Эффекты нарушения киральной инвариантности, лоренц-инвариантности и изотопической симметрии в плотной кварковой среде в моделях Гросса-Невё и Намбу-Йона-Лазинио тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Курбанов Сердар Гельдимуратович

ЭФФЕКТЫ НАРУШЕНИЯ КИРАЛЬНОЙ ИНВАРИАНТНОСТИ, ЛОРЕНЦ-ИНВАРИАНТНОСТИ И ИЗОТОПИЧЕСКОЙ СИММЕТРИИ В ПЛОТНОЙ КВАРКОВОЙ СРЕДЕ В МОДЕЛЯХ ГРОССА-НЕВЁ И НАМБУ-ЙОНА-ЛАЗИНИО

01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

О локт®1

Москва, 2012

005052871

Работа выполнена на кафедре теоретической физики физического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: Доктор физико-математических наук,

профессор В. Ч. Жуковский

Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук,

профессор кафедры высшей математики факультета информатики Московского Государственного Университета Приборостроения и Информатики П. А. Эминов

Доктор физико-математических наук, профессор кафедры квантовой теории поля и физики высоких энергий МГУ им. Ломоносова

В. И. Денисов

Ведущая организация: Институт физики высоких энергий (ГНЦ

ИФВЭ), г. Протвино

Защита диссертации состоится " " оу^-^Тр-с 2012 года в 3 д часов на заседании диссертационного совета Д 501.002.10 МГУ имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, г. Москва, ГСП-1, Ленинские Горы, МГУ, физический факультет, ауд.суА .

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке физического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан сд-м-^-д^^я 2012 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 501.002.10, доктор физико-математических наук

Ю.В. Грац

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена изучению формирования кварковых конденсатов в приближенных моделях КХД, описывающих сильное взаимодействие в пределе низких энергий, используя непертурбативные методы. В работе рассматриваются дополнительные факторы, способные приводить к образованию новых типов конденстатов или изменению условий возникновения конденсатов по сравнению с изначальной формулировкой моделей ГН и НЙЛ их авторами.

Модель ГН рассматривается в условиях нарушения лоренц-инвариантности, на которое, по современным экспериментальным данным, накладывается сильное ограничение, таким образом, что величина массивного параметра, отвечающего за нарушение лоренц-инвариантновти, много меньше прочих массивных параметров теории. В работе показано, что нарушение лоренц-симметрии при некоторых условиях все же влияет на формирование кварк-антикваркового конденсата.

Модель НЙЛ применяется для исследования образования заряженного и нейтрального кварковых конденсатов в плотной кварковой среде. При этом исследуется возможность конденсации кварков в состояния, отличные от отднородного конденсата (в виде волн киральной и пионной плотности). В диссертационной работе показано, что образование таких конденсатов возможно, и даже более вероятно, чем однородных. Исследован также фазовый портрет модели в зависимости от температуры, и показано, что при высоких температурах образование каких-либо конденсатов, в том числе неоднородных, становится невозможным, что является физически адекватным результатом, говорящим в пользу применимости данной модели.

Актуальность темы исследования.

Исследование приближенных моделей сильного взаимодействия, в частности, моделей четырехфермионного взаимодействия, достаточно популярно в текущий момент, несмотря на достаточно продолжительную историю изучения данных моделей. Интерес к исследованию состояния кварковой среды подогревается как принципиальной возможностью исследовать сильные взаимодействия при относительно низких температурах, так и ожидаемыми экспериментальными данными из экспериментов по столкновению тяжелых ионов.

Интересны также прикладные аспекты данного класса моделей, выходящие за рамки описания кварковой среды. Электромагнитные взаимодействия электронов в решетках полимеров, таких как полиацетилен, а

также планарных атомных систем, таких как графен и фулерены, также эффективно могут быть описаны при помощи моделей четырехфермионно-го взаимодействия. В этом случае становится естественным рассмотрение моделей низкой размерности - двумерных или трехмерных. Это направление исследований также делает интересным перспективность применения данных материалов в технике, медицине и других отраслях. В частности, одним из интересных направлений исследований в данной области является исследование возможности некоторых полимеров обладать свойством высокотемпературной сверхпроводимости. Такие свойства этих материалов также исследуются с помощью моделей четырехфермионного взаимодействия, в частности, модели Намбу-Йона-Лазинио, исследующейся в данной работе.

Исследования возможности слабого нарушения лоренц-симметрии также являются популярной темой, которой посвящено множество работ и обзоров в современной научной литературе. Рассмотрение данной темы может быть интересно как с точки зрения следствий возможного нарушения лоренц-симметрии, так и в связи с вопросами о фундаментальных причинах такого нарушения. В данной работе исследуется первый вопрос.

Целью работы является исследование моделей четырехфермионного взаимодействия, приближенно описывающих сильное взаимодействие в низкоэнергетических пределах, с дополнительными параметрами, влияющими на условия образования кварковых конденсатов и динамического нарушения киральной симметрии.

