Инвариантно-групповое исследование гравитационных полей с источниками гидродинамического типа тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ИДЕАЛЬНАЯ ЖИДКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВАХ-ВРЕМЕНАХ,

ДОПУСКАЮЩИХ ГРУППЫ ГОМОТЕТИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ . Ю

§1. Пространства-времена с группами. гомотетичестких движений. Обзор литературы . Ю

§2. Теорема об условиях изометрического движения идеальной жидкости в пространствах-временах, допускающих группы гомотетических. преобразот ваний.

§3. Группы гомотетий (5^. с инвариантной подгруппой с времениподобным. вектором изометрического движения

§4. Точные решения уравнений-Эйнштейна в пространствах-временах "V^ , допускающих просто-транзитивные группы гомотетического. движения

§5. Точные решения уравнений Эйнштейна в пространствах-временах -VJ , допускающих группы . гомотетических движений ( г > 4)

ГЛАВА П. ИЗОМЕТРИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ.ИДЕАЛЬНОЙ. ЗАРЯЖЕННОЙ ЖИДКОСТИ-.

§б. Идеальная, заряженная жидкость. Обзор литературы

§7. Теорема об условиях изометрического движения идеальной заряженной жидкости в пространст-, вах-временах, допускающих группы движений

§8. Группы движений . с инвариантной подгруппой . с времениподобным вектором Киллинга.

§9. Точные решения уравнений Эйнштейна-Максвелла в пространствах-временах, допускающих просто. транзитивные группы <5^ движений

§10. Точные решения уравнений Эйнштейна-Максвелла в пространствах-временах , допускающих. группы движений <5^ ( > 4).

ГЛАВА Ш.ИЗОМЕТРИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ" С .МАССИВНЫМ СКАЛЯРНЫМ ПОЛЕМ.

§11. Скалярные поля.в общей теории относительности. Обзор литературы

§12. Связь симметрий гравитационного поля с симме-триями идеальной жидкости и массивного.ска лярного поля

§13. Условия изометрического движения идеальной жидкости с массивным скалярным полем в пространствах-временах, допускающих группы движений.

§14. Группы движений с инвариантными подгруппами (з ^ , , с временипо-. добным вектором Киллинга.

§15. Точные решения уравнений Эйнштейна-Клейна-Гордона в пространствах-временах "VJ , допускающих простотранзитивные группы движений с инвариантной подгруппой

ГЛАВА 1У. ИЗОМЕТРИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ДВЯКОМПОНЕНГНОЙ. ИДЕАЛЬНОЙ ЗЩ КОСТИ . НО

§16. Двухкомпонентные, жидкости. Обзор литературы . НО

§17. Теорема об условиях изометрического движения двухкомпонентной идеальной жидкости в пространствах-временах, допускающих группы движений с функционально независи-. мыми векторами Киллинга

§18. Группы движений с двумерными инвариантными абелевыми подгруппами с времениподобными векторами Киллинга

§19. Точные решения уравнений Эйнштейна для двухкомпонентной идеальной жидкости в пространствах-временах "Y^ , допускающих простотранзитивные группы.движений

В работе рассмотрен круг вопросов, связанный с применением тензорных и инвариантно-групповых методов исследования и классификации полей тяготения с определенными типами источников по их инвариантным свойствам и характеристикам (идеальная жидкость, заряженная идеальная жидкость и т.д.)*

Актуальность данного подхода к рассмотренному в работе циклу задач диктуется следующими обстоятельствами. Ввиду нелинейности уравнений Эйнштейна гравитационного поля, создание аппарата, с помощью которого можно было бы осуществить их непосредственное интегрирование в смысле задач математической физики для возможных типов физических источников, является сложнейшей проблемой теоретической и математической физики. Поэтому на первом этапе, не прибегая к непосредственному интегрированию, желательно указать инвариантные характеристики полей и их источников. Данная постановка вопроса существенно облегчает достижение конечной цели, так как в дальнейшем все рассмотрения ведутся для выделенных инвариантным способом классов полей тяготения. .

Подобное направление, хотя и имеет математическую направленность, оказывается весьма ценным при анализе свойств гравитационных полей и их физической интерпретации. Подтверждением сказанного является возникновение в рамках указанного направления в 1950 - 1970 годах-исследований А.З.Петрова и его учеников [JE, 2, 3,А, 5, б], где были, разработаны и.полу-чены инвариантные характеристики решений уравнений поля, допускающих группы изометрических, конформных, аффинных и проективных движений.

