Классификационные проблемы в современной теории гравитации тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

1 КЛАССИФИКАЦИЯ ШТЕККЕЛЕВЫХ МЕТРИК

В КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ

1.1 Общие свойства изотропных штеккелевых пространств

1.1.1 Необходимые сведения из теории разделения переменных

1.1.2 Общие свойства штеккелевых пространств типа (N.1).

1.1.3 Разделение переменных с помощью интегральных наборов

1.2 Изотропные штеккелевы пространства с чистым излучением (проблема Вайдья).

1.2.1 Изотропные пространства с тремя векторами Киллинга.

1.2.2 Изотропные пространства с двумя векторами Киллинга

1.2.3 Изотропные пространства с одним вектором Киллинга

1.3 Изотропные штеккелевы пространства в теории Эйнштейна-Максвелла.

1.3.1 Изотропные пространства с двумя векторами Киллинга

1.3.2 Изотропные пространства с одним вектором Киллинга

1.3.3 Пространства электровакуума, обобщающие тип (1.1).

1.4 Изотропные штеккелевы пространства в теории Бранса-Дикке.

1.4.1 Изотропные пространства с двумя векторами Киллинга.

1.4.2 Изотропные пространства с тремя векторами Киллинга.

2 КЛАССИФИКАЦИЯ КОНФОРМНО-ШТЕККЕЛЕВЫХ МЕТРИК ПРОСТРАНСТВ ЭЙНШТЕЙНА

2.1 Пространства Эйнштейна с изотропными конформно-штеккелевыми метриками

2.1.1 Условия совместности конформно-преобразованных уравнений Эйнштейна.

2.1.2 Изотропные конформно-штеккелевы пространства типа (3.1)

2.1.3 Изотропные конформно-штеккелевы пространства типа (2.1)

2.1.4 Изотропные конформно-штеккелевы пространства типа (1.1)

2.1.5 Метрики типа (N.1) конформно-штеккелевых пространств Эйнштейна.

2.2 Конформно-плоские изотропные штеккелевы пространства

2.3 Неизотропные конформно-штеккелевы метрики пространств Эйнштейна.

2.3.1 Метрики типа (3.0).

2.3.2 Метрики типа (2.0).

2.3.3 Риччи-плоские конформно-штеккелевы пространства типа (3.0)

КЛАССИФИКАЦИЯ ОДНОРОДНЫХ ПРОСТРАНСТВ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ СИММЕТРИЯМИ

3.1 Метрики однородных пространств, допускающих изотропные полные наборы с тремя векторами Киллинга

3.2 Метрики однородных пространств, допускающих изотропные полные наборы с двумя векторами Киллинга

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ В СОВРЕМЕННЫХ

ТЕОРИЯХ ГРАВИТАЦИИ

4.1 Интегрируемость уравнений Эйнштейна-Вейля для однородных пространств.

4.1.1 I и II типы по классификации Бианки.

4.1.2 III, IV, VI типы по классификации Бианки (р2 ф 0).

4.1.3 III, V, VI типы по классификации Бианки (р2 = 0).

4.1.4 VII тип по классификации Бианки.

4.1.5 VIII тип по классификации Бианки.

4.1.6 IX тип по классификации Бианки.

4.2 Вселенные типа Кантонского-Сакса с учетом квантовых поправок.

4.2.1 Несингулярная космология Кантовского-Сакса

4.2.2 Сингулярная космология Кантовского-Сакса.

4.2.3 Кротовые дыры в ранней Вселенной

4.3 Вселенная типа Фридмана с учетом эффекта Казимира.

4.4 Некоторые решения в модели мембранной гравитации.

