Марковские разбиения для псевдоаносовских диффеоморфизмов поверхностей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

□□3487655

Российская Академия Наук Математический институт имени В. А. Стеклова

Клименко Алексей Владимирович

Марковские разбиения для псевдоаносовских диффеоморфизмов поверхностей

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

1 о ДЕК 2009

Москва 2009

003487655

Работа выполнена в отделе дифференциальных уравнений Математического института имени В. А. Стеклова РАН.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

академик РАН, профессор Д. В. Аносов.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А. Ю. Жиров;

доктор физико-математических наук профессор Е. А. Сатаев.

Ведущая организация: Санкт-Петербургское отделение

Математического института имени В. А. Стеклова РАН.

Защита диссертации состоится 17 декабря 2009 года в 14 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 002.022.02 при Математическом институте имени В. А. Стеклова РАН по адресу:

119991, г. Москва, ул. Губкина, д. 8, Математический институт им. В. А. Стеклова РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института им. В. А. Стеклова РАН.

Автореферат разослан 12 ноября 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 002.022.02, доктор физико-математических наук

Ю. Н. Дрожжинов

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Работа относится к теории гиперболических динамических систем. В ней изучаются множества марковских и сходных с ними предмарковских разбиений для псевдоаносовских диффеоморфизмов поверхностей, в частности, для гиперболического автоморфизма тора. Такие разбиения (наборы подмножеств фазового пространства с определёнными структурой и поведением под действием отображения, определения см. ниже) позволяют строить удобные символические модели для указанных отображений, что может применяться при изучении свойств последних.

Диффеоморфизм двумерного тора, задаваемый формулой

XI-* Ах (mod Z2), (*)

где А € GL2(Z) — гиперболическая матрица, (его называют гиперболическим автоморфизмом тора) и в частности, такой диффеоморфизм с А = (), послужил при построении гиперболической динамики в 1960-х гг. важным примером динамической системы, в которой всё фазовое пространство является гиперболическим множеством (системы Аносова). Построение марковского разбиения для гиперболического автоморфизма тора было осуществлено Р. Адлером и Б. Вейссом.1

В дальнейшем обобщения конструкции марковских разбиений происходили в двух направлениях.2

1R.L. Adler, В. Weiss. Entropy, a complete metric invariant for automorphisms of the torus, Proc. of Nat. Acad. Sei., 57:6 (1967), 1573-1576.

2Ещё один подход — арифметическое кодирование, — принадлежащий А. М. Вершику, состоит в построении для автоморфизма (*) кодирования точек в виде х>£"А~п(у)> гДе У — фиксированная гомо-клиническая точка, а (еп) выбирается из компакта в пространстве последовательностей; при некоторых условиях он является марковским. A.M. Vershik. The fibadic expansions of real numbers and adic transformation. Prep. Report Inst. Mittag-Leffler, 1991-1992, No. 4, 1-9. N. Sidorov, A. Vershik. Bijective arithmetic codings of hyperbolic automorphisms of the 2-torus, and binary quadratic forms. J. Dyn. Control Syst., 4:3 (1998), 365-399.

В настоящей диссертации этот подход не рассматривается.

Один путь, принадлежащий Р. Боуэну,3 состоял в рассмотрении динамики на произвольном локально максимальном гиперболическом множестве. (Первые шаги в этом направлении, практически одновременно с работой Адлера и Вейсса, были сделаны Я. Г. Синаем: он начал, частично совместно с Б. М. Гуревичем, построение марковских разбиений для гиперболических автоморфизмов n-мерного тора.) В этих условиях Боуэном было установлено существование марковского разбиения, однако платой за столь общие условия стала неконтролируемо сложная геометрия множеств, составляющих разбиение.

Позже выяснилось, что существенную роль в наличии простой геометрии элементов разбиения играет двумер-ность фазового пространства. Так, уже для аналогичного (*) автоморфизма трёхмерного тора элементы марковского разбиения не могут иметь кусочно гладкую границ}'.4

Поэтому возник также другой путь: при сохранении двумерности фазового пространства ослабить требования к отображению. Таким расширением класса отображений являются псевдоаносовские диффеоморфизмы двумерных компактных ориентируемых поверхностей. Они возникают естественным образом как представители некоторой части классов эквивалентности при принадлежащей Я. Нильсену и У. Тёрстону классификации гомеоморфизмов поверхностей с точностью до изотопии.

Определение псевдоаносовского диффеоморфизма основывается на аналогии со следующими свойствами гиперболического автоморфизма тора. Для последнего существуют два одномерных трансверсальных слоения, инвариантных под действием диффеоморфизма — разбиения на прямые, параллельные устойчивому или неустойчивому направлению. На слоях этих слоений есть меры (совпадающие со стандартной одномерной мерой Лебега), которые голо-номно инвариантны: если отрезок перенести с одного слоя

3R. Bowen. Markov partitions for Axiom A diffeomorphisms, Amer. J. Math., 92 (1970), 725-747.

