Геометрия и топология гиперболических аттракторов диффеоморфизмов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Введение.#

Глава I. Гиперболические аттракторы диффеоморфизмов и обобщенные соленоиды.

§ I. Некоторые результаты теории дифференцируемых динамических систем.

§ 2. Обобщенные соленоиды и представление растягивающихся аттракторов в форме соленоидов

Глава 2. Гиперболические аттракторы коразмерности I

§ I. Предварительные сведения и формулировки теорем

§ 2. Доказательство теоремв 2.1 . 3?

§ 3. Доказательство теоремы 2.

§ 4. Теорема об инвариантных слоениях

§ 5. Доказательство теоремы 2.3.

§ 6. Доказательства теорем 2.4 ,2.5.

§ 7. Доказательство теоремы 2.6.

§ 8. Доказательство теоремы 2.

§ 9. Бесконечность фундаментальной группы многообразия размерности большей двух,допускающего диффеоморфизм с растягивающимся аттрактором /сжимающимся репеллером/ коразмерности I

Глава 3. Гиперболические аттракторы диффеоморфизмов поверхностей и геометрия А -диффеоморфизмов.

§ I. Гиперболические аттракторы диффеоморфизмов.

§ 2. Число и расположение гиперболических аттракторов и репеллеров А -диффеоморфизмов поверхностей отличных от сферы.

§ 3. Асимптотические свойства аттракторов и топологическая сопряженность диффеоморфизмов поверхностей на одномерных базисных множествах.

Теория гладких динамических систем на многообразиях, естественность которой впервые была продемонстрирована трудами А.Пуанкаре 5 явилась по существу синтезом геометро-топологических и аналитических методов исследования временной эволюции процессов природы.

Х.Кнезер, в одной из своих работ > продолжавшей исследования А.Пуанкаре динамических систем на торе, ввел понятие эквивалентности, которое применительно к потокам на многообразиях формулируется следующим образом: потоки Х^ * > /V эквивалентны, если существует гомеоморфизм • ^^ , переводящий траектории в траектории .

Понятие эквивалентности потоков вместе со своим аналогом-тополо-гической сопряженностью для каскадов-систем с дискретным временем (каскады ^ * —* и ^ * ¡\1 ]\/ топологически сопряжены, если существует гомеоморфизм Для которого выполнено тождество К.* — ) играет фундаментальную роль в современных исследованиях.

Следует заметить, что цикл исследований динамических систем на торе, был отмечен в 1932 году открытием нового геометрического феномена-континуума А.Данжуа » который может появляться в потоках на торе в качестве минимального множества. Минимальное множество А.Данжуа имеет локальную топологическую структуру произведения канторова дисконтинуума на отрезок.

Гиперболическое" направление современной теории гладких динамических систем берет свое начало с исследования Ж.Адамаром геодезического потока на поверхности отрицательной кривизны ] и в исследовании грубых (структурно устойчивых) систем, введенных впервые А.А.Андроновым и Л.С.Понтрягиным в работе £ 6 ]] 1937 года. Структурная устойчивость гладкого потока (каскада) может быть определена как эквивалентность ( топологическая сопряженность ) всех систем, находящихся в достаточно малой -окрестности исходного потока (каскада). Структурно устойчивые потоки на поверхностях и каскады на окружностях образуют плотное множество в пространстве потоков на поверхности ( и каскадов на окружности ) в С топологии и не могут обладать бесконечным множеством периодических траектории [61 , [13] . [96] ). Однако, как показал феномен подковы С.Смейла ( [56] ,[5*7]) устойчивого структурно каскада двумерной сферы, обладающего счетным множеством периодических траекторий, для больших размерностей структурно устойчивые системы могуф обладать бесконечным набором гиперболических периодических траекторий. В дальнейшем С.Смейл доказал, что в больших размерностях (начиная с трех для потоков и двух для каскадов) структурно устойчивые системы плотны во множестве гладких

Г° систем, снабженном -топологией, и не обязательно плотны в этом же множестве, снабженном ( -топологией

5*9] ,[ай ).

