Динамические эффекты во внешнем магнитном поле для квантово-полевых моделей с фоновым аксиально-векторным взаимодействием тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Фролов Игорь Евгеньевич

ДИНАМИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ ВО ВНЕШНЕМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ ДЛЯ КВАНТОВО-ПОЛЕВЫХ МОДЕЛЕЙ С ФОНОВЫМ АКСИАЛЬНО-ВЕКТОРНЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ

01.04.02 — Теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

О 3 2011

Москва - 2010

4853772

Работа выполнена на кафедре теоретической физики физического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель:

академик РАН,

доктор физико-математических наук, профессор А. А. Славнов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор П. А. Эминов

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор В. И. Денисов

Государственный научный центр Российской Федерации Институт физики высоких энергий, г. Протвино

Защита состоится «_\>_» 2011 г. в ч. Зо Мин. на заседа-

нии диссертационного совета Д 501.002.10 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119991, г. Москва, Ленинские горы, МГУ, дом 1, стр. 2, физический факультет, ауд. « С4>К».

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ имени М.В.Ломоносова.

Автореферат разослан « » ^ С-Кс^ 20_УО г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 501.002.10 доктор физико-математических наук профессор

Чг

Ю. В. Грац

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы

Непертурбативное описание динамических эффектов для релятивистских систем, находящихся во внешних полях, всегда являлось одной из важнейших задач квантовой теории поля. В качестве внешних по отношению к динамическим объектам рассматриваются, как правило, калибровочные поля теории, а также вакуумные конденсаты, появляющиеся при спонтанно нарушенной симметрии; такие модели находят большое число применений в различных областях теоретической физики и приложениях.

В то же время все большее внимание привлекают к себе теоретические модели, в которых рассматриваются не сводимые к традиционным формам фоновые взаимодействия полей материи, обладающие нестандартными свойствами, в частности, нарушающие лоренц-инвариантность и СРТ-четность. Такие взаимодействия могут как быть постулированы в теории изначально, так и возникать как следствие динамических процессов.

Особый интерес представляет исследование поведения и специфических особенностей релятивистских систем, сочетающих оба типа взаимодействий: как традиционное, в первую очередь, электромагнитное, так и дополнительное фоновое, нарушающее, например, лоренц-инвариантность.

Актуальность данной темы связана с наличием и интенсивным развитием теоретических направлений, где естественным образом возникает потребность в решении такого рода задач, а изучение порождаемых в рамках соответствующих моделей физических эффектов представляется важным как с теоретической точки зрения, так и с точки зрения возможных экспериментальных приложений в будущем.

В первую очередь среди указанных направлений следует отметить расширенную электродинамику, являющуюся частным случаем расширенной стандартной модели (РСМ) — теории, обобщающей стандартную модель и включающей непротиворечивое феноменологическое описание возможного нарушения лоренц-инвариантности и СРТ-четности в природе в достаточно общем виде [Colladay, Kostelecky, 1998]. Такое нарушение считается эффектом, способным проявить особенности физики планковских масштабов. Спонтанное нарушение лоренц-симметрии может предположительно происходить, например, в рамках теории струн, где оно сопровождается образованием ненулевых лоренц-тензорных вакуумных средних [Kostelecky, Samuel, 1989]. Лагранжиан РСМ является лоренц-скаляром, но содержит члены, описывающие взаимодействие полей материи с тензорными конденсатами, выступающими в роли внешних параметров.

Другим примером является изучение возможности образования пространственно-неоднородных конфигураций (волн плотности) кварковых конденсатов в рамках эффективных теорий квантовой хромодинамики (КХД), в частности, модели Намбу-Йона-Лазинио (НЙЛ). Такая возможность была показана для модели, схожей с НЙЛ [Байку, Иутап, 1979], а затем подтверждена расчетами в рамках КХД для кварковых сред большой плотности [Deryagin, Grigoriev, ИиЬакоу, 1992]. Особого внимания заслуживает конфигурация конденсатов, известная как дуальная волна ки-ральной плотности (ДВКП), которая допускает (приближенное) сведение модели НЙЛ к модели с наличием фонового аксиально-векторного взаимодействия фермионов. В рамках последней было показано, что ДВКП-фаза может возникать в кварковой среде при низких температурах и умеренной плотности числа частиц [^акапо, Tatsumi, 2005], однако проявление эффекта в присутствии внешних полей не исследовалось.

Цель диссертационной работы

Целью диссертационной работы является изучение теоретико-полевых моделей при наличии у фундаментальных фермионов дополнительного взаимодействия с постоянным аксиально-векторным фоном в присутствии внешнего магнитного поля и исследование возникающих динамических эффектов, а именно: электромагнитного излучения и спонтанного нарушения киральной симметрии.

Научная новизна

В диссертационной работе впервые найдена полная система точных решений модифицированного уравнения Дирака и энергетический спектр для электрона в постоянном однородном магнитном поле с учетом аномального магнитного момента частицы и наличия взаимодействия с аксиально-векторным фоном У1 специального вида.

На основе найденных решений рассмотрено явление синхротронного излучения в рамках расширенной электродинамики с нарушением лоренц-инвариантности в фермионном секторе в минимальной изотропной СРТ-нечетной форме; предсказан эффект асимметрии углового распределения мощности излучения, обусловленный предполагаемым нарушением лоренц-инвариантности.

В диссертации также впервые рассмотрено явление магнитного катализа образования статичных согласованных волн плотности кирального скалярного и псевдоскалярного конденсатов в плотной кварковой среде при низких температурах в рамках модели Намбу-Йона-Лазинио.

Научная и практическая значимость работы

Результаты диссертации могут быть использованы для поиска и теоретической интерпретации сигналов возможного нарушения лоренц-инвариантности и СРТ-четности в природе, а также для получения ограничений на параметры, описывающие это нарушение. Кроме этого, результаты работы важны для изучения особенностей поведения и свойств основного состояния плотной кварковой материи при наличии сильного магнитного поля (в частности, в условиях столкновения тяжелых высокоэнергетических ионов, а также в ядрах компактных астрофизических объектов).

Апробация работы

Содержание различных разделов диссертационной работы представлялось в виде докладов на международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2007» (МГУ, Москва, 2007); на 13-й международной Ломоносовской конференции по физике элементарных частиц (МГУ, Москва, 2007); на научной сессии-конференции секции ЯФ ОФН РАН «Физика фундаментальных взаимодействий» (ИТЭФ, Москва, 2007); на международной конференции по избранным вопросам современной теоретической физики (SPMTP'08) (ОИЯИ, Дубна, 2008); на научной конференции «Ломоносовские чтения» (МГУ, Москва, 2010).

Публикации

По материалам диссертации опубликовано 9 научных работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав основного текста, заключения, списка основных обозначений и списка цитируемой литературы. Полный объем диссертации составляет 119 страниц. Диссертация содержит 8 рисунков. Список литературы включает 168 ссылок.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В Главе 1 (Введении) дано обоснование актуальности темы диссертации (в разделе 1.1), затем приведен обзор теоретических направлений (со ссылками на основные публикации), в рамках которых возникают задачи, решаемые в последующих Главах.

Раздел 1.2 посвящен обзору РСМ и обоснованию актуальности задачи, решаемой в Главе 3. Описаны теоретические предпосылки для рассмотрения явления нарушения лоренц-инвариантности и СРТ-четности

в природе. Выписан лагранжиан расширенной электродинамики, который выводится из РСМ в низкоэнергетическом пределе после нарушения SU(2) х {/(1) симметрии. Для фермионного сектора соответствующая поправка к стандартному дираковскому лагранжиану имеет вид:

£LB = ^ + + i-f-fd^IT - 7% - 757^ ф, (1)

где Н^и, Cftv, d^v, cip, 6Д — вещественные тензорные константы различной размерности, и мы используем здесь и далее стандартные обозначения: Dц = dft — геАц — ковариантная производная в электромагнитном поле (где е > 0); -у5 = -^VlV, е''" = fb'W], при этом crij = eijkT,k. Последние два члена в (1) нарушают не только лоренц-инвариантность, но и СРТ-четность теории. Приведены примеры новых физических эффектов, предсказываемых в рамках РСМ и частично доступных уже сейчас для высокоточных наблюдений. Из имеющихся экспериментальных данных следуют достаточно жесткие ограничивающие оценки на тензорные параметры, присутствующие в лагранжиане РСМ. Оказывается, однако, что величина Ь° в (1) ограничена относительно слабо: |í>°| < 10"~2эВ, в то время как, например, |Ь| < 10~18эВ. Это создает мотивацию к рассмотрению взаимодействия вида ф^^Ь^ф, где 6м = (Ь°,0), как первого приближения для (1) при умеренных энергиях электрона. Приведено обоснование целесообразности исследования свойств синхротронного излучения для изучения проявления возможного нарушения лоренц-инвариантности в природе, в том числе для улучшения имеющихся в литературе оценок на величину параметра b°. Отмечено, что малые лоренц-неинвариантные поправки в лагранжиане модели оказывают влияние в первую очередь на спиновые свойства частиц, что требует использования последовательных методов квантовой теории поля для изучения соответствующих эффектов.

Раздел 1.3 посвящен обзору проблемы образования волн плотности кварковой материи и обоснованию актуальности задачи, решаемой в Главе 4. Кратко описана мотивация и история создания модели НЙЛ как низкоэнергетического приближения для КХД, приведены примеры физических явлений, которые можно объяснить в рамках модели НЙЛ на основе феномена спонтанного нарушения киральной симметрии. Выписан явный вид ДВКП-конфигурации:

{^) = Acosqr, ^

(ф^5тзф) = Д sin qr,

где А — киральная амплитуда, q — волновой вектор, та — изоспиновые матрицы (матрицы Паули). Вакуумные средние (фф) и (фг^т^ф) интерпре-

тируются как er и 7Г° конденсаты. Приведено обоснование целесообразности исследования возможности магнитного катализа образования ДВКП. Указано на роль внешнего магнитного поля как катализатора спонтанного нарушения киральной симметрии, отмечена связь этого явления с эффективной одномеризацией движения фермионов в сильных полях; отмечено также, что формирование волн плотности физических величин в основном состоянии характерно для одномерных систем.