Из кинетической теории газов известно, что равновесное распределение идеального газа частиц с ненулевой массой покоя, так же как и релятивистского газа массивных заряженных частиц, возможно только в том случае, если пространство-время допускает группу изометрических движений с времениподоб-ным вектором Киллинга, при этом макроскопическое движение газа происходит в направлении этого вектора. В случае же частиц с нулевой массой покоя равновесное распределение возможно только когда пространство-время допускает группу конформных преобразований, а макроскопическое движение газа происходит в направлении времениподобного вектора этой группы,[8], [9]. В обоих случаях тензор энергии-импульса газа имеет структуру либо тензора энергии-импульса идеальной жидкости, либо тензора энергии-импульса заряженной жидкости. Поэтому естественно возникает задача об исследовании гравитационных полей, создаваемых жидкостью, макроскопические движения которой являются либо изометрическими либо конформными (в простейшем случае - гомотетическими).

С другой стороны, fltia/t^gV Л [10], рассматривая цикл Карно, действующий между двумя бесконечно близкими элементами объема, показал, что жидкость, находящаяся.в состоянии теплового равновесия и твердотельного движения, обладает свойством.изометричности.

Научная новизна и практическая ценность работы. Проведено систематическое изучение свойств идеальной жидкости, заряженной идеальной жидкости, идеальной жидкости со скалярным полем, а так же двухкомпонентной жидкости в пространствах-временах, допускающих, группы <5^. изометрических и гомотети-ческих движений, при условии, что вектор скорости жидкости коллинеарен времениподобному вектору Киллинга. Доказан ряд теорем о связи симметрии гравитационных полей с изометрическими движениями вещества. Оказывается, что макроскопическое движение жидкости может происходить только в направлении вектора Киллинга инвариантной подгруппы группы <5^ или, в частности, вектора центра группы. Уравнение состояния жидкости при этом не может быть совершенно произвольным, а подчинено некоторым условиям. Так, в случае идеальной жидкости в пространствах-временах с группами гомотетических движений возможно только баротропное уравнение состояния.

На основании доказанных теорем, для пространств-времен, обладающих высокой симметрией (с группами , действующими на "VJ и выше) проведено полное исследование с использованием уравнений поля и найдены все точные решения этих уравнений. Полученные результаты, на наш взгляд, могут оказаться полезными при исследовании равновесных процессов, применительно к задачам звездной динамики и астрофизики, а так же нахождении новых точных решений уравнений поля.

Диссертация состоит из Введения, четырех.глав, Заключения и списка литературы, включающего 136 названий.

Основные результаты данной диссертационной работы можно сформулировать следующим образом.

I. Рассмотрены пространства-времена с идеальной жидкостью, допускающие группы гомотетических движений, при условии, что вектор скорости жидкости направлен вдоль времениподобного вектора группы.

Показано, что вектор является вектором Киллинга и; соответствует инвариантной подгруппе группы <5^. , а жидкость имеет баротропное уравнение состояния j? •=" ec/rSZ .

Указаны пространства-времена, допускающие группы гомотетических движений, содержащие, инвариантную.подгруппу с времениподобным вектором Киллинга. В.случае групп .действующих на , а так же групп более высокого порядка, найдены все точные решения уравнений поля Эйнштейна.

П. Исследованы макроскопические движения идеальной .заряженной жидкости в предположении, что вектор скорости жидкости направлен вдоль времениподобного вектора Киллинга Ж* группы движений с•

Показано, что этот вектор Киллинга является вектором инвариантной подгруппы группы движений ,.а плотность энергии р , давление р жидкости л плотность зарядов являются Функциями Ci'tc') и » рДе ^с' ~ - 4-потенциал электромагнитного поля. Выделены все пространства-времена, допускающие группы движений с времениподобным вектором Киллинга инвариантной подгруппы. В пространствах-временах, допускающих простотранзитивные группы движений, а так же группы более высокого порядка, найдены все точные решения системы уравнений Эйнштейна-Максвелла.

