуре.

1.6.2 Фазовые переходы при ненулевой температуре

1.7 Выводы.

2 Пионная конденсация в изотопически асимметричной кварко-вой среде в пространстве Эйнштейна

2.1 Введение.

2.2 Расширенная модель Гросса-Невё и эффективный потенциал

2.3 Пионная конденсация при /л = 0, d[i 0.

2.4 Пионная конденсация в пространстве R <g> S1 .•.

2.4.1 Случай периодических граничных условий.

2.4.2 Случай антипериодических граничных условий

2.5 Изотопически асимметричная НЙЛ-модель и эффективное действие.

2.6 Термодинамический потенциал

2.6.1 Регуляризация.

2.7 Пионная конденсация в пространстве R<g> S"

2.7.1 Нулевая температура.

2.7.2 Конечная температура.

2.8 Выводы.

3 Гравитационный катализ динамического нарушения кираль-ной и цветовой симметрий в статическом гиперболическом пространстве

3.1 Введение.

3.2 Модель.

3.3 Собственные функции и собственные значения оператора Гамильтона в статическом гиперболическом пространстве

3.4 Термодинамический потенциал

3.5 Аналитические решения.

3.5.1 Киральный конденсат.

3.5.2 Киральный и цветовой конденсаты.

3.6 Фазовые переходы.

3.7 Выводы.

Описание свойств кварковой материи является важнейшей задачей квантовой хромодинамики (КХД) - фундаментальной теории сильных взаимодействий. КХД является неабелевой калибровочной теорией, основанной на цветовой группе SUC{3), в рамках которой взаимодействие между кварками осуществляется по средствам обмена глюонами. Одним из замечательных открытий, сыгравшим решающую роль в утверждении квантовой хромодинамики в качестве теории сильных взаимодействий, стало открытие явления асимптотической свободы - стремления к нулю инвариантного заряда при больших передаваемых импульсах, которое является следствием неабелевой калибровочной симметрии лагранжиана и возникающего в результате этого самодействия глюонов: их вклад в /^-функцию является отрицательным. Это приводит к тому, что при больших энергиях кварки ведут себя как почти свободные частицы, поэтому для описания их взаимодействий можно использовать теорию возмущений. Пертурбативный подход с успехом применяется в физике высоких энергий, в частности для описания процессов глубоко неупругого рассеяния. При низких энергиях эффективная константа связи становится очень большой, что делает теорию возмущений неприменимой в инфракрасной области. Эта особенность получила название "инфракрасное рабство". Предполагается, что оно может быть ответственно за явление конфайнмента или удержания цвета - того эмпирического факта, что кварки и глюоны не наблюдаются в свободном состоянии в вакууме.

Поэтому для описания физики низких энергий требуется применение существенно непертурбативных методов, например, вычислений на решетках или использование различных эффективных моделей.

В настоящее время одной* из наиболее распространенных эффективных теорий КХД является модель Намбу—Йона-Лазинио (НЙЛ) [1,2], которая является релятивистской квантовой теорией поля с точечным четырехфермионным взаимодействием. Модель Намбу-Йона-Лазинио была предложена в 1961 году для объяснения возникновения массы нуклона с помощью механизма динамического нарушения киральной симметрии1. Исторически модель возникла еще до появления представления о кварках и создания КХД, поэтому в ее изначальной версии рассматривалось взаимодействие нуклонов. Согласно идее Намбу и Йона-Лазинио массовая щель в спектре дираковской частицы возникает аналогично энергетической щели в сверхпроводнике в теории БКШ [5]. Нарушение киральной симметрии в этой модели происходит благодаря образованию в вакууме фермион-антифермионного конденсата, в результате чего фермион динамически приобретает массу. В спектре модели также появляется коллективное нуклон-антинуклонное возбуждение, отождествляемое с пионом, которое становится безмассовым в киральном пределе. Таким образом пион возникает как голдстоуновкий бозон при спонтанном нарушении киральной симметрии. В действительности, это открытие сыграло важную роль в установлении теоремы Голдстоуна.

После создания КХД модель НЙЛ была переинтерпретирована как схематическая модель для кварков [6, 7]. Согласно современным представлениям модель Намбу-Иона-Лазинио можно рассматривать как низкоэнергетическую эффективную теорию КХД, описывающую генерацию так называемых конституентных масс кварков: при образовании кварк-антикваркового конденсата (qq) происходит динамическое нарушение киральной симметрии, и кварки приобретают массу. Несмотря на то, что в модели НИЛ отсутствует конфайнмент, она может с успехом применяться во многих случаях, когда киральная симметрия КХД является более важным свойством чем конфайнмент. В конце 90-х годов модели типа НЙЛ стали активно использоваться для изучения цветовой сверхпроводимости в плотной кварковой среде, находящейся в фазе деконфайнмента.

Важным вопросом является возможность вывода НЙЛ-модели исходя из первых принципов квантовой хромодинамики. Одна из интересных идей состоит в том, что в системе с двумя ароматами кварков четырехфермион

1Следует отметить, что в том же году были опубликованы работы В.Г. Вакса и А.И. Ларкина [3] и Б.А. Арбузова, А.Н. Тавхелидзе и Р.Н. Фаустова [4], посвященные решению аналогичных проблем. ное взаимодействие может индуцироваться с помощью инстантонов [8,9].

В настоящее время НИЛ-модель широко применяется в физике элементарных частиц. Основываясь на механизме динамического нарушения киральной симметрии, в рамках этой модели удается объяснить свойства легких мезонов [10-14] и дикварков [15-17]. Модель также широко используется в ядерной физике и астрофизике (нейтронные звезды) для объяснения свойств кварковой материи [18-20]. Кроме того, четырехфермионные модели могут применяться для построения альтернативных сценариев нарушения симметрии в Стандартной модели [21,22]. Например, в модели топцвета нарушение электрослабой симметрии происходит благодаря образованию конденсата топ кварка и анти-топ кварка, который играет роль хиггсовского бозона. о

Поскольку лагранжианы НИЛ и КХД имеют одну и ту же группу сим-метрий, модель может быть использована для изучения свойств непертур-бативного вакуума КХД, в частности под влиянием различных внешних условий, таких как температура и химический потенциал (ненулевая плотность барионов) [23-27]. Роль НИЛ-модели особенно возрастает при изучении плотной кварковой среды, поскольку при ненулевом химпотенциале становится затруднительным использование численных решеточных методов КХД.