Одной из важных проблем современной теоретической физики является задача осуществления объединения гравитационного взаимодействия с остальными фундаментальными взаимодействиями и построение реалистичных космологических моделей развития Вселенной, особенно на ранних этапах ее развития. Большинство исследователей полагает, что классическая общая теория относительности является низкоэнергетическим приближением некоторой более фундаментальной теории гравитации. В связи с этим сейчас большое внимание уделяется построению теорий и моделей, приводящих к различным модификациям ОТО и альтернативным теориям гравитации, использующих новые подходы (теории гравитации с высшими производными, с высшими размерностями, со специальными граничными условиями), включающих дополнительные объекты, отвечающие за гравитационные эффекты (дилатон, кручение), учитывающих различные квантовые поправки, возникающие в объединенных теориях. В рамках современных теорий гравитации особенный интерес исследователей вызывают космологические модели, описывающие начальные этапы развития Вселенной и модели, описывающие астрофизику черных дыр. В этих моделях применяются самые последние достижения различных физических теорий. При этом считается, что жизнеспособная теория гравитации, по всей вероятности, должна быть метрической теорией.

Усложнение моделей приводит к трудностям при интегрировании полевых уравнений и даже при исследовании их качественного поведения. Число точно решаемых моделей в таких теориях мало. Зачастую невозможность аналитического исследования уравнений приводит к необходимости использования численных методов интегрирования, что связано с изучением проблем сходимости и контроля точности расчета, где для выверки методов большую роль играют точно решаемые задачи. При квантовании теории также большую роль играют точно решаемые классические модели.

Таким образом развитие методов математической физики в искривленном пространстве - времени является актуальной проблемой. Одной из важнейших проблем современной математической физики является проблема интегрирования и классификации решений полевых уравнений в различных моделях теории гравитации. Под классификацией понимается перечисление всех неэквивалентных относительно выбранной группы преобразований решений полевых уравнений. При этом классификация, если она осуществляется по признаку симметрии изучаемых уравнений, одновременно является и мощным аналитическим методом интегрирования этих уравнений. Поскольку основным объектом исследования в теории гравитации является пространственно-временная метрика, особый интерес представляют пространства, обладающие какой-либо симметрией. Не случайно, первые систематические исследования проблемы точного интегрирования полевых уравнений общей теории относительности были связаны с классификацией пространств, допускающих группу движений (см. фундаментальный труд А.З.Петрова "Новые методы в общей теории относительности", 1966). Естественным обобщением таких пространств являются пространства, допускающие более сложные геометрические объекты, например, тензорные поля Киллинга. Вместе с тем замечено, что классификационный подход, как правило, конструктивен только в том случае, если имеется более двух геометрических объектов (тензорных и векторных полей Киллинга). Более того, на набор, состоящий из трех объектов обычно приходится накладывать дополнительные ограничения. Классификация для случая четырех и более геометрических объектов как правило проблем не вызывает.

Главным направлением исследований диссертации является классификационная проблема для пространственно - временных метрик, допускающих наборы из трех геометрических объектов, удовлетворяющих дополнительным условиям, имеющим ясный физический смысл. При этом мы рассматриваем две возможности.

1. Наборы являются полными (соответствующие поля коммутируют и отвечают некоторым алгебраическим условиям). Соответствующие пространства называют штеккелевыми. См. работы В.Н.Шаповалова: Дифф. уравнения. -1980. т.XVI, 10, 1864-1874; Сиб. мат. журнал. -1979. -20. -1117; Изв. вузов, Физика. -1978. -9. -18; а также работы: В.Г. Багров, В.В. Обухов, Полное разделение переменных в свободном уравнении Гамильтона -Якоби. Теоретическая и математическая физика. 1993. Т. 97, N 2, С. 250-269. В.Г.Багров, В.В. Обухов, Обобщение теоремы Шаповалова о необходимых и достаточных условиях разделения переменных. Гравитация и теория относительности. Вып. 28. Казань: Изд-во Казанского университета, 1991. С. 7-107 V.G. Bagrov, V.V. Obukhov, Separation of Variables for the Dirac Square Equation. International Journal of. Modern Physics D. 1994. V. 3, N 4. P. 739-746. Bagrov V.G., Obukhov V.V., Osetrin K.E., The problem of exact integration of mathematical physics equations in curved space-times. In "Gravity, Particles and Space-Time". World Scientific, Singapore, 1996. p.1-18.

2. Набор образован пространственно-подобными векторными полями Киллинга (пространственно-однородное пространство-время).

