Однопетлевые вакуумные эффекты в моделях глюонного конденсата квантовой хромодинамики тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВА

Физический факультет

На правах рукописи

МАМСУРОВ ИГОРЬ ВЛАДИСЛАВОВИЧ

ОДНОПЕТЛЕВЫЕ ВАКУУМНЫЕ ЭФФЕКТЫ В МОДЕЛЯХ ГЛЮОННОГО КОНДЕНСАТА КВАНТОВОЙ ХРОМОДИНАМИКИ

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель Доктор физико-математических Профессор ЖУКОВСКИЙ В.

наук, Ч.

Москва - 1999

Содержание

I Введение 3

А Модели вакуумного глюонного конденсата 3 В Глюонный конденсат в пространстве-времени с отличной от нуля кривизной. 12 С Радиационный распад b-кварка в присутствии фонового хромомагнитного поля. 21

II Однопетлевое эффективное действие для калибровочного поля в искривленном пространстве-времени 29

А Введение. 29

В Эффективное действие. 30

С Спектр. 32

D Случай больших значений параметра. 34

Е Случай малых значений параметра. 37

III Массовый оператор b-кварка во внешнем неабе-левом хромомагнитном поле. 39

IV Аннигиляция электрон-позитронной пары в модельном поле глюонного конденсата. 49

А Введение.........................49

В Модель сферически-симметричного хромомагнитного

поля. 53 С Амплитуда и вероятность фоторождения пары кварк-

антикварк. 54 О " Правила сумм" и оценка вклада глюонного конденсата. 55 Е Модель аксиально-симметричного хромомагнитного

поля. 58

Р Матричный элемент и вероятность процесса. 60

V Поляризационный оператор фотона во внешнем цветовом поле. 69

А Введение. 69

В Поляризационный оператор фотона. 71

С Мнимая часть следа ПО. 76

О Рождение кварк-антикварковых пар. 82

VI Заключение 86

- 3 -I. ВВЕДЕНИЕ

А. Модели вакуумного глюонного конденсата

Одним из методов исследования вакуума является выбор модели, допускающей проведение аналитического изучения процессов, обусловленных структурой вакуума. Этот подход позволяет выбрать ту модель, которая наилучшим образом описывает экспериментальные результаты. Мы вкратце расскажем о некоторых таких моделях, остановившись более подробно на т. н. модели "ферромагнитного вакуума" Но прежде сделаем несколько предварительных замечаний. Существенно то, что поля, используемые в качестве модели вакуума, связаны с решениями уравнений Янга-Миллса. Например, сферически-симметричные решения по аналогии с электродинамикой могут быть использованы при описании межкваркового взаимодействия. В результате экспериментов установлено, что в промежутке 0.1 — 1 Фм потенциал имеет довольно универсальный вид:

где а = 0,42Гэв,а3 = 0,02. Эта параметризация дает хорошее описание для спектра барионных резонансов [1,2]. Существуют и другие подходы, основанные на эффективном лагранжиане [3-5]. Однако в отличие от КЭД в КХД ситуация усложняется из-за гипотезы удержания цвета кварков. Косвенно эту трудность, возможно, удастся обойти, если связать симметрию модельных вектор-потенциалов, отвеча-

ющих за межкварковое взаимодействие, с симметрией адронов [6,7]. Кроме сферически-симметричных существуют и другие типы решений уравнений Янга Миллса. Мы перечислим некоторые из них и укажем, как они могут быть использованы при решении различных задач КХД. Отметим, прежде всего, класс плосковолновых решений, имеющий место как в однородном случае, так и в случае ненулевого тока. Этот тип решений существует также и для самосогласованной системы уравнений, описывающей взаимодействие калибровочного поля с полем Хиггса [8]. Возможны решения типа стоячих волн, называемые Янго-Миллсовским кристаллом [9]. К этому же классу относятся постоянные поля, которые могут быть получены из плосковолновых предельным переходом. Они, по-видимому, существенно проявляются в процессах, происходящих на малых расстояниях по сравнению с радиусом конфайнмента. На расстояниях же порядка радиуса кон-файнмента, существенную роль, возможно, играет случайная (стохастическая) компонента поля, присутствующая в вакууме. В этом случае вместо классического поля мы должны вводить функции распределения, определяющие поля в рамках исследуемой модели. Здесь значительную роль, возможно, играют инстантонные конфигурации полей, исходя из которых можно определить непертурбативную вакуумную плотность энергии глюонного поля [10].