4R. Bowen. Markov partitions are not smooth, Proc. Amer. Math. Soc., 17:1 (1978), 130-132.

устойчивого (неустойчивого) слоения на другой вдоль слоев неустойчивого (устойчивого) слоения, то меры этих отрезков будут равны. Наконец, образы этих мер под действием автоморфизма есть исходные меры, умноженные на Л и 1/А соответственно.

В случае псевдоаносовского диффеоморфизма (для простоты рассмотрим случай поверхности без края) инвариантные слоения могут иметь особые точки вида «стандартной особенности с га > 3 сепаратрисами» (например, при п = 4 слоение в окрестности такой точки гомеоморфно слоению на компоненты связности гипербол ху — с и координатные полуоси). Устойчивое и неустойчивое слоения трансверсальны всюду, кроме особых точек, на них заданы трансверсальные меры, которые голономно инвариантны, а их образы есть они сами, умноженные соответственно на Ли 1/А.

Для псевдоаносовских диффеоморфизмов поверхностей без края марковские разбиения были построены А. Фати и М. Шубом.5 Эти же авторы (а впоследствии и другие) использовали марковские разбиения для анализа динамики псевдоаносовских диффеоморфизмов.

А. Ю. Жиров использовал для классификации псевдоаносовских диффеоморфизмов поверхностей6 введённые им ленточные разбиения — предмарковские (он называет их просто марковскими) разбиения с некоторыми дополнительными свойствами.

Актуальность темы вытекает из вышесказанного — значимости марковских разбиений как инструмента в исследовании различных вопросов теории псевдоаносовских диффеоморфизмов поверхностей.

5Fathi A., Laudenbach F., Poénaru V. Travaux de Thurston sur les surfaces (Séminaire Orsay). Paris, Soc. Math. France, 1979 (Astérisque 66 67).

6Zhirov A. Yu. Complete combinatorial invariants for conjugacy of hyperbolic attractors of diffeomorphisms of surfaces, J. Dyn. Control Syst., 6:3 (2000), 397-430.

Жиров А. Ю. Комбинаторика одномерных гиперболических аттракторов диффеоморфизмов поверхностей, Труды МИАН, 244 (2004), 143-215.

Цель работы. Целью работы является изучение всего семейства марковских (и сходных с ними предмарковских) разбиений для данного псевдоаносовского диффеоморфизма поверхности, в частности, установление конечности числа неэквивалентных предмарковских разбиений ограниченной сложности (определение см. ниже, для марковских разбиений это означает, что число элементов ограничено сверху) и получение явных формул для их количества в простейших случаях.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Основные результаты.

1. Доказано, что для любого псевдоаносовского диффеоморфизма поверхности множество классов эквивалентности (относительно действия степеней диффеоморфизма) предмарковских разбиений с ограниченной сложностью конечно.

2. В случае гиперболического автоморфизма тора описана структура множества простейших предмарковских разбиений — разбиений на два параллелограмма с условием, что оба отрезка границы содержат неподвижные точки. В частности, получены явные выражения для числа классов эквивалентности таких разбиений относительно действия степеней этого автоморфизма.

Методы исследования. В работе, помимо выработанных в гиперболической теории динамических систем методов, также применяются методы элементарной геометрии и топологии на поверхностях и теоретико-числовые методы, связанные с теорией цепных дробей.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты относятся к гиперболической теории динамических систем. Результат о структуре множества простейших предмарковских разбиений указывает динамический инвариант гиперболического автоморфизма тора, который может препятствовать топологической сопряжённости двух таких автоморфизмов даже с одинаковой жордановой формой матрицы.7

7См. работу [3] из списка публикаций.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях:

• на семинаре кафедры теории динамических систем механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова под руководством академика РАН Д. В. Аносова, д. ф.-м. н., профессора В. М. Закалюкина в 2006 г.;

• на семинаре «Динамические системы» под руководством д. ф.-м. н., профессора Ю. С. Ильяшенко (механико-математический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова) в 2007 г.;

• на семинаре по теории динамических систем под руководством академика РАН Д. В. Аносова, д. ф.-м. н., профессора А. М. Стёпина (механико-математический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова) в 2008 г.;

• на конференции «Ламинации и групповые действия в динамике» (г. Москва, 19—23 февраля 2007 г.)

• на Международной конференции «Дифференциальные уравнения и топология», посвящённой 100-летию со дня рождения Л. С. Понтрягпна (г. Москва, 17—22 июня 2008 г.)