В разделе 1.4 сформулирована цель диссертационной работы и описана ее структура. В конце Главы 1 приведен список публикаций, в которых изложены основные результаты исследований.

Целью Главы 2 является получение системы точных решений модифицированного уравнения Дирака и энергетического спектра для электрона в постоянном однородном магнитном поле с учетом дополнительного фонового аксиально-векторного взаимодействия. В разделе 2.1 выписан лагранжиан модели, учитывающий также аномальный магнитный момент (АММ) частицы (который считается постоянной величиной^):

С = ф (ii'Da -т + |craßFaß - 757X) Ф, (3)

где т — масса электрона, Faß = daAß — dßAa. В модели имеется внешнее магнитное поле с напряженностью Н, ориентированное по оси z: Н = Яе., Я > 0; электрическое поле отсутствует, так что Aß = (0, А).

В разделе 2.2 рассматривается случай № = (Ь°,0), р. ф- 0. Гамильтониан, следующий из (3), имеет вид (обозначим b° = Ь):

Яо = аР + 70т + //Я70Ез-075, (4)

где Р = —¿V + еА, а = 7°7. В разделе 2.2.1 показано, что наличие дополнительных слагаемых в (4) не разрушает общий вид волновых функций дираковской частицы в магнитном поле; в частности, в калибровке А = \{—Ну, Нх, 0} в цилиндрических координатах (r,tp, z) имеем:

Ф(г, ip, z) = У-Ш-(?Р*+Ип-<>-!/2)¥> 2тг

ic2 e^/2 In,s{p)

V гс4 eiip/2 In,s(P)

eH ,

IT-

(5)

где 1п,а{р) — функции Лагерра, п = 0,1,... — главное квантовое число, 5 = 0,1,..., п — радиальное квантовое число, —оо < р < +оо — продольный импульс; {са} — спиновые коэффициенты. При этом задача на собственные значения для гамильтониана Я^ может быть сформулирована в

терминах задачи для матрицы К, действующей на столбец коэффициентов {са}; К получается из #d заменой Р —> к = {л/2еНп,0,р}. Далее уравнение det(ii" — Е) = 0 приводится к квадратному относительно Е2, и энергетический спектр находится в явном виде (случай п — О, для которого К является матрицей 2x2, рассматривается отдельно).

Исходя из формы полученного спектра, в разделе 2.2.2 делается вывод о возможности устранения члена —by5 в (4) и сведения задачи к более простой. Для этого вводятся «угол смешивания» $ и эффективные величины Д, 771, р по формулам:

«- дя - уста (*) . (;). (6)

Тогда на подпространстве состояний с фиксированным р с помощью унитарного преобразования получаем:

е?т3Яое-Ь3 = Яо = аР + 70т + АЯ70Ез, Р = {РиР2,р}. (7)

Задача, таким образом, сводится к задаче для некоторого эффективного фермиона с наличием АММ в магнитном поле, решение которой известно [Тернов, Багров, Жуковский, 1966].

В разделе 2.2.3 приводятся окончательные результаты решения задачи. Энергетический спектр имеет вид:

Е = {V + ДЯ)2 +р2, б = ±1, (8)

где

V = Ы™2 + 2еЯп, < = •{ ' . (9)

причем V представляет собой собственное значение оператора поляризационных свойств (спинового оператора) электрона

П = coytf (mS + í7°75[S х Р])3 + sinií (SP), (10)

диагонализирующегося вместе с Яц. Такой оператор отвечает смешанной («продольно-поперечной») поляризации частицы (при ^ = 0 поляризация является чисто «поперечной»). Отметим, что прип = 0 состояние поляризации (ориентация спина) С, не может быть задано произвольно и не служит для классификации состояний. Нормированные коэффициенты {са} в (5) имеют вид:

(сЛ ( Л+(Р+а+ + еСР-а-) \

с2 =J_ -СА_(Р+а+- е(Р-.а-) сз 2^2 А+{Р+а- -б<Р_а+) W \СЛ_(Р+а_ + еСР-а+) /

(Н)

где

а±

д . д СОЭ — ^ БШ

2'

(12)

В разделе 2.3 рассматривается случай Ь'' = (О, Ь), (1 = 0, векторы Ь и Н параллельны, Ь = {0,0,6}. Гамильтониан, следующий из (3), имеет вид:

Я0 = аР + 7°тп - (13)

Ход решения задачи в целом аналогичен рассмотренному в предыдущем разделе. В разделе 2.3.1 показано, что в калибровке А = {0, Ях, 0} волновые функции имеют следующий общий вид:

2тг

гсгип(£,) сз

\ г'с4и„(£) )

£ = \/еЛх +

у/Ш'

(14)

где и„(£) — функции Эрмита, п = 0,1,... — главное квантовое число, —оо < р < +оо — продольный импульс; {са} — спиновые коэффициенты. Квантовое число —оо < ц < +оо связано с координатой хо «центра» волновой функции по оси х: Хо = Матрица К, действующая на столбец коэффициентов {са}, по-прежнему получается заменой

Р -4 к= {у/2еНп,0,р} в (13).

Оказывается, что в данном случае также можно построить унитарное преобразование, устраняющее член —Е36 в гамильтониане, однако такое преобразование является дискретным и применимо только к матрице К:

и_1Ки = К = ак + 7°т + /¿Я7°Ез, к = {р, 0, -у/2еНп}, (15)

где II = |(1 + гЕг)(1 + ,27^2), при этом ДЯ = Ъ. Этого, в то же время, достаточно для сведения задачи к рассмотренной в предыдущем разделе.

В разделе 2.3.2 приводятся окончательные результаты решения задачи. Энергетический спектр имеет вид:

Е--

б\ДТ + Ь)2 + 2еНп, п> О, Р + Ъ, п = О,

е = ±1,

(16)

где

(17)

V = С\/т2+р2, С =

и V представляет собой собственное значение спинового оператора

П = 75(Р-7ш)3. (18)

При получении спектра случай п = 0 рассмотрен как особый (так как преобразование 11 определено только для матриц 4x4). В этом случае симметрия между частицами и античастицами оказывается утраченной, и квантовое число е теряет смысл знака энергии; это объясняется СРТ-нечетной природой добавочного фонового взаимодействия, которая проявляет себя во внешнем поле. Нормированные коэффициенты {ся} в (14) имеют вид:

/сД /-(А4Р+-е(Р-)\

С2 СЗ \С4/

где

1

ъД

-А+(Р+ + еСР-) А+(Р+ - еСР-) Л_(Р+ + бОР-)/

(19)

ль-^щ, Н1^- (20)

В разделе 2.3.3 рассматриваются малые отклонения Ь от направления Н. Соответствующая поправка к энергии находится по теории возмущений, при этом проводится подробный анализ корректности полученного выражения с учетом возможности пересечения невозмущенных уровней со смежными значениями п и противоположными знаками в этих случаях применяется модифицированная теория возмущений для близколежащих уровней. При Ь = {6_|_, 0, Ь} окончательное асимптотическое выражение для энергетической поправки имеет вид:

Д£а = (/+|„'=п+1 + /-|„'=п-г) |4,=е + (д+и-=п+1 + д-\„<=п-\) (21)

где всюду следует положить также р' = р, (,"' = и где

= ^ЛЕ-Е'^Ц^У + К^, = (22)

В приведенных выражениях штрих кратко обозначает зависимость какой-либо величины от набора квантовых чисел б'} вместо {п,р, С,е},

при этом принято соглашение з§п±(0) = ±1 и введено обозначение

= (23)

В разделе 2.4 рассмотрено обобщение результатов Главы 2 на случай положительного заряда фермиона. В разделе 2.5 подведены краткие промежуточные итоги.

Целью Главы 3 является изучение синхротронного излучения в рамках расширенной электродинамики с нарушением лоренц-инвариантности

в фермионном секторе в минимальной изотропной СРТ-нечетной форме. В разделе 3.1 осуществляется постановка задачи и обсуждается используемая модель. Отмечается, что безразмерные коэффициенты, присутствующие в кинетических членах в (1), не играют ведущей роли при рассмотрении низкоэнергетических процессов (относительно планковского масштаба). Кроме этого, указывается на необходимость учета АММ частицы, для которого берется швингеровское значение: ц = цв В качестве лагранжиана теории используется (3), при этом № = (6,0).

В разделе 3.2 кратко приводятся основные положения квантовой теории синхротронного излучения. За основу берется формула (справедливая в первом порядке по постоянной тонкой структуры а) для мощности W электромагнитного излучения при переходе электрона из состояния Ф с энергией Е в нижележащее состояние Ф' с энергией Е':

(24)

где к — волновой вектор фотона, f — вектор, характеризующий его поляризационные свойства. Для вычисления (24) далее используются решения, найденные в Главе 2 (разделе 2.2). Матричный элемент перехода выражается через спиновые коэффициенты и функции Лагерра:

J d3x Ф'+ае-** Ф = (*) 8(р' -р + ксов9)х

/г(4*с4 + ¿taKn,n'-i(z) - + c3c%)In-1¡n,{x)\ х (cí*c4 + c2)I„,n'-i(%) + (C1C4 + C3C2 )/n_i,n'(a;) , (25) V (cÍ*c3 + сз Ci)/n-i,n'-i(z) - (C2C4 + c4c/2*)/n,n-(x) /

где x = ¿y sin2 9, и мы положили k = {к sin 9 cos tp, к sin 9 sin к cos 9}. Осуществляется суммирование по квантовым числам конечного состояния п', s', pf, выполняется интегрирование по к.

В начале раздела 3.3 анализируется применяемое в дальнейшем приближение. Мы рассматриваем случай ультрарелятивистской частицы (т/Е = А <С 1) в слабом поле (Я < Нс = т2/у/а ~ 4.41 ■ 1013Гс) при начальном продольном импульсе р = 0, что соответствует квазиклассическим состояниям с п 1. Мы также пренебрегаем величиной Д (эффективным АММ). При расчете эффектов электромагнитного излучения в нашей задаче играют существенную роль три малых параметра: А, г?, ДН/Е. В силу соотношения ДН та (выполняющегося в слабом поле), а также определения (6) и физического смысла исходных величин ¡jl, b разумным является предположение, что при больших энергиях имеет место оценка jíH/E 1? (и jxH/E <С А), что обосновывает наш выбор.