Интерес к этим вариантам обусловлен физической и геометрической выделен-ностью данных множеств. В штеккелевых пространствах могут быть проинтегрированы методом полного разделения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби уравнения геодезических, а однородные пространства находят большое применение в космологии.

В настоящее время классификационные задачи для штеккелевых пространств в достаточной мере изучены (в том числе и в наших работах). Решены проблемы классификации штеккелевых метрик в пространствах Эйнштейна, Риччи-плоских пространствах, пространствах электровакуума и т.д.

Значительно менее данная проблема исследована для однородных пространств, хотя известно множество разрозненных точных решений самых различных полевых уравнений. Существует настоятельная необходимость ликвидировать этот пробел.

С этой целью в предлагаемой работе изучается пересечение множеств штеккелевых и однородных пространств и проведена классификация полученных пересечений. Изучаются однородные пространства, удовлетворяющие полевым уравнениям классических гравитационных теорий в присутствии дилатона и спинорной материи. Используются исследуемые пространства для нахождения точных решений полевых уравнений в различных теориях гравитации.

В диссертации осуществлена классификацию однородных пространств, допускающих изотропные полные наборы интегралов движения в уравнениях геодезических, тем самым определив все неэквивалентные метрики однородных пространств, в которых уравнения движения могут быть проинтегрированы методом полного разделения переменных.

Однородные пространства в настоящее время вызывают повышенный интерес у исследователей, поскольку они лежат, по существу, в основе современной космологии. Вместе с тем их широкое применение осложнено двумя обстоятельствами. Во-первых, они заданы с достаточно большим произволом, и метрики этих пространств, даже записанные в системах координат, связанных с синхронными системами отсчета, в общем случае имеют довольно сложный вид. Поэтому возникает необходимость сформулировать физически или геометрически оправданные дополнительные условия, ограничивающие этот произвол. Во-вторых, с точки зрения космологии наиболее интересными представителями однородных пространств являются такие, в которых существуют решения уравнений материи, позволяющие построить зависящие только от временной переменной тензоры материи. Поэтому возникает проблема изучения всех типов однородных пространств на предмет нахождения среди них классов пространств, в которых могут быть получены соответствующие решения.

Изучение дополнительных симметрий однородных пространств призвано решить упомянутые проблемы.

Однородные пространства допускают трехпараметрические группы движений, имеющие трехмерные пространственно- подобные орбиты. Наличие этой группы в общем случае еще не позволяет осуществить точное интегрирование даже простейших уравнений движения материи. Конструктивные методы интегрирования этих уравнений основаны на нахождении условий, при которых возможно осуществить полное или частичное разделение переменных. Известно, что данные условия для простейших классических и квантовых уравнений движения (уравнений Гамильтона-Якоби, Клейна-Гордона, Дирака) приводят к необходимости существования в пространстве наборов, состоящих из векторных и тензорных полей Киллинга (в случае полного разделения переменных - так называемые полные наборы). Очевидно, что для выполнения поставленных условий необходимо дополнить симметрию однородных пространств так, чтобы обеспечить требование частичного или полного разделение переменных в рассматриваемых уравнениях движения.

Штеккелевыми называются пространства, в которых уравнение Гамильтона

Якоби для незаряженной массивной частицы интегрируется методом полного разделения переменных. Теория полного разделения переменных в одночастичных уравнениях движения разработана усилиями многих исследователей, начинал с Фурье, Остроградского, Якоби. В настоящее время построение теории в значительной мере завершено для уравнения Гамильтона- Якоби, линейного скалярного дифференциального уравнения второго порядка, в том числе для уравнения Клейна-Гордона и волнового уравнения (см. работы В.Н.Шаповалова Дифф.уравнения.-1980.т.ХУ1, 10, 1864-1874; Сиб. мат. журнал. -1979. -20. -1117; Изв.вузов,Физика.-1978.-9.-18; а также наши работы [20-22]). Первый пример штеккелевого пространства, удовлетворяющего уравнениям Эйнштейна получен еще Шварщшильдом. К штеккелевым пространствам относятся также такие широко известные решения, как решения Кер-ра, Казнера, де Ситтера и т.д. (см., например, R.P.Kerr, Phys.Rev.Lett. 1963, -11, -5, -237.; E.Newman, L.Tamburino, T.Unti, J.Math.Phys. -1963, 4, -7, 915.; C.P.Boyer, E.G.Kalnins, Jr.W.Miller, J.Phys.A. 1981, -14, -1675.; Debever R., Mc.Lenaghan R.G., J.Math.Phys. -1981, -22, -8, -1711.)