• на семинаре по теории динамических систем в Университете Экс—Марсель I (г. Марсель, Франция) в июне 2008 г.

• на конференции «Dynamique dans l'espace de Teichmüller» (г. Роскофф, Франция) в июне 2008 г.

• на школе «School and Workshop on Dynamical Systems» (г. Триест, Италия) в июле 2008 г.

Публикации. Основные результаты опубликованы в следующих работах:

[1] A.B. Клименко. О количестве классов марковских разбиений для гиперболического автоморфизма двумерного тора, Матем. сб., 200:8 (2009), 147-160.

[2] A.B. Клименко. Конечность числа классов марковских разбиений для псевдоаносовских диффеоморфизмов поверхностей, Матем. заметки, 86:2 (2009), 314—317.

До этого часть результатов диссертации была (без полных доказательств) опубликована в препринте

[3] D.V. Anosov, A.V. Klimenko, G. Kolutsky. On the hyperbolic automorphisms of the 2-torus and their Markov partitions (preprint по. MPIM2008-54). — Bonn, Max-Planck-Institut für Mathematik, 2008.

Структура работы. Работа состоит из введения, трёх глав и списка литературы, содержащего 16 наименований. Общий объем диссертации — 95 страниц.

Краткое содержание диссертации

Работа посвящена исследованию множества всех марковских и сходных с ними предмарковских разбиений для псев-доаносовских диффеоморфизмов поверхностей, в частности, для гиперболического автоморфизма тора.

Во введении формулируются цели исследования, описывается структура диссертации.

Глава 1, вводная, содержит определения двух рассматриваемых классов отображений — гиперболических автоморфизмов тора и псевдоаносовских диффеоморфизмов — и некоторые вспомогательные леммы о них.

В ней также определяются понятия прямоугольника на поверхности относительно пары заданных на ней трансвер-сальных слоений (непрерывный образ квадрата, являющийся вложением на внутренности, такой что вертикальные и горизонтальные отрезки переходят в отрезки слоёв этих слоений) и марковского разбиения для псевдоаносовского диффеоморфизма / (разбиение поверхности на прямоугольники относительно устойчивого и неустойчивого слоений со следующими условиями на высекаемые прямоугольниками отрезки слоёв: (i) образ (прообраз) под действием / высекаемого разбиением отрезка устойчивого (неустойчивого) слоя вложен в некоторый аналогичный отрезок; (ii) если образ (прообраз) высекаемого разбиением отрезка неустойчивого (устойчивого)

слоя содержит внутреннюю точку некоторого прямоугольника R разбиения, то его пересечение с R связно). Для разбиения 1Z поверхности на прямоугольники относительно указанных слоений через duTZ (dslZ) обозначается объединение отрезков слоев неустойчивого (устойчивого) слоения, лежащих на границе прямоугольников из 7Z.

Глава 2 посвящена исследованию множества предмар-ковских разбиений в ситуации произвольного псевдоаносов-ского диффеоморфизма / замкнутой поверхности М.

В ней даётся определение предмарковского разбиения, которое обобщает понятие марковского разбиения.

Определение 2.1. Набор 7Z = {Ri}£Li называется предмар-ковским разбиением для исевдоаносовского диффеоморфизма / поверхности М, если:

1. каждое множество Ri является прямоугольником, причём int Ri П int Rj — 0 при г ф j, UiLi Ri = M;

2. существует такое К, что

f(duK U duf{Tl) U... U dufK'1(n)) Э

DdulllJduf{'Jl)U...lidufK-1{K), ^ f(ds7ZUdsf{7l)U...UdsfK~1(n)) С

С dsTl U dsf{Tl) U ... U dsfK'\n).

Это определение мотивируется в первую очередь процедурой построения марковского разбиения для отображения (*) с А — (i|), в которой сначала строится вспомогательное разбиение тора на два прямоугольника (параллелограмма с геометрической точки зрения) R\, R/z. удовлетворяющее этому определению, а затем марковское разбиение получается путём рассмотрения замыканий связных компонент пересечений int Ri П /(int Rj).

В общей ситуации исевдоаносовского диффеоморфизма верны аналогичные результаты (предложение 2.2, теорема 2.1): во-первых, всякое марковское разбиение является предмарковским, а во-вторых, если для предмарковского разбиения {Ri, ■ ■. ,Rn} рассмотреть разбиение,

состоящее из замыканий связных компонент множеств int Ri0 П/(int ) П... П fM(int RiM) при достаточно большом (фиксированном) М, то получится марковское разбиение.

Естественно считать, что разбиения с большим числом прямоугольников или с большим параметром К в (**) являются более сложными. Формально это выражается следующим образом.