Почти одновременно с работами С.Смейла появились исследования Д.В.Аносова ( [Т! * > ) введенных им "У -систем (или аносовских систем согласно устоявшейся в настоящее время терминологии), отличительной чертой которых является наличие гиперболической структуры: касательное расслоение фазового пространства "У -каскада, раскладывается в непрерывную сумму Уитни растягивающегося и сжимающегося подрасслоений (в случае У -потоков в сумму входит еще одномерное поле направлений, касательных к траекториям потока).

Д.В.Аносов доказал структурную устойчивость У -систем, несмотря на весьма запутанное поведение их траекторий и наличие обширных классов ( включающих У каскады и геодезические потоки на многообразиях отрицательной кривизны) со счетным множеством периодических траекторий.

Гиперболичность -систем приводит к разбеганию одних траекторий и сближению других с экспоненциальной скоростью, а также к свойству перемешивания (для систем, сохраняющих лебегову чмеру), что оправдывает применение к этим классическим системам , статистических методов исследования.

Эти факты, подмеченные Э.Хопфом [65"3 и Г.Хедлундом [<Р4] для случая геодезических потоков на поверхностях отрицательной кривизны, получили дальнейшее развитие в работах Я.Г.Синая (¡5~0],

51] , [52], [53]) и Д.В.Аносова ([$] ,[9] , [?2.]) доказавших, используя информационные методы, введенные в теорию динамических систем А.Н.Колмогоровым [36] , что У системы, сохраняющие лебегову меру, обнаруживают близкую аналогию со случайными процессами .

Согласно В.М.Алексееву ([2.] |3]^]3[5] ), Р.Боуэну [2/3] аналогия со случайными процессами прослеживается в поведении гладких динамических систем, выходящих за пределы класса У -систем .

В первую очередь это относится к классу А-систем, введенному С.Смейлом [60] , характеризующемуся гиперболичностью на подмножестве предельных точек. Предельное множество, на котором выполнены условия гиперболичности, разбивается согласно С.Смейлу на попарно не пересекающиеся, замкнутые, инвариантные, топологически транзитивные базисные множества, причем существует частичный порядок в совокупности базисных множеств, экстремальные по отношению к этому порядку либо притягивают к себе траектории точек достаточно малых своих окрестностей (аттракторы или стоки), либо выталкивают за пределы каждой достаточно малой окрестности базисного множества траектории точек окрестности, не принадлежащие этому множеству (репеллеры или источники).

Аттракторы динамических систем характеризуют предельные режимы, однако реквизит аттракторов, используемых в нелинейной физике, до недавнего времени .ограничивался особыми точками, периодическими траекториями и торами.

Гиперболическая теория гладких динамических систем выявила роль аттракторов, не являющихся многообразиями и названных вследствие этого "странными" . Дело в том, что согласно результатам Я. Г. Синая [5" ^^ , Л.А.Бунимовича [2б] , Р.Боуэна , Р.Боуэна и Д.Рюэля , использующим формализм гиббсовых мер Я.Г.Синая, существует естественная эргодическая мера на каждом гиперболическом класса С^ аттракторе, отличном от положения равновесия и периодической траектории, относительно которой поток (каскад), рассматриваемый на этом аттракторе изоморфен сдвигу Бернулли в каждый момент

В дальнейшем трудами Я.Г.Синая и Л.А.Бунимовича [5Г1 ,[«] эти же факты были установлены также для аттрактора Э.Н.Лоренца [39] » открытого посредством численного эксперимента в задаче о тепловой конвекции между двумя плоскостями, находящимися при разной температуре. Следует заметить, что значительный вклад в исследование геометрии аттрактора Лоренца внесли работы В.С.Афрай-мовича, В.В.Быкова, Л.П.Шильникова [19^ , и Р.Вильямса