Научная новизна работы состоит в том, что в ней впервые:

1. исследована трёхмерная модель Гросса-Невё с введением члена, нарушающего лоренц-инвариантность, и показано влияние нарушения лоренц-инвариантности на условия динамического нарушения киральной симметрии в данной модели;

2. решена задача о размерной редукции модели Гросса-Невё с нарушением лоренц-инвариантности, явными вычислениями проведена операция размерной редукции;

3. исследована возможность образования неоднородного кварк-антикваркового конденсата в форме волн киральной плотности в плотной изотопически неоднородной кварковой среде при наличии температуры Т, описываемой моделью Намбу-Йона-Лазинио. В присутствие химического потенциала ц и изотопического химического потенциала щ найден термодинамический потенциал модели,

построены фазовые диаграммы в переменных (Т, д). Показано, что фаза однородной пионной конденсации занимает компактную область на фазовой диаграмме, тогда как фаза с наличием киральных волн плотности может занимать как ограниченную, так и неограниченную области;

4. исследована возможность образования киральных волн плотности в плотной кварковой среде в приближении нулевой массы кварков т = О и при нулевой температуре. Показано, что пионные волны плотности более предпочтительны, чем однородный киральный конденсат, и фаза нормальной кварковой материи (безмассовый киральный конденсат) занимает лишь небольшую область на фазовой диаграмме. Также показано, что существует критическое значение химического потенциала /х, разделяющее области с пионными волнами плотности и однородным пионным конденсатом на фазовой диаграмме.

Практическая ценность диссертации определяется тем, что результаты работы могут быть использованы для определения типов и свойств образующихся кварк-антикварковых конденсатов в плотной кварковой среде, например, в экспериментах по столкновению тяжелых ионов, а также в центре массивных звезд. Кроме того, данные исследования применимы к эффективному описанию атомных систем таких как полиацетилен или графен, где кулоновские взаимодействия между электронами могут быть эффективно описаны с помощью моделей четырехфермионного взамиодей-ствия. Исследование модели Гросса-Невё в условиях нарушенной лоренц-инвариантности может быть использовано для установления новых ограничений сверху на параметры нарушения лоренц-инвариантности.

Апробация диссертации.

Основные результаты, вошедшие в диссертацию, докладывались на следующих конференциях:

Научная конференция "Ломоносовские чтения", секция физики, подсекция теоретической и математической физики, Москва, МГУ им. Ломоносова, 2010

Доклад в институте физики университета им. Гумбольдта в рамках стажировки по стипендии им. Эйлера, Берлин, Германия, 2011 15th Lomonosov Conference on elementary particle physics, Москва, МГУ им. Ломоносова, 2011

Научная сессия-конференция ЯФ ОФН РАН "Физика фундаментальных взаимодействий", Москва, ИТЭФ, 2011

Публикации.

Основные результаты диссертации изложены в 5 опубликованных работах, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из пяти глав, включая введение и заключение, приложений к главам и списка цитируемой литературы, содержащего 86 наименований. Диссертация содержит 17 рисунков. Общий объем 93 страницы.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Глава 1. Введение.

Рассматриваются свойства основной модели, описывающей сильное взаимодействие - квантовой хромодинамики (КХД), обсуждаются ее особенности и необходимость введения приближенных моделей сильного взаимодействия при низких энергиях. Перечисляются основные типы приближенных моделей и история их развития. Среди прочих моделей своей простотой и практичностью выделяются модели четырехфермионного взаимодействия - модели Гросса-Невё (ГН) и Намбу-Йона-Лазинио (НЙЛ). Данные модели непосредственно связаны с работами по сверхпроводимости Н. Н. Боголюбова, В. Л. Гинзбурга, а также с моделью Бардина-Купера-Шриффера (БКШ). Показывается область применимости данных моделей и современные направления исследований кварковой материи на их основе. Также обсуждается применение моделей данного типа для описания физических систем другой природы, нежели кварковая среда - в частности, применение их для описания планарных систем атомов углерода (графены), а также полимеров (полиацетилена).

Глава 2. Трехмерная модель Гросса-Невё с нарушенной лоренц-инвариантностью.

Во введении к данной главе обсуждается принципиальная возможность нарушения лоренц-инвариантности в теории поля, кратко описываются возможные источники нарушения лоренц-инвариантности в более фундаментальных теориях (таких как теория струн). Описываются модели, рассматривающие нарушение лоренц-инвариантности, в том числе дан наиболее общий вид лагранжиана, расширяющего стандартную модель за счет включения в него членов, нарушающих лоренц-инвариантность (лагранжиан расширенной Стандартной Модели, ЭМЕ). Приведены методы экспериментального исследования величин параметров нарушения лоренц-инвариантности и современные ограничения данных параметров.

В содержательной части главы рассматривается массивная (2+1)-мерная модель Гросса-Невё с введением дополнительного члена нарушающего лоренц-инвариантность, действие которой в пространстве Евклида записывается в виде:

— —С '

Ч>Ъ{Э5 - гЬ,)Ф + ФтФ - — (ФФ)2

где ^ = 1,2,3.

Рассмотрены 2 случая - действительный и чисто мнимый вектор Ъ. Для действительного вектора Ь используются обозначения: Ъ = \/Ь\ + Ь% + Ь2 -

модуль вектора Ь, для чисто мнимого вектора Ь:Ь = гЬ, где 6 - действительный вектор с компонентами (&ь ¿>2, £>з), Ь = у'Щ + Щ + 63 - модуль вектора

Ь.

Исследован эффективный потенциал модели Уе$ в этих случаях. Для линеаризации лагранжиана используется преобразование Хаббарда-Стратоновича и вводится дополнительное скалярное поле Ф(ж), которое в дальнейшем полагается не зависящим от координат. Итоговый эффективный потенциал зависит от величины Ф, и величина Фо, реализующая минимум характиризует нарушение киральной симметрии в данной модели. Для регуляризации Уец используется обрезание по импульсам, параметр обрезания обозначается величиной Л.