Определение 2.2. Будем говорить, что у предмарковских разбиений из множества iK = {П,х} ограничена сложность, если существуют такие Nq и Ко, что каждое из Иа содержит не более Л/о прямоугольников, а условие (**) выполнено при К = Ко-

Для марковских разбиений ограниченная сложность означает просто ограниченность числа элементов в разбиении.

Имея одно (пред)марковское разбиение 7Z — ..., R^} можно получить бесконечную серию fi(1Z) = {fJ(Ri),..., fJ(RN)}. Однако с динамической точки зрения различие между этими разбиениями сводится к тому, что порождаемые ими кодирования отличаются сдвигом. Мы будем называть разбиения f3{TZ) эквивалентными 7Z в узком смысле. Можно расширить это понятие, рассмотрев вместо группы {/•*} степеней исходного диффеоморфизма / группу всех коммутирующих с / диффеоморфизмов поверхности, которые сохраняют слоения и трансверсальные меры. Орбиты её действия будут классами эквивалентности разбиений в широком смысле.

Основным результатом этой главы является следующая теорема.

Теорема 2.2. Число классов узкой (а значит, и широкой) эквивалентности предмарковских разбиений с ограниченной сложностью конечно.

Её доказательство опирается на следующую лемму, которую можно считать количественным аналогом утверждения о плотности (полу)слоёв инвариантных слоений псевдоано-совского диффеоморфизма.

Лемма 2.2. Для любого е > О и любого натурального N существует такое Ь, что любой отрезок неустойчивого слоя меры е и любой отрезок устойчивого слоя меры Ь пересекаются не менее N раз.8

Идея доказательства теоремы 2.2 такова. Во-первых, слои, отрезки которых могут входить в границу разбиения, являются периодическими с ограниченным периодом, а их множество конечно. В силу леммы 2.2 не могут одновременно иметься длинные отрезки границы устойчивого и неустойчивого направления, поэтому, «приблизительно нормировав» применением степени / наибольшую длину (меру) устойчивого отрезка границы (сделав так, что она лежит на [1,А]), можно оценить сверху максимум длин неустойчивых отрезков границы. Более тонкий анализ позволяет, имея эти оценки, указать такой отрезок на каждом слое из множества периодических слоёв с ограниченным периодом, что все отрезки границы (для «нормированного» разбиения) будут лежать на них. Но тогда «нормированных» разбиений конечное число, поскольку для выбора каждого отрезка границы имеется лишь конечное число возможностей: его концы обязаны быть точками пересечениями указанных отрезков на устойчивых и неустойчивых слоях.

Несколько изолированно в этой главе стоит параграф 2.6, в котором показано, что для введённого Боуэном обобщения понятия марковских разбиений на случай произвольного локально максимального гиперболического множества даже в случае автоморфизма тора конечность числа классов марковских разбиений (с фиксированным числом элементов) не имеет места.

В главе 3 исследуются простейшие предмарковские разбиения для гиперболического автоморфизма тора (*), т. е. такие разбиения тора на два параллелограмма, что каждый отрезок границы содержит неподвижную точку отображения.

8ГГриведенная формулировка относится к случаю поверхности без края. В действительности, при обычном определении псевдоаносовских диффеоморфизмов поверхности с краем справедлива такая же лемма с тем изменением, что упоминаемые отрезки слоёв не должны лежать на дМ.

Мы будем рассматривать широкую эквивалентность разбиений (анализ узкой эквивалентности ведётся аналогично, но проще, см. замечание 3.4). Можно показать, что группа коммутирующих с (*) гомеоморфизмов, которые сохраняют слоения и трансверсальные меры, состоит только из аффинных отображений и порождается следующими образующими: сдвигами х н-> х + v на вектор v решётки Fix(A) = {v G Ж2 : Av — v (mod Z2)}, центральной симметрией x — x и некоторым «корнем из ±/1» — отображением х н-> Сх с гиперболической матрицей С € GL^Z), такой что А = ±Ск.

Разбиения тора на два параллелограмма с иррациональным наклоном сторон имеют следующую структуру.

Лемма 3.3. Если тор разбит на два параллелограмма, стороны которых параллельны двум данным прямым с иррациональным наклоном, то граница разбиения (объединение границ параллелограммов) состоит всего из двух отрезков, по одному каждого направления, причём оба конца одного являются внутренними точками другого.

В нашем случае, когда эти прямые являются устойчивым и неустойчивым направлениями матрицы А, к этим отрезкам сводятся определённые ранее 0"TZ и dalZ.