М •

Отметим также прикладное значение парадигмы "странного аттрактора" .„Экспериментаторы время от времени сталкивались, как мы теперь знаем, со стохастическими автоколебаниями (динамика популяций, системы авторегулирования, радиотехнические генераторы, оптические квантовые генераторы и т.д.). Но понимания не было, и уширение спектра излучения или случайность реализации связывалась с присутствием в системе внешних шумов или усилением собственных флюктуаций. Особой точкой была лишь работа Э.Лоренца (1963), который обнаружил хаотическое поведение динамической системы в численном эксперименте и связал его со сложной динамикой системы.

И только почти десять лет спустя, после работы Рюэля и Такенса, которые узаконили математический образ стохастических колебаний диссипативных систем, дали ему название "странный аттрактор" и заявили о его связи с турбулентностью, плотину прорвало - в сравнительно короткий период появилось очень большое число работ по стохастичности диссипативных систем. Фактически же математический аппарат, пригодный для описания стохастических автоколебаний, существовал уже с середины 60-х годов (Аносов, Синай, Смейл)". (А.В.Гапонов-Грехов 12.9 3). Трудности прикладного аспекта (см. обзоры А.С.Монина , М.И.Рабиновича [47] ,Д.Рюэля [973 ), связанного с изучением конкретных систем, определяются в первую очередь тем обстоятельством, что в этих системах аттракторы существуют вместе с другими предельными образованиями, отделение которых является трудной задачей, требующей часто мобилизации не только аналитических и геометрических методик, но и значительных вычислительных средств.

При "геометрическом" подходе, которому следует настоящая работа, изучаются многообразия и динамические системы на них, в которых проявляется разнообразие структур аттракторов и основную трудность составляют классификационные задачи.

Все изученные в настоящее время "странные аттракторы" обладают в той или иной степени гиперболическими качествами, что делает естественной постановку задачи о структуре гиперболических аттракторов с точностью до эквивалентности или топологической сопряженности (проблемы (9Л),(9.3)

60] ). Предлагаемая работа посвящена "странным аттракторам" (репеллерам) А -каскадов. В работе [60] С.Смейл дал два типа примеров подобных аттракторов.

Первый из этих типов составляет класс

-диффе оморфизмов, являющийся естественным обобщением отображений Ван Данцига обладающих в качестве аттракторов соленоидами Виетори-са - Ван Данцига.

Опишем один из аттракторов данного типа как предел обратного спсктра окружностей Б 3 . . ^Г" ^ •. с проекциями л . С 4- С К • О о вида — 2: ^ К £ Х> целое, если

51 = { г 6 с : I г I = ^ •

Если представить точки подобного соленоида Л. последовательностями ( , 3 . . . ^ 2: и,} ' - - ), Ъу^—Ъух+1 , то

50 Е отображение, ограниченное на .1 , топологически сопряжено сдвиговому отображению С ^ , где

С СЪь> . , . ) = Цг±>

Второй тип-класс

А -диффеоморфизмов, в построении которых участвуют -автоморфизмы тора, вместе с его обобщением подробно описан во второй главе настоящей работы. Р.Вильяме в цикле работ ( [100] 5 £101] ^ ¡^ 0 2-] ) обобщил конструкцию отображений, используя обратные спектры разветвленных многообразий с проекциями, являющимися дальнейшими обобщениями растягивающих отображений окружностей, при этом оказалось, что "странные аттракторы" .Д. -диффеоморфизмов, обладающих естественными свойствами, получаются как "обобщенные соленоиды". Первая глава диссертации содержит два параграфа. Первый содержит необходимые результаты гиперболической теории гладких каскадов. Из результатов этого параграфа отметим теорему 1.7 , устанавливающую экстремальность базисного множества коразмерности I и теорему 1.9, являющуюся основой вводимого далее понятия граничной периодической точки. Второй параграф содержит изложение варианта теории Р.Виль-ямса, который отличается от нее полным отказом от существенно используемых Р.Вильямсом предположений о гладкости разветвленных многообразий, весьма обременительных при проверке и проведении конструкций. Из результатов этого параграфа отметим теоремы 1.11, 1.12, дающие вклад в методику конструирования конкретных примеров, а также теорему 1.13 о представимости растягивающегося аттрактора в форме "обобщенного соленоида", порожденного негладким разветвленным многообразием. Вторая глава диссертации разбита на девять параграфов, из которых первый содержит предварительные сведения и формулировки утверждений, а остальные - доказательства основных и вспомогательных теорем и лемм. Центральным утверждением второй главы является формулируемая ниже классификационная теорема, следующая из теорем 2.3,2.5,2.7. ^

