Операторные и дифференциальные уравнения и включения на группах диффеоморфизмов

Гликлих, Андрей Юрьевич

Операторные и дифференциальные уравнения и включения на группах диффеоморфизмов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Гликлих, Андрей Юрьевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Воронеж МЕСТО ЗАЩИТЫ

2006 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Операторные и дифференциальные уравнения и включения на группах диффеоморфизмов»

Автореферат диссертации на тему "Операторные и дифференциальные уравнения и включения на группах диффеоморфизмов"

на правах рукописи

ГЛИКЛИХ АНДРЕЙ ЮРЬЕВИЧ

Операторные и дифференциальные уравнения и включения на группах диффеоморфизмов

01.01.01 — математический анализ Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 2006

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор Обуховский Валерий Владимирович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Каменский Михаил Игоревич

Ведущая организация - Российский университет дружбы народов.

Защита состоится "12" декабря 2006 г. на заседании диссертационного совета К 212.038.05 при Воронежском государственном университете, 394006, г. Воронеж, Университетская пл., 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан " " ноября 2006 г.

Ученый секретарь

доктор физико-математических наук, профессор Климентов Сергей Борисович

диссертационного совета

В.В. Смагин

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Группы соболевских диффеоморфизмов компактных римановых многообразий являются широко известными примерами функциональных бесконечномерных многообразий. Активное исследование различных объектов на указанных группах началось после того как в работах В.И. Арнольда и затем Д. Эбина и Дж. Марсдена было показано, что эти группы (функциональные многообразия) являются естественными конфигурационными пространствами для описания движения различных жидкостей в рамках лагранже-вого подхода к гидродинамике. Различные аспекты анализа на этих многообразиях и различные типы уравнений на них исследовались в многочисленных работах В.И. Арнольда Д. Эбина, Дж. Марсдена, А. Фишера, Д. Холма, Т. Ратиу и Р. Чернова , М. Кантора , A.M. Лукацко-го, Н.К. Смоленцева, С. Школлера, А.И. Шнирельмана, К.Д. Элворти, Я.И. Белопольской и Ю.Л. Далецкого и других.

Важным вопросом, возникающим при использовании групп диффеоморфизмов в гидродинамике и других разделах математики, является вопрос о существовании решений различных типов дифференциальных уравнений с непрерывными правыми частями на указанных группах. Напомним, что на бесконечномерных пространствах дифференциальное уравнение с непрерывной правой частью может не иметь даже локального по времени решения задачи Коши. Отметим одно важное отличие групп диффеоморфизмов от конечномерных групп Ли: на группах диффеоморфизмов правоинвариантные векторные поля могут быть не гладкими, а лишь непрерывными. В связи с этим в основополагающих работах Д. Эбина и Дж. Марсдена дифференциальные уравнения с правоинвариантными правыми частями рассматривались только при дополнительном условии гладкости или локальной липшицевости правых частей. Аналогично дополнительное условие гладкости накладывалось на коэффициенты стохастических дифференциальных уравнений на группах диффеоморфизмов в работах Я.И. Белопольской и Ю.Л. Далецкого, К.Д. Элворти и др. Между тем важным для приложений является рассмотрение уравнений с непрерывными правоинвариантными правыми частями.

Уравнения с непрерывными правыми частями, которые не являются правоинвариантными, естественно возникают в случаях, когда физические поля, действующие на жидкость, зависят от конфигура-

ции жидкости. Для таких уравнений проблема существования решений аналогична.

Начиная со статей А.Амброзетти и Б.Н.Садовского, широко известным дополнительным условием на непрерывную правую часть дифференциального уравнения в бесконечномерном пространстве, при котором локальное по времени решение задачи Коши существует, является требование, чтобы операторы, стоящие в правой части, были ограниченными относительно той или иной меры некомпактности. В работах В.В. Обуховского и Ю.Е. Гликлиха этот подход был обоснован для бесконечномерных многообразий на основе вложения многообразия в некоторое гильбертово пространство как окрестностного ретрак-та, однако не были указаны никакие критерии во внутренних терминах групп диффеоморфизмов, при которых этот подход применим.

Отметим также, что в работах A.B. Фурсикова и В.В. Обуховского, П. Дзекки и В.Г. Звягина в рамках эйлерова подхода описаны задачи гидродинамики с управлением, приводящие к дифференциальным включениям. Если в рассмотренных в этих работах задачах перейти к лагранжеву формализму, то соответствующие многозначные поля на группе диффеоморфизмов оказываются правоинвариантными, то есть в указанных работах учитывалась только зависимость силовых полей от скорости и не учитывалась зависимость от конфигурации жидкости. Таким образом возникает задача об изучении общих свойств многозначных операторов на группах диффеоморфизмов и соответству-. ющих им дифференциальных включений, причем не только с право-инвариантной правой частью. Несмотря на важность этой задачи для приложений, раньше она не рассматривалась.

Целью работы является изучение непрерывных правоинвариант-ных, уплотняющих, многозначных и других операторов на группах диффеоморфизмов и доказательство разрешимости соответствующих им уравнений и включений. Основным техническим приемом здесь является вложение групп диффеоморфизмов или их касательных расслоений в линейное гильбертово пространство и продолжение указанных выше операторов на трубчатую окрестность. Поэтому еще одной целью работы является исследование свойств указанных продолжений.

Методика исследований. Использовались идеи и методы современного функционального анализа и глобального анализа. В частности теория уплотняющих операторов, теория многозначных отображений и дифференциальных включений, а также отдельные элементы

стохастического анализа на бесконечномерных многообразиях.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Среди них можно выделить следующие наиболее важные:

1. Показано, что естественное продолжение на трубчатую окрестность непрерывного правоинвариантного векторного поля на группе диффеоморфизмов и непрерывного правоинвариантного специального векторного поля на касательном расслоении к группе сохраняющих объем диффеоморфизмов, вложенных в соответствующее соболевское пространство, являются локально липдшцевыми. Как следствие, отсюда получена теорема существования и единственности глобального по времени решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка на группе диффеоморфизмов и теорема существования и единственности локального по времени решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка на группе сохраняющих объем диффеоморфизмов с непрерывными правоинвариантными правыми частями.