Отметим, что поднятие разбиения на плоскость гомео-морфно одному из двух разбиений, указанных на рисунке 1). Различие этих двух классов разбиений, которые мы будем называть «островными» и «паркетными» может быть выражено различными способами. Например, для паркетного разбиения прообраз (относительно проекции плоскости на тор) каждого из параллелограммов несвязен (состоит из бесконечного числа «полос»), а для островного один из них связен, а второй — нет, причём каждая его компонента связности однозначно проектируется на исходный параллелограмм на торе. Для дальнейшего будет удобна такая формулировка: для островного разбиения длины обеих сторон одного параллелограмма больше длин соответствующих сторон другого, для паркетного — одна из сторон больше у одного параллелограмма, а другая — у другого.

Рис. 1. Островной (а) и паркетный (б) типы разбиения

Описание структуры всего множества простейших разбиений проводится в два этапа. На первом этапе описываются классы эквивалентности разбиений с точностью до произвольного сдвига (т. е. просто пары параллелограммов на торе с данными направлениями границ), а на втором — выясняется, сколько предмарковских разбиений можно получить из каждого класса первого этапа. Зафиксируем собственные векторы еи и е., матрицы А, имеющие единичную длину. Тогда удобно считать, что описываемые на первом этапе разбиения сдвинуты на торе так, что в 0 попадает их (+еи)-вершина — конец отрезка неустойчивого направления, из которого он выходит в направлении вектора си (а не — е„). Такие разбиения мы будем называть (+е„)-разбиениями.

Мы начнём со второго этапа. Он заключён в следующей теореме.

Теорема 3.2. Пусть дано разбиение N = {Л^ьД^} тора на два параллелограмма, со сторонами, параллельными еи и es, причём точка 0 является (+еи)-вершиной. Тогда, если поднятие параллелограммов разбиения на накрывающую плоскость имеет вид Nj — {ajOueu + ^вэев | 0 ^ 0и,в8 ^ 1}, ctj > 0, Pi < 0 < /?2> тпо число неэквивалентных предмарков-ских разбиений, которые можно получить из него сдвигом, равно [||П П Fix(^4)|], где П = {аеи + bes \ а £ [0,«! + «2], Ъ G [—/?2, 1]} [здесь \S\ означает число элементов множества S, а [х] — округление х вверх до ближайшего целого).

Идея доказательства здесь такова. Сдвиги на векторы из Fix(A) позволяют считать, что на неустойчивой границе разбиения находится неподвижная точка 0. После этого можно двигать разбиение по тору так, чтобы неустойчивый отрезок всегда проходил через 0. Тогда устойчивый отрезок заметёт параллелограмм П и каждой неподвижной точке в П будет соответствовать предмарковское разбиение. Наконец, инволюция х н-> — х разбивает все построенные разбиения на пары эквивалентных (она может перевести в себя не более одного разбиения), что приводит к появлению ... в итоговой формуле.

Отметим, что здесь имеется ещё один способ выделения двух типов разбиений. Среди всех описанных в предыдущем абзаце сдвигов данного разбиения имеется четыре разбиения (две пары), для которых точка 0 попадает в общую точку устойчивого и неустойчивого отрезков границы (вершинный тип), а остальные разбиения имеют различные неподвижные точки на отрезках границы (рёберный тип). Разбиения рёберного типа существуют среди сдвигов любого разбиения, за исключением одного случая, когда матрица А сопряжена в группе GL2(Z) с (i или ~(i о) ((+е„)-разбиение

в этом случае единственно с точностью до широкой эквивалентности) .

Перейдём к реализации первого этапа. Как будет показано, все (+еи)-разбиения выстраиваются в бесконечную в обе

стороны последовательность (1Сз)?°=_00 так, что К,3 -< (здесь 1С =4 К,' означает, что ди1С С диК.' и д3К, Э даК.'). Тогда верна следующая теорема.

Теорема 3.3. Пусть еи ~ (ю-и, 1), ши разлагается в цепную дробь [а0,... ,ак, (Ь\,... ,6;)],9 Б = Ьх + ... + Тогда существует такое ^ 6 Ъ, что островнъши являются разбиения К.^+П5+(ь1+...+ьТ)> где п 6 Ъ, г = 1,...и только они. В указанной выше группе коммутирующих с А автоморфизмов тора имеется элемент, действующий на последовательности (/С,-) сдвигом на 5 позиций (он соответствует преобразованию х ±С±1ж).

Доказательство опирается на следующую конструкцию, порождающую все (+е„)-разбиения. Рассмотрим произвольный отрезок I устойчивого направления, содержащий точку О внутри себя и луч неустойчивого направления г(Ь) = р(1еп) (р — отображение естественной проекции К2 —> Т2). Пусть (¿¿) — возрастающая последовательность «моментов времени» Ь, когда г(£) € I, и = — первый среди моментов для которого и лежат на I по разные стороны

от 0 (т. е. г(Ьх),... лежат с одной стороны от 0, а

— с другой). Наконец, пусть ¿(а) = соответствует самой близкой к нулю (во внутренней метрике I) из точек ^(¿1),..., 2(^ь_1). Тогда подотрезок отрезка I с концами г(Ь(а)) и и отрезок + ¿(Ь)]) будут границей некоторого (+еи)-разбиения, причём любое разбиение можно получить таким способом, выбрав I надлежащим образом.