При больших значениях химпотенциала взаимодействие между кварками становится слабым в силу асимптотической свободы, и кварки переходят в состояние деконфайнмента, а киральная симметрия восстанавливается. При этом возможно образование новой нетривиальной фазы кварковой материи. Как известно, при достаточно низких температурах и при наличии даже слабого притяжения система фермионов являются нестабильной по отношению к образованию конденсата куперовских пар. При больших плотностях взаимодействие между кварками можно аппроксимировать од-ноглюонным обменом. В результате потенциал является притягивающим в антитриплетном канале и отталкивающим в сикстетном канале. Это приводит к образованию в антитриплетном канале связанного состояния двух кварков - дикваркового конденсата {qq), цветного аналога куперовских пар электронов в твердом теле. Образование дикваркового конденсата также приводит к появлению энергетической щели в спектре квазичастичных возбуждений. Данное явление аналогично обычной сверхпроводимости и поэтому получило название цветовой сверхпроводимости (ЦСП). Поскольку из двух кварков невозможно составить синглет по цвету, цветовая симметрия оказывается спонтанно нарушенной внутри ЦСП-фазы.

Свойства ЦСП-фазы обсуждались в работах [28-30] более 20 лет назад. Недавно принципиальная возможность существования ЦСП была исследована в рамках одноглюонного обмена в КХД [31-35], где предсказывалось возникновение цветовых куперовских пар при значениях химического потенциала fx, превышающих 108 МэВ [36]. Однако, подобные столь высокие плотности барионов не существуют в природе и не могут быть достигнуты на эксперименте (типичное значение плотности внутри нейтронных звезд или в будущих экспериментах по ион-ионным столкновениям составляет величину порядка /i ~ 500 МэВ). Возможность образования ЦСП в области промежуточных плотностей барионов рассматривалась в работах [37-42], а также в обзоре [43,44]. В этих работах на основе различных низкоэнергетических приближений КХД, таких как модель Намбу-Йона-Лазинио, инстантонная модель и д.р., было показано, что образование ди-кваркового конденсата возможно при существенно меньших значениях хим-потенциала fi ~ 400 МэВ. Это открывает принципиальную возможность обнаружения цветовой сверхпроводимости в будущих экспериментах про столкновению тяжелых ионов. В рамках модели НИЛ возникновение цветовой сверхпроводимости обычно рассматривается как динамическая конкуренция между образованием дикваркового конденсата (qq) и обычного кварк-антикваркового конденсата (qq).

Модель НЙЛ также позволяет изучать влияние внешних магнитных полей на нарушение симметрий [45-53]. В частности в рамках модели НЙЛ было обнаружено, что наличие внешнего магнитного поля индуцирует спонтанное нарушение киральной симметрии даже при сколь угодно , малом взаимодействии между фермионами [54-57]. Этот эффект получил название магнитного катализа и находит приложения в самых разных об

1 , ластях физики [58,59]. В дальнейшем в целом ряде работ этот эффект был обобщен на случай внешних хромомагнитных полей, которые также приводят к образованию масс кварков и катализируют нарушение киральной симметрии [60-69]. Влияние хромомагнитного поля на катализ цветовой сверхпроводимости было рассмотрено в работах [70-72]. Как было показано, физической причиной катализа является эффективное сокращение размерности пространства в сильном (хромо-)магнитном поле [65-67,69,70].

В то же время для различных космологических и астрофизических приложений большой интерес представляет исследование влияния кривизны пространства-времени на динамическое нарушение и восстановление симметрий.

Динамическое нарушение киральной симметрии под влиянием внешнего гравитационного поля в рамках четырехфермионных теорий исследовалось в многочисленных работах [73-82] (см. также обзор [83] и имеющиеся там ссылки).

Согласно принципу эквивалентности Эйнштейна наличие ускорения равносильно действию сил гравитации. Поэтому для моделирования эффектов гравитации целесообразно рассмотреть движение ускоренного наблюдателя. Недавно динамическое нарушение киральной симметрии для равноускоренного наблюдателя и ее восстановление благодаря эффекту терма-лизации Унру было рассмотрено при нулевом химпотенциале в [84]. Дальнейшее исследование влияния температуры Унру на фазовые переходы в плотной кварковой среде при конечном химпотенциале, и в особенности на восстановление нарушенной цветовой симметрии в ЦСП-фазе, было сделано в [85].

Одним из распространенных методов учета эффектов гравитации является адиабатическое разложение функции Грина в окрестности фиксированной точки пространства по степеням малой кривизны [86, 87]. Например, в работе [88] исследовалась трехмерная модель Гросса-Невё в пространстве-времени со слабо искривленной двумерной поверхностью при ненулевом химпотенциале. В статье [89] подобная аппроксимация была использована для рассмотрения динамического нарушения киральной симметрии при конечной температуре и химпотенциале.

Адиабатическое разложение также оказывается очень полезным при проведении программы перенормировки в квантовой теории поля в искривленном пространстве, поскольку высокочастотные компоненты поля чувствительны лишь к локальной геометрии пространства. Однако, вблизи точки фазового перехода нельзя считать критическое значение кривизны Rc малой величиной. Кроме того, поскольку процесс нарушение симметрии происходят в инфракрасной области, он может зависеть от глобальной геометрии пространства. Поэтому для рассмотрения динамического нарушения симметрии в искривленном пространстве необходимо использование точных по кривизне решений с конечным Rc.

К сожалению, точные решения могут быть получены лишь в тех случаях, когда пространство обладает достаточно широкой группой симметрий. В литературе можно встретить большое число примеров нарушения кираль-ной симметрии в различных симметричных пространствах как при нулевой, так и при конечной температуре (см. обзор [83] и имеющиеся там ссылки).

Одним из них является хорошо известная статическая Вселенная Эйнштейна R (g> S'3 с постоянной положительной кривизной. Кроме того, Вселенная Эйнштейна имеет конечный объем. Недавно в [90] было получено точное выражение для эффективного потенциала во Вселенной Эйнштейна с учетом конечной температуры и химпотенциала. Как было показано, положительная кривизна пространства Эйнштейна приводит к восстановлению нарушенной киральной симметрии, то есть действует аналогично температуре в плоском пространстве.

Другим примером пространства, для которого можно найти точное по кривизне решение, является статическое гиперболическое пространство R <3 Я3, обладающее постоянной отрицательной кривизной. Как было отмечено, в пространствах с отрицательной кривизной киральная симметрия оказывается нарушенной даже при слабом взаимодействии между фермио-нами [74,76,78]. То есть отрицательная кривизна действует на нарушение симметрии аналогично магнитному полю в плоском пространстве. Детальный анализ ядра теплопроводности в гиперболическом пространстве показал, что физической причиной этого является эффективная размерная редукция для фермионов в инфракрасной области [91].

Недавно было проведено изучение совместного влияния гравитационного и магнитного полей на динамическое нарушение киральной симметрии в случае двумерного пространства постоянной отрицательной кривизны, так называемой плоскости Лобачевского [92]. Исследования эффектов, связанных с поверхностной кривизной, могут играть важную роль в физике твердого тела, например при изучении квантового эффекта Холла в графене [93-95].