Ш. Исследованы изометрические движения идеальной жидкости с массивным скалярным полем. Показано, что давление р , плотность энергии р жидкости и плотность скалярного заряда

6~ являются функциями скалярного поля Cf и нормы време-ниподобного вектора Киллинга Jr« , в направлении которого происходит макроскопическое движение жидкости, В зависимости от вида функциональной связи р , р и б" от ^ и вектор Киллинга тр' должен быть либо вектором центра группы, либо вектором одномерной инвариантной подгруппы, либо, одним из векторов инвариантной подгруппы .^ или , действующей на двумерной поверхности транзитивности •

Указан алгоритм построения точных решений системы уравнений Эйнштейна-Клейна-Гордона для идеальной жидкости со скалярным полем, либо исходя из известных решений уравнений гравитационного поля в пространствах Эйнштейна, допускающих группы движений, либо исходя из известных решений уравнений Эйнштейна только для идеальной жидкости, находящейся в состоянии изометрического движения. С использованием .классификации римановых пространств "V^ по труппам движений, выделены пространства-времена, допускающие группы движений с указанными выше свойствами. В случае, когда группа обладает либо "времениподобным центром", либо одномерной инвариантной подгруппой с времениподобным вектором.Киллинга, для пространств-времен с группами (j^ ( t г? 4), действующими на , найдены,все точные решения полевых уравнений.

1У. Исследована двухкомпонентная идеальная жидкость. Показано, что если пространство-время У^ с двухкомпонент-ной жидкостью допускает группу движений с Функционально независимыми векторами Киллинга, а макроскопическое движение каждой компоненты происходит в направлении своего време-ниподобного вектора Киллинга группы , то эти векторы являются векторами двумерной инвариантной абелевой подгруппы группы <5>t • Выделены пространства-времена, допускающие группы движений с такими подгруппами. В . с простотранзи-тивными группами движений, а так же с группами более высокого порядка найдены все точные решения уравнений Эйнштейна.

В заключение автор выражает глубокую благодарность научному руководителю.проф. В.Р.Кайгородову и своему научному консультанту доц. Г.Г.Иванову за постоянное внимание и поддержку при выполнении данной работы, а так же всем членам кафедры теории относительности и гравитации Казанского университета, принимавшим активное участие в обсуждении полученных результатов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Петров А.З. Новые методы в общей теории относительности. М., Наука,.1966.

2. Петров А.З., Кайгородов В.Р., Абдуллин В.Н. Классификация полей тяготения общего вида по группам движений. I. Известия вузов. "Математика", №6, 1959, с.118.

3. Кайгородов В.Р. О классах пространств.Эйнштейна с группами движения . Уч.зап.КГУ, 123, кн.12, Казань,1963, с.86.

4. Билялов Р.Ф. Конформные.группы преобразований в полях тяготения. ДАН СССР, 152, Ю, 19.63,. с. 618.

5. Аминова А.В. О полях тяготения, допускающих группы проективных движений. ДАН СССР, 197, М, 1981, с.806.

6. Аминова А.В. Группы проективных и аффинных, движений в пространствах общей теории относительности. I. -Труды геометрического семинара им. проф. Г.Ф.Лаптева. 6, М., 1974, с.317.

7. Крамер Д., Штефани.Х., Мак-Каллум М., Херльт Э. Под редакцией Шмутцера Э. Точные решения уравнений Эйнштейна. М., Энергоиздат, 1982.

8. Черников Н.А. Равновесное распределение релятивистского газа. Препринт P-II59, Дубна, 1962, с. 1-23.

9. Иванов Г.Г. Изометрические движения идеальной жидкости и их связь с симметриями гравитационных полей. В кн.: Гравитация и теория относительности. Казань, Изд-во КГУ,1980, вып. 17, с. 109.

10. Иванов Г.Г. Стационарные макроскопические движения релятивистского газа и их связь с симметриями гравитационных полей. Известия вузов. Физика, №6, 1979, с.15.

11. Скрипкин В.А. Разрывные центрально-симметрические движения ультрарелятивистского газа в ОТО. "Ж. прикл.механ. и техн. физики", I960, № 4, с.З.

12. Об одном классе автомодельных движений .ультрарелятивистского газа. ДАН СССР, 1961, 136, }Ь 4, с.791.

13. Гурович В.Ц. Об автомодельном движении релятивистского газа в сопутствующей системе координат. ДАН СССР, 1966, 169, }Ь I, с.62.

14. Сибгатуллин Н.Р., Динариев О.Ю. Автомодельные движения фотонного газа и модель Фридмана. 1ЭТФ, 1977, 73, № 5, с.1599.