2. Доказана теорема существования глобального по времени решения задачи Коши для правоинвариантного стохастического дифференциального уравнения Ито в форме Белопольской-Далецкого на группе диффеоморфизмов плоского п-мерного тора с непрерывным сносом и гладкой диффузией.

3. Найдено условие, при котором продолжение непрерывного непра-воинвариантного векторного поля на группе диффеоморфизмов, вложенной в соответствующее соболевское пространство, на трубчатую окрестность является локально ¿-ограниченным относительно мер некомпактности Куратовского и Хаусдорфа и аналогичное условие для специального векторного поля на касательном расслоении к группе сохраняющих объем диффеоморфизмов. Как следствие, отсюда получены теоремы существования локального по времени решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядка на группах диффеоморфизмов с непрерывными правыми частями.

4. Изучены свойства полунепрерывности сверху и снизу, непрерывности по Хаусдорфу и т.д., а также ¿-ограниченности относительно мер не компактности для многозначных векторных полей на группах диффеоморфизмов.

5. Доказан ряд теорем существования локальных по времени решений для дифференциальных включений первого и второго порядка на

труппах диффеоморфизмов. Исследован модельный пример об управлении движением идеальной несжимаемой жидкости на двумерном компактном многообразии, описываемый дифференциальным включением второго порядка на группе диффеоморфизмов. Доказано существование оптимального управления.

Практическая и теоретическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты применяются при исследовании задач гидродинамики.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на Международных школах-семинарах по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2002, 2004, 2006), международной научной конференции "Топологические и вариационные метода нелинейного анализа и их приложения"(Воронеж, 2005), Воронежской зимней математической школе 2006 года и на научных сессиях Воронежского государственного Университета 2001 - 2006 годов.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в [1 - 11]. Из совместной работы [11] в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие лично диссертанту.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Введения, четырех глав, разбитых на 11 параграфов, и списка литерату--ры, включающего 48 источников. Общий объем диссертации 87 страниц.

Краткое содержание работы

В первой главе приведены необходимые первоначальные сведения из теории групп соболевских диффеоморфизмов, определены римано-вы метрики и расстояния в соответствующих пространствах, а также описаны необходимые в дальнейшем понятия меры некомпактности и уплотняющего (^-ограниченного) оператора. Основными результатами главы являются теоремы о локальной липшицевости дифференциалов вложений многообразий отображений и нахождение соответствующих констант Липшица.

§1.1 носит вспомогательный характер. В нем излагаются первоначальные понятия и утверждения о группах соболевских диффеоморфизмов компактного многообразия. Пусть М - компактное п-мерное риманово многообразие без крал с римановой метрикой (•>•). Для з > у + 1 вводится гильбертово многообразие П"(М) отображений М в

себя, принадлежащих соболевскому пространству Н* и одновременно являющихся С1 диффеоморфизмами. D9 является группой относительно суперпозиции с единицей е = id. Подмногообразие D'(M), состоящее из диффеоморфизмов, сохраняющих риманову форму объема (обозначается Dp(M)), является также подгруппой в DS(M).

Через Rq обозначается правый сдвиг на диффеоморфизм rj: Щв = вот], через TRn - касательное отображение к правому сдвигу г?.

Вводится слабая риманова метрика на D*(M\

№. г,), = / №("0. ВДЫММ, (1.2)

задающая топологию функционального пространства L2, более слабую, чем исходная топология Н$. Сужение метрики (1.2) на D^(M) является правоинвариантной слаборимановой метрикой. Описывается отображение связности Леви-Чивита метрики (1.2) на D*(M) и на

Пусть F(t,rj,X) векторное поле на £>*(М), вектор которого для каждого 77 лежит в T^D^ (М) и зависит от параметров i 6 [О, Т] и J € T4Dp {М). Такие векторные поля мы называем силовыми. Рассмотрим на £)*(Af) дифференциальное уравнение второго порядка вида

jtv(t)=F(t,V(t),nm (1.6)

где £ - ковариантная производная связности Леви-Чивита слабой ри-мановой метрики (1.2), f}(i) = ¿¡vi*) ~ производная кривой r?(t) на .D*(Af). Уравнение (1.6) описывает движение идеальной несжимаемой жидкости на М под действием силы F в рамках лагранжева подхода.

Уравнение (1.6) сводится к уравнению первого порядка на TZ?*(Af) со специальным векторным полем ввда S(rj, X) + Fl(t, (77, X)), где S - геодезическая струя слабой римановой метрики (1.2), a F1 - вертикальный подъем силового поля F(t, tj, X). Отметим, что S гладко.

В §1.2 определяются некоторые специальные функции расстояния на группах диффеоморфизмов и на касательных расслоениях к ним. Также здесь описываются меры некомпактности относительно этих расстояний, используемые в дальнейших рассуждениях.

На DS(M) вводится сильная риманова метрика т.е. метрика, порождающая топологию Нв модельного пространства. Сильная норма

касательного вектора определяется обычной формулой. Сужение введенной метрики на £>* (М) является правоинвариантной сильной ри-мановой метрикой на этом подмногообразии. Затем по стандартной формуле римановой геометрии определяется длина кривой и функция риманова расстояния как имфимум длин кривых, соединяющих точки многообразия П*(М). Это расстояние превращает Ю*(М) в метрическое пространство.

Вводится специальная функция расстояния й между векторами касательного расслоения Т.£)в(М), которая оказывается равной расстоянию <Из1 между точками их приложения в Оа(М) плюс норма разности правых сдвигов этих векторов в единицу.

-С помощью связности Леви-Чивита слабой римановой метрики (1.2) сильная риманова метрика поднимается на касательное расслоение 2\0*(М). Риманово расстояние на Т£>*(М) относительно указанной метрики обозначается С помощью модификации конструкции расстояния й на втором касательном расслоении ТТ£>* строится расстояние ¿2 (формула (1.12)).