W

^ J d?k 5(Е - Е' - к) i* J <Рх Ф'+ае'

-ikx

Ф

Далее отмечается, что при Д —» 0 мы, фактически, рассматриваем излучение «минимального» электрона с гамильтонианом Нц = аР + 7°т и энергетическим спектром Е = ^/т? + 2еНп + р2, но с фиксированной «продольно-поперечной» поляризацией, см. (10). Это позволяет применить к нашему случаю методы расчета синхротронного излучения, развитые в работах А. А. Соколова и И. М. Тернова. Суммирование по главным квантовым числам конечных состояний п' заменяется интегрированием, причем п' можно связать с энергией к генерируемого фотона. Для функций In,n'{x) в (25) используются асимптотические выражения через функции Макдональда Ky¡(z) и K2/z(z), где 2 = |(Л/Л)3, Л2 = cos2# + A2sin2#, у = — безразмерная энергетическая переменная, £ = ~ «квантовый параметр» синхротронного излучения (не обязательно малый).

В разделе 3.4 приведено итоговое асимптотическое выражение для спектрально-углового распределения мощности излучения (нормированного на единицу длины по оси z) в ведущем порядке по А (с учетом того, что тот же порядок малости имеют также величины А и cos в в области изменения в, где K„{z) существенно отличны от нуля): +00

О 4тг

где Wc = jj a^2m2 — полная мощность синхротронного излучения в классическом пределе; при этом в выражении для W{ разделены вклады от переходов без (Ф+) и с (Фг~) изменением спинового квантового числа (. Для а- и 7г-компонент линейно поляризованного излучения (для которых в плоскости орбиты электрона лежат векторы Е и Н соответственно) имеем:

Ф+ = Á2((2 + ^)Á^2/3(z) - C(£y)(Acos0 - cos0sintf)tf1/3(z))2,

К = Á2 ((ft/) (cos в cos ti 4- A sin $)K1/3 (*)) \

Ф+ = \2 ((2+ &) cos вKl/3(z) +C(ey)smi?ÁK2/3(z))2,

Ф; = \2((ty){cos#\K2/3(z) + <;\K1/3(z))y,

где г? — «угол смешивания», см. (6). Характерный вид зависимости Ф(в) приведен на Рис. 1. Основным эффектом, заметным при ф ^ 0, является асимметрия углового распределения мощности излучения относительно плоскости орбиты электрона. Такая асимметрия свойственна излучению «продольно» поляризованной частицы и полностью отсутствует в случае «поперечной» поляризации (которая сохраняется в магнитном поле из-за

Ф+(0), а ~ -1.2 • 10"8 ф-(0), а ~ 0.11

Рис. 1. Примеры зависимости Ф(0), построенной в полярных координатах (для С = -1, к = 1 МэВ, Я = 104 Гс, £ = 1 ГэВ, ■& = Ю-3). Приведено значение коэффициента асимметрии а = J^2 sin в d9 Ф(0) — f*^sin в d9 Ф(в). Функции Ф(9) нормированы условием sin в dd Ф(0) = 1.

влияния АММ). На основе факта наблюдения преимущественно «поперечной» поляризации (в лабораторных условиях), в заключительном разделе 3.5 дана оценка для параметра, контролирующего нарушение лоренц-инвариантности в нашей модели:

|6| «С^Я^ 1СГ6эВ, (28)

которая является лучшей, чем большинство оценок, имеющихся на данный момент в литературе. Отмечено также, что эффект угловой асимметрии излучения является доминирующим с ростом энергии и представляет собой первоочередной экспериментальный интерес.

Целью Главы 4 является изучение фазовых переходов в плотной холодной кварковой среде под влиянием химпотенциала и внешнего магнитного поля в рамках модели НЙЛ в предположении, что в системе может формироваться ДВКП. В разделе 4.1 осуществляется постановка задачи и обсуждается используемое приближение. За основу берется лагранжиан модели НЙЛ (с учетом конечной плотности среды) для Nc — 3 цветов и Nf — 2 ароматов кварков (и- и d-), которые считаются безмассовыми:

£NJL - ф (¿7qZ)q + М7°) Ф + G {{фф)2 + {фг^тф)2) , (29)

где G — константа связи, ¡x ~ химпотенциал; при этом D^ = <9М + iQA где Q = diag(|e, —|е) — матрица электрического заряда, действующая в изоспиновом пространстве; е > 0. На основе анзаца (2) получается лагранжиан в приближении среднего поля:

2

£мг = ф {i-fDc + /Х7° - т (cos qr + г75т3 sin qr)) ф - (30)

4G

где m = ~2GA. Преобразование ф ¿"f'1'^1^1 ф; ф ф ^ где

<7а = (0, q), х>* = (í,r), приводит (30) к виду:

£ = ф {ijaDa + /х7° - m + 75тз7аМ (31)

где = qp^¡2 = (0,Ь), Ь = q/2. На основе метода Фуджикавы показано, что такое преобразование не приводит к модификации меры континуального интеграла 'Л-ф'Лф, если в системе отсутствует электрическое поле.

В разделе 4.2 осуществляется построение термодинамического потенциала системы, для этого используются свойства решений, найденных в Главе 2 (разделе 2.3); мы считаем, что векторы Ь и Н параллельны. В начале раздела 4.2.1 показано, что однопетлевое эффективное действие

Г = У ё*х + \1п ^ (»7° А» + + !5тъ1аЬа) (32)

может быть выражено через сумму таких действий, построенных для фер-миона с лагранжианом (3) без АММ, с учетом ненулевого химпотенци-ала и с заменой абсолютной величины электрического заряда (на значения зарядов кварков). Соответствующие объекты приводятся к виду £ТНп (-(¿а0)2 + (Нц — (и)2), и функциональный след берется с использованием базисных функций и(х) = е~гр 1 Ф(г), где Яо, Ф(г) определены в (13), (14); при этом выбранная в разделе 2.3 калибровка А максимально упрощает расчет. Далее, для перехода к термодинамическому потенциалу П (фактически, его объемной плотности) при конечной температуре Т используется техника Мацубары. Окончательный результат имеет вид: 2

й = ~ + + = + + (33)

где мы разделили вакуумный вклад и вклады от /л > 0 и Т > 0:

К^Чт^/^Е! ], (34)

2 (27Г) 1 << \2Т 1п (1 + )

и энергетический спектр {Е} дается формулой (16).

В разделе 4.2.2 рассматривается регуляризация Г2. Для вакуумного вклада используется регуляризация методом собственного времени:

+00

да*-(35)

пСе1/А2

где А — размерный параметр обрезания. Исследуется вопрос о корректности выражения для Несмотря на то, что последнее является сходящимся, если сумма по е берется первой, оно (как разность двух изначально расходящихся объектов) также подразумевает использование регуляризации, например, с помощью обрезающего фактора в(А! — |£|) (параметр А'

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0 0

Рис. 2. Примеры зависимости параметров порядка от внешних условий при С — 6, Т ~ 0. Все величины безразмерны. При Н — 0 указано положение фаз модели (граница между фазами В и С обозначена пунктиром).

не обязательно в точности равен Л). Показано, что это не требуется, если в модели имеется симметрия между частицами и античастицами, однако последняя нарушена для п = 0 при Ь ф 0, см. (16); вычисления для этого случая проводятся в явном виде. Корректное снятие регуляризации приводит к модификации выражения для П^:

^ 'I( / <*Р £ - - 1*1) + V*) • (36)

Пренебрежение членом в последнем выражении не обеспечивает независимости потенциала П от параметра Ь при тп = 0, что является признаком некорректного решения задачи. Следует отметить, что регуляризация с помощью фактора в{№ — \Е\) ж является в общем случае калибровочно-инвариантной; однако вопрос о симметрии модели при 6^0 является на данный момент дискуссионным, в частности, в литературе обсуждается возможность индуцирования массы фотона в теориях с наличием фонового аксиально-векторного взаимодействия фермионов [А1£аго а1., 2010].

В разделе 4.3 дается подробное описание поведения параметров порядка и фаз, возникающих в системе, полученное на основе результатов численного исследования регуляризованного термодинамического потенциала П на минимум относительно тп и Ъ для различных значений ц и л/еЯ при Т —» 0. При расчетах использовались величины, обезразмеренные с помощью параметра обрезания Л. Помимо спектра (16) были задействованы поправки (21) для исследования поведения П при малых отклонениях вектора Ь от направления Н. Во всех интересующих нас случаях найденные минимумы оказались стабильны. Разумно предположить, что глобальные минимумы П достигаются именно при Ь± = 0, так что вращательная симметрия в системе сохраняется.

0=6 0=3

Рис. 3. Фазовые диаграммы кварковой материи при Т = 0. Все величины безразмерны. Пунктирная линия обозначает кроссоверную область. Линии на диаграммах отвечают переходам 1-го рода (за исключением точки, соответствующей переходу 2-го рода В — С при Я = 0 в случае С = 6).

Примеры зависимости параметров порядка от внешних условий приведены на Рис. 2. Фазовые диаграммы системы приведены на Рис. 3. В рамках «стандартной» модели НИЛ при (? > С?с (в нашем случае критическая константа связи Сс ~ 3.27) кварковая материя может находиться в трех различных фазах: безмассовой симметричной фазе А и двух массивных фазах В и С с нарушенной киральной симметрией, причем С является фазой, демонстрирующей ненулевую плотность числа частиц р, в то время как р = 0 в фазе В. В нашей модели имеется также ДВКП-фаза £>, исследованная Е. Иакапо и Т. Tatsumi; эта фаза становится шире (занимает больший интервал значений р) с ростом Я. Более того, при Я > 0, р, > О ДВКП образуется во всех массивных фазах. Показано, что в достаточно сильном поле разница в физических свойствах между фазами С ий становится несущественной, и между ними возникает кроссоверная область. Рассмотрен также случай б < Сс\ установлено, что фазовая диаграмма сохраняет свой характерный вид (магнитное поле катализирует нарушение киральной симметрии), в то же время, в массивной фазе В образуется ДВКП, как и в случае (3 > Сс.