15. Богоявленский О.И. Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике. М., Наука, 1980.

16. Шикин И.С. Исследование автомодельных полей тяготения в. пространстве-времени с плоской симметрией. ЖЗТф, 1981, 81, }Ь 3, с.801.19. %>. 7. 7/ Se<?/- t S*/? <2. се "бе/т?eS с? /г? i. <?g1. Я*20. £ # P. t/ Spay&atfify бо/йя г?Ж

17. G'tcrcTc't. " /978, л/8, б'ГЗ^.

18. JUc. 3. & „ //&S7?o 7?/4<£ zCc /ho^'ortS23. Л/с. #A „ sZaZfcesrS4a/??a^e'tfec ^otr^ c's? 1. PA*,?, " S 69, <o.

19. IMac'x/vcy/t 7., Z*ce WC.W., S. 7.1. Cog/ri&if&^ceg Use-a

20. Э *г yu „ /Z-e-^CB-T?. &/7&C0, л/з, zss/о.2 6. J/c. Iг? tefA С. /3. „ fpjrsh ^^ Sb С ^ cn (fc^ecA? sfrascwetftf "rev- a" ,л/4;

21. WeS$or? /y б^-еж'ссуе te&r&cSc'S&ch сеъаъе/г c'carf : a/7 az?1. USctfA Z?c.'<?31. 0f c/Z/eSc/Z ezfzfc<7бе c/pefeeJigtnfcGs? S'o^e S'e^7^1. Ъ/-7<? 'of fx ^f. " /?<?<£, аз,ъг.7Ья?с£а fc, „ fiat/co-Se<f</- fcs&cifh'tr „ . fifyf. " ^ л/1. ZoZS/o.

22. ТЬ^г^ А?., „ РангU^if^ Set?*/'- иТ^г-ггff tPt&fnr. (//реет:. tPAcfg. cStsp/э if,1. Я, /V/, &9S/0.

23. G?v<*€r*t. " УУ/т^ л/9, ^ЗГ/о.

24. Халатников И.М. Магнитная вселенная.с материей. Письма в редакцию ЖЭТф, 1967, 5 Ъ 6, с.195.40. Г S., „c^tepcspg /??<£>&огзs ifusO a/e/vr&s?

25. Шикин И.С. Исследование, класса полей тяготения.ддя заряженной пылевидной сферы. ЗЗЭТф, 1974, 67, }Ь 2, с.433.

26. Хлестаков Ю.А. Три типа.решений уравнений Эйнштейна-Мак. свелла. 13Т$,. 1975 , 68, № 2, с.387.

27. Павлов Н.В. Заряженные пылевые шары в общей теории относительности. I. Квадратуры уравнений Эйнштейна. Изв.вузов. Физика, 1976, №4, с. 107.

28. Павлов Н.В., Бронников К.А. Заряженные пылевые шары в общей теории относительности. П. Сингулярные и физически-допустимые модели. Изв.вузов. Физика, 1976, №7, с.106.

29. Бронников К.А., Павлов Н.В. Релятивистские распределения заряженной пыли с плоской, сферической и псевдосферической симметриями. "Дискусс. вопр. теории относит, и гравитации", М., 1982, с.59.

30. Анчиков A.M., Колпаков Г .В . О поле заряженной жидкости с плоской симметрией. В кн.: Гравитация и теория относительности. Казань, Изд-во КГУ, 1978, №14-15, с.143.47. ^бс/пп /Z. J?, j Tuppeoz & O.j „ с£c?g>g ЗЗестяс/п

31. C&g/v? о ^(Р&с'с. or ^ && e'^ed^to •го4 s /oc?t.zf У,48. Tcz/opet C>. ^ „ z^ei

32. SW? Гсрреъ Я. О; „ Type F, Ш ~a л/а, /эаъ*^ ЭР?,*.

33. Д/еAcre's? yU. J. , „ //&/??е/?ес>с/£>n MY. Jccrc/. Sc.с ?fa^s, ci S3 p.

34. Я&сГсге М-, Va-осУ^сь At?.,- е essrccfetSe ^/i'-tf U/c £/? -ec^1. ТпЫсо), J26?; 36; a/<,61. /l&cTc>-e мм j „ о ^o^/ $■£&бгс Cesfno^ofbccr? tPogc/iZco/? /Zcnftet c/?7* Ptys * £967, V<5, <56 3,0.62. , uJ? <S*Safeif- if*cngtec/?- jUavcUse-ff e^tsaf .