В заключение параграфа описываются меры некомпактности Хаус-дорфа (внутренняя Хр и внешняя Хр) и Куратовского где р - функция расстояния, относительно которой определяется мера некомпактности. Дается определение уплотняющих и ¿-ограниченных операторов относительно мер некомпактности:

Определение 1.8. Пусть даны метрическое пространство X с расстоянием рх и мерой некомпактности (Хаусдорфа или Куратовского) относительно этого расстояния и метрическое пространство У с расстоянием р2 и мерой некомпактности (Хаусдорфа или Куратовского) относительного этого расстояния ф2- Будем называть оператор К : X —► У уплотняющим с константой 0 < д < 1, если для любого О С X, для которого аг1(Г2) конечно, выполнено а< ?<*1(П). Если константа д > 1, то такой оператор будем называть к-ограниченным относительно мер некомпактности и 1/>2 с константой к — д или (д,ф1,ф2)-ограниченным. В случае, если д зависит от времени Ь, то такой оператор будем называть к-ограниченным относительно мер некомпактности и ф2 с коэффициентом к —

В §1.3 исследуются изометрические вложения многообразий П3, £>* и Т£)* с сильными римановыми метриками в пространство соответствующих собсшевских отображений, порожденные изометрически-

ми вложениями римановых многообразий М и ТМ в евклидово пространство достаточно высокой размерности, существующими по теореме Нэша. Рассматривается изометрическое (относительно сильной метрики) вложение г : D*(M) —*■ HS(M, Шк). Обозначим через Тг его касательное отображение, |{ • |{ обозначает норму в Н'(М,Шк). Аналогично, рассматривается изометрическое (относительно сильной метрики) вложение j : TD^(M) —► Нв(М}М.р). Обозначим через Tj его касательное отображение, ||j • ||| обозначает норцу в Н'(М)МР).

Основными результатами параграфа являются следующие:

Теорема 1.1. Для любого вектпора X G TD'(M) и для любого числа С > 0 существуют окрестность вектора X в TD*(M) и числа А, К > 0 такие, что для любых Y} Z из этой окрестности выполнено \\TiY - TiZ\\ < (1 +А+(С+ ЮТ)ЛГ)<*(У;Z).

Теорема 1.2. Для любых Z в TD'^M), Zl в TzT^zD^M)) и для любого С > 0 существуют окрестности V(Z) С TJÖ'(Af) и W(Zl) С TTD^M) и числа а,к> 0 такие, что для любых X, Y € V и любых вертикальных векторов X1 € TxTxxDY1 € ?УТту1)*, принадлежащих W(Zl), выполняется неравенство \\\TjXl-TjYl\\\ < (1 + а + к(С + \\\г'\\\))с12(Х',У1).

Во второй главе исследуются свойства непрерывных правоива-риантных векторных полей на D'(Af) и непрерывных специальных векторных полей на TD^M) (дифференциальных уравнений второго порядка), которые правоинвариантны относительно естественного действия £>*(М) на TD^(M).

В §2.1 исследуются свойства типа локальной липшицевости непрерывных правоинвариантных векторных полей на D'(M), а также получена глобальная по времени теорема существования и единственности решения задачи Коши обыкновенного дифференциального уравнения с подобным векторным полем в правой части.

Пусть U — трубчатая окрестность D'{M) в Н'(М, R*) и г : U —* Da(M) — ретракция, X(rf) - непрерывное правоинвариантное векторное поле на DS(M). По построению |JX(»?)]| постоянна. Рассмотрим продолжение X : U H*(M,Rk) поля TiX : D'{M) — Н'(М,Шк) на U, определенное по формуле

X(tt х) = TiX(t, г(®)), х EU.

Теорема 2.1. Для любой точки щ G D8(M) существует ее окрестность В С. U такая, что для любых г),в € В выполняется соот-

ношение \\Х{п)-Х(в)\\ < 2(1 + ЛГ||Д"||)1|»7 - 6\\.

Как следствие из теоремы 2.1 доказывается следующая:

Теорема 2.2. Пусть Х(£) - кривая е Те£)*(М), измеримая по £, норма которой ||Х(£)|| интегрируема по t на каждом конечном промежутке. Пусть Х(£, 77) - соответствующее ей правойнвариантное векторное поле на £>5(М), непрерывное по 77 € И* при каоюдом t. Тогда задана Коши *)(£) = Х(£, 77), у?(0) = щ € Пв(М) имеет решение при всех £ 6 [0, оо), причем единственное.

В §2.2 исследуются непрерывные специальные векторные поля на касательном расслоении Т1)*(М), которые правоинвариантны относительно естественного действия на Т£>®(М). Поскольку касательное расслоение Т£>*(М) само не является группой, конструкции параграфа 2.1 существенно модифицированы. Исследуется случай правоинвариантного непрерывного силового поля не зависящего от скорости. Уравнение (1.6) с таким силовым полем обозначено как уравнение (2.2).

Показано, что после вложения Т1?*(М) в векторное пространство естественные продолжения указанных векторных полей на трубчатую окрестность 17 оказываются локально липшицевыми на малой окрестности многообразия ТП^{М) в 17. Как следствие получено следующее утверждение:

Терема 2.6 Пусть ,Р(£, г]) - правоинвариантное векторное поле, порожденное векторным полем .Р(£) = ш) € которое

измеримо по £ в пространстве Те£>®(М) и норма которого ||-Р(£)ДО интегрируема. Тогда задача (2.2) с начальными условиями г?(0) = щ, ц(О) = Хо Е 7^(0)(Л/) имеет решение на достаточно малом промежутке времени £ € [0, е), причем единственное.

В §2.3 изучается вопрос о существовании решений стохастических дифференциальных уравнений Ито в форме Белопольской-Далецкого на группе сохраняющих объем Н' (з > §+1) диффеоморфизмов плоского п-мерного тора Т".Отметим, что для случая гладких коэффициентов для таких уравнений известна теорема существования решения задачи Коши.

Мы рассматриваем уравнения специального вида с п-мерным ви-неровским процессом, у которых снос задается непрерывным право-инвариантным векторным полем а(£, г?), а диффузия предполагается гладкой и приавоинвариатной. Для таких уравнений доказано существование сильного решения (теорема 2.7).

В главе 3 исследуются непрерывные векторные поля на Z)*(M) и специальные векторные поля на TD^(M), которые не являются пра-воинвариантными. Найдены условия, при которых продолжения таких векторных полей после вложения на трубчатые окрестности будут локально ограничены относительно мер некомпактности Хаусдорфа или Куратовского. Как следствия, получены теоремы существования решений дифференциальных уравнений с такими правыми частями.