Для случая действительного Ь найдено выражение для Уец, которое в пределе Л>Ф может быть записано в виде:

_ Ф2 (Ф - т)2 |Ф - гор Ъ2 гоФ еВ~2д Щ; + бтг 6СГс~~д7

В этом случае величина Ь входит в эффективный потенциал только в качестве аддитивной поправки и не влияет на расположение экстремумов эффективного потенциала.

Для случая чисто мнимого Ь выражение для Уед в пределе Л Ф;6 найдено в следующем виде:

1) Если |Ф — т| > Ь, то

_ Ф2 (Ф - го)2 |Ф — т|3 гоФ

е1Г ~ Ш 2&

2) Если |Ф — т\ < Ь , то

Кг =

Ф2 (Ф - т)2 тФ

- 4Ь2(Ф - т)2 - 2(Ф - т)

327Г Ь [3

Л

2С 2Сс Сс

В данном случае поправки к эффективному потенциалу, связанные с введением нарушения лоренц-инвариантности существенно влияют на расположение максимумов и минимумов, и как следствие на условия нарушения киральной симметрии модели.

Проведен анализ уравнения щели для случаев действительного и мнимого вектора Ь. В результате показано, что в случае мнимого Ь кираль-ная симметрия восстанавливается при достаточно больших величинах Ъ: Ъ > 2М, где М. = 2тт — ^ и Се = в то время как в отсутствие нарушения лоренц-инвариантности киральная симметрия нарушается всегда при С > (?с.

Глава 3. Размерная редукция модели Гросса—Невё

Во вводной части главы рассматриваются свойства (1+1)-мерной модели Гросса-Невё с нарушением лоренц-инвариантности, имеющей действие следующего вида:

где ц = 1,2.

Кратко описываются основные свойства данной модели в условиях нарушенной и не нарушенной лоренц-симметрии. Показан вид эффективного потенциала данной модели в обоих случаях с использованием преобразования Хаббарда-Стратоновича, введения поля Ф и обрезания по импульсам с константой обрезания Лг- Обсуждаются основные свойства модели и дополнительные свойства, возникающие с введением в лагранжиан модели члена, нарушающего лоренц-инвариантность.

Оставшаяся часть главы посвящена исследованию процедуры размерной редукции из трёх измерений в два для лоренц-ивариантного случая и для случая с нарушенной лоренц-инвариантностью. Процедура сокращения размерности состоит в наложении ограничения масштаба одного из пространственных измерений и в устремлении этого масштаба к нулю. В данном случае накладывается ограничение на значения координаты хз: хз е [0, /3], что приводит к дискретизации третьей компоненты импульса:

Для лоренц-ивариантного случая (Ьи = 0) уравнение на минимум эф-

V] = У сРхЩ^д, - -гМф -

к3 = где пе%.

фективного потенциала (уравнение щели) можно записать в виде:

<1к1йк,2<1кз

1 _ 2 Г

о ~ (2тг)3 у;

Щ + Щ + кI + Ф2

После наложения ограничения на координату хз и преобразований в пределе Лг Ф это соотношение записывается в виде:

бшЬ

т 1

ехр

Параметр Лг здесь возникает из-за интегрирования по компонентам импульса вдоль координат

При исследовании этого выражения в пределе ¡3 оо получено соотношение между величинами Л г и Лз, где Л3 - параметр обрезания по импульсам в трехмерной модели:

Лг _ Лз _

2тт ~ 7Г2 ~~ йс

Соотношение для констант связи в двумерной и трехмерной моделях получено сравнением данного уравнения щели с уравнением щели в двумерной модели. Оно может быть записано в виде:

9 =

где величина | может быть отождествлена с импульсом обрезания Лг-

Для случая с нарушенной лоренц-инвариантностью уравнение щели может быть записано в виде:

(2тг)3 / (к, ~ Ьг)

<Рк

(2тг)3 У - Ьгу + (к2 - Ъг)2 + Щ + Ф2

При наложении ограничения жз, выборе ограничения Ьз = 0 и введении величины / = /?Ф, / 1, вычисления приводят данное выражение к виду: 1) Если \Ьг\ < |Ф|

С жР V 2

откуда следует:

|Ф| = - ехр

тг/З

^ехр

2) Если \Ъг\ > |Ф|

1 = 1 //ЗЛ2 <3 тг/З V 2

+ 61)2-/2)),

откуда следует:

|Ф|2 =

Эти выражения точно совпадают с уравнениями щели в двумерной модели Гросса-Невё с нарушением лоренц-инвариантности. При вычислении данных выражений использовались ограничения: Ьо Л, / = /ЗФ -С 1, 1/1 ^ /5Л, где Л - параметр обрезания, использовавшийся при вычислениях и, вообще говоря, не совпадающий с Лг-

Таким образом, получена процедура размерной редукции от трех измерений к двум для лоренц-неинвариантной модели Гросса-Невё. Соотношения, полученные для лоренц-инвариантного случая, здесь сохраняются:

Глава 4. Волны киральной и пионной плотности в плотной кварковой среде

Во введении к данной главе описываются основные свойства исследуемой модели - (1+1)-мерной модели Намбу-Йона-Лазинио, лагрнжиан которой записывается в виде:

где спинор д является дублетом по аромату и Л^-плетом по цветам (<? = где ¿=1,2 или г ~ и,(I, и а = 1,...,МС), а матрицы Паули т* (к = 1,2,3) действуют в пространстве ароматов. В данной модели присутствует химический потенциал ц, т.е. рассматривается плотная кварковая среда, а также изотопический химический потенциал ц; = т.е. вводится явная изотопическая асимметрия.