Отметим уникальное свойство штеккелевых пространств - только для них существует возможность поставить проблему полного разделения переменных в квантовых и волновых уравнениях.

В диссертации решается задача о нахождении штеккелевых пространств, допускающих группу движений с трехпараметрической подгруппой, имеющей трехмерные пространственно-подобные орбиты. На этом пути нужно проинтегрировать векторные уравнения Киллинга, решения которых совместно с векторными полями Киллинга из полного набора образуют искомую группу.

Классификация основана на существовании в пространстве наборов, состоящих из 3 геометрических объектов (для штеккелевых пространств - векторных и тензорных полей Киллинга, для однородных пространств - векторных полей Киллинга) и в литературе (кроме наших работ) до настоящего времени не обсуждалось. Решение указанной проблемы позволяет выделить в явном виде множество римановых пространств, обладающих двумя уникальными свойствами - они однородны и в них можно проинтегрировать классические и квантовые одночастичные уравнения движения. Эти свойства можно, в частности, использовать для получения космологических моделей, построенных на пространствах Бианки, отличных от хорошо изученных в литературе типов (I и IX).

В работе найдены штеккелевы метрики однородных пространств, т.е. тем самым перечислены привилегированные системы координат в однородных пространствах.

Однородные пространства - хорошо известный объект исследований как в математике, так и в физике, причем наибольший интерес к ним в настоящее время проявляют исследователи, работающие в пограничных областях теоретической физики и математической физики.

Математическим аспектам проблемы посвящены следующие области исследования однородных пространств.

- Разработка математических методов исследования однородных пространств в теории гравитации (исследование дополнительных симметрий, формализм Аште-кера, гамильтонова формулировка, динамические системы и т.д.). (см. например: Богоявленский О.И. Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике. М.: Наука, 1980; Maciejewski A.J., Szydlowski М. J.Phys А31 (1998) 2031-2043; Capozziello S., Marmo G., Rubano C., Scudello P. Int. J. Mod. Phys. D6 (1997) 491-503; Demaret J., Querella L. Class. Quant. Grav. 12 (1995) 3085-3102; Gonzales G., Tate R.T., Class. Quant. Grav. 12 (1995) 1441; Schirmer J. Class. Quant. A

Grav. 12 (1995) 1099; Obregon O., Pullin J., Ryan M.P. Phys. Rev. D48 (1993) 5642-5647; Coussaert O., Henneaux M. Class. Quant. Grav. 10 (1993) 1607-1618; Ryan M.P., Waller S.M. gr-qc/9709012;)

Третью главу предлагаемой диссертации можно отнести именно к этой области исследований и здесь наше направление является пионерским. Оно представляет собой логическое продолжение наших предыдущих исследований, посвященных применению методов теории симметрии к одночастичным уравнениям движения и, как следствие, к геометрии римановых пространств.

Физическим аспектам теории однородных пространств посвящены работы в следующих областях.

- Построение на базе однородных пространств моделей Большого взрыва, исследование начальных сингулярностей и построение инфляционных моделей. Исследования однородных космологических моделей с целью выяснения механизма изотро-пизации Вселенной, (см. например: Byland S., Scialom D. Phys.Rev. D57(1998) 6065

6074; Chiba Т., Mukohyama S., Nakamura T. Phys.Lett. B408 (1997) 47-51; Bergamini R., Sedici P., Verrocchio P. Phys.Rev. D55(1997) 1896-1900; Rendall A.D. J.Math.Phys. 37(1996) 1763-1796; Chauvet P., Cervantes-Cota J.L. Phys.Rev. D52(1995) 3416-3423;)