35. Z^/v/reffy jf.y^ „ dc>/7?e (s erf* (Tetses U/cYA Со/рс/ж&сГстСу ^ „ /£<?сК %).•64. „ оfeo-Setfc^e /77&&0/7S с if/fTg tf/pe eTfcxf^fcsc'af65. ^ ^ (fp/7 rfAe Spzc'e- Tfc/r?e> /эеъa. cXc'gcet/g co^fresfc^fe

36. Xsc6/? сЪ^срс^е {feetftcc-c?f c?0s?afescZ?ccrc г?<у zrspczf С&г?^ угтггг^/ге&Ъ /PetzsTP-et? -^fc' -ifс

37. Jtrn. Inst. Pocncate", 297% JbO} /7 <,

38. JsgejkcLt 7:Я., „ f ^еЛееХсcTcgCocsg^ e&sT?/? т eSS'c.' z ^ zfT?

39. С S7 '/7 (Z'd^CZ^'Tzc'cTG-l?гiSAe ^/гя-ч^еа? сЪ^ с'/4? ^~acr^t" Я; л/ a J68. JspeAat & „ Я*- if с те /о е<ъ/7?-е сг. у nse&ttfcercS&ct 7/аесГс? " & 4 7 ,1. У/,

40. Мухамедов A.M. О свойствах симметрии заряженной жидкости в ОТО. Изв.вузов. Физика, 1978, № II, с.113.

41. Jz^T^co/y&scу а/ра^есяГ czZcsfT? freezer9, Л,79. tfoSP, MM, Ж/С.; „

42. C&tf&p J^/^e^lr С. С т^-еся? tzfogl? ifiOr?

43. Cr'r? Ozc^c'c/ to-fer^co/v Cf7fee?, л/* /О.80. у./г.; /Ссг?fc'Cg " „ J^g&tO/pAyf. СХ9 J /Оя-ъг? jT; S 8 /Э.81. Д. /С., <3$e „ ^Xatgeo^

44. Синг Дж. Общая теория относительности. М., ИЛ., 1963.

45. О & $ , и л/есо А о/т? c^esv^&csg Seder & or? sgTsrs/ecW's ef&aSc'orrg usctZAu/c LfLf

46. Г/. JhcrcS tf/cfj? ^W " /9651 /t/X

47. Z.J ft tfejrofe/teecrs fotfes CP^7. cause Gp&br&ervJ7 Дг/Д ^xj

48. Шикин Г.Н. Нестационарные решения автомодельного типа системы уравнений Эйнштейна и безмассового скалярного поля в ортогональной метрике. ,В кн.: Проблемы теории гравитации и элементарных частиц. М., Атомиздат, 1975, № 6,с.38.

49. Зайцев Н.А., Шикин Г.Н. Плоско-симметричные внутренние решения .уравнений общей теории относительности в присут-. ствии скалярного и электромагнитного полей. В кн.: Проблемы теории гравитации и элементарных частиц. 1979, МО, с.50.

50. Дородных B.C. Поле тяготения сферической скалярной волны. "Дискусс. вопр. теории; относительности и гравитации", М., 1982, с.69.

51. Коркина М.П. Сферически-симметричные решения уравнения Эйнштейна при наличии конформно-инвариантного скалярного поля. Изв.вузов. Физика, 1978, № 12, с.80.

52. Бронников К.Л., Шикин Г.Н. О взаимодействующих полях в общей-теории относительности. Изв.вузов. Физика, 1977, № 9, с.25. . .

53. Бронников К.А., Шикин Г.Н. Взаимодействующие поля с учетом гравитации: пример точного решения. В кн.: Проблемы теории гравитации и элементарных частиц. М., 1978, № 9,с.55.

54. Шикин Г.Н. Взаимодействующие скалярное и электромагнитное поля: самосогласованные плоскосимметричные решения. .

55. В кн.: Проблемы теории гравитации и элементарных частиц. М., 1980, II, с.30.-

56. Радынов А.Г., Шикин Г.Н. Взаимодействующие скалярное и электромагнитное поля с учетом гравитации: статические и аксиально-симметрические решения.- "Дискусс. вопр. теории относительности и гравитации", М., 1982, с.66.