В заключительном разделе 4.4 подведены итоги и обозначены направления для будущего исследования; отмечено, что эффект магнитного катализа образования ДВКП связан со специфической модификацией энергетического спектра фермионов в магнитном поле при п = 0: если при вычислении €1 отбросить вклад состояний с п = 0, то указанный эффект в фазах В, С будет утерян, а фаза Б станет значительно менее стабильной.

В Главе 5 (Заключении) подведены итоги диссертационной работы и сформулированы основные положения, выносимые на защиту:

1. Найдена полная система точных решений модифицированного уравнения Дирака и энергетический спектр для электрона в постоянном однородном магнитном поле с учетом АММ (в одном из случаев) при наличии фонового аксиально-векторного взаимодействия вида ■0757^Ь^ф для двух различных вариантов значения параметра

2. Показано, что задачи на собственные значения для моделей такого типа могут быть на определенном этапе формально сведены к задаче о движении дираковского фермиона с модифицированным аномальным магнитным моментом и другими характеристиками, но без наличия фонового аксиально-векторного взаимодействия.

3. Проведен расчет характеристик синхротронного излучения электрона в рамках расширенной электродинамики с нарушением лоренц-инвариантности в фермионном секторе в минимальной изотропной СРТ-нечетной форме. Показано, что основную роль при рассмотрении синхротронного излучения играет специфическое взаимное влияние эффектов наличия у электрона АММ и фонового аксиально-векторного взаимодействия.

4. Предсказан эффект смешивания «поперечной» и «продольной» поляризации электрона в магнитном поле, а также связанное с этим эффектом явление асимметрии углового распределения мощности излучения, обусловленное предполагаемым нарушением лоренц-инвариантности. Дана оценка для параметра, контролирующего это нарушение в изучаемой модели.

5. Рассмотрена возможность образования дуальной волны киральной плотности в плотной холодной кварковой среде при наличии внешнего магнитного поля в рамках модели Намбу-Йона-Лазинио, которая в киралыюм пределе и приближении среднего поля для выбранной конфигурации конденсатов сводится к модели с наличием фонового аксиально-векторного взаимодействия фермионов. Построен термодинамический потенциал системы, исследована зависимость параметров порядка от внешних условий, получены фазовые диаграммы.

6. Показано, что магнитное поле катализирует образование волн плотности конденсатов при всех значениях химпотенциала, больших нуля. Такое поведение системы связано с потерей симметрии между частицами и античастицами на фоне ДВКП на нижнем уровне Ландау.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Frolov I. Е., Zhukovsky V. Ch. Synchrotron radiation in the standard model extension. - J. Phys. A. - 2007. - Vol. 40, no. 34. - Pp. 10625-10640.

2. Жуковский В. Ч., Фролов И. Е. Синхротронное излучение в условиях нарушенной лоренц-инвариантности.— Вестник Моск. ун-та. Физ., Астрон. - 2008. - Т. 63, № 1. - С. 11-15.

3. Жуковский В. Ч., Фролов И. Е., Харламов О. Г. Электромагнитное излучение квантовых систем в условиях нарушенной лоренц- и СРТ-инвариантности. — Ядерная физика. — 2009.— Т. 72, № 2.— С. 348-353.

4. Frolov I. Е., Zhukovsky V. Ch., Klimenko К. G. Chiral density waves in quark matter within the Nambu—Jona-Lasinio model in an external magnetic field. - Phys. Rev. D. - 2010. - Vol. 82, no. 7. - P. 076002.

5. Жуковский В. Ч., Клименко К. Г., Фролов И. Е. Волны плотности кварковой материи в модели Намбу-Йона-Лазинио в магнитном поле. — Вестник Моск. ун-та. Физ., Астрон.- 2010. — Т. 65, № 6. - С. 106-109.

6. Фролов И. Е. Влияние нарушения лоренц-инвариантности на синхротронное излучение // Конференция «Ломоносов-2007», секция «Физика». Сборник тезисов. — Москва: физ. ф-т МГУ, 2007. — С. 221-222.

7. Frolov I. Е., Kharlanov О. G., Zhukovsky V. Ch. Bound state problems and radiative effects in extended electrodynamics with Lorentz violation // Proceedings of the Thirteenth Lomonosov Conference on Elementary Particle Physics, Moscow, 23-29 August 2007 / Ed. by A. Studenikin. -Singapore: World Scientific, 2009. - Pp. 416-419.

8. Zhukovsky V. Ch., Bubnov A, Frolov I., Kharlanov O. Quantum effects in QED under the condition of Lorentz and CPT invariance violation // XIII International Conference on Selected Problems of Modern Physics. Proceedings of the Conference, Dubna, June 23-28, 2008 / Ed. by В. M. Barbashov and S. M. Eliseev. - Dubna: JINR, 2009.

9. Жуковский В. Ч., Клименко К. Г., Фролов И. Е. Волны плотности ки-рального и пионного конденсатов в модели Намбу-Йона-Лазинио в магнитном поле // Научная конференция «Ломоносовские чтения», секция физики, 16-25 апреля 2010 года. Сборник тезисов докладов. — Москва: физ. ф-т МГУ, 2010. - С. 114-117.

Подписано к печати 2.ИЦ0' ■ Тираж -1()0 Заказ НО.

Отпечатано в отделе оперативной печцта физического факультета МГУ

1 Введение

1.1 Предварительные замечания.

1.2 Расширенная стандартная модель.

1.3 Волны плотности кварковой материи.

1.4 Цели и структура диссертации.

2 Точные решения уравнения Дирака в магнитном поле в моделях с фоновым аксиально-векторным взаимодействием

2.1 Введение и постановка задачи

2.2 Решения в случае 6м = (6°, 0).

2.2.1 Отыскание энергетического спектра.

2.2.2 Устранение аксиально-векторного взаимодействия

2.2.3 Волновые функции.

2.3 Решения в случае Ь11 — (0,Ь).

2.3.1 Устранение аксиально-векторного взаимодействия

2.3.2 Энергетический спектр и волновые функции.

2.3.3 Учет отклонения Ь от направления Н.

2.4 Случай положительного заряда фермиона

3.2 Общая теория синхротронного излучения.55

3.3 Излучение в случае п> 1 и пределе р,Н —»О.57

3.4 Явный вид спектрально-углового распределения.60

3.5 Заключение.65

4 Волны плотности кварковой материи в модели Намбу— о

Иона-Лазинио в магнитном поле 70

4.1 Введение и физическая модель.70

4.2 Эффективное действие .73

4.2.1 Общее выражение.73

4.2.2 Регуляризация.77

4.3 Фазовые диаграммы.82

4.4 Заключение.94

5 Заключение 98

Используемые обозначения 102

Благодарности автора 103

Литература 104

4.4. Заключение

Проведенное в настоящей Главе исследование показало, что при низких температурах внешнее магнитное поле катализирует образование пространственно-неоднородных конфигураций конденсатов (в форме дуальной волны киральной плотности) в плотной кварковой среде в рамках модели Намбу-Йона-Лазинио. Это означает, что существует критическое значение напряженности магнитного поля Нс, такое, что при Н > Нс в системе образуется одна из пространственно-неоднородных фаз (В, С или И).

Это происходит в случае ненулевого химпотенциала ¡1 при значениях константы связи как меньших, так и больших критического. К примеру, если С? > Сс, то, как легко видеть, Нс > 0 для диапазона изменения д, соответствующего симметричной фазе Л, в то время как Нс = 0 для других значений /л, см. Рис. 4.3. В случе (7 < Сс, напротив, величина Нс отлична от нуля для всех ц > 0, см. Рис. 4.6. Нетрудно установить, что явление образования волн плотности конденсатов в магнитном поле обязано своим существованием главным образом специфической асимметрии между спектрами фермионов и антифермионов, возникающей на ДВКП-фоне в приближении среднего поля. Так, если при вычислении термодинамического потенциала системы отбросить вклад состояний с п — 0, которым присуща указанная асимметрия, то эффект нарастания величины Ь (связанной с волновым числом конденсатов) с ростом напряженности магнитного поля Н в массивных фазах В, С будет утерян, а новая фаза И окажется значительно менее стабильной и будет занимать небольшую площадь на диаграммах.

Как отмечено в работе [89] (см. также результаты из [86]), линейный рост параметра порядка Ъ с увеличением химпотенциала /х, обнаруженный в массивной фазе В при Н > 0, в целом характерен для одномерных систем, и это согласуется с тем фактом, что, как известно, движение фермионов в сильном внешнем магнитном поле носит эффективно одномерный характер [104-106]. Фактически, ведущую роль играет в этом случае именно основное (п = 0) состояние фермионов. Особая роль основного состояния в магнитном поле и его влияние на физические свойства системы отмечалась во многих работах, посвященных нарушению симметрии в кварковой материи, см., например, [134], а также недавнее обсуждение кирального магнитного эффекта в [163].

В настоящей диссертации мы рассмотрели случай холодной (Т —> 0) кварковой среды, оставляя детальное исследование поведения фаз системы с ростом температуры для будущего исследования7. Имеется также ряд

7Это, однако, представляет в основном лишь технический интерес, так как настоящее исследование показывает, что наличие волн плотности конденсатов в целом присуще массивным фазам системы в магнитном поле, если таковые возникают. Этот факт связан с наличием асимметрии между энергетическими спектрами частиц и античастиц и не зависит от температуры. других интересных вопросов, не затронутых в настоящей работе. Поскольку кварковая материя может, предположительно, проявлять ферромагнитные свойства (см., например, работы [164-167], а также [132,133]), то, учитывая это, мы получаем сложную самосогласованную задачу, в которой магнитное поле генерируется динамически. В общем случае следует также рассматривать развитие цветовой сверхпроводимости, возможное наряду с формированием волн киральной плотности в кварковой среде при достаточно больших значениях химпотенциала; есть основания полагать, что результаты, получаемые в моделях, учитывающих оба феномена, оказываются менее подверженными зависимости от выбранной схемы регуляризации [91]. Эффекты ненулевых токовых масс кварков также должны быть учтены в модели.