Определение. Рассмотрим множества 1 пар (Д^)иГ троек ( А ^ В }, где А гиперболический автоморфизм УЬ -тора , , в спектре которого единственное собственное число меньшее единицы по абсолютной величине, ^ -конечное

А -инвариантное подмножество И- -тора, 0 линейная инволюция того же тора, перестановочная с р\. , обладающая конечным множеством неподвижных точек рЬХ. О , которое для случая тройки включается в^ множество , входящее в состав тройки.

Введем в ( ) отношение эквивалентности , считая,

- (Л! > ^) нкг Л) АМАа д, . существует такое линейное отображение ; ^>,гу^ (являющееся суперпозицией группового автоморфизма и сдвига), что - [ А». =та1Х1, е^гъг;

Класс эквивалентности пары ( А ) тройки ( А ^ 9 ) ^ назовем классом ориентируемого аттрактора (неориентируемого).

Теорема классификации. Каждому ориентируемому (неориентиру-емому) растягивающемуся аттрактору коразмерности I диффеоморфизма £ 1 ]ч/\ , с^ьт^^Яу , такому., что достижимая граница 5) (.М-^Л-^ состоит из связок степеней, не превосходящих 2, соответствует класс ориентируемого (неориентируемого) аттрактора. Ограничения на области притяжения аттракторов любых диффеоморфизмов fj, {л^ ' ДействУЮ1Дих на многообразиях одинаковой размерности X » обладающих растягивающимися аттракторами коразмерности I с вышеуказанным свойством достижимых границ топологически сопряжены тогда и только тогда, когда совпадают классы аттракторов. Для каждого класса найдутся многообразие и диффеоморфизм £ " ]У\. , обладающие аттрактором А этого класса.

Заметим, что все необходимые определения к теореме классификации приведены в § I главы 2. Согласно теореме 2.1 условие на достижимую границу $) (]Ч/1Чч7\.) автоматически выполняется для случая ^ 3 • Для случая, когда многообразие тор и аттрактор диффеоморфизма £ 1 ориентируемый, понятие класса аттрактора может быть выведено из результатов В.З.Гринеса и Е.В.Жужомы [З'! 3 *' » °Днако теорема классификации является усилением и этих результатов, так как устанавливает топологическую сопряженность на областях притяжения аттракторов. Последнее обстоятельство связано с применением теоремы об инвариантных слоениях, доказательство которой содержится в § 4 главы 2. При УЪ — Х> Т€орека. классификации даёт полное решение задачи классификации одного класса аттракторов диффеоморфизмов двумерной сферы, исследовавшейся в работе М

Последний параграф (§ 9) главы 2 посвящен изучению связи топологической структуры многообразия с возможностью существования .диффеоморфизма этого многообразия, обладающего растягивающимися аттракторами (сжимающимися репеллерами) коразмерности I.

Основной вывод - это бесконечность фундаментальной группы подобного многообразия. Так как свойства аттракторов конкретных динамических систем с непрерывным временем, задаваемых системами обыкновенных дифференциальных систем в К^ , часто усматриваются из поведения отображений Пуанкаре, локализованных на множествах гомеоморфных Я- , то можно сделать вывод об отсутствии у подобных систем растягивающихся аттракторов (сжимающихся репеллеров) коразмерности I, если ^ 4.