- Исследование поведения однородных космологических моделей для различных современных теорий гравитации с целью выяснения общих закономерностей в картине развития Вселенной, (см. например: Cheng A.D.Y., D'Eath P.D. Class.Quant.Grav. 13(1996) 3151-3162; Cho H.T., Speliotopoulos A.D. Phys.Rev. D52(1995) 5445-5458; Aguirregabiria J.M., Feinstein A., Ibanes J. Phys.Rev. D48(1993) 4662-4668; Rugh S.E., Jones B.J.T. Phys.Lett. A147(1990) 353-359; King D.H. Phys.Rev. D44(1991) 2356-2368; Graham R. Phys.Rev.Lett. 67(1991) 1381-1383;)

В рамках этих направлений лежит часть результатов четвертой главы диссертации. Результаты, выносимые на защиту:

• Построена классификация изотропных штеккелевых пространств в задаче Вай-дья, т.е. найдены все несводимые друг к другу преобразованиями координат метрические тензоры и излучение, отвечающие уравнениям Эйнштейна и допускающие интегрирование уравнения движения пробной частицы в форме Гамильтона - Якоби методом полного разделения переменных.

• Построена классификация изотропных штеккелевых пространств электровакуума, т.е. найдены все несводимые друг к другу преобразованиями координат метрические тензоры и электромагнитное поле, отвечающие уравнениям Эйнштейна - Максвелла и допускающие интегрирование уравнения Гамильтона -Якоби для пробной частицы методом полного разделения переменных.

• Построена классификация изотропных штеккелевых пространств в теории Бран-са - Дикке (ТБД) со скалярным полем дилатонного типа, т.е. найдены все несводимые друг к другу преобразованиями координат метрические тензоры и скалярное поле, отвечающие уравнениям ТБД и допускающие интегрирование уравнения Гамильтона - Якоби для пробной частицы методом полного разделения переменных.

• Получена новая форма условий совместности конформно преобразованных уравнений Эйнштейна и на ее основе построена классификация конформно - штеккелевых пространств Эйнштейна, т.е. найдены все несводимые друг к другу преобразованиями координат метрические тензоры и конформный фактор, отвечающие уравнениям Эйнштейна и допускающие интегрирование уравнения эйконала методом полного разделения переменных.

• Построена классификация пространственно однородных моделей пространства-времени, допускающих существование полного набора и тем самым интегрирование уравнения Гамильтона - Якоби для пробной частицы методом полного разделения переменных.

• Доказана интегрируемость уравнений Эйнштейна - Вейля со спйнорным полем для однородных пространств всех типов по Бианки.

• Найдены точные решения для Вселенной Кантовского - Сакса с учетом квантовых поправок.

• Найдены точные решения для Вселенной Фридмана с учетом эффекта Казимира.

• Найдены точные решения для модели бранной Вселенной типа Рандалл - Сандру м.

Все полученные результаты и разработанные методы являются оригинальными. Для аналитических расчетов в диссертации использовались системы компьютерной алгебры "Reduce" и "Mathematica". Применялись программы собственной разработки для расчета геометрических величин и получения полевых уравнений. Отладка и первое применение разработанных программ проведено в работах [146], [161], [162]. Численные расчеты осуществлялись с помощью программ собственной разработки, тестирование и отладка которых проводилась по существующим аналитическим решениям, программы впервые применялись в работах [164], [183].

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения. Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цели работы, указаны научная новизна, научная и практическая значимость результатов работы, сделан краткий обзор по проблематике диссертации, перечислены результаты, выносимые на защиту, приведены структура и содержание диссертации.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем основные результаты, полученные в диссертации

1. Проведена классификация (найдены все классы решений систем полевых уравнений) изотропных штеккелевых пространств a) в задаче Вайдья (высокочастотное излучение) b) в теории Эйнштейна-Максвелла (электровакуум) c) в теории Бранса-Дикке (скалярное поле дилатонного типа)

2. Найдена новая форма условий совместности для конформно преобразованных полевых уравнений пространств Эйнштейна.