Целью данной диссертации является дальнейшее изучение влияния гравитации на динамическое нарушение различных симметрий в плотной кварковой среде.

В главе 1 рассматривается динамическое нарушение и восстановление киральной и цветовой симметрий в статической Вселенной Эйнштейна. В рамках расширенной модели Намбу-Йона-Лазинио изучается поведение кваркового и дикваркового конденсатов под влиянием гравитационного поля, а также температуры и плотности кварковой среды. В приближении среднего поля получается точное по кривизне выражение для эффективного потенциала, который содержит всю необходимую информацию о киральном и цветовом конденсатах. Проводится подробный анализ фазовой структуры модели.

В главе 2 рассматривается явление конденсации пионов в изотопи-чески асимметричной кварковой среде в компактных пространствах. Исследуется эффект конечного объема на нарушение изоспиновой симметрии в рамках двумерной модели типа Гросса-Невё в пространстве R <g> S1, а также в пространстве Эйнштейна R<S> S3 в рамках четырехмерной расширенной модели Намбу-Иона-Лазинио. Проводится учет влияния конечных размеров пространства и кривизны на фазовый портрет системы. Изучается влияние конечной температуры и плотности среды на фазовые переходы. Кроме того, исследуется влияние малой токовой массы кварков на нарушение симметрий. Демонстрируются эффекты осцилляций конденсатов как функций кривизны. Сравниваются роли температуры и положительной кривизны пространства Эйнштейна в восстановлении нарушенных симметрий.

В главе 3 изучается динамическое нарушение киральной и цветовой симметрий в плотной кварковой среде в статическом гиперболическом пространстве R (g> iJ3. В рамках расширенной модели Намбу-Йона-Лазинио получено точное по кривизне выражение для термодинамического потенциала. Используя аналитические решения уравнений щели для кваркового и дикваркового конденсатов, демонстрируется эффект гравитационного катализа нарушения киральной и цветовой симметрий в сильном гравитационном поле при слабом притяжении между кварками. Исследуется зависимость фазовой структуры модели от соотношения между константами связи. С использованием численных методов изучаются фазовые переходы под влиянием химпотенциала и отрицательной кривизны и строится фазовый портрет системы.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

Основные результаты диссертации были опубликованы в работах:

1. Жуковский В. Ч., Тюков А. В., Эберт Д. Фазовые переходы в плотной кварковой среде в гравитационном поле постоянной кривизны. — Вестник Московского Университета. Серия 3. Физика. Астрономия.

- 2007. - Т. 3. - С. 68-70.

2. Ebert D., Tyiikov А. V., Zhukovsky V. Ch. Dynamical breaking and restoration of chiral and color symmetries in the static Einstein universe.

- Phys. Rev. D. - 2007. - Vol. 76. - P. 064029.

3. Ebert D., Klimenko K. G., Tyukov A. V., Zhukovsky V. Ch. Pion condensation of quark matter in the static Einstein universe. — Eur. Phys. J. C. - 2008. - Vol. 58. - Pp. 57-68.

4. Ebert D., Klimenko K. G., Tyukov A. V., Zhukovsky V. Ch. Finite size effects in the Gross-Neveu model with isospin chemical potential. — Phys. Rev. D. - 2008. - Vol. 78. - P. 045008.

5. Ebert D., Tyukov A. V., Zhukovsky V. Ch. Gravitational catalysis of chiral and color symmetry breaking of quark matter in hyperbolic space. — Phys. Rev. D. - 2009. - Vol. 80. - P. 085019.

3.7. Выводы

Мы исследовали динамическое нарушение киральной и цветовой сим-метрий в плотной кварковой среде под влиянием отрицательной скалярной кривизны гиперболического пространства. В рамках расширенной модели НЙЛ был получен термодинамический (эффективный) потенциал системы как функция кирального и цветового конденсатов, а также температуры, химпотенциала и кривизны.

Изучалось два различных режима динамического нарушения симмет-рий. Во-первых, был рассмотрен подкритический режим, когда константы связи меньше своих критических значений в плоском пространстве. Как известно, в этом случае в плоском четырехмерном пространстве не происходит нарушения симметрий, а уравнения щели имеют только тривиальные решения. В отличие от плоского случая в гиперболическом пространстве симметрия может быть нарушена даже при произвольно малой константе связи. Это явление было названо гравитационным катализом динамического нарушения симметрии. В случае подкритических констант были получены аналитические выражения для кирального и цветового конденсатов, которые непертурбативным образом зависят от кривизны. Во-вторых, был изучен режим сверхкритических констант, когда симметрия нарушена даже в плоском пространстве. Как было показано, в этом случае кривизна приводит к аналитическим поправкам, которые увеличивают значения конденсатов в плоском пространстве и усиливают нарушение симметрий.

Интересно отметить, что для подкритических констант связи катализирующее действие сильного гравитационного поля гиперболического пространства аналогично влиянию магнитного или хромомагнитного полей на динамическое нарушение симметрий в плоском пространстве. Как было явно показано, гравитационный катализ имеет место для кирального и цветового конденсатов. Следует также заметить, что гравитационный катализ сопровождается понижением размерности системы. В режиме слабой связи решение уравнения щели напоминает конденсат в двумерной модели Гросса-Невё. Поэтому мы приходим к выводу, что сильное гравитационное поле гиперболического пространства приводит к эффективной размерной редукции до двух измерений.

Как уже было сказано, в случае подкритических констант связи отрицательная кривизна существенным образом изменяет фазовую структуру модели, делая симметричную фазу нестабильной по отношению к образованию конденсатов. В то же время в сверхкритическом случае следует ожидать лишь незначительных изменений фазовой структуры, полученной в плоском пространстве. Новая фазовая структура модели была подробно проанализирована для подкритического случая. Было показано, что она зависит только от отношения обратных (безразмерных) констант А и В и не зависит от кривизны. При А/В > 1 реализуется смешанная фаза с нарушенной киральной и цветовой симметриями, а при А/В <1 возникает только фаза с нарушенной киральная симметрией. Точно такое же критическое соотношение А/В = 1 было найдено в случае плоского пространства в рамках модели произвольных матриц [145]. Как утверждал автор, это соотношение является следствием глобальных симметрий модели.

Исследовалось влияние конечной температуры на фазовые переходы. Киральный и цветовой конденсаты были вычислены как функции температуры и кривизны. Показано, что для любого фиксированного значения кривизны существует критическая температура, при которой происходит фазовый переход с восстановлением симметрии.