В §3.1 рассматриваются непрерывные векторные поля на A-ограниченные относительно мер некомпактности Хаусдорфа и Куратовского.

Рассмотрим X — продолжение векторного поля X на трубчатую окрестность U после вложения, как это описано выше в §2.1. Для этого продолжения справедлива теорема.

Теорема 3.3. Пусть векторное поле X : [0,Т] х Z?£(M) —> TDp(M)t удовлетворяющее условию Каратеодори, таково, что при почти всех t отображение А : [0,Т] X D^(M) —* Т«£?*(М) вида A(t, r¡) = TR~*X{tt rj) k-ограничено относительно мер некомпактности oidist « a||-¡¡ с коэффициентом g(t) > 0. Тогда продолжение X векторного поля X на трубчатую окрестность U обладает следующим свойством: при почти всех t для любой точки r¡ € D* и для любого числа С > 0 существуют числа А} К > 0 и окрестность D точки г} в Н*(МУ М*) на которой X k-ограничено относительно меры некомпактности Куратовского с коэффициентом 2(1 + <?(í))(l + А + (С + ||X(í, 77)||)íf) по норме в пространстве H'(Mt R*).

Теорема 3.4. Пусть X - векторное поле на такое otee,

как в теореме 3.3 и при этом функция g{t) интегрируема с квадратом на [0,Т]. Выберем точку щ G Пусть на замыкании D окрестности D этой точки, где D из теоремы 3.3, выполняется оценка ||X(í, f)|| < f(t), £ G D, где f(t) > 0 - числовая функция, интегрируемая с квадратом на [0, Т]. Тогда задача Коши 7¡{t) — X{t, Tj(t))} 77(0) = 370 имеет решение на достаточно малом промежутке.

Описываются примеры векторных полей, для которых выполняется теорема 3.3 и, следовательно, теорема 3.4.

Доказаны утверждения, в точности аналогичные теоремам 3.3 и 3.4 для ^-ограниченности относительно внутренних мер некомпактности Хаусдорфа (теоремы 3.1 и 3.2).

В §3.2 изучаются условия, при выполнении которых продолжение

на трубчатую окрестность непрерывного неправоинвариантного специального векторного поля на является локально ^-ограниченным относительно мер некомпактности. Как следствие доказана теорема о существовании локальных по времени решений для соответствующих дифференциальных уравнений второго порядка.

Вложим ТЮ*Й(М) в НЯ(М, как это описано в §2.2, и рассмотрим продолжение Рг поля Р1 на трубчатую окрестность II по формуле

Теорема 3.6. Пусть силовое поле Р : [0,Т]хТ£>® —удовлетворяет условию Каратеодори и таково, что при почти всех £ € [0,Т] отображение А : [О, Т] X Т£>® (М) Те£>*(М) вида А(г,Х) = X) является к-ограниченным относительно мер некомпактности ал и ац.ц с коэффициентом Тогда при почти всех t у любого вектора ^ € Т£>*(М) существует окрестность И С и такая, что на £> поле Р1 к-ограничено относительно меры некомпактности ац[.|ц с коэффициентом 2(2 + £(*))(! + а + к(С + <2Г)Ц|))> где а, к и С - константы из теоремы 1.2.

Рассмотрим продолжение В : J X V —>11 поля 5 : ТО^(М) —*■ ТТИЦМ) определенное по формуле §(Х) = TjS{r{X)),X е и. Поскольку В гладко, а по теореме 3.5 поле Р1 локально ^-ограничено относительно ащ.щ, то по свойству меры некомпактности Куратовского сумма В -+- Р1 локально ^-ограничено относительно ащ.щ.

Теорема 3.8 Пусть выполнены условия теоремы 3.6 и функция д{{) интегрируема с квадратом на [О,Г]. Выберем точку Zo С Т/?*(М). Пусть на замыкании Г) некоторой окрестности П этой точки выполняется оценка ¡¡^(^ -Х")Ц < /(*)> X Й, где /(£) > О - числовая функция, интегрируемая с квадратом на [0,Т]. Тогда задача Кохии для уравнения (1.6) с начальным условием т?(0) = 'кZo, ?7(0) = Zo имеет локальное решение.

В главе 4 исследуются свойства многозначных векторных полей на группах соболевских диффеоморфизмов. Найдены условия, при которых продолжения таких векторных полей после вложения оказываются ^-ограниченными относительно меры некомпактности Куратовского, и получены теоремы существования решений для дифференциальных включений первого и второго порядка.

§4.1 посвящен исследованию некоторых свойств многозначных векторных полей на группах соболевских диффеоморфизмов типа полунепрерывности сверху и снизу, непрерывности по Хаусдорфу и т.п.

Определение 4.1 Многозначным векторным полем X наТЮ'^М) будем называть отображение X : 2?' — Р(ТО'{М))(где Р(Т£>*(М)) - совокупность всех непустых подмножеств ТП'(М)) такое, что для любой точки 77 €Е И*{М) выполнено 7г(Х(т7)) = г\.

Рассмотрим ТеИа(М). Пусть в ТСП'(М) задано непустое множество векторов X. Определим многозначное векторное поле X на как множество всевозможных правых сдвигов множества X. Таким образом, мы определили многозначное отображение X : —+

Р(Т£)*(М)). Полученное таким образом многозначное векторное поле X будет правоинвариантым. Отметим, что оно будет целиком состоять из своих однозначных правоинвариантных сечений (векторных полей).

Показано, что X всегда полунепрерывным снизу (теорема 4.1). Если множество X компактно, то X полунепрерывно сверху (теорема 4.2) и, следовательно, непрерывно. Кроме того, показало, что если множество X € Т^'(М) замкнуто, то X непрерывно относительно метрики Хаусдорфа на пространстве замкнутых подмножеств ТО*{М) (теорема 4.4).

Далее рассматриваются многозначные векторные поля, не являющиеся правоинвариантными.

Теорема 4.5 Многозначное векторное поле У на£)'(М) непрерывно по Хаусдорфу тогда и только тогда, когда непрерывно соответствующее отображение У = Т^У^п) : £>'(М) ТеВ*(М).