Е = -¿(0 I -^Г I 0) ~ —(0.25Гэе)4, (1)

32 7г

которая определяет ненулевой глюонный конденсат. При этом кварко-вый конденсат также отличен от нуля. Поэтому необходимо рассмотрение самосогласованного поля, когда учитывается взаимодейтвие кварков с различными конфигурациями глюонных полей.

Учитывая все вышесказанное, мы можем на малых расстояниях г <С 1 Фм аппроксимировать ненулевые вакуумные средние постоянными калибровочными полями. В частности это относится к модели "ферромагнитного вакуума" Это, безусловно, является лишь грубым приближением к вакуумному состоянию, так как мы, намеренно, ограничиваем область континуального интегрирования полями Аа, на которых ковариантная дивергенция равна нулю. Однако, даже такая упрощенная модель, позволяет получить ряд интересных результатов, которые могут пролить свет на некоторые сложные вакуумные процессы.

Вектор-потенциалы, задающие хромомагнитное поле, могут быть двух типов

1) Коммутирующие (абелевы) линейно-зависящие от х^ потенциалы:

[Afi,Au] = 0, Ali{x) = -^Flu,xv]

D^Fap = dpFap - ig[A^ Fa/3}. (2)

2) Некоммутирующие постоянные потенциалы:

Ац = const, д[Ац, Аи] = iFpV. (3)

Зададим постоянное и однородное хромомагнитное поле группы

Б и (2) абелевыми потенциалами вида:

а; = %а„, Ар = (о, о, хН, о),

так что только те компоненты тензора поля будут отличны от нуля, которые направлены вдоль третьей оси в цветовом и конфигурационном простанстве. Представим калибровочное поле в виде суммы фоновой (классической) А, заданной выше, и флуктуационной (квантовой) а частей:

А = А + а.

Фиксировав калибровку Аг0 = 0, и интересуясь лишь осциллирующими решениями, мы получаем следующее уравнение для квантовых флук-туаций:

(^<Н5л£>А) - 2д£аЫ&^) аги = 0

Как видно, это уравнение описывает векторную частицу с аномальным магнитным моментом, равным единице. Энергетический спектр этой частицы имеет вид

= у/Щ + 2дН(п + в + 1/2).

где з = ±1 и п = 0,1,2,... -квантовые числа. Однопетлевая добавка к плотности энергии вакуума определяется суммой по п и в, и интегрированием по собственных значений В результате плотность энергии вакуума, вычисленная в однопетлевом приближении, будет иметь следующий вид (Савиди, Матинян [11,12]:

■^-т*®^-?-!) <41

У этой плотности имеется нетривиальный минимум в точке:

ет ^ [ 247Г2\

дНт{п = ¡1 ехр

\ П92/

Из выражения (4) следует, что при некоторых значениях поля Н ради-

н2

ационная поправка скомпенсирует классическое слагаемое и энергия станет ниже значения энергии пертурбативного вакуума, ЛеЕ^ < 0. Поэтому состояние вакуума в присутствии поля будет энергетически более выгодным, по сравнению с состоянием, когда поле отсутствует. Следовательно, пертурбативный вакуум является неустойчивым относительно образования конденсатного глюонного поля. Состояние системы с конденсатом оказывается более выгодным. Результатом всего этого является модель непертурбативного вакуума, в котором пространство заполнено постоянным и однородным хромомагнитным полем. Однако нельзя не обратить внимание на недостатки этой модели. Во-первых, при выводе (4) существенным образом использовалась теория возмущений, то есть изначально предполагалось, что поправки к основному слагаемому являются малыми по сравнению с основным членом, в то же самое время, минимум плотности энергии лежит в той области, где величина поправки становится сравнимой с главным членом, т. е. мы выходим за область применимости полученного результата. Однако, несмотря на это, можно предположить, что качественно эта модель справедлива и за пределами границ применимости однопет-

левого приближения. Вторая сложность заключается в том, что вакуум должен быть инвариантен относительно преобразований в цветовом и лоренцевом пространствах, в предложенной же модели имеется выделенное направление, связанное с магнитным полем.

Немаловажно также следующее обстоятельство. Как было показано в работах Нильсена, Олесена [13,14] и Скалозуба [15], вакуум Матиняна-Савиди имеет ненулевую мнимую часть

1т * =

07Г

которая возникает за счет существования нестабильной тахионной моды глюонного поля. Эта же тахионная мода вносит существенный вклад в формирование вакуумной добавки к КеЕц. Из этого следует, что в вакууме Матиняна-Саввиди наличие нестабильности и спонтанное образование конденсатного хромомагнитного поля связаны между собой. Мнимая часть Е говорит о локальности минимума плотности энергии. Поэтому данная модель лишь условно может соответствовать основному состоянию в теории Янга-Миллса.