Используя численное методы, были изучены переходы между фазой с нарушенной киральной симметрией и цветовой сверхпроводящей фазой под влиянием конечного химпотенциала и кривизны в сверхкритическом режиме. Показано, что при большом химпотенциале, как и в плоском пространстве, происходит образование дикваркового конденсата, а кварковый конденсат подавляется. Построен фазовый портрет системы при нулевой температуре, из которого следует, что критический химпотенциал /хс(|г|), при котором происходит фазовый переход, растет с увеличением кривизны. Кроме того, кварковый и дикварковый конденсаты а и А приобретают благодаря кривизне небольшие поправки, увеличивающие их значения в плоском пространстве и приводящие к усилению нарушения симметрии.

Хотя в данной главе рассматривалась лишь простая модель нарушения симметрии в искривленном пространстве, можно надеяться, что её результаты могут оказаться полезными при изучении более реалистичных ситуаций, касающихся фазовых переходов под влиянием сильных гравитационных полей.

Заключение

В настоящей диссертации рассмотрены эффекты динамического нарушения киральной, цветовой и изоспиновой симметрий в плотной кварковой среде под влиянием внешних гравитационных полей, а также химического потенциала и температуры. В качестве основной теоретической модели использована расширенная модель Намбу-Йона-Лазинио, содержащая различные типы четырехфермионных взаимодействий.

Для изучения влияния гравитации на динамическое нарушение симметрий рассмотрены два типа пространств: статическая Вселенная Эйнштейна, имеющая постоянную положительную кривизну, и статическое гиперболическое пространство; обладающее постоянной отрицательной кривизной. В приближении среднего поля получены точные по кривизне выражения для термодинамических потенциалов, которые содержат всю необходимую информацию о кварковых конденсатах в искривленном пространстве.

В случае статической Вселенной Эйнштейна показано, что положительная кривизна играет роль, аналогичную температуре в плоском пространстве, приводя к фазовым переходам второго рода с восстановлением нарушенных симметрий. Кроме того, большое сходство фазовых кривых как функций кривизны и температуры говорит о схожей роли этих параметров в восстановлении симметрий.

Продемонстрировано, что при конечном химпотенциале конденсаты, а также фазовые кривые (критические кривые) являются осциллирующими функциями кривизны. Эти осцилляции объясняются дискретностью фермионных энергетических уровней в компактном пространстве. Данный эффект можно сравнить с осцилляциями де Гааза-ван Альфвена различных термодинамических величин в магнитном поле, где фермионные уровни (уровни Ландау) также дискретны. Показано, что при увеличении температуры осцилляции сглаживаются.

Изучено влияние конечного объема пространства на образование пионного конденсата в рамках двумерной модели Гросса-Невё с изотопическим химпотенциалом в пространстве R<g> S1, которое является двумерным аналогом Вселенной Эйнштейна. В рамках этой модели были аналитически получены критические кривые, разделяющие симметричную и пионную фазы, в случае периодических и антипериодических граничных условий. Наличие конечного объема приводит к тому, что существует критическое значение размера пространства, при котором нарушенная симметрия восстанавливается. Показано, что критические кривые имеют осциллирующий характер, что объясняется дискретностью энергетических уровней в замкнутом пространстве. В случае антипериодических граничных условий фазовые кривые демонстрируют значительное сходство с полученным фазовым портретом при нулевой температуре в пространстве Эйнштейна.

Совершенно иное действие оказывает на нарушение симметрий отрицательная кривизна гиперболического пространства. Показано, что в этом случае имеет место гравитационный катализ динамического нарушения симметрий, т.е. симметрия может быть нарушена даже при произвольно слабом притяжении между кварками, в отличие от плоского пространства, а также Вселенной Эйнштейна, где симметрия может быть нарушена только если константа связи больше своего критического значения.

Проведенный анализ показал, что катализирующее действие сильного гравитационного поля гиперболического пространства аналогично влиянию магнитного или хромомагнитного полей на нарушение симметрий в плоском пространстве. Продемонстрировано, что гравитационный катализ сопровождается эффективной размерной редукцией до двух измерений.

Исследовалось влияние конечной температуры на фазовые переходы.

Киральный и цветовой конденсаты были вычислены как функции температуры и кривизны. Было показано, что для любого фиксированного значения кривизны существует критическая температура, при которой происходит фазовый переход с восстановлением нарушенных симметрии.

При константе связи превышающей критическое значение отрицательная кривизна приводит к увеличению конденсатов по сравнению с их значениями в плоском пространстве, усиливая тем самым эффект нарушения симметрий.

Представленные в диссертации исследования носят модельный характер. Тем не менее, полученные в ней результаты могут послужить основой для дальнейших исследований, которые будет более близки к реальным космологическим или астрофизическим ситуациям. В частности это касается, например, вопроса о влиянии собственного гравитационного поля компактных астрофизических объектов, таких как нейронные звезды, на образование в них пионного или дикваркового конденсатов.

1. Nambu Y., Jona-Lasinio G. Dynamical model of elementary particles based on an analogy with superconductivity. 1 . — Phys. Rev. — 1961. — Vol. 122. — Pp. 345-358.

2. Nambu Y., Jona-Lasinio G. Dynamical model of elementary particles based on an analogy with superconductivity. II.— Phys. Rev.— 1961.— Vol. 124.-Pp. 246-254.

3. Вакс В. Г., Ларкин А. И. О применении методов теории сверхпроводимости к вопросу о массах элементарных частиц. — ЖЭТФ.— 1961.— Т. 40.-С. 1392.

4. Арбузов Б. А., Тавхелидзе А. Н., Фаустов Р. Н. К вопросу о массе фермиона в 75-инвариантной модели квантовой теории поля. — ДАН СССР.- 1961.-Т. 139.-С. 345-347.

5. Bardeen J., Cooper L. N., Schrieffer J. R. Theory of superconductivity. — Phys. Rev. 1957.-Vol. 108.-Pp. 1175-1204.

6. Eguchi T. A new approach to collective phenomena in superconductivity models. Phys. Rev. D. - 1976. - Vol. 14. - P. 2755.

7. Ebert D., Volkov M. K. Four quark interactions as a common source of the vector meson dominance and sigma model.— Yad. Fiz.— 1982. — Vol. 36.-Pp. 1265-1277.

8. Ebert D., Volkov M. K. Composite meson model with vector dominance based on U(2) invariant four quark interactions. — Z. Phys. C. — 1983.— Vol. 16.-P. 205.

9. Ebert D., Reinhardt H. Effective chiral hadron lagrangian with anomalies and skyrme terms from quark flavor dynamics. — Nucl. Phys. B. — 1986. — Vol. 271.-P. 188.

10. Ebert D., Reinhardt H., Volkov M. K. Effective hadron theory of QCD. -Prog. Part. Nucl. Phys. 1994. - Vol. 33. - Pp. 1-120.

11. Hatsuda Т., Kunihiro T. QCD phenomenology based on a chiral effective Lagrangian. Phys. Rept. - 1994. - Vol. 247. - Pp. 221-367.