Теорема 4.6 Для того, чтобы многозначное векторное поле У на &*(М) было полунепрерывно снизу, необходимо и достаточно, чтобы соответствующее отображение У = ТЯ.~1У{г}) : £>4(Л/) ТеО'(М) было полунепрерывно снизу.

Теорема 4.7 Если многозначное векторное поле У на 1?'(Л1) полунепрерывно сверху, то и соответствующее ему отображение У = ТЯ^^У^) : Пв(М) —*■ ТсО$(М) также полунепрерывно сверху.

Теорема 4.8 Пусть задано многозначное векторное поле У на Если соответствующее ему отображение У = ТИ^У^г}) : 2?5(ЛГ) —► ТеО'(М) полунепрерывно сверху и имеет компактные образы, то У полунепрерывно сверху.

В £4.2 доказывается разрешимость одного класса дифференциальных включений первого порядка на £>*(Л/), удовлетворяющих верхнему условию Каратеодори, у которых правая часть имеет выпуклые образы.

Определение 4.2 Будем говорить, что многозначное векторное

поле F{t,rj)f t e [0}T], 7} e £>®(М), удовлетворяет верхнему условию Каратеодори если при почти всех t оно полунепрерывно сверху и при каждом Г] измеримо по t.

Рассмотрим Р — продолжение векторного поля F на трубчатую окрестность U после вложения, как это описало выше в §2.1. Для этого продолжения справедлива следующая теорема.

Теорема 4.9 Пусть многозначное векторное поле с выпуклыми образами F : [0,Т] х £>*(М) —* TD*(M) удовлетворяет верхнему условию Каратеодори и таково, что при почти всех t для отображения А : [0,Т] X D^M) — ТеВаИ(М) вида A(t,rj) = TR^Ffrn) и для любого ограниченного множества Í2 С D^(M) выполнено неравенство Í2)) < 5(í)a<ttst(íí). Тогда продолжение F векторного поля F на трубчатую окрестность U обладает следующим свойством: при почти всех t для любой точки r¡ G £)* ti для любого числа С > О существуют числа А,К>0и окрестность D точки rj в Н*(М,1Ик) на которой X k-ограничено относительно меры некомпактности Куратовского с коэффициентом 2(1 + <7(í))(l + А + (С + ||F(í, J7)||)üT) по норме в пространстве Н"(М, М*).

С использованием этой теоремы доказывается следующая:

Теорема 4.10 Пусть F многозначное векторное поле на Dp(M), такое же как в теореме Jt.9. Пусть функция g(t) интегрируема с квадфтом на [О, Г]. Выберем точку щ € D'(M). Пусть на замыкании D окрестности D этой точки, где D из теоремы I¡..9, выполняется оценка ||X(í, £)|| < f(t), £ € D, где f(t) > 0 - числовая функция, интегрируемая с квадратом на [0,Т]. Тогда задача Коши для включения

r¡{t)eP(t,rt),

с начальным условием Т}(0) — щ имеет решение на достаточно малом промежутке.

В §4.3 доказывается разрешимость одного класса дифференциальных включений второго порядка на £>*(М), удовлетворяющих верхнему условию Каратеодори, у которых правая часть имеет выпуклые образы. Эта задача интерпретируется как задача об управлении движением жидкости. Для одного модельного примера на двумерном многообразии М получено утверждение о существовании оптимального управления.

Пусть F - полунепрерывное сверху многозначное силовое поле с выпуклыми образами на Z?*(M). Рассмотрим дифференциальное вклю-

чение

£-rtt)eF(t,rj,-n). (4.2)

Теорема 4.12. Пусть многозначное силовое поле с выпуклыми образами F : [0,Т] X Т£>®(М) —► TDp(M), удовлетворяющее верхнему условию Каратеодори таково, что при почти всех t отображение А : [0,Т] X Dp(M) TcD^M) вида A(t, X) = TR~xxF{t, X) является k-ограниченным относительно мер некомпактности ал и ац.ц с коэффициентом g{t). Тогда при почти всех t векторное поле S + F1 на достаточно малой окрестности TD^(M) в U локально к-ограничено относительно меры некомпактности ащ.щ.

Теорема 4.13 Пусть в условиях теоремы 4-1% функция g(t) интегрируема с квадратом на промежутке [О, Т]. Выберем точку Zq Е TD^M). Пусть на замыкании D некоторой окрестности D этой точки выполняется оценка Х)|| < f(t), X £ D, где f(t) > О

- числовая функция, интегрируемая с квадратом на [О, Т]. Тогда задача Коши для включения с начальным условием г/(0) = ttZq, 77(0) = Zq имеет локальное решение.

Решения включения (4.2) интерпретируются как движение идеальной несжимаемой жидкости с управлением. Рассматривается следующий модельный пример: конечномерное многообразие М имеет размерность 2, многозначное силовое поле F — такое же, как выше и при этом оно равномерно ограничено по сильной норме и равно нулю вне некоторой окрестности В единицы, т.е. F(tt 77, X) = О при rj 6 D'^B. Рассмотрим непрерывный функционал / : С°([0, Т], Z)'(M)) —► R.

Теорема 4.14 Существует измеримое управление такое, что соответствующее ему решение включения (4-2) минимизирует функционал f, то есть является оптимальным.

Публикации автора по теме диссертации

1. Гликлих А.Ю. Уплотняемость правоинвариантных векторных полей на группах диффеоморфизмов / А.Ю. Гликлих // Вестник Воронежского гос. университета, Сер. Физика, Математика. - 2001. - N 2. -С. 67-73.

2. Гликлих А.Ю. О стохастических дифференциальных уравнениях с правоинвариантными коэффициентами на группах диффеоморфизмов / А.Ю. Гликлих // Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова, Абрау-Дюрсо, 5-11 сентября 2002 г. - Ростов н/Д, 2002. - С. 241-242.

3. Гликлих А.Ю. О стохастических дифференциальных уравнениях с правоинвариантными коэффициентами на группах диффеоморфизмов плоского тора / А.Ю.> Гликлих // Труды математического факультета ВГУ. - 2002. - N 7. - С. 21-24.

4. Гликлих А.Ю. О многозначных векторных полях на группах ди-феоморфизмов / А.Ю. Гликлих // Труды математического факультета ВГУ. - 2004. - N 8. - С. 19-24.