Глава 3 диссертации разбита на три параграфа. Первый, посвященный изучению гиперболических аттракторов двумерной сферы, начинается серией примеров 3.1, 3.2, 3.3, 3.4 грубых диффеоморфизмов сферы, обладающих гиперболическими аттракторами, гомео-морфными неразложимым континуумам Вады "3 ? 11^3 . Заметим, что существование этих диффеоморфизмов дает отрицательный ответ на вопрос К.Борсука: является ли всегда локально связным связное замыкание траектории какой-либо точки под действием гомеоморфизма плоскости ( 3 , стр. 64).

Вследствие грубости примеры могут быть реализованы полиномиальными отображениями, однако оценки А.О.Лопеса [90] по3 казывают, что степени этих полиномов превышают 10 , чем лишний раз подтверждается преимущество геометрических методов исследования аттракторов перед аналитическими.

Отметим некоторые приложения конструкции гиперболических гД, аттракторов диффеоморфизмов о . Во-первых, это возможность проведения конструкции Д.Рюэлля и Ф.Такенса открытого множества векторных полей, обладающих "странными аттракторами" в любой окрестности квазипериодического векторного поля на ИЬ -торе Т ^ при 3 [933 (в первоначальной конструкции Л

4).

Во-вторых, использование конструкции гиперболического аттрактора диффеоморфизма плоскости при доказательстве С -типичности диффеоморфизмов многообразия , ^ ^ 3 , обладающих бесконечным числом нульмерных аттракторов или репеллеров

Наконец,заметим,что пример 3.1 привел к уточнению "энтропийной гипотезы" [.7 93.

Теорема 3.1 о соленоидальном представлении гиперболического аттрактора диффеоморфизма двумерной сферы устанавливает равенство ранга одномерной группы когомологий Александрова- Чека одномерного гиперболического аттрактора с минимальным числом окружностей букета,порождающего соответствующий "обобщенный соленоид" ,при этом оказывается;что действие диффеоморфизма на фундаментальной группе области притяжения аттрактора аналогично действию,описанному теоремой 1.12 .

Согласно следствию теоремы 3.1 число граничных периодических точек гиперболического аттрактора А диффеоморфизма двумерной сферы равно 2 1) ,где Ю. ранг одномерной группы когомологий Д

Теорема 3.2 выявляет механизм появления притягивающих ■ / отталкивающих/ периодических траекторий Д - диффеоморфизмов поверхностей и дает положительное решение задачи С.Смейла [5~7] для рассматриваемого класса диффеоморфизмов. / Для диффеоморфизмов общего положения двумерной сферы ответ отрицательный [.^0] /.

Отметим,что популярные примеры полиномиальных отображений плоскости в себя типа примера Энно » [^5] »обладающие притягивающим одномерным множеством,расположенным в односвязной ограниченной области,лебеговы меры итераций которой стремятся к не могут обладать одномерными гиперболическими аттракторами, так как согласно теореме 3.3 дополнение гиперболического одномерного аттрактора диффеоморфизма двумерной сферы состоит из не менее чем четырех областей- обстоятельство,препятствующее значительному уменьшению лебеговой меры итерации любой односвязной . области, содержащей подобный аттрактор.

В §2 главы 3 вводится существенное для дальнейшего понятие просторно расположенного базисного множества - такого одномерного базисного множества , что не существует стягиваемой петли, образованной отрезком устойчивого и отрезком неустойчивого многообразий какой-либо точки ХбЛ, и даются оценки максимального числа подобных базисных множеств (теоремы 3.4, 3.5).