Показаны группы симметрий данной модели, преобразования полей под действием этих групп. Для исследования образовалия конденсатов в рамках данной модели при помощи преобразования Хаббарда-Стратоновича

Лг _ Лз

2тг ~ 7Г2

Сс

1

£ = д [У1ЭР + М7° + ^тз7°] Я + £ [(ё?)2 + Ш?д)2]

вводятся дополнительные бозонные поля, которые отвечают за образование конденсатов. Их также можно ввести в модель, эффективно проведя следующую замену, что дает такое же выражение для термодинамического потенциала (ТДП) модели:

о!

а(х) = -2—(дд); тга(х) = -2—(^75г0д)

При таком определении полей для величины эффективного действия модели получено следующее выражение:

к2 + тг„21

¿>ее (с, 7га) = -Л/',, у сРх

+

4(3

где величина определяется из соотношения

ехр(^) = !ШШ ехр(1 J +г^гз7°-ст-\15иата]д } (¿2:г)

Вакуумные средние полей (с(а;)) и (тга(х)) должны быть определены как величины, реализующие минимум термодинамического потенциала.

При ненулевой плотности кварковой среды возможно образование неоднородных кварковых конденсатов. В работе рассматриваются две возможные реализации неоднородного конденсата - в виде волн киральной плотности и волн пионной плотности.

Анзац для полей а(х) и па(х) при рассмотрении образования кирального конденсата задается в следующем виде:

а(х) = Мсоз(2Ьх), 7г3(х) = Мвт(2Ьх), щ(х) = Д, тг2(а;) = О,

где М,Ь и Д - постоянные величины.

В главе отдельно рассматриваются образование однородного (6 = 0) и неоднородного (Ъ ф 0) конденсатов. Для обоих случае найден ТДП данной модели. Показывается, при использовании обрезания, симметричного по импульсам квазичастиц, выражение для ТДП получается физически некорректным:

1) Выражение для ТДП оказывается неограничено снизу по переменной Ь.

2) При М = 0 величина ТДП зависит от Ь, что некорректно, так как М является амплитудой волны киральной плотности, а Ъ - входит в фазу.

В работе приводится способ нахождения физически значимой величины ТДП за счет использования обрезания, симметричного по энергиям квазичастиц. В результате вычислений найдена величина физически значимого

ТДП:

ПрЬу8(М, b, А) = П{М, b, А) + + ^ ,

где

П{М, Ь, А) = V0ЫМ2 + A2)- lim ¡ E+ + E¿- 2л/р? + М2 + А2

Л-»оо \ J ТТ V

- / ^{Ы - - £+) + (М - - ££)},

о

М2

У0(Л.) = -

Мо - динамическая масса кварков при А = О, Ь = 0, /х = О, дг = О, т.е. в исходной модели НЙЛ и

Е% = ч/(£±)2 + А2, £± = £±(6+^), +

М2.

Также исследуется возможность возникновения киральных волн плотности в случае ненулевой температуры (Т ф 0). Проводится компакти-фикация временного измерения и вводятся дискретные значения энергии, как это делалось для импульса при компактификации пространственного измерения (т.е. вводится суммирование по "мацубаровским"частотам):

оо /

-оо

Ро -> Pon = iüjn = гтгТ(2п +1), 71 = О, ±1, ±2,...

Проведенные численные расчеты показывают, что минимумы ТДП лежат либо в плоскости М — 0, либо в плоскости А = 0, т.е. не существует смешанного барионного и пионного конденсата. Для этих отдельных случаев получено выражение для ТДП при ненулевой температуре в следующем виде:

оо

ПРЬУ°(М = 0, Ь, Д)= У0(А) - Щ- J dn ln { [l + е-«£"">] [l 4- },

о

fiPhys(M, b, A = 0) = VÓ(M) - ^ +

7Г

Рис. 1: Фазовые портреты модели НЙЛ с химическими потенциалами в (1+1)-мерии в координатах (ц, Т). а) (слева) Фазовый портрет при 0 < /х/ < 2иа. 6) (справа) Фазовый портрет при 2иа < Здесь иа к 0.6М0, = ~ 0.68М0- При и = 0 фаза Я означает фазу однородной киральной конденсации: М = Мо,Ь = 0,Д = 0; при 0 < и < иа Н означает фазу однородной пионной конденсации: М = 0, Ъ = 0, Д = Мо. В симметричной фазе конденсаты отсутствуют: М = 0, Ь = 0, Д = 0. Фазы и СБШг

- фазы кирального конденсата в виде волн киральной плотности М ф 0, Ь ^ 0, Д = 0, причем в СБЭД!: Ь > 0, в СБ\У2: 6 < 0.

-1¿рг 1п { [1 + [1 + }

~ Р йр!1п{ + [1 + е-^""-^)] },

где Е = х/РхТМ5 и £ = + Д2.

На основе анализа ТДП построена фазовая диаграмма модели в координатах (Т, ц) (рис. 1), показано, что при высокой температуре кварковые конденсаты не образуются, и что фаза однородного кваркового конденсата менее предпочтительна, чем фаза киральной волны плотности, поэтому на фазовой диаграмме она присутствует только в виде линии раздела фаз киральной волны плотности с разным знаком Ъ в фазе волны.

Для рассмотрения возможности образования пионной волны плотности используется анзац:

сг( х) = М, 7г3(а;) = 0, 7Г+ = 71-1(2;) + гтг2(:г) = Д е2Ш, 7г_ = 7Г1(а;) — ¿7Г2(х) = А е~2гЬх.

