Операторы и уравнения на функциональном многообразии диффеоморфизмов, связанные с геометрическими методами в механике тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ. . . . . стр.

ГЛАВА I. СПЕЦИАЛЬНЫЕ КЛАССЫ РАССЛОЕНИЙ И ОПЕРАТОРОВ

НА ГРУППАХ ДИФФЕОМОРФИЗМОВ.

§ I, Предварительные сведения о функциональных многообразиях диффеоморфизмов.

§ 2. Векторные расслоения на группе диффеоморфизмов дубля многообразия с краем . . . ,.

§ 3. Оператор ортогонального проектирования С/

ГЛАВА II. НЕИНТЕГРИРУЕМАЯ СВЯЗЬ НА ГРУППЕ ДИФФЕОМОРФИЗМОВ ДУБЛЯ И ЛАГРАНЖЕВА ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ДЛЯ МНОГООБРАЗИЯ С КРАЕМ

§ I. Оператор J'pf0^ и его свойства

§ 2. Проектор Р.

§ 3. Построение связи 2.

§ 4. Лагранжева гидродинамическая система идеальной несжимаемой жидкости, подчиненная связи 2 на 0 ju I М).

ГЛАВА III. РЕГУЛЯРНОСТЬ РЕШЕНИЙ ЛАГРАНЖЕВОЙ ГЙДРО -ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ И ТРАЕКТОРИЙ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ГРУППАХ ДИФФЕОМОРФИЗМОВ.

§ I. Регулярность решений лагранжевой гидро динамической системы идеальной несжимаемой жидкости на многообразии с краем и произвольными внешними силами

§ 2. Механические системы на группах диффеоморфизмов и регулярность их траекторий

ГЛАВА 1У. ДВУХТОЧЕЧНАЯ "КОНЦЕВАЯ" ЗАДАЧА ДЛЯ ЛАГРАНЖЕ -ВОЙ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИД

КОСТИ.

§ I. Двухточечная "концевая" задача для решений лаг-ранжевой гидродинамической системы идеальной несжимаемой жидкости

§ 2. Двухточечная "концевая" задача для лагранжевой гидродинамической системы вязкой несжимаемой жидкости.

В течение двух последних десятилетий возникла довольно обширная литература, посвященная изучению группы диффеоморфизмов и связанных с ней объектов. Историю вопроса можно проследить по работам Дж.Иллса [251 , С.Смейла и Р.Абрахама (см. [25] , t3Ip, Дж. Лесли [55] и др., в которых исследуется многообразие отображений класса С * ; Х.Элиассона ^54], Р«Пале [671, где определено гильбертово многообразие отображений соболевского класса Н ^ • Дифференциальная структура на группе ?) С М") соболевеких. Н Ь -диффеоморфизмов компактного многообразия И I без края ( S > ^ Ы i'm М + О впервые была определена Х.Омори [61 ] и Д.Эбином [50} . В работах [44], [.45 3 введена структура С~- дифференцируемого многообразия на группе

Н 6 - диффеоморфизмов компактного многообразия с краем, в том числе, на группе Н*- диффеоморфизмов М , сохраняющих рима-нов объем или симплектическую структуру.

Как уже говорилось выше, столь пристальное внимание к многообразию диффеоморфизмов объясняется, во-многом, тем, что оно является подходящим конфигурационным многообразием при лагранжевом описании гидродинамики, использующем современные геометрические методы в механике. Соответствующее дифференциальное уравнение второго порядка на многообразии диффеоморфизмов мы будем в дальнейшем называть лагранжевой гидродинамической системой. Отметим, что здесь форма кинетической энергии задается слабой рима-новой метрикой, и это усложняет проведение аналогии с хорошо развитыми конечномерными теориями.

Лагранжева гидродинамическая система, описывающая течение идеальной несжимаемой жидкости на компактном римановом многообразии (возможно, с краем) построена в работах [441 ,[45] »

463 . Построение аналогичных систем, учитывающих вязкость, сжимаемость дано в работах [40 - 41] , [44 - 45] , [52 - 53] . Рассматривались также механические системы на группе диффеоморфизмов, основанные на использовании римановой метрики £ см., например, [ 52 - 53}).

В настоящее время продолжается интенсивное изучение различных свойств многообразия диффеоморфизмов и уравнений на нем; назовем только работы Х.Омори [62 - 66} , М.Кантора [47] , Д.Ше-валле [48J , Н.Наканиси [60] , А.Тромба [71] , Р.Чернова [49], А.М.Лукацкого [32 - 34] .