В §3 главы 3 исследование вопросов топологической сопряженности и геометрии Д -диффеоморфизмов на поверхностях производится посредством изучения асимптотических свойств прообразов просторно расположенных базисных множеств диффеоморфизмов поверхностей на универсальной накрывающей.

Еще в 1935 году А.Вейль в своем докладе "Семейства кривых на торе" , прочитанном на I Международной топологической конференции в Москве предложил исследовать этим методом топологию слоений на ориентируемой двумерной поверхности ряда Р £ 2.

На возможность плодотворного изучения потоков поверхностей путем рассмотрения их прообразов на универсальной накрывающей указывал Д.В.Аносов в своих многочисленных выступлениях 60-х годов. Начиная с 1973 года появилась серия работ С.Х.Арансона и В.З.Гринеса, в которой был введен гомотопический класс вращения, оказавшийся полным топологическим инвариантом транзитивных потоков и нетривиальных минимальных множеств потоков на поверхностях » * Гомотопический класс вращения определяется асимптотическими свойствами прообразов траекторий потоков на универсальной накрывающей, однако работы В.З.Гринеса (3^1 > ["313 показали возможности его использования и при изучении проблемы топологической сопряженности Д -каскадов, ограниченных на ориентируемые базисные множества.

Теорема 3,6 устанавливает существование иррациональных асимптотических напралении на универсальной накрывающей прообразов устойчивых / неустойчивых / многообразий точек просторно расположенных аттракторов /репеллеров/ и является обобщением на рассматриваемую ситуацию результатов С.Х.Арансона и В.З.Гринеса, в качестве следствия приходим к несуществованию на бутылке Клейна диффеоморфизмов,обладающих просторно расположенными аттракторами / репеллерами/ /теорема 3.7/ .

Теорема 3.8, обобщая результаты В.З.Гринеса, полученные для ориентируемых аттракторов, устанавливает необходимые и достаточные условия сопряженности диффеоморфизмов, ограниченных на просторно расположенные аттракторы /репеллеры/,как свойства подобного асимптотического поведения прообразов устойчивых /неустойчивых/ многообразий точек этих множеств на универсальной накрывающей.

Эти результаты,выполненные в идеологическом ключе выше: перечисленных работ, являются уточнением работы автора , откуда извлекается существование асимптотических точек на абсолюте универсальной накрывающей /реализованной в виде круга Пуанкаре/ прообразов устойчивых и неустойчивых многообразий просторно расположенных базисных множеств.

1. Квазислучаиные диффеоморфизмы, Матем.сб. ,76 /118/, М /1968/, 72-134 П Одномерные нелинейные колебания в периодически возмущаемом поле, Матем.сб. 77 /119/, JM /1968/, 545-601; III. Квазислучайные колебания одномерных осцилляторов,Матем.сб.,78 /120/,М /1969/,3-50. [_3] Квазислучайные колебания икачественные вопросы небесной механики, 9-я летняя математическая школа,Киев,1972,212-341. 4 Сшлволическая динамика,XI летняя математическая школа,Киев, 1976, I-2I

2. Алексеев В.М.,Якобсон М.В. Г 5 Символическая динамика и гиперболические динамические системы, в книге 196-

3. Андронов А.А.,Понтрягин Л.С. б Грубые системы,ДАН СССР,14, т /1937/ 247-

4. Аносов Д.Б. 7 Грубость геодезических потоков на компактных римановых многообразиях отрицательной кривизны, ДАН СССР, 145,М /1962/,707-7021 Г 8 Д Эргодические свойства геодезических потоков на замкнутых многообразиях отрицательной кривизны,ДАН СССР,151, Ш /1963/ 1250 -1252 Г 9 Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях "Методы символической динамики" "Мир" ,1979,

5. Аносов Д.В.,Синай Я.Г. ri2j Некоторые гладкие динаглические системы, 7Ш ,22, J№ /1907/, 107 -Г

6. Арнольд В.И. flSj Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, "Наука" 1