Исходя из этой конструкции, несложно проверить, что для двух (+ем)-разбиений 1С, К,' либо 1С 1С', либо 1С' =4 1С, т. е. порядок линеен. Кроме того, он дискретен и не имеет максимального и минимального элементов, а значит, разбиения действительно выстраиваются в последовательность Образующая централизатора С (если её

9Она является предпериодической, поскольку изи является квадратичной иррациональностью (теорема Лагранжа). Положим также а^+и+з = ^ (в ^ 0, 3 £ {1,...,/}), так что [а0,..., ак, (Ъ\,..., Ь;)] = = [од,..., ак,ак+х, ак+2, ■..].

выбрать так, что Сеи = ц.еи с р, > 1) сохраняет этот порядок, а потому действует на этой последовательности сдвигом.

Благодаря последнему факту, можно доказывать теорему 3.3 только для «правого хвоста» последовательности (ICj). Если отрезок I, являющийся параметром конструкции, мал (например, I — подотрезок некоторого короткого отрезка Iq), то можно все его точки вдоль слоев неустойчивого слоения спроецировать на ось абсцисс, получив отрезок J с Jo- Это позволяет установить взаимно однозначное соответствие между разбиениями, устойчивый отрезок которых является подотрезком некоторого отрезка /0 устойчивого направления, и аналогичными разбиениями, получаемыми при рассмотрении пересечений луча z(t) с некоторым подотрезком отрезка Jo. Поскольку еи ~ (и)и, 1), точки пересечения луча с отрезком Jo имеют координаты qu>u —р (q 6 е Z). Пары (р, q), для которых это выражение принимает значение, максимально близкое к нулю среди всех чисел quiu —pep е Z, q £ {1,..., q}, имеющих тот же знак, что и qu>u — р, являются, по теореме из теории цепных дробей, числителем и знаменателем для некоторой дроби вида [а0,... ,üj,c], с е {1,...,öj+i}. Далее, исходя из свойств цепных дробей такого вида — подходящих и промежуточных дробей для uiu — можно выяснить, как связаны j и с для дробей, отвечающих i(aj и t^) и когда получаемое разбиение будет островным либо паркетным. Наконец, для завершения доказательства, строится матрица С, которая сдвигает последовательность {ICj) в точности на S элементов.

Завершается текст работы параграфом 3.7, содержащим следствия, относящиеся к числу классов эквивалентности, и несколько примеров, показывающих строение множества простейших разбиений в случае конкретных матриц А.

Подписано в печать 10 ноября 2009 г.

Формат 60x90/16

Объём 1,0 п. л.

Тираж 100 экз.

Заказ № 101109257

Оттиражировано на ризографе в ООО «УниверПринт» ИНН/КПП 7728572912\772801001

Адрес: 119333, г. Москва, Университетский проспект, д. 6, кор. 3.

Тел. 740-76-47, 989-15-83.

http://www.univerprint.ru

Введение

1. Вводные определения и замечания. Марковские разбиения

1.1. Гиперболические автоморфизмы тора.

1.2. Псевдоаносовские диффеоморфизмы поверхностей

1.3. Марковские разбиения.

2. Предмарковские разбиения.

Конечность числа классов эквивалентности

2.1. Предмарковские разбиения

2.2. Порождение марковских разбиений предмарковскими

2.3. Эквивалентность разбиений.

2.4. Конечность числа классов предмарковских разбиений

2.5. Лемма о пересечении длинных отрезков устойчивого и неустойчивого слоёв.

2.6. Марковские разбиения в смысле Боуэна: отсутствие конечности

3. Простейшие предмарковские разбиения тора

3.1. Соотношение между узкой и широкой эквивалентностью разбиений в случае тора.

3.2. Цепные дроби и наилучшие приближения числа рациональными дробями

3.3. Квазимарковские разбиения. Их структура.

3.4. Построение квазимарковских разбиений

3.5. Получение предмарковских разбиений из квазимарковского

3.6. (+ем)-разбиения.

3.7. Следствия и примеры.

Актуальность темы. Работа относится к теории гиперболических динамических систем. В ней изучаются множества марковских и сходных с ними предмарковских разбиений для псевдоаносовских диффеоморфизмов поверхностей, в частности, для гиперболического автоморфизма тора. Такие разбиения (наборы подмножеств фазового пространства с определёнными структурой и поведением под действием отображения, определения см. ниже) позволяют строить удобные символические модели для указанных отображений, что может применяться при изучении свойств последних.