Кроме этого, при рассмотрении пространственной структуры основного состояния модели Намбу-Йона-Лазинио недавно было показано, что доменные стенки могут быть более предпочтительными конфигурациями, чем волны киральной плотности, по крайней мере, в отсутствии внешних калибровочных полей [98]. В то же время, как следует из проведенных в настоящей работе расчетов, следует ожидать, что сильное магнитное поле способствует формированию неоднородности типа ДВКП. Таким образом, в области промежуточных и малых значений напряженности внешнего магнитного поля может реализовываться некоторая конфигурация конденсатов, гладко интерполирующая между двумя предельными случаями, возможно, сходная с решениями, обсуждавшимися в работе [168]. С другой стороны, в литературе рассматривался также конкурирующий механизм формирования киральных доменных стенок в сильном магнитном поле [132]. Таким образом, проблема наиболее выгодной конфигурации конденсатов остается открытой и требует дальнейшего теоретического исследования; в настоящей диссертации, однако, показано, что внешнее магнитное поле индуцирует пространственную неоднородность в системе, по крайней мере, в виде волн. Другим направлением дальнейших теоретических исследований является получение приближенных аналитических выражений для параметров порядка т и Ь как функций внешних условий в слабом магнитном поле.

В заключение следует отметить, что реальное существование пространственно-неоднородных конденсатов в природе является на сегодняшний день открытым вопросом, поскольку теоретические результаты в этой области зависят от конкретной модели и используемого приближения. К сожалению, точный расчет и анализ проблемы в рамках существующей квантовой хромодинамики невозможен, так как феномен развивается в инфракрасной области. Тем не менее, мы считаем, что теоретическое исследование непертурбативных эффектов такого типа будет способствовать дальнейшему углублению нашего понимания свойств сильно взаимодействующей материи.

Глава 5. Заключение

В настоящей диссертации проведено исследование теоретико-полевых моделей при наличии у фундаментальных фермионов дополнительного взаимодействия с постоянным аксиально-векторным фоном в присутствии внешнего магнитного поля; рассмотрены возникающие в рамках таких моделей динамические эффекты. Получены следующие результаты:

1. Найдена полная система точных решений модифицированного уравнения Дирака (волновые функции и энергетический спектр) для электрона в постоянном однородном магнитном поле с напряженностью Н при наличии в лагранжиане теории дополнительного взаимодействия вида ^757^Ь^ф. Рассмотрены два варианта: 6м = (6°, О) и = (О, Ь), при этом Ь и Н параллельны. В первом случае в модели учтено также наличие у частицы аномального магнитного момента. Во втором случае энергетические поправки, соответствующие малым возможным отклонениям вектора Ь от выделенного направления, найдены по теории возмущений.

2. Показано, что задачи на собственные значения для моделей такого типа могут быть на определенном этапе формально сведены к задаче о движении дираковского фермиона с модифицированным аномальным магнитным моментом и другими характеристиками, но без наличия фонового аксиально-векторного взаимодействия. Такой переход возможен не для исходной, но для редуцированной задачи, формулируемой на пространстве столбцов спиновых коэффициентов волновой функции частицы. Соответствующие преобразования гамильтониана выписаны в явном виде.

3. Проведен расчет характеристик синхротронного излучения электрона в рамках расширенной электродинамики с нарушением лоренц-инвариантности в фермионном секторе в минимальной изотропной

СРТ-нечетной форме. Выполнено последовательное рассмотрение явления методами квантовой теории поля. Для случая ультрарелятивистской частицы в слабом поле (Н <С Нс 4.41 • 1013 Гс) получены асимптотические аналитические выражения для спектрально-углового распределения мощности излучения, построены соответствующие диаграммы для характерных лабораторных значений напряженности магнитного поля и энергии частицы. Показано, что основную роль при рассмотрении синхротронного излучения играет специфическое взаимное влияние эффектов наличия у электрона аномального магнитного момента и фонового аксиально-векторного взаимодействия.

4. Предсказан эффект модификации состояния поляризации электрона (смешивания "поперечной" и "продольной" поляризации в магнитном поле), а также связанное с этим эффектом явление асимметрии углового распределения мощности излучения, обусловленное предполагаемым нарушением лоренц-инвариантности. Дана оценка для параметра, контролирующего это нарушение в изучаемой модели (исходя из факта наблюдения преимущественно "поперечной" поляризации электронов); эта оценка (|6°| <С 10-6эВ) является лучшей, чем большинство оценок, имеющихся на данный момент в литературе.

5. Рассмотрена возможность образования статичных согласованных волн плотности кирального скалярного и псевдоскалярного конденсатов в плотной холодной кварковой среде при наличии внешнего магнитного поля в рамках модели Намбу-Йона-Лазинио, которая в киральном пределе и приближении среднего поля для выбранной конфигурации конденсатов сводится к модели с наличием фонового аксиально-векторного взаимодействия фермионов. Найдено регуля-ризованное выражение для термодинамического потенциала теории, проведено его исследование на экстремум численными методами. Построены фазовые диаграммы системы для случаев большой и малой константы связи (относительно критического значения). Показано, что (при (7 > Сс) между "стандартной" массивной фазой С модели Намбу-Йона-Лазинио и новой фазой И (с выраженной пространственной неоднородностью конденсатов в пределе нулевого поля) в сильном магнитном поле существует кроссоверная область.

6. Показано, что магнитное поле катализирует образование пространственно-неоднородных конфигураций конденсатов (волновой вектор которых оказывается ориентирован по направлению поля) при всех значениях химпотенциала, отличных от нуля. Такое поведение системы связано со специфической модификацией энергетического спектра фермионов в магнитном поле при наличии фона в виде дуальных волн киральной плотности, а именно потерей симметрии между частицами и античастицами на нижнем уровне Ландау; формирование указанных волн становится энергетически выгодным в основном состоянии системы.

В заключение следует сказать, что в настоящей диссертации исследовались достаточно простые модельные конструкции для рассматриваемых теоретических направлений. Для более точного описания возможных в природе физических ситуаций и предсказания наблюдаемых эффектов необходимо еще проделать большую работу. В частности, это касается вопроса о том, как влияет нарушение лоренц-инвариантности и СРТ-четности на величину и динамику аномального магнитного момента электрона в рамках расширенной стандартной модели. Кроме того, при исследовании излучения релятивистских заряженных частиц предстоит учесть вклад от форм и типов нарушения лоренц-инвариантности, отличных от рассмотренного в настоящей работе, в частности, связанных с кинетическими членами в фермионной части лагранжиана расширенной электродинамики, а также относящихся к фотонному сектору. В рамках модели Намбу-Йона-Лазинио предстоит выяснить, например, какое значение имеет для поведения системы ненулевой собственный магнитный момент квар-ковой материи в фазах с наличием волн плотности конденсатов. Кроме того, представляет большой интерес изучение более сложных конфигурации конденсатов, в частности, киральных доменных стенок в магнитном поле. Наконец, стоит проблема учета других возможных типов нарушения симметрии, в первую очередь, образования дикваркового конденсата при наличии пространственной неоднородности. Обобщение рассмотренной модели на случай наличия хромомагнитных полей также представляется актуальным. Автор надеется, что настоящая работа послужит основой для дальнейших исследований в обозначенных направлениях.

Используемые обозначения

В настоящей работе используются стандартные обозначения и представления для основных математических объектов. Метрический тензор четырехмерного пространства Минковского = diag(l, —1, —1, —1); матрицы 7/х, удовлетворяющие антикоммутационному соотношению {7^, 7^} = Ъ]^, выбраны в представлении Дирака: где о 1 — матрицы Паули, / - единичная матрица 2x2: 1 = ( ~ 0 1 » = ( 0 ! ) > а2 = [ 0 „ I , =

Другие важнейшие объекты: матрицы щ = 7°7\ 75 = —■¿7°717273, матрица зарядового сопряжения С = ¿727°, коммутатор 7-матриц а^ = ^[7^,7^], при этом сг*-7 = Ецк^к, что дает в явном виде: он

Используемые антисимметричные символы: £арц1/, где е0123 = +1, и Е^к, где £123 = +1. Различие между верхними и нижними индексами делается для четырехмерных тензорных объектов, в этом случае для обозначения индексов применяются греческие буквы, в остальных случаях — латинские; для обозначения трехмерных векторов используется жирный шрифт. Ковариантная производная в электромагнитном поле Иц = дц — геАгде е > 0 (так что заряд электрона де = —е). В Главе 4 вид ковариантной производной для кварковых полей указывается явно. В работе используется система единиц, в которой К — с — 1.

Благодарности автора

Я выражаю искреннюю благодарность своим научным руководителям А. А. Славнову и В. Ч. Жуковскому за постановку интересных задач и руководство работой. Участие в работе возглавляемой В. Ч. Жуковским научной группы и посещение руководимого им научного семинара позволило мне изучить многие вопросы современной квантовой теории поля.

Я выражаю также благодарность А. В. Борисову и А. Е. Лобанову за ценные замечания и участие в плодотворных научных дискуссиях, затрагивающих тематику моей работы.

Я выражаю глубокую признательность сотрудникам и преподавателям кафедры теоретической физики физического факультета МГУ за неоценимые знания, полученные на лекциях и семинарах, а также за создание благоприятных условий для работы.

1. Славнов А. А., Фаддеев J1. Д. Введение в квантовую теорию калибровочных нолей. — 2-е изд. — М.: Наука, 1988.

2. Соколов А. А., Тернов И. М., Жуковский В. Ч., Борисов А. В. Калибровочные поля. — М.: Изд-во МГУ, 1986.

3. Kostelecky V. A., Samuel S. Spontaneous breaking of Lorentz symmetry in string theory. — Phys. Rev. D. 1989. - Vol. 39. - P. 683.

4. Kostelecky V. A., Samuel S. Gravitational Phenomenology in Higher Dimensional Theories and Strings. — Phys. Rev. D. — 1989. — Vol. 40. — Pp. 1886-1903.

5. Kostelecky V. A., Potting R. CPT and strings. Nucl. Phys. B. - 1991. -Vol. 359.-P. 545.

6. Kostelecky V. A., Potting R. Analytical construction of a nonperturbative vacuum for the open bosonic string. — Phys. Rev. D. — 2001. — Vol. 63. — P. 046007.