3. Проведена полная классификация изотропных конформно-штеккелевых метрик пространств Эйнштейна и конформно-плоских пространств.

4. Изучены условия совместности конформно-преобразованных полевых уравнений пространств Эйнштейна с неизотропными штеккелевыми метриками.

5. Найдены все штеккелевы метрики типа (3.0) пространств Эйнштейна.

6. Проведена классификация метрик однородных пространств, допускающих изотропные полные наборы интегралов движения с двумя и тремя векторами Киллинга.

7. Доказана интегрируемость уравнений Эйнштейна-Вейля (со спинорным полем) для всех типов однородных пространств.

8. Найдены решения для следующих моделей Вселенных а) типа Кантовского-Сакса с учетом квантовых поправок b) типа Фридмана с учетом эффекта Казимира c) в модели мембранной гравитации

Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований, гранты N96-01-00593, N96-02-26582, N97-02-16279, N98-01-10533, N99-01-00912, N00-02-17696, грант МинНауки 1998г., 1999г., грант Минобразования 2001г. Материалы диссертации опубликованы в работах автора [145]—[189].

Автор глубоко благодарен своему учителю доктору физ.-мат. наук, профессору В.В. Обухову за многочисленные плодотворные дискуссии, постоянное внимание, поддержку и помощь на всех этапах выполнения работы.

Автор признателен доктору физ.-мат. наук, профессору В.Г. Багрову за неизменную поддержку в работе, доброжелательную критику и помощь в решении организационных вопросов.

Автор благодарен доктору физ.-мат. наук, профессору С.Д. Одинцову за плодотворное сотрудничество и обсуждение ряда вопросов диссертации.

Автор благодарен за постоянную поддержку доктору физ.-мат. наук, профессору И.Л. Бухбиндеру, доктору физ.-мат. наук, профессору П.М. Лаврову, доктору физ.-мат. наук, профессору И.Л.Шапиро.

1. Stackel P. Uber die 1.tegration der Hamiltion — Jacobischen Differentialgleichung mittelst Separation der Variabeln // Habitations — schrift, Halle, 1891.

2. Stackel P. Uber die Bewegung eines Punktes in einer n—fachen Mannigfaltigkeit // — Math. Ann., 1893, 42, P.537—563.

3. Stakel P. Sur des problem de dynamique se reduisent a des quadratures // Comptes rendus hebd, S. Acad. Sci. (Paris), -1893, Vol. 116, P. 1284 - 1286.

4. Stakel P. Sur une classe de problemes de dynamique // Comptes rendus hebd, S. Acad. Sci. (Paris), -1893, Vol. 116, P.485 - 487.

5. Stakel P. Sur I'integration de I'equation differential^ de Hamilton // Comptes rendus hebd, S. Acad. Sci. (Paris), -1895, Vol. 121, P.489 - 492.

6. Stackel P. Uber die Integration der Hamiltionschen differentialgleichung mittelst Separation der Variabeln // Math. Ann. —1897.Vol. 49, — P. 145-147.

7. Eisenhart L.P. Separable systems of Stackel // Ann. Math. — 1934. — Vol. 35, — N 2, P.284—305.

8. Eisenhart L.P. Separable systems in Euclidean 3 space // Phys.Rev. — 1934. — Vol. 45, P.427—428.

9. Eisenhart L.P. Separation of variables in one particle Shrodinger equation 3 space // Proc. Nat. Acad. Sci. of USA. — 1949. — Vol. 35, — P.412—418.

10. Levi—Chivita T. Sulla integrazione della equazione di Hamilton— Jacobi per separazione di variabili // — Math. Ann., 1904, 59, 383—397.

11. Levi—Chivita Т. Sulle trasformazioni delle equazioni dinamiche II — Ann. Mat., 1896, s. 2, 24, 255—300.

12. Levi—Chivita T. Integrat. della equat. di Hamilton—Jacobi per separatione di variabili // Math. Ann., — 1908. Vol. 66. — P. 398—415

13. Miller W. Jr. Symmetry and separation of variables. Addison Wesley, 1977.

14. Boyer C.P., Kalnins E.G., Miller Jr.W. Separable coordinates for four—dimensional riemannian spaces // Comm. math phys. — 1978, — Vol. 59, — P.285—302.