12. Ebert D., Kaschluhn L., Kastelewicz G. Effective meson diquark Lagrangian and mass formulas from the Nambu-Jona-Lasinio model.— Phys. Lett. B. - 1991. - Vol. 264. - Pp. 420^125.

13. Vogl U. Diquarks from a (7l(3) x Ur(3) invariant quark Lagrangian. — Z. Phys. A. 1990. - Vol. 337. - Pp. 191-196.

14. Vogl U., Veise W. The Nambu and Jona-Lasinio model: Its implications for hadrons and nuclei. — Prog. Part. Nucl. Phys. — 1991.— Vol: 27.— Pp. 195-272.

15. Hufner J., Klevansky S. P., Zhuang P., Voss H. Thermodynamics of a quark plasma beyond the mean field: A generalized Beth-Uhlenbeck approach. — Ann. Phys. 1994. - Vol. 234. - Pp. 225-244.

16. Mishustin I. N., Satarov L. M., Stoecker H., Greiner W. Unusual bound states of quark matter within the NJL model. — Phys. Rev. C. — 2000. — Vol. 62.-P. 034901.

17. Hanauske M., Satarov L. M.3 Mishustin I. N., Stoecker H., Greiner W. Strange quark stars within the Nambu-Jona-Lasinio model. — Phys. Rev. A-2001.-Vol. 64.-P. 043005.

18. Weinberg S. Implications of dynamical symmetry breaking. — Phys. Rev. D.— 1976.-Vol. 13.-Pp. 974-996.

19. Yamawaki К. Dynamical symmetry breaking with large anomalous dimension // Dynamical Symmetry Breaking and Effective Field Theory. — Cheju, Korea: 1995.

20. Kawati S., Miyata H. Phase transition in a four-dimensional fermion model. Phys. Rev. D. - 1981. - Vol. 23. - Pp. 3010-3024.

21. Bernard V., Meissner U. G., Zahed I. Decoupling of the pion at finite temperature and density. — Phys. Rev. D. — 1987. — Vol. 36. — P. 819.

22. Christov С. V., Arriola E. Ruiz, Goeke K. Meson properties and chiral transition at finite temperature and density in Nambu-Jona-Lasinio model with different regularization schemes.— Acta Phys. Polon. В.— 1991. — Vol. 22.-Pp. 187-202.

23. Ebert D., Kalinovsky Yu. L., Munchow L., Volkov M. K. Mesons and diquarks in a NJL model at finite temperature and chemical potential. — Int. J. Mod. Phys. A. 1993. - Vol. 8. - Pp. 1295-1312.

24. Klimenlco K. G., Vshivtsev A. S. New phase structure of the Nambu-Jona-Lasinio model at nonzero chemical potential. — JETP Lett. — 1996. — Vol. 64. Pp. 338-344.

25. Barrois В. C. Superconducting quark matter. — Nucl. Phys. В.— 1977.— Vol. 129.-P. 390.

26. Frautschi S. C. Asymptotic freedom and color superconductivity in dense quark matter // Hadronic Matter at Extreme Energy Density. — Erice, Italy: 1978.

27. Bailin D., Love A. Superfluidity and superconductivity in relativistic fermion systems. Phys. Rept. - 1984. - Vol. 107. - P. 325.

28. Son T. D. Superconductivity by long range color magnetic interaction in high density quark matter. Phys. Rev. D. - 1999. - Vol. 59. - P. 094019.

29. Hong D. K. Aspects of high density effective theory in QCD. — Nucl. Phys. B. 2000. - Vol. 582. - P. 451.

30. Hsu S. D. H., Schwetz M. Magnetic interactions, the renormalization group and color superconductivity in high density QCD. — Nucl. Phys. В.— 2000.-Vol. 572.-P. 211.

31. Pisarski R. D., Rischlce D. H. Color superconductivity in weak coupling. — Phys. Rev. D. 2000. - Vol. 61. - P. 074017.

32. Shovkovy I. A., Wijewardhana L. C. R. On gap equations and color flavor locking in cold dense QCD with three massless flavors. — Phys. Lett. B. — 1999.-Vol. 470.-Pp. 189-199.

33. Rajagopal K., Shuster E. On the applicability of weak coupling results in high density QCD. Phys. Rev. D. - 2000. - Vol. 62. - P. 085007.

34. Rapp R., Schafer Т., Shuryak E. A., Velkovsky M. Diquark Bose condensates in high density matter and instantons. — Phys. Rev. Lett. —1998.-Vol. 81.-Pp. 53-56.

35. Alford M., Rajagopal K., Wilczek F. QCD at finite baryon density: Nucleon droplets and color superconductivity. — Phys. Lett. B. — 1998. — Vol. 422. — Pp. 247-256.

36. Alford M., Rajagopal K., Wilczek F. Color flavor locking and' chiral symmetry breaking in high density QCD. — Nucl. Phys. В. — 1999. — Vol. 537.-Pp. 443-458.

37. Langfeld K., Rho M. Quark condensation, induced symmetry breaking and color superconductivity at high density. — Nucl. Phys. A.— 1999,— Vol. 660. Pp. 475-505.

38. Berges J., Rajagopal K. Color superconductivity and chiral symmetry restoration at nonzero baryon density and temperature. — Nucl. Phys. B. —1999. Vol. 538. - Pp. 215-232.

39. Schwarz Т. M., Klevansky S. P., Papp G. The phase diagram and bulk thermodynamical quantities in the NJL model at finite temperature and density. Phys. Rev. C. - 1999. - Vol. 60. - P. 055205.

40. Alford M. Color superconducting quark matter.— Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. — 2001. — Vol. 51. — Pp. 131-160.

41. Kerbikov В. O. Color superconducting state of quarks. — arXiv: hep-ph/0110197.

42. Klevansky S. P., Lemmer R. H. Chiral symmetry restoration in the Nambu-Jona-Lasinio model with a constant electromagnetic field.— Phys. Rev. D. 1989. - Vol. 39. - Pp. 3478-3489.

43. Suganuma H., Tatsumi T. On the behavior of symmetry and phase transitions in a strong electromagnetic field. — Ann. Phys. — 1991.— Vol. 208.-Pp. 470-508.

44. Gusynin V. P., Miransky V. A., Shovkovy I. A. Dimensional reduction and dynamical chiral symmetry breaking by a magnetic field in (3+1)-dimensions. Phys. Lett. B. — 1995. - Vol. 349. - Pp. 477^183.

45. Inagaki Т., Odintsov S. D., Shil'nov Yu. I. Dynamical symmetry breaking in the external gravitational and constant magnetic fields. — Int. J. Mod. Phys. A. 1999. - Vol. 14. - Pp. 481-503.