В диссертационной работе изучаются некоторые операторы и расслоения на группах диффеоморфизмов, связанные с геометрическими методами в механике. В частности, исследуются упомянутые выше два класса дифференциальных уравнений на этих многообразиях, важные для приложений. Именно, один класс - лагранжева гидродинамическая система несжимаемой жидкости, другой - бесконечномерные механические системы, у которых кинетическая энергия порождается сильной римановой метрикой.

Работа состоит из четырех глав. В первой главе рассматриваются специальные классы векторных расслоений на группах диффеоморфизмов и действующих в них операторов, связанных с переходом от многообразия М с краем к его дублю И •

В § I дается краткая сводка исходных результатов, определений и обозначений. Пусть ЛК ( М) - расслоение к-форм на многообразии М , CX,VJ = *( X Л*У)/здеоь 7г - обычный оператор "звездочка", сопоставляющий к-форме (К)-К)-форму (см., например, [38]) /; IU -некоторая форма риманова объема на М , гладко продолженная с М . Обозначим Н С Л*С М)) ~ гильбертово пространство Н -сечений Л* М), оЫ О ; с М) -подмногообразие

Ъ\ М) -диффеоморфизмов, сохраняющих риманов объем JU . (X)Y)e везде означает Н ° -скалярное произведение: ( X, V)e - J L X , YJ М (с* w) . Й

В § 2 исследуется структура векторного расслоения Ф (А с И)) над 53 с М) С здесь и далее -целое, с^ < S) : , о/ * ^ ТТ J oL

ФсЛ с M))-U „ Ф. М с H)h где слой ^ получен правым сдигом Н с А С М)") в точку ф1 J XeHlA\Mn\. t С ^ £ J £

Определяется векторное расслоение (

Л с м над

5Dc И): где и слой Ff А > в точке Ь 7 получен правым сдвигом в точку ^ €: подпространства гт -сечений с Ц ) равных нулю на М. :

Доказано, что сужение FcA^) f 2)уч С М) является гладким векторным подрасслоением Ф* М) ^теорема 1.2.1) .

В § 3 на ф^с AKi М>) t 0м С М ) рассматривается сильная риманова метрика {. > J , полученная правыми сдвигами следующей билинейной формы С , )е : f X,Y)l = С V)e + где X , И с А С М ) ) . Построено нормальное к F с Л f

D'V С М) относительно римановой метрики С ,") правоинвари-антное векторное подрасслоение Lr /с :

Основным результатом § 3 является теорема 1.3.2, где показано, что правоинвариантный ортогональный проектор у С- ^ сохраняет гладкость элементов A^fZX. Проектор J к в слое над единицеи индуцирует оператор [ к продолжения к-форм с М на Щ , сохраняющий их гладкость.

Во второй главе показано, что для случая идеальной несжимаемой жидкости лагранжеву гидродинамическую систему на 2^/М), где И -многообразие с краем, можно рассматривать как лагранжеву гидродинамическую систему на ЪрС М ) , где м

- дубль г1 С то есть многообразие без края) , подчиненную определенной связиTjlj. Здесь использовано понятие связи в смысле работ [18] , £19] , [20] , где оно дано для конечномерных многообразий. В нашем слур г—» чае связь I lZj в смысле Вершика - Фаддеева задается как касательное расслоение некоторого векторного подрасслоения ,. в

ТЮ^ч С В дальнейшем подрасслоение JZj также будем называть связью ^отметим, что ■ ~ ■ неинтегрируемое распределение на Ю рл С М)) . Для построения <HL> и доказательства глад}| * г*— кости , ~~ . как подрасслоения в I ajju С И) требуется детальное изучение подрасслоений и операторов в Gr , порожденных правыми сдвигами внешнего дифференцирования d и кодифференцирования 5 . Опишем подробнее эти операторы. Обозначим ^ " касательное отображение к правому сдвигу , R, у (д) - Э ° £ , (0,1$ 05( МО и пУСть X ФЬс А "с МО М) -каноническая проекция. Определим

J : Ф5с h\ МО —- фъ-\Л*сНО по правилу:

TR °d°TR зеосГ1

Аналогично определяется (5" .

Н-*"' J Hf^ • В § I изучаются свойства оператора J °ol ° J При этом строится подрасслоение

W4 в

G1 на котором J5 °с1 ° J* '> ~М/ S —Суп US ° ol

-биективно, и оператор Q5*' cm 3 ° d ° 1 -v "W^ ; обратный к 3 Ь *<> сЛ о ZJ * на его образе. В утверждении 2.2.5 показана гладкость QS .