15. Kalnins E.G., Miller Jr.W. Separation of variables on n—dimensional riemannian manifolds // J.Math. Phys., —1986, — Vol. 27, N 7, — P. 1721—1731.

16. Boyer C.P., Kalnins E.G., Miller Jr.W. Stackel—equivalent integrable Hamiltonian systems // Siam J. Math. Anal., —1986. —Vol. 17, N 4, —P. 778—797.

17. Boyer C.P., Kalnins E., Miller Jr.W. Separation of variables in Einstein's spaces // J.Phys. A.: Vath. Gen., —1981, —Vol. 14, P. 1675—1684.

18. Багров В.Г., Мешков А.Г., Шаповалов В.Н., Шаповалов.А.В. Разделение переменных в уравнении Клейна—Гордона.// Изв. вузов СССР, Физика, — 1973, — N 11, — С.66—72.

19. Morera G. Separazione di variabili nelle equazioni del moto d'un punto su un a superficie, — Atti della R.Acc. di Torino, 1980, 1, N 16, 276—295.

20. Forbat N. Sur I'inte gration par quadratures des ё quations de la Dynamique. These de Doctorat, Universites de Bruxelles et de Liege, 1943.

21. Agostinelli S. Sulle equazioni di Hamilton—Jacobi integrabili per separazione di variabili,— Atti del R. Intituto. Veneto Scienze, Lettere ed Arti, Anno acc., 1936, 96, p. II, 151—161.

22. Шаповалов B.H. Симметрия уравнений движения свободной частицы в рима-новом пространстве. —Изв. вузов. Физика. 1975, N 12, 14—19.

23. Havas P. Separation of variables in the Hamilton-Jacobi, Schrodinger and related equations. II Partial separation, -J. Math. Phys.,1975, 16, N 2, 2476-2483.

24. Якоби К. Лекции по динамике. Л. — М., ОНТИ, 1936.

25. Woodhouse N. Killing tensors and the separation of Hamilton—Jacobi equation, — Commun. Math. Phys., 1975, 44, 9—38.

26. Bianchi L. Lezioni sulla teoria dei gruppi cotinui finiti di transformazioni sperri, Pisa, 1918.

27. Кручкович Г. Классификация трехмерных римановых пространств по группам движений. УМН 9, вып. 1 (59), 1954, стр. 9.

28. Кручкович Г. О движениях в римановых пространствах, Матем. сб. 41 (83) :2, 1957, стр. 209.

29. Ландау Л., Лившиц Е. Теория поля, М.: Наука. 1988, 512 с.

30. Шаповалов В. Пространства Штеккеля, Сиб.мат. журнал, 1979, т. 20, 1117— ИЗО.

31. Яров-Яровой М.С. Об интегрировании уравнения Гамильтона—Якоби методом разделения переменных, П.М.М. — 1963. — Т. 27. — N 6.— 973—219.

32. Шаповалов В.Н. Симметрия и разделение переменных в уравнение Гамильтона—Якоби I., Изв. вузов СССР, Физика. —1978, — N 9, 18—24.

33. Шаповалов В.Н. Симметрия и разделение переменных в уравнении Гамильтона—Якоби II., Изв. вузов СССР, Физика. —1978, —N 9, 25—27.

34. Panagiotis М.Р. Separabille et integrales premieres des equations de Klein—Gordon et Hamilton—Jacobi en espace courbe, Phys. Mag., -1977. -V. 7. N 1, P.41-46.

35. Шаповалов В.Н. Симметрия и разделение переменных в линейном дифференциальном уравнение второго порядка I., Изв. вузов СССР, Физика, -1978, -N 5, 116—122.

36. Шаповалов В.Н. Симметрия и разделение переменных в линейном дифференциальном уравнении второго порядка II., Ив. вузов СССР, Физика, —1978, — N 6, 7—10.38