46. Gorbar E. V. On chiral symmetry breaking in a constant magnetic field in higher dimension. Phys. Lett. B. - 2000. - Vol. 491. - Pp. 305-310.

47. Vshivtsev A. S., Zhukovsky V. Ch., Klimenko K. G. New critical properties of the Nambu-Jona-Lasinio model with nonzero chemical potential. — J. Exp. Theor. Phys.- 1997.- Vol. 84.-Pp. 1047-1053.

48. Ebert D., Klimenko K. G., Vdovichenko M. A., Vshivtsev A. S. Magnetic oscillations in dense cold quark matter with four fermion interactions. — Phys. Rev. D. 2000. - Vol. 61. - P. 025005.

49. Vdovichenko M. A., Vshivtsev A. S., Klimenko K. G. Magnetic catalysis and magnetic oscillations in the Nambu-Jona-Lasinio model. — Phys. Atom. Nucl. 2000. - Vol. 63. - Pp. 470-479.

50. Vdovichenko M. A., Klimenko К. G., Ebert D. Nonstandard magnetic oscillations in the Nambu-Jona-Lasinio model. — Phys. Atom. Nucl. — 2001.-Vol. 64.-Pp. 336-341.

51. Klimenko K. G. Three-dimensional Gross-Neveu model in an external magnetic field. Theor. Math. Phys. - 1991. - Vol. 89. - Pp. 1161-1168.

52. Klimenko K. G. Three-dimensional Gross-Neveu model at nonzero temperature and in an external magnetic field. — Theor. Math. Phys. — 1992.-Vol. 90.-Pp. 1-6.

53. Klimenko K. G. Three-dimensional Gross-Neveu model at nonzero temperature and in an external magnetic field. — Z. Phys. C. — 1992. — Vol. 54. Pp. 323-330.

54. Krive I. V., Naftulin S. A. Dynamical symmetry breaking and phase transitions in a three-dimensional Gross-Neveu model in a strong magnetic field. Phys. Rev. D. - 1992. - Vol. 46. - Pp. 2737-2740.

55. Miransky V. A. Catalysis of dynamical symmetry breaking by a magnetic field. Prog. Theor. Phys. Suppl. - 1996. - Vol. 123. - Pp. 49-60.

56. Gusynin V. P. Magnetic catalysis of chiral symmetry breaking in gauge theories. Ukrainian J. Phys. - 2000. - Vol. 45. - Pp. 603-609.

57. Klimenko K. G., Magnitsky В. V., Vshivtsev A. S. Three-dimensional (фф)2 model with an external nonAbelian field, temperature and chemical potential. Nuovo Cim. A. - 1994. - Vol. 107. - Pp. 439-452.

58. Vshivtsev A. S., Klimenko K. G., Magnitsky В. V. Three-dimensional Gross-Neveu model in the external chromomagnetic fields at finite temperature. Theor. Math. Phys. — 1994. — Vol. 101. - Pp. 1436-1442.

59. Vshivtsev A. S., Magnitsky В. V., Klimenko K. G. A Gluon condensate and the three-dimensional (фф)2 field theory. — Phys. Atom. Nucl.— 1994. — Vol. 57.-Pp. 2171-2175.

60. Shovkovy I. A., Turkowski V. M. Dimensional reduction in Nambu-Jona-Lasinio model in external chromomagnetic field. — Phys. Lett. B. — 1996. — Vol. 367.-Pp. 213-218.

61. Vshivtsev A. S., Magnitsky В. V., Zhukovsky V. Ch., Klimenko K. G. Dynamical effects in (2+l)-dimensional theories with four-fermion interaction. Phys. Part. Nucl. - 1998. - Vol. 29. - Pp. 523-548.

62. Gusynin V. P., Miransky V. A., Shovkovy I. A. Catalysis of dynamical flavor symmetry breaking by a magnetic field in (2+l)-dimensions. — Phys. Rev. Lett. 1994. - Vol. 73. - Pp. 3499-3502.

63. Gusynin V. P., Miransky V. A., Shovkovy I. A. Dynamical chiral symmetry breaking by a magnetic field in QED. — Phys. Rev. D. — 1995. — Vol. 52. — Pp. 4747-4751.

64. Gusynin V. P., Miransky V. A., Shovkovy I. A. Theory of the magnetic catalysis of chiral symmetry breaking in QED. — Nucl. Phys. B. — 1999. — Vol. 563.-Pp. 361-389.

65. Semenoff G. W., Shovkovy I. A., Wijewardhana L. C. R. Universality and the magnetic catalysis of chiral symmetry breaking. — Phys. Rev. D. — 1999,-Vol. 60.-P. 105024.

66. Ebert D., Zhukovsky V. Ch. Chiral phase transitions in strong chromomagnetic fields at finite temperature and dimensional reduction. — Mod. Phys. Lett. A. 1997. - Vol. 12. - Pp. 2567-2576.

67. Ebert D., Klimenko K. G., Toki H., Zhukovsky V. Ch. Chromomagnetic catalysis of color superconductivity and dimensional reduction.— Prog. Theor. Phys. 2001. - Vol. 106. - Pp. 835-849.

68. Ebert D., Klimenko K. G., Toki H. Chromomagnetic catalysis of color superconductivity in a (2+l)-dimensional NJL model. — Phys. Rev. D.— 2001. Vol. 64. - P. 014038.

69. Ebert D;, Khudyakov Y. V., Zhukovsky V. Ch., Klimenko K. G. The Influence of an external chromomagnetic field on color superconductivity. — Phys. Rev. D. — 2002. — Vol. 65. — P. 054024.

70. Itoyama H. Dynamical symmetry breaking in a space-time sphere. — Prog. Theor. Phys. 1980. - Vol. 64. - P. 1886.

71. Buchbinder I. L., Kirillova E. N. Gross-Neveu model in curved space-time: the effective potential and curvature induced phase transition. — Int. J. Mod. Phys. A. 1989. - Vol. 4. - Pp. 143-149.

72. Inagaki Т., Mukaigawa S., Muta T. A Soluble model of four fermion interactions in de Sitter space.— Phys. Rev. D. — 1995.— Vol. 52.— Pp. 4267-4271.

73. Elizalde E., Odintsov S. D., Shilnov Y. I. Chiral symmetry breaking in the d = 3 Nambu-Jona-Lasinio model in curved space-time.— Mod. Phys. Lett. A.- 1994.-Vol. 9.-Pp. 913-918.

74. Elizalde E., Leseduarte S., Odintsov S. D. Chiral symmetry breaking in the Nambu-Jona-Lasinio model in curved space-time with nontrivial topology. Phys. Rev. D. - 1995. - Vol. 49. - Pp. 5551-5558.