В начале § 2 определяется гладкий оператор Г^ - некоторый конечномерный проектор I М) на подрасслоение в (3- ^к , полученное правыми сдвигами пространства Т где - конечномерное пространство гармонических полей на 14 , касательных к краю. Затем строится оператор Р^ и изучаются его свойства. Пусть Ре - сужение Р 6 в слой над единицей €~ Cd pf , <Of С М) - подпространство Н6сАК) козамкнутых касательных к краю к-форм на М , С -оператор сужения к-форм с М на М. . В основной теореме 2.2.2 показано, что суперпозиция J *0 * ' Н с Л с Mo ^ ^ -t с М) дает Ц ° -ортогональную проекцию,

В § 3 на основе полученных ранее соотношений производится построение гладкого подрасслоения L—> в ~T?)ju ) (утверждение 2.3.2 ) и гладкого оператора проектирования Р , теоремы 2.3.1, 2.3.2*) ; тем самым завершается построение связи, соответствующей рассматриваемой лагранже-вой гидродинамической системе для дубля М многообразия М с краем.

В § 4 рассматривается лагранжева гидродинамическая сис

I—I тема идеальной несжимаемой жидкости, подчиненная связи . на

2) уи С И ) . Выведено уравнение Эйлера, соответствующее указанной системе (предложения 2.4.1, 2.4.2}. Показано, что решения этого уравнения, суженные на М , являются решениями уравнения Эйлера идеальной несжимаемой жидкости на И ( теорема 2.4.3) .

В третьей главе доказывается регулярность решений указанных ранее двух классов дифференциальных уравнений второго порядка в следующем смысле. Пусть f^Ct) , "fc £ L^jT)^ - решение уравнения второго порядка на группе Н^ - диффеоморфизмов многообразия М с начальной скоростью )( в единице группы. Если

X - векторное поле на М класса Н » К >/ О f то ^ -диффеоморфизм М класса п при всех

В § I мы устанавливаем регулярность решений лагранже -вой гидродинамической системы идеальной несжимаемой жидкости. В отличие от работ [45] , [58] , [68-69] нами доказана регулярность, по-видимому, в наиболее общей ситуации: для произвольного риманова многообразия М с краем и произвольной ( возможно, непотенциальной ) внешней силы (теорема 3.1.1*) . При этом решающую роль играет использование построенной во второй главе лагранже-вой гидродинамической системы на со связью ,, . Применение группы 2)ju с М) позволяет преодолеть трудности, возникающие при доказательстве регулярности в нормальных к краю Ъ И направлениях.

В § 2 показана регулярность траекторий механических си-£ 5 стем на группах

23с М),ЦиСЛ) с кинетической энергией, порожденной сильной римановой метрикой, и с произвольной (непотенциальной") внешней силой (теоремы 3.2.1 - 3.2.3). Рассматривается риманово многообразие М без края. В случае Э М Ф регулярность показана в UfT-tM , а наЭМ - в направлениях, касательных эм.

В четвертой главе изучается двухточечная "концевая" задача для лагранжевой гидродинамической системы, описывающей несжимаемую жидкость. Задача ставится следующим образом: можно ли диффеоморфизм, сохраняющий объем, соединить решением системы с тож- ' дественным отображением.

Пусть С,) - слабая риманова метрика на 'D^ju С М) , полученная правыми сдвигами билинейной формы ( , ) е , определенной ранее. Обозначим Ехр ' ~Те * ( Н) - экспоненциальное отображение геодезической пульверизации слабой римановой метрики (,) . Известно, (см. [45]), что существует окрестность нуля

V с \еТ)г сН) и окрестность единицы W такие, что отображение Е X Р диффеоморфизм. Таким образом, w покрывается решениями лагранжевой гидродинамической системы, описывающей течение идеальной несжимаемой жидкости без внешней силы.

В § I показана разрешимость двухточечной "концевой" задачи ^ теоремы 4.I.I - 4.1.2*) для случая идеальной несжимаемой жидкости при наличии внешней силы и • Отметим, что даже в конечномерных механических системах из разрешимости двухточечной задачи без внешней силы не следует разрешимость двухточечной задачи с внешней силой Сем. примеры в [21 - 22]}.

При доказательстве используется теорема о регулярности 3.1.I и одна топологическая лемма (4.1.3) , которая устанавливается стандартными методами теории степени и относительного вращения векторных полей в линейном топологическом пространстве, восходящими к работам Ю.Г.Борисовича [13 - 14] . Приведем ее формулировку.