Используя данный алзац, вычисляется ТДП модели. В данном случае также возникает проблема нефизичности ТДП, которая решается введением

Рис. 2: Фазовая структура модели в плоскости ц, и. РБХУ - фаза волны пионной плотности. РС - фаза однородного пионного конденсата. Фаза нормальной кварковой материи (А = О, М т^ 0) представлена тонкой полосой, разделяющей фазу РБШ на две части.

обрезания, симметричного по энергиям квазичастиц. Итоговый физически значимый термодинамический потенциал может быть записан в виде:

ПрЬу8(М, Ь, А) = Пгеп(М, Ъ, А) - Пгеп{М, Ъ,А = 0) + 0.геп(М, Ь = 0, Д = 0),

здесь

О.геп(М,Ь,А) = У0(М, Д)-

1м - + - + \(Л- Т,1\ + - ъ\ - + М2 + Д2 ,

У0(М,А) = Ц)(у/М2 4- Д2) и 77^2 являются решениями уравнения четвертой степени:

?74 + Лт?2 + Вт] + С = 0,

где

А = —2(М2 + Ъ2 +р\ +и2 Д2), В = -8р1&г/,

С = (М2 + Ь2 +р! + V2 + Д2)2 - 4(рУ + Ь2и2 + Д2Ь2 + М2и2 + р262).

На основе данного ТДП построен фазовый портрет данной модели (рис. 2), исследованы свойства конденсатов в зависимости от значений химического и изотопического химического потенциалов. Показано, что образование фазы пионной волны плотности более предпочтительно, чем образование однородного кирального конденсата, соответствующая ему фаза

У-оо 4тг

занимает только тонкую полосу между фазами пионной волны плотности. Также показано, что как и в случае исследования киральной волны плотности, фазы пионного и барионного конденсатов разделены и не смешиваются.

Интересным является сравнение предпочтительности образования киральной волны плотности и пионной волны плотности в плотной кварковой среде при равных значениях химических потенциалов. Численные расчеты большой точности показывают, что глубины ТДП в этих двух случаях одинаковы, т.е. вероятно сосуществование этих фаз в виде пространственно разделенных областей, занимаемых данными типами конденсатов. Данный результат может указывать на скрытую симметрию при образовании пионного и барионного конденсатов в модели.

Глава 5. Заключение. Перечислены полученные результаты и кратко сформулированы основные выводы диссертации.

Приложения. Приведены некоторые существенные детали вычислений, использующиеся в различных главах диссертации, которые были вынесены отдельно для удобства.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Исследована трёхмерная модель Гросса-Невё с учетом возможного нарушения лоренц-инвариантности. Показано, что наличие достаточно большой величины вектора Ъхарактеризющего нарушение лоренц-симметрии, приводит к восстановлению киральной инвариантности модели в том числе в режимах, в которых без нарушения лоренц-инвариантности киральная симметрия нарушается.

2. Проведена размерная редукция из трёх измерений в два при помощи явной компактификации одного из пространственных измерений в модели Гросса-Невё с нарушением лоренц-инвариантности. Получены соотношения между параметрами трёхмерной и двумерной моделей, путем размерной редукции получено уравнение на экстремумы эффективного потенциала в двумерной модели (уравнение щели).

3. Исследована (1+1)-мерная модель Намбу-Йона-Лазинио, описывающая плотную кварковую среду с введением изоспиновой асимметрии. Построен термодинамический потенциал для данной модели в предположении, что возможно образование фазы киральных волн плотности. Исследовано влияние ненулевой температуры на образование конденсатов. Получены фазовые диаграммы модели в координатах (Т,ц).

Показано, что фаза волн киральной плотности более предпочтительна, чем однородный киральный конденсат.

4. Построена процедура обрезания, симметричного по энергиям, приводящая к физически правильному результату для термодинамического потенциала.

5. Исследована возможность образования пионных волн плотности в (1+1)-мерной модели Намбу-Йона-Лазинио. Построен термодинамический потенциал модели с учетом возможности образования пионных волн плотности. Показано, что пионные волны плотности более предпочтительны, чем однородный киральный конденсат. Построен фазовый портрет модели в координатах (/х, дг), исследовано поведение конденсатов в зависимости от величин химических потенциалов.

6. Показано отсутствие фаз смешения пионного и кирального конденсатов.

7. Численно показано наличие скрытой симметрии образования неоднородных кирального и пионного конденсатов. Это выражено в том, что фазы киральной волны плотности и пионной волны плотности одинаково предпочтительно, и могут существовать отдельные области пространства, заполненные одним из этих типов конденсатов.

Основное содержание диссертации и результаты выполненных исследований опубликованы в следующих работах.

1. Жуковский В. Ч., Курбанов С.Г., Трёхмерная модель Гросса-Невё в условиях нарушения лоренц-инвариантности // Вестник Московского Университета. Серия 3. Физика. Астрономия. — 2009. — № 5.

2. Жуковский В. Ч., Курбанов С.Г., Губина Н.В., Клименко К.Г., Генерация волн плотности пионного конденсата в модели Гросса-Невё // Научная конференция "Ломоносовские чтения", секция физики, подсекция теоретической и математической физики, Москва, МГУ им. Ломоносова, 2010

3. D. Ebert, N.V. Gubina, K.G. Klimenko, S.G. Kurbanov, V.Ch. Zhukovsky, Chiral density waves in the NJL2 model with quark number and isospin chemical potential // Phys. Rev. D — 2011. — Vol. 84. — P. 025004.