75. Elizalde E., Leseduarte S., Odintsov S. D., Shilnov Y. I. Phase structure of renormalizable four fermion models in space-times of constant curvature. — Phys. Rev. D. — 1996.-Vol. 53.-Pp. 1917-1926.

76. Inagaki Т., Muta Т., Odintsov S. D. Nambu-Jona-Lasinio model in curved space-time. Mod. Phys. Lett. A. - 1993. - Vol. 8. - Pp. 2117-2124.

77. Inagaki T. Curvature induced phase transition in a four fermion theory using the weak curvature expansion. — Int. J. Mod. Phys. A. — 1996. — Vol. 11. — Pp. 4561-4576.

78. Ishikawa K., Inagaki Т., Muta T. Curvature induced dynamical symmetry restoration in Einstein universe R®SD~l. — Mod. Phys. Lett. A. — 1996. — Vol. 11.-Pp. 939-948.

79. Inagaki Т., Ishikawa K. Thermal and curvature effects to the dynamical symmetry breaking. Phys. Rev. D. - 1997. - Vol. 56. - Pp. 5097-5107.

80. Inagaki Т., Odintsov S. D., Muta T. Dynamical symmetry breaking in curved space-time: Four fermion interactions. — Prog. Theor. Phys. Suppl. 1997. - Vol. 127. - P. 93.

81. Ohsaku T. Dynamical chiral symmetry breaking and its restoration for an accelerated observer. Phys. Lett. B. - 2004. - Vol. 599. - Pp. 102-110.

82. Ebert D., Zhukovsky V. Ch. Restoration of dynamically broken chiral and color symmetries for an accelerated observer. — Phys. Lett. B. — 2007. — Vol. 645. Pp. 267-274.

83. Bunch T. S., Parker L. Feynman propagator in curved space-time: a momentum space representation.— Phys. Rev. D. — 1979.— Vol. 20.— Pp. 2499-2510.

84. Parker L., Toms D. J. Renormalization group analysis of grand unified theories in curved space-time. — Phys. Rev. D. — 1984. — Vol. 29. —P. 1584.

85. Kim D. K., Klimenko K. G. Finite density effect in the Gross-Neveu model in a weakly curved R1 <g> S2 space-time. — J. Phys. A. — 1998. — Vol. 31.— P. 5565.

86. Goyal A., Dahiya M. NJL model in four-dimension at finite temperature, chemical potential and curvature.— J. Phys. G.— 2001.— Vol. 27.— P. 1821.

87. Huang X., Нао X., Zhuang P. Chiral phase structure at finite temperature and density in Einstein universe. — Astropart. Phys. — 2007. — Vol. 28. — Pp. 472^180.

88. Gorbar E. V. Dynamical symmetry breaking in spaces with constant negative curvature. Phys. Rev. D. - 2000. - Vol. 61. - P. 024013.

89. Gorbar E. V., Gusynin V. P. Gap generation for Dirac fermions on Lobachevsky plane in a magnetic field. — Ann. Phys. — 2008. — Vol. 323. — Pp. 2132-2146.

90. Gusynin V. P., Sharapov S. G. Unconventional integer quantum Hall effect in graphene. Phys. Rev. Lett. - 2005. - Vol. 95. - P. 146801.

91. Zheng Y., Ando T. Hall conductivity of a two-dimensional graphite system. Phys. Rev. В. - 2002. - Vol. 65. - P. 245420.

92. Peres N. M. R., Guinea F., Castro Neto A. H. Electronic properties of disordered two-dimensional carbon. — Phys. Rev. В. — 2006.— Vol. 73.— P. 125411.

93. Barrow J. D., Ellis G. F. R., Maartens R., Tsagas C. G. On the stability of the Einstein static universe. — Class. Quant. Grav. — 2003. — Vol. 20. — Pp. L155-L164.

94. Smith J. D., Toms D. J. Bose-Einstein condensation as symmetry breaking in compact curved space-times.— Phys. Rev. D.— 1996.— Vol. 53.— Pp. 5771-5780.

95. Brill D. R., Wheeler J. A. Interaction of neutrinos and gravitational fields. — Rev. Mod. Phys. 1957. - Vol. 29. - P. 465.

96. Nakahara M. Geometry, Topology and Physics. — Taylor & Francis Group, 2003.-P. 596.

97. Camporesi R., Higuchi A. On the Eigen functions of the Dirac operator on spheres and real hyperbolic spaces. — J. Geom. Phys. — 1996. — Vol. 20. — Pp. 1-18.

98. Dowker J. S., Apps J. S., Kirsten K., Bordag M. Spectral invariants for the Dirac equation on the <i-ball with various boundary conditions.— Class. Quant. Grav. 1996.-Vol. 13.-Pp. 2911-2920.

99. Candelas P., Weinberg S. Calculation of gauge couplings and compact circumferences from selfconsistent dimensional reduction.— Nucl. Phys. B. 1984. - Vol. 237. - P. 397.

100. Gradshteyn I. S., Ryzhik I. M. Tables of integrals, series and products.— Academic Press, New York, 1980. P. 1160.

101. Alford M. Color superconducting quark matter in compact stars // Compact Stars in the QCD Phase Diagram.— Copenhagen, Denmark: 2001.— Pp. 137-148.

102. Fujihara Т., Inagaki Т., Kimura D. Color superconductivity and radius of quark star in extended NJL model by using the dimensional regularization. — J. Phys. A. 2006. - Vol. 39. — Pp. 6371-6376.

103. Son D. Т., Stephanov M. A. QCD at finite isospin density: From pion to quark anti-quark condensation. — Phys. Atom. Nucl. — 2001. — Vol. 64. — Pp. 834-842.

104. Kogut J. В., Toublan D. QCD at small nonzero quark chemical potentials. — Phys. Rev. D. — 2001. — Vol. 64. P. 034007.

105. Kogut J. В., Sinclair D. K. Quenched lattice QCD at finite isospin density and related theories. Phys. Rev. D. - 66. — Vol. 2002. - P. 014508.

106. Frank M., Buballa M., Oertel M. Flavor mixing effects on the QCD phase diagram at nonvanishing isospin chemical potential: One or two phase transitions? Phys. Lett. B. - 2003. - Vol. 562. — Pp. 221-226.

107. He L., Jin M., Zhuang P. Pion superfluidity and meson properties at finite isospin density. Phys. Rev. D. - 2005. - Vol. 71. — P. 116001.

108. He L., Jin M., Zhuang P. Pion condensation in baryonic matter: from Sarma phase to Larkin-Ovchinnikov-Fudde-Ferrell phase.— Phys. Rev. D. 2006. - Vol. 74. - P. 036005.

109. Ebert D., Klimenko K. G. Pion condensation in electrically neutral cold matter with finite baryon density. — Eur. Phys. J. C. — 2006. — Vol. 46. — Pp. 771-776.