7. Биркгоф Дк.Д, [21J Дйнаьшческие системы, О Г И 3, I94I. Брахман А.Л. Q223 Слоения без циклов.тематические Заметки,197I, 9:2 181-

8. Боуэн Р. [_23j Методы символической динаглики.Сборник статей. Ш р 1 9 [24 Равновесные состояния и эргодинеская теория дид[зфеоморфизмов Аносова. в книге "Методы символической динамики",9-

9. Боуэн Р. и Рюэль Д. [25] Эргодическая теория потоков,удовлетворяющих аксиоме А в сборнике Методы сиьшолической динамики 144- Г

10. Бунимович Л.А. 26] Включение сдвигов Бернулли в некоторые специальные потоки, У М Н, 28,вып.З /1973/, 171-

11. Бунимович Л.А.,Синай Я.Г. [27J Стохастичность аттрактора в модели Лоренца в книге "Наука", 1979, 212-

12. Нелинейные волны", Вильяме Р. [281 Структура аттракторов Лоренца- в сборнике "Странные аттракторы", "Шр", I98I, 58-

13. Гапонов-Грехов А.В. 29J Нелинейные волны.Распространение и взаимодействие."Наука", I98I, стр. 3-7.

14. Гринес В.З. Дужома Е.В. (_32j на О топологической классификации ориентируемых аттракторов vv -мерном Tope.yivlH, 1 9 т.34, вып.4 /208/,с.

15. Гуревич В. и Волмэн Г. 33_] Теория размерности. Москва 1

16. Жиров А.Ю. [_343 Классификация одномерных стоков диф)еоморфизмов двумеро на четыре связные области.- 7Ш, ной сферы,разбивающих 1978, 23: 2, 181-

17. Зейферт Г.,Трельвлль В. [35 Топология, Москва Ленинград, 1

18. Колмогоров А.Н. [36 Новый метрический инвариант транзитивных динамических систем и автоморфизмов пространств Лебега, ДАН СССР, 119, Ш, 1958, 861 -

19. Куратовский К. [_37] \J2Q\ Топология, т.2, Москва, Ш р 1

20. Геометрические методы нелинейного анализа."Наука",

21. Красносельский М.А.,Забрейко П.П. Лоренц Э.М. [QS] Детерм11нированное непериодическое двшсение, в сборнике "Странные аттракторы "1Лир",1981, 88- 116.

22. Мэннинг Э. [42 Отсутствие новых Нитецки 3. (Чз] Введение

23. Новиков С П [44] Топология слоений. Труды MvIO, 1965, 14, 248-

24. Пуанкаре А. [45_]i О кривых,определяемых дифференциальными уравнениями, О Г И 3, 1

25. Пупко В.И. [46] О несамопересекающихся кривых на замкнутых поверхностях, ДАН СССР, Г77,].2, I9G7, 272-

26. Рабинович М.И. 47 Стохастические автоколебания и турбулентность, УФН, т.125 ВЫП.1, 1978, 123-

27. Рюэль д. ,Такенс Ф. 48 О природе турбулентности, в сборнике "Странные аттракторы", "ivinp" ,1981, 1Г7-

28. Роббин Дк.У. 149]\ Теорема о структурной устойчивости, в книге

30. Синай Я.Г. 50] Геодезические потоки на многообразиях отрицательной постоянной кривизны. ДАН СССР,131, 4/1960/, 752- 755. диффеоморфизмов на торах. в Ш р ,1977,99- П О сборнике "Гладкие динамические системы

31. Улам [63] Нерешенные математические задачи, "Наука 1964. "Шр", IIr. "Нелиней32. Hгnoъ M. Mcctk. phtib. 6"0 Qtoai JfгcьC(sii Ръос, Snp. in. Puz€. Math, /70 3 3 /63- V. Ц уи1г, Mcdh. Soc, Mcuth, Jhn. 9i HZ 3 i"4 "SpLvget 9 2. 5