5. Гликлих А.Ю. О многозначных и уплотняющих векторных полях на группах дифеоморфизмов / А.Ю. Гликлих // Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. Абрау-Дюрсо, 5-11 сентября 2004 г. - Ростов н/Д, 2004. - С. 253-254.

6. Гликлих А.Ю. Об уплотняющих векторных полях на группах диффеоморфизмов / А.Ю. Гликлих // Труды математического факультета ВГУ. - 2005. - N 9. - С. 40-45

7. Гликлих А.Ю. Одно утверждение о локальной липшицевости векторных полей на группах диффеоморфизмов / А.Ю. Гликлих // Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения: материалы международ, конф. - Воронеж, 2005. - С. 35-36

8. Gliklikh A.Y. On existence of integral curves of continuous right-invariant vector fields on groups of diffeomorphisms / A.Y. Gliklikh // Fixed Point Theory. - 2005. - Vol. 6, No. 2. - P. 279-284

9. Гликлих А.Ю. О существовании решения одного дифференциального уравнения второго порядка на группе диффеоморфизмов / А.Ю. Гликлих // Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна 2006: тез. докл. - Воронеж, 2006. - С. 33.

10. Гликлих А.Ю. О дифференциальных уравнениях второго порядка с уплотняющей правой частью на группе диффеоморфизмов, сохраняющих объем / А.Ю. Гликлих // Труды математического факультета ВГУ. - 2006. - Вып. 10. - С. 57-68.

11. Гликлих А.Ю. Об одном дифференциальном включении на группе диффеоморфизмо, / А.Ю. Гликлих, В.В. Обуховский // Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. Абрау-Дюрсо, 5-11 сентября 2006 г. - Ростов н/Д, 2006. - С. 183-184

Работа [1] опубликована в ведущем рецензируемом издании, соответствующем перечню ВАК РФ.

Подписано в печать 27.10.2006. Формах 60x84/16 Усл. п. л. 1,0. Тираж 100. Заказ 846.

Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета.

394000, г. Воронеж, Университетская пл. 1, ком.43, тел.208-853.

Отпечатано в лаборатории оперативной печати ИПЦ ВГУ.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Гликлих, Андрей Юрьевич

Ведение

1 Группы диффеоморфизмов

1.1 Предварительные сведения и постановки задач.

1.2 Расстояния на группах диффеоморфизмов и меры некомпактности

1.3 Локальная липшицевость дифференциалов вложений.

2 Уравнения с правоинвариантными операторами

2.1 Правоинвариантные векторные поля на D3.

2.2 Правоинвариантные специальные векторные поляна TD*

2.3 Правоинвариантные стохастические дифференциальные уравнения на группе диффеоморфизмов плоского тора

3 Уравнения с уплотняющими полями

3.1 Уплотняющие векторные поля на

3.2 Уплотняющие дифференциальные уравнения второго порядка

4 Уравнения с многозначными полями

4.1 Общие свойства многозначных векторных полей на DS(M)

4.2 Дифференциальные включения первого порядка на D*

4.3 Дифференциальные включения второго порядка на Di

Введение диссертация по математике, на тему "Операторные и дифференциальные уравнения и включения на группах диффеоморфизмов"

Группы соболевских диффеоморфизмов компактных римановых многообразий являются широко известными примерами функциональных бесконечномерных многообразий. Активное исследование различных объектов на указанных группах началось после того как в работах

B.И. Арнольда [1] и затем Д. Эбина и Дж. Марсдена [2] было показано, что указанные группы (функциональные многообразия) являются естественными конфигурационными пространствами для описания движения различных жидкостей в рамках лагранжева подхода к гидродинамике. Различные аспекты анализа на этих многообразиях и различные типы уравнений на них исследовались в многочисленных работах В.И. Арнольда (см., например, [3]) , Д. Эбина , Дж. Марсдена, А. Фишера, Д. Холма, Т. Ратиу и Р. Чернова [4, 5, б, 7, 8, 9], М. Кантора [10], A.M. Лукацкого [11, 12, 13], Н.К. Смоленцева [14, 15],

C. Школлера [16], А.И. Шнирельмана [17], К.Д. Элворти (см., например, [18]), Я.И. Белопольской и Ю.Л. Далецкого (см., например, [19]) и других.

Отметим одно важное отличие групп диффеоморфизмов от конечномерных групп Ли: на группах диффеоморфизмов правоинвариант-ные векторные поля могут быть не гладкими, а лишь непрерывными. В связи с этим в основополагающих работах Д. Эбина и Дж. Мар-сдена дифференциальные уравнения с правоинвариантными правыми частями рассматривались только при дополнительном условии гладкости или локальной липшицевости правых частей. Аналогично дополнительное условие гладкости накладывалось на коэффициенты стохастических дифференциальных уравнений на группах диффеоморфизмов в работах Я.И. Белопольской и Ю.Л. Далецкого, К.Д. Элворти и др. Между тем важным для приложений является рассмотрение уравнений с непрерывными правоинвариантными правыми частями.

Уравнений с непрерывными правыми частями, которые не являются правоинвариантными, естественно возникают в случаях, когда физические поля, действующие на жидкость, зависят от конфигурации жидкости. Для таких уравнений проблема существования решений аналогична.

Начиная со статей А.Амброзетти [20] и Б.Н.Садовского [21], широко известным дополнительным условием на непрерывную правую часть дифференциального уравнения в бесконечномерном пространстве, при котором локальное по времени решение задачи Коши существует, является требование, чтобы операторы, стоящие в правой части, были ограниченными относительно той или иной меры некомпактности (см. также развитие этого метода, в частности, для дифференциальных включений, в [22, 23, 24, 25]). В работах В.В. Обуховского и Ю.Е. Гли-клиха [26, 27] этот подход был обоснован для бесконечномерных многообразий на основе вложения многообразия в некоторое гильбертово пространство как окрестностного ретракта, однако не были указаны никакие критерии во внутренних терминах групп диффеоморфизмов, при которых этот подход применим.