7. Colladay D., Kostelecky V. A. CPT violation and the standard model. — Phys. Rev. D. 1997. - Vol. 55. - Pp. 6760-6774.

8. Боголюбов H. H., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. — 4-е изд. — М.: Наука, 1981.

9. Colladay D., Kostelecky V. A. Lorentz-violating extension of the standard model. Phys. Rev. D. - 1998. - Vol. 58. - P. 116002.

10. Bluhm R. Overview of the SME: Implications and Phenomenology of Lorentz Violation. — Lect. Notes Phys. 2006. — Vol. 702. — Pp. 191226.

11. Kostelecky V. A. Gravity, Lorentz violation, and the standard model.— Phys. Rev. D. 2004. - Vol. 69. - P. 105009.

12. Deser S., Jackiw R., Templeton S. Topologically massive gauge theories. — Ann. Phys. 1982. - Vol. 140. - Pp. 372-411.

13. Klinkhamer F. R. Z-string global gauge anomaly and Lorentz non-invariance. Nucl. Phys. B. — 1998. - Vol. 535. — Pp. 233-241.

14. Shapiro I. L. Physical aspects of the space-time torsion. — Phys. Rept. — 2002,-Vol. 357,- P. 113.

15. Volovik G. E. On induced CPT-odd Chern-Simons terms in the 3+1 effective action. JETP Lett. - 1999. - Vol. 70. - Pp. 1-4.

16. Gomes M., Mariz T., Nascimento J. R., da Silva A. J. Dynamical Lorentz and CPT symmetry breaking in a 4D four-fermion model. — Phys. Rev. D. 2008. - Vol. 77. - P. 105002.

17. Carroll S. M., Harvey J. A., Kostelecky V. A., Lane C. D., Okamoto T. Noncommutative Field Theory and Lorentz Violation. — Phys. Rev. Lett. 2001. - Vol. 87. - P. 141601.

18. Connes A., Douglas M., Schwarz A. S. Noncommutative geometry and Matrix theory. JHEP. - 1998. - Vol. 02. - P. 003.

19. Konechny A., Schwarz A. S. Introduction to M(atrix) theory and noncommutative geometry. — Phys. Rept. — 2002. — Vol. 360. — Pp. 353465.

20. Kostelecky V. A., Lehnert R. Stability, causality, and Lorentz and CPT violation. Phys. Rev. D. - 2001. - Vol. 63. - P. 065008.

21. Higashijima K., Yokoi N. Spontaneous Lorentz symmetry breaking by anti-symmetric tensor field.— Phys. Rev. D.— 2001.— Vol. 64.— P. 025004.

22. Andrianov A. A., Soldati R., Sorbo R. Dynamical Lorentz symmetry breaking from a (3+l)-dimensional axion-Wess-Zumino model. — Phys. Rev. D. 1999. - Vol. 59. - P. 025002.

23. Kostelecky V. A., Pickering A. G. M. Vacuum photon splitting in Lorentz-violating quantum electrodynamics. — Phys. Rev. Lett. — 2003. — Vol. 91.- P. 031801.

24. Kostelecky A., Mewes M. Electrodynamics with Lorentz-violating operators of arbitrary dimension. — Phys. Rev. D.— 2009.— Vol. 80.— P. 015020.

25. Greenberg O. W. CPT Violation Implies Violation of Lorentz Invariance. Phys. Rev. Lett. - 2002. - Vol. 89. - P. 231602.

26. Bluhm R. Lorentz and CPT tests in atomic systems. — AIP Conf. Proc. — 2000. Vol. 539. - Pp. 109-118.

27. Bluhm R., Kostelecky V. A., Russell N. Hydrogen and Antihydrogen Spectroscopy for Studies of CPT and Lorentz Symmetry. — AIP Conf. Proc. 1999. - Vol. 457. - Pp. 70-79.

28. Bluhm R., Kostelecky V. A., Russell N. CPT and Lorentz Tests in Hydrogen and Antihydrogen. — Phys. Rev. Lett. — 1999. — Vol. 82. — Pp. 2254-2257.

29. Bluhm R., Kostelecky V. A., Russell N. CPT and Lorentz tests in Penning traps. Phys. Rev. D. - 1998. - Vol. 57. - P. 3932-3943.

30. Adam C., Klinkhamer F. R. Photon decay in a CPT-violating extension of quantum electrodynamics. — Nucl. Phys. B. — 2003. — Vol. 657. — Pp. 214-228.

31. Zhukovsky V. Ch., Lobanov A. E., Murchikova E. M. Radiative effects in the standard model extension. — Phys. Rev. D. — 2006. — Vol. 73. — P. 065016.

32. Andrianov A. A., Espriu D., Giacconi P., Soldati R. Anomalous positron excess from Lorentz-violating QED. JEEP. - 2009. - Vol. 09. - P. 057.

33. Lehnert R., Potting R. Vacuum Cherenkov Radiation. — Phys. Rev. Lett. 2004. - Vol. 93. - P. 110402.

34. Altschul В. Vacuum Cerenkov radiation in Lorentz-violating theories without CPT violation. Phys. Rev. Lett. - 2007. - Vol. 98. - P. 041603.

35. Altschul B. Lorentz violation and synchrotron radiation. — Phys. Rev. D. 2005. - Vol. 72. - P. 085003.

36. Altschul B. Synchrotron and inverse Compton constraints on Lorentz violations for electrons. Phys. Rev. D. — 2006. — Vol. 74. - P. 083003.

37. Altschul B. Limits on Lorentz violation from synchrotron and inverse Compton sources. Phys. Rev. Lett. - 2006. - Vol. 96. - P. 201101.

38. Kharlanov O. G., Zhukovsky V. Ch. CPT and Lorentz violation effects in hydrogen-like atoms. J. Math. Phys. ~ 2007. — Vol. 48. — P. 092302.

39. Kharlanov O. G., Zhukovsky V. Ch. Casimir effect within D=3+l Maxwell-Chern-Simons electrodynamics. — Phys. Rev. D. — 2010. — Vol. 81.-P. 025015.

40. Lehnert R. CPT and Lorentz-invariance violation. — Hyperfine Interact. — 2009. Vol. 193. - P. 275.

41. Денисов В. И., Денисова И. П., Жотиков. В. Г. Эффект оптической невзаимности в изотропной среде, обладающей магнитной активностью. — ЖЭТФ. 2005. - Т. 128. - С. 233-242.

42. Denisov V. I., Svertilov S. I. Nonlinear electrodynamic and gravitational actions of the neutron star fields on the propagation of the electromagnetic waves. Phys. Rev. D. - 2005. - Vol. 71. - Pp. 063002-063002.

43. Kostelecky V. A., Russell N. Data Tables for Lorentz and CPT Violation. arXiv:0801.0287 hep-ph. - 2010. - Report number: IUHET 538, January 2010.

44. Andrianov A. A., Giacconi P., Soldati R. Lorentz and CPT violations from Chern-Simons modifications of QED. JHEP. — 2002. - Vol. 02. -P. 030.

45. Jackiw R., Kostelecky V. A. Radiatively induced Lorentz and CPT violation in electrodynamics. — Phys. Rev. Lett. — 1999. — Vol. 82. — Pp. 3572-3575.

46. Ebert D., Zhukovsky V. Ch., Razumovsky A. S. Chern-Simons like term generation in an extended model of QED under external conditions. — Phys. Rev. D. 2004. - Vol. 70. - P. 025003.

47. Altschul B. Gauge invariance and the Pauli-Villars regulator in Lorentz-and CPT-violating electrodynamics. — Phys. Rev. D. — 2004. — Vol. 70. — P. 101701.

48. Alfaro J., Andrianov A. A., Cambiaso M., Giacconi P., Soldati R. Bare and Induced Lorentz and CPT Invariance Violations in QED. — Int. J. Mod. Phys. A. 2010. - Vol. 25. - Pp. 3271-3306.

49. Jacobson Т., Liberati S., Mattingly D. Lorentz violation and Crab synchrotron emission: A new constraint far beyond the Planck scale. — Nature. 2003. - Vol. 424. - P. 1019.

50. Ellis J. R., Mavromatos N. E., Sakharov A. S. Synchrotron radiation from the Crab Nebula discriminates between models of space-time foam. — Astropart. Phys. 2004. - Vol. 20. - Pp. 669-682.

51. Montemayor R., Urrutia L. F. Synchrotron radiation in Lorentz-violating electrodynamics: The Myers-Pospelov model. — Phys. Rev. D. — 2005. — Vol. 72. P. 045018.

52. Nambu Y., Jona-Lasinio G. Dynamical model of elementary particles based on an analogy with superconductivity. I. — Phys. Rev. — 1961. — Vol. 122. Pp. 345-358.

53. Nambu Y., Jona-Lasinio G. Dynamical model of elementary particles based on an analogy with superconductivity. II.— Phys. Rev.— 1961.— Vol. 124. Pp. 246-254.

54. Bardeen J., Cooper L. N., Schrieffer J. R. Theory of superconductivity. — Phys. Rev. — 1957. — Vol. 108. Pp. 1175-1204.

55. Вшивцев А. С., Клименко К. Г. Новая фаза в модели Намбу-Йона-Лазинио при ненулевых значениях химического потенциала. — Письма в ЖЭТФ. 1996. - Т. 64. - С. 313-318.

56. Вшивцев А. С., Жуковский В. Ч., Клименко К. Г. Новые критические свойства модели Намбу-Йона-Лазинио при ненулевых значениях химического потенциала. ЖЭТФ. - 1997. — Т. 111. — С. 1921-1934.

57. Ebert D., Volkov М. К. Composite-meson model with vector dominance based on U(2) invariant four-quark interactions. — Z. Phys. C. — 1983. — Vol. 16. P. 205.

58. Ebert D., Reinhardt H. Effective chiral hadron lagrangian with anomalies and skyrme terms from quark flavour dynamics. — Nucl. Phys. B. — 1986. Vol. 271. - Pp. 188-226.

59. Ebert D., Reinhardt H., Volkov M. K. Effective hadron theory of QCD. — Prog. Part. Nucl. Phys. 1994. - Vol. 33. - Pp. 1-120.