110. Ebert D., Klimenko K. G. Gapless pion condensation in quark matter with finite baryon density. J. Phys. G. - 2006. — Vol. 32. - Pp. 599-608.

111. Andersen J. O., Kyllingstad L. Pion condensation in a two-flavor NJL model: the role of charge neutrality. — J. Phys. G. — 2009. — Vol. 37. — P. 015003.

112. Andrianov A. A., Espriu D. On the possibility of P-violation at finite baryon-number densities. — Phys. Lett. B. — 2008. — Vol. 663. — Pp. 450455.

113. Loewe M., Villavicencio С. Pions in isospin dense media.— Braz. J. Phys. 2007. - Vol. 37. - Pp. 520-525.

114. Mukherjee S., Mustafa M. G., Ray R. Thermodynamics of the PNJL model with nonzero baryon and isospin chemical potentials. — Phys. Rev. D. — 2007. Vol. 75. - P. 094015.

115. Abuki H., Ciminale M., Gatto R., Ippolito N. D., Nardulli G., Ruggieri M. Electrical neutrality and pion modes in the two flavor PNJL model. — Phys. Rev. D. 2008. - Vol. 78. - P. 014002.

116. Gross D. J., Neveu A. Dynamical symmetry breaking in asymptotically free field theories. Phys. Rev. D. - 1974. - Vol. 10. - P. 3235.

117. Schon V., Thies M. 2D model field theories at finite temperature and density // At the frontier of particle physics / Ed. by Shifman M.A.— Vol. 3. Singapore : World Scientific, 2000. - Pp. 945-2032.

118. Feinberg J. All about the static fermion bags in the Gross-Neveu model. — Ann. Phys. 2004. - Vol. 309. - Pp. 166-231.

119. Thies M. From relativistic quantum fields to condensed matter and back again: Updating the Gross-Neveu phase diagram. — J. Phys. A. — 2006.— Vol. 39.-Pp. 12707-12734.

120. Wolff U. The phase diagram of the infinite N Gross-Neveu model at finite temperature and chemical potential. — Phys. Lett. B. — 1985. — Vol. 157. — Pp. 303-308.

121. Klimenko K. G. Massive Gross-Neveu model in leading order of 1/N expansion: consideration for temperature and chemical potential. — Theor. Math. Phys. 1988. - Vol. 75. - P. 487.

122. Barducci A., Casalbuoni R., Modugno M., Pettini G., Gatto R. Thermodynamics of the massive Gross-Neveu model. — Phys. Rev. D. — 1995. Vol. 51.- Pp. 3042-3060.

123. Chodos A., Cooper F., Mao W., Minakata H., Singh A. A two-dimensional model with chiral condensates and Cooper pairs having QCD-like phase structure. — Phys. Rev. D. 2000. — Vol. 61. - P. 045011.

124. Zhou B. R. Quark-antiquark and diquark condensates in vacuum in a 2D two-flavor Gross-Neveu model. — Commun. Theor. Phys. — 2007. — Vol. 47. P. 520.

125. Okopinska A. Optimized expansion in quantum field theory of massive fermions with (фф)2 interaction.— Phys. Rev. D. — 1988.— Vol. 38.— P. 2507.

126. Gandhi S. K., Jones H. F., Pinto M. B. The delta expansion in the large N limit. Nucl. Phys. В. - 1991. - Vol. 359. - Pp. 429-440.

127. Kneur J. L., Pinto M. В., Ramos R. O. Critical and tricritical points for the massless 2d Gross-Neveu model beyond large N.— Phys. Rev. D.—2006. Vol. 74. - P. 125020.

128. Kneur J. L., Pinto M. В., Ramos R. O. The 2D Gross-Neveu model beyond large-iV in the optimized perturbation theory.— Int. J. Mod. Phys. E. —2007. Vol. 16. - Pp. 2798-2801.

129. Kim S. K., Namgung W., Soh K. S., Yee J. H. Dynamical symmetry breaking and space-time topology. — Phys. Rev. D. — 1987.— Vol. 36.— Pp. 3172-3177.

130. Song D. Y., Kim J. K. Dynamical symmetry breakings on a nontrivial topology. Phys. Rev. D. - 1990. - Vol. 41. - Pp. 3165-3173.

131. Kim D. K., Han Y. D., Koh I. G. Chiral symmetry breaking in a finite volume. Phys. Rev. D. - 1994. - Vol. 49. - Pp. 6943-6946.

132. Vshivtsev A. S., Magnitsky В. V., Klimenko K. G. Tricritical point in the Gross-Neveu model with a chemical potential and a nontrivial topology of the space. JETP Lett. - 1995. - Vol. 61. - Pp. 871-874.

133. Vshivtsev A. S., Klimenko K. G., Magnitsky В. V. Nontrivial topology, finite particle density and chiral symmetry in Gross-Neveu model. — Phys. Atom. Nucl. 1996. - Vol. 59. - Pp. 529-536.

134. Elmfors P., Persson D., Skagerstam B. S. QED effective action at finite temperature and density. — Phys. Rev. Lett. — 1993.— Vol. 71, — Pp. 480483.

135. Andersen J. O., Haugset T. Magnetization in (2+l)-dimensional QED at finite temperature and density.— Phys. Rev. D.— 1995.— Vol. 51.— Pp. 3073-3080.

136. Vshivtsev A. S., Klimenko K. G., Magnitsky В. V. Landau oscillations in (2+l)-dimensional quantum electrodynamics. — J. Exp. Theor. Phys. — 1995.-Vol. 80.-Pp. 162-169.

137. Vshivtsev A. S., Klimenko K. G. Exact expression for the magnetic oscillations in quantum electrodynamics. — J. Exp. Theor. Phys. — 1996. — Vol. 82.-Pp. 514-517.

138. Zhukovskii V. Ch., Herrmann J. Compton effect and induced Compton effect in constant electromagnetic field.— Yad. Fiz.— 1971.— Vol. 14.— Pp. 150-159.

139. Zhukovskii V. Ch., Herrmann J. Effect of constant electromagnetic field on electron-positron' pair photoproduction. — Yad. Fiz.— 1971.— Vol. 14.— Pp. 1014-1019.

140. Bytsenko A. A., Cognola G., Vanzo L., Zerbini S. Quantum fields and extended objects in space-times with constant curvature spatial section. — Phys. Rep. 1996. - Vol. 226. - Pp. 1-126.

141. Blaschke D., Volkov M. K., Yudichev V. L. Coexistence of color superconductivity and chiral symmetry breaking within the NJL model. — Eur. Phys. J. A. 2003. - Vol. 17. - Pp. 103-110.

142. Vanderheyden В., Jackson A. D. A Random matrix model for color superconductivity at zero chemical potential. — Phys. Rev. D. — 2000. — Vol. 61.-P. 076004.