Отметим также, что в работах А.В. Фурсикова [28, 29] и В.В. Обу-ховского, П. Дзекки и В.Г. Звягина [30] в рамках эйлерова подхода описаны задачи гидродинамики с управлением, приводящие к дифференциальным включениям. Если в рассмотренных в этих работах задачах перейти к лагранжеву формализму, то соответствующие многозначные поля на группе диффеоморфизмов оказываются правоинвариант-ными, то есть в указанных работах учитывалась только зависимость силовых полей от скорости и не учитывалась зависимость от конфигурации жидкости. Таким образом возникает задача об изучении общих свойств многозначных операторов на группах диффеоморфизмов и соответствующих им дифференциальных включений, причем не только с правоинвариантной правой частью. Несмотря на важность этой задачи для приложений, раньше она не рассматривалась.

1. Показано, что естественное продолжение на трубчатую окрестность непрерывного правоинвариантного векторного поля на группе диффеоморфизмов и непрерывного правоинвариантного специального векторного поля на касательном расслоении к группе сохраняющих объем диффеоморфизмов, вложенных в соответствующее соболевское пространство, являются локально липшицевыми. Как следствие, отсюда получена теорема существования и единственности глобального по времени решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка на группе диффеоморфизмов и теорема существования и единственности локального по времени решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка на группе сохраняющих объем диффеоморфизмов с непрерывными правоинвариантными правыми частями.

2. Доказана теорема существования глобального по времени решения задачи Коши для правоинвариантного стохастического дифференциального уравнения Ито в форме Белопольской-Далецкого на группе диффеоморфизмов плоского n-мерного тора с непрерывным сносом и гладкой диффузией.

3. Найдено условие, при котором продолжение непрерывного не правоинвариантного векторного поля на группе диффеоморфизмов, вложенной в соответствующее соболевское пространство, на трубчатую окрестность является локально ^-ограниченным относительно мер некомпактиости Куратовского и Хаусдорфа и аналогичное условие для правоинвариантного специального векторного поля на касательном расслоении к группе сохраняющих объем диффеоморфизмов. Как следствие, отсюда получены теоремы существования локального по времени решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядка на группах диффеоморфизмов с непрерывными правыми частями.

4. Изучены свойства полунепрерывности сверху и снизу, непрерывности по Хаусдорфу и т.д., а также /^-ограниченности относительно мер некомпактности для многозначных векторных полей, на группах диффеоморфизмов.

5. Доказан ряд теорем существования локальных по времени решений для дифференциальных включений первого и второго порядка на группах диффеоморфизмов. Исследован модельный пример об управлении движением идеальной несжимаемой жидкости на двумерном компактном многообразии, описываемой дифференциальным включением второго порядка на группе диффеоморфизмов. Доказано существование оптимального управления.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на Международных школах-семинарах по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2002, 2004, 2006), международной научной конференции "Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения" (Воронеж, 2005), Воронежской зимней математической школе 2006 года и на научных сессиях Воронежского государственного Университета 2001 - 2006 годов.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в [31] - [41]. Из совместной работы [41] в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие лично диссертанту.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Введения, четырех глав, разбитых на И параграфов, и списка литерату

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Гликлих, Андрей Юрьевич, Воронеж

1. Arnol'd V. Sur la geometric differentielle des groupes de Lie de dimension infinie et ses applications a l'hydrodynamique des fluides parfaits / A. Arnol'd // Ann.1.st.Fourier. - 1966. - T.16, N 1. - P. 319-361.

2. Эбин Д.Дж. Группы диффеоморфизмов и движение несжимаемой жидкости / Д.Дж. Эбин, Дж. Марсден // Математика (сб. переводов), 1973. Т. 17, N 5. - С. 142-167; N 6. - С. 111-146.

3. Арнольд В.И. Математические методы классической механики / В.И. Арнольд. М.: Наука, 1989. - 472 с.

4. Ebin D.G. The motion of slightly compressible fluids viewed as a motion with strong constraining force / D.G. Ebin // Ann. Math.-1977. Vol. 105. - P. 141-200

5. Ebin D.G. Viscous fluids in a domain with frictionless boundary /D.G. Ebin // Global analysis Analysis on manifolds / Teubner Text zur Mathematik. - 1983. - Vol. 57. - P. 93-110

6. Holm D.D. Hamiltonian structure of ideal continuum dynamics / D.D. Holm, J.E. Marsden, T.S. Ratiu. Montreal: Montreal University Press, 1986. - 208 p.

7. Marsden J.E. Applications of global analysis in mathematical physics / J.E. Marsden. Berkeley: Publish or Perish, 1974. - 273 p.

8. Marsden J.E. Diffeomorphism groups, hydrodynamics and relativity./ J.E. Marsden, D.G. Ebin, A. Fisher // Proc. 13th Biennal sem. of Canadian Math. Soc., Montreal, 1970. P. 135-27982

9. Chernoff P. Properties of infinte dimensional Hamiltonian systems / Chernoff P., J. Marsden. Berlin et al: Springer-Verlag, 1974. - 160 p.

10. Cantor M. Groups of diffeomorphisms of Rn and the flow of a perfect fluid / M. Cantor // Bull. Amer. Math. Soc., 1975. Vol. 81, No. 1. -P. 205-208.

11. Лукацкий A.M. О кривизне группы диффеоморфизмов, сохрфня-ющих меру n-мерного тора / A.M. Лукацкий // Успехи мат. наук. -1981. Т. 36, № 2. - С. 187-188.

12. Лукацкий A.M. О структуре тензора кривизны группы диффеоморфизмов, сохраняющих меру двумерного компактного многообразия / A.M. Лукацкий // Сибирский мат. журнал, 1988. Т. 29, № 6. - С. 95-99.

13. Lukatsky A.M. On the curvature of diffeomorphisms Group / A.M. Lukatsky // Annals of Global Analysis and Geometry. 1993. - Vol. 11. - P. 135-140.

14. Смоленцев H. К. О принципе Мопертюи / H.K. Смоленцев // Сиб. мат. журн. 1979. - Т.20, вып. 5. - С. 1092-1098

15. Смоленцев Н.К. Интегралы потоков идеальной баротропной жидкости / Н.К. Смоленцев // Сиб. мат. журн. 1982. - Т. 23, N 1. -С. 205-208

16. Shkoller S. Geometry and curvature of diffeomorphism groups with Я1 metric and mean hydrodynamics / S. Shkoller // Journ. Func. Analysis. 1998. - Vol. 160, No. 1. - P. 337-365.