60. Hatsuda Т., Kunihiro T. QCD phenomenology based on a chiral effective Lagrangian. Phys. Rept. — 1994. - Vol. 247. — Pp. 221-367.

61. Hufner J., Klevansky S. P., Zhuang P., Voss H. Thermodynamics of a quark plasma beyond the mean field: A generalized Beth-Uhlenbeck approach. — Ann. Phys. 1994. - Vol. 234. - Pp. 225-244.

62. Mishustin I. N., Satarov L. M., Stoecker H., Greiner W. Unusual bound states of quark matter within the NJL model. — Phys. Rev. C. — 2000. — Vol. 62.- P. 034901.

63. Hanauske M., Satarov L. M., Mishustin I. N., Stoecker H., Greiner W. Strange quark stars within the Nambu-Jona-Lasinio model. — Phys. Rev. D. 2001. - Vol. 64. - P. 043005.

64. Weinberg S. Implications of dynamical symmetry breaking. — Phys. Rev. D. 1976. - Vol. 13. - Pp. 974-996.

65. Bardeen W. A., Hill Ch. T., Lindner M. Minimal dynamical symmetry breaking of the standard model. — Phys. Rev. D.— 1990.— Vol. 41.— Pp. 1647-1660.

66. Hill Ch. T. Topcolor: top quark condensation in a gauge extension of the standard model. Phys. Lett. B. - 1991. - Vol. 266. — Pp. 419-424.

67. Hill Ch. T. Topcolor assisted technicolor. Phys. Lett. B. - 1995. - Vol. 345. - Pp. 483-489.

68. Barrois B. C. Superconducting quark matter. — Nucl. Phys. B. — 1977. — Vol. 129. P. 390.

69. Frautschi S. C. Asymptotic freedom and color superconductivity in dense quark matter // Hadronic Matter at Extreme Energy Density / Ed. by Cabibbo N., Sertorio L.— Erice, Italy: Plenum, New York, 1980, Oct. 13-21 1978.- Pp. 19-27.

70. Bailin D., Love A. Superfluidity and superconductivity in relativistic fermion systems. Phys. Rept. - 1984. - Vol. 107. - P. 325.

71. Alford M. G., Schmitt A., Rajagopal K., Schafer T. Color superconductivity in dense quark matter. — Rev. Mod. Phys. — 2008. — Vol. 80. Pp. 1455-1515.

72. Deryagin D. V., Grigoriev D. Y., Rubakov V. A. Standing wave ground state in high density, zero temperature QCD at large Nc. — Int. J. Mod. Phys. A. 1992. - Vol. 7. - Pp. 659-681.

73. Shuster E., Son D. T. On finite-density QCD at large Nc. — Nucl. Phys. B. 2000. - Vol. 573. - Pp. 434-446.

74. Park B.-Y., Rho M., Wirzba A., Zahed I. Dense QCD: Overhauser or BCS pairing? Phys. Rev. D. - 2000. - Vol. 62. - P. 034015.

75. Rapp R., Shuryak E., Zahed I. Chiral crystal in cold QCD matter at intermediate densities? — Phys. Rev. D. — 2001. — Vol. 63. — P. 034008.

76. Kojo T., Hidaka Y., McLerran L., Pisarski R. D. Quarkyonic Chiral Spirals. Nucl. Phys. A. - 2010. - Vol. 843. - Pp. 37-58.

77. Dautry F., Nyman E. M. Pion condensation and the sigma-model in liquid neutron matter. — Nucl. Phys. A. — 1979. — Vol. 319. — Pp. 323-348.

78. Tatsumi T. Alternating-Layer-Spin Structure Realized in the cr-Model. — Prog. Teor. Phys.- 1980.- Vol. 63,- Pp. 1252-1267.

79. Broniowski W., Kutschera M. One-loop effective action in the sigma model for a periodic-chiral-field ansatz. — Phys. Rev. D.— 1990.— Vol. 41.— P. 3800.

80. Kutschera M., Broniowski W., Kotlorz A. Quark Matter with Pion Condensate in an Effective Chiral Model. — Nucl. Phys. A. — 1990. — Vol. 516. Pp. 566-588.

81. Takahashi K., Tatsumi T. <T7r° condensation at finite density in the linear cr model. Phys. Rev. C. - 2000. - Vol. 63. - P. 015205.

82. Takahashi K., Tatsumi T. Solution of the Dirac Equation with an Axial Vector Current in the Chiral SU(2) x SU{2) Model. Prog. Teor. Phys. -2001. - Vol. 105. - Pp. 437-448.

83. Ohwa K. Crystalline ground state in chiral Gross-Neveu and Cooper pair models at finite densities. Phys. Rev. D. — 2002. — Vol. 65. — P. 085040.

84. Thies M. From relativistic quantum fields to condensed matter and back again: updating the Gross-Neveu phase diagram. — J. Phys. A. — 2006. — Vol. 39. P. 12707.

85. Sadzikowski M., Broniowski W. Non-uniform chiral phase in effective chiral quark models. — Phys. Lett. B. — 2000. — Vol. 488. Pp. 63-67.

86. Nakano E., Tatsumi T. Chiral symmetry and density wave in quark matter. Phys. Rev. D. - 2005. - Vol. 71. - P. 114006.

87. Sadzikowski M. Comparison of the non-uniform chiral and 2SC phases at finite temperatures and densities. — Phys. Lett. B. — 2006. — Vol. 642. — Pp. 238-243.

88. Partyka Т., Sadzikowski M. Phase diagram of the non-uniform chiral condensate in different regularization schemes at T = 0. — J. Phys. G. — 2009. Vol. 36. - P. 025004.

89. Sedrakian A., Rischke D. H. Phase diagram of chiral quark matter: Fulde-Ferrell pairing from weak to strong coupling. — Phys. Rev. D. — 2009. — Vol. 80. P. 074022.

90. Boehmer C., Fritsch U., Kraus S., Thies M. Phase structure of the massive chiral Gross-Neveu model from Hartree-Fock. — Phys. Rev. D. — 2008. — Vol. 78. P. 065043.

91. Maedan S. Influence of current mass on the spatially inhomogeneous chiral condensate. Prog. Theor. Phys. — 2010. — Vol. 123. - Pp. 285-302.

92. Partyka T. Non-uniform chiral and 2SC color superconducting phases, taking into account the non-zero current quark mass. — arXiv: 1005.2667 hep-ph. — 2010.

93. Carignano S., Nickel D., Buballa M. Influence of vector interaction and Polyakov loop dynamics on inhomogeneous chiral symmetry breaking phases. Phys. Rev. D. - 2010. - Vol. 82. - P. 054009.

94. Broniowski W., Kutschera M. Ambiguities in effective chiral models with cut-off. Phys. Lett. B. - 1990. - Vol. 242. - Pp. 133-138.

95. Nickel D. Inhomogeneous phases in the Nambu-Jona-Lasino and quarkmeson model. Phys. Rev. D. - 2009. - Vol. 80. - P. 074025.

96. Борисов А. В., Вшивцев А. С., Жуковский В. Ч., Эмииов П. А. Фотоны и лептоны во внешних полях при конечных температуре и плотности. УФН. - 1997. - Т. 167. - С. 241-267.

97. Клименко К. Г. Трехмерная модель Гросса-Невье во внешнем магнитном поле. I.- ТМФ. 1991. - Т. 89. - С. 211-221.

98. Клименко К. Г. Трехмерная модель Гросса-Невье при ненулевой температуре и во внешнем магнитном поле. — ТМФ. — 1992. — Т. 90. — С. 3-11.

99. Klimenko К. G. Three-dimensional Gross-Neveu model at nonzero temperature and in an external magnetic field. — Z. Phys. C.~ 1992. — Vol. 54. Pp. 323-330.

100. Gusynin V. P., Miransky V. A., Shovkovy I. A. Catalysis of dynamical flavor symmetry breaking by a magnetic field in 2 +1 dimensions. — Phys. Rev. Lett. 1994. - Vol. 73. - Pp. 3499-3502.

101. Gusynin V. P., Miransky V. A., Shovkovy I. A. Dimensional Reduction and Dynamical Chiral Symmetry Breaking by a Magnetic Field in 3 + 1 Dimensions. Phys. Lett B. - 1995. — Vol. 349. — Pp. 477-483.

102. Gusynin V. P., Miransky V. A., Shovkovy I. A. Dynamical chiral symmetry breaking by a magnetic field in QED. — Phys. Rev. D. — 1995. — Vol. 52. — Pp. 4747-4751.

103. Gorbar E. V. On chiral symmetry breaking in a constant magnetic field in higher dimension. — Phys. Lett. B. — 2000. — Vol. 491. Pp. 305-310.

104. Semenoff G. W., Shovkovy I. A., Wijewardhana L. C. R. Universality and the magnetic catalysis of chiral symmetry breaking. — Phys. Rev. D. —1999. Vol. 60. - P. 105024.

105. Вшивцев А. С., Магницкий В. В., Жуковский В. Ч., Клименко К. Г. Динамические эффекты в (2+1)-мерных теориях с четырехфермион-ным взаимодействием. ЭЧАЯ. — 1998. — Т. 29. — С. 1259-1318.

106. Вдовиченко М. А., Вшивцев А. С., Клименко К. Г. Магнитный катализ и магнитные осцилляции в модели Намбу-Иона-Лазинио. — ЯФ. —2000.-Т. 63.-С. 542-551.

107. Вдовиченко М. А., Клименко К. Г., Эберт Д. Нестандартные магнитные осцилляции в модели Намбу-Иона-Лазинио. — ЯФ. — 2001. — Т. 64. С. 386-391.

108. Ebert D., Klimenko К. G., Vdovichenko М. A., Vshivtsev A. S. Magnetic oscillations in dense cold quark matter with four-fermion interactions. — Phys. Rev. D. 1999. - Vol. 61. - P. 025005.

109. Shovkovy I. A., Turkowski V. M. Dimensional reduction in Nambu-Jona-Lasinio model in external chromomagnetic field. — Phys. Lett. B. — 1996. Vol. 367. - Pp. 213-218.