4. Губина H.B.¡Жуковский В. Ч., Курбанов С.Г., Волны пионной и ки-ральной плотности в (1+1)-мерной модели Намбу-Йона-Лазинио // Вестник Московского Университета. Серия 3. Физика. Астрономия. - 2012. - № 1.

5. Губина Н.В.,Жуковский Б.Ч., Курбанов С.Г., Размерная редукция фермионов в модели Гросса-Невё в условиях нарушенной лоренц-инвариантности // Вестник Московского Университета. Серия 3. Физика. Астрономия. — 2012. — № 2.

Подписано к печати Ш.09Л Тнряпк 463

Отпечатано в отделе оперативной печати физического факультета МГУ

1 Введение

1.1 Эффективные модели КХД.

1.2 Методы численных расчетов.

1.3 Список опубликованных работ.

2 Трёхмерная модель Гросса-Невё с нарушеннием лоренц-инвариантности

2.1 Возможность нарушения лоренц-инвариантности и ее проявления

2.2 Исследуемая модель.

2.3 Эффективный потенциал модели

2.3.1 Вычисление Уея в случае действительного Ь.

2.3.2 Вычисление в случае мнимого Ь.

2.4 Уравнение щели в трехмерной модели.

2.4.1 Уравнение щели в случае действительного Ь

2.4.2 Уравнение щели в случае мнимого Ь.

4.4 Заключение

В данной главе исследована (1+1)-мерная модель Намбу-Йона-Лазинио с введением химического потенциала ц и с явным нарушением изотопической симметрии за счет введения изотопического химического потенциала щ. Была рассмотрена возможность образования неоднородных кварковых конденсатов в виде волны киральной плотности или пионной плотности.

Для обоих случаев численно было показано, что пионный и кираль-ный конденсаты образуются отдельно друг от друга и не смешиваются.

Для случая киральной волны плотности были построены фазовые диаграммы на плоскости (Г,/л), показывающие, что фаза неоднородного кирального конденсата занимает неограниченную область на диаграмме, что отличается от (3+1)-мерного случая той же модели. Кроме того, в отличие от (3+1)-мерной модели, между фазой киральной волны плотности и фазой однородной пионной конденсации существует фазовый переход первого рода.

Для случай пионной волны плотности показано, что фаза пионной волны плотности более предпочтительна, чем фаза вакуума (отсутствия конденсатов) и фаза однородного кирального конденсата.

Проведено сравнение предпочтительности образования киральной и пионной волны плотности, в результате которой выяснилось, что термодинамический потенциал имеет одинаковую глубину для обеих фаз, т.е. ни одна из них не является более предпочтительной, чем другая. Это говорит о том, что существует скрытая симметрия между этими двумя фазами. Поскольку кварки могут конденсироваться в каждую из фаз равновероятно, и, как было выяснено, что пионный и кварковый конденсат не смешиваются, то делается вывод, что могут существовать отдельные области пространства, в которых существуют отдельно конденсат в виде пионной или кварковой волны плотности в случае если ц > /лс « 0.69Мо или в виде однородного пионного конденсата в противном случае.

Глава 5 Заключение

В представленной работе исследованы модели четырехфермионного взаимодействия Гросса-Невё (ГН) и Намбу-Иона-Лазинио (НИЛ) с дополнительными условиями, такими как введение в лагранжиан модели члена, нарушающего лоренц-инвариантность, а также введение химического и изотопического химического потенциалов. Получены следующие основные результаты:

1. При исследовании модели ГН с членом Ьнарушающим лоренц-инвариантность модели, показано, что наличие достаточно большой величины Ьи приводит к восстановлению киральной инвариантности модели в том числе в режимах, в которых без нарушения лоренц-инвариантности киральная симметрия нарушается.

2. Проведена размерная редукция из трёх измерений в два при помощи явной компактификации одного из пространственных измерений в модели ГН с нарушением лоренц-инвариантности. Получены соотношения между параметрами трёхмерной и двумерной моделей, путем размерной редукции получено уравнение на экстремумы эффективного потенциала в двумерной модели (уравнение щели).

3. Исследована (1+1)-мерная модель НЙЛ, описывающая плотную квар-ковую среду с введением изоспиновой асимметрии. Построен термодинамический потенциал (ТДП) для данной модели в предположении, что возможно образование фазы киральных волн плотности. Исследовано влияние ненулевой температуры на образование конденсатов. Получены фазовые диаграммы модели в координатах (Г,//). Показано, что фаза волн киральной плотности более предпочтительна, чем однородный киральный конденсат.

4. Построена процедура обрезания, симметричного по энергиям, приводящая к физически правильному результату для термодинамического потенциала.

5. Исследована возможность образования пионных волн плотности в (1+1)-мерной модели НЙЛ. Построен термодинамический потенциал модели с учетом возможности образования пионных волн плотности. Показано, что пионные волны плотности более предпочтительны, чем однородный киральный конденсат. Построен фазовый портрет модели в координатах (//,///), исследовано поведение конденсатов в зависимости от величин химических потенциалов.

6. Показано отсутствие фаз смешения пионного и кирального конденсатов.

7. Численно показано наличие скрытой симметрии образования неоднородных кирального и пионного конденсатов. Это выражено в том, что фазы киральной волны плотности и пионной волны плотности одинаково предпочтительно, и могут существовать отдельные области пространства, заполненные одним из этих типов конденсатов.