Диффеоморфизм двумерного тора, задаваемый формулой х ь-> Ах (mod Z2), (*) где A Е GLiffi) — гиперболическая матрица, (его называют гиперболическим автоморфизмом тора) и в частности, такой диффеоморфизм с А = ( ? }), послужил при построении гиперболической динамики в 1960-х гг. важным примером динамической системы, в которой всё фазовое пространство является гиперболическим множеством (системы Аносова). Построение марковского разбиения для гиперболического автоморфизма тора было осуществлено Р. Адлером и Б. Вейссом, [2].

В дальнейшем обобщения конструкции марковских разбиений происходили в двух направлениях. Один путь, принадлежащий Р. Боуэну (см. [3]), состоял в рассмотрении динамики на произвольном локально максимальном гиперболическом множестве. (Первые шаги в этом направлении, практически одновременно с работой Адлера и Вейсса, были сделаны Я. Г. Синаем: он начал, частично совместно с Б. М. Гуревичем, построение марковских разбиений для гиперболических автоморфизмов n-мерного тора.) В этих условиях Боуэном было установлено существование марковского разбиения, однако платой за столь общие условия стала неконтролируемо сложная геометрия множеств, составляющих разбиение.

Позже выяснилось, что существенную роль в наличии простой геометрии элементов разбиения играет двумерность фазового пространства. Так, уже для аналогичного (*) автоморфизма трёхмерного тора элементы марковского разбиения не могут иметь кусочно гладкую границу (см. [4]).

Поэтому возник также другой путь:) при сохранении дву-мерности фазового пространства ослабить требования к отображению. Таким расширением класса отображений являются псевдоаносовские диффеоморфизмы двумерных компактных ориентируемых поверхностей. Они возникают естественным образом как представители некоторой части классов эквивалентности при принадлежащей Я. Нильсену и У. Тёрсто-ну классификации гомеоморфизмов поверхностей с точностью до изотопии. j

Определение псевдоаносовского диффеоморфизма основывается на аналогии со следующими свойствами гиперболического автоморфизма тора. Для последнего существуют два одномерных трансверсальных слоения, инвариантных под действием диффеоморфизма — разбиения на прямые, параллельные устойчивому или неустойчивому направлению. На слоях этих слоений есть меры (совпадающие со стандартной одномерной мерой Лебега), которые голономно инвариантны: если отрезок перенести с одного слоя устойчивого (неустойчивого) слоения на другой вдоль слоев неустойчивого (устойчивого) слоения, то меры этих отрезков будут равны. Наконец, образы этих мер под действием автоморфизма есть исходные меры, умноженные на Л и 1/А соответственно.

В случае псевдоаносовского диффеоморфизма (для простоты рассмотрим случай поверхности без края) инвариантные слоения могут иметь особые точки вида ^стандартной особенности с п ^ 3 сепаратрисами» (например, при п — 4 слоение в окрестности такой точки гомеоморфно слоению на компоненты связности гипербол ху = с и координатные полуоси). Устойчивое и неустойчивое слоения трансверсальны всюду, кроме особых точек, на них заданы трансверсальные меры, которые голономно инвариантны, а их образы есть они сами, умноженные на А и 1/А соответственно.

Для псевдоаносовских диффеоморфизмов поверхностей без края марковские разбиения были построены А. Фати и М. Шубом, [5]. Эти же авторы (а впоследствии и другие) использовали марковские разбиения для анализа динамики псевдоаносовских диффеоморфизмов.

А. Ю. Жиров использовал для классификации псевдоаносовских диффеоморфизмов поверхностей (см. [7], [8]) введённые им ленточные разбиения — предмарковские (он называет их просто марковскими) разбиения с некоторыми дополнительными свойствами.

Актуальность темы вытекает из вышесказанного — значимости марковских разбиений как инструмента в исследовании различных вопросов теории псевдоаиосовских диффеоморфизмов поверхностей.

Цель работы. Целью работы является изучение всего семейства марковских (и сходных с ними предмарковских) разбиений для данного псевдоаносовского диффеоморфизма поверхности, в частности, установление конечности числа предмарковских разбиений ограниченной сложности (определение см. ниже, для марковских разбиений это означает, что число элементов ограничено сверху) и получение явных формул для их количества в простейших случаях.

Методы исследования. В работе, помимо выработанных в гиперболической теории динамических систем методов, также применяются методы элементарной геометрии и топологии на поверхностях и теоретико-числовые методы, связанные с теорией цепных дробей.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. В диссертации получены следующие два основных результата:

• Доказано, что для любого псевдоаносовского диффеоморфизма поверхности множество классов эквивалентности (относительно действия степеней диффеоморфизма) предмарковских разбиений с ограниченной сложностью конечно.