110. Ebert D., Zhukovsky V. Ch. Chiral phase transitions in strong chromomagnetic fields at finite temperature and dimensional reduction. — Mod. Phys. Lett. A. 1997. - Vol. 12. - Pp. 2567-2576.

111. Ebert D., Klimenko K. G., Toki H. Chromomagnetic catalysis of color superconductivity in a (2+l)-dimensional NJL model. — Phys. Rev. D. — 2001,-Vol. 64.-P. 014038.

112. Ebert D., Khudyakov V. V., Zhukovsky V. Ch., Klimenko K. G. The Influence of an external chromomagnetic field on color superconductivity. — Phys. Rev. D. — 2002. — Vol. 65. — P. 054024.

113. Ebert D., Klimenko K. G., Toki H., Zhukovsky V. Ch. Chromomagnetic catalysis of color superconductivity and dimensional reduction. — Prog. Theor. Phys. 2001. - Vol. 106. - Pp. 835-849.

114. Ferrer E. J., de la Incera V., Manuel C. Color-Superconducting Gap in the Presence of a Magnetic Field. — Nucl. Phys. B. — 2006. — Vol. 747. — P. 88.

115. Ferrer E. J., de la Incera V. Magnetic phases in three-flavor color superconductivity. — Phys. Rev. D. — 2007. — Vol. 76. — P. 045011.

116. Fraga E. S., Mizher A. J. Chiral transition in a strong magnetic background. Phys. Rev. D. - 2008. — Vol. 78. - P. 025016.

117. Mizher A. J., Fraga E. S. CP violation and chiral symmetry restoration in the hot linear sigma model in a strong magnetic background. — Nucl. Phys. A. 2009. - Vol. 831. - Pp. 91-105.

118. Ayala A., Bashir A., Raya A., Sánchez A. Chiral phase transition in relativistic heavy-ion collisions with weak magnetic fields: ring diagrams in the linear sigma model. Phys. Rev. D. - 2009. - Vol. 80. - P. 036005.

119. Menezes D. P., Pinto M. B., Avancini S. S., Martinez A. P., Providencia C. Quark matter under strong magnetic fields in the Nambu-Jona-Lasinio model. Phys. Rev. C. - 2009. - Vol. 79. - P. 035807.

120. Fukushima K., Ruggieri M., Gatto R. Chiral magnetic effect in the PNJL model. — Phys. Rev. D. 2010. - Vol. 81. - P. 114031.

121. Boomsma J. K., Boer D. The influence of strong magnetic fields and instantons on the phase structure of the two-flavor NJL model. — Phys. Rev. D. 2010. - Vol. 81. - P. 074005.

122. Ayala A., Bashir A., Raya A., Sánchez A. Impact of a uniform magnetic field and nonzero temperature on explicit chiral symmetry breaking in QED: Arbitrary hierarchy of energy scales. — J. Phys. G. — 2010. — Vol. 37.-P. 015001.

123. Gatto R., Ruggieri M. Dressed Polyakov loop and phase diagram of hot quark matter under magnetic field. — arXiv:1007.0790 hep-ph. — 2010. — Report number: YITP-10-55.

124. Fayazbakhsh Sh., Sadooghi N. Color neutral two-flavor superconducting phase of cold and dense quark matter in the presence of constant magnetic fields. — Phys. Rev. D. 2010. - Vol. 82. - P. 045010.

125. Mizher A. J., Chernodub M. N., Fraga E. S. Phase diagram of hot QCD in an external magnetic field: possible splitting of deconfinement and chiral transitions.— arXiv: 1004.2712 hep-ph.— 2010.— To appear in Phys. Rev. D.

126. D'Elia M., Mukherjee S., Sanfilippo F. QCD phase transition in a strong magnetic background. Phys. Rev. D. — 2010. — Vol. 82. - P. 051501.

127. Duncan R. C., Thompson C. Formation of Very Strongly Magnetized Neutron Stars: Implications for Gamma-Ray Bursts. — Astrophys. J. — 1992. Vol. 392. - P. L9-L13.

128. Skokov V., Illarionov A., Toneev V. Estimate of the magnetic field strength in heavy-ion collisions.— Int. J. Mod. Phys. A.— 2009.— Vol. 24.— Pp. 5925-5932.

129. Son D. Т., Stephanov M. A. Axial anomaly and magnetism of nuclear and quark matter. Phys. Rev. D. - 2008. - Vol. 77. - P. 014021.

130. Noronha J. L., Shovkovy I. A. Color-flavor locked superconductor in a magnetic field. Phys. Rev. D. - 2007. - Vol. 76. - P. 105030.

131. Gorbar E. V., Miransky V. A., Shovkovy I. A. Chiral asymmetry of the Fermi surface in dense relativistic matter in a magnetic field. — Phys. Rev. C. 2009. - Vol. 80. - P. 032801.

132. Пайерлс P. Квантовая теория твердых тел. — М.: Изд-во иностр. литры, 1956.

133. Grüner G. The dynamics of charge-density waves. — Rev. Mod. Phys. — 1988. Vol. 60. - P. 1129-1181.

134. Overhauser A. W. Giant Spin Density Waves. — Phys. Rev. Lett. — 1960. Vol. 4. - P. 462-465.

135. Overhauser A. W. Spin Density Waves in an Electron Gas. — Phys. Rev. — 1962. Vol. 128. - P. 1437-1452.

136. Grüner G. The dynamics of spin-density waves.— Rev. Mod. Phys.— 1994. Vol. 66. - P. 1-24.

137. Fuchs J.-N., Lederer P. Charge density wave in graphene: magnetic-field-induced Peierls instability. — The European Physical Journal Special Topics. 2007. - Vol. 148. - Pp. 151-158.

138. Furry W. H. On Bound States and Scattering in Positron Theory. — Phys. Rev. 1951. - Vol. 81. - Pp. 115-124.

139. Schwinger J. S. On quantum electrodynamics and the magnetic moment of the electron. — Phys. Rev. 1948. — Vol. 73. - Pp. 416-417.

140. Тернов И. M., Багров В. Г., Бордовицын В. А., Дорофеев О. Ф. К вопросу об аномальном магнитном моменте электрона.— ЖЭТФ.— 1968. Т. 55. - С. 2273-2280.

141. Соколов А. А., Тернов И. М. Релятивистский электрон. — М.: Наука, 1983.

142. Багров В. Г., Бисноватый-Коган Г. С., Бордовицын В. А., Борисов А. В., Дорофеев О. Ф., Жуковский В. Ч., Пивоваров Ю. JL, Шорохов О. В., Эпп В. Я. Теория излучения релятивистских частиц / Под ред. Бордовицына В. А. — М.: Физматлит, 2002.

143. Pauli W. Relativistic Field Theories of Elementary Particles. — Rev. Mod. Phys. 1941. - Vol. 13. - Pp. 203-232.

144. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. — 2-е изд. М.: Наука, 1974. - Т. 2.

145. Тернов И. М., Багров В. Г., Жуковский В. Ч. Синхротронное излучение электрона, обладающего вакуумным магнитным моментом. — Вестник МГУ. Сер. физ., астрон. — 1966. — Т. 7, № 1. — С. 30-36.

146. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — М.: Физматлит, 2004.

147. Соколов А. А., Тернов И. М Синхротронное излучение. — М.: Наука, 1966.

148. Ахиезер Г. И., Берестецкий В. Б. Квантовая электродинамика. — 4-е изд. — М.: Наука, 1981.

149. Боголюбов Н. Н. Приближение Хартри-Фока-Боголюбова в моделях с четырехфермионным взаимодействием. — Тр. МИАН. — 2000. — Т. 228.- С. 264-285.

150. Fujikawa К., Suzuki H. Path Integrals and Quantum Anomalies. — Clarendon Press, 2004.

151. Fujikawa K. Path Integral for Gauge Theories with Fermions. — Phys. Rev. D. 1980. - Vol. 21. - Pp. 2848-2858.

152. Trotter H. F. On the product of semi-groups of operators. — Proc. Amer. Math. Soc. 1959. - Vol. 10. - Pp. 545-551.

153. Matsubara T. A New Approach to Quantum-Statistical Mechanics. — Prog. Theor. Phys.— 1955. Vol. 14. - Pp. 351-378.

154. Meissner Th., Ruiz Arriola E., Goeke K. Regularization scheme dependence of vacuum observables in the Nambu-Jona-Lasinio model. — Z. Phys. A. 1990. - Vol. 336. - Pp. 91-96.

155. Schwinger J. S. On gauge invariance and vacuum polarization. — Phys. Rev. 1951. - Vol. 82. - Pp. 664-679.

156. Харди Г. Расходящиеся ряды. — М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1951.

157. Piessens R., de Doncker-Kapenga Е., Uberhuber С. W., К. Kahaner D. QUADPACK: A Subroutine Package for Automatic Integration. — Springer Verlag, 1983.

158. Fletcher R. Practical Methods of Optimization. — 2nd edition. — Wiley, 1987.

159. Landau L. D. Diamagnetismus der Metalle. — Z. Phys. — 1930. — Vol. 64. P. 629.

160. Ba§ar G., Dunne G. V., Kharzeev D. E. Chiral Magnetic Spirals. — Phys. Rev. Lett. 2010. - Vol. 104. - P. 232301.

161. Tatsumi T. Ferromagnetism of quark liquid. — Phys. Lett. B. — 2000. — Vol. 489. Pp. 280-286.

162. Nakano E., Maruyama Т., Tatsumi T. Spin polarization and color superconductivity in quark matter. — Phys. Rev. D. — 2003. — Vol. 68. — P. 105001.

163. Niegawa A. Ferromagnetism in quark matter. — Prog. Theor. Phys. 2005. Vol. 113. - Pp. 581-601.

164. Tatsumi T., Maruyama T., Nakano E., Nawa K. Ferromagnetism in quark matter and origin of the magnetic field in compact stars. — Nucl. Phys. A. 2006. - Vol. 774. - Pp. 827-830.

165. Ba§ar G., Dunne G. V., Thies M. Inhomogeneous Condensates in the Thermodynamics of the Chiral NJL2 Model. — Phys. Rev. D. 2009. — Vol. 79. - P. 105012.