Благодарности

Я выражаю благодарность своему научному руководителю В. Ч. Жуковскому за постановку задач и активное руководство в поиске решений. Я также благодарен К. Г. Клименко (ИФВЭ, Протвино), за участие и плодотворные обсуждения тем, изложенных в диссертации, а также

Д. Эберту (университет им. Гумбольдта, Берлин) за неоценимый научный опыт и теплый прием в Берлине. Хотелось бы также поблагодарить всех участников научного семинара, проводимого на кафедре теоретической физики под руководством В. Ч. Жуковского, на котором неоднократно докладывались течение и результаты работ, вошедших в состав данной диссертации. Обсуждения, проводившиеся на семинаре, помогли расширить понимание изучаемой темы, и интерес к исследованиям, проявленный участниками семинара, всегда служил хорошей мотивацией для продолжения исследований. Особо я хотел бы поблагодарить А. В. Борисова, А. Е. Лобанова и О. Г. Харланова, часто слушавших доклады по теме диссертации на семинаре и особенно активно участвовавших в их обсуждении.

Я благодарю всех преподавателей и сотрудников кафедры, а также преподавателей других кафедр, за прекрасные лекции и семинары, а также за создание дружественной научной атмосферы.

1. A. W. Steiner et al., Phys. Rept. 411, 325 (2005).

2. M. Alford, G. Good, S. Reddy, Phys. Rev. С 72, 055801 (2005).

3. W. E. Thirring, Ann. Phys. 3, 91 (1958).

4. J. Schwinger, Phys. Rev. 128, 2425 (1962).

5. Y. Frishman, J. Sonnenschein, Phys. Rept. 223, 309 (1993).

6. G. 't Hooft, Nucl. Phys. B72, 461 (1974).

7. D. J. Gross, A. Neveu, Phys. Rev. D 10, 3235 (1974).

8. Y. Nambu, G. Jona-Lasinio, Phys. Rev. 122, 345 (1961).

9. J. Bardeen, L. N. Cooper, J. R. Schrieffer, Phys. Rev. 106, 162 (1957).

10. H. H. Боголюбов, ЖЭТФ 34, 41 (1958).

11. В. С. Barrois, Nucl. Phys. В 129, 390 (1977).

12. S. C. Frautschi, "Asymptotic freedom and color superconductivity in dense quark matter Proceedings of Workspop on Hadronic Matter at Extrim Energy Density, Ed., N. Cabibbo, Erice, Italy (1978).

13. D. Bailin, A. Love, Phys. Rep. 107, 325 (1984).

14. D. Ebert, K. G. Klimenko, H. Toki, Phys. Rev. D 64, 014038 (2001)

15. D. Ebert, K. G. Klimenko, H. Toki, V. Ch. Zhukovsky, Prog. Theor. Phys. 106, 835 (2001).

16. А. В. Борисов, А. С. Вшивцев, В. Ч. Жуковский, П. А. Эминов, УФН, 167, 241-267 (1997).

17. D. Ebert, А. V. Tyukov, V. Ch. Zhukovsky, Phys. Rev. D 80, 085019 (2009).

18. D. Ebert, А. V. Tyukov, V. Ch. Zhukovsky, Phys. Rev. D 76, 064029 (2007).

19. M. G. Alford, A. Schmitt, K. Rajagopal, T. Schäfer, Rev. Mod. Phys. 80, 1455 (2008).

20. U. Vogl, W. Weise, Prog. Part. Nucl. Phys. 27, 195 (1991).

21. S. P. Klevansky, Rev. Mod. Phys. 64, 649 (1992).

22. К. Г. Клименко, А. С. Вшивцев, ЖЭТФ 84, 1057 (1997).

23. Т. М. Schwarz, S. Р. Klevansky, G. Rapp, Phys. Rev. С 60, 055205 (1999).

24. I. N. Mishustin, L. M. Satarov, H. St-.-ocker, W. Greiner, Phys. Atom. Nucl. 64, 802 (2001).

25. M. Buballa, Nucl. Phys. А 611, 393 (1996).

26. D. Ebert, M. K. Volkov, Yad. Fiz. 36 1265 (1982).

27. D. Ebert, H. Reinhardt, Nucl. Phys. В 271 188 (1986).

28. D. Ebert, H. Reinhardt, M. K. Volkov, Progr. Part. Nucl. Phys. 33, 11994).

29. V. P. Gusynin, V. A. Miransky, I. A. Shovkovy, Phys. Lett. В 349, 4771995).

30. А. С. Вшивцев, В. Ч. Жуковский, К. Г. Клименко, ЖЭТФ 111, 1921 (1997).

31. К. G. Klimenko, Teor. Mat. Fiz. 89, 211 (1991).

32. V. P. Gusynin, V. A. Miransky, I. A. Shovkovy, Phys. Rev. Lett. 73, 3499 (1994).

33. G. 't Hooft, Phys. Rev. D 14, 3432 (1976).

34. G. 't Hooft, Phys. Rep. 142, 357 (1986).

35. A. Basu, A. Maharana, Phys. Rev. D 75, 065005 (2007).

36. E. Antonyan, J. A. Harvey, S. Jensen, D. Kutasov, arXiv: hep-th/0604017vl 3 Apr 2006.

37. V. P. Gusynin, S. G. Sharapov, J. P. Carbotte, Int. J. Mod. Phys. В 21, 4611-4658 (2007).

38. E. V. Gorbar, V. P. Gusynin, V. A. Miransky, I. A. Shovkovy, Phys. Rev. В 78, 085437 (2008).

39. В. А. Ильина, П. К. Силаев, "Численные методы для физиков-теоретиков Т. 1,2, Институт Компьютерных исследований, Москва, 2003.