• В случае гиперболического автоморфизма тора описана структура множества простейших предмарковских разбиений — разбиений на два параллелограмма с условием, что оба отрезка границы содержат неподвижные точки. В частности, получены явные выражения для числа классов эквивалентности таких разбиений относительно действия степеней автоморфизма.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты относятся к гиперболической теории динамических систем. Результат о структуре множества простейших предмарковских разбиений указывает динамический инвариант гиперболического автоморфизма тора, который может препятствовать топологической сопряжённости двух таких автоморфизмов даже с одинаковой жордановой формой матрицы (см. [14]).

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях:

• на семинаре кафедры теории динамических систем механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова под руководством академика РАН Д. В. Аносова, д. ф.-м. н., профессора В. М. Закалюкина в 2006 г.;

• на семинаре «Динамические системы» под руководством д. ф.-м. п., профессора Ю. С. Ильяшенко (механико-математический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова) в 2007 г.;

• на семинаре по теории динамических систем под руководством академика РАН Д. В. Аносова, д. ф.-м. н., профессора А. М. Стёпина (механико-математический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова) в 2008 г.;

• на конференции «Ламинации и групповые действия в динамике» (г. Москва, 19—23 февраля 2007 г.)

• на Международной конференции «Дифференциальные уравнения и топология», посвящённой 100-летию со дня рождения Л. С. Понтрягина (г. Москва, 17—22 июня 2008 г.)

• на семинаре по теории динамических систем в Университете Экс—Марсель I (г. Марсель, Франция) в июне 2008 г.

• на конференции <Dynamique dans l'espace de Teichmtiller» (г. Роскофф, Франция) в июне 2008 г.

• на школе <School and Workshop on Dynamical Systems» (г. Триест, Италия) в июле 2008 г.

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [15] и [16].

Структура работы. Работа состоит из введения, трёх глав и списка литературы, содержащего 16 наименований. Общий объем диссертации — 95 страниц.

1. А.Б. Каток, Б. Хасселблат. Введение в современную теорию динамических систем. — М.: Факториал, 1999.

2. R.L. Adler, В. Weiss. Entropy, a complete metric invariant for automorphisms of the torus, Proc. of Nat. Acad. Sci., 57:6 (1967), 1573-1576.

3. R. Bowen. Markov partitions for Axiom A diffeomorphisms, Amer. J. Math., 92 (1970), 725-747.

4. R. Bowen. Markov partitions are not smooth, Proc. Amer. Math. Soc., 17:1 (1978), 130-132.

5. Fathi A., Laudenbach F., Poenaru V. Travaux de Thurston sur les surfaces (Seminaire Orsay). Paris, Soc. Math. France, 1979 (Asterisque 66-67).

6. Э. Кэссон, С. Блейлер. Теория автоморфизмов поверхностей по Нильсену и Тёрстону. — М.: Фазис, 1998 (сер. Библиотека студента-математика, вып. 5).

7. Zhirov A. Yu. Complete combinatorial invariants for conju-gacy of hyperbolic attractors of diffeomorphisms of surfaces, J. Dyn. Control Syst., 6:3 (2000), 397-430.-fff

8. Жиров А. Ю. Комбинаторика одномерных гиперболических аттракторов диффеоморфизмов поверхностей, Труды МИАН, 244 (2004), 143-215.

9. Е. Rykken. Markov partitions for hyperbolic toral automorphisms of T2, Rocky Mountain J. Math. 28:3 (1998), 1103-1124.

10. А.Я. Хинчин. Цепные дроби. M.: УРСС, 2004.

11. О. Perron. Die Lehre von den Kettenbruchen. Bd. I: Elemen-tare Kettenbruche. — Stuttgart, Teubner, 1954.

12. P. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. Основание информатики: Пер. с англ. — М.: Мир, 1998.

13. Г. Дэвенпорт. Высшая арифметика. Введение в теорию чисел. — М.: Наука, 1965.

14. D.V. Anosov, A.V. Klimenko, G. Kolutsky. On the hyperbolic automorphisms of the 2-torus and their Markov partitions (preprint no. MPIM2008-54). — Bonn, Max-Planck-Institut fur Mathematik, 2008.

15. А. В. Клименко. О количестве классов марковских разбиений для гиперболического автоморфизма двумерного тора, Матем. сб., 200:8 (2009), 147-160.

16. А. В. Клименко. Конечность числа классов марковских разбиений для псевдоаносовских диффеоморфизмов поверхностей, Матем. заметки, 86:2 (2009), 314—317.