Теперь скажем вкратце о других возможных моделях вакуума. Одна

33 3) Т"» ^

из них получила название копенгагенского вакуума В этой модели минимум функционала энергии системы обеспечивается за счет выбора определенной конфигурации полей. Пусть мы имеем дело с 5[/(2) калибровочной теорией и хромомагнитное поле задано так же, как и в предыдущем случае, т.е . направлено вдоль третьей оси в цветовом и

в конфигурационном пространствах.

Исследуем нестабильную моду, т. е. состояние с квантовыми числами п = 0, б = — 1,/сд< дН, которая удовлетворяет уравнению:

(I)? + 0\)ф = —дНф. (5)

Рассмотрим структуру решений этого уравнения на плоскости ортогональной полю. Как было показано в [16] в пространстве функ-

«-» / О у— V

ции гр можно ввести полный базис, такой что двоякопериодическая система функций фщ,п2 в указанной плоскости будет определена на решетке, ориентированной вдоль векторов = 2^7г/3(1,0),а2 = утг/л/3(1 /л/3,1) и имеет целочисленные периоды, т. е. ф(х + а1,2/\/~дН) = Условие периодичности с явным выражением

для периодов решетки выбирается из соображений минимума средней плотности энергии глюонного поля. Решение (5), разложенное по данному базису, также будет двоякопериодическим и, как было показано, является стабильным на классическом уровне. Таким образом, преимущество этой модели по сравнению с моделью Савиди-Матиняна состоит в том, что в ней устраняется характерная для последней нестабильность. Отметим также, что двоякопериодичность решений в этом случае является следствием симметрии уравнений Янга-Миллса.

Рассмотрим теперь конфигурации неабелевых постоянных хромомаг-нитных полей [17,18], описывающие модельный вакуум, и исследуем вопрос об их устойчивости [19-21]. Впервые такие поля были предло-

жены в [17,18]. Исследование решений уравнения Янга-Миллса в рамках самосогласованной задачи, проведенной в работах [8,22,23], подтвердило возможность использования данных конфигураций. Вопрос устойчивости рассматривался в работах [19-21]. Метод состоял в том, чтобы разбить исходные потенциалы на фоновую часть и возмущение. После подстановки в уравнения Янга-Миллса мы получаем нелинейное уравнение для квантовых флуктуаций калибровочного поля. Затем необходимо провести линеаризацию уравнений по возмущениям и найти соответствующий спектр. В фоновой калибровке это было проделано в работах [17,18,24-26,19,20]. Модель сферически- симметричного постоянного неабелева поля рассмотрена в [21]. В итоге для неабелевых постоянных калибровочных полей хромомагнитного и хромоэлектри-ческого типов продемонстрировано существование нестабильных мод в линейном приближении. Заметим, что это исследование носит локальный характер. Чтобы получить глобальный результат, мы должны учитывать нелинейный характер взаимодействия. Из явного выражения для энергетического спектра глюонных флуктуаций [24,25] на фоне сферическо-симметричного неабелевого постоянного хромомагнитного поля можно получить, что областью нестабильности является

интервал: 0 < |р| < 2у(дА)2/3. После этого рассматривается задача о динамике моды, в которой для простоты удерживается только растущая со временем по экспоненте часть. Соответствующая задача

была решена в работе [21] для сферически- симметричного неабелева поля. Аналогичная задача для постоянного абелева хромомагнитного поля рассматривалась в [27], а для модели Вайнберга-Салама такая процедура выполнена в [28]. Общая схема была такова. Для анализа нелинейной эволюции моды рассматривался лагранжиан:

где тензор поля и вектор потенциалы представляют собой сумму фоновой и флуктуационной частей. Опуская несущественные для нашего рассмотрения стабильные моды, мы будем интересоваться только одной нестабильной. Подставляя ее исходный лагранжиан и удерживая все слагаемые, содержащие эту моду, мы получаем эффективный лагранжиан, из которого следует нелинейное уравнение движения:

{820 ~д1 + 2^д3)ф + 2д2\ф\2ф = 0 (б)

Это уравнение имеет решение солитонного вида и сильно локализовано в пространственно-временной области. При этом в рамках классического подхода нестабильность данной системы полей легко устраняется, поскольку она является фиктивнои, так как отсутствует для истиннои нелинейной системы. Последнее обстоятельство позволяет использовать такие конфигурации полей в качестве приближения к модели вакуума [17,26,29].