57. Кречет В.Г., Шикин Г.Н. Скалярное и электромагнитное поля в метрике Казнера: взаимодействие как механизм изотропи-зации.I., Классический подход. Изв.вузов. Физика, 1981,№ 7, с.67. .

58. Штейнград З.А. Эволюция классических скалярных и векторных полей в пространствах с.векторами Киллинга. ДАН СССР, 1978, 243, № 4, с.913.97. tf0e/?seifcte<z;s Ст J „1. TZ/etxt. /9j yл/сггбу „ j*^ gecr. * /9^9,3<£ Эр. 99. ,1. J™. tfty* * /9?^335/0.

59. Aao X&., 72usa*t rMj Л ^ „ fc&rseazAc.-? g0<£/7£*:e?/?S c/et aocs/Ptfr^cz? cfi'-edcdf cfet ^c'/v&if&e/v -/Z&Se./? dtcC. ^tzf Л. '' ^ tflrt/?.no. ziojj.A., /гсюуау л*,*** /г. м, „ j?c&?ss

60. Ptys. /ZeeК <2>: Ponzt. ^e'etfdf",cLSL , 3/3&/Э.

61. C/?GTa cfy C/?., M^ecTo/? S.j „proofed' us о £6 <^seacS~c a*J /a, за115. j t/ g/pAetc&crif&g' fj'/f?-•бс'ая&ъу derates? со/т? if c>?ec£ есЪ1. CKTttSlS /Cd'&c's? ~ ^tftyf. " SPSS, aZ, A/Sj ffd^fO.117. а/Uc. I/rifesA „ /Treatedgjf, л/>.

62. J/c. thpfde* 7 Ж, „ d&^tccr <? use.'if A J£ .119. 7. P.; „ ^/et^- ЮЬеАе^т

63. Ж; „ Z/if-et/pcrf g^tc/a^mcfce&Ss * л/3030/O.

64. Л/., y/ ёАаъре egc/eofs t'/?

65. A , S^SAe^CCca-^^y e-^tc'C cTc'123. O^sa/?fat*. /f/S, /s J124. гбе-бе feet? „ ЛлсГе&ееуос'с us с- /^■e^^^aTf -cft&cbfecX <Z>: arm* \1. ЗА; V/,125. ^е-^е^се^т1. Z2L , SaSyo.126.

66. Даишев Р.А. Идеальная заряженная жидкость в пространствах с группами движений. В кн.: Гравитация и теория относительности, Казань. Изд-во КГУ, 1980, вып.17, с.102.

67. Даишев Р.А. Двухкомпонентная идеальная жидкость в пространствах, допускающих группу движений. В кн.: Гравитация и теория относительности, Казань. Изд-во КГУ, вып.17, с.97.

68. Даишев Р.А. Идеальная заряженная жидкость в пространствах с группами движений. Казань, 1981. 28 с. Рукопись представлена Казанск. ун-том. Деп. в ВИНИТИ 15.10.19814807-81 Деп.

69. Даишев Р.А. Двухкомпонентная идеальная жидкость в пространствах с группами движений. Казань, 1981. 28 с. Рукопись представлена Казанск. ун-том. Деп. в ВИНИТИ 15.10. 198I № 4805-81 Деп.

70. Даишев Р.А. Идеальная жидкость в пространствах с группами гомотетических движений. Казань, 1982. 28 с. Рукопись представлена Казанск. ун-том. Деп. в ВИНИТИ 22.09.19821. Ь 4928-82 Деп.

71. Даишев Р.А. Изометрические движения идеальной жидкости с массивным скалярным полем. Казань, 1983. 46 с. Рукопись представлена Казанск. ун-том. Деп. в ВИНИТИ 23.06.833426-83 Деп.

72. Даишев Р.А. Изометрические движения идеальной заряженной жидкости, У1 Советская гравитационная конференция. Тез. докл. Москва, 1984, с.83.

73. Даишев Р.А. Изометрические движения идеальной жидкости с массивным скалярным полем. У1 Советская гравитационнаяконференция. Тез. докл. Москва, 1984, с.85.

74. Даишев Р.А. Идеальная жидкость в пространствах с группами гомотетических движений. УШ Всесоюзная конференция по современным проблемам дифференциальной геометрии. Тез. докл. Одесса, 1984, с.85.

75. Даишев Р.А. Однородные решения уравнений Эйнштейна с идеальной жидкостью. Украинский физический журнал, W. 8, 1984, с.1163.