17. Шнирельман А. И. О геометрии группы диффеоморфизмов и динамике идеальной несжимаемой жидкости / А.И. Шнирельман //Мат. сборник. 1985. - Т.128, N 1(9). - С. 82-109.

18. Elworthy K.D. Stochastic differential equations on manifolds / K.D. Elworthy / Lect. Notes of London Math. Soc., vol. 70. Cambridge: Cambridge University Press, 1982. - 326 p.

19. Далецкий Ю. Jl. Стохастические уравнения и дифференциальная геометрия / Ю. Л. Далецкий, Я. И. Белопольская. Киев: Выща школа, 1989. - 295 с.

20. Ambrosetti A. Un teorema di esistenza per le equazioni differenziali negli spazi di Banach/ A. Ambrosetti // Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. 1967. - Vol. 39. - P. 349-361.

21. Садовский Б.Н. Локальные теоремы существования для обыкновенных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах / Б.Н. Садовский // Пробл. матем. анализа сложн. сист. 1967. -N 1. - С. 70-74.

22. Ахмеров P.P. Меры некомпактности и уплотняющие операторы /P.P. Ахмеров, М.И. Каменский, А.С. Потапов и др.- Новосибирск: Наука, 1986. 265 с.

23. Толстоногов А.А. Дифференциальные включения в банаховом пространстве / А.А. Толстоногов. Новосибирск: Наука, 1986. - 296 с.

24. Deimling К. Multivalued differential equations / К. Deimling. Berlin, N.Y.: Walter de Gruyter, 1992. - 257 p.

25. Kamenskii M. Condensing multivalued maps and semilinear differential inclusions in Banach spaces / M. Kamenskii, V. Obukhovskii, P. Zecca. Berlin-New York: Walter de Gruyter, 2001.- 231p.

26. Обуховский В.В. Дифференциальные уравнения типа Каратеодори на гильбертовых многообразиях / В.В. Обуховский, Ю.Е. Гли-клих // Труды математического факультета (новая серия). 1996.- N 1. Воронеж: ВГУ. - С. 23-28.

27. Фурсиков A.B. О некоторых задачах управления и о результатах, касающихся однозначной разрешимости смешанной краевой задачи для трехмерных систем уравнений Навье-Стокса и Эйлера / А.В. Фурсиков // ДАН СССР, 1980. Т. 252, № 5. - С. 1066-1070.

28. Фурсиков А.В. Задачи управления и теоремы, касающиеся однозначной разрешимости смешанной краевой задачи для трехмерных систем уравнений Навье-Стокса и Эйлера / А.В. Фурсиков // Ма-тем. сб., 1981. Т. 115, № 2. - С. 281-307.

29. Obukhovskii V.V. Optimal feedback control in the problem of the motion of a viscoelastic fluid / V.V. Obukhovskii, P. Zecca, V.G. Zvyagin // Topological Methods in Nonlinear Analysis, 2004. Vol. 23, No. 2. - P. 323-337.

30. Гликлих АЛО. Уплотняемость правоинвариантных векторных полей на группах диффеоморфизмов / А.Ю. Гликлих // Вестник Воронежского гос. ун-та. Сер. Физика, Математика. 2001. - N 2. - С. 67-73.

31. Гликлих А.Ю. О стохастических дифференциальных уравнениях с правоинвариантными коэффициентами на группах диффеоморфизмов плоского тора / А.Ю. Гликлих // Труды математического факультета ВГУ. 2002. - N 7. - С. 21-24.

32. Гликлих А.Ю. О многозначных векторных полях на группах ди-феоморфизмов / А.Ю. Гликлих // Труды математического факультета ВГУ. 2004. - N 8. - С. 19-24.

33. Гликлих А.Ю. Об уплотняющих векторных полях на группах диффеоморфизмов / А.Ю. Гликлих // Труды математического факультета ВГУ. 2005. - N 9. - С. 40-45

34. Гликлих А.Ю. Одно утверждение о локальной липшицевости векторных полей на группах диффеоморфизмов / А.Ю. Гликлих // Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения: материалы международ, конф. Воронеж, 2005. - С. 35-36

35. Gliklikh A.Y. On existence of integral curves of continuous right-invariant vector fields on groups of diffeomorphisms / A.Y. Gliklikh // Fixed Point Theory. 2005. - Vol. 6, No. 2. - P. 279-284

36. Гликлих А.Ю. О существовании решения одного дифференциального уравнения второго порядка на группе диффеоморфизмов / А.Ю. Гликлих // Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна 2006: тез. докл. Воронеж, 2006. - С. 33.

37. Гликлих А.Ю. О дифференциальных уравнениях второго порядка с уплотняющей правой частью на группе диффеоморфизмов, сохраняющих объем / А.Ю. Гликлих // Труды математического факультета ВГУ. 2006. - Вып. 10. - С. 57-68.

38. Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / С. Ленг. М.: Мир, 1967. - 204 с.

39. Nash J. Imbedding Problem for Riemannian Manifolds / J. Nash // The Annals of Mathematics, 1956. Vol. 63, N 1. - P. 20-63.

40. Гликлих IO.E. Глобальный и стохастический анализ в задачах математической физики /Ю.Е. Гликлих. М.: Комкнига, 2005. - 416 с.

41. Красносельский М.А. Геометрические методы нелинейного анализа / М.А. Красносельский, П.П. Забрейко. М.: Наука, 1975. - 511 с.

42. Борисович Ю.Г. Введение в теорию многозначных отображений / Ю.Г. Борисович, Б.Д. Гельман, А.Д. Мышкис, В.В. Обуховский. -Воронеж: Издательство Воронежского Университета, 1986. 100 с.

43. Борисович Ю.Г. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений / Ю.Г. Борисович, Б.Д. Гельман, А.Д. Мышкис, В.В. Обуховский. М: КомКнига, 2005. - 215 с.

44. Kato Т. On classical solutions of the two dimensional non-stationary Euler equations / T. Kato // Arch, for Rat. Mech. and Analysis, 1967. Vol. 25, N 3. - P. 188-200