В. Глюонный конденсат в пространстве-времени с отличной от нуля кривизной.

Изучение эффективного лагранжиана глюонов в присутствии фонового ковариантно-постоянного калибровочного поля в неабелевых калибровочных теориях показало, что энергия вакуума может достигать минимума, когда вакуумное поле отлично от нуля. В частности это относится к модели хромомагнитного вакуума [11]. Отличное от нуля фоновое поле можно связать с существованием глюонного конденсата в таком вакууме. Были предложены разные модели такого вакуума. Большой интерес представляет изучение свойств этого вакуума, в особенности, то, какое влияние он оказывает на реакции с участием элементарных частиц. Однако, к сожалению, наличие нестабильных мод глюонного поля приводило к тому, что в эффективном лагранжиане возникала мнимая часть [14]. Вакуум, таким образом, оказывался нестабильным, поскольку оператор эволюции с лагранжианом, имеющим мнимую часть, представляет собой затухающую экспоненту Было предложено несколько способов достигнуть стабилизации вакуума. Один из наиболее неожиданных состоит в том, чтобы устранить возникающую мнимую часть путем введения в задачу пространственно-временного континуума с отличной от нуля кривизной. В работе [30] была предпринята такая попытка. Используя метод £ -регуляризации, вычислялся эффективный потенциал для 5С/(2) -ковариантного постоянного калибровочного поля в пространстве-времени 82 х й2, а также

'2 v n2 „„„ c2 тr rpi2

T x R , где Sz и T представляли собой соответственно двумерную сферу и двухмерный тор, а R2 было обычной плоскостью. При этом ненулевые компоненты фонового поля располагались в R2 Рассмотрим эту задачу более подробно. Фундаментальным является понятие оператора эволюции U(t', t). Матричный элемент

| U(t',t) | q)

определяет вероятность, с которой система в момент времени t' будет

/ <-> I

находиться в состоянии q если в начальный момент t она находилась в состоянии q. Если начальный момент времени устремить к — оо, а конечный к Н-оо, то оператор эволюции превратится в S-матрицу

S(q',q)= lim (q'\ U(t\t) \ q). t' -)> +00

t —У — оо

Рассмотрим глюонные поля, которые задаются следующим образом:

FßV = dßAv - диАм + д[Ац, А„].

S-матрица для этих полей в калибровке dßAß = а(х) в пространстве Минковского, выраженная через континуальный интеграл, имеет вид:

5 = АГ1 / ехр / dxtr П Аа{А)6{д,А^ - a(x))dA, (7)

где интегрирование П dA ведется по всем полям Aß(x), таким что

lim Aß = A°u\ lim Aß = А™.

00 ^ у- 00 ^ ^

При этом в Азадана амплитуда сходящейся волны, а в А™ амплитуда расходящейся волны, и оба являются решениями уравнений:

= 0, д^ = а(х).

Функционал Да появляется в подинтегральном выражении из-за того, что не все А^ в лагранжиане для полей Янга-Миллса являются независимыми переменными. Поскольку интегрирование, тем не менее, ведется по всем А1Л) необходимо ввести функционал, который бы "вырезал" лишние переменные, так что эффективно интегрирование велось бы только по динамическим, т. е. независимым переменным. Этот функционал Да(А) на поверхности д^А^ = а(х) можно выразить через определитель некоторого дифференциального оператора:

Ма(х) = Па- дд^Ар, а], Да = Ве1М.

Выражение для Б-матрицы можно переписать в более компактном виде, если домножить исходный функционал на

ехр I ^ а2(х)(1х

и проинтегрировать по а, что приведет лишь к изменению нормировочного множителя N. Кроме этого, чтобы выражение для Б-матрицы имело удобный для вычисления вид интеграла от фейнмановского функционала ехр{г х действие), необходимо ее представить в таком виде, чтобы оператор М находился в показателе экспоненты. С этой целью

можно воспользоваться интегральным представлением

¿еЬМ = / ехр {г / са{х)МаЬсь[х)(1х}1[(1с<1с,

где с(х) и с(х) являются антикоммутирующими скалярными функциями, образующими алгебру Грассмана. На них следует наложить еще соответствующ