Пусть В CJ0. - замкнутые выпуклые шары в Те % С М), S> t/2, + I у о е 6, о еД , где Л открыто в ft1 . Предположим, что существует открытая окрестность с M)j такая, что В © » и непрерывное отображение —^Те^у,1 такое, что Рсо, Х)= X при X € © » И Р когда X € , О. Тогда существует Ао*7 О такое, что при всех О^Л<Хо найдется вектор

X о \

X в В , удовлетворяющий равенству Р f X, X ) ~ © •

В § 2 показана разрешимость указанной задачи Стеоремы 4.2.1 - 4.2.2} для лагранжевой гидродинамической системы вязкой несжимаемой жидкости на многообразии М без края и где ~W описано выше. При этом названная система в соответствии с [ 45 ] рассматривается как лагранжева гидродинамическая система, описывающая идеальную несжимаемую жидкость при наличии "внутренних" сил (учитывающих вязкость). Для доказательства разрешимости особую роль играет лемма 4.1.3.

Отметим некоторые технические особенности текста. В работе принята нумерация утверждений тремя индексами: первая цифра означает номер главы, вторая - номер параграфа в этой главе, третья - порядковый номер в данном параграфе. Материал каждого

параграфа разбивается на пункты, занумерованные внутри параграфа римскими цифрами. При изложении применяются обозначения, соответствующие общепринятым.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [3 - 12] и докладывались на Ленинградской международной топологической конференции (1982 г.}, на ХУ - ХУШ Воронежских зимних математических школах ( 1981 - 1984 г.}, на научных сессиях ВГУ, на научном семинаре кафедры алгебры и топологических методов анализа ВГУ 1979 - 1984 г.

Автор выражает глубокую благодарность доктору физико-математических наук, профессору Ю.Г.Борисовичу и кандидату физико-математических наук, старшему научному сотруднику Ю.Е.Гликли-ху за постановку задач и руководство работой.

1. Арнольд В.И. Математические методы классической механики.-2.е изд., M.i Наука, 1979. - 432 е., ил.

2. Арнольд В.И, Гамильтоновость уравнений Эйлера динамикитвердого тела и идеальной жидкости. Успехи мат. наук, 1966, т. ХХ1У, К? 3 /147/, с. 225-226.

3. Баранов Ю.С., Замечание о регулярности решений уравнения Гликлих Ю.Е. Эйлера гидродинамики. Успехи мат. наук,1981, т. 36, IP 5 /221/, с. 163-164.

4. Баранов Ю.С., 0 регулярности решений уравнения Эйлера гид-Гликлих Ю.Е. родинамики идеальной несжимаемой жидкости .В кн.: Ленинградская международная топологическая конференция: Тезисы. Л.: Наука, Ленинградское отделение, 1982, с. 50.

5. Борисович Ю.Г. Об одном применении понятия вращения векторного поля.- Докл. АН СССР, 1963, т.153, № I.

6. Борисович Ю.Г. Об относительном вращении компактных векторных полей в линейных пространствах.- В кн.: Труды семинара по функциональному анализу. Воронеж, Изд-во Воронежского гос. ун-та, 1969, Вып. 12, с. 3-27.

7. Борисович Ю.Г., Топологическая теория неподвижных точек на Гликлих Ю.Е, бесконечномерных многообразиях.- В кн.Сравнения на многообразиях: Сб. статей "Новое в глобальном анализе".- Воронеж, Изд-во Воронежского гос. ун-та, 1982, с. 3-25.

8. Колмогоров А.Н., Элементы теории функций и функционального Фомин С.В. анализа. М.: Наука, 1976. - 544 с.

9. Marsoleh WamUonim vnechahics onДВraham R aroups and hudrodumamies Pr.1910 3V/. XVI,

10. MarS-deh OiffeomorphiSM бгоыре£} d-E-bin 0. and rodinamicZ and Яева+CvCty \ Fischer A. Proc. tft. Вье-шгиа^ SeminarCanadian Math. Centress} ed J.R. Van£*ohe.- Montreal, 44*0, pp. 135-279.

11. Morrea С 6. Hu\faip£e Intecfra£s ch theCa2cM,iu^> of Variations , -S printer} -/966.

12. Л/a ka his I IV- Oh the Structure o^ ihfinite Primitive flCge- Proc. Jap. /lead., l9?6tV.5Z3Ко { , pp.

13. Omori H. On the (^roup aliffeomoi—phisms an a compact кпдии-•foProc. ^oLmpos. Pu^e MatL, Д.М. Proi/tdence, R. I., V< /5, pp. 3.

14. If от Ba ft. flCniMSt Riemamian Sirutures, on Вanach tncanl^oidCan. J. Math., 1976 J V-H, pp. 640-662.