40. V. A. Kostelecky, R. Potting, Phys. Rev. D 51, 3923 (1985).

41. V. A. Kostelecky, S. Samuel, Phys. Rev. D 39, N2 15 Jan 1989.

42. R. Gambini, J. Pullin, Phys. Rev. D 59, 124021 (1999).

43. J. Alfaro, H. A. Morales-Tecotl, L. F. Urrutia, Phys. Rev. Lett 84, 2318 (2000).

44. S. M. Carroll, J. A. Harvey, V. A. Kostelecky, Phys. Rev. Lett 87, 141601 (2001).

45. O. Bertolami, L. Guisado, Phys.Rev. D 67, 025001 (2003).

46. N. Seiberg, E. Witten, JHEP 9909, 032 (1999).

47. S. G. Nibbelink, P. A. Bolokhov, M. Pospelov, Phys. Rev. D 72, 015013 (2005).

48. R. Lehnert, EURESCO conference, Portoroz, Slovenia, July 2003, arXiv: hep-ph/0312093vl.

49. J. Kowalski-Glikman, Lect. Notes Phys. 669, 131 (2005).

50. O. Bertolami, C. Carvalho, Phys. Rev. D 74, 084020 (2006).

51. O. W. Greenberg, Phys. Rev. Lett. 89, 231602 (2002).

52. H. Dehmelt, R. Mittleman, R. S. Van Dyck, Jr., P. Schwinberg, arXiv: hep-ph/9906262v3.

53. D. Colladay, V. A. Kostelecky, Phys. Rev. D 55, 6760 (1997); 58, 116002 (1998).

54. V. Ch. Zhukovsky, A. E. Lobanov, E. M. Murchikova Phys. Rev. D 73, 065016 (2006).

55. I. E. Frolov, V. Ch. Zhukovsky, J. Phys. A 40, 10625 (2007).

56. A. A. Andrianov, P. Giacconi, R. Soldati, Grav. Cosmol. Suppl. 8N1, 41 (2002).

57. O. G. Kharlanov, V. Ch. Zhukovsky, J. Math. Phys. 48, 092302 (2007).

58. R. Jackiw, V. A. Kostelecky, Phys. Rev. Lett., Vol. 82, N. 18, 3 MAY 1999.

59. V. I. Denisov, S. I. Svertilov, Phys. Rev. D, Vol. 71, 063002 (2005).

60. В. И. Денисов, И. П. Денисова, В. Г. Жотиков, ЖЭТФ, Vol. 128, 233-242 (2005).

61. Yu. A. Sitenko, К. Yu. Rulik, Eur. Phys. J. С 28, 405-414 (2003).

62. D. Ebert, V. Ch. Zhukovsky, A. S. Razumovsky, Phys. Rev. D 70, 025003 (2004).

63. И. В. Криве, А. С. Рожавский, Успехи Физических Наук, Том 152, вып. 1, Май 1987 г.

64. В. Rosenstein, В. J. Warr, S.H. Park, Phys. Rev. Lett. Vol 62 N 16, 27 Mar 1989.

65. B. Rosenstein, B. J. Warr, S. H. Park, Phys. Rev. D 39, N 10, 15 May 1989.

66. H. R. Christiansen, A. C. Petkou, M. B. Silva Neto, N. D. Vlachos, Phys. Rev. D, Vol. 62, 025018.

67. D. Mattingly, Living Rev. Rel. 8, 5 (2005).

68. H. Vucetich, arXiv: gr-qc/0502093vl 22 Feb 2005.

69. H. В. Губина, В. Ч. Жуковский, Вестник Московского Университета, серия 3 (физика, астрономия), 5, 16 (2009).

70. W. Bietenholz, A. Gfeller, U.-J. Wiese, JHEP 0310. P. 018 (2003).

71. К. Fujikawa, Phys. Rev. D 21, 2848 (1980).

72. U. Wolff, Phys. Lett. В 157, 303 (1985);

73. К. G. Klimenko, Theor. Math. Phys. 75, 487 (1988);

74. Т. Inagaki, Т. Kouno, Т. Muta, Int. J. Mod. Phys. A 10, 2241 (1995);

75. S. Kanemura, H.-T. Sato, Mod. Phys. Lett. A 10, 1777 (1995);

76. D. Fernandez-Fraile, Phys. Rev. D 83, 065001 (2011).

77. E. Nakano, T. Tatsumi, Phys. Rev. D 71, 114006 (2005).

78. D. Nickel, Phys. Rev. D 80, 074025 (2009); S. Carignano, D. Nickel, M. Buballa, Phys. Rev. D 82, 054009 (2010).

79. I. E. Frolov, K. G. Klimenko, V. Ch. Zhukovsky, Phys. Rev. D 82, 076002 (2010).

80. K. Ohwa, Phys. Rev. D 65, 085040 (2002).

81. D. Ebert, N. V. Gubina, S. G. Kurbanov, V. Ch. Zhukovsky, Phys.Rev. D 84, 025004 (2011).

82. L. Jacobs, Phys. Rev. D 10, 3956 (1974); W. Dittrich, B.-G. Englert, Nucl. Phys. B 179, 85 (1981); K. G. Klimenko, Theor. Math. Phys. 70, 87 (1987).

83. C. f. Mu, L. y. He, Y. x. Liu, Phys. Rev. D 82, 056006 (2010).

84. E. V. Gorbar, M. Hashimoto, V. A. Miransky, Phys. Rev. Lett. 96, 022005 (2006); J. O. Andersen, T. Brauner, Phys. Rev. D 81